| 부정적분
2 부정적분의 계산
STEP
01-1
1|해결 전략 | …f(x)dx=F(x)+C이면 f(x)=F'(x)임을 이용한다.
…(2x‹-3x€+ax+1)dx=bx›-x‹+x€+cx-2에서 2x‹-3x€+ax+1 =(bx›-x‹+x€+cx-2)'
=4bx‹-3x€+2x+c 이때, 2=4b, a=2, 1=c이므로
a=2, b=;2!;, c=1 ∴ abc=2_;2!;_1=1
01-2
-10|해결 전략 | …f(x)dx=F(x)+C이면 f(x)=F'(x)임을 이용한다.
…xf(x)dx=-2x‹+x€에서 xf(x) =(-2x‹+x€)'
=-6x€+2x=x(-6x+2)
∴ f(x)=-6x+2
∴ f(2)=-12+2=-10
02-1
2|해결 전략 | ddx …f(x)dx=f(x)임을 이용한다.
dx …(x‹+ax€+3)dx=x‹+ax€+3이므로 주어진 등식은 d x‹+ax€+3=bx‹-2x€+c
2 부정적분의 계산
개념 확인 165쪽~166쪽
1 ⑴ ;5!;xfi+C ⑵ ;8!;x°+C
2 ⑴ x‹+x€+x+C ⑵ ;2!;x›+;2!;x€-4x+C
1
⑴ …x›dx= 14+1 x›+1+C=;5!;xfi+C ⑵ …x‡dx= 17+1 x7+1+C=;8!;x°+C2
⑴ …(3x€+2x+1)dx=…3x€dx+…2xdx+…1dx =3…x€dx+2…xdx+…dx
=3{;3!;x‹+C¡}+2{;2!;x€+C™}+(x+C£) =x‹+x€+x+3C¡+2C™+C£
=x‹+x€+x+C ⑵ …(2x‹+x-4)dx
=…2x‹dx+…xdx-…4dx =2…x‹dx+…xdx-4…dx
=2{;4!;x›+C¡}+{;2!;x€+C™}-4(x+C£) =;2!;x›+;2!;x€-4x+2C¡+C™-4C£
=;2!;x›+;2!;x€-4x+C 따라서 a=-2, b=1, c=3이므로 a+b+c=-2+1+3=2
02-2
;2#;|해결 전략 | ddx …f(x)dx=f(x)임을 이용한다.
dx …(x+4)dx=x+4이므로 주어진 등식은 d x+4=2x€-2x+5
2x€-3x+1=0, (2x-1)(x-1)=0
∴ x=;2!; 또는 x=1
따라서 주어진 등식을 만족시키는 모든 x의 값의 합은
;2!;+1=;2#;
필수 유형 | 168쪽~172쪽 |
2
STEP
01-1
0|해결 전략 | 부정적분의 실수배, 합, 차의 성질을 이용한다.
f(x)=…(x€-x+1)(3x+2)dx-…(x€-x+1)(2x+1)dx
=…(x€-x+1){(3x+2)-(2x+1)}dx
=…(x€-x+1)(x+1)dx
=…(x‹+1)dx
=;4!;x›+x+C 이때, f(0)=;4#;이므로 C=;4#;
따라서 f(x)=;4!;x›+x+;4#;이므로
`f(-1)=;4!;-1+;4#;=0 다른 풀이
…(x-1)€dx=;3!;(x-1)‹+C
(x+a)n 꼴의 부정적분
n이 0 또는 양의 정수이고 a는 상수, C는 적분상수일 때,
…(x+a)ndx= 1n+1 (x+a)n+1+C LECTURE
⑶ …(2x-1)(4x€+2x+1)dx=…(8x‹-1)dx
=…8x‹dx-…1dx
=8…x‹dx-…dx
=2x›-x+C
⑷ … x€-93-x dx=… (x+3)(x-3) -(x-3) dx
=…(-x-3)dx
=…(-x)dx-…3dx
=-…xdx-3…dx
=-;2!;x€-3x+C 개념 check
1-1 ⑴ 14, 14, 15, 15 ⑵ 25, 25, 26, 26 2-1 +, -, -6, x‹, x›
3-1 ⑴ 1, 1, x ⑵ x-1, x-1, x, 2, 2
개념 드릴 | 167쪽 |
1
STEP
스스로 check
1 -2
⑴ ;1¡1;x11+C ⑵ ;6¡1;x61+C⑴ …x‹_x‡dx=…x⁄‚dx= 110+1 x10+1+C
=;1¡1;x11+C
⑵ …(x⁄fi)›dx=…xfl‚dx= 160+1 x60+1+C
=;6¡1;x61+C
2 -2
⑴ -x›+x‹+C ⑵ 3x‹-3x€+x+C⑴ …(-4x‹+3x€)dx=…(-4x‹)dx+…3x€dx
=-4…x‹dx+3…x€dx
=-x›+x‹+C
⑵ …(9x€-6x+1)dx=…9x€dx-…6xdx+…1dx
=9…x€dx-6…xdx+…dx
=3x‹-3x€+x+C
3 -2
⑴ ;4!;x›-;3$;x‹+x€-8x+C ⑵ ;3!;x‹-x€+x+C⑶ 2x›-x+C ⑷ -;2!;x€-3x+C
⑴ …(x€+2)(x-4)dx=…(x‹-4x€+2x-8)dx
=…x‹dx-…4x€dx+…2xdx-…8dx
=…x‹dx-4…x€dx+2…xdx-8…dx
=;4!;x›-;3$;x‹+x€-8x+C
⑵ …(x-1)€dx=…(x€-2x+1)dx
=…x€dx-…2xdx+…1dx
=…x€dx-2…xdx+…dx
=;3!;x‹-x€+x+C
01-2
11|해결 전략 | 부정적분의 실수배, 합, 차의 성질을 이용한다.
f(x)=…(1+2x+3x€+` y +10x·)dx
=x+x€+x‹+ y` +x10+C 이때, f(0)=1이므로 C=1
따라서 f(x)=x+x€+x‹+ y` +x10+1이므로 f(1)=1+1+1+ y +1+1=11
02-1
;2!;|해결 전략 | f(x)=…f '(x)dx임을 이용한다.
f(x)=…f '(x)dx
=…(-x+1)dx
=-;2!;x€+x+C 이때, f(2)=2이므로 -2+2+C=2에서 C=2
따라서 f(x)=-;2!;x€+x+2이므로 f(-1)=-;2!;-1+2=;2!;
02-2
:¡2¡:|해결 전략 | f(x)+g(x)=…{f '(x)+g'(x)}dx임을 이용한다.
f(x)+g(x)=…{ f '(x)+g'(x)}dx
=…{(2x+1)+(3x€-x+1)}dx
=…(3x€+x+2)dx
=x‹+;2!;x€+2x+C 이때, f(0)+g(0)=2이므로 C=2
따라서 f(x)+g(x)=x‹+;2!;x€+2x+2이므로
`f(1)+g(1)=1+;2!;+2+2=:¡2¡:
미분가능한 두 함수 f(x), g(x)에 대하여 { f(x)+g(x)}'=f '(x)+g'(x)이므로
…{ f '(x)+g'(x)}dx=f(x)+g(x) LECTURE
11개
[
03-1
f(x)=-3x€+2x+4|해결 전략 | 양변을 x에 대하여 미분한 후 F '(x)=f(x)임을 이용하여 f '(x) 를 구한다.
F(x)=xf(x)+2x‹-x€의 양변을 x에 대하여 미분하면 F'(x)=f(x)+xf '(x)+6x€-2x
F'(x)=f(x)이므로
f(x)=f(x)+xf '(x)+6x€-2x xf '(x)=-6x€+2x=x(-6x+2)
∴ f '(x)=-6x+2
∴ f(x)=…(-6x+2)dx=-3x€+2x+C 이때, f(1)=3이므로 -3+2+C=3에서 C=4
∴ f(x)=-3x€+2x+4
함수의 곱의 미분법
두 함수 f(x), g(x)가 미분가능할 때 { f(x)g(x)}'=f '(x)g(x)+f(x)g'(x)
LECTURE
03-2
-5|해결 전략 | 양변을 x에 대하여 미분한 후 F '(x)=f(x)임을 이용하여 f '(x) 를 구한다.
F(x)-xf(x)=-3x›+5x€의 양변을 x에 대하여 미분하면 F'(x)-f(x)-xf '(x)=-12x‹+10x
F'(x)=f(x)이므로
f(x)-f(x)-xf '(x)=-12x‹+10x xf '(x)=12x‹-10x=x(12x€-10)
∴ `f '(x)=12x€-10
∴ f(x)=…(12x€-10)dx=4x‹-10x+C
이때, f(-1)=1이므로 -4+10+C=1에서 C=-5 따라서 f(x)=4x‹-10x-5이므로
f(0)=-5
다른 풀이
F(x)-xf(x)=-3x›+5x€의 양변에 x=0을 대입하면 F(0)=0
f(x)는 삼차함수이므로
f(x)=ax‹+bx€+cx+d(a+0, b, c, d는 상수)라 하면 F(x)=;4A;x›+;3B;x‹+;2C;x€+dx+C
F(0)=0이므로 C=0
이때, F(x)-xf(x)=-3x›+5x€이므로
;4A;x›+;3B;x‹+;2C;x€+dx-x(ax‹+bx€+cx+d)=-3x›+5x€
미정계수법에 의하여
;4A;-a=-3, ;3B;-b=0, ;2C;-c=5
∴ a=4, b=0, c=-10
f(-1)=-a+b-c+d=-4+10+d=1에서 d=-5 따라서 f(x)=4x‹-10x-5이므로
f(0)=-5
04 -1
14|해결 전략 | 구간별로 f '(x)의 부정적분을 구하고, 함수 f(x)가 x=0에서 연 속임을 이용하여 적분상수 사이의 관계식을 구한다.
f '(x)=[-x+2 (x>0)
x€+1 (x<0)이고 f(x)가 연속함수이므로
f(x)=
[
-;2!;x€+2x+C¡ (x>0);3!;x‹+x+C™ (x<0) 함수 f(x)는 x=0에서 연속이므로
limx d 0+{-;2!;x€+2x+C¡}=limx d 0-{ ;3!;x‹+x+C™}
에서 C¡=C™
따라서
f(2)=-2+4+C¡=2+C¡
f(-3)=-9-3+C™=-12+C™
이므로
f(2)-f(-3)=(2+C¡)-(-12+C™)=14 (∵ C¡=C™)
04 -2
-;2%;|해결 전략 | 구간별로 f '(x)의 부정적분을 구하고, 함수 f(x)가 x=0에서 연 속임을 이용하여 적분상수를 구한다.
f '(x)=[-x+2 (x>0) 2 (x<0)이므로
f(x)=
[
-;2!;x€+2x+C¡ (x>0) 2x+C™ (x<0)함수 y=f(x)의 그래프가 점 (1, 1)을 지나므로 f(1)=1에서 -;2!;+2+C¡=1 ∴ `C¡=-;2!;
함수 f(x)는 x=0에서 연속이므로
x d 0+lim {-;2!;x€+2x-;2!;}=limx d 0- (2x+C™) 에서 C™=-;2!;
따라서 f(x)=
[
-;2!;x€+2x-;2!; (x>0) 2x-;2!; (x<0)이므로 f(-1)=-2-;2!;=-;2%;05 -1
-20|해결 전략 | 극대인 점을 찾아 f '(x)의 부정적분에서 적분상수를 구한다.
f '(x)=3x(x-4)이므로 f '(x)=0에서 x=0 또는 x=4
x y 0 y 4 y
f '(x) + 0 - 0 +
f(x) ↗ 극대 ↘ 극소 ↗
함수 f(x)는 x=0에서 극댓값을 가지므로 f(0)=12 이때,
f(x)=…3x(x-4)dx
=…(3x€-12x)dx=x‹-6x€+C 이므로 f(0)=12에서 C=12
따라서 f(x)=x‹-6x€+12이므로 f(x)의 극솟값은 f(4)=64-96+12=-20
05-2
20|해결 전략 | f '(x)=a(x+1)(x-1)(a>0)로 놓고 주어진 극값을 이용 한다.
함수 y=f '(x)의 그래프가 x=-1, x=1에서 x축과 만나고 아래 래 볼록하므로 f '(x)=a(x+1)(x-1)(a>0)로 놓으면
f '(x)=0에서 x=-1 또는 x=1
x y -1 y 1 y
f '(x) + 0 - 0 +
f(x) ↗ 극대 ↘ 극소 ↗
함수 f(x)는 x=-1에서 극댓값을 가지고, x=1에서 극솟값을 가 지므로 f(-1)=4, f(1)=0
이때,
f(x)=…a(x+1)(x-1)dx
=…(ax€-a)dx=;3!;ax‹-ax+C 이므로
f(-1)=4에서 -;3!;a+a+C=4
∴ ;3@;a+C=4 yy㉠
f(1)=0에서 ;3!;a-a+C=0
∴ -;3@;a+C=0 yy㉡
㉠, ㉡을 연립하여 풀면 a=3, C=2 따라서 f(x)=x‹-3x+2이므로 f(3)=27-9+2=20
유형 드릴 | 173쪽~175쪽 |
3
STEP
1 -1
-1|해결 전략 | 함수 f(x)의 한 부정적분이 F(x)이면 F'(x)=f(x)임을 이용 한다.
F(x)=ax‹-2x+1에서 F '(x)=f(x)=3ax€-2 f(0)=b에서 b=-2
|
| 또, f '(x)=6ax이므로 f '(1)=6에서
6a=6 ∴ a=1
∴ a+b=1+(-2)=-1
1 -2
14|해결 전략 | …F(x)dx=f(x)g(x)이면 F(x)={ f(x)g(x)}'임을 이용 한다.
…F(x)dx=f(x)g(x)에서
F(x)={f(x)g(x)}'=f '(x)g(x)+f(x)g'(x) f(x)=2x+1에서 f '(x)=2
g(x)=3x€-2x에서 g'(x)=6x-2
따라서 f(1)=3, f '(1)=2, g(1)=1, g'(1)=4이므로 F(1)=f '(1)g(1)+f(1)g'(1)
=2_1+3_4=14
2 -1
1|해결 전략 | … [ ddx f(x)]dx=f(x)+C임을 이용한다.
f(x)=… [ ddx (3x€-4x)]dx=3x€-4x+C f(1)=2이므로 3-4+C=2에서 C=3
따라서 f(x)=3x€-4x+3이므로 f(x)=0의 모든 근의 곱은 이차방정식의 근과 계수의 관계에 의하여
;3#;=1
2 -2
-;6!;|해결 전략 | … [ ddx f(x)]dx=f(x)+C임을 이용한다.
f(x)=… [ ddx (6x€+x+2)]dx=6x€+x+2+C f(1)=4이므로 6+1+2+C=4에서 C=-5
따라서 f(x)=6x€+x-3이므로 f(x)=0의 모든 근의 합은 이차방정식의 근과 계수의 관계에 의하여 -;6!;이다.
3 -1
1|해결 전략 | ddx …f(x)dx=f(x), … [ d
dx f(x)]dx=f(x)+C임을 이용 한다.
g(x)= ddx …f(x)dx=f(x)=x+1
h(x)=… [ ddx f(x)]dx=f(x)+C=x+1+C g(0)+h(0)=3에서
1+(1+C)=3 ∴ C=1 따라서 h(x)=x+2이므로 h(2)-g(2)=(2+2)-(2+1)=1
3-2
-2|해결 전략 | ddx …f(x)dx=f(x), … [ d
dx f(x)]dx=f(x)+C임을 이용 한다.
g(x)= ddx …f(x)dx=f(x)=-x€+2
h(x)=… [ ddx f(x)]dx=f(x)+C=-x€+2+C g(1)+h(1)=4에서
(-1+2)+(-1+2+C)=4 ∴ C=2 따라서 h(x)=-x€+4이므로
g(-1)-h(-1)=(-1+2)-(-1+4)=-2
4-1
16|해결 전략 | 부정적분의 실수배, 합, 차의 성질을 이용한다.
f(x)=…(3x-1)€dx
=…(9x€-6x+1)dx=3x‹-3x€+x+C 이때, f(1)=3이므로 3-3+1+C=3 ∴ C=2 따라서 f(x)=3x‹-3x€+x+2이므로
f(2)=24-12+2+2=16
다른 풀이
f(x)=…(3x-1)€dx=;3!;_;3!;(3x-1)‹+C
= (3x-1)‹9 +C
이때, f(1)=3이므로 2‹
9 +C=3 ∴ C=:¡9ª:
따라서 f(x)=(3x-1)‹
9 +:¡9ª:이므로 f(2)= 5‹9 +:¡9ª:=16
(ax+b)n 꼴의 부정적분
n이 0 또는 양의 정수이고 a(a+0), b는 상수, C는 적분상수일 때,
…(ax+b)ndx=;a!;_ 1n+1 (ax+b)n+1+C LECTURE
4-2
-1|해결 전략 | 부정적분의 실수배, 합, 차의 성질을 이용한다.
f(x)=…(1+2x+3x€+ y +nxn-1)dx
=x+x€+x‹+ y +xn+C 이때, f(0)=-1이므로 C=-1
또, f(1)=7이므로 1+1+1+ y +1-1=7 ∴ n=8
따라서 f(x)=x+x€+x‹+ y +x°-1이므로 f(-1)=(-1+1-1+ y +1)-1=-1
n개
{
5 -1
3|해결 전략 | xf(x)=…{ f(x)+xf '(x)}dx임을 이용한다.
{xf(x)}'=f(x)+xf '(x)이므로 xf(x)=… { f(x)+xf '(x)}dx
=…(x€+2x+3)dx
=;3!;x‹+x€+3x+C
이때, f(x)는 다항함수이므로 양변에 x=0을 대입하면 C=0
∴ xf(x)=;3!;x‹+x€+3x
=x{;3!;x€+x+3}
따라서 f(x)=;3!;x€+x+3이므로 f(0)=3
5 -2
;4!;x›-;6!;x‹+;2!;x€+x+C|해결 전략 | f(x)=…f '(x)dx와 f(0)=1을 이용하여 함수 f(x)를 구한 후 f(x)의 부정적분을 구한다.
f '(x)=3x€-x+1이므로 f(x)=…f '(x)dx
=…(3x€-x+1)dx
=x‹-;2!;x€+x+C¡
이때, f(0)=1이므로 C¡=1
따라서 f(x)=x‹-;2!;x€+x+1이므로 함수 f(x)의 부정적분은
…f(x)dx=… {x‹-;2!;x€+x+1}dx
=;4!;x›-;6!;x‹+;2!;x€+x+C
6 -1
0|해결 전략 | 양변을 x에 대하여 미분한 후 F '(x)=f(x)임을 이용하여 f '(x) 를 구한다.
xf(x)-F(x)=;4!;x›-2x€의 양변을 x에 대하여 미분하면 f(x)+xf '(x)-f(x)=x‹-4x
xf '(x)=x‹-4x=x(x€-4)
∴ f '(x)=x€-4
∴ f(x)=…(x€-4)dx=;3!;x‹-4x+C 이때, f(0)=3이므로 C=3
따라서 f(x)=;3!;x‹-4x+3이므로 f(3)=9-12+3=0
다른 풀이
xf(x)-F(x)=;4!;x›-2x€의 양변에 x=0을 대입하면 F(0)=0
f(x)는 삼차함수이므로
f(x)=ax‹+bx€+cx+d(a+0, b, c, d는 상수)라 하면 F(x)=;4A;x›+;3B;x‹+;2C;x€+dx+C
F(0)=0이므로 C=0
이때, xf(x)-F(x)=;4!;x›-2x€이므로
x(ax‹+bx€+cx+d)-{;4A;x›+;3B;x‹+;2C;x€+dx}=;4!;x›-2x€
미정계수법에 의하여
a-;4A;=;4!;, b-;3B;=0, c-;2C;=-2
∴ a=;3!;, b=0, c=-4 f(0)=3에서 d=3
따라서 f(x)=;3!;x‹-4x+3이므로 f(3)=9-12+3=0
6 -2
;2!;|해결 전략 | 양변을 x에 대하여 미분한 후 ddx …f(x)dx=f(x)임을 이용하 여 f '(x)를 구한다.
…f(x)dx=xf(x)+x€의 양변을 x에 대하여 미분하면 f(x)=f(x)+xf '(x)+2x
xf '(x)=-2x ∴ f '(x)=-2
∴ f(x)=…(-2)dx=-2x+C 이때, f(0)=1이므로 C=1
따라서 f(x)=-2x+1이므로 직선 y=f(x)의 x절편은 ;2!;이다.
다른 풀이
함수 f(x)는 일차함수이므로
f(x)=ax+b (a+0, b는 상수) yy㉠
…f(x)dx=xf(x)+x€에 ㉠을 대입하면
…(ax+b)dx=x(ax+b)+x€
;2A;x€+bx+C=(a+1)x€+bx
미정계수법에 의하여 ;2A;=a+1, C=0 ∴ a=-2 f(0)=1에서 b=1
따라서 f(x)=-2x+1이므로 직선 y=f(x)의 x절편은 ;2!;이다.
7 -1
-1|해결 전략 | 구간별로 f '(x)의 부정적분을 구하고, 함수 f(x)가 x=0에서 연 속임을 이용하여 적분상수를 구한다.
f '(x)=x-|x|=[ 0 (x>0) 2x (x<0)이므로
f(x)=[ C¡ (x>0) x€+C™ (x<0) f(0)=1이므로 C¡=1
함수 f(x)는 x=0에서 연속이므로 lim x d 0+ C¡=limx d 0- (x€+C™)에서 C¡=C™
∴ C™=1 (∵ C¡=1)
∴ f(x)=[ 1 (x>0) x€+1 (x<0)
이때, f(a)=2를 만족시키는 a는 0보다 작아야 하므로 f(a)=a€+1=2, a€=1
∴ a=-1
7 -2
-;2#;|해결 전략 | 구간별로 f '(x)의 부정적분을 구하고, 함수 f(x)가 x=1, x=-1에서 연속임을 이용하여 적분상수를 구한다.
f '(x)=
[
x (-1<x<1)1 (x>1)1 (x<-1) 이고 f(x)가 연속함수이므로
f(x)=
[
;2!;x€+C™ (-1<x<1)x+C¡ (x>1) x+C£ (x<-1)f(0)=0이므로 ;2!;_0+C™=0에서 C™=0 함수 f(x)는 x=1, x=-1에서 연속이므로
x d 1+lim(x+C¡)=lim
x d 1- {;2!;x€+C™}에서
1+C¡=;2!;+C™ ∴ C¡=-;2!; (∵ C™=0) 또, lim
x d -1+ {;2!;x€+C™}=limx d -1- (x+C£)에서
;2!;+C™=-1+C£ ∴ C£=;2#; (∵ C™=0)
따라서 f(x)=
[
x-;2!; (x>1);2!;x€ (-1<x<1) x+;2#; (x<-1)
이므로
1 a>1일 때
a-;2!;=0 ∴ a=;2!; (모순) 2 -1<a<1일 때
;2!;a€=0 ∴ a=0 3 a<-1일 때
a+;2#;=0 ∴ a=-;2#;
1, 2, 3에서 f(a)=0을 만족시키는 모든 실수 a의 값의 합은 0+{-;2#;}=-;2#;
8-1
1|해결 전략 | 곡선 y=f(x) 위의 임의의 점 (x, f(x))에서의 접선의 기울기 는 f '(x)임을 이용한다.
곡선 y=f(x) 위의 임의의 점 (x, f(x))에서의 접선의 기울기 는 f '(x)이므로 f '(x)=2x-3
∴ f(x)=…f '(x)dx
=…(2x-3)dx
=x€-3x+C
이때, f(1)=1이므로 1-3+C=1에서 C=3 따라서 f(x)=x€-3x+3이므로
f(2)=4-6+3=1
8-2
7|해결 전략 | 곡선 y=f(x) 위의 임의의 점 (x, f(x))에서의 접선의 기울기 는 f '(x)임을 이용한다.
곡선 y=f(x) 위의 임의의 점 (x, f(x))에서의 접선의 기울기는 f '(x)이므로 f '(x)=-3x€+1
직선 y=x+1과 곡선 y=f(x)의 접점의 좌표를 (a, b)라 하 면 f '(a)=1이므로 f '(x)=-3x€+1에서
-3a€+1=1, 3a€=0 ∴ a=0 또, b=a+1이므로 b=1
f(x)=…f '(x)dx
=…(-3x€+1)dx
=-x‹+x+C
이고, 곡선 y=f(x)가 점 (0, 1)을 지나므로 f(0)=1에서 C=1
따라서 f(x)=-x‹+x+1이므로 f(-2)=8-2+1=7
9-1
6|해결 전략 | lim
x d 1
f(x)-f(1)
x-1 =f '(1)임을 이용한다.
f(x)=…(4x‹+2x)dx의 양변을 x에 대하여 미분하면 f '(x)= ddx …(4x‹+2x)dx=4x‹+2x
∴ lim
x d 1
f(x)-f(1) x-1 =f '(1)
=4+2=6
함수 y=f(x)의 x=a에서의 미분계수는 f '(a)=lim
h d 0
f(a+h)-f(a)
h =lim
x d a
f(x)-f(a) x-a LECTURE
9 -2
16|해결 전략 | lim
h d 0
f(a+h)-f(a)
h =f '(a)임을 이용하여 limh d 0
f(2+h)-f(2-h)
h 를 미분계수를 사용하여 나타낸다.
f(x)=…(x€+2x)dx의 양변을 x에 대하여 미분하면 f '(x)= ddx …(x€+2x)dx=x€+2x
∴ lim
h d 0
f(2+h)-f(2-h) h
=limh d 0 f(2+h)-f(2)+f(2)-f(2-h)
h
=limh d 0
f(2+h)-f(2)
h +lim
h d 0
f(2-h)-f(2) -h
=f '(2)+f '(2)=2f '(2)
=2(4+4)=2_8=16
10 -1
-;3!;|해결 전략 | 극대인 점을 찾아 f '(x)의 부정적분에서 적분상수를 구한다.
f '(x)=x€-1=(x+1)(x-1)이므로 f '(x)=0에서 x=-1 또는 x=1
x y -1 y 1 y
f '(x) + 0 - 0 +
f(x) ↗ 극대 ↘ 극소 ↗
함수 f(x)는 x=-1에서 극댓값을 가지므로 f(-1)=1 이때,
f(x)=…(x€-1)dx=;3!;x‹-x+C 이므로 f(-1)=1에서
-;3!;+1+C=1 ∴ C=;3!;
따라서 f(x)=;3!;x‹-x+;3!;이므로 f(x)의 극솟값은 f(1)=;3!;-1+;3!;=-;3!;
10 -2
;3&;|해결 전략 | f '(x)=a(x+2)(x-2)(a>0)로 놓고 주어진 극값을 이용 한다.
함수 y=f '(x)의 그래프가 x=-2, x=2에서 x축과 만나고 아래 로 볼록하므로
f '(x)=a(x+2)(x-2)(a>0) 로 놓으면
f '(x)=0에서 x=-2 또는 x=2
x y -2 y 2 y
f '(x) + 0 - 0 +
f(x) ↗ 극대 ↘ 극소 ↗
함수 f(x)는 x=2에서 극솟값을 가지므로 f(2)=-3
이때, f '(0)=-2이므로 -4a=-2 ∴ a=;2!;
∴ f(x)=… ;2!;(x+2)(x-2)dx=… {;2!;x€-2}dx
=;6!;x‹-2x+C f(2)=-3에서
;3$;-4+C=-3 ∴ C=-;3!;
따라서 f(x)=;6!;x‹-2x-;3!;이므로 f(x)의 극댓값은 f(-2)=-;3$;+4-;3!;=;3&;
11-1
③|해결 전략 | f '(x)의 부정적분을 구하고, f(0)의 값을 대입하여 적분상수를 구 한다.
f '(x)=-0.2x(x-8)=-;5!;x€+;5*;x이므로
f(x)=… {-;5!;x€+;5*;x}dx=-;1¡5;x‹+;5$;x€+C 이때, f(0)=10이므로 C=10
따라서 f(x)=-;1¡5;x‹+;5$;x€+10이므로 f(10)=- 10‹15 +;5$;_10€+10
=:¶3º:=23.3…
따라서 제품 10단위를 생산하는 데 필요한 총비용은 23만 원이다.
11-2
②|해결 전략 | f '(x)의 부정적분을 구하고, f(0)의 값을 대입하여 적분상수를 구 한다.
f '(x)=;2!;x+3000이므로
f(x)=… {;2!;x+3000}dx=;4!;x€+3000x+C 이때, f(0)=50000이므로 C=50000 따라서 f(x)=;4!;x€+3000x+50000이므로 f(100)= 10›4 +3000_100+50000
=2500+300000+50000
=352500
따라서 100개의 수공예품을 만드는 데 들어가는 비용은 352500원 이다.