기호논리학
동어반복: 모순율과 배중율
고대 이후 논리학자들은 문장 연결사의 의미에 의해서만 필연적이 되는 필연적 참에 특별히 관심을 가져왔다. 소위 배중율(Law of Excluded Middle)의 예인 (1) 모든 사람이 다 죽거나, 또는 모든 사람이 다 죽는 것은아니다. (2) 눈은 희거나 또는 눈은 희지 않다. 와 같은 문장들이 바로 그러한 것이다. 그리고 모순율(Law of Contradiction) 의 예인 (4) 모든 사람이 다 죽는다와 모든 사람이 다 죽는 것은 아니다가 둘 다 참은아니다. (5) 눈은 희다와 눈은 희지 않다가 둘 다 참은 아니다. 도 그런 경우이다; 그리고 무한히 많은 다양한 종류의 동어반복적 문장들이 있다.동어반복: 연결사 (O) 양화사 (X)
I 그러한 문장들의 공통점은 그것들의 참이 문장 연결사인 ‘또는’, ‘그리고’, ‘아니다’ 등의 논리적 속성으로부터 따라나온다는 점이다; I 그것은 ‘인간’, ‘죽는다’ 같은 비논리상항의 뜻에 대해서 뿐만 아니라 ‘모든’과 ‘어떤’같은 양화사의 뜻에 대해서도 독립적이다. 따라서 위의 예 (1)과 (4)에서 ‘모든’이 ‘어떠한’의 뜻을 가지고, ‘사람이’ 가 ‘전자가’의 뜻을, ‘죽는다’가 ‘양전기를 띠지 않는다’의 뜻을 가진다고 하더라 도 그 진리치는 여전했을 것이라는 것에 주의할 필요가 있다. I 그와 대조적으로, 다음 문장의 필연성은 “모든"의 뜻에 의존한다: 만약 모든 사람이 죽고 모든 희랍인이 사람이라면, 모든 희랍인은 죽는다.타당성: 예비적 정의
타당한문장은 그것이 포함하고 있는논리상항들의 속성들에만 의존하여 참이 되는 문장들이다. 예를 들어, (7) (x )Fx ∨ −(x )Fx (10) (x )Fx → Fa 그리고 (11) Fa → (∃x )Fx 이 세 문장들은 모두 타당하다. (우리는 몇 주 후에 타당성의 보다 엄밀한 정의를 살펴볼 것이다.)동어반복: 예비적 정의
동어반복적문장은 오직 문장 연결사의 논리적 속성에만 의존하여 참인 문장이다. 예를 들어, (7) (x )Fx ∨ −(x )Fx 은 동어반복인데 “F ”가 어떤 뜻으로 사용되었든 “∨”의 논리적 속성에 의하여 참이기 때문이다. 하지만 (10) (x )Fx → Fa 그리고 (11) Fa → (∃x )Fx 은 타당하지만 동어반복은 아니다. 이 문장들이 참인 것은 부분적으로 “(x)”와 “(∃) x”의 논리적 속성에 의존하기 때문이다.정상할당 (Normal Assignment)
L의 모든 문장들에 대한 진리치 T, F의 할당 U 가 정상(normal)일 경우 오직 그 경우에만, L의 각 문장 φ에 대해 다음이 성립한다: 1) U 는 φ에 진리치 T, F 중 정확히 하나를 할당한다. 2) φ = −ψ이면: U 가 φ에 T를 할당할 경우 오직 그 경우에만 U 가 ψ 에 T를 할당하지 않는다. 3) ψ, χ가 문장일 때, φ = (ψ ∨ χ)이면: U 가 φ에 T를 할당할 경우 오직 그 경우에만 U 가 ψ에 T를 할당하거나 χ에 T를 할당하거나 혹은 양쪽 다이다. (다음 슬라이드에 계속)정상할당 (Normal Assignment) (계속)
4) ψ, χ가 문장일 때, φ = (ψ&χ)이면: U 가 φ에 T를 할당할 경우 오직 그 경우에만 U 가 ψ에 T를 할당하고 χ에 T를 할당한다. 5) ψ, χ가문장일 때, φ = (ψ → χ)이면: U 가 φ에 T를 할당할 경우 오직 그 경우에만 U 가 ψ에 F를 할당하거나 χ에 T를 할당하거나 혹은 양쪽 다이다. 6) ψ, χ가 문장일 때, φ = (ψ ↔ χ)이면: U 가 φ에 T 를 할당할 경우 오직 그 경우에만 U 가 ψ 와 χ 양쪽에 T 를 할당하거나양쪽에 F를 할당한다.정의: 동어반복적 참/귀결/일관성
I L의 문장들에 대한 진리치 T, F의 모든 정상할당에 의해 문장 φ가 진리치 T를 할당받을 경우 오직 그 경우에만 문장 φ는 동어반복적이다. I 문장 φ와 문장집합 Γ에 대해, Γ의 모든 문장들에 진리치 T를 할당하는 모든 정상할당에 의해 φ가 진리치 T 를 할당받을 경우 오직 그 경우에만 φ는 Γ의 동어반복적 귀결(tautological consequence) 이다. I 문장집합 Γ는 Γ의 모든 원소에 진리치 T를 할당하는 정상할당이 적어도 하나 존재할 경우 오직 그 경우에만 진리함수적으로 일관적(truth-functionally consistent)이다 . I 문장집합 Γ는 진리함수적으로 일관적이지 않을 경우 오직 그 경우에만진리 함수적으로 비일관적(truth-functionally inconsistent) 이다.SC문장 φ의 동어반복성=φ의 대입예의 동어반복성
동어반복적 SC문장에 특별히 관심을 가지는 것은 다음 사실 때문이다: II. 모든 문장 φ에 대해, φ가 동어반복적일 경우 오직 그 경우에만 φ가 ψ의 대입예인 그러한 동어반복적 SC 문장 ψ가 존재한다.* 여기서 ‘대입예’는 다음과 같이 정의된다: 문장 φ와 SC 문장 ψ에 대해, φ가 ψ의 문장문자들을 문장들로 대치하되 같은 문자가 나타난 곳에는 모두 같은 문장으로 대치한 결과일 경우 오직 그 경우에만 φ는 SC 문장 ψ의 대입예(substitution instance of an SC sentence ψ)이다.*교과서에는 I.이라는 원리가 먼저 나오지만, 설명 상의 편의를 위해 지금은 생략한다.
SC문장 φ의 동어반복성=φ의 대입예의 동어반복성 (계속)
예를 들어 (x ) Fx ∨ − (x ) Fx 는 동어반복적으로 참이며, 또 P ∨ −P 의 대입예인데, 후자는 동어반복적으로 참인 (따라서 타당한) SC 문장이다. 마찬가지로, ((x ) Fx → Fa) ∨ (Fa → (x ) Fx ) 는 동어반복적으로 참이며, 또 타당한 SC 문장인 (P → Q) ∨ (Q → P) 의 대입예이다.진리표 방법
진리표 방법은 다음의 고찰에 의존한다: SC 문장에서 나타나는 유일한 비논리상항은 문장문자이다. 따라서 모든 SC 문장은 연결사를 적용함에 의해 문장문자들로부터 구성된다. 이를 마음에 새기면서 ‘정상할당’의 정의를 다시 살펴본다면, 정상할당이 SC 문장에 주는 진리값이 그 정상할당이 그 문장 안에 나타나는 문장문자들에 주는 진리값에 의해 완전히 결정된다 는 것을 알게 된다. 이제, SC 문장 φ가 n개의 서로 다른 문장문자들을 포함하고 있다고 하자. 진리값 T와 F가 n개의 문자들에 할당되는 방식은 2n 가지가 있다. 이들 2n가지 할당을 계속적으로 살펴보면, 우리는 모든 정상할당이 φ에 값 T를 주거나 값 F를 준다는 것을 알 수 있다.진리표의 예
이 할당들을 도표화한 것이 바로진리표(truth-table)이다. 이것을 설명하는 좋은 방법은 예를 살펴보는 것이다: P Q (P → Q) ∨ (Q → P) T T T T T T F F T T F T T T F F F T T T 이 도표는 문장 “(P → Q) ∨ (Q → P)”에 대한 진리표이다. 이 도표를 통해서 우리는 어떤 정상할당도 “(P → Q) ∨ (Q → P)”에 T를 할당할 수 밖에 없음을 알 수 있다. 즉 우리는 “(P → Q) ∨ (Q → P)”이 동어반복적으로 참이라는 것을 파악하게 된다.진리표의 예 (계속)
반면 어떤 문장이 동어반복적으로 참이 아니라는 것을 파악하기 위해서 진리표를 이용할 수도 있다: P Q (P → Q) → (Q → P) T T T T T T F F T T F T T F F F F T T T 위 도표는 문장 “(P → Q) → (Q → P)”에 관한 진리표이다. 위 표를 통해서 우리는 어떤 정상할당은 “(P → Q) → (Q → P)”에 거짓을 할당함을 알 수 있다. (어떤 정상할당이 그렇게 할까?) 따라서 그 문장은 동어반복적으로 참이지 않다.진리표 구성을 위한 일반적 절차
SC문장 φ에 대한 진리표를 구성하기 위해서는 다음 절차를 따르면 된다: 1) 도표의 맨 위에 φ를 쓴다 ; 그 왼쪽에 φ에 나타나는 문장문자들을 나열한다. 2) 문장문자들을 나열한 것 밑에 그 문자들에 할당될 수 있는 진리치의 모든 조합들을 적어 넣는다. 3) ‘정상할당’의 정의에 따라 각 행을 채운다.약식 진리표 방법
진리표를 작성하는 단조롭고 고된 일은 종종 주어진 문장에 어떤 정상할당이 값 F를 할당한다고 가정하고 그 결과를 따져보는 분석을 통해 피할 수 있다. 예를 들어 ((P → Q) & (Q → R)) ∨ (R → P) 가 진리값 F를 가지기 위해서는 양쪽 선언지가 모두 값 F를 가져야 한다. 그러나 ‘(R → P)’가 값 F를 가진다면 ‘R’은 T를 가지고 ‘P’는 F를 가져야 한 다. 이것은 ‘(P → Q)’와 ‘(Q → R)’이 값 T를 가지고 따라서 첫 선언지가 값 T를 가져야만 한다는 것을 함축한다. 따라서 위 문장이 F를 진리값으로 가지는 것은 불가능하다. % 중요한 점: 위 문장의 대입예는 물론 모두 동어반복적으로 참이며, 따라서 타당하다. 여기에는 SC문장들 뿐만 아니라 —‘P,’ ‘Q,’ ‘R,’에 양화문을 대입시켜 얻은— 양화사를 지닌 문장들도 포함된다. (158쪽의 예 참조.)단계적 절차의 필요성
I 원리 II는 문장들이 동어반복적임을 입증하는 데에 쓸모있지만, 임의의 문장 φ에 대해 그것이 동어반복적인지 결정할 수 있는 단계적(step-by-step임)절차를 제공하는 것은 아니다. 그 원리가 말해주는 것은 다음 사실 뿐이다: φ가 그 동어반복적 대입예인 SC문장을 찾아라. 만일 (i) 그런 SC문장이 있다면 φ는 동어반복적이고, (ii) 그런 SC문장이 없다면 φ는 동어반복적이지 않다. I 하지만 그러한 동어반복적 SC문장을 찾지 못했을 경우 우리가 내릴 수 있는 결론은 (a) 그런 SC문장이 없으므로 φ가 동어반복적이지 않거나 또는 (b) 우리가 아직 충분히 조사하지 않았다는 것뿐이다.정의 1: 기초진리함수적 요소
φ가 ψ의 기초 진리함수적 요소 (basic truth-functional component) 일 경우 그리고 그 경우에만
(i) 문장 φ는 원자식이거나 양화식이고
정의 2: 연계
SC 문장 φ가 ψ 와 연계되어 (associated with) 있는 경우 그리고 그 경우에만 I φ는, 문장 ψ에서 자유롭게 나타난 모든 기초 진리함수적 요소들을, 서로 다른 요소는 서로 다른 문장문자로 대치하고, 같은 요소는 같은 문장문자로 대치하는 방식으로 문장문자들로 대치하여, ψ로부터 얻어진다.SC문장
이제 II 에 이어 다음 원리를 덧불일 수 있다 : III. 모든 문장 φ, ψ에 대해, ψ가 φ와 연계된 SC문장이, φ 가 동어반복적일 경우 오직 그 경우에만 ψ 가 동어반복적이다. 임의의 문장 φ에 대해 그것과 연계된 SC 문장 ψ를 구성할 수 있으므로 이 원리는 주어진 문장 φ가 동어반복적인지 아닌지를 결정할 수 있는 절차를 제 공한다. 1) φ 와 연계된 SC 문장 ψ를 구성하라. 2) 진리표를 써서 ψ 가 동어반복적인지 검사하라. 3) III을 써서 φ가 동어반복적인지 결정하라.예 1
Fa → (x ) (Fx → Fa)
가 동어반복적인지 검사하라. 이 문장의 기초 진리함수적 요소는 ‘Fa’와 ‘(x)(Fx → Fa)’이다. 자유롭게 나타난 모든 ‘Fa’를 ‘P’로 대치하고 자유롭게 나타난 모든 ‘(x)(Fx → Fa)’를 ‘Q’로 대치함으로써, 우리는
P → Q
를얻는다. 그러나 진리표 검사는 이 SC 문장이 동어반복적이지
