우석대학교 에너지전기공학과

강의 (27)

우석대학교 에너지전기공학과

이우금 교수

2 Ch 3. 미분법 1-1. 평균변화율  𝑥 의 증분 (𝑥 의 변화량): 𝑎 + ∆𝑥 − 𝑎 = ∆𝑥 𝑜𝑟 𝑏 − 𝑎 = ∆𝑥  𝑦 의 증분 (𝑦 의 변화량): 𝑓 𝑎 + ∆𝑥 − 𝑓 𝑎 = ∆𝑦 𝑜𝑟 𝑓(𝑏) − 𝑓(𝑎) = ∆𝑦  평균변화율: 두변화량 (∆𝑥 & ∆𝑦) 의 비 ∆𝑦 ∆𝑥 = 𝑓 𝑎+∆𝑥 −𝑓(𝑎) 𝑎+∆𝑥 −𝑎 = 𝑓 𝑎+∆𝑥 −𝑓(𝑎) ∆𝑥  평균변화율의 기하학적 의미: 점 𝑃(𝑥₁, 𝑦₁)과 점 Q(𝑥₂, 𝑦₂)를 지나는 직선의 기울기 1-2. 순간변화율 (𝑜𝑟 미분계수): 𝑥 = 𝑎 에서 평균변화율의 극한값  𝑑𝑦 𝑑𝑥|𝑥=𝑎 = 𝑓′ 𝑎 = lim_∆𝑥→0 𝑓 𝑎+∆𝑥 −𝑓(𝑎) ∆𝑥 = lim_𝑏→𝑎 𝑓 𝑏 −𝑓(𝑎) 𝑏−𝑎  미분계수 𝑓′ 𝑎 의 기하학적 의미  𝑓′ 𝑎 는 𝑥 = 𝑎 에서 함수 𝑓(𝑥) 의 접선의 기울기.  𝑥 = 𝑎 에서 접선의 방정식: 𝑦 − 𝑓 𝑎 = 𝑓′(𝑎)(𝑥 − 𝑎) 1-3. 도함수 or 미분 (derivative): 모든 𝑥 대한 평균변화율의 극한값.  𝑓′ 𝑥 = lim ∆𝑥→0 𝑓 𝑥+∆𝑥 −𝑓(𝑥) ∆𝑥 미분의 정의 <기말시험 총정리> 𝑎 𝑎 + ∆𝑥 𝑦 = 𝑓(𝑥) 𝑥 𝑦 𝑄 𝑃 ∆𝑥 ∆𝑦 0 𝑓(𝑎 + ∆𝑥) 𝑓(𝑎) 𝑏 𝑏 접선 𝑎𝑡 𝑥 = 𝑎

3 예제) 𝑓 𝑥 = 𝑥2 + 𝑥 에 대해 다음을 구하라. (1) 구간 [1, 2] 에서 𝑓 𝑥 의 평균변화율: ∆𝑦 ∆𝑥 = 𝑓 𝑎+∆𝑥 −𝑓(𝑎) ∆𝑥 = 𝑓 𝑏 −𝑓(𝑎) 𝑏−𝑎  ∆𝑦 ∆𝑥 = 𝑓 2 −𝑓(1) 2−1 = 22+2 − 12+1 1 = 4 (2) 두 점 (2, 𝑓(2)) 와 (1, 𝑓(1))을 통과하는 직선: 𝑦 − 𝑓 1 = ∆𝑦 ∆𝑥 𝑥 − 1 𝑜𝑟 𝑦 − 𝑓 2 = ∆𝑦 ∆𝑥 𝑥 − 2  𝑦 − 12 + 1 = 4 𝑥 − 1  𝑦 − 22 + 2 = 4 𝑥 − 2 (3) 𝑥 = 1 에서 𝑓 𝑥 의 미분계수를 정의에 의해 구하라 𝑓′ 1 = lim ∆𝑥→0 𝑓 1+∆𝑥 −𝑓(1) ∆𝑥 ∴ 𝑓′ _{1 = lim} ∆𝑥→0 1+∆𝑥 2+ 1+∆𝑥 −{12+1} ∆𝑥 = lim∆𝑥→0 (∆𝑥2+3∆𝑥) ∆𝑥 = lim∆𝑥→0 ∆𝑥 + 3 = 3 ※ 𝑛𝑜𝑡𝑒: 𝑓′ 𝑥 = (𝑥2 + 𝑥)′= _𝑑𝑥𝑑 𝑥2 + 𝑥 = 2𝑥 + 1 𝑓′ 1 = 2 + 1 = 3 (4) 𝑥 = 1 에서 접선의 방정식: 𝑦 − 𝑓 1 = 𝑓′(1)(𝑥 − 1)  𝑓′ 1 = 3 & 𝑓 1 = 12 + 1 = 2 𝑦 − 2 = 3(𝑥 − 1) ∴ 𝑦 = 3𝑥 − 1 𝑦 = 4𝑥 − 2

4 2. 함수의 미분 2-1. 미분의 정의  미분의 정의로 도함수를 구하는 것은 매우 복잡함 미분의 정의: 𝑓′ 𝑥 = lim ∆𝑥→0 𝑓 𝑥+∆𝑥 −𝑓(𝑥) ∆𝑥 예시) 𝑓 𝑥 = 𝑥2 − 4 의 도함수 𝑓′ 𝑥 = lim ∆𝑥→0 𝑥+∆𝑥 2−4 −{𝑥2−4} ∆𝑥 ∴ 𝑓′ _{𝑥 = lim} ∆𝑥→0 𝑥2+2𝑥∆𝑥+∆𝑥2 −4 − 𝑥2−4 ∆𝑥 = lim_∆𝑥→0 (2𝑥∆𝑥+∆𝑥2) ∆𝑥 = lim_∆𝑥→0 (2𝑥+∆𝑥)∆𝑥 ∆𝑥 = 2𝑥 ※ 𝑛𝑜𝑡𝑒: 𝑓′ 𝑥 = (𝑥2 − 4)′= 2𝑥  미분법 정리 (정의에 의해 구한 도합수의 결과를 유형별로 정리)  𝑓 𝑥 = 𝑐 이면, 𝑓′ 𝑥 = 0, (𝑐 는 상수)  𝑐𝑓 𝑥 ′ = 𝑐𝑓′ 𝑥 , (𝑐 는 상수)  𝑓 𝑥 ± 𝑔(𝑥) ′ = 𝑓′ 𝑥 ± 𝑔′ 𝑥  𝑓 𝑥 𝑔(𝑥) ′ = 𝑓′ 𝑥 𝑔 𝑥 + 𝑓(𝑥)𝑔′(𝑥)

 𝑓(𝑥) 𝑔(𝑥) ′ = 𝑓′ 𝑥 𝑔 𝑥 −𝑓 𝑥 𝑔′(𝑥) 𝑔2_(𝑥) , (𝑔 ≠ 0)  𝑓 𝑥 = 𝑥𝑛 이면, 𝑓′ 𝑥 = 𝑛𝑥𝑛−1, (𝑛 은 정수)

2-2. 합성함수의 미분 (Chain Rule)  함수 𝑦 = (2𝑥 + 1)2 의 미분  우변을 전개하면, 𝑦 = 4𝑥2 + 4𝑥 + 1  이 함수의 도함수: 𝑦′ = 4𝑥2 + 4𝑥 + 1 ′ = 8𝑥 + 4 = 4 2𝑥 + 1  함수 𝑦 = (2𝑥 + 1)5 의 미분 ???  합성함수 • 𝑦 = (2𝑥 + 1)5 에서 2𝑥 + 1 = 𝑢 로 놓으면 𝑦 = 𝑢5 • 𝑦 = (2𝑥 + 1)5 𝑢 = 2𝑥 + 1 과 𝑦 = 𝑢5 의 합성함수  그러므로, 𝑦 = 𝑢5 를 𝑢 에 대해 미분하고, 𝑢 = 2𝑥 + 1 를 𝑥 에 대해 미분하면, • 𝑑𝑦_𝑑𝑢 = _𝑑𝑢𝑑 𝑢5 = 5𝑢4 • 𝑑𝑢 𝑑𝑥 = 𝑑 𝑑𝑥 2𝑥 + 1 = 2 𝑑𝑦 𝑑𝑥 = 𝑑𝑦 𝑑𝑢 · 𝑑𝑢 𝑑𝑥 = 5𝑢 4 _{· 2} 𝑑𝑦 𝑑𝑥 = 10𝑢 4 _{= 10 2𝑥 + 1} 4

6 2-3. 음함수의 미분법  음함수의 미분: 양함수 𝑦 = 𝑓(𝑥) 형태로 변환하지 않고 chain rule을 이용하여 미분함.  𝑑 𝑑𝑥 𝑓(𝑥, 𝑦) = 𝑑 𝑑𝑦 𝑓(𝑥, 𝑦) ∙ 𝑑𝑦 𝑑𝑥 예제) 함수 𝑦2𝑥2 = 𝑥 + 3 의 미분 𝑑𝑦 𝑑𝑥 을 구하라.  양변을 𝑥에 대해 미분: 𝑑 𝑑𝑥 𝑦 2_𝑥2 ₌ 𝑑 𝑑𝑥 𝑥 3 _{+ 3} 𝑑 𝑑𝑥 𝑦 2_𝑥2 _{= 3𝑥}2 (1) 곱의 미분: 𝑑 𝑑𝑥 𝑦 2_𝑥2 _{= 𝑥}2 _∙ 𝑑 𝑑𝑥 𝑦 2 _{+ 𝑦}2 _∙ 𝑑 𝑑𝑥 𝑥 2 _{= 𝑥}2 _∙ 𝑑 𝑑𝑥 𝑦 2 _{+ 𝑦}2 _{∙ 2𝑥} (2) Chain Rule: 𝑑 𝑑𝑥 𝑦 2 ₌ 𝑑 𝑑𝑦 𝑦 2 _∙𝑑𝑦 𝑑𝑥 = 2𝑦 𝑑𝑦 𝑑𝑥  (1) & (2) 로 부터: 𝑑 𝑑𝑥 𝑦2𝑥2 = 𝑥2 ∙ 2𝑦 𝑑𝑦 𝑑𝑥+ 𝑦2 ∙ 2𝑥 ∴ 𝑥2 ∙ 2𝑦𝑑𝑦_𝑑𝑥 + 𝑦2 ∙ 2𝑥 = 3𝑥2 𝑥2 ∙ 2𝑦𝑑𝑦_𝑑𝑥 = −2𝑥𝑦2 + 3𝑥2 𝐹𝑖𝑛𝑎𝑙𝑙𝑦, 𝑑𝑦_𝑑𝑥 = −2𝑥𝑦_2𝑦𝑥2+3𝑥₂ 2

2-4. 역함수의 미분법  주어진 함수의 역함수를 구함.  역함수의 미분 또한 음함수의 미분과 같은 방법으로 미분  _𝑑𝑥𝑑 𝑓(𝑥, 𝑦) = _𝑑𝑦𝑑 𝑓(𝑥, 𝑦) ∙ 𝑑𝑦_𝑑𝑥 2-5. 매개변수함수의 미분법  매개변수 함수  𝑥 & 𝑦 가 각각 𝑡 의 함수 일 때, 즉 𝑥 = 𝑓 𝑡 & 𝑦 = 𝑔(𝑡)  매개변수로 표현된 함수의 미분법. 𝑑𝑦 𝑑𝑥 = 𝑑𝑦 𝑑𝑡 · 𝑑𝑡 𝑑𝑥 = 𝑑𝑦 𝑑𝑡 𝑑𝑥 𝑑𝑡 = 𝑔_𝑓′_′(𝑡)_(𝑡) (단, 𝑓′ _{𝑡 ≠ 0)} 예제) 다음 주어진 함수의 𝑑𝑦 𝑑𝑥 를 구하라.  𝑥 = 𝑡3 + 2𝑡 & 𝑦 = 𝑡2  위 식을 각각 𝑡 에 대해 미분: 𝑑𝑥 𝑑𝑡 = 3𝑡 2 _{+ 2 &} 𝑑𝑦 𝑑𝑡 = 2𝑡 ∴ 𝑑𝑦_𝑑𝑥 = 𝑑𝑦_𝑑𝑡 ∙_𝑑𝑥𝑑𝑡 = 𝑑𝑦 𝑑𝑡 𝑑𝑥 𝑑𝑡 = _3𝑡2𝑡₂₊₂

8 3. 초월함수의 미분 3-1. 삼각함수의 미분  삼각함수의 도함수  𝑦 = 𝑠𝑖𝑛 𝑥 𝑦′ = 𝑐𝑜𝑠 𝑥  𝑦 = 𝑡𝑎𝑛 𝑥

𝑦′ = 𝑠𝑒𝑐2𝑥  𝑦 = 𝑠𝑒𝑐 𝑥

𝑦′ = 𝑠𝑒𝑐 𝑥 ∙ 𝑡𝑎𝑛 𝑥 3-1-1. 함수 𝑓(𝑥) = 𝑠𝑖𝑛 𝑥 의 미분 증명  미분의 정의 에 의해: 𝑑𝑦 𝑑𝑥 = lim∆𝑥→0 𝑓 𝑥+∆𝑥 −𝑓(𝑥) ∆𝑥 = lim∆𝑥→0 𝑠𝑖𝑛(𝑥+∆𝑥)−𝑠𝑖𝑛 𝑥 ∆𝑥 ※ 𝑛𝑜𝑡𝑒: 𝑠𝑖𝑛 𝐴 − 𝑠𝑖𝑛 𝐵 = 2 𝑐𝑜𝑠 𝐴+𝐵 2 ∙ 𝑠𝑖𝑛 𝐴−𝐵 2 삼각함수의 합과차를 곱으로 변환하는 공식 ∴ 𝑠𝑖𝑛(𝑥 + ∆𝑥) − 𝑠𝑖𝑛 𝑥 = 2 𝑐𝑜𝑠 𝑥+∆𝑥+𝑥 2 ∙ 𝑠𝑖𝑛 𝑥+∆𝑥−𝑥 2 = 2 𝑐𝑜𝑠 2𝑥+∆𝑥 2 ∙ 𝑠𝑖𝑛 ∆𝑥 2  𝑑 𝑑𝑥 𝑠𝑖𝑛 𝑥 = lim∆𝑥→0 𝑠𝑖𝑛(𝑥+∆𝑥)−𝑠𝑖𝑛 𝑥 ∆𝑥 = lim∆𝑥→0 2 𝑐𝑜𝑠 2𝑥+∆𝑥₂ ∙𝑠𝑖𝑛 ∆𝑥₂ ∆𝑥 = lim∆𝑥→0 𝑐𝑜𝑠 2𝑥+∆𝑥 2 · 2𝑠𝑖𝑛 ∆𝑥₂ ∆𝑥 = lim ∆𝑥→0 𝑐𝑜𝑠 2𝑥+∆𝑥 2 · 𝑠𝑖𝑛 ∆𝑥₂ ∆𝑥 2 ∴ 𝑑 𝑑𝑥 𝑠𝑖𝑛 𝑥 = lim∆𝑥→0 𝑐𝑜𝑠 2𝑥+∆𝑥 2 = 𝑐𝑜𝑠(𝑥)  𝑦 = 𝑐𝑜𝑠 𝑥 𝑦′ = − 𝑠𝑖𝑛 𝑥  𝑦 = 𝑐𝑜𝑡 𝑥

𝑦′ _{= − 𝑐𝑠𝑐}2_𝑥  𝑦 = 𝑐𝑠𝑐 𝑥

𝑦′ _{= − 𝑐𝑠𝑐 𝑥 ∙ 𝑐𝑜𝑡 𝑥} lim ∆𝑥→0 𝑠𝑖𝑛 ∆𝑥₂ ∆𝑥 2 = 1

3-2. 로그함수의 도함수 3-2-1. 로그함수 𝑓(𝑥) = 𝑙𝑛 𝑥 의 미분  𝑦 = 𝑙𝑛 𝑥 𝑑𝑦 𝑑𝑥 = 1 𝑥  𝑓(𝑥) = 𝑙𝑛(𝑥) 의 도함수 증명  𝑓′ 𝑥 = lim ∆𝑥→0 𝑓 𝑥+∆𝑥 −𝑓(𝑥) ∆𝑥 = lim∆𝑥→0 𝑙𝑛(𝑥+∆𝑥)−𝑙𝑛(𝑥) ∆𝑥 ※ 로그의 성질: 𝑙𝑛 𝑥 + ∆𝑥 − 𝑙𝑛 𝑥 = 𝑙𝑛 𝑥+∆𝑥 𝑥 ∴ 𝑓′ _{𝑥 = lim} ∆𝑥→0 𝑙𝑛 𝑥+∆𝑥_𝑥 ∆𝑥 = lim∆𝑥→0 𝑙𝑛 1+∆𝑥_𝑥 ∆𝑥

= lim ∆𝑥→0 1 ∆𝑥∙ 𝑙𝑛 1 + ∆𝑥 𝑥 = lim_∆𝑥→0 𝑥 𝑥 ∙ 1 ∆𝑥∙ 𝑙𝑛 1 + ∆𝑥 𝑥 = lim_∆𝑥→0 1 𝑥 ∙ 𝑙𝑛 1 + ∆𝑥 𝑥 𝑥 ∆𝑥

※ 자연대수의 정의: lim ∆𝑥→0 1 + 𝑥 1 𝑥 = 𝑒 𝐹𝑖𝑛𝑎𝑙𝑙𝑦, 𝑓′ 𝑥 = lim ∆𝑥→0 1 𝑥 ∙ 𝑙𝑛 (𝑒) = 1 𝑥

𝑑 𝑑𝑥 𝑙𝑛 𝑥 = 1 𝑥

𝑒

10 예제) 다음 각 함수를 미분하라 (1) 𝑦 = 𝑙𝑛 𝑥2 + 3𝑥 + 1 𝑑𝑦 𝑑𝑥 = 𝑑 𝑑𝑢 𝑙𝑛 𝑥 2 _{+ 3𝑥 + 1}  𝑢 = 𝑥2 + 3𝑥 + 1 로 치환: 𝑦 = 𝑙𝑛 𝑢 & 𝑢 = 𝑥2 + 3𝑥 + 1 의 합성함수  합성함수의 미분: 𝑑𝑦 𝑑𝑥 = 𝑑𝑦 𝑑𝑢 · 𝑑𝑢 𝑑𝑥  𝑑𝑦 𝑑𝑢 = 𝑑 𝑑𝑢 𝑙𝑛 𝑢 = 1 𝑢 & 𝑑𝑢 𝑑𝑥 = 2𝑥 + 3 ∴ 𝑑𝑦 𝑑𝑥 = 1 𝑢 ∙ 2𝑥 + 3 = 2𝑥+3 𝑥2_+3𝑥+1 (2) 𝑦 = 𝑙𝑛 (𝑥) 2 𝑑𝑦 𝑑𝑥 = 𝑑 𝑑𝑢 𝑙𝑛 (𝑥) 2  𝑙𝑛 𝑥 = 𝑢 로 치환: 𝑦 = 𝑢2 & 𝑢 = 𝑙𝑛 𝑥 의 합성함수  합성함수의 미분: 𝑑𝑦 𝑑𝑥 = 𝑑𝑦 𝑑𝑢 · 𝑑𝑢 𝑑𝑥  𝑑𝑦 𝑑𝑢 = 𝑑 𝑑𝑢 𝑢 2 _{= 2𝑢 &} 𝑑𝑢 𝑑𝑥 = 𝑑 𝑑𝑥 𝑙𝑛 𝑥 = 1 𝑥 ∴ 𝑑𝑦 𝑑𝑥 = 2𝑢 ∙ 1 𝑥 = 2 𝑙𝑛 𝑥 𝑥 𝑑𝑦 𝑑𝑥 = 𝑑𝑦 𝑑𝑢 · 𝑑𝑢 𝑑𝑥 = 1 𝑢 ∙ 2𝑥 + 3 𝑑𝑦 𝑑𝑥 = 𝑑𝑦 𝑑𝑢 · 𝑑𝑢 𝑑𝑥 = 2𝑢 ∙ 1 𝑥

3-3. 지수함수의 도함수 3-3-1. 지수함수 𝑓(𝑥) = 𝑎𝑥 의 미분  𝑦 = 𝑎𝑥 𝑑 𝑑𝑥 𝑎 𝑥 _{= 𝑎}𝑥 _{∙ 𝑙𝑛 (𝑎)}  𝑦 = 𝑎𝑥 의 도함수 증명 (1) 𝑦 = 𝑎𝑥 의 양변에 자연로그를 취하면: 𝑙𝑛(𝑦) = 𝑙𝑛 𝑎𝑥 𝑙𝑛(𝑦) − 𝑥 ∙ 𝑙𝑛 𝑎 = 0 (2) 양변을 𝑥 에 관하여 미분 (음함수 𝑓 𝑥, 𝑦 = 0 의 미분) ∴ 𝑑 𝑑𝑥 𝑙𝑛(𝑦) − 𝑥 𝑙𝑛(𝑎) = 0

𝑑 𝑑𝑥 𝑙𝑛(𝑦) − 𝑑 𝑑𝑥 𝑥 ∙ 𝑙𝑛(𝑎) = 0 (3) 𝑑 𝑑𝑥 𝑙𝑛(𝑦) 의 계산 chain rule: 𝑑 𝑑𝑥 𝑙𝑛(𝑦) = 𝑑 𝑑𝑦 𝑙𝑛(𝑦) ∙ 𝑑𝑦 𝑑𝑥 = 1 𝑦∙ 𝑑𝑦 𝑑𝑥 (4) 𝑑 𝑑𝑥 𝑥 ∙ 𝑙𝑛(𝑎) 의 계산: 𝑙𝑛(𝑎) 는 상수이므로, 𝑑 𝑑𝑥 𝑥 ∙ 𝑙𝑛(𝑎) = 𝑙𝑛(𝑎) ∙ 𝑑𝑥 𝑑𝑥 = 𝑙𝑛(𝑎) 𝐹𝑟𝑜𝑚 (2)~(4), 𝑑 𝑑𝑥 𝑙𝑛(𝑦) − 𝑥 𝑙𝑛(𝑎) = 0 1 𝑦 ∙ 𝑑𝑦 𝑑𝑥 − 𝑙𝑛 𝑎 = 0 ∴ 𝑑𝑦 𝑑𝑥 = 𝑦 ∙ 𝑙𝑛 𝑎 𝑑𝑦 𝑑𝑥 = 𝑎 𝑥 _{∙ 𝑙𝑛(𝑎)}

1 2 예시) 다음 각 함수를 미분하라 (1) 𝑦 = 𝑒2𝑥 𝑑𝑦 𝑑𝑥 = 𝑑 𝑑𝑥 𝑒2𝑥  𝑢 = 2𝑥 로 치환: 𝑦 = 𝑒𝑢 & 𝑢 = 2𝑥 의 합성함수  합성함수의 미분 (chain rule): 𝑑𝑦 𝑑𝑥 = 𝑑𝑦 𝑑𝑢 · 𝑑𝑢 𝑑𝑥  𝑑𝑦 𝑑𝑢 = 𝑑 𝑑𝑢 𝑒𝑢 = 𝑒𝑢 & 𝑑𝑢 𝑑𝑥 = 𝑑 𝑑𝑥 2𝑥 = 2 ∴ 𝑑𝑦 𝑑𝑥 = 𝑑𝑦 𝑑𝑢 · 𝑑𝑢 𝑑𝑥 = 𝑒 𝑢 _{∙ 2 = 2𝑒}2𝑥 (2) 𝑦 = 𝑒𝑥 ∙ 𝑠𝑖𝑛(2𝑥) 𝑑𝑦 𝑑𝑥 = 𝑑 𝑑𝑥 𝑒 𝑥 _{∙ 𝑠𝑖𝑛(2𝑥)}  두 함수의 곱의 미분: 𝑓(𝑥) ∙ 𝑔(𝑥) ′ = 𝑓′ 𝑥 ∙ 𝑔 𝑥 + 𝑓 𝑥 ∙ 𝑔′ 𝑥 ∴ _𝑑𝑥𝑑𝑦 = _𝑑𝑥𝑑 𝑒𝑥 ∙ 𝑠𝑖𝑛(2𝑥) = _𝑑𝑥𝑑 𝑒𝑥 · 𝑠𝑖𝑛(2𝑥) + 𝑒𝑥 ∙ _𝑑𝑥𝑑 𝑠𝑖𝑛(2𝑥)  𝑑 𝑑𝑥 𝑠𝑖𝑛(2𝑥) 의 계산 (Chain Rule) 𝑑 𝑑𝑥 𝑠𝑖𝑛(2𝑥) = 𝑑 𝑑𝑢 𝑠𝑖𝑛(𝑢) ∙ 𝑑𝑢 𝑑𝑥 = 2 𝑐𝑜𝑠(2𝑥) 𝐹𝑖𝑛𝑎𝑙𝑙𝑦, 𝑑𝑦_𝑑𝑥 = 𝑒𝑥 ∙ 𝑠𝑖𝑛(2𝑥) + 2𝑒𝑥 𝑐𝑜𝑠(2𝑥) = 𝑒𝑥 𝑠𝑖𝑛(2𝑥) + 2 𝑐𝑜𝑠(2𝑥)

4-1. 곡선의 접선과 법선  곡선의 접선: 𝑓(𝑥) 위의 한 점 (𝑥₁, 𝑦₁) 에서의 접선의 기울기 미분계수 𝑓′ 𝑥1  점 (𝑥₁, 𝑦₁) 에서의 접선의 방정식: 𝑦 − 𝑦₁ = 𝑓′(𝑥₁) 𝑥 − 𝑥₁  곡선의 법선: 점 (𝑥₁, 𝑦₁) 에서의 접선에 직교하는 법선의 기울기 − 1 𝑓′ _𝑥1  점 (𝑥₁, 𝑦₁) 에서의 법선의 방정식: 𝑦 − 𝑦₁ = − 1 𝑓′ _𝑥1 𝑥 − 𝑥1 4-2. 함수의 극값  함수의 증감과 도함수와의 관계  함수 𝑓(𝑥) 가 구간 [𝑎, 𝑏] 에서 증가 그 구간에서 𝑓′ 𝑥 > 0  함수 𝑓(𝑥) 가 구간 [𝑎, 𝑏] 에서 감소 그 구간에서 𝑓′ 𝑥 < 0  극대값 𝑜𝑟 극소값: 𝑓′ 𝑥 = 0 4-3. 함수의 최대와 최소  함수 𝑓(𝑥) 의 폐구간 [𝑎, 𝑏] 에서 최대 및 최소값의 판별 (1) 구간 [𝑎, 𝑏] 에서의 극대값과 극소값을 구한다. (2) 구간의 경계가 되는 함수값 𝑓(𝑎) 와 𝑓(𝑏) 를 구한다. (3) 위에서 구한 극값과 함수의 경계값의 크기를 비교  가장 큰 값: 최대값 & 가장 작은 값: 최소값

14 예시) 구간 [−3, 3] 에서 함수 𝑓 𝑥 = 𝑥3 − 12𝑥 + 8 의 최대값과 최소값을 구하라.  주어진 함수의 미분: 𝑓′(𝑥) = 3𝑥2 − 12 = 3(𝑥 + 2)(𝑥 − 2)  𝑓′ 𝑥 = 0 일 때: 𝑥 = −2 & 2  도함수 𝑓′ 𝑥 의 부호 조사  𝑥 = −2 에서 극대값: 𝑓 −2 = (−2)3_{−12 ∙ −2 + 8 = 24}  𝑥 = 2 에서 극소값: 𝑓 2 = (2)3_{−12 ∙ 2 + 8 = −8}  경계값: 𝑥 = −3 에서 𝑓 −3 = 17 & 𝑥 = 3 에서 𝑓 3 = −1 𝑥 𝑥 < −2 𝑥 = −2 −2 < 𝑥 < 2 𝑥 = 2 𝑥 > 2 𝑓′(𝑥) + 0 - 0 + 𝑓(𝑥) 극대 극소  최대값: 𝑓 −2 = 24  최소값: 𝑓 2 = −8 (도함수 𝑓′ 𝑥 ) 𝑓′ _{−2 = 0} + − + 𝑓′_{(2) = 0} (함수 𝑓 𝑥 ) 𝑓 −2 = 24: 극대값 극소값: 𝑓 2 = −8 −2 2

5. 편미분 5-1. 다변수 함수  2변수 함수: 𝑢 = 𝑓(𝑥, 𝑦) 의 형태  2개의 독립변수 𝑥, 𝑦 에 대해 종속변수 𝑢 가 정해지는 함수가 있을 때, 𝑢 는 𝑥, 𝑦 의 함수라 함.  다변수 함수: 2변수 이상의 변수를 포함하는 함수  독립변수가 𝑛 개 인 함수를 𝑛 변수 함수 𝑢 = 𝑓(𝑥₁, 𝑥₂, 𝑥₃, … , 𝑥_𝑛) 5-2. 2변수 함수의 극한  2변수 함수 𝑢 = 𝑓(𝑥, 𝑦) 에서 𝑥 → 𝑎 & 𝑦 → 𝑏 일 때, 𝑓(𝑥, 𝑦) 가 일정한 값 _{𝑐 에 한없이 접근.}  이 함수의 극한값을 𝑐 라 하고, lim 𝑥→𝑎 𝑦→𝑏 𝑓(𝑥, 𝑦) = 𝑐 5-3. 편도함수  1계 편도함수: 𝜕𝑢 𝜕𝑥 = lim_∆𝑥→0 𝑓 𝑥+∆𝑥, 𝑦 −𝑓(𝑥, 𝑦) ∆𝑥 & 𝜕𝑢 𝜕𝑦 = lim_∆𝑦→0 𝑓 𝑥, 𝑦+∆𝑦 −𝑓(𝑥, 𝑦) ∆𝑦  2계 편도함: 𝜕 𝜕𝑥 𝜕𝑢 𝜕𝑥 = 𝜕2𝑢 𝜕𝑥2, 𝜕 𝜕𝑥 𝜕𝑢 𝜕𝑦 = 𝜕2𝑢 𝜕𝑥𝜕𝑦 = 𝜕2𝑢 𝜕𝑦𝜕𝑥 , 𝜕 𝜕𝑦 𝜕𝑢 𝜕𝑦 = 𝜕2𝑢 𝜕𝑦2

16  전미분  2변수 함수 𝑢 = 𝑓(𝑥, 𝑦) 가 점 (𝑎, 𝑏) 에서 편미분 가능할 때, 전미분은 다음과 같이 정의 됨.

𝑑𝑢 = 𝜕𝑢_𝜕𝑥𝑑𝑥 +𝜕𝑢_𝜕𝑦𝑑𝑦 예제) 함수 𝑢 = 𝑓 𝑥, 𝑦 = 𝑥3 + 𝑥2𝑦3 + 𝑦4 의 1계 및 2계 편도함수와 전미분을 구하라.  1계 편도함수  𝜕𝑢 𝜕𝑥 = 𝜕 𝜕𝑥 𝑥 3 _{+ 𝑥}2_𝑦3 _{+ 𝑦}4 _{= 3𝑥}2 _{+ 2𝑥𝑦}3  𝜕𝑢 𝜕𝑦 = 𝜕 𝜕𝑦 𝑥3 + 𝑥2𝑦3 + 𝑦4 = 3𝑥2𝑦2 + 4𝑦3  2계 편도함수  𝜕 𝜕𝑥 𝜕𝑢 𝜕𝑥 = 𝜕 𝜕𝑥 3𝑥 2 _{+ 2𝑥𝑦}3 _{= 6𝑥 + 2𝑦}3 ₌ 𝜕2𝑢 𝜕𝑥2  𝜕 𝜕𝑥 𝜕𝑢 𝜕𝑦 = 𝜕 𝜕𝑥 3𝑥 2_𝑦2 _{+ 4𝑦}3 _{= 6𝑥𝑦}2 ₌ 𝜕2𝑢 𝜕𝑥𝜕𝑦  𝜕 𝜕𝑦 𝜕𝑢 𝜕𝑦 = 𝜕 𝜕𝑦 3𝑥2𝑦2 + 4𝑦3 = 3𝑥2𝑦 + 12𝑦2 = 𝜕2𝑢 𝜕𝑦2  전미분: 𝑑𝑢 = 𝜕𝑢 𝜕𝑥𝑑𝑥 + 𝜕𝑢 𝜕𝑦𝑑𝑦 = 3𝑥2 + 2𝑥𝑦3 𝑑𝑥 + (3𝑥2𝑦2 + 4𝑦3)𝑑𝑦

Ch 4. 적분 1. 부정적분의 정의 1-1. 원시함수  함수 𝑓(𝑥) 의 도함수가 𝑓′ 𝑥 로 표시될 때, 𝑓(𝑥) 를 도함수 𝑓′(𝑥)의 원시함수라 함.  부정적분: 원시함수 𝑓(𝑥) 는 𝑥 에 관한 𝑓′(𝑥) 의 부정적분 _{𝑓′ 𝑥 𝑑𝑥 = 𝑓(𝑥)}  적분 상수  함수가 상수 𝐶를 포함하는 경우 (𝑓 𝑥 + 𝐶) 도 𝑥 에 대해 미분하면, 𝑑 𝑑𝑥{𝑓 𝑥 + 𝐶} = 𝑓′ 𝑥 가 성립하여 도함수 𝑓′(𝑥) 가 같아짐.  따라서, 𝑓′(𝑥) 의 부정적분은 𝑓 𝑥 대신 𝑓 𝑥 + 𝐶 가 정확한 표현 ∴ _{𝑓′ 𝑥 𝑑𝑥 = 𝑓 𝑥 + 𝐶}  원시함수 𝑓 𝑥 + 𝐶 를 구하는 것을 𝑓′ 𝑥 의 적분이라 함.  𝐶 를 적분상수, 함수 𝑓′ 𝑥 를 피적분함수, 𝑥 를 적분변수 라함.

18 1-2. 부정적분의 기본공식 (1) 𝑘 𝑑𝑥 = 𝑘 𝑑𝑥 = 𝑘𝑥 + 𝐶 (𝑘 = 상수) (2) 𝑥𝑛 𝑑𝑥 = 𝑥𝑛+1 𝑛+1 + 𝐶 𝑛 ≠ −1 ∗∗ 𝑤ℎ𝑦 (𝑛 ≠ −1) ? (3) 1 𝑥 𝑑𝑥 = 𝑙𝑛 𝑥 + 𝐶 (4) 𝑘𝑓′(𝑥) 𝑑𝑥 = 𝑘 𝑓′(𝑥)𝑑𝑥 = 𝑘𝑓(𝑥) + 𝐶 (𝑘 = 상수) (5) 𝑓′(𝑥) ± 𝑔′(𝑥) 𝑑𝑥 = 𝑓′(𝑥)𝑑𝑥 ± 𝑔′(𝑥)𝑑𝑥 + 𝐶 예시) 다음의 부정적분을 구하라 (1) 2 𝑥 𝑑𝑥 = 2𝑙𝑛 𝑥 + 𝐶 (2) ( 𝑥2 + 2𝑥 − 3)𝑑𝑥 = 𝑥3 3 + 𝑥 2 _{− 3𝑥 + 𝐶} (3) 2𝑥 𝑥 𝑑𝑥 = 2𝑥 3 2𝑑𝑥 = 2 × 𝑥 3 2+1 3 2+1 + 𝐶 = 4 5𝑥 5 2 + 𝐶 = 4 5𝑥 2 _{𝑥 + 𝐶}

1-3. 초월함수의 부정적분  삼각함수의 부정적분 (1) 𝑠𝑖𝑛(𝑥) 𝑑𝑥 = − 𝑐𝑜𝑠(𝑥) + 𝐶 (2) 𝑐𝑜𝑠(𝑥) 𝑑𝑥 = 𝑠𝑖𝑛(𝑥) + 𝐶 (3) 𝑠𝑒𝑐2(𝑥) 𝑑𝑥 = 𝑡𝑎𝑛(𝑥) + 𝐶

(4) 𝑐𝑠𝑐2(𝑥) 𝑑𝑥 = − 𝑐𝑜𝑡(𝑥) + 𝐶 (5) 𝑠𝑒𝑐(𝑥) ∙ 𝑡𝑎𝑛(𝑥) 𝑑𝑥 = 𝑠𝑒𝑐(𝑥) + 𝐶 (6) 𝑐𝑠𝑐(𝑥) ∙ 𝑐𝑜𝑡(𝑥) 𝑑𝑥 = − 𝑐𝑠𝑐(𝑥) + 𝐶 (7) 𝑡𝑎𝑛(𝑥) 𝑑𝑥 = −𝑙𝑛 𝑐𝑜𝑠(𝑥) + 𝐶 (8) 𝑐𝑜𝑡(𝑥) 𝑑𝑥 = 𝑙𝑛 𝑠𝑖𝑛(𝑥) + 𝐶  지수함수의 부정적분 (1) 𝑒𝑥 𝑑𝑥 = 𝑒𝑥 + 𝐶 (2) 𝑒𝑎𝑥 𝑑𝑥 = 1 𝑎𝑒 𝑎𝑥 _{+ 𝐶} (3) 𝑎𝑥 𝑑𝑥 = 𝑎𝑥 𝑙𝑛 𝑎 + 𝐶 (단, 𝑎 > 0, 𝑎 ≠ 0)

20 2. 부정적분의 계산  치환 적분법  부분 적분법  부분분수 분해법 2-1. 치환적분법 (정리) (1) 치환할 함수를 결정하여 𝑡 로 치환  case 1) 𝑓(𝑎𝑥 + 𝑏) 형 치환: 𝑎𝑥 + 𝑏 = 𝑡  case 2) 𝑓 𝑔 𝑥 ∙ 𝑔′ 𝑥 형 치환: 𝑔(𝑥) = 𝑡  case 3) 함수 𝑓′ 𝑥 𝑓(𝑥) 형 치환: 𝑓(𝑥) = 𝑡 (2) 치환한 함수의 양변을 𝑥 에 대해 미분하여, 𝑑𝑥 와 𝑑𝑡 의 관계식을 구함 (3) 피적분 함수를 𝑡 로 교체하고, 𝑑𝑥 대신 𝑑𝑡 를 대입하여 𝑡 에 대해 적분 (4) 적분 후 𝑡 를 다시 𝑥의 함수로 환원

예제) 다음의 부정정분을 구하라. (1) 𝑠𝑖𝑛(6𝑥 + 5) 𝑑𝑥  치환  양변을 𝑥 에 대해 미분: 𝑑 𝑑𝑥(6𝑥 + 5) = 𝑑𝑡 𝑑𝑥 6 = 𝑑𝑡 𝑑𝑥 & 𝑑𝑥 = 1 6𝑑𝑡  𝑡 에 대해 적분: 𝑠𝑖𝑛(6𝑥 + 5) 𝑑𝑥 = 𝑠𝑖𝑛(𝑡) ∙ 1 6𝑑𝑡 = − 1 6𝑐𝑜𝑠 𝑡 + 𝐶  𝑡 = 6𝑥 + 5 로 환원: 𝑠𝑖𝑛(6𝑥 + 5) 𝑑𝑥 = −1 6𝑐𝑜𝑠 6𝑥 + 5 + 𝐶 (2) 𝑑𝑥 2𝑥+1  치환  양변을 𝑥 에 대해 미분: 𝑑 𝑑𝑥(2𝑥 + 1) = 𝑑𝑡 𝑑𝑥 2 = 𝑑𝑡 𝑑𝑥 & 𝑑𝑥 = 1 2𝑑𝑡  𝑡 에 대해 적분: 𝑑𝑥 2𝑥+1 = 1 𝑡∙ 1 2𝑑𝑡 = 1 2 1 𝑡𝑑𝑡 = 1 2 ∙ 𝑡− 12+1 −1₂+1 + C = 𝑡 1 2 + 𝐶 = 2𝑥 + 1 + 𝐶  𝑡 = 2𝑥 + 1 로 환원: 𝑑𝑥 2𝑥+1 = 𝑡 1 2 + 𝐶 = 2𝑥 + 1 + 𝐶 치환적분 case (3): 𝑓′ 𝑥 𝑓(𝑥) 형 치환적분 case (1): 𝑓(𝑎𝑥 + 𝑏) 형 6𝑥 + 5 = 𝑡 2𝑥 + 1 = 𝑡

22 2-2. 부분적분법 (integration by part) 을 적용할 수 있는 유형 정리  부분적분법: 𝑓′ 𝑥 𝑔(𝑥)𝑑𝑥 = 𝑓 𝑥 𝑔 𝑥 − 𝑓 𝑥 𝑔′(𝑥)𝑑𝑥 1) case 1: 대수함수와 지수함수의 곱  setting: 지수함수 = 𝑓′ 𝑥 & 대수함수 = 𝑔(𝑥) 2) case 2: 대수함수와 삼각함수의 곱  setting: 삼각함수 = 𝑓′ 𝑥 & 대수함수 = 𝑔(𝑥) 3) case 3: 대수함수와 로그함수의 곱  setting: 대수함수 = 𝑓′ 𝑥 & 로그함수 = 𝑔 𝑥 4) case 4: 지수함수와 삼각함수간의 곱

 1st _{setting: 삼각함수} = 𝑓′ 𝑥 & 지수함수 = 𝑔(𝑥) ₂nd _{setting: 동일하게} 𝑜𝑟

 1st _{setting: 지수함수} = 𝑓′ 𝑥 & 삼각함수 = 𝑔(𝑥) ₂nd _{setting: 동일하게}

예제) 2𝑥 ∙ 𝑐𝑜𝑠( 2𝑥 + 1) 𝑑𝑥  1st _setting: 𝑓′ 𝑥 = 𝑐𝑜𝑠(2𝑥 + 1) & 𝑔 𝑥 = 2𝑥 _{𝑓 𝑥 = 𝑐𝑜𝑠(2𝑥 + 1) 𝑑𝑥 & 𝑔}′ 𝑥 = 2  𝑓 𝑥 = 𝑐𝑜𝑠(2𝑥 + 1) 𝑑𝑥 의 계산 • 치환:

2𝑥 + 1 = 𝑡 • 𝑥 에 대한 미분: 𝑑 𝑑𝑥 2𝑥 + 1 = 𝑑𝑡 𝑑𝑥 2 = 𝑑𝑡 𝑑𝑥 & 𝑑𝑥 = 1 2𝑑𝑡 ∴ _{𝑓 𝑥 = 𝑐𝑜𝑠(2𝑥 + 1) 𝑑𝑥 = 𝑐𝑜𝑠(𝑡) ∙}1 2𝑑𝑡 = 1 2𝑠𝑖𝑛(𝑡) = 1 2𝑠𝑖𝑛(2𝑥 + 1)  부분적분 _{2𝑥 ∙ 𝑐𝑜𝑠( 2𝑥 + 1) 𝑑𝑥 = 2𝑥 ∙} 1 2𝑠𝑖𝑛 2𝑥 + 1 − 2 ∙ 1 2𝑠𝑖𝑛(2𝑥 + 1) 𝑑𝑥 = 𝑥 ∙ 𝑠𝑖𝑛(2𝑥 + 1) − 𝑠𝑖𝑛( 2𝑥 + 1) 𝑑𝑥 + 𝐶  𝐹𝑖𝑛𝑎𝑙𝑙𝑦, 2𝑥 ∙ 𝑐𝑜𝑠( 2𝑥 + 1) 𝑑𝑥 = 𝑥 ∙ 𝑠𝑖𝑛 2𝑥 + 1 − −1 2𝑐𝑜𝑠(2𝑥 + 1) + 𝐶

= 𝑥 ∙ 𝑠𝑖𝑛 2𝑥 + 1 +1₂𝑐𝑜𝑠(2𝑥 + 1) + 𝐶 𝑓(𝑎𝑥 + 𝑏) 형: 치환적분 case (1) ※ 𝑛𝑜𝑡𝑒: 𝑓(𝑎𝑥 + 𝑏) 형 (치환적분 case 1): 𝑠𝑖𝑛(2𝑥 + 1) 𝑑𝑥 = −1 2𝑐𝑜𝑠(2𝑥 + 1) case 2: 대수함수와 삼각함수의 곱

24 2-3. 부분분수(partial fraction) 분해  유리함수: 분모와 분자가 다항함수로 구성되어 있는 분수 식  부분분수 분해: 유리함수를 여러 개의 분수 식의 합과 차로 변환하여 간단한 분수 식으로 표현 예시1) 2 𝑥2₋₁ 𝑑𝑥 를 구하라  피적분 함수를 부분분수로 분해 2 𝑥2−1 = 2 (𝑥−1)(𝑥+1) = 𝐴 (𝑥−1)+ 𝐵 (𝑥+1) = 𝐴 𝑥+1 +𝐵(𝑥−1) (𝑥−1)(𝑥+1) = 𝐴+𝐵 𝑥+(𝐴−𝐵) (𝑥−1)(𝑥+1)  항등식의 미정계수 법에 의해 𝐴와 𝐵를 구하면, 𝐴 + 𝐵 = 0 𝐴 − 𝐵 = 2  𝑇ℎ𝑒𝑟𝑒𝑓𝑜𝑟𝑒

,

2 𝑥2₋₁ = 𝐴 (𝑥−1)+ 𝐵 (𝑥+1) = 1 (𝑥−1) − 1 (𝑥+1)  𝐹𝑖𝑛𝑎𝑙𝑙𝑦, 2 𝑥2−1 𝑑𝑥 = 1 𝑥−1− 1 𝑥+1 𝑑𝑥 = 1 𝑥−1 𝑑𝑥 − 1 𝑥+1 𝑑𝑥 = 𝑙𝑛 𝑥 − 1 − 𝑙𝑛 𝑥 + 1 + 𝐶 = 𝑙𝑛 𝑥−1 𝑥+1 + 𝐶

𝐴 = 1 & 𝐵 = −1

3. 정적분 3-1. 구분구적법  원의 면적: 그림에서 원에 내접하는 다각형면적의 합은 다각형이 많을 수록 원의 면적에 근접.  다각형면적의 합을 𝑠_𝑛 , 다각형 밑변의 합을 𝑙_𝑛이라 하면, 𝑠_𝑛 = ∆𝑂𝐴𝐵 × 𝑛 = 1 2 ∙ 𝐴𝐵 ∙ ℎ ∙ 𝑛 = 1 2ℎ(𝑛 ∙ 𝐴𝐵) 𝑙_𝑛 = 𝑛 ∙ 𝐴𝐵  여기서, 𝑛 → ∞ 이면, 𝑙_𝑛 → 2𝜋𝑟 & ℎ → 𝑟 ∴ lim 𝑛→∞𝑠𝑛 = lim𝑛→∞ 1 2ℎ ∙ 𝑙𝑛 = 1 2𝑟 ∙ 2𝜋𝑟 = 𝜋𝑟 2 _{= 𝑠}  구분구적법  주어진 도형을 충분히 작은 𝑛 개의 도형으로 세분화하여 그 도형에 근사 시키고,  세분된 기본 도형들의 면적을 합한 근사값의 극한을 취하여 면적 또는 체적을 구하는 방법 3-2. 정적분의 정의  함수 𝑓 𝑥 가 구간 [𝑎, 𝑏] 에서 𝑥 축과 이루는 도형의 면적을 함수 𝑓 𝑥 의 𝑎 에서

b

까지의 정적분 이라 함.  lim 𝑛→∞𝑠𝑛 = lim𝑛→∞ ∆𝑥 · 𝑓(𝑥𝑘) 𝑛 𝑘=1 = 𝑓 𝑥 𝑑𝑥_𝑎𝑏 𝑜 𝑟 𝐴 𝐵 ℎ 𝒔_𝟏 𝒔_𝟐 𝒔_𝒏 𝑠_𝑛 = 1₂ℎ ∙ 𝑙_𝑛 0 𝑥₀ 𝑥₁ 𝑥₂ … 𝑥_𝑛 𝑓 𝑥 𝑏 𝑎

26 4-4. 정적분의 치환적분  case 1) 𝑓(𝑎𝑥 + 𝑏) 형  case 2) 𝑓 𝑔 𝑥 𝑔′ 𝑥 형  case 3) 𝑓′ 𝑥 𝑓(𝑥) 형 ※ 𝑛𝑜𝑡𝑒 1 ∶ 𝑥 의 함수를 𝑡 로 치환 후 반드시 적분구간을 변경해야 함 !!! ※ 𝑛𝑜𝑡𝑒 2 ∶ 정적분에서는 적분구간을 이미 변경하였으므로, 𝑡 를 𝑥 의 함수로 환원할 필요 없음. (예시) (𝑥 − 1)1 4 0 𝑑𝑥 를 구하라.  치환: 𝑥 − 1 = 𝑡  위의 양변을 𝑥 에 대해 미분: 𝑑 𝑑𝑥 𝑥 − 1 = 𝑑𝑡 𝑑𝑥 1 = 𝑑𝑡 𝑑𝑥  구간 확인: 𝑥 = 0 𝑡 = −1 & 𝑥 = 1 𝑡 = 0 ∴ _{(𝑥 − 1)0}1 4_{𝑑𝑥 = 𝑡−1}0 4𝑑𝑡 = 𝑡5 5 −1 0 = 0 −(−1)₅ 5 = 1₅ case 1: 𝑓(𝑎𝑥 + 𝑏) 형

4-5. 정적분의 부분 적분  부분 적분법 Review 𝑓𝑏 ′ 𝑥 𝑔(𝑥) 𝑎 𝑑𝑥 = 𝑓 𝑥 𝑔(𝑥) 𝑎𝑏 − 𝑓 𝑥 𝑔′(𝑥) 𝑏 𝑎 𝑑𝑥

 case (1) 대수함수와 지수함수의 곱 setting: 지수함수 = 𝑓′ 𝑥 & 대수함수 = 𝑔(𝑥)

 case (2) 대수함수와 삼각함수의 곱 setting: 삼각함수 = 𝑓′ 𝑥 & 대수함수 = 𝑔(𝑥)

 case (3) 대수함수와 로그함수의 곱 setting: 대수함수 = 𝑓′ 𝑥 & 로그함수 = 𝑔 𝑥  case (4) 지수함수와 삼각함수의 곱 1st _{& 2}nd _{setting: 동일하게}

※ 𝑛𝑜𝑡𝑒: 치환적분과 달리 적분구간 변경이 필요없음 !!! 예시) 𝑥𝑒2 𝑥 1 𝑑𝑥 를 구하라.  setting: 𝑓′ 𝑥 = 𝑒𝑥 & 𝑔 𝑥 = 𝑥 𝑓 𝑥 = 𝑒𝑥 _{& 𝑔}′ _{𝑥 = 1} ∴ _𝑥𝑒12 𝑥 𝑑𝑥 = 𝑥𝑒𝑥 ₁2 − 𝑒₁2 𝑥 𝑑𝑥 = 2𝑒2 − 𝑒 − 𝑒𝑥 ₁2 = 2𝑒2 _{− 𝑒 − 𝑒}2 _{− 𝑒 = 𝑒}2 case 1: 대수함수와 지수함수의 곱

28 5. 정적분의 응용 5-1. 도형의 면적 (1) 𝑥 축과 곡선 사이의 면적: 𝑥 축과 곡선이 만드는 면적은 다음의 3 case 로 분류. case 1) 𝑓 𝑥 ≥ 0 인 경우: 𝑆 = 𝑓(𝑥)_𝑎𝑏 𝑑𝑥 case 2) 𝑓 𝑥 ≤ 0 인 경우: 𝑆 = − 𝑓(𝑥)𝑏 𝑎 𝑑𝑥 case 3) 일반적인 경우: 𝑆 = 𝑆₁ + 𝑆₂ = 𝑓(𝑥)_𝑎𝑐 𝑑𝑥 − 𝑓(𝑥)_𝑐𝑏 𝑑𝑥 ※ 𝑛𝑜𝑡𝑒: 정적분은 𝑥 축과 곡선 사이의 면적이 아님!!! 𝑆1 𝑦 = 𝑓(𝑥) 𝑥

(case 1) (case 2) _{(case 3)}

𝑆 𝑦 = 𝑓(𝑥) 𝑥 0 𝑆 𝑦 = 𝑓(𝑥) 𝑥 0 𝑆₂ 𝑎 𝑐 𝑏 𝑎 𝑏 𝑎 𝑏

예제) 함수 𝑦 = 𝑥2 − 4𝑥 + 3 에서 다음을 구하라. (1) 구간 0, 3 에서, 주어진 함수와 𝑥 축으로 둘러싸인 도형의 면적을 구하라.  함수 𝑦 와 𝑥 (𝑦 = 0) 축의 교점을 구하면, 𝑥2 _{− 4𝑥 + 3 = 𝑥 − 1 𝑥 − 3 = 0} ∴ 𝑥 = 1 𝑜𝑟 3 이고 , 주어진 함수의 그래프는 오른쪽 그림과 같다.  구간 0, 3 에서 도형의 면적: 𝑆 = 𝑆₁+ 𝑆₂ 𝑆₁ = 𝑥₀1 2 − 4𝑥 + 3 𝑑𝑥 = 𝑥₃3− 2𝑥2 + 3𝑥 0 1 = 1₃− 2 + 3 − 0 = 4₃ 𝑆₂ = − 𝑥₁3 2 − 4𝑥 + 3 𝑑𝑥 = −𝑥₃3+ 2𝑥2 − 3𝑥 1 3 = −27₃ + 2 × 9 − 9 − −1₃ + 2 − 3 = 4₃ ∴ 𝑆 = 𝑆₁ + 𝑆₂ = 4 3 + 4 3 = 8 3 (2) 구간 0, 3 에서, 주어진 함수의 정적분을 구하라. 𝑥3 2 _{− 4𝑥 + 3} 0 𝑑𝑥 = 𝑥3 3 − 2𝑥 2 _{+ 3𝑥} 0 3 = 27 3 − 2 × 9 + 9 − 0 = 0 𝑦 𝑥 0 −1 3 2 3 𝑺𝟏 𝑺_𝟐 1 𝑦 = 𝑥2_{− 4𝑥 + 3}

30 (2) 두 곡선 사이의 면적  그림 (A)와 같이 구간 𝑎, 𝑏 에서 두 곡선 𝑦 = 𝑓 𝑥 & 𝑦 = 𝑔 𝑥 로 둘러싸인 면적 S 는 위 그래프에서 아래 그래프를 뺀 𝑓 𝑥 − 𝑔(𝑥) 를 구간 𝑎, 𝑏 로 적분한 값.  두 곡선이 모두 𝑥 축 위 또는 아래에 있거나, 𝑥 축을 사이에 두고 있는 경우 모두 위의 공식이 성립. ∴ 구간 𝑎, 𝑏 에서𝑓 𝑥 ≥ 𝑔(𝑥) 일 때, 두 곡선 사이의 면적은? 𝑆 = 𝑓 𝑥 − 𝑔(𝑥𝑏 𝑎 𝑑𝑥 그림 (A) 𝑆 𝑦 = 𝑔(𝑥) 𝑥 0 𝑎 𝑏 𝑦 𝑦 = 𝑓(𝑥)

(3) 두 함수 𝑓 𝑥 = 𝑥3 − 2𝑥 & 𝑔 𝑥 = 𝑥2 로 둘러싸인 도형의 면적을 구하라.  주어진 두 함수의 교점을 구하면: 𝑓(𝑥) = 𝑥3 _{− 2𝑥} 𝑔(𝑥) = 𝑥2 ∴ 𝑥 𝑥 + 1 𝑥 − 2 = 0 𝑥 = −1, 0, 2  구간 −1, 0 에서 𝑓 𝑥 ≥ 𝑔 𝑥 ∴ 𝑓 𝑥 − 𝑔 𝑥 = 𝑥3 − 2𝑥 − 𝑥2  구간 [0, 2] 에서 𝑔 𝑥 ≥ 𝑓 𝑥 ∴ 𝑔 𝑥 − 𝑓 𝑥 = 𝑥2 − 𝑥3 + 2𝑥 𝐹𝑖𝑛𝑎𝑙𝑙𝑦, 𝑆 = 𝑥0 3 _{− 2𝑥 − 𝑥}2 −1 𝑑𝑥 + 𝑥2 − 𝑥3 + 2𝑥 2 0 𝑑𝑥 = 𝑥₄4− 𝑥2 −𝑥3 3 −1 0 + 𝑥₃3 −𝑥₄4 + 𝑥2 0 2 = 0 − (−1)4 4 − (−1) 2₋(−1)3 3 + 23 3 − 24 4 + 2 2 _{− 0 =} 37 12 𝑥3 − 2𝑥 = 𝑥2 𝑥3 − 𝑥2 − 2𝑥 = 0 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 -2 -1 0 1 2 3 𝑓(𝑥) = 𝑥3_{− 2𝑥} 𝑔(𝑥) = 𝑥2