2020 개념해결의법칙 수학2 답지 정답

정답과

해설

I

함수의 극한과 연속

1

| _{함수의 극한}

002

2

| _{함수의 연속}

014

II

미분

3

| _{미분계수와 도함수}

021

4

| _{도함수의 활용 ⑴}

033

5

| _{도함수의 활용 ⑵}

041

6

| _{도함수의 활용 ⑶}

054

III

적분

7

| _부정적분

064

8

| _정적분

073

9

| _{정적분의 활용}

083

| 함수의 극한

1

1

함수의 극한

개념 확인 8쪽~12쪽 1 ⑴ -8 ⑵ 7 ⑶ -2 ⑷ 6 2 ⑴ 0 ⑵ 0 ⑶ -3 ⑷ 1 3 ⑴ M ⑵ -M 4 ⑴ M ⑵ M 5 ⑴ 2 ⑵ 3 ⑶ 존재하지 않는다.

1

⑴ f(x)=x-4로 놓으면 y=f(x)의 그래프는 오른쪽 그림과 같다. 이 그 래프에서 x의 값이 -4에 한없이 가 까워질 때, f(x)의 값은 -8에 한없 이 가까워지므로 lim x d -4(x-4)=-8 ⑵ f(x)=x€-2로 놓으면 y=f(x)의 그래프는 오른쪽 그림과 같다. 이 그 래프에서 x의 값이 3에 한없이 가까 워질 때, f(x)의 값은 7에 한없이 가 까워지므로 lim _{x d 3}(x€-2)=7 ⑶ f(x)= x€-1_{x+1 로 놓으면} x+-1일 때, f(x)= x€-1_{x+1 =}(x+1)(x-1)_x+1 =x-1 이므로 y=f(x)의 그래프는 오른쪽 그림과 같다. 이 그래프에서 x의 값 이 -1에 한없이 가까워질 때, f(x) 의 값은 -2에 한없이 가까워지므로 _{x d -1}lim x€-1_{x+1 =-2} ⑷ f(x)=6으로 놓으면 y=f(x)의 그래 프는 오른쪽 그림과 같다. 이 그래프에 서 x의 값이 -3에 한없이 가까워질 때, f(x)의 값은 6에 한없이 가까워지 므로 lim x d -36=6

2

⑴ f(x)=- 1x 로 놓으면 y=f(x)의 그래프는 오른쪽 그림과 같다. 이 그 래프에서 x의 값이 한없이 커질 때, f(x)의 값은 0에 한없이 가까워지므 로 lim x d M{- 1x }=0 x O 1 -1 -2 -1 y _y=f(x) y=f(x) x O 6 y -3 ⑵ f(x)= 1_{x-1 로 놓으면 y=f(x)의} 그래프는 오른쪽 그림과 같다. 이 그 래프에서 x의 값이 음수이면서 그 절 댓값이 한없이 커질 때, f(x)의 값은 0에 한없이 가까워지므로 lim x d -M 1 x-1 =0 ⑶ f(x)= 1x -3으로 놓으면 y=f(x) 의 그래프는 오른쪽 그림과 같다. 이 그래프에서 x의 값이 한없이 커질 때, f(x)의 값은 -3에 한없이 가까워지 므로 lim x d M{;x!;-3}=-3 ⑷ f(x)= x_{x-2 =x-2 +1로 놓으}2 면 y=f(x)의 그래프는 오른쪽 그 림과 같다. 이 그래프에서 x의 값이 음수이면서 그 절댓값이 한없이 커 질 때, f(x)의 값은 1에 한없이 가 까워지므로 lim_{x d -Mx-2 =1}x

3

⑴ f(x)= 1 x€+1로 놓으면 y=f(x) 의 그래프는 오른쪽 그림과 같다. 이 그래프에서 x의 값이 0에 한없 이 가까워질 때, f(x)의 값은 한없 이 커지므로 lim_{x d 0}{ 1 x€+1}=M ⑵ f(x)=- 1_x€-2로 놓으면 y=f(x)의 그래프는 오른쪽 그림 과 같다. 이 그래프에서 x의 값이 0에 한없이 가까워질 때, f(x)의 값은 음수이면서 그 절댓값이 한없 이 커지므로 lim_{x d 0}{- 1 x€-2}=-M

4

⑴ f(x)=x-5로 놓으면 y=f(x)의 그 래프는 오른쪽 그림과 같다. 이 그래 프에서 x의 값이 한없이 커질 때, f(x)의 값은 한없이 커지므로 lim x d M(x-5)=M ⑵ f(x)=x€+1로 놓으면 y=f(x)의 그래프는 오른쪽 그림과 같다. 이 그 래프에서 x의 값이 음수이면서 그 절댓값이 한없이 커질 때, f(x)의 값은 한없이 커지므로 lim x d -M(x€+1)=M y=f(x) x O -3 1 3 y y=f(x) x O 2 1 y y=f(x) x O -2 y y=f(x) O 1 y x x O 4 -4 -8 -4 y _y=f(x) y=f(x) x O 1 -1 y y=f(x) x O -2 3 7 y x O 5 -5 y y=f(x) y=f(x) x O 1 y y=f(x) y x O

5

⑴ x의 값이 -1보다 작으면서 -1에 한없이 가까워질 때, f(x) 의 값은 2에 한없이 가까워지므로 lim x d -1-f(x)=2 ⑵ x의 값이 -1보다 크면서 -1에 한없이 가까워질 때, f(x)의 값은 3에 한없이 가까워지므로 lim x d -1+f(x)=3 ⑶ lim x d -1-f(x)+ lim x d -1+f(x)이므로 lim x d -1f(x)의 값은 존재하 지 않는다. 개념 check 1-1 ⑴ -1, -1 ⑵ ;2!;, 0, 0 2-1 ⑴ 0, 0 ⑵ 1, 1 3-1 ⑴ 0, M ⑵ 음수, -M 4-1 ⑴ 0, 0 ⑵ 0, 0 ⑶ -1, 0, 존재하지 않는다.

개념 드릴

| 13쪽~14쪽 |

1

S

T

EP

스스로 check

1

-2

 ⑴ -3 ⑵ 2 ⑶ '2 ⑷ -;4!; ⑴ f(x)=2x-1로 놓으면 y=f(x)의 그 래프는 오른쪽 그림과 같다. 이 그래프에 서 x의 값이 -1에 한없이 가까워질 때, f(x)의 값은 -3에 한없이 가까워지므로 lim x d -1(2x-1)=-3 ⑵ f(x)=-x€+2로 놓으면 y=f(x)의 그래프는 오른쪽 그림과 같다. 이 그래프 에서 x의 값이 0에 한없이 가까워질 때, f(x)의 값은 2에 한없이 가까워지므로 lim _{x d 0}(-x€+2)=2 ⑶ f(x)='ß2x 로 놓으면 y=f(x)의 그 래프는 오른쪽 그림과 같다. 이 그래 프에서 x의 값이 1에 한없이 가까워질 때, f(x)의 값은 '2에 한없이 가까워 지므로 lim _{x d 1}'ß2x='2 ⑷ f(x)= x+2 x€-4로 놓으면 x+-2일 때, f(x)= x+2_x€-4=_(x+2)(x-2)x+2 = 1_x-2 이므로 y=f(x)의 그래프는 오른쪽 그림과 같다. 이 그래프에서 x의 값 이 -2에 한없이 가까워질 때, f(x) 의 값은 -;4!;에 한없이 가까워지므로 x O -1 -1 -3 y y=f(x) 1 2 y=f(x) O 2 y x x O 1 2 y _y=f(x) y=f (x) x O 2 -2 y 1 4 -1 2 -lim x d -2 x+2 x€-4=-;4!;

2

-2

 ⑴ 0 ⑵ -1 ⑶ 1 ⑷ 2 ⑴ f(x)= 2_{x+3 로 놓으면 y=f(x)의} 그래프는 오른쪽 그림과 같다. 이 그래 프에서 x의 값이 한없이 커질 때, f(x) 의 값은 0에 한없이 가까워지므로 lim_{x d Mx+3 =0}2 ⑵ f(x)=-;x!;-1로 놓으면 y=f(x)의 그 래프는 오른쪽 그림과 같다. 이 그래프에 서 x의 값이 음수이면서 그 절댓값이 한없 이 커질 때, f(x)의 값은 -1에 한없이 가 까워지므로 lim x d -M{-;x!;-1}=-1 ⑶ f(x)=;x#;+1로 놓으면 y=f(x)의 그래 프는 오른쪽 그림과 같다. 이 그래프에서 x의 값이 한없이 커질 때, f(x)의 값은 1 에 한없이 가까워지므로 lim x d M{;x#;+1}=1 ⑷ f(x)= 2x_{x+1 =-x+1 +2로 놓으면}2 y=f(x)의 그래프는 오른쪽 그림과 같 다. 이 그래프에서 x의 값이 음수이면서 그 절댓값이 한없이 커질 때, f(x)의 값 은 2에 한없이 가까워지므로 lim x d -M 2x x+1 =2

3

-2

 ⑴ -M ⑵ -M ⑴ f(x)=- 1_{|x| 로 놓으면 y=f(x)의} 그래프는 오른쪽 그림과 같다. 이 그래 프에서 x의 값이 0에 한없이 가까워질 때, f(x)의 값은 음수이면서 그 절댓값 이 한없이 커지므로 lim x d 0{- 1|x| }=-M ⑵ f(x)=-x€+1로 놓으면 y=f(x)의 그래프는 오른쪽 그림과 같다. 이 그래 프에서 x의 값이 음수이면서 그 절댓값 이 한없이 커질 때, f(x)의 값은 음수이 면서 그 절댓값이 한없이 커지므로 lim x d -M(-x€+1)=-M y=f (x) x O -3 2 3 y y=f(x) x O -1 -1 y y=f (x) x O -3 1 y y=f(x) x O 2 -1 y y=f(x) x O 1 -1 -1 y y=f (x) O -1 1 1 y x

⑷ f(x)=-_{|x-2| 로 놓으면} 1 y=f(x)의 그래프는 오른쪽 그림과 같다. 이 그래프에서 x의 값이 2에 한 없이 가까워질 때, f(x)의 값은 음수이 면서 그 절댓값이 한없이 커지므로 lim x d 2 {-1 |x-2| }=-M

02

-1

 ⑴ -M ⑵ -1 ⑶ M ⑷ 2 |해결 전략| 함수의 그래프를 그려 x cd M 또는 x cd -M일 때 함수의 극한 을 조사한다. ⑴ f(x)=-x€+x로 놓으면 y=f(x)의 그래프는 오른쪽 그림과 같다. 이 그래 프에서 x의 값이 한없이 커질 때, f(x) 의 값은 음수이면서 그 절댓값이 한없이 커지므로 lim x d M(-x€+x)=-M ⑵ f(x)=- 1_{x+1 -1로 놓으면} y=f(x)의 그래프는 오른쪽 그림과 같 다. 이 그래프에서 x의 값이 음수이면 서 그 절댓값이 한없이 커질 때, f(x) 의 값은 -1에 한없이 가까워지므로 lim x d -M{- 1x+1 -1}=-1 ⑶ f(x)='ß2-x로 놓으면 y=f(x)의 그래프는 오른쪽 그림과 같다. 이 그래 프에서 x의 값이 음수이면서 그 절댓 값이 한없이 커질 때, f(x)의 값은 한 없이 커지므로 lim x d -M'ß2-x=M ⑷ f(x)=2- 1 x€로 놓으면 y=f(x)의 그 래프는 오른쪽 그림과 같다. 이 그래프에 서 x의 값이 한없이 커질 때, f(x)의 값은 2에 한없이 가까워지므로 lim _{x d M}{2- 1_{x€ }}=2

03

-1

 ⑴ 존재하지 않는다. ⑵ 존재하지 않는다. |해결 전략| 좌극한과 우극한을 각각 구하고 그 값이 같은지 다른지 파악한다. ⑴ 함수 y= |x+1|_{x+1 =[} 1 (x>-1) -1 (x<-1) 의 그래프는 오른쪽 그림과 같다. 4 lim x d -1-|x+1| x+1 =-1, lim_{x d -1+}|x+1|_{x+1 =1} y=f(x) x O 1 y y=f(x) x O y -1 -2 -2 -1 y=f(x) x O 2 y 2 y=f(x) x O y 2 2 - _{2 2}2 y= -1 -1 1 O x y _|x+1| x+1

4

-2

 ⑴ 0 ⑵ 0 ⑶ 0 ⑷ 2 ⑸ 1 ⑹ 존재하지 않는다. ⑴ x의 값이 -1보다 작으면서 -1에 한없이 가까워질 때, f(x)의 값은 0에 한없이 가까워지므로 lim x d -1-f(x)=0 ⑵ x의 값이 -1보다 크면서 -1에 한없이 가까워질 때, f(x)의 값 은 0에 한없이 가까워지므로 lim x d -1+f(x)=0 ⑶ lim x d -1-f(x)= lim x d -1+f(x)=0이므로 lim x d -1f(x)=0 ⑷ x의 값이 1보다 작으면서 1에 한없이 가까워질 때, f(x)의 값은 2 에 한없이 가까워지므로 lim x d 1-f(x)=2 ⑸ x의 값이 1보다 크면서 1에 한없이 가까워질 때, f(x)의 값은 1에 한없이 가까워지므로 lim x d 1+f(x)=1 ⑹ lim x d 1-f(x)+ lim x d 1+f(x)이므로 lim x d 1 f(x)의 값은 존재하지 않는다.

필수 유형

| 15쪽~17쪽 |

2

S

T

EP

01

-1

 ⑴ -4 ⑵ 1 ⑶ M ⑷ -M |해결 전략| 함수의 그래프를 그려 x cd a일 때 함수의 극한을 조사한다. ⑴ f(x)= x€-2x-3_x+1 으로 놓으면 x+-1일 때, f(x)= x€-2x-3_x+1 = (x+1)(x-3)_x+1 =x-3 이므로 y=f(x)의 그래프는 오른쪽 그림과 같다. 이 그래프에서 x의 값이 -1에 한없이 가까워질 때, f(x)의 값 은 -4에 한없이 가까워지므로 lim x d -1 x€-2x-3 x+1 =-4 ⑵ f(x)='ß2x+3으로 놓으면 y=f(x) 의 그래프는 오른쪽 그림과 같다. 이 그 래프에서 x의 값이 -1에 한없이 가까 워질 때, f(x)의 값은 1에 한없이 가까 워지므로 lim x d -1'ß2x+3=1 ⑶ f(x)= 1 x€-3으로 놓으면 y=f(x)의 그래프는 오른쪽 그림과 같다. 이 그래프 에서 x의 값이 0에 한없이 가까워질 때, f(x)의 값은 한없이 커지므로 lim x d 0{ 1x€-3}=M y=f(x) O 3 -1 -4 -3 y x y=f(x) x O 3 -1 1 y 3 2 -y=f(x) x O 3 3 -y -3 3 3 y=f(x) x O y 2 1 2

따라서 lim_{x d -1-}|x+1|_{x+1 + limx d -1+}|x+1|_{x+1 이므로} lim x d -1 |x+1| x+1 의 값은 존재하지 않는다. ⑵ 함수 y= |x-2|_x€-2x= |x-2|_x(x-2) =

[

;x!; (x>2) -;x!; (x<2) 의 그래프는 오른쪽 그림과 같다. 4 lim_{x d 2-}|x-2|_x€-2x=-;2!;, lim_{x d 2+}|x-2|_x€-2x=;2!; 따라서 lim_{x d 2-}|x-2| x€-2x +x d 2+lim |x-2| x€-2x이므로 lim_{x d 2}|x-2|_x€-2x의 값은 존재하지 않는다. 절댓값 기호가 포함된 함수의 극한을 조사할 때는 먼저 절댓값 기호 안 의 식의 값이 0이 되도록 하는 x의 값을 기준으로 함수의 식을 정리한다. LECTURE y= |x-2|_x€-2x 1 2 2 O x y 1 2 -⑵ lim _{x d M} 2x€ x€+3= lim x d M 2 1+ 3_x€ = 21+0 =2 ⑶ lim x d M(x€-x)= lim x d Mx€ {1-;x!;}=M ⑷ lim _{x d 0};x!; { 2_{x+2 -1}=lim x d 0}{;x!;_ -x_{x+2 }} =lim _{x d 0x+2}-1 = -1_{0+2 =-;2!;}

2

함수의 극한에 대한 성질

개념 확인 18쪽~19쪽 1 ⑴ 14 ⑵ -7 ⑶ -15 ⑷ -;1¡0; 2 ⑴ ;2#; ⑵ 2 ⑶ M ⑷ -;2!;

1

⑴ lim x d 1{ f(x)+3g(x)}=lim x d 1f(x)+3lim x d 1g(x) =-1+3_5=14

⑵ lim _{x d 1}{2f(x)-g(x)}=2lim _{x d 1}f(x)-lim _{x d 1}g(x)

=2_(-1)-5=-7 ⑶ lim _{x d 1}3f(x)g(x)=3lim x d 1f(x)_lim x d 1g(x) =3_(-1)_5=-15 ⑷ lim _{x d 1} f(x) 2g(x)= lim _{x d 1}f(x) 2lim _{x d 1} g(x)= -12_5 =-;1¡0;

2

⑴ lim _{x d -1}x€-x-2_x€-1 = lim _{x d -1}(x+1)(x-2)_(x+1)(x-1) = lim _{x d -1}x-2_x-1 = -1-2_{-1-1 =;2#;} 개념 check 1-1 ⑴ 2, 2, 5 ⑵ x+1, x, 3, -1 2-1 ⑴ x+5, 2, ;4&; ⑵ x-1, x+1, 1, 4 3-1 ⑴ ;x!;, -2 ⑵ 1_x€, ;2!; 4-1 ⑴ 3_x€, M ⑵ 1, 0 5-1 x-1, x-1, -1

개념 드릴

| 20쪽~21쪽 |

1

S

T

EP

스스로 check

1

-2

 ⑴ -3 ⑵ 6 ⑶ -3 ⑷ -;3!; ⑴ lim x d -1(-2x€+x)=-2 lim x d -1x€+ lim x d -1x =-2_(-1)€+(-1)=-3 ⑵ lim _{x d 3}(x+3)(x-2)=lim x d 3(x+3)_lim x d 3(x-2) =(lim

x d 3x+lim x d 33)(lim x d 3x-lim x d 32)

=(3+3)(3-2)=6 다른 풀이 lim x d 3(x+3)(x-2)= lim x d 3(x€+x-6) = lim x d 3x€+ lim x d 3x- lim x d 36 =3€+3-6=6 ⑶ lim_{x d 1}2x+1_{x-2 =} lim x d 1(2x+1) lim _{x d 1}(x-2) =2lim x d 1x+lim x d 11 lim _{x d 1}x-lim _{x d 1}2 = 2_1+1_{1-2 =-3} ⑷ lim_{x d -2} x x€+2= lim x d -2x lim x d -2(x€+2) = x d -2limx lim x d -2x€+ limx d -22 = -2 (-2)€+2=-;3!;

2

-2

 ⑴ 2 ⑵ ;3!; ⑶ ;6!; ⑷ 2 ⑴ lim x d 1 x€+2x-3 x€-1 =limx d 1 (x+3)(x-1) (x+1)(x-1) =lim_{x d 1}x+3_x+1 = 1+3_{1+1 =2} ⑵ lim_{x d -1} x+1 x‹+1= limx d -1 x+1 (x+1)(x€-x+1) = lim x d -1 1 x€-x+1 = 1 (-1)€-(-1)+1=;3!; ⑶ lim x d 9 'x-3 x-9 =limx d 9 ('x-3)('x+3) (x-9)('x+3) =lim_{x d 9} x-9 (x-9)('x+3) =lim x d 9 1 'x+3 = 1 '9+3=;6!; ⑷ lim _{x d 0} x 'ßx+1-1=lim x d 0 x('ßx+1+1) ('ßx+1-1)('ßx+1+1) =lim x d 0 x('ßx+1+1) x =lim x d 0('ßx+1+1) ='1+1=2

3

-2

 ⑴ 5 ⑵ ;3$; ⑶ 3 ⑷ ;6!; ⑴ lim_{x d Mx-6 = lim}5x _{x d M} 5 1-;x^;=5 ⑵ lim_{x d M}4x-3_{3x-5 = limx d M}4-;x#; 3-;x%;=;3$; ⑶ lim_{x d M}3x€-x+1 x€+5 = limx d M 3-;x!;+ 1_x€ 1+ 5_x€ =3 ⑷ lim_{x d M} x‹-1 6x‹+x+1= limx d M 1- 1 x‹ 6+ 1_x€+ 1_x‹ =;6!;

4

-2

 ⑴ M ⑵ 0 ⑴ lim_{x d M}(x›-x€+1)= lim_{x d M}x›{1- 1 x€+ 1x› }=M ⑵ lim_{x d M}("ƒx€+4-x)= lim_{x d M}("ƒx€+4-x)("ƒx€+4+x) "ƒx€+4+x = lim_{x d M} 4 "ƒx€+4+x=0

5

-2

 -;4!; lim x d 0;x!; { 1x+2 -;2!;}=limx d 0[;x!;_ -x2(x+2) ] =lim_{x d 0} -1 2(x+2) = -1_{2_2}=-;4!;

필수 유형

| 22쪽~26쪽 |

2

S

T

EP

01

-1

 ;4#; |해결 전략| 2f(x)-g(x)=h(x)로 놓고 lim x d 2h(x)=4임을 이용한다. 2f(x)-g(x)=h(x)로 놓으면 g(x)=2f(x)-h(x)이고 lim _{x d 2}h(x)=4이다. 4 lim _{x d 2 2f(x)+g(x)}f(x)g(x) =lim _{x d 2 2f(x)+{2f(x)-h(x)}}f(x){2f(x)-h(x)} =lim _{x d 2} 2{ f(x)}€-f(x)h(x)_4f(x)-h(x) = 2_3€-3_4_{4_3-4 =;4#;} 다른 풀이 2f(x)-g(x)=h(x)로 놓으면 g(x)=2f(x)-h(x)이고 lim x d 2h(x)=4이 므로 lim x d 2 g(x)= limx d 2 {2f(x)-h(x)} =2_3-4=2 4 lim x d 2 f(x)g(x) 2f(x)+g(x)= 3_22_3+2 =;4#;

01

-2

 ;3$; |해결 전략| 주어진 식을 lim x d 0 f(x) x =2를 이용할 수 있는 형태로 변형한다. lim _{x d 0}f(x)+2x 2f(x)-x=lim x d 0 f(x) x +2 2_ f(x)_{x -1} = 2+2_{2_2-1 =;3$;}

02

-1

 ⑴ 12 ⑵ ;4!; ⑶ ;6!; ⑷ -4 |해결 전략| 분모, 분자가 모두 다항식이면 분모, 분자를 각각 인수분해하고, 분 모, 분자 중 무리식이 있으면 근호가 있는 쪽을 유리화한다. ⑴ lim x d -2 x‹+8 x+2 = lim x d -2 (x+2)(x€-2x+4) x+2 = lim x d -2(x€-2x+4) =(-2)€-2_(-2)+4=12

⑵ lim _{x d 1} x‹-2x+1 x€+2x-3=lim x d 1 (x-1)(x€+x-1) (x+3)(x-1) =lim x d 1 x€+x-1 x+3 = 1€+1-1_{1+3 =;4!;} ⑶ lim x d 0 'ß3+x-'3 '3x =lim x d 0 ('ß3+x-'3 )('ß3+x+'3 ) '3x('ß3+x+'3 ) =lim _{x d 0} x '3x('ß3+x+'3 ) =lim x d 0 1 '3 ('ß3+x+'3 ) = 1 '3 _2'3 =;6!; ⑷ lim _{x d 1} x€-4x+3 "ƒx€+3-2=lim x d 1 (x€-4x+3)("ƒx€+3+2) ("ƒx€+3-2)("ƒx€+3+2) =lim _{x d 1} (x€-4x+3)(_x€-1"ƒx€+3+2) =lim x d 1 (x-1)(x-3)("ƒx€+3+2) (x+1)(x-1) =lim _{x d 1} (x-3)("ƒx€+3+2) x+1 = (1-3)('4+2) 1+1 =-4

03

-1

 ⑴ 0 ⑵ -M ⑶ 1 ⑷ -2 |해결 전략| 분모, 분자를 분모의 최고차항으로 각각 나눈 후 lim x d M c xn=0(n은 자연수, c는 상수)임을 이용한다. ⑴ 분모, 분자를 x€으로 각각 나누면 lim_{x d $x€-x+2}x+1 = lim_{x d $} ;x!;+ 1x€ 1-;x!;+ 2_x€ =0 ⑵ 분모, 분자를 x€으로 각각 나누면 lim x d -$ 2x‹-3 x€-1 = limx d -$ 2x- 3_x€ 1- 1_x€ =-M ⑶ 분모, 분자를 x로 각각 나누면 lim_{x d $}"ƒx€+4x-4_x-2 = lim_{x d $}æç1+;x$;-;x$; 1-;x@; =1 ⑷ x=-t로 놓으면 x cd -M일 때 t cd M이므로 lim x d -$ 2x+1 "ƒx€+x-1= limt d $ -2t+1 "ƒt€-t-1 = lim_{t d $} -2+ 1t æç1- 1t -1t =-2 M M 꼴의 극한 ❶ (분자의 차수)<(분모의 차수)이면 ➡ 극한값은 0 ❷ (분자의 차수)=(분모의 차수)이면 ➡ 극한값은 최고차항의 계수의 비 ❸ (분자의 차수)>(분모의 차수)이면 ➡ 발산 LECTURE

04

-1

 ⑴ -M ⑵ 2 ⑶ ;2!; ⑷ -1 |해결 전략| 다항식이면 최고차항으로 묶고, 무리식이면 근호가 있는 쪽을 유리 화한다. ⑴ lim x d -M(-2x€-x+1)= lim x d -Mx€{-2-;x!;+ 1x€ } =-M ⑵ lim x d M 1 "ƒx€+x-x= lim x d M "ƒx€+x+x ("ƒx€+x-x)("ƒx€+x+x) = lim _{x d M}"ƒx€+x+x_x = lim x d M{æç1+;x!;+1} =1+1=2 ⑶ lim x d M("ƒ4x€+2x-1-2x) = lim _{x d M}("ƒ4x€+2x-1-2x)("ƒ4x€+2x-1+2x) "ƒ4x€+2x-1+2x = lim _{x d M} 2x-1 "ƒ4x€+2x-1+2x = lim _{x d M} 2- 1x æç4+;x@;- 1_x€+2 = 2 "4+2=;2!; ⑷ x=-t로 놓으면 x cd -M일 때 t cd M이므로 lim x d -M("ƒx€+2x+x)=lim t d M("ƒt€-2t-t) = lim _{t d M} ("ƒt€-2t-t)("ƒt€-2t+t) "ƒt€-2t+t = lim t d M -2t "ƒt€-2t+t = lim _{t d M} -2 æç1- 2t +1 = -2 1+1=-1 lim x d$ f(x)=M, limx d$ g(x)=M일 때, limx d$ { f(x)-g(x)}의 값은 f(x)-g(x)가 무리식이면 분모를 1로 보고 분자를 유리화하여 구한다. LECTURE

05

-1

 ⑴ -;9!; ⑵ -;5¡4; ⑶ 2 ⑷ 1 |해결 전략| 통분하거나 유리화하여 ;0);, M_M, M_c, _Mc (c는 상수) 꼴로 변형 한다. ⑴ _{x d -1}lim _{x+1 {}1 _x-21 +;3!;}= lim_{x d -1}[ 1_x+1_ x+1_{3(x-2) ]} = lim x d -1 1 3(x-2) =_{3_(-1-2)}1 =-;9!; ⑵ lim_{x d 0};x!; { 1 'ßx+9-;3!;} =lim_{x d 0}{;x!;_ 3-'ßx+9 3'ßx+9 } =lim_{x d 0}[;x!;_ (3-'ßx+9 )(3+'ßx+9 )₃ 'ßx+9(3+'ßx+9 ) ] =lim_{x d 0} -1 3'ßx+9(3+'ßx+9 ) = -1 3_'9_(3+'9 )=-;5¡4; ⑶ _{x d M}lim2x {1- 'ßx-1 'ßx+1} = lim_{x d M}{2x_ 'ßx+1-'ßx-1 'ßx+1 } = lim_{x d M}[2x_ ('ßx+1-'ßx-1)('ßx+1+'ßx-1) 'ßx+1('ßx+1+'ßx-1) ] = lim_{x d M} 4x x+1+"∂x€-1 = lim_{x d M} 4 1+;x!;+æç1- 1_x€ = 4 1+1=2 ⑷ x=-t로 놓으면 x cd -M일 때 t cd M이므로 lim x d -Mx { x "ƒx€+2x+1} = lim_{t d M}[-t_{ -t "ƒt€-2t+1}] = lim_{t d M}{-t_ -t+"ƒt€-2t "ƒt€-2t } = lim_{t d M}[-t_ ("ƒt€-2t-t)("ƒt€-2t+t) "ƒt€-2t("ƒt€-2t+t) ] = lim_{t d M} 2t€ t€-2t+"ƒt›-2t‹ = lim_{t d M} 2 1- 2t +æç1-2t = 2 1+1=1

3

함수의 극한의 응용

개념 확인 27쪽~28쪽 1 ⑴ -2 ⑵ 2 2 ;3!;

1

⑴ lim_{x d 2} ax+4_{x-2 =-2에서 limx d 2} (x-2)=0이므로

lim x d 2 (ax+4)=0 즉, 2a+4=0이므로 a=-2 ⑵ lim_{x d -1 x€+3x+a}x+1 =1에서 1+0이고 lim x d -1(x+1)=0이므로 lim x d -1(x€+3x+a)=0 즉, 1-3+a=0이므로 a=2

2

모든 양의 실수 x에 대하여 x-1 3x <f(x)<x+13x 이고 lim_{x d M} x-1_{3x = limx d M} x+1_{3x =;3!;이므로} lim x d M f(x)=;3!; 개념 check 1-1 ⑴ 0, 0, 0, -3 ⑵ 0, 0, 0, -5 2-1 2, 2

개념 드릴

| 29쪽 |

1

S

T

EP

스스로 check

1

-2

 ⑴ -3 ⑵ 12 ⑶ -2 ⑷ 2 ⑴ lim x d -1 ax-3 x+1 =-3에서 limx d -1(x+1)=0이므로 lim x d -1(ax-3)=0 즉, -a-3=0이므로 a=-3 ⑵ lim x d 3 x€-7x+a x-3 =-1에서 limx d 3(x-3)=0이므로 lim x d 3(x€-7x+a)=0 즉, 9-21+a=0이므로 a=12 ⑶ lim_{x d 2} x-2 x€-x+a=;3!;에서 ;3!;+0이고 lim x d 2(x-2)=0이므로 lim x d 2(x€-x+a)=0 즉, 4-2+a=0이므로 a=-2

⑷ lim_{x d 1} x-1 x€+ax-3=;4!;에서 ;4!;+0이고 lim_{x d 1}(x-1)=0이므로 lim_{x d 1}(x€+ax-3)=0 즉, 1+a-3=0이므로 a=2

2

-2

 ⑴ 7 ⑵ 5 ⑴ 모든 실수 x에 대하여 4x-1<f(x)<x€+3이고 lim_{x d 2}(4x-1)=lim x d 2(x€+3)=7이므로 lim x d 2f(x)=7 ⑵ 모든 양의 실수 x에 대하여 5-;x!;<f(x)<5+;x!;이고 lim x d M{5-;x!;}= limx d M{5+;x!;}=5이므로 lim x d Mf(x)=5

필수 유형

| 30쪽~32쪽 |

2

S

T

EP

01

-1

 ⑴ a=4, b=2 ⑵ a=5, b=-3 |해결 전략| ⑴ 극한값이 존재하고 (분모) cd 0이면 (분자) cd 0임을 이용한다. ⑵ 0이 아닌 극한값이 존재하고 (분자) cd 0이면 (분모) cd 0임을 이용한다. ⑴ lim x d -1 x€+ax+b+1 x+1 =2에서 limx d -1(x+1)=0이므로 lim x d -1(x€+ax+b+1)=-a+b+2=0 4 b=a-2 yy㉠ ㉠을 주어진 등식에 대입하면 lim x d -1 x€+ax+a-1 x+1 = limx d -1 (x+1)(x+a-1) x+1 = lim x d -1(x+a-1)=a-2=2 4 a=4, b=2 ⑵ lim x d 2 x-2 'ß2x+a+b=3에서 3+0이고 lim_{x d 2}(x-2)=0이므로 lim_{x d 2}('ß2x+a+b)='ß4+a+b=0 4 b=-'ß4+a yy㉠ ㉠을 주어진 등식에 대입하면 lim_{x d 2} x-2 'ß2x+a-'ß4+a =lim_{x d 2} (x-2)('ß2x+a+'ß4+a ) ('ß2x+a-'ß4+a )('ß2x+a+'ß4+a ) =lim_{x d 2} (x-2)('ß2x+a+'ß4+a )_2(x-2) =lim_{x d 2} 'ß2x+a+'ß4+a₂ ='ß4+a=3 4 a=5, b=-3

02

-1

 12 |해결 전략| 다항함수 f(x)의 차수를 파악한 후 미정계수를 구한다. lim x d M f(x) x€-x-1=1에서 f(x)는 이차항의 계수가 1인 이차함수임을 알 수 있다. 또, lim x d -1 f(x) x+1 =4에서 limx d -1(x+1)=0이므로 lim x d -1f(x)=0 4 f(-1)=0 즉, f(x)=(x+1)(x+a)(a는 상수)로 놓을 수 있으므로 lim x d -1 f(x) x+1 = limx d -1 (x+1)(x+a) x+1 = lim x d -1(x+a) =-1+a=4 4 a=5 따라서 f(x)=(x+1)(x+5)=x€+6x+5이므로 f(1)=1+6+5=12

02

-2

 f(x)=x(x-1)(3x-1) |해결 전략| 인수정리를 이용하여 f(x)의 인수를 찾은 후 미정계수를 구한다. lim x d 0 f(x) x =1에서 limx d 0x=0이므로 lim x d 0f(x)=0 4 f(0)=0 또, lim_{x d 1 x-1 =2에서 lim}f(x) _{x d 1}(x-1)=0이므로 lim x d 1f(x)=0 4 f(1)=0 즉, f(x)=x(x-1)(ax+b)(a, b는 상수, a+0)로 놓을 수 있으 므로 lim x d 0 f(x) x =limx d 0 x(x-1)(ax+b) x =lim x d 0(x-1)(ax+b)=-b=1 4 b=-1 lim x d 1 f(x) x-1 =limx d 1 x(x-1)(ax-1) x-1 =lim x d 1x(ax-1)=a-1=2 4 a=3 따라서 f(x)=x(x-1)(3x-1)이다.

03

-1

 1 |해결 전략| 주어진 부등식을 변형하여 _x‹+1 f(x) 의 범위를 구한다. 모든 양의 실수 x에 대하여 x‹+1>0이므로 x‹-x€-2x+1<f(x)<x‹+x€-x+2의 각 변을 x‹+1로 나누면 x‹-x€-2x+1 x‹+1 < f(x)x‹+1< x‹+x€-x+2x‹+1 이때, lim_{x d M}x‹-x€-2x+1 x‹+1 = limx d M x‹+x€-x+2 x‹+1 =1이므로 lim x d M f(x) x‹+1=1 f(x)는 x+1을 인수로 갖는다. f(x)는 x를 인수로 갖는다. f(x)는 x-1을 인수로 갖는다.

유형 드릴

| 33쪽~35쪽 |

3

S

T

EP

1

-1

 2 |해결 전략 | 좌극한과 우극한의 뜻을 생각한다. x<1일 때, |x-1|=-(x-1)이므로 lim x d 1-|x-1| x-1 = limx d 1--(x-1) x-1 =-1 4 a=-1 3<x<4일 때, $x&=3이므로 lim x d 3+[x]=3 4 b=3 4 a+b=-1+3=2 [x]가 x보다 크지 않은 최대의 정수일 때, 정수 n에 대하여 [x]=[ n (n<x<n+1) lfm lim x d n+[x]=n n-1 (n-1<x<n) lfm lim x d n-[x]=n-1 LECTURE

1

-2

 -4 |해결 전략 | 절댓값 기호 안의 식의 값이 0이 되는 x의 값을 기준으로 범위를 나 누어 함수의 식을 구한다. x>2일 때, |x-2|=x-2이므로 lim x d 2+ |x-2| x€-4 = limx d 2+ x-2 (x+2)(x-2) = lim_{x d 2+x+2 =;4!;}1 4 a=;4!;

03

-2

 4 |해결 전략| 주어진 부등식을 변형하여 _x€+x+1{ f(x)}€ 의 범위를 구한다. x>1인 모든 실수 x에 대하여 2x-1<f(x)<2x+3의 각 변은 양 수이므로 각 변을 제곱하면 (2x-1)€<{ f(x)}€<(2x+3)€ x>1인 모든 실수 x에 대하여 x€+x+1>0이므로 각 변을 x€+x+1로 나누면 (2x-1)€ x€+x+1< { f(x)}€x€+x+1< (2x+3)€x€+x+1 이때, lim x d$ (2x-1)€ x€+x+1= limx d$ (2x+3)€ x€+x+1=4이므로 lim x d$ { f(x)}€ x€+x+1=4 1<x<2일 때, |x€-3x+2|=-(x€-3x+2)이므로 lim x d 2-|x€-3x+2| x-2 = limx d 2--(x€-3x+2) x-2 = lim x d 2- [-(x-1)(x-2) x-2 ] = lim x d 2-{-(x-1)}=-1 4 b=-1 4 ;aB;=-4

2

-1

 -9 |해결 전략 | lim x d 3 f(x)의 값이 존재하려면 x=3에서의 좌극한과 우극한이 서로 같아야 한다. lim x d 3-f(x)= lim x d 3-(-x€+x)=-6 lim x d 3+f(x)= lim x d 3+(x€-2x+a)=a+3

lim _{x d 3}f(x)의 값이 존재하려면 lim _{x d 3-}f(x)= lim _{x d 3+}f(x)이어야 하므로

-6=a+3 4 a=-9

2

-2

 ① |해결 전략 | lim x d 1 f(x)의 값이 존재하려면 x=1에서의 좌극한과 우극한이 서로 같아야 한다. lim x d 1-f(x)= lim x d 1-(-x€+x-2a)=-2a lim x d 1+f(x)= lim x d 1+(x‹+x+a+4)=a+6

lim _{x d 1}f(x)의 값이 존재하려면 lim _{x d 1-}f(x)= lim _{x d 1+}f(x)이어야 하므로

-2a=a+6 4 a=-2

3

-1

 ① |해결 전략 | x cd 2일 때 f(x)의 극한값을 구한 후 f(x)=t로 놓고 g(t)의 극 한값을 구한다. x cd 2일 때 f(x) cd 4이므로 f(x)=t로 놓으면 lim _{x d 2}g( f(x))=lim _{t d 4}g(t) t cd 4일 때 g(t) cd 0이므로 lim _{t d 4} g(t)=0 4 lim _{x d 2}g( f(x))=0

3

-2

 ⑤ |해결 전략 | x cd 2-, x cd3-일 때 f(x)의 극한값을 먼저 구한다. x cd 2-일 때 f(x) cd 2+이므로 lim x d 2-f( f(x))= lim f(x) d 2+f( f(x))=3 x cd 3-일 때 f(x)=3이므로 lim x d 3-f( f(x))=f(3)=2 4 lim _{x d 2-}f( f(x))+ lim _{x d 3-}f( f(x))=3+2=5

lim x d a- g( f(x))의 값을 구할 때는 x d a-일 때 ❶ f(x) d b-이면 ➡ lim_{x d a-} g( f(x))= lim f(x) d b- g( f(x)) ❷ f(x) d b+이면 ➡ lim_{x d a-} g( f(x))= lim f(x) d b+ g( f(x)) ❸ f(x)=b이면 ➡ lim_{x d a-} g( f(x))=g( b) LECTURE

4

-1

 -;4#; |해결 전략 | 2f(x)+g(x)=h(x)로 놓고 f(x)+2g(x) 2f(x)-g(x)를 f(x), h(x)로 나타낸다. 2f(x)+g(x)=h(x)로 놓으면 g(x)=h(x)-2f(x)이고 lim _{x d 1}h(x)=2이다. 4lim _{x d 1} f(x)+2g(x)_2f(x)-g(x)=lim _{x d 1} f(x)+2{h(x)-2f(x)}_{2f(x)-{h(x)-2f(x)}} =lim _{x d 1} -3f(x)+2h(x) 4f(x)-h(x) =lim _{x d 1} -3+2_ h(x)_f(x) 4- h(x) f(x) =-;4#;

4

-2

 1 |해결 전략 | f(x)-g(x)=h(x)로 놓고 f(x)+g(x) 3f(x)+g(x)를 f(x), h(x)로 나 타낸다. f(x)-g(x)=h(x)로 놓으면 g(x)=f(x)-h(x)이고 lim _{x d 2}h(x)=M이다. 4lim _{x d 2 3f(x)+g(x)}f(x)+g(x) =lim _{x d 2 3f(x)+{ f(x)-h(x)}}f(x)+{ f(x)-h(x)} =lim x d 2 2f(x)-h(x) 4f(x)-h(x) =lim _{x d 2} 2_ f(x)_h(x)-1 4_ f(x)_h(x)-1=1

5

-1

 -;2!; |해결 전략 | 인수분해하거나 유리화하고 분모, 분자의 공통인수를 약분한다. lim x d -1 x‹+x+2 x€-1 = limx d -1 (x+1)(x€-x+2) (x+1)(x-1) = lim_{x d -1}x€-x+2_{x-1 =-2} 4 a=-2 lim_{x d 1}'ßx+3-2_{x-1 =limx d 1}('ßx+3-2)('ßx+3+2) (x-1)('ßx+3+2) =lim x d 1 x-1 (x-1)('ßx+3+2) =lim_{x d 1} 1 'ßx+3+2=;4!; 4 b=;4!; 4 ab=-2_;4!;=-;2!;

5

-2

 :¡2¡: |해결 전략 | 인수분해하거나 유리화하고 분모, 분자의 공통인수를 약분한다. lim x d 2 x‹-x-6 x€-4 =limx d 2 (x-2)(x€+2x+3) (x+2)(x-2) =lim_{x d 2} x€+2x+3_x+2 =:¡4¡: 4 a=:¡4¡: lim x d 1 "ƒx€+x+2-'ßx+3 x-1 =lim_{x d 1}("ƒx€+x+2-'ßx+3 )("ƒx€+x+2+'ßx+3 ) (x-1)("ƒx€+x+2+'ßx+3 ) =lim_{x d 1} x€-1 (x-1)("ƒx€+x+2+'ßx+3 ) =lim_{x d 1} (x+1)(x-1) (x-1)("ƒx€+x+2+'ßx+3 ) =lim_{x d 1} x+1 "ƒx€+x+2+'ßx+3=;2!; 4 b=;2!; 4 a_b=:¡4¡:/;2!;=:¡4¡:_2=:¡2¡:

6

-1

 ① |해결 전략| 분모, 분자를 분모의 최고차항으로 각각 나눈 후 lim x d M c xn=0(n은 자연수, c는 상수)임을 이용한다. lim x d M x€+x-1 x‹+1 = limx d M ;x!;+ 1_x€- 1_x‹ 1+ 1_x‹ =0 4 a=0 lim x d M x+1 "ƒx€+x+1+x= limx d M 1+ 1x æç1+;x!;+ 1_x€+1=;2!; 4 b=;2!; x=-t로 놓으면 x cd -M일 때 t cd M이므로 lim x d -M 3x‹+2x€-1 x‹+x+1 = limt d M -3t‹+2t€-1 -t‹-t+1 = lim_{t d M} 3+ 2t -1 t‹ -1- 1 t€+ 1t‹ =3 4 c=3 4 a<b<c

M M 꼴의 극한에서 분모와 분자의 차수가 같으면 그 극한값은 최고차항 의 계수의 비와 같다. 이때, 근호가 포함된 식의 차수는 근호 안의 식의 차수에 ;2!;을 곱한 것으 로 생각할 수 있다. 예를 들어, "ƒ2x›+3x€+4에서 근호 안의 식의 차수 는 4이므로 "ƒ2x›+3x€+4의 차수는 4_;2!;=2, 그 계수는 '2 이다. 이를 이용하면 lim x d$ x+1 "ƒx€+x+1+x= 1'1+1=;2!;과 같이 쉽게 구할 수 있다. LECTURE

6

-2

 5 |해결 전략| 분모, 분자를 분모의 최고차항으로 각각 나눈 후 lim x d M c xn=0(n은 자연수, c는 상수)임을 이용한다. lim x d$ 3x‹+2x x‹-x-1= limx d$ 3+ 2_x€ 1- 1 x€- 1x‹ =3 4 a=3 x=-t로 놓으면 x cd -M일 때 t cd M이므로 lim x d-$ "ƒx€+1 x+1 =limt d$ "ƒt€+1 -t+1 =lim_{t d$} æç1+ 1t€ -1+ 1t =-1 4 b=-1 lim x d$ 3x-1 "ƒx€+1+2x= limx d$ 3- 1x æç1+ 1_x€+2=1 4 c=1 4 a-b+c=3-(-1)+1=5

7

-1

 1 |해결 전략 | 분모를 1로 보고 분자를 유리화한다. lim x d$("ƒx€-2x+2-x) = lim_{x d$}("ƒx€-2x+2-x)("ƒx€-2x+2+x) "ƒx€-2x+2+x = lim_{x d$} -2x+2 "ƒx€-2x+2+x = lim_{x d$} -2+ 2x æç1-;x@;+ 2_x€+1=-1 4 a=-1 x=-t로 놓으면 x cd -M일 때 t cd M이므로 lim x d -$("ƒx€-4x+x)=limt d $("ƒt€+4t-t) = lim t d $ ("ƒt€+4t-t)("ƒt€+4t+t) "ƒt€+4t+t = lim_{t d $} 4t "ƒt€+4t+t = lim t d $ 4 æç1+ 4t +1=2 4 b=2 4 a+b=-1+2=1

7

-2

 1 |해결 전략 | M_M 꼴은 분모, 분자를 분모의 최고차항으로 각각 나누고, 무리식이 있는 M-M 꼴은 근호가 있는 쪽을 유리화한다. x=-t로 놓으면 x cd -M일 때 t cd M이므로 lim x d -$ "ƒx€-3+3x x-"ƒx€+2x= limt d $ "ƒt€-3-3t -t-"ƒt€-2t = lim_{t d $} æç1- 3t€ -3 -1-æ√1- 2t =1 4 a=1 lim x d$("ƒx€+x-"ƒx€-x ) = lim_{x d $}("ƒx€+x-"ƒx€-x )("ƒx€+x+"ƒx€-x ) "ƒx€+x+"ƒx€-x = lim_{x d $} 2x "ƒx€+x+"ƒx€-x = lim_{x d $} 2 æç1+;x!;+æç1-;x!;=1 4 b=1 4 2a-b=2_1-1=1

8

-1

 -2 |해결 전략 | 극한값이 존재하고 (분모) cd 0이면 (분자) cd 0임을 이용한다. lim x d 2 x‹+x€+ax+b+2 x-2 =4에서 limx d 2(x-2)=0이므로 lim_{x d 2}(x‹+x€+ax+b+2)=2a+b+14=0 4 b=-2a-14 yy㉠ ㉠을 주어진 등식에 대입하면

lim_{x d 2} x‹+x€+ax-2a-12_x-2 =lim_{x d 2} (x-2)(x€+3x+a+6)_x-2

=lim

x d 2(x€+3x+a+6)

=a+16=4

따라서 a=-12, b=10이므로

8

-2

 -4 |해결 전략 | 0이 아닌 극한값이 존재하고 (분자) cd 0이면 (분모) cd 0임을 이 용한다. lim_{x d 1} x-1 ax€+x+b=;5!;에서 ;5!;+0이고 lim_{x d 1(x-1)=0이므로}

lim_{x d 1}(ax€+x+b)=a+1+b=0 4 b=-a-1 yy㉠ ㉠을 주어진 등식에 대입하면

lim_{x d 1 ax€+x-a-1}x-1 =lim_{x d 1 (x-1)(ax+a+1)}x-1 =lim_{x d 1 ax+a+1}1 = 1_{2a+1 =;5!;} 따라서 a=2, b=-3이므로 lim x d -1 x€-ax+bx+1 = limx d -1 x€-2x-3x+1 = lim_{x d -1} (x+1)(x-3)_x+1 = lim x d -1(x-3) =-4

9

-1

 2 |해결 전략 | 다항함수 f(x), g(x)에 대하여 lim x d M g(x) f(x)=L (L+0인 실수) 이면 f(x), g(x)의 차수가 같음을 이용한다. lim x d$ x€+x+2 f(x) =1에서 다항함수 f(x)는 이차항의 계수가 1인 이 차함수임을 알 수 있다. 또, lim_{x d 2 x-2 =-1에서 lim}f(x) _{x d 2}(x-2)=0이므로 lim _{x d 2}f(x)=0 4 f(2)=0 즉, f(x)=(x-2)(x+a) (a는 상수)로 놓을 수 있으므로 lim_{x d 2 x-2 =lim}f(x) _{x d 2} (x-2)(x+a)_x-2

=lim x d 2(x+a) =2+a=-1 4 a=-3 따라서 f(x)=(x-2)(x-3)=x€-5x+6이므로 f(1)=1-5+6=2

9

-2

 4 |해결 전략 | 먼저 함수의 극한의 대소 관계를 이용하여 다항함수 f(x)의 차수와 최고차항의 계수를 구한다. 모든 양의 실수 x에 대하여 x€>0이므로 x€-2x-2<f(x)<x€+x-1의 각 변을 x€으로 나누면 1-;x@;- 2_x€< f(x)_x€ <1+;x!;- 1_x€ 이때, lim_{x d$}{1-;x@;- 2 x€ }= limx d${1+;x!;- 1x€ }=1이므로 lim x d$ f(x) x€ =1 따라서 다항함수 f(x)는 이차항의 계수가 1인 이차함수임을 알 수 있다. 또, lim_{x d 1 x-1 =3에서 lim}f(x) _{x d 1}(x-1)=0이므로 lim x d 1f(x)=0 4 f(1)=0 즉, f(x)=(x-1)(x+a) (a는 상수)로 놓을 수 있으므로 lim x d 1 f(x) x-1 =limx d 1 (x-1)(x+a) x-1 =lim x d 1(x+a) =1+a=3 4 a=2 따라서 f(x)=(x-1)(x+2)=x€+x-2이므로 f(2)=4+2-2=4

10

-1

 ②

|해결 전략 | AP’ €, AQ’ €을 a에 대한 식으로 나타낸다.

점 P(a, a+2)를 지나고 직선 y=x+2에 수직인 직선의 방정식은

y=-(x-a)+a+2=-x+2a+2 이므로 점 Q의 좌표는 (0, 2a+2) 이때, AP’ €={a-(-2)}€+{(a+2)-0}€=2a€+8a+8, AQ’ €={0-(-2)}€+{(2a+2)-0}€=4a€+8a+8 이므로 lim a d$ AQ’ €

AP’ €=lima d$ 4a€+8a+82a€+8a+8

=lim_{a d$} 4+_{;a*;+ 8a€} 2+;a*;+ 8a€ =2

10

-2

 ④ |해결 전략 | PA’, PH’를 t에 대한 식으로 나타낸다. 점 H의 좌표는 (0, 't )이므로 PA’="ƒ(t-2)€+('t-0)€="ƒt€-3t+4, PH’=t 4 lim_{t d$}(PA’-PH’) =lim t d$("ƒt€-3t+4-t) =lim_{t d$}("ƒt€-3t+4-t)("ƒt€-3t+4+t) "ƒt€-3t+4+t =lim_{t d$} -3t+4 "ƒt€-3t+4+t =lim_{t d$} -3+ 4t æç1- 3t +t€4+1 =-;2#;

1

함수의 연속

개념 확인 38쪽~41쪽 1 lim x d 2 f(x)의 값이 존재하지 않는다. 2 ⑴ (-M, M) ⑵ “;2#;, M} 3 ⑴ (-M, M) ⑵ (-M, -1), (-1, M)

1

lim x d 2- f(x)=1, lim x d 2+ f(x)=2이므로 lim x d 2-f(x)+ lim x d 2+f(x) 따라서 lim _{x d 2} f(x)의 값이 존재하지 않으므로 함수 f(x)는 x=2에 서 불연속이다.

2

⑴ 함수 f(x)=x€-1의 정의역은 실수 전체의 집합이므로 (-M, M)이다. ⑵ 함수 f(x)='ß2x-3의 정의역은 2x-3>0, 즉 x>;2#;인 실수 의 집합이므로 “;2#;, M}이다.

3

⑴ 함수 f(x)=2x+1은 모든 실수 x에서 연속이므로 함수 f(x) 가 연속인 구간은 (-M, M)이다. ⑵ 함수 f(x)= x_{x+1 는 x+1+0, 즉 x+-1인 모든 실수 x에} 서 연속이므로 함수 f(x)가 연속인 구간은 (-M, -1), (-1, M)이다. 개념 check 1-1 ⑴ 3, 3, 연속 ⑵ 1, 2, 불연속 2-1 ⑴ (-M, M) ⑵ 0, 3, (-M, 3&

개념 드릴

| 42쪽 |

1

S

T

EP

스스로 check

1

-2

 ⑴ 연속 ⑵ 불연속 ⑶ 연속 ⑷ 불연속 ⑴ f(1)=0, lim x d 1 f(x)=0이고 lim x d 1 f(x)=f(1)이므로 함수 f(x) 는 x=1에서 연속이다. ⑵ x=1에서의 함숫값 f(1)이 정의되어 있지 않으므로 함수 f(x)는 x=1에서 불연속이다. ⑶ f(1)='2, lim x d 1 f(x)='2이고 lim x d 1 f(x)=f(1)이므로 함수 f(x)는 x=1에서 연속이다.

필수 유형

| 43쪽~45쪽 |

2

S

T

EP

01

-1

 ⑴ 불연속 ⑵ 불연속 ⑶ 연속 ⑷ 불연속 |해결 전략| 함수가 연속이 되는 조건을 모두 만족시키는지 조사한다. ⑴ x=-1에서의 함숫값은 f(-1)=2 lim x d -1 f(x)= lim x d -1 x€+3x+2 x+1 = lim _{x d -1}(x+2)(x+1)_x+1 = lim x d -1(x+2)=1 따라서 lim x d -1 f(x)+f(-1)이므로 함수 f(x)는 x=-1에서 불 연속이다. ⑵ x=-1에서의 함숫값은 f(-1)=-1 lim x d -1- f(x)= lim x d -1-x€+x |x+1| = lim x d -1-x(x+1) -(x+1) = lim x d -1-(-x)=1 _{x d -1+}lim f(x)= lim _{x d -1+|x+1|}x€+x = lim x d -1+ x(x+1) x+1 = lim x d -1+x=-1 따라서 lim x d -1- f(x)+ lim x d -1+ f(x)이므로 함수 f(x)는 x=-1에 서 불연속이다. O 2 1 -2 -1 y=f(x) x y O -1 -1 1 y=f(x) x y ⑷ f(1)=1, lim x d 1 f(x)=lim x d 1(x-2)=-1 따라서 lim _{x d 1} f(x)+f(1)이므로 함수 f(x)는 x=1에서 불연속이다.

2

-2

 ⑴ (-M, M) ⑵ (-M, -3), (-3, M) ⑶ $-4, M) ⑷ (-M, M) ⑴ 함수 f(x)=2는 모든 실수 x에서 연속이므로 함수 f(x)가 연속 인 구간은 (-M, M)이다. ⑵ 함수 f(x)= 2x+1_{x+3 은 x+3+0, 즉 x+-3인 모든 실수 x에서} 연속이므로 함수 f(x)가 연속인 구간은 (-M, -3), (-3, M)이 다. ⑶ 함수 f(x)='ßx+4 는 x+4>0, 즉 x>-4인 모든 실수 x에서 연속이므로 함수 f(x)가 연속인 구간은 $-4, M)이다. ⑷ 함수 f(x)=|x|는 모든 실수 x에서 연속이므로 함수 f(x)가 연 속인 구간은 (-M, M)이다.

| 함수의 연속

2

⑶ x=-1에서의 함숫값은 f(-1)=0 lim x d -1- f(x)= lim x d -1-x|x+1| = lim x d -1-{-x(x+1)} =0 lim x d -1+ f(x)= lim x d -1+ x|x+1| = lim x d -1+x(x+1) =0 4 lim x d -1 f(x)=0 따라서 lim x d -1 f(x)=f(-1)이므로 함수 f(x)는 x=-1에서 연 속이다. ⑷ x=-1에서의 함숫값은 f(-1)=-3 lim x d -1- f(x)= lim x d -1- (-x+2) =3 lim x d -1+ f(x)= lim x d -1+(-x€+2x) =-3 따라서 lim x d -1- f(x)+ lim x d -1+ f(x)이므로 함수 f(x)는 x=-1 에서 불연속이다.

02

-1

 a=1, b=3 |해결 전략| 함수 y=f(x)의 그래프가 끊어져 있는 점의 x의 값에서 f(x)가 연 속인지 불연속인지 조사한다. 1 x=-1에서의 함숫값은 f(-1)=2 lim x d -1- f(x)=1, lim x d -1+ f(x)=1이므로 lim x d -1 f(x)=1 따라서 lim x d -1 f(x)+f(-1)이므로 f(x)는 x=-1에서 불연속 이다. 2 lim _{x d 0-} f(x)=1, lim x d 0+ f(x)=-1이므로 lim x d 0- f(x)+ lim x d 0+ f(x) 따라서 lim _{x d 0} f(x)의 값이 존재하지 않으므로 f(x)는 x=0에서 불연속이다. 3 x=1에서의 함숫값은 f(1)=-1 lim x d 1- f(x)=-2, lim x d 1+ f(x)=-2이므로 lim x d 1 f(x)=-2 따라서 lim _{x d 1} f(x)+f(1)이므로 f(x)는 x=1에서 불연속이다. 1, 2, 3에서 극한값이 존재하지 않는 x의 값은 x=0이고, 불연속 이 되는 x의 값은 x=-1, x=0, x=1이므로 a=1, b=3

03

-1

 a=5, b=-3 |해결 전략| 함수 f(x)가 x=-2에서 연속이면 lim x d -2 f(x)=f(-2)임을 이 용한다. 함수 f(x)가 x=-2에서 연속이므로 lim x d -2 f(x)=f(-2) 4 limx d -2 2x€+ax+2 x+2 =b ……㉠ O -1 y=f(x) x y O -1 2 -3 3 y=f(x) x y ㉠에서 lim x d -2(x+2)=0이므로 lim x d -2(2x€+ax+2)=8-2a+2=0 4 a=5 a=5를 ㉠에 대입하면 lim x d -2 2x€+5x+2 x+2 = limx d -2 (x+2)(2x+1) x+2 = lim x d -2(2x+1)=-3 4 b=-3

03

-2

 a=2, b=-2 |해결 전략| 함수 f(x)가 x=2에서 연속이면 lim x d 2 f(x)=f(2)임을 이용한다. 함수 f(x)가 x=2에서 연속이므로 lim x d 2 f(x)=f(2)    4 lim x d 2 a'ßx-1+b x-2 =1 ……㉠ ㉠에서 lim _{x d 2}(x-2)=0이므로 lim x d 2(a'ßx-1+b)=a+b=0 4 b=-a ……㉡ ㉡을 ㉠에 대입하면 lim x d 2 a'ßx-1-a x-2 =lim x d 2 a('ßx-1-1) x-2 =lim x d 2 a('ßx-1-1)('ßx-1+1) (x-2)('ßx-1+1) =lim _{x d 2} a(x-2) (x-2)('ßx-1+1) =lim x d 2 a 'ßx-1+1 =;2A;=1 4 a=2, b=-2

2

연속함수의 성질

개념 확인 46쪽~48쪽 1 ⑴ (-M, M) ⑵ (-M, M) ⑶ (-M, 1), (1, M) ⑷ (-M, -1), (-1, 1), (1, M) 2 ⑴ 최댓값: 2, 최솟값: 없다. ⑵ 최댓값: 3, 최솟값: 2 3 ㈎ 연속 ㈏ 사잇값의 정리

1

⑴ 함수 f(x)=2x€-2x-1은 다항함수이므로 모든 실수 x에서 연속이다. 따라서 연속인 구간은 (-M, M)이다. ⑵ 함수 f(x)=(x+3)(3x+4)는 다항함수이므로 모든 실수 x 에서 연속이다. 따라서 연속인 구간은 (-M, M)이다.

⑶ 함수 f(x)= x+1_{x-1 은 유리함수이므로 x-1+0, 즉 x+1인} 모든 실수 x에서 연속이다. 따라서 연속인 구간은 (-M, 1), (1, M)이다. ⑷ 함수 f(x)= x x€-1는 유리함수이므로 x€-1+0, 즉 x+-1 이고 x+1인 모든 실수 x에서 연속이다. 따라서 연속인 구간은 (-M, -1), (-1, 1), (1, M)이다.

2

⑴ x=2일 때 최댓값 2를 갖고, 최솟값은 없다. ⑵ x=3일 때 최댓값 3, x=2일 때 최솟값 2를 갖는다. 개념 check 1-1 ⑴ 연속, 3, -1 ⑵ 연속, 2, ;3@; 2-1 -1, 17

개념 드릴

| 49쪽 |

1

S

T

EP

스스로 check

1

-2

 ⑴ 최댓값: 0, 최솟값: -3 ⑵ 최댓값: ;4!;, 최솟값: -2 ⑶ 최댓값: 1, 최솟값: ;2!; ⑷ 최댓값: 2, 최솟값: 1 ⑴ 함수 f(x)=-3x는 닫힌구간 $0, 1&에서 연속이고, 닫힌구간 $0, 1&에서 y=f(x) 의 그래프는 오른쪽 그림과 같다. 따라서 함수 f(x)는 주어진 구간에서 x=0일 때 최댓값 0, x=1일 때 최솟값 -3을 갖는다. ⑵ 함수 f(x)=-x€+x는 닫힌구간 $-1, 1&에서 연속이고, 닫힌구간 $-1, 1&에서 y=f(x)의 그래프는 오 른쪽 그림과 같다. 따라서 함수 f(x)는 주어진 구간에서 x=;2!;일 때 최댓값 ;4!;, x=-1일 때 최솟값 -2를 갖는다. ⑶ 함수 f(x)= 1_{x-1 은 닫힌구간 $2, 3&} 에서 연속이고, 닫힌구간 $2, 3&에서 y=f(x)의 그래프는 오른쪽 그림과 같다. 따라서 함수 f(x)는 주어진 구간에서 x=2일 때 최댓값 1, x=3 일 때 최솟값 ;2!;을 갖는다. O 1 -3 y=f(x) x y O 1 1 4 -1 -2 y=f(x) x y 1 2 x O 1 2 2 1 1 3 y _y=f(x) ⑷ 함수 f(x)='ßx+1은 닫힌구간 $0, 3& 에서 연속이고, 닫힌구간 $0, 3&에서 y=f(x)의 그래프는 오른쪽 그림과 같 다. 따라서 함수 f(x)는 주어진 구간에서 x=3일 때 최댓값 2, x=0일 때 최솟값 1을 갖는다.

2

-2

 풀이 참조 f(x)=x€-3x+1이라 하면 함수 f(x)는 닫힌구간 $1, 3&에서 연속 이고 f(1)=-1<0, f(3)=1>0 이므로 사잇값의 정리에 의하여 f(c)=0인 c가 열린구간 (1, 3)에 적어도 하나 존재한다. 즉, 방정식 x€-3x+1=0은 열린구간 (1, 3)에서 적어도 하나의 실 근을 갖는다.

필수 유형

| 50쪽~52쪽 |

2

S

T

EP

01

-1

 ㄱ, ㄴ, ㄷ, ㄹ |해결 전략| 다항함수는 모든 실수에서 연속이고, 유리함수는 (분모)+0인 모든 실수에서 연속이다. ㄱ. 2f(x)-g(x)=2(x€+1)-(x€-2x)=x€+2x+2 즉, 함수 2f(x)-g(x)는 다항함수이므로 모든 실수 x에서 연속 이다. ㄴ. 함수 g(x) f(x)= x€-2xx€+1 는 유리함수이고 모든 실수 x에 대하여 x€+1+0이므로 모든 실수 x에서 연속이다. ㄷ. { f(x)}€=(x€+1)€=x›+2x€+1 즉, 함수 { f(x)}€은 다항함수이므로 모든 실수 x에서 연속이다. ㄹ. f(g(x))=(x€-2x)€+1=x›-4x‹+4x€+1 즉, 함수 f(g(x))는 다항함수이므로 모든 실수 x에서 연속이다. 따라서 모든 실수 x에서 연속함수인 것은 ㄱ, ㄴ, ㄷ, ㄹ이다.

02

-1

 ⑴ 최댓값: 5, 최솟값: -4 ⑵ 최댓값: 2, 최솟값: 1 ⑶ 최댓값: 4, 최솟값: 0 ⑷ 최댓값: 4, 최솟값: 1 |해결 전략| 함수 f(x)의 그래프를 그린 후 최댓값과 최솟값을 구한다. ⑴ 함수 f(x)=x€+2x-3은 닫힌구간 $-1, 2&에서 연속이고, 닫힌구간 $-1, 2&에서 y=f(x)의 그래프는 오른 쪽 그림과 같다. 따라서 x=2일 때 최댓값 5, x=-1일 때 최솟값 -4를 갖는다. O -1 -4 2 5 y=f(x) x y O -1 1 2 3 x y=f(x) y

⑵ 함수 f(x)='ß4-x 는 닫힌구간 $0, 3&에서 연속이고, 닫힌구간 $0, 3& 에서 y=f(x)의 그래프는 오른쪽 그 림과 같다. 따라서 x=0일 때 최댓값 2, x=3일 때 최솟값 1을 갖는다. ⑶ 함수 f(x)= 5_{x+2 -1은 닫힌구간} $-1, 3&에서 연속이고, 닫힌구간 $-1, 3&에서 y=f(x)의 그래프는 오 른쪽 그림과 같다. 따라서 x=-1일 때 최댓값 4, x=3일 때 최솟값 0을 갖는다. ⑷ 함수 f(x)=|x|+1은 닫힌구간 $-3, 1&에서 연속이고, 닫힌구간 $-3, 1&에서 y=f(x)의 그래프는 오 른쪽 그림과 같다. 따라서 x=-3일 때 최댓값 4, x=0일 때 최솟값 1을 갖는다.

03

-1

 풀이 참조

|해결 전략| 함수 f(x)가 닫힌구간 $a, b&에서 연속이고 f(a)f(b)<0임을 보 인다. ⑴ f(x)=x‹-2x-6이라 하면 함수 f(x)는 닫힌구간 $0, 3&에서 연속이고 f(0)=-6<0, f(3)=15>0 이므로 사잇값의 정리에 의하여 f(c)=0인 c가 열린구간 (0, 3) 에 적어도 하나 존재한다. 즉, 방정식 x‹-2x-6=0은 열린구간 (0, 3)에서 적어도 하나의 실근을 갖는다. ⑵ f(x)=x›+2x€-5라 하면 함수 f(x)는 닫힌구간 $-1, 2&에서 연속이고 f(-1)=-2<0, f(2)=19>0 이므로 사잇값의 정리에 의하여 f(c)=0인 c가 열린구간 (-1, 2) 에 적어도 하나 존재한다. 즉, 방정식 x›+2x€-5=0은 열린구간 (-1, 2)에서 적어도 하 나의 실근을 갖는다.

03

-2

 3개 |해결 전략| 사잇값의 정리를 이용한다. 함수 f(x)는 연속함수이고 f(0)f(1)<0, f(1)f(2)<0, f(2)f(3)<0 이므로 사잇값의 정리에 의하여 방정식 f(x)=0은 열린구간 (0, 1), (1, 2), (2, 3)에서 각각 적어도 하나의 실근을 갖는다. 따라서 방정식 f(x)=0은 열린구간 (0, 3)에서 적어도 3개의 실근 을 갖는다. O -2 -1 4 -1 3 y=f(x) x y O 2 1 4 1 -3 y=f(x) x y O 1 2 3 4 y=f(x) x y

유형 드릴

| 53쪽~55쪽 |

3

S

T

EP

1

-1

 2 |해결 전략 | 함수 f(x)가 x=a에서 연속이려면 lim x d a- f(x)= lim x d a+ f(x)=f(a) 이어야 함을 이용한다. f(a)=2a이고, lim x d a- f(x)= lim x d a-(x€-3)=a€-3 lim x d a+ f(x)= lim x d a+2x=2a 함수 f(x)가 x=a에서 연속이려면 lim x d a- f(x)= lim x d a+ f(x)=f(a) 이어야 하므로 a€-3=2a, a€-2a-3=0 (a+1)(a-3)=0 4 a=-1 또는 a=3 따라서 모든 a의 값의 합은 -1+3=2

1

-2

 3 |해결 전략 | 함수 f(x)가 x=1에서 연속이려면 lim x d 1 f(x)=f(1)이어야 함을 이용한다. 함수 f(x)가 x=1에서 연속이려면 lim x d 1 f(x)=f(1)이어야 하므로 f(1)=lim_{x d 1} x‹-1_x-1 =lim_{x d 1} (x-1)(x€+x+1)_x-1 =lim_{x d 1}(x€+x+1)=3

2

-1

 7 |해결 전략 | 함수 y=f(x)의 그래프가 끊어져 있는 점의 x의 값에서 f(x)의 극 한값을 조사한다. 1 lim _{x d -1-} f(x)=2, lim x d -1+ f(x)=0이므로 lim x d -1- f(x)+ lim x d -1+ f(x) 따라서 lim x d -1 f(x)의 값이 존재하지 않으므로 f(x)는 x=-1에 서 불연속이다. 2 lim _{x d 0-} f(x)=-1, lim x d 0+ f(x)=1이므로 lim x d 0- f(x)+ lim x d 0+ f(x) 따라서 lim _{x d 0} f(x)의 값이 존재하지 않으므로 f(x)는 x=0에서 불연속이다. 3 lim _{x d 1-} f(x)=0, lim x d 1+ f(x)=-1이므로 lim x d 1- f(x)+ lim x d 1+ f(x) 따라서 lim _{x d 1} f(x)의 값이 존재하지 않으므로 f(x)는 x=1에서 불연속이다. ;0); 꼴의 극한

4 x=2에서의 함숫값은 f(2)=-2 lim x d 2- f(x)=-1, lim x d 2+ f(x)=-1이므로 lim x d 2 f(x)=-1 따라서 lim _{x d 2} f(x)+f(2)이므로 f(x)는 x=2에서 불연속이다. 1~4에서 극한값이 존재하지 않는 x의 값은 x=-1, x=0, x=1 이고, 불연속이 되는 x의 값은 x=-1, x=0, x=1, x=2이므로 a=3, b=4 4 a+b=7

2

-2

 ㄴ, ㄷ

|해결 전략 | 함수 y=f(x)의 그래프가 x=a에서 끊어져 있으면 f(x)는 x=a 에서 불연속이다. ㄱ. lim x d -1- f(x)=2, lim x d -1+ f(x)=1이므로 lim x d -1- f(x)+ lim x d -1+ f(x) 즉, lim x d -1 f(x)의 값이 존재하지 않는다. ㄴ, ㄷ. 1 ㄱ에서 lim _{x d -1} f(x)의 값이 존재하지 않으므로 f(x)는 x=-1에서 불연속이다. 2 lim _{x d 0-} f(x)=1, lim x d 0+ f(x)=0이므로 lim x d 0- f(x)+ lim x d 0+ f(x) 따라서 lim _{x d 0} f(x)의 값이 존재하지 않으므로 f(x)는 x=0에 서 불연속이다. 3 x=1에서의 함숫값은 f(1)=0 lim x d 1- f(x)=-1, lim x d 1+ f(x)=-1이므로 lim x d 1 f(x)=-1 따라서 lim _{x d 1} f(x)+f(1)이므로 f(x)는 x=1에서 불연속이다. 1, 2, 3에서 극한값이 존재하지 않는 x의 값의 개수는 x=-1, x=0의 2이고, 불연속이 되는 x의 값의 개수는 x=-1, x=0, x=1의 3이다. 따라서 옳은 것은 ㄴ, ㄷ이다.

3

-1

 ㄱ |해결 전략 | 두 함수 f(x), g(x)에 대하여 합성함수 f(g(x))가 x=a에서 연속 이려면 lim x d a-f(g(x))= lim x d a+f(g(x))=f(g(a))이어야 한다. ㄱ. lim x d 1- f(g(x))= lim g(x) d 1- f(g(x))=-1 ㄴ. lim x d 1- f(x)g(x)=-1_1=-1 lim x d 1+ f(x)g(x)=0_0=0    4 lim x d 1- f(x)g(x)+ lim x d 1+ f(x)g(x) 따라서 lim _{x d 1} f(x)g(x)의 값이 존재하지 않으므로 함수 f(x)g(x) 는 x=1에서 불연속이다. ㄷ. lim x d -1- g( f(x))=g(0)=0 lim x d -1+ g( f(x))=g(-1)=0 4 lim x d -1 g( f(x))=0 이때, g( f(-1))=g(-1)=0이므로 lim x d -1 g( f(x))=g( f(-1)) 즉, 함수 g( f(x))는 x=-1에서 연속이다. 따라서 옳은 것은 ㄱ이다.

3

-2

 ㄴ, ㄷ |해결 전략 | x=0에서의 좌극한과 우극한이 같은지 조사한 후 함숫값과 비교 한다. ㄱ. lim x d 0- { f(x)+g(x)}=-1+0=-1 lim x d 0+ { f(x)+g(x)}=1+0=1 4 lim x d 0- { f(x)+g(x)}+ lim x d 0+ { f(x)+g(x)} 따라서 lim _{x d 0}{ f(x)+g(x)}의 값이 존재하지 않으므로 함수 f(x)+g(x)는 x=0에서 불연속이다. ㄴ. lim x d 0- f(x)g(x)=-1_0=0 lim x d 0+ f(x)g(x)=1_0=0 4 lim _{x d 0} f(x)g(x)=0 이때, f(0)g(0)=0_0=0이므로 lim _{x d 0} f(x)g(x)=f(0)g(0) 즉, 함수 f(x)g(x)는 x=0에서 연속이다. ㄷ. lim x d 0- g( f(x))=g(-1)=0 lim x d 0+ g( f(x))=g(1)=0 4 lim _{x d 0} g( f(x))=0 이때, g( f(0))=g(0)=0이므로 lim _{x d 0} g( f(x))=g( f(0)) 즉, 함수 g( f(x))는 x=0에서 연속이다. 따라서 x=0에서 연속함수인 것은 ㄴ, ㄷ이다.

4

-1

 ;2%; |해결 전략 | lim x d 2- f(x)g(x)= limx d 2+ f(x)g(x)=f(2)g(2)를 만족시키는 a의 값을 구한다. 함수 f(x)g(x)가 x=2에서 연속이려면 lim x d 2- f(x)g(x)= lim x d 2+ f(x)g(x)=f(2)g(2)이어야 한다. 이때, lim x d 2- f(x)g(x)= lim x d 2-(-x€+1)(x€-ax+1)=-3(5-2a) lim x d 2+ f(x)g(x)= lim x d 2+(-x+1)(x€-ax+1)=-(5-2a) f(2)g(2)=-(5-2a)

이므로 -3(5-2a)=-(5-2a) 4 a=;2%;

4

-2

 -;2!; |해결 전략 | lim x d 1-g(x) f(x)=x d 1+lim g(x) f(x)= g(1)f(1)을 만족시키는 a의 값을 구 한다. 함수 g(x) f(x)가 x=1에서 연속이려면 lim x d 1-g(x) f(x)= limx d 1+ g(x) f(x)= g(1)f(1)이어야 한다. 이때, lim x d 1-g(x) f(x)= limx d 1-(-x+a)=-1+a lim x d 1+ g(x) f(x)= limx d 1+(-2x-a)=-2-a g(1) f(1)=-2-a 이므로 -1+a=-2-a 4 a=-;2!;

5

-1

 2 |해결 전략 | 함수 f(x)가 모든 실수에서 연속이면 x=-1, x=1에서 연속이어 야 한다. f(x)=[ _{x€+ax+b (|x|<1)}x+3 (|x|>1) =

[

x+3 (x>1) x€+ax+b (-1<x<1) x+3 (x<-1) 함수 f(x)가 모든 실수 x에서 연속이므로 x=-1, x=1에서도 연 속이다. 함수 f(x)가 x=-1에서 연속이려면 lim x d -1-(x+3)= limx d -1+(x€+ax+b)=f(-1) -1+3=1-a+b 4 a-b=-1 yy㉠ 또, 함수 f(x)가 x=1에서 연속이려면 lim x d 1-(x€+ax+b)= limx d 1+(x+3)=f(1) 1+a+b=1+3 4 a+b=3 yy㉡ ㉠, ㉡을 연립하여 풀면 a=1, b=2 4 ab=2

5

-2

 g(x)=x€-1 |해결 전략 | g(x)=x€+ax+b (a, b는 상수)라 하고 함수 f(x)g(x)를 구한 다. g(x)=x€+ax+b (a, b는 상수)라 하면 f(x)g(x)=[ -x€-ax-b (|x|>1) x€+ax+b (|x|<1) =

[

-x€-ax-b (x>1) x€+ax+b (-1<x<1) -x€-ax-b (x<-1) 함수 f(x)g(x)가 모든 실수 x에서 연속이므로 x=-1, x=1에서 도 연속이다. 함수 f(x)g(x)가 x=-1에서 연속이려면 lim

x d -1-(-x€-ax-b)= lim x d -1+(x€+ax+b)=f(-1)g(-1)

-1+a-b=1-a+b

4 a-b=1 ……㉠

또, 함수 f(x)g(x)가 x=1에서 연속이려면

lim

x d 1-(x€+ax+b)= lim x d 1+(-x€-ax-b)=f(1)g(1)

1+a+b=-1-a-b 4 a+b=-1 ……㉡ ㉠, ㉡을 연립하여 풀면 a=0, b=-1 4 g(x)=x€-1

6

-1

 0 |해결 전략 | 함수 f(x)=[ g(x) (x+a) k (x=a) (k는 상수)가 x=a에서 연속이면 lim x d ag(x)=k임을 이용한다. 함수 f(x)가 x=b에서 연속이므로 lim x d b f(x)=f(b) 4 lim _{x d b}x€-3x+a_x-b =5 ……㉠ ㉠에서 lim _{x d b}(x-b)=0이므로 lim x d b(x€-3x+a)=b€-3b+a=0 4 a=-b€+3b ……㉡ ㉡을 ㉠에 대입하면 lim x d b x€-3x-b€+3b x-b =lim x d b (x-b)(x+b-3) x-b =lim x d b(x+b-3) =2b-3=5 4 b=4 b=4를 ㉡에 대입하면 a=-4 4 a+b=-4+4=0

6

-2

 ;4&; |해결 전략 | 함수 f(x)=[ g(x) (x+a) k (x=a) (k는 상수)가 x=a에서 연속이면 lim x d ag(x)=k임을 이용한다. 극한값이 존재하고 (분모) d 0이므로 (분자) d 0이다.