우석대학교 에너지전기공학과

강의 (28)

우석대학교 에너지전기공학과

이우금 교수

결강 보강 결강사유 일시 수업 일시 수업 10월9일 (수) 3교시 12월18일 (수) 3교시 (기말시험) 한글날 휴무 <퀴즈 make up 계획>  대상: 결석으로 퀴즈(1~6) 를 못 본 학생  일시: 12월11일 (수) 까지  문자 또는 전화로 일정 조절

4-1. 곡선의 접선과 법선  곡선의 접선:

𝑓(𝑥)

위의 한 점

(𝑥

₁

, 𝑦

₁

)

에서의 접선의 기울기 미분계수 𝑓′ _𝑥 1  점

(𝑥

₁

, 𝑦

₁

)

에서의 접선의 방정식:

_{𝑦 − 𝑦}

₁

_{= 𝑓′(𝑥}

₁

_{) 𝑥 − 𝑥}

₁  곡선의 법선: 점

(𝑥

₁

, 𝑦

₁

)

에서의 접선에 직교하는 법선의 기울기

₋

1 𝑓′ 𝑥₁  점

(𝑥

1

, 𝑦

1

)

에서의 법선의 방정식:

𝑦 − 𝑦

1

= −

1 𝑓′ 𝑥₁

𝑥 − 𝑥

1 4-2. 함수의 극값  함수의 증감과 도함수와의 관계  함수

𝑓(𝑥)

가 구간

[𝑎, 𝑏]

에서 증가 그 구간에서

𝑓′ 𝑥 > 0

 함수

𝑓(𝑥)

가 구간

[𝑎, 𝑏]

에서 감소 그 구간에서

𝑓

′

𝑥 < 0

 극대값

𝑜𝑟

극소값:

𝑓

′

𝑥 = 0

4-3. 함수의 최대와 최소  함수

𝑓(𝑥)

의 폐구간

[𝑎, 𝑏]

에서 최대 및 최소값의 판별 (1) 구간 [𝑎, 𝑏] 에서의 극대값과 극소값을 구한다. (2) 구간의 경계가 되는 함수값 𝑓(𝑎) 와 𝑓(𝑏) 를 구한다. (3) 위에서 구한 극값과 함수의 경계값의 크기 비교  가장 큰 값: 최대값 & 가장 작은 값: 최소값 <기말시험 총정리>

예시) 구간

[−3, 3]

에서 함수

𝑓 𝑥 = 𝑥

3

− 12𝑥 + 8

의 최대값과 최소값을 구하라.  주어진 함수의 미분:

𝑓

′

(𝑥) = 3𝑥

2

− 12 = 3(𝑥 + 2)(𝑥 − 2)



𝑓

′

𝑥 = 0

일 때:

_{𝑥 = −2 & 2}

 도함수

𝑓

′

𝑥

의 부호 조사 

𝑥 = −2

에서 극대값: 𝑓 −2 = (−2)3_{−12 ∙ −2 + 8 = 24} 

𝑥 = 2

에서 극소값: 𝑓 2 = (2)3_{−12 ∙ 2 + 8 = −8}  경계값:

𝑥 = −3

에서

_{𝑓 −3 = 17 & 𝑥 = 3}

에서

_{𝑓 3 = −1}

𝑥

𝑥 < −2

𝑥 = −2

−2 < 𝑥 < 2

𝑥 = 2

𝑥 > 2

𝑓′(𝑥)

+

0

-

0

+

𝑓(𝑥)

극대 극소  최대값:

𝑓 −2 = 24

 최소값:

𝑓 2 = −8

(도함수

𝑓

′

𝑥

) 𝑓′ −2 = 0

+

−

+

𝑓′(2) = 0 (함수

𝑓 𝑥

) 𝑓 −2 = 24: 극대값 극소값: 𝑓 2 = −8 −2 2

5. 편미분 5-1. 다변수 함수  2변수 함수:

𝑢 = 𝑓(𝑥, 𝑦)

의 형태  2개의 독립변수

𝑥, 𝑦

에 대해 종속변수

𝑢

가 정해지는 함수가 있을 때,

𝑢

는

𝑥, 𝑦

의 함수라 함.  다변수 함수: 2변수 이상의 변수를 포함하는 함수  독립변수가

𝑛

개 인 함수를

_𝑛

변수 함수

𝑢 = 𝑓(𝑥

₁

, 𝑥

₂

, 𝑥

₃

, … , 𝑥

_𝑛

)

5-2. 2변수 함수의 극한  2변수 함수

𝑢 = 𝑓(𝑥, 𝑦)

에서

_{𝑥 → 𝑎 & 𝑦 → 𝑏}

일 때,

_{𝑓(𝑥, 𝑦)}

가 일정한 값 𝑐 에 한없이 접근.  이 함수의 극한값을

𝑐

라 하고, _𝑥→𝑎

lim

𝑦→𝑏

𝑓 𝑥, 𝑦

= 𝑐

5-3. 편도함수  1계 편도함수: 𝜕𝑢 𝜕𝑥

= lim

_∆𝑥→0 𝑓 𝑥+∆𝑥, 𝑦 −𝑓(𝑥, 𝑦) ∆𝑥

&

𝜕𝑢 𝜕𝑦

= lim

_∆𝑦→0 𝑓 𝑥, 𝑦+∆𝑦 −𝑓(𝑥, 𝑦) ∆𝑦

 2계 편도함: 𝜕 𝜕𝑥 𝜕𝑢 𝜕𝑥

=

𝜕2𝑢 𝜕𝑥2

,

𝜕 𝜕𝑥 𝜕𝑢 𝜕𝑦

=

𝜕2𝑢 𝜕𝑥𝜕𝑦

=

𝜕2𝑢 𝜕𝑦𝜕𝑥

,

𝜕 𝜕𝑦 𝜕𝑢 𝜕𝑦 = 𝜕2𝑢 𝜕𝑦2

 전미분  2변수 함수

𝑢 = 𝑓(𝑥, 𝑦)

가 점

(𝑎, 𝑏)

에서 편미분 가능할 때, 전미분은 다음과 같이 정의 됨.

𝑑𝑢 =

𝜕𝑢 𝜕𝑥

𝑑𝑥 +

𝜕𝑢 𝜕𝑦

𝑑𝑦

예제) 함수

_{𝑢 = 𝑓 𝑥, 𝑦 = 𝑥}

3

_{+ 𝑥}

2

_𝑦

3

_{+ 𝑦}

4 의 1계 및 2계 편도함수와 전미분을 구하라.  1계 편도함수  𝜕𝑢 𝜕𝑥

=

𝜕 𝜕𝑥

𝑥

3

_{+ 𝑥}

2

_𝑦

3

_{+ 𝑦}

4

_{= 3𝑥}

2

_{+ 2𝑥𝑦}

3

 𝜕𝑢 𝜕𝑦

=

𝜕 𝜕𝑦

𝑥

3

_{+ 𝑥}

2

_𝑦

3

_{+ 𝑦}

4

_{= 3𝑥}

2

_𝑦

2

_{+ 4𝑦}

3  2계 편도함수  𝜕 𝜕𝑥 𝜕𝑢 𝜕𝑥

=

𝜕 𝜕𝑥

3𝑥

2

_{+ 2𝑥𝑦}

3

_{= 6𝑥 + 2𝑦}

3

₌

𝜕2𝑢 𝜕𝑥2  𝜕 𝜕𝑥 𝜕𝑢 𝜕𝑦

=

𝜕 𝜕𝑥

3𝑥

2

_𝑦

2

_{+ 4𝑦}

3

_{= 6𝑥𝑦}

2

₌

𝜕2𝑢 𝜕𝑥𝜕𝑦

 𝜕 𝜕𝑦 𝜕𝑢 𝜕𝑦

=

𝜕 𝜕𝑦

3𝑥

2

_𝑦

2

_{+ 4𝑦}

3

_{= 3𝑥}

2

_{𝑦 + 12𝑦}

2

₌

𝜕2𝑢 𝜕𝑦2  전미분:

𝑑𝑢 =

𝜕𝑢 𝜕𝑥

𝑑𝑥 +

𝜕𝑢 𝜕𝑦

𝑑𝑦 = 3𝑥

2

_{+ 2𝑥𝑦}

3

_{𝑑𝑥 + (3𝑥}

2

_𝑦

2

_{+ 4𝑦}

3

_)𝑑𝑦

Ch 4. 적분 1. 부정적분의 정의 1-1. 원시함수  함수

𝑓(𝑥)

의 도함수가

_{𝑓′ 𝑥}

로 표시될 때,

_𝑓(𝑥)

를 도함수

_{𝑓′(𝑥)}

의 원시함수라 함.  부정적분: 원시함수

𝑓(𝑥)

는

_𝑥

에 관한

_{𝑓′(𝑥)}

의 부정적분

𝑓′ 𝑥 𝑑𝑥 = 𝑓(𝑥)

 적분 상수  함수가 상수

𝐶

를 포함하는 경우 (

_{𝑓 𝑥 + 𝐶)}

도

_𝑥

에 대해 미분하면,

𝑑 𝑑𝑥

𝑓 𝑥 + 𝐶 = 𝑓′ 𝑥

가 성립하여 도함수

𝑓′(𝑥)

가 같아짐.  따라서,

𝑓′(𝑥)

의 부정적분은

_{𝑓 𝑥}

대신

_{𝑓 𝑥 + 𝐶}

가 정확한 표현

∴

_{𝑓′ 𝑥 𝑑𝑥 = 𝑓 𝑥 + 𝐶}

 원시함수

𝑓 𝑥 + 𝐶

를 구하는 것을

𝑓′ 𝑥

의 적분이라 함. 

𝐶

를 적분상수, 함수

_{𝑓′ 𝑥}

를 피적분함수,

_𝑥

를 적분변수 라함.

1-2. 부정적분의 기본공식 (1)

_{𝑘 𝑑𝑥 = 𝑘 𝑑𝑥 = 𝑘𝑥 + 𝐶 (𝑘 =}

상수) (2)

_𝑥

𝑛

𝑑𝑥 =

𝑥𝑛+1 𝑛+1

+ 𝐶 𝑛 ≠ −1

∗∗

𝑤ℎ𝑦 (𝑛 ≠ −1) ?

(3) 1 𝑥

𝑑𝑥 = 𝑙𝑛 𝑥 + 𝐶

(4)

_{𝑘𝑓′ 𝑥 𝑑𝑥 = 𝑘 𝑓′ 𝑥 𝑑𝑥 = 𝑘𝑓(𝑥) + 𝐶 (𝑘 =}

상수) (5)

_{𝑓′(𝑥) ± 𝑔′ 𝑥 𝑑𝑥 = 𝑓′ 𝑥 𝑑𝑥 ± 𝑔′ 𝑥 𝑑𝑥 + 𝐶}

예시) 다음의 부정적분을 구하라 (1) 2 𝑥

𝑑𝑥 = 2𝑙𝑛 𝑥 + 𝐶

(2)

_{( 𝑥}

2

+ 2𝑥 − 3)𝑑𝑥 =

𝑥3 3

+ 𝑥

2

_{− 3𝑥 + 𝐶}

(3)

_{2𝑥 𝑥 𝑑𝑥 = 2𝑥}

3 2

𝑑𝑥 = 2 ×

𝑥 3 2+1 3 2+1

+ 𝐶 =

4 5

𝑥

5 2

+ 𝐶 =

4 5

𝑥

2

_{𝑥 + 𝐶}

1-3. 초월함수의 부정적분  삼각함수의 부정적분 (1)

_{𝑠𝑖𝑛(𝑥) 𝑑𝑥 = − 𝑐𝑜𝑠(𝑥) + 𝐶}

(2)

_{𝑐𝑜𝑠(𝑥) 𝑑𝑥 = 𝑠𝑖𝑛(𝑥) + 𝐶}

(3)

_𝑠𝑒𝑐

2

(𝑥) 𝑑𝑥 = 𝑡𝑎𝑛(𝑥) + 𝐶

(4)

_𝑐𝑠𝑐

2

(𝑥) 𝑑𝑥 = − 𝑐𝑜𝑡(𝑥) + 𝐶

(5)

_{𝑠𝑒𝑐(𝑥) ∙ 𝑡𝑎𝑛(𝑥) 𝑑𝑥 = 𝑠𝑒𝑐(𝑥) + 𝐶}

(6)

_{𝑐𝑠𝑐(𝑥) ∙ 𝑐𝑜𝑡(𝑥) 𝑑𝑥 = − 𝑐𝑠𝑐(𝑥) + 𝐶}

(7)

_{𝑡𝑎𝑛(𝑥) 𝑑𝑥 = −𝑙𝑛 𝑐𝑜𝑠(𝑥) + 𝐶}

(8)

_{𝑐𝑜𝑡(𝑥) 𝑑𝑥 = 𝑙𝑛 𝑠𝑖𝑛(𝑥) + 𝐶}

 지수함수의 부정적분 (1)

𝑒

𝑥

𝑑𝑥 = 𝑒

𝑥

+ 𝐶

(2)

_𝑒

𝑎𝑥

_{𝑑𝑥 =}

1 𝑎

𝑒

𝑎𝑥

_{+ 𝐶}

(3)

_𝑎

𝑥

_{𝑑𝑥 =}

𝑎𝑥 𝑙𝑛 𝑎

+ 𝐶

(단,

𝑎 > 0, 𝑎 ≠ 0)

2. 부정적분의 계산  치환 적분법  부분 적분법  부분분수 분해법 2-1. 치환적분법 (정리) (1) 치환할 함수를 결정하여

_𝑡

로 치환  case 1)

𝑓(𝑎𝑥 + 𝑏)

형 치환:

_{𝑎𝑥 + 𝑏 = 𝑡}

 case 2)

𝑓 𝑔 𝑥

∙ 𝑔

′

𝑥

형 치환:

_{𝑔(𝑥) = 𝑡}

 case 3) 함수 𝑓′ 𝑥 𝑓(𝑥) 형 치환:

𝑓(𝑥) = 𝑡

(2) 치환한 함수의 양변을

_𝑥

에 대해 미분하여,

_𝑑𝑥

와

_𝑑𝑡

의 관계식을 구함 (3) 피적분 함수를

𝑡

로 교체하고,

𝑑𝑥

대신

𝑑𝑡

를 대입하여

𝑡

에 대해 적분 (4) 적분 후

_𝑡

를 다시

_𝑥

의 함수로 환원

예제) 다음의 부정정분을 구하라. (1)

_{𝑠𝑖𝑛(6𝑥 + 5) 𝑑𝑥}

 치환  양변을

𝑥

에 대해 미분: 𝑑 𝑑𝑥

(6𝑥 + 5) =

𝑑𝑡 𝑑𝑥

6 =

𝑑𝑡 𝑑𝑥

& 𝑑𝑥 =

1 6

𝑑𝑡



𝑡

에 대해 적분:

_{𝑠𝑖𝑛(6𝑥 + 5) 𝑑𝑥 = 𝑠𝑖𝑛(𝑡) ∙}

1 6

𝑑𝑡 = −

1 6

𝑐𝑜𝑠 𝑡 + 𝐶



𝑡 = 6𝑥 + 5

로 환원:

_{𝑠𝑖𝑛(6𝑥 + 5) 𝑑𝑥 = −}

1 6

𝑐𝑜𝑠 6𝑥 + 5 + 𝐶

(2) 𝑑𝑥 2𝑥+1  치환  양변을

𝑥

에 대해 미분: 𝑑 𝑑𝑥

(2𝑥 + 1) =

𝑑𝑡 𝑑𝑥

2 =

𝑑𝑡 𝑑𝑥

& 𝑑𝑥 =

1 2

𝑑𝑡



𝑡

에 대해 적분

:

𝑑𝑥 2𝑥+1

=

1 𝑡

∙

1 2

𝑑𝑡 =

1 2 1 𝑡

𝑑𝑡 =

1 2

∙

𝑡− 1 2+1 −1 2+1

+ C = 𝑡

12

+ 𝐶 = 2𝑥 + 1 + 𝐶



𝑡 = 2𝑥 + 1

로 환원: 𝑑𝑥 2𝑥+1

= 𝑡

1 2

+ 𝐶 = 2𝑥 + 1 + 𝐶

치환적분 case (3): 𝑓′ 𝑥 𝑓(𝑥)

형

치환적분 case (1):

𝑓(𝑎𝑥 + 𝑏)

형

6𝑥 + 5 = 𝑡

2𝑥 + 1 = 𝑡

2-2. 부분적분법 (integration by part) 을 적용할 수 있는 유형 정리  부분적분법:

𝑓

′

𝑥 𝑔(𝑥)𝑑𝑥 = 𝑓 𝑥 𝑔 𝑥 − 𝑓 𝑥 𝑔′(𝑥)𝑑𝑥

1) case 1: 대수함수와 지수함수의 곱  setting: 지수함수

= 𝑓

′

𝑥

&

대수함수

= 𝑔(𝑥)

2) case 2: 대수함수와 삼각함수의 곱  setting: 삼각함수

= 𝑓

′

𝑥

&

대수함수

= 𝑔(𝑥)

3) case 3: 대수함수와 로그함수의 곱  setting: 대수함수

= 𝑓

′

𝑥 &

로그함수

= 𝑔 𝑥

4) case 4: 지수함수와 삼각함수간의 곱

 1st _{setting: 삼각함수}

_{= 𝑓}

′

_{𝑥 &}

지수함수

_{= 𝑔(𝑥)}

₂nd _{setting: 동일하게}

𝑜𝑟

 1st _{setting: 지수함수}

_{= 𝑓}

′

_{𝑥 &}

삼각함수

_{= 𝑔(𝑥)}

₂nd _{setting: 동일하게}

※ 1𝑠𝑡 𝑠𝑒𝑡𝑡𝑖𝑛𝑔 & 2𝑛𝑑 𝑠𝑒𝑡𝑡𝑖𝑛𝑔 𝑠ℎ𝑜𝑢𝑙𝑑 𝑏𝑒 𝑐𝑜𝑛𝑠𝑖𝑠𝑡𝑎𝑛𝑐𝑡‼

예제)

_{2𝑥 ∙ 𝑐𝑜𝑠( 2𝑥 + 1) 𝑑𝑥}

 1st _setting:

_𝑓

′

_{𝑥 = 𝑐𝑜𝑠(2𝑥 + 1) & 𝑔 𝑥 = 2𝑥}

𝑓 𝑥 = 𝑐𝑜𝑠(2𝑥 + 1) 𝑑𝑥 & 𝑔

′

_{𝑥 = 2}



_{𝑓 𝑥 = 𝑐𝑜𝑠(2𝑥 + 1) 𝑑𝑥}

의 계산 • 치환:

2𝑥 + 1 = 𝑡

•

𝑥

에 대한 미분: 𝑑 𝑑𝑥

2𝑥 + 1 =

𝑑𝑡 𝑑𝑥

2 =

𝑑𝑡 𝑑𝑥

& 𝑑𝑥 =

1 2

𝑑𝑡

∴

_{𝑓 𝑥 = 𝑐𝑜𝑠(2𝑥 + 1) 𝑑𝑥 = 𝑐𝑜𝑠(𝑡) ∙}

1 2

𝑑𝑡 =

1 2

𝑠𝑖𝑛(𝑡) =

1 2

𝑠𝑖𝑛(2𝑥 + 1)

 부분적분

2𝑥 ∙ 𝑐𝑜𝑠( 2𝑥 + 1) 𝑑𝑥 = 2𝑥 ∙

1₂

𝑠𝑖𝑛 2𝑥 + 1 − 2 ∙

1₂

𝑠𝑖𝑛(2𝑥 + 1) 𝑑𝑥

= 𝑥 ∙ 𝑠𝑖𝑛(2𝑥 + 1) − 𝑠𝑖𝑛( 2𝑥 + 1) 𝑑𝑥 + 𝐶



𝐹𝑖𝑛𝑎𝑙𝑙𝑦, 2𝑥 ∙ 𝑐𝑜𝑠( 2𝑥 + 1) 𝑑𝑥 = 𝑥 ∙ 𝑠𝑖𝑛 2𝑥 + 1 − −

1 2

𝑐𝑜𝑠(2𝑥 + 1) + 𝐶

= 𝑥 ∙ 𝑠𝑖𝑛 2𝑥 + 1 +

1

𝑐𝑜𝑠(2𝑥 + 1) + 𝐶

𝑓(𝑎𝑥 + 𝑏)

형: 치환적분 case (1) ※

𝑛𝑜𝑡𝑒: 𝑓(𝑎𝑥 + 𝑏)

형 (치환적분 case 1):

_{𝑠𝑖𝑛(2𝑥 + 1) 𝑑𝑥 = −}

1 2

𝑐𝑜𝑠(2𝑥 + 1)

case 2: 대수함수와 삼각함수의 곱

2-3. 부분분수(partial fraction) 분해  유리함수: 분모와 분자가 다항함수로 구성되어 있는 분수 식  부분분수 분해: 유리함수를 여러 개의 분수 식의 합과 차로 변환하여 간단한 분수 식으로 표현 예시1) 2 𝑥2−1

𝑑𝑥

를 구하라  피적분 함수를 부분분수로 분해 2 𝑥2−1

=

2 (𝑥−1)(𝑥+1)

=

𝐴 (𝑥−1)

+

𝐵 (𝑥+1)

=

𝐴 𝑥+1 +𝐵(𝑥−1) (𝑥−1)(𝑥+1)

=

𝐴+𝐵 𝑥+(𝐴−𝐵) (𝑥−1)(𝑥+1)  항등식의 미정계수 법에 의해

𝐴

와

𝐵

를 구하면,

𝐴 + 𝐵 = 0

𝐴 − 𝐵 = 2



𝑇ℎ𝑒𝑟𝑒𝑓𝑜𝑟𝑒

,

2 𝑥2−1

=

𝐴 (𝑥−1)

+

𝐵 (𝑥+1)

=

1 (𝑥−1)

−

1 (𝑥+1) 

_{𝐹𝑖𝑛𝑎𝑙𝑙𝑦,}

2 𝑥2−1

𝑑𝑥 =

1 𝑥−1

−

1 𝑥+1

𝑑𝑥 =

1 𝑥−1

𝑑𝑥 −

1 𝑥+1

𝑑𝑥

= 𝑙𝑛 𝑥 − 1 − 𝑙𝑛 𝑥 + 1 + 𝐶 =

𝑙𝑛

𝑥−1 𝑥+1

+ 𝐶

𝐴 = 1 & 𝐵 = −1

3. 정적분 3-1. 구분구적법  원의 면적: 그림에서 원에 내접하는 다각형면적의 합은 다각형이 많을 수록 원의 면적에 근접.  다각형면적의 합을

𝑠

_𝑛 , 다각형 밑변의 합을

_𝑙

_𝑛이라 하면,

𝑠

_𝑛

= ∆𝑂𝐴𝐵 × 𝑛 =

1 2

∙ 𝐴𝐵 ∙ ℎ ∙ 𝑛 =

1 2

ℎ(𝑛 ∙ 𝐴𝐵)

𝑙

_𝑛

= 𝑛 ∙ 𝐴𝐵

 여기서,

𝑛 → ∞

이면,

𝑙

_𝑛

→ 2𝜋𝑟 & ℎ → 𝑟

_{∴ lim}

𝑛→∞

𝑠

𝑛

= lim

𝑛→∞ 1 2

ℎ ∙ 𝑙

𝑛

=

1 2

𝑟 ∙ 2𝜋𝑟 = 𝜋𝑟

2

_{= 𝑠}

 구분구적법  주어진 도형을 충분히 작은 𝑛 개의 도형으로 세분화하여 그 도형에 근사 시키고,  세분된 기본 도형들의 면적을 합한 근사값의 극한을 취하여 면적 또는 체적을 구하는 방법 3-2. 정적분의 정의  함수

𝑓 𝑥

가 구간

_{[𝑎, 𝑏]}

에서

_𝑥

축과 이루는 도형의 면적을 함수

_{𝑓 𝑥}

의

_𝑎

에서

b

까지의 정적분 이라 함. 

lim

𝑠

_𝑛

= lim

∆𝑥 ·

𝑛_𝑘=1

𝑓(𝑥

_𝑘

)

= 𝑓 𝑥

𝑏

𝑑𝑥

𝑜

𝑟 𝐴 𝐵 ℎ 𝒔_𝟏 𝒔_𝟐 𝒔_𝒏

𝑠

_𝑛

=

1 2

ℎ ∙ 𝑙

𝑛

𝑓 𝑥

𝑏 𝑎

4-4. 정적분의 치환적분  case 1)

𝑓(𝑎𝑥 + 𝑏)

형  case 2)

𝑓 𝑔 𝑥 𝑔

′

𝑥

형  case 3) 𝑓′ 𝑥 𝑓(𝑥) 형 ※

𝑛𝑜𝑡𝑒 1 ∶ 𝑥

의 함수를

𝑡

로 치환 후 반드시 적분구간을 변경해야 함 !!! ※

𝑛𝑜𝑡𝑒 2 ∶

정적분에서는 적분구간을 이미 변경하였으므로,

𝑡

를

𝑥

의 함수로 환원할 필요 없음. (예시)

_{(𝑥 − 1)}

1 4 0

𝑑𝑥

를 구하라.  치환:

𝑥 − 1 = 𝑡

 위의 양변을

𝑥

에 대해 미분: 𝑑 𝑑𝑥

𝑥 − 1 =

𝑑𝑡 𝑑𝑥

1 =

𝑑𝑡 𝑑𝑥  구간 확인:

𝑥 = 0 𝑡 = −1 & 𝑥 = 1 𝑡 = 0

∴ (𝑥 − 1)

1 4 0

𝑑𝑥 = 𝑡

4 0 −1

𝑑𝑡 =

𝑡5 5 −1 0

= 0 −

(−1)5 5

=

1 5 case 1:

𝑓(𝑎𝑥 + 𝑏)

형

4-5. 정적분의 부분 적분  부분 적분법 Review

_𝑓

𝑏 ′

_{𝑥 𝑔 𝑥}

𝑎

𝑑𝑥 = 𝑓 𝑥 𝑔(𝑥)

𝑎 𝑏

_{− 𝑓 𝑥 𝑔′ 𝑥}

𝑏 𝑎

𝑑𝑥

 case (1) 대수함수와 지수함수의 곱 setting: 지수함수

= 𝑓

′

𝑥

&

대수함수

= 𝑔(𝑥)

 case (2) 대수함수와 삼각함수의 곱 setting: 삼각함수

= 𝑓

′

𝑥

_&

대수함수

_{= 𝑔(𝑥)}

 case (3) 대수함수와 로그함수의 곱 setting: 대수함수

= 𝑓

′

𝑥 &

로그함수

= 𝑔 𝑥

 case (4) 지수함수와 삼각함수의 곱 1st _{& 2}nd _{setting: 동일하게}

※ 𝑛𝑜𝑡𝑒:

치환적분과 달리 적분구간 변경이 필요없음 !!! 예시)

_𝑥𝑒

2 𝑥 1

𝑑𝑥

를 구하라.  setting:

𝑓

′

𝑥 = 𝑒

𝑥

& 𝑔 𝑥 = 𝑥

𝑓 𝑥 = 𝑒

𝑥

_{& 𝑔}

′

_{𝑥 = 1}

∴ 𝑥𝑒

2 𝑥 1

𝑑𝑥 = 𝑥𝑒

𝑥 1 2

_{− 𝑒}

2 𝑥 1

𝑑𝑥 = 2𝑒

2

_{− 𝑒 − 𝑒}

𝑥 1 2

= 2𝑒

2

_{− 𝑒 − 𝑒}

2

_{− 𝑒 = 𝑒}

2 case 1: 대수함수와 지수함수의 곱

5. 정적분의 응용 5-1. 도형의 면적 (1)

𝑥

축과 곡선 사이의 면적:

𝑥

축과 곡선이 만드는 면적은 다음의 3 case 로 분류. case 1)

𝑓 𝑥 ≥ 0

인 경우:

_{𝑆 = 𝑓(𝑥}

𝑏 𝑎

𝑑𝑥

case 2)

_{𝑓 𝑥 ≤ 0}

인 경우:

_{𝑆 = − 𝑓 𝑥}

𝑏 𝑎

𝑑𝑥

case 3) 일반적인 경우:

𝑆 = 𝑆

₁

+ 𝑆

₂

= 𝑓 𝑥

_𝑎𝑐

𝑑𝑥 − 𝑓 𝑥

_𝑐𝑏

𝑑𝑥

※

𝑛𝑜𝑡𝑒:

정적분은

𝑥

축과 곡선 사이의 면적이 아님!!! 𝑆₁ 𝑦 = 𝑓(𝑥) 𝑥

(case 1) (case 2) _{(case 3)}

𝑆 𝑦 = 𝑓(𝑥) 𝑥 0 𝑆 𝑦 = 𝑓(𝑥) 𝑥 0 𝑆₂ 𝑎 𝑐 𝑏 𝑎 𝑏 𝑎 𝑏

예제) 함수

𝑦 = 𝑥

2

− 4𝑥 + 3

에서 다음을 구하라. (1) 구간

0, 3

에서, 주어진 함수와

𝑥

축으로 둘러싸인 도형의 면적을 구하라.  함수

𝑦

와

𝑥 (𝑦 = 0)

축의 교점을 구하면,

𝑥

2

− 4𝑥 + 3 = 𝑥 − 1 𝑥 − 3 = 0

∴ 𝑥 = 1 𝑜𝑟 3

이고 , 주어진 함수의 그래프는 오른쪽 그림과 같다.  구간

0, 3

에서 도형의 면적: 𝑆 = 𝑆₁+ 𝑆₂

𝑆

₁

= 𝑥

₀1 2

− 4𝑥 + 3

𝑑𝑥 =

𝑥3 3

− 2𝑥

2

_{+ 3𝑥}

0 1

=

1 3

− 2 + 3 − 0 =

4 3

𝑆

₂

= − 𝑥

₁3 2

− 4𝑥 + 3

𝑑𝑥 = −

𝑥3 3

+ 2𝑥

2

_{− 3𝑥}

1 3

= −

27 3

+ 2 × 9 − 9 − −

1 3

+ 2 − 3 =

4 3

∴

𝑆 = 𝑆

₁

+ 𝑆

₂

=

4 3

+

4 3

=

8 3 (2) 구간

_{0, 3}

에서, 주어진 함수의 정적분을 구하라.

𝑥

3 2

_{− 4𝑥 + 3}

0

𝑑𝑥 =

𝑥3 3

− 2𝑥

2

_{+ 3𝑥}

0 3

=

27 3

− 2 × 9 + 9 − 0 = 0

𝑦 𝑥 0 −1 3 2 3 𝑺𝟏 𝑺𝟐 1 𝑦 = 𝑥2− 4𝑥 + 3

(2) 두 곡선 사이의 면적  그림 (A)와 같이 구간

𝑎, 𝑏

에서 두 곡선

_{𝑦 = 𝑓 𝑥 & 𝑦 = 𝑔 𝑥}

로 둘러싸인 면적

_S

는 위 그래프에서 아래 그래프를 뺀

_{𝑓 𝑥 − 𝑔(𝑥)}

를 구간

_{𝑎, 𝑏}

로 적분한 값.  두 곡선이 모두

𝑥

축 위 또는 아래에 있거나,

_𝑥

축을 사이에 두고 있는 경우 모두 위의 공식이 성립.

∴

구간

𝑎, 𝑏

에서

𝑓 𝑥 ≥ 𝑔(𝑥)

일 때, 두 곡선 사이의 면적은?

_{𝑆 = 𝑓 𝑥 − 𝑔(𝑥}

𝑏 𝑎

𝑑𝑥

그림 (A)

𝑆

𝑔(𝑥)

𝑥

0

𝑎

𝑏

𝑦

𝑓(𝑥)

그림 (B)

𝑆

𝑔(𝑥)

𝑥

0

𝑎

𝑏

𝑦

𝑓(𝑥)

그림 (C)

𝑆

_𝑔(𝑥)

𝑥

0

𝑎

𝑏

𝑦

𝑓(𝑥)

(3) 두 함수

𝑓 𝑥 = 𝑥

3

− 2𝑥 & 𝑔 𝑥 = 𝑥

2 로 둘러싸인 도형의 면적을 구하라.  주어진 두 함수의 교점을 구하면:

𝑓(𝑥) = 𝑥

3

_{− 2𝑥}

𝑔(𝑥) = 𝑥

2

∴ 𝑥 𝑥 + 1 𝑥 − 2 = 0 𝑥 = −1, 0, 2

 구간

−1, 0

에서

_{𝑓 𝑥 ≥ 𝑔 𝑥}

∴ 𝑓 𝑥 − 𝑔 𝑥 = 𝑥

3

_{− 2𝑥 − 𝑥}

2  구간

[0, 2]

에서

𝑔 𝑥 ≥ 𝑓 𝑥

∴ 𝑔 𝑥 − 𝑓 𝑥 = 𝑥

2

_{− 𝑥}

3

_{+ 2𝑥}

𝐹𝑖𝑛𝑎𝑙𝑙𝑦, 𝑆 = 𝑥

0 3

_{− 2𝑥 − 𝑥}

2 −1

𝑑𝑥 + 𝑥

2

_{− 𝑥}

3

_{+ 2𝑥}

2 0

𝑑𝑥

=

𝑥4 4

− 𝑥

2

₋

𝑥3 3 −1 0

+

𝑥3 3

−

𝑥4 4

+ 𝑥

2 0 2

= 0 −

(−1)4 4

− (−1)

2

₋

(−1)3 3

+

23 3

−

24 4

+ 2

2

_{− 0 =}

37 12

𝑥

3

− 2𝑥 = 𝑥

2

𝑥

3

− 𝑥

2

− 2𝑥 = 0

𝑥

0 −1 2

𝑦

𝑓(𝑥) = 𝑥3− 2𝑥 𝑔(𝑥) = 𝑥2

5-2. 회전체의 체적 (1) 입체도형의 체적  오른쪽 원통의 체적을

𝑛

등분 한 후,

𝑘

번째 절단면의 면적을

_𝑆(𝑥

_𝑘

₎

라하고, 높이를

_∆𝑥

라 하면, 이 부분의 미소 체적

_∆𝑉

_𝑘 는

_∆𝑉

_𝑘

_{= 𝑆(𝑥}

_𝑘

_{) ∙ ∆𝑥}

 이 미소체적을 모두 합하면 입체도형의 체적에 대한 근사값 ∴

𝑉 ≈

𝑛_𝑘=1

𝑆(𝑥

_𝑘

)

∙ ∆𝑥

 여기서

𝑛 → ∞

일 때:

_{𝑉 = lim}

𝑛→∞

𝑆(𝑥

𝑘

) · ∆𝑥

𝑛 𝑘=1

= 𝑆 𝑥

𝑏 𝑎

𝑑𝑥

(2) 입체도형의 체적에 대한 정의  구간

[𝑎, 𝑏]

에서

_𝑥

축에 수직인 평면으로 자른 절단면의 면적이

_{𝑆 𝑥}

일 때, 입체도형의 체적은

𝑉 = 𝑆 𝑥

_𝑎𝑏

𝑑𝑥

(단, 여기서

_{𝑆 𝑥}

는 연속함수) 예제) 어떤 입체를

𝑥

축에 수직인 평면으로 자른 단면적이

𝑆 𝑥 = 2𝑥 + 1

일 때,

𝑥

축에 수직인 두 평면

𝑥 = 0 & 1

에 의해 잘린 입체도형의 체적

𝑉

를 구하라.

𝑉 = 𝑆 𝑥

₀1

𝑑𝑥 = (2𝑥 + 1)

₀1

𝑑𝑥 = 𝑥

2

+ 𝑥

1₀

= 2

𝑦 𝑥 𝑧

𝑥

𝑦

𝑧

𝑘 번째

예제1) 구간

𝑥 = [0, 2]

에서 곡선

𝑦 = 𝑥

2 과 𝑥 축으로 둘러싸인 도형에서 다음을 구하라. (1) 도형의 면적 𝑆

_{𝑆 = 𝑥}

2 2 0

𝑑𝑥 =

𝑥3 3 0 2

=

23 3

=

8 3 (2) 도형을

_𝑥

축을 중심으로 회전시킨 입체 도형의 체적

_𝑉

 오른쪽 도형에서 회전체의 단면적

𝑆 𝑥

은 반지름이

𝑓 𝑥

인 원

_{∴ 𝑆 𝑥 = 𝜋 𝑓 𝑥}

2

_{= 𝜋 𝑥}

2 2  회전체의 체적: 단면적

𝑆 𝑥

를 구간

[1, 2]

에서 정적분

∴ 𝑉 = 𝑆 𝑥

₀2

𝑑𝑥 = 𝑥

₀2 4

𝑑𝑥 = 𝜋

𝑥5 5 0 2

= 𝜋

25 5

=

32 5

𝜋

𝑥 𝑦 0 2