| 도함수의 활용 ⑵
2 함수의 극대·극소
개념 확인 119쪽~120쪽
1 ⑴ 극댓값: 없다., 극솟값: -1 ⑵ 극댓값: 4, 극솟값: 0 2 ⑴ 극댓값: 없다., 극솟값: -1 ⑵ 극댓값: 0, 극솟값: -32
1
⑴ 함수 f(x)는 극댓값은 없고, x=0의 좌우에서 감소하다가 증 가하므로 f(x)는 x=0에서 극소이며 극솟값은f(0)=-1
⑵ 함수 f(x)는 x=0의 좌우에서 증가하다가 감소하므로 f(x)는 x=0에서 극대이며 극댓값은
f(0)=4
또, x=2의 좌우에서 감소하다가 증가하므로 f(x)는 x=2에 서 극소이며 극솟값은
f(2)=0
2
⑴ f(x)=x€-2x에서 f '(x)=2x-2=2(x-1) f '(x)=0에서 x=1함수 f(x)의 증가, 감소를 표로 나타내면 다음과 같다.
x y 1 y
f '(x) - 0 +
f(x) ↘ -1 ↗
따라서 함수 f(x)는 극댓값은 없고,
x=1에서 극소이고 극솟값은 f(1)=-1이다.
⑵ f(x)=x‹-6x€에서
f '(x)=3x€-12x=3x(x-4) f '(x)=0에서 x=0 또는 x=4
함수 f(x)의 증가, 감소를 표로 나타내면 다음과 같다.
x y 0 y 4 y
f '(x) + 0 - 0 +
f(x) ↗ 0 ↘ -32 ↗
따라서 함수 f(x)는
x=0에서 극대이고 극댓값은 f(0)=0, x=4에서 극소이고 극솟값은 f(4)=-32이다.
개념 check 1-1 b, e, b, e 2-1 0, -1, 1
3-1 -1, 1, -1, 1, -1, 7, 1, 1, 7, -1, -1, -1
개념 드릴 | 121쪽 |
1
STEP
스스로 check
1 -2
b, d, f함수 f(x)는 x=b, x=d, x=f의 좌우에서 증가하다가 감소하므로 f(x)가 극댓값을 갖는 점의 x좌표는 b, d, f이다.
2 -2
⑴ -10, 0 ⑵ -4, 2⑴ f(x)=-x‹-15x€+6에서
f '(x)=-3x€-30x=-3x(x+10)
따라서 미분가능한 함수 f(x)가 x=a에서 극값을 가지므로 f '(a)=-3a(a+10)=0에서 a=-10 또는 a=0
⑵ f(x)=x‹+3x€-24x에서
f '(x)=3x€+6x-24=3(x+4)(x-2)
따라서 미분가능한 함수 f(x)가 x=a에서 극값을 가지므로 f '(a)=3(a+4)(a-2)=0에서 a=-4 또는 a=2
3 -2
⑴ 극댓값: 8, 극솟값: 없다. ⑵ 극댓값: 44, 극솟값: -81⑶ 극댓값: 1, 극솟값: -31
⑴ f(x)=-x€+4x+4에서 f '(x)=-2x+4=-2(x-2) f '(x)=0에서 x=2
함수 f(x)의 증가, 감소를 표로 나타내면 다음과 같다.
x y 2 y
f '(x) + 0
-f(x) ↗ 8 ↘
따라서 함수 f(x)는
x=2에서 극대이고 극댓값은 f(2)=8, 극솟값은 없다.
⑵ f(x)=2x‹-3x€-36x에서
f '(x)=6x€-6x-36=6(x+2)(x-3) f '(x)=0에서 x=-2 또는 x=3
함수 f(x)의 증가, 감소를 표로 나타내면 다음과 같다.
x y -2 y 3 y
f '(x) + 0 - 0 +
f(x) ↗ 44 ↘ -81 ↗
따라서 함수 f(x)는
x=-2에서 극대이고 극댓값은 f(-2)=44, x=3에서 극소이고 극솟값은 f(3)=-81이다.
⑶ f(x)=-x‹-6x€+1에서
f '(x)=-3x€-12x=-3x(x+4) f '(x)=0에서 x=-4 또는 x=0
함수 f(x)의 증가, 감소를 표로 나타내면 다음과 같다.
x y -4 y 0 y
f '(x) - 0 + 0
-f(x) ↘ -31 ↗ 1 ↘
따라서 함수 f(x)는
x=0에서 극대이고 극댓값은 f(0)=1,
x=-4에서 극소이고 극솟값은 f(-4)=-31이다.
필수 유형 | 122쪽~126쪽 |
2
STEP
01-1
⑴ 극댓값: -1, 극솟값: -;3&;⑵ 극댓값: 13, 극솟값: -19, 8
|해결 전략 | f '(x)=0이 되는 x의 값을 구하고 그 값의 좌우에서 f '(x)의 부호 가 바뀌는지 조사한다.
⑴ f(x)=-;3!;x‹+2x€-3x-1에서 f '(x) =-x€+4x-3=-(x-1)(x-3) f '(x)=0에서 x=1 또는 x=3
함수 f(x)의 증가, 감소를 표로 나타내면 다음과 같다.
x y 1 y 3 y
f '(x) - 0 + 0
-f(x) ↘ -;3&; ↗ -1 ↘ 따라서 함수 f(x)는
x=3에서 극대이고 극댓값은 f(3)=-1, x=1에서 극소이고 극솟값은 f(1)=-;3&;이다.
⑵ f(x)=3x›-8x‹-6x€+24x에서
f '(x)=12x‹-24x€-12x+24=12(x+1)(x-1)(x-2) f '(x)=0에서 x=-1 또는 x=1 또는 x=2
함수 f(x)의 증가, 감소를 표로 나타내면 다음과 같다.
x y -1 y 1 y 2 y
f '(x) - 0 + 0 - 0 +
f(x) ↘ -19 ↗ 13 ↘ 8 ↗
따라서 함수 f(x)는
x=1에서 극대이고 극댓값은 f(1)=13,
x=-1, x=2에서 극소이고 극솟값은 f(-1)=-19, f(2)=8 이다.
01-2
26|해결 전략 | f '(x)=0이 되는 x의 값을 구하고 그 값의 좌우에서 f '(x)의 부호 가 바뀌는지 조사한다.
f(x)=x‹+3x€-9x+2에서
f '(x)=3x€+6x-9=3(x+3)(x-1) f '(x)=0에서 x=-3 또는 x=1
함수 f(x)의 증가, 감소를 표로 나타내면 다음과 같다.
x y -3 y 1 y
f '(x) + 0 - 0 +
f(x) ↗ 29 ↘ -3 ↗
따라서 함수 f(x)는
x=-3에서 극대이고 극댓값은 M=f(-3)=29, x=1에서 극소이고 극솟값은 m=f(1)=-3
∴ M+m=29+(-3)=26
02-1
-;2!;|해결 전략 | 미분가능한 함수 f(x)가 x=-1, x=0에서 극값을 가지므로 f '(-1)=f '(0)=0임을 이용하여 a, b의 값을 구한다.
f(x)=-x‹+ax€+bx에서 f '(x)=-3x€+2ax+b 함수 f(x)가 x=-1, x=0에서 극값을 가지므로
f '(-1)=-3-2a+b=0 yy㉠
f '(0)=b=0 yy㉡
㉡을 ㉠에 대입하면 a=-;2#;
따라서 f(x)=-x‹-;2#;x€이므로 극솟값은 f(-1)=1-;2#;=-;2!;
다른 풀이
f(x)=-x‹+ax€+bx에서 f '(x)=-3x€+2ax+b 함수 f(x)가 x=-1, x=0에서 극값을 가지므로 f '(-1)=0, f '(0)=0
즉, 이차방정식 f '(x)=0의 두 근이 -1, 0이므로 근과 계수의 관계에 의하여
-1+0= 2a3 , -1_0=-;3B;
∴ a=-;2#;, b=0
따라서 f(x)=-x‹-;2#;x€이므로 극솟값은 f(-1)=1-;2#;=-;2!;
02-2
32|해결 전략 | 미분가능한 함수 f(x)가 x=-2, x=2에서 극값을 가지므로 f '(-2)=f '(2)=0임을 이용하여 a, b의 값을 구한 후, 극댓값과 극솟값을 구한다.
f(x)=-x‹+ax€+bx+c에서 f '(x)=-3x€+2ax+b 함수 f(x)가 x=-2, x=2에서 극값을 가지므로
f '(-2)=-12-4a+b=0 yy㉠
f '(2)=-12+4a+b=0 yy㉡
㉠, ㉡을 연립하여 풀면 a=0, b=12
∴ f(x)=-x‹+12x+c
f '(x)=-3x€+12=-3(x+2)(x-2) f '(x)=0에서 x=-2 또는 x=2
함수 f(x)의 증가, 감소를 표로 나타내면 다음과 같다.
x y -2 y 2 y
f '(x) - 0 + 0
-f(x) ↘ c-16 ↗ c+16 ↘
즉, 함수 f(x)는
x=2에서 극대이고 극댓값은 f(2)=c+16, x=-2에서 극소이고 극솟값은 f(-2)=c-16이다.
따라서 극댓값과 극솟값의 차는 (c+16)-(c-16)=32