벡터
1 목포해양대학교 곽 재 민 1 곽 재 민개요
|벡터
벡터
vs. 스칼라
스칼라
|직교 좌표 성분
|스칼라장
vs. 벡터장
|스칼라장
vs. 벡터장
|스칼라곱
|벡터곱
|벡터곱
|n차원 벡터
2 2벡터와 스칼라
스칼라
|스칼라
y 단일 숫자로 표현되는 간단한 양(ex:질량, 속력, 일, 에너지 등) |벡터
y 크기와 방향 성분을 갖고, 도식적으로 표현하는 것이 유용함 ( 속도 전자기력 등) (ex:속도, 전자기력 등) y 그림 7.1 3 → →≠ BA
AB
a
=
→AB
=
−
a
→BA
y 선분의 길이 : 벡터의 크기 또는 절댓값 3등가 벡터
크기와 방향이 같은 두 벡터는 등가이다
|크기와 방향이 같은 두 벡터는 등가이다
.
y 그림 7.2 → →= CD
AB
자유 벡터(f t ) y 자유 벡터(free vector) : 자유로운 평행 이동 가능(일반적으로 사용하는 대부분의 벡터) y 위치 벡터(position vector) 4 y 위치 벡터(position vector) : 공간 상의 특정 위치를 표시, 자유롭게 평행 이동할 수 없음, 항상원점 과 연결된 벡터 4벡터 합
삼각기법
|삼각기법
(triangle law)
y 그림 7.3 → →+ CD
AB
y 점 C와 점 B가 만날때 까지 를 평행 이동 그림 7 4 →CD
y 그림 7.4 → → →+
CD
AD
AB
a
+
b
=
b
+
a
5=
+
CD
AD
AB
c
b
a
+
=
(
a
+
b
)
+
c
=
a
+
(
b
+
c
)
5벡터 합
예제
차량의 이동
|예제
7.1)차량의 이동
y 그림 7.5 y 변위벡터 : A점에서 B점으로의 움직임 A B C는 위치를 나타내는 고정점 Æ 각 변위벡터들은 고정 →AB
y A,B,C는 위치를 나타내는 고정점 Æ 각 변위벡터들은 고정 → → →=
+
BC
AC
AB
y 변위벡터 와 의 결합결과 6 →AB
→BC
* 변위벡터 : 움직이는 물체의 나중 위치벡터와 처음 위치벡터의 차이 6벡터 합
예제
두 힘의 합력
|예제
7.2) 두 힘의 합력
y 그림 7.6 y 2N크기의 힘 F1은 아래쪽 수직 방향(벡터) 3N크기의 힘 F 는 오른쪽 수평 방향(벡터) y 3N크기의 힘 F2는 오른쪽 수평 방향(벡터) y 삼각 기법을 이용한 두 힘의 합 F F R = + | 방향: 수직에 대한 θ의 각도 | 크기: 7 2 1 F F R = + 1 3 tan , tan (3 / 2) 2 θ = θ = − N N 13 3 22 + 2 = | 크기: 2 +3 N 13N 7벡터 차
(벡터차는 한 벡터와 음의 벡터의 합)
( )
b a b a − = + − y 그림 7.10( )
b a b a = +( )
→ → − + = − = − → = AD DA b a b a b b( )
→ → − + = − = − → = AB BA a b a b a a( )
→ → → → + = + = AB DA DA AB( )
→ → → → + = + AD BA BA AD a b a b 그림7.11 그림7.12 8 → = + DB AB DA → = + = BD AD BA 8벡터 차
y 그림 7.14 P Q R p q 예제 7 7) 그림 14의 OPQR사면체에 대해 O r y 예제 7.7) 그림 14의 OPQR사면체에 대해, 벡터를 이용하여 를 표현하시오. , p q r, JJJG JJJG JJJGPQ QR RP, , 9 9스칼라에 의한 벡터 곱셈
스칼라 배
|스칼라 배
(scalar multiple)
y : 벡터 의 크기가 k배 됨(k는 임의의 양의 스칼라값
) 그림ka
a
y 그림 7.16 |임의의 스칼라
k, l
과
임의의 벡터
a
와
b
에 대해
(
a
b
)
k
a
k
b
k
+
=
+
10(
)
(
)
( )
a
a
a
b
a
b
a
l
k
l
k
k
k
k
+
=
+
+
=
+
10( )
l
a
kl
a
k
=
스칼라에 의한 벡터 곱셈
예제
→ → |예제
y 그림 7.17 : 을 와 로 표현하시오. → → → CM CA AC, ,a
b
b a = = BC AB , A M C B • Ma
b
= + → → → AC BC AB = + → → → BM CB CM 11(
b)
b a+ = → → → AC CA AC ⎞ ⎛ − = = → → → a 1 2 1 2 1 BA BM 11(
a+b)
− = − = AC CA ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛− + − = b a 2 1 CM단위벡터와 직교벡터
단위벡터
길이 크기가 인 벡터
|단위벡터
(unit vector : 길이, 크기가 1인 벡터)
y 길이가 1인 벡터a
a
a
ˆ
=
: 의 길이a
a
a
|직교벡터
(orthogonal vector)
b
y 두 벡터 와 의 사이각이 90°일 경우 (두 벡터가 수직일 경우) y 두 벡터는 직교(orthogonal)한다고 말함a
b
|연습문제
7.2) 2번문제 연습
12 12직교 좌표 성분
|직교 좌표의 단위 벡터
y x축의 단위벡터i
j
y y축의 단위벡터 y 그림 7.19 점 의 직교좌표j
|점 P의 직교좌표 (x, y) |벡터 OP는 점 P의 위치벡터 → i x OM = → j y MP = → r = → OP r = r 13 i x OM = MP = yj j i r = OP = OM + MP = x + y → → →( )
OP x OP ⎜⎛ ⎟⎞ → → OP → = r 벡터 의 두가지 표현법 13 2 2 y x r = +( )
x y OP y OP ⎟⎟, = = , ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ = = r r직교 좌표 성분
|예제
7.9) 점 A의 좌표가 (5,4)이고 B의 좌표가(-3,2)라 가정.
y점
A의 위치벡터는
? y점
B의 위치벡터는
? y벡터
AB와 이 벡터의 크기
는
? → | AB | → 14 14직교 좌표 성분
그림
|그림
7.21
→ →(
1 1) (
2 2)
2 1 2 1 , a b a b AB b b OB a a OA − + − = − = + = = + = = → → → j i a b j i b j i a(
) (
)
(
b1 a1) (
b2 a2)
AB = − = − + − → j i a b 15(
) (
)
2 2 2 2 1 1 a b a b − + − = 153차원 직교 좌표 성분
그림
|그림
7.22
k j i r x y z OP = = + + → j y(
2 2)
2 2 2 BP OB + = r(
2 2)
2 z y x + + = → →(
) (
) (
)
1 2 3 1 2 3 1 1 2 2 3 3 , OA a a a OB b b b AB b a b a b a → → → = = + + = = + + = − = − + − + − a i j k b i j k b a(
) (
i) (
j)
k(
) (
) (
)
1 1 2 2 3 3 1 1 2 2 3 3 AB b a b a b a → = − = − + − + − j b a i j k 16(
) (
2) (
2)
2 1 1 2 2 3 3 b a b a b a = − + − + − 163차원 직교 좌표 성분
예제
일때
|예제
7.12) 일때,
y (a) (b) 3 2 , 2 5 = + + = − + − a i j k b i j k ? = a ˆ ? y (b) y (c) y (d) ˆ = ? a ˆ = ? b ? = b y (d) y (e) y (f) ? = b ? = b - a ? = b - a ( ) 17 17영벡터
영벡터
모든 방향의 성분 크기 이 인 벡터
|영벡터
(zero vector) : 모든 방향의 성분(크기)이 0인 벡터
y 길이가 0이며, 임의의 방향을 가짐 스칼라 0과 벡터 는 구분하여야 함 O O y 스칼라 0과 벡터 O는 구분하여야 함 18 18선형조합
, 종속, 그리고 독립
선형 조합
|선형 조합
(linear combination)
임의의 스칼라곱을 한 벡터들의 합 b a c = k1 + k2 y 임의의 스칼라곱을 한 벡터들의 합 y 선형조합은 스칼라곱과 벡터합으로만 구성 c는 a와 b에 대하여 선형 종속 y c는 a와 b에 대하여 선형 종속 |선형 종속
|선형 종속
y 벡터집합 {a, b, c}는 선형 종속 1 k 0 , 1 1 1 2 1 ≠ − = k k k k c b a 1 k 19 b a c = k1 + k2 0 , 1 2 2 1 2 ≠ − = k k k k c a b 19선형조합
, 종속, 그리고 독립
|선형 종속과 독립의 정의
|선형 종속과 독립의 정의
y 만약 다음 식을 만족하는 영이 아닌 스칼라 상수 k1, k2, … , kn들이 존재하면, n개의 벡터로 구성된 집합 {a1, a2, … , an}은 선형 종속 이다 이다.0
a
a
a
+
k
+
+
k
n n=
k
1 1 2 2...
y 만약 모든 ki가 영이 되어야만 위의 식이 성립할 경우, 주어진 벡터들 의 집합은 선형 독립 (linearly independent)이라고 한다. 의 집합은 선형 독립 ( y p )이라고 한다 |예제
7.14) 단위벡터 i와 단위벡터j가 선형독립임을 증명하라.
|예제
7.15) 다음벡터들은 선형독립인가 선형 종속인가?
20 1 5 13 ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ 20 2 1 1 5 9 21 ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟− ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠스칼라장과 벡터장
스칼라장의 예
|스칼라장의 예
y 공기로 채워진 방에서 (x,y,z)로 표시된 위치에서의 온도 φ를 고려하면 φ φ( ) 위치의 함수 y φ= φ(x,y,z) : 위치의 함수 y 온도는 스칼라 |벡터장의 예
y 유체의 이동 시유체의 이동 시 P(x y z)에서의 유체의 속도P(x,y,z)에서의 유체의 속도 y 벡터장(
v v vx, y, z)
: = v(
x, y, z)
위치의 함수위치의 함수 k j i v = vx +vy +vz 21 21스칼라곱
스칼라곱 내적
|
스칼라곱
(내적 : scala product, inner product)
y 스칼라곱의 결과는 스칼라 그림 7 25 y 그림 7.25 θ cos b a b a⋅ =
( ) (
a b a b)
a b b a ⋅ = ⋅ ⋅ = ⋅ k k( ) (
)
(
a b)
c a c b c b a b a ⋅ + ⋅ = ⋅ + ⋅ = ⋅ k k y 벡터 a와 b가 평행하면 a⋅b = a b y 벡터 a와 b가 직교하면 a⋅b = 0 1 = ⋅ = ⋅ = ⋅i j j k k i 22 0 1 = ⋅ = ⋅ = ⋅j j k k i i k k j j i i 22스칼라곱
예제
일 때
b와
|예제
7.19) 일 때, 와
a = a1i + a2j+ a3k, b = b1i +b2j+b3k a⋅b?
(
) (
)
(
2 3)
1 2(
3)
1 b b b b b b b b b a a a + + + + + + + ⋅ + + = ⋅ k j i j k j i i k j i k j i b a a a⋅(
)
(
)
(
)
3 1 2 1 1 1 3 2 1 3 3 2 1 2 3 2 1 1 b a b a b a b b b a b b b a b b b a ⋅ + ⋅ + ⋅ = + + ⋅ + + + ⋅ + + + ⋅ = k i j i i i k j i k k j i j k j i i 3 3 2 3 1 3 3 2 2 2 1 2 3 1 2 1 1 1 b a b a b a b a b a b a b a b a b a ⋅ + ⋅ + ⋅ + ⋅ + ⋅ + ⋅ + + + k k j k i k k j j j i j k i j i i i 3 3 2 2 1 1b a b a b a + + = 2 2 2 2 a a a⋅ = a + a + a = |예제
7.21) 일때,
3 2 1 a a a = a + a + a = 23 1 2 3 a a a = + + a i j k a a⋅ = ? a 2 = ? |예제
7.22) 두 벡터의 사이각을 구해보시오(책 참고)
23벡터곱
와 의 벡터 곱 외적
|
a와 b의 벡터 곱(외적 : vector product, outer product)
e b a b a× = sinθ ˆ y 오른손 회전 법칙 그림 7 29 그림 7 30 , a b 두 벡터 에 수직인 단위벡터 y 그림 7.29, 그림 7.30 b b b a 24 b a× ≠ × 24
