밑을 e로 하는 지수함수와 로그함수의 극한
문항 1핵심노트
1
1lim
→
의 값은?
[2점][2016(가) 3월/교육청 1]
①
②
③
④
⑤
2
2lim
→
ln 의 값은?
[2점][2014(B) 삼사 2]
①
②
③ ④
⑤
3
3함수 log 에 대하여 함수 의 역함수를 g라 할 때, lim
→ g
의 값은?
[4점][2013(B) 11월/교육청(고2) 14]
① ln ② ln ③
함수의 몫의 미분법
문항 3핵심노트
4
4함수
에 대하여 ′의 값은?
[2점][2016(가) 3월/교육청 3]
①
②
③
④ ⑤
5
5실수 전체의 집합에서 미분가능한 함수 에 대하여 함수 g를 g
라 하자. lim
→
일 때, g의 값은?
[3점][2018학년(가) 수능 9]
① ② ③
④ ⑤
2016 2016 2016 2016 2016
2016년 년 년 년 년 년 3 3 3 3 3 3월 월 월 월 월 월 학력평가 학력평가 학력평가 학력평가 학력평가 학력평가 ((((((홀수 홀수 홀수 홀수 홀수 홀수)))))) 2016년 3월 학력평가 (홀수)
1 1
1
1
1 1
1
조건이 주어진 경우의 미정계수 결정
문항 5핵심노트
6
6함수 sin 의 최댓값을 , 최솟값을 이라 하자.
일 때, 양수 의 값은?
[3점][2016(가) 3월/교육청 5]
① ②
③
④
⑤
7
7함수 sin
의 최댓값은 이고 주기는 이다. 두 양수 , 의 합 의 값은?
[3점][2017(가) 3월/교육청 6]
① ②
③
④
⑤
지수함수의 부정적분
문항 7핵심노트
8
8함수 가 모든 실수에서 연속일 때, 도함수 ′ 가
′
≤
＞
이다.
일 때, 의 값은?
[3점][2016(가) 3월/교육청 7]
① ② ③
④ ⑤
9
9모든 실수 에서 연속인 함수 에 대하여 ′
이다. 일 때, 의 값을 구하시오.
[3점][2015(B) 4월/교육청 25]
10
10연속함수 의 도함수 ′ 가
′
이고
일 때, 의 값은?
함수의 증가와 감소
문항 9핵심노트
11
11실수 전체의 집합에서 함수 이 증가하도록 하는 자연수 의 최댓값은?
[3점][2016(가) 3월/교육청 9]
① ② ③ ④ ⑤
12
12함수
가 열린 구간 ∞ 에서 증가할 때, 실
수 의 최솟값은?
[4점][2017(가) 7월/교육청 17]
① ②
③ ④
⑤
13
13함수 이 구간 에서 감소할 때, 의 최댓값은?
[3점][2016(가) 10월/교육청 13]
① ② ③ ④ ⑤
14
14그림과 같이 에서 극댓값, 에서 극솟값을 가지는 삼차함수
가 있다. ( )
함수 g 에 대하여 <보기>에서 옳은 것만을 있는 대로 고른 것은?
[3점][2012(가) 삼사 14]
ㄱ. g′ ㄴ. ′ g′ ㄷ. g g′
< 보 기 >
① ㄱ ② ㄴ ③ ㄱ, ㄴ
④ ㄴ, ㄷ ⑤ ㄱ, ㄴ, ㄷ
삼각함수의 치환적분법(정적분)
문항 11핵심노트
15
15그림과 같이 제 사분면에 있는 점 P 에서 축에 내린 수선의 발을 H 라 하고, ∠POH 라 하자. PH
OH
를 라 할 때,
의
값은? (단, O 는 원점이다.)
[3점][2016(가) 3월/교육청 11]
①
ln ② ln ③ ln
④ ln ⑤ ln
16
16
tan ⋯ 으로 정의할 때, 옳은 내용 을 <보기>에서 모두 고른 것은?
[4점][2006(가) 10월/교육청 28]
ㄱ.
ㄴ.
ㄷ.
⋯
< 보 기 >
① ㄱ ② ㄷ ③ ㄱ, ㄴ
④ ㄴ, ㄷ ⑤ ㄱ, ㄴ, ㄷ
두 곡선 사이의 넓이
문항 13핵심노트
17
17좌표평면에 두 함수 의 그래프와 g
의 그래프가있다. 두 곡선 , g 가 직선 과 만나는 점 을 각각 A , B라 하자. 일 때, 두 곡선 , g 와 직 선 AB 로 둘러싸인 부분의 넓이는?
[3점][2016(가) 3월/교육청 13]
① ln
② ln
③ ln
④ ln
⑤ ln
18
18양수 에 대하여 함수
의 최댓값이 이다. 곡 선 과 두 직선 , 으로 둘러싸인 부분의 넓이를 구하 시오.
19
19자연수 에 대하여 곡선
과 직선
의 두 교점을
A, B이라 할 때, 곡선
과 직선
으로 둘러싸인
부분의 넓이를 이라 할 때, 의 값은?
[4점][2013(B) 10월/교육청 14]
①
ln ② ln ③
ln
④ ln ⑤
ln
20
20좌표평면에서 곡선 위의 두 점 A , B의 좌표를 각각 , ( )라 하자. 양수 에 대하여 두 직선 OA , OB와 곡선
로 둘러싸인 부분의 넓이가 가 되도록 하는 점 가 나 타내는 곡선을 라 하자. 곡선 위의 점 중에서 점 과의 거리 가 최소인 점의 좌표가
일 때,
이다. 의 값을 구하시오.
(단, O 는 원점이고, 와 는 서로소인 자연수이다.)
[4점][2013(B) 6월/평가원 30]
뽑아서 나열하기
문항 15핵심노트
21
21한 변의 길이가 인 정사각형 모양의 시트지 장, 빗변의 길이가
인 직각이등변삼각형 모양의 시트지 장이 있다. 정사각형 모양의 시트지의 색은 모두 노란색이고, 직각이등변삼각형 모양의 시트지의 색 은 모두 서로 다르다.[그림 1]과 같이 한 변의 길이가 인 정사각형 모양의 창문 네 개가 있 는 집이 있다. [그림 2]는 이 집의 창문 네 개에 장의 시트지를 빈틈없 이 붙인 경우의 예이다.
이 집의 창문 네 개에 시트지 장을 빈틈없이 붙이는 경우의 수는? (단, 붙이는 순서는 구분하지 않으며, 집의 외부에서만 시트지를 붙일 수 있 다.)
[4점][2016(가) 3월/교육청 15]
[그림 1] [그림 2]
① ② ③
④ ⑤
22
22컴퓨터에 중요한 자료를 넣어 두고 다른 사람이 보는 것을 방지하기 위 하여 부터 까지 개의 자연수에서 서로 다른 세 개의 수를 뽑아 세 자리 정수의 비밀번호를 설정하려고 한다. 비밀번호는 소수가 두 개 이 상 포함되도록 하여 가장 큰 정수부터 차례로 나열할 때 번째의 수이 다. 이 비밀번호를 구하시오.
[점][2005년(나) 삼사 28]
23
23그림과 같이 개의 가로줄과 개의 세로줄로 이루어진 전화기의 숫자판이 있다. 이때, 다음 조건을 모두 만족시키면서 숫자판에 있는 숫자 를 누르는 방법의 수를 구하시오.
[4점][2008년(나) 삼사 29]
(가) *, # 을 제외한 개의 숫자 중에서 서로 다른 개의 숫 자를 누른다. 이때, 누르는 순서가 다르면 서로 다른 경우 이다.
(나) 개의 가로줄에서는 각각 숫자를 개씩 누른다.
(다) 개의 세로줄에서는 숫자를 개 누르고, 나머지 개의 세 로줄에서는 각각 숫자를 개씩 누른다.
1 2 3
4 5 6
7 8 9
* 0 #
24
24교내 수학경시대회에 A 학급 학생 명, B학급 학생 명, C학급 학생
명이 참가 신청하였다. 그림과 같이 두 분단, 네 줄의 좌석에 다음 조 건을 만족시키도록 이 학생 명을 배정하는 방법의 수를 구하시오.
[4점][2016(나) 10월/교육청 30]
(가) 같은 줄의 바로 옆에 같은 학급 학생이 앉지 않도록 배정한 다.
(나) 같은 분단의 바로 앞뒤에 같은 학급 학생이 앉지 않도록 배정한다.
(다) 같은 학급 학생을 같은 분단에 배정할 경우 학급 번호 가 작을수록 교탁에 가까운 자리에 배정한다.
교탁
분단
분단
첫째 줄 ➜
둘째 줄 ➜
셋째 줄 ➜
넷째 줄 ➜
자연수의 홀짝과 배수
문항 17핵심노트
25
25 부터 까지의 자연수가 각각 하나씩 적혀 있는 장의 카드 중에서 동시에 장의 카드를 선택하려고 한다. 선택한 카드에 적혀 있는 수의 합이 짝수인 경우의 수는?
[4점][2016(가) 3월/교육청 17]
① ② ③
④ ⑤
26
26에서 까지의 자연수 중에서 서로 다른 두 수를 임의로 선택할 때, 선택된 두 수의 곱이 짝수가 되는 경우의 수를 구하시오.
[3점][2000(인) 수능(홀) 29]
27
27갑은 컴퓨터를 이용하여 부터 까지의 네 자리 자연수를 을에 게 전송하려고 한다. 전송 과정에서 일어날지도 모르는 오류를 을이 확 인할 수 있도록 하기 위하여, 갑은 다음 규칙에 따라 전송하는 수의 끝 에 숫자 하나를 덧붙여서 다섯 자리 수를 전송한다.
네 자리 수의 각 자리의 수의 합이 짝수이면 , 홀수이면 을 전송하는 수의 끝에 덧붙인다.
예를 들면, 은 으로, 는 로 전송한다.
갑이 전송하기 위하여 끝에 을 덧붙인 다섯 자리 수 중에서 가운데 세 자리의 각각의 숫자가 모두 다른 경우의 수를 구하시오.
[4점][2004(나) 6월/평가원 25]
28
28 부터 까지의 자연수가 각각 하나씩 적힌 장의 카드가 있다. 이 중 세 장의 카드를 동시에 뽑을 때, 세 장의 카드에 적힌 수의 합이 짝 수가 되도록 뽑는 경우의 수를 이라 하자. lim
→ ∞
의 값은? (단,
≥ 인 자연수이다.)
[3점][2014(A) 3월/교육청 12]
①
②
③
④ ⑤
29
29 부터 까지의 홀수 중에서 서로 다른 두 수를 선택할 때, 두 수의 합이 의 배수가 되는 경우의 수는?
[4점][2006(나) /수능(홀) 28]
① ② ③
④ ⑤
유리함수 그래프의 개형
문항 19핵심노트
30
30함수
에 대하여 <보기>에서 옳은 것만을 있는 대로 고
른 것은?
[4점][2016(가) 3월/교육청 19]
ㄱ. ′
ㄴ. 모든 실수 에 대하여 ≥
이다.
ㄷ. 일 때,
이다.
< 보 기 >
① ㄱ ② ㄷ ③ ㄱ, ㄴ
④ ㄴ, ㄷ ⑤ ㄱ, ㄴ, ㄷ
31
31양수 에 대하여 닫힌 구간 에서 함수
의 최댓값을 , 최솟값을 이라 할 때, 이 되도록 하는 의 최솟값을 구하시오.
[4점][2006(가) /수능(홀) 30]
32
32자연수 에 대하여 함수 가
일 때, 실수 에 대하여 함수 g 를 g
≤
라 하자. <보기>에서 옳은 것만을 있는 대로 고른 것은?
[4점][2017(가) 10월/전북 20]
ㄱ. ′
ㄴ. 함수 g 가 실수 전체의 집합에서 미분가능하도록 하는 자연수 의 개수는 이다.
ㄷ. 함수 g 가 극대 또는 극소이면서 동시에 미분가능하지 않 는 실수 가 존재하도록 하는 의 최솟값은 이다.
< 보 기 >
① ㄱ ② ㄷ ③ ㄱ, ㄴ
④ ㄴ, ㄷ ⑤ ㄱ, ㄴ, ㄷ
원의 반지름의 극한
문항 21핵심노트
33
33그림과 같이 중심이 원점 O 이고 반지름의 길이가 인 원 가 있다.
원 가 축의 양의 방향과 만나는 점을 A , 원 위에 있고 제 사분 면에 있는 점 P 에서 축에 내린 수선의 발을 H , ∠POA 라 하 자. 삼각형 APH 에 내접하는 원의 반지름의 길이를 라 할 때,
lim
→
의 값은?
[4점][2016(가) 3월/교육청 21]
①
②
③
④
⑤
34
34그림과 같이 길이가 인 선분 AB 를 지름으로 하는 반원이 있다. 선 분 AB 의 중점 O 와 반원 위를 움직이는 점 C 에 대하여 부채꼴 OBC 에 내접하는 원을 O, 현 BC 와 호 BC 로 둘러싸인 부분에 내접하는 원 중 반지름의 길이가 가장 큰 원을 O라 하자. ∠ABC 라 하고 두 원 O, O의 반지름의 길이를 각각 , g 라 할 때,
lim
→
g
이다. 의 값을 구하시오. (단, , 는 서
로소인 자연수이다.)
[4점][2011(가) 3월/교육청 27]
35
35그림과 같이 길이가 인 선분 AB를 지름으로 하는 반원 위에 점 C를 잡고 ∠BAC 라 하자. 호 BC와 두 선분 AB AC에 동시에 접하 는 원의 반지름의 길이를 라 할 때,
lim
→
tan
이다, 의 값을 구하시오.
단,
[4점][2015(B) 6월/평가원 29]
36
36그림과 같이 길이가 인 선분 AB 를 지름으로 하는 반원 위에 두 점 P , Q 를 ∠ABP ∠BAQ
가 되도록 잡는다. 두 선분 AQ , BP 와 호 PQ 에 내접하는 원의 반지름의 길이를 라 할 때, lim→
이다. 의 값을 구하시오. (단, 와 는 유리수이다.)
[4점][2012(가) 6월/평가원 29]
37
37그림과 같이 길이가 인 선분 AB를 지름으로 하는 반원 위에 점 P가 있다. 점 B를 지나고 선분 AB에 수직인 직선이 점 P 에서 이 반원에 접하는 직선과 만나는 점을 Q 라 하자. ∠PAB 라 하고 직선 PQ와 직선 BQ , 호 PB에 동시에 접하는 원의 반지름의 길이를 라 할 때, lim
→
의 값은?
단,
[4점][2016(가) 8월/영남권 20]
①
②
③
④
⑤
기울기가 주어질 때, 접선의 방정식
문항 23핵심노트
38
38곡선 ln 에 접하고 기울기가 인 직선이 축, 축과 만나 는 점을 각각 A , B 라 할 때, 삼각형 AOB 의 넓이를 구하시오. (단, O 는 원점이다.)
[3점][2016(가) 3월/교육청 23]
39
39곡선 위의 점 에서의 접선의 기울기가 일 때,
의 값은?
[3점][2018(가) 6월/평가원 9]
① ln ② ln ③ ln
④ ln ⑤ ln
40
40 에서 함수 가 미분가능하고 ≤ ≤ 이다.
이고 일 때, ′ ′ 의 값은?
[4점][2012예비(B) 5월/평가원 18]
① ② ③ ④ ⑤
41
41곡선
위의 두 점 P
, Q
에서의 두 접선과 축으로 둘러싸인 삼각형이 이등변삼각형일 때, 의 값을 구하시오.(단, ＞
)[4점][2004(가) 6월/평가원 30]
42
42좌표평면에 함수
ln 의 그래프와 직선
이 있다. 곡선 위의 서로 다른 두 점 A , B 에서의 접선을 각각 , 이라 하 자. 세 직선 , , 으로 둘러싸인 삼각형이 정삼각형일 때,
의 값을 구하시오.
[4점][2015(B) 10월/교육청 29]
대입하여 비를 구하기
문항 25핵심노트
43
43어느 필름의 사진농도를 , 입사하는 빛의 세기를 , 투과하는 빛의 세기를 라 하면 다음과 같은 관계식이 성립한다고 한다.
×
두 필름 A , B 에 입사하는 빛의 세기가 서로 같고, 두 필름 A , B 의 사진농도가 각각 , 일 때, 투과하는 빛의 세기를 각각 A B
라 하자. B
A
의 값을 구하시오. (단, )
[3점][2016(가) 3월/교육청 25]
44
44조개류는 현탁물을 여과한다. 수온이 ℃ 이고 개체중량이 g 일 때, A 조개와 B조개가 시간 동안 여과하는 양 L 을 각각 A B라 고 하면 다음과 같은 관계식이 성립한다고 한다.
A , B t
수온이 ℃이고 A 조개와 B조개의 개체중량이 각각 g일 때, B
A
의 값은 × 이다. 의 값은? (단, 는 유리수이다.)
[3점][2010(가) /수능 10]
① ② ③ ④ ⑤
정수해의 개수
문항 27핵심노트
45
45다음 조건을 만족시키는 자연수 의 개수를 구하시오.
[4점][2016(가) 3월/교육청 27]
(가) 은 이상 이하의 홀수이다.
(나) 의 각 자릿수의 합은 이다.
46
46부등식 ≤ 를 만족시키는 자연수 의 모든 순서쌍
의 개수를 구하시오.
[4점][2016(가) 8월/영남권 28]
47
47네 개의 자연수 중에서 중복을 허락하여 세 수를 선택할 때, 세 수의 곱이 이하가 되도록 선택하는 경우의 수는?
[4점][2014(A) 9월/평가원 15]
① ② ③
④ ⑤
48
48다음 조건을 만족시키는 음이 아닌 정수 의 모든 순서쌍
의 개수를 구하시오.
(가) (나) ≠
[4점][2015(B) 6월/평가원 27]
49
49다음 조건을 만족시키는 음이 아닌 정수 의 모든 순서쌍
의 개수는?
[4점][2017(나) 9월/평가원 16]
(가)
(나)
① ② ③
④ ⑤
순열을 이용한 함수의 개수
문항 29핵심노트
50
50집합 에 대하여 에서 로의 함수
는 다음 조건을 만족시킨다.
(가) 의 모든 원소 에 대하여 이다.
(나) 이면 이다.
함수 의 개수를 구하시오.
[4점][2016(가) 3월/교육청 29]
51
51집합 에 대하여 에서 로의 일대일 대응을 라 할 때, 또는 을 만족하는 의 개수는?
[4점][2009(가) 4월/교육청 38]
① ② ③
④ ⑤
52
52집합 에서 로의 함수 중에서 다음 조건을 만족시키는 함수 의 개수를 구하시오.
[4점][2010(가) 10월/교육청 35]
(가) 는 일대일 대응이다.
(나)
53
53집합 에 대하여 함수 는 에서 로의 일대 일대응이다. 집합 에 속하는 각 원소 에 대하여
을 만족시키는 함수 의 개수를 구하시오.
[4점][2016(나) 10월/경남 28]
빠른 정답 정답과 해설
1
[정답] ② [풀이][출제의도] 지수함수의 극한값을 계산한다.
lim
→
lim
→
×
lim
→
×
lim
→
×
2
[정답] ① [풀이][출제의도] 계산 능력 – 함수의 극한
ln 라 할 때, ′
이므로
lim
→ ln
lim
→
ln ⋅
lim
→
⋅
′ ⋅
[다른 풀이]
lim
→ ln lim
→
ln ⋅
lim
→
ln
⋅
lim
→
⋅
2
3
[정답] ⑤ [풀이][출제의도] 지수함수와 로그함수의 극한 이해하기
log 의 역함수는 g 이다.
∴
lim
→g
lim
→ log
lim
→
log
×
lim
→
ln
× ln
ln
따라서
lim
→g
ln
4
[정답] ① [풀이][출제의도] 몫의 미분법을 이용하여 미분계수의 값을 계산한다.
′
⋅ ⋅
이므로
′
1 ② 2 ① 3 ⑤ 4 ① 5 ②
6 ③ 7 ⑤ 8 ⑤ 9 10 ③
11 ① 12 ③ 13 ③ 14 ① 15 ①
16 ③ 17 ④ 18 19 ① 20
21 ④ 22 23 24 25 ②
26 27 28 ② 29 ⑤ 30 ③
31 32 ③ 33 ④ 34 35
36 37 ④ 38 39 ① 40 ④
41 42 43 44 ② 45
46 47 ③ 48 49 ④ 50
51 ⑤ 52 53
따라서
lim
→
에서
lim
→
즉,
lim
→
이므로
′ 한편 g
에서
g
′× × ′
′ ×
′
따라서
g
′
6
[정답] ③ [풀이][출제의도] 함수의 평행이동을 이해하여 삼각함수의 최댓값과 최솟값을 구한다.
함수 sin 의 그래프는
함수 sin의 그래프를 축의 방향으로 만큼 평행이동한 것이다.
조건 에서
sin가 최대일 때 는 최대이고,
sin가 최소일 때 는 최소이므로 함수 는 sin 일 때 최댓값 , sin 일 때 최솟값 을 갖는다.
따라서
이므로 이다.
7
[정답] ⑤ [풀이][출제의도] 삼각함수의 그래프를 이해하고 미지수의 값을 구한다.
함수 sin
의 그래프는 sin
의 그래프를 축의 방향으로
배한 것이고 이므로 최댓값은 이고 최솟값은 이다.
그런데 함수 sin
의 최댓값이 이므로
또한 sin
sin
sin 이므로
함수 sin
의 주기가 이다.
구한다.
ⅰ) ≤ 일 때, ′ 이므로
(은 적분상수)ⅱ) 일 때 ′
이므로
ln (는 적분상수)
는 실수 전체의 집합에서 연속이므로
lim
→
lim
→
→
lim
lim
→
lim
→
lim
→
ln 따라서
에서
이므로
,
따라서 ln
9
[정답] [풀이]
[출제의도] 부정적분 이해하기
(단, , 는 적분상수)
에서 연속이므로
lim
→
lim
→
따라서
10
[정답] ③ [풀이][출제의도] 함수의 연속과 부정적분의 성질을 활용하여 문제 해결하기
≤
(, 는 적분상수)에서
이므로
lim
→
,
lim
→
이고, 함수 는 에서 연속이므로
에서 따라서
11
[정답] ① [풀이][출제의도] 도함수의 성질을 이해하여 문제를 해결한다.
′
실수 전체의 집합에서 함수 가 증가하므로 모든 실수 에 대하여
′ ≥
이므로 모든 실수 에 대하여
12
[정답] ③[출제의도] 미분법을 활용하여 함수의 성질 이해하기 함수 가 열린 구간 ∞ 에서 증가해야 하므로
′
≥
이므로 양변에 을 곱하면
≥
함수 g 이라 하면
열린 구간 ∞ 에서 함수 g 는 에서 극대이면서 최대이므로 최댓값은 이다.
따라서 ≥ 이므로 만족시키는 의 최솟값은
13
[정답] ③ [풀이][출제의도] 도함수의 성질을 이해하여 함수가 감소하는 구간을 구한다.
함수 의 도함수 ′ 는
′
함수 가 감소하려면 ′
에서
이므로
함수 는 에서 감소한다.
따라서 의 최댓값은 이다.
14
[정답] ① [풀이][출제의도] 이해 능력 – 미분법 g 에서
g′ ′
ㄱ. g′ ′
주어진 함수 의 개형에서 일 때 접선의 기울기는 양수이므로 ′ 이고 g′ (참)
ㄴ. g′ ⋅ ⋅ 에서 , , 이므로 g′ 이다.
한편 ′ 이므로 ′ g′ (거짓) ㄷ. ′ 이므로 g′ ⋅ ⋅
여기서 이므로 g′ 또한, g ⋅ 이므로
g⋅g′ (거짓) 따라서 옳은 것은 ㄱ뿐이다.
15
[정답] ① [풀이][출제의도] 치환적분법을 활용하여 삼각함수의 정적분의 값을 구한다.
OP 라 하면
OH cos , PH sin 이므로
PH
OH
sin
cos
sin cos
sin cos
에서
sin 로 놓으면
cos
일 때
,
일 때
이므로
sin cos
16
[정답] ③ [풀이][출제의도] 치환적분법을 이용하여 삼각함수의 정적분의 값을 추론할 있 는가를 묻는 문제이다.
ㄱ.
tan
tan
tan tan
tan sec tan 일 때, sec
이므로
tan sec
(참)
ㄴ. 마찬가지로 생각하면
∴
(참)
ㄷ. 일반적으로
∴
⋯
(거짓)
17
[정답] ④ [풀이][출제의도] 정적분을 이용하여 두 곡선과 직선으로 둘러싸인 부분의 넓이 를 구한다.
두 곡선 , g와 직선 AB 로 둘러싸인 부분의 넓이는
ln ln
ln
ln
ln
ln
ln
ln
ln
18
[정답] [풀이]
[출제의도] 정적분을 이용하여 곡선과 직선 사이의 넓이를 구한다.
′
′ 이 되게 하는 를 찾으면
″ 이므로 에서 는 최댓값을 가진다.
[출제의도] 정적분을 이해하고 곡선과 직선으로 둘러싸인 부분의 넓이를 구한다.
곡선
과 직선
의 교점이
A , B
이고, ≤ ≤ 에서
≤
이므로
ln
ln
ln
ln
∴ ln
20
[정답] [풀이]
이고
ⅰ) 빗금 친 부분의 위쪽 넓이인
(이유:
에 대해 삼각형의 넓이는
)ⅱ) 빗금 친 부분의 아래 넓이인
∴ 이고 가 모두 양수이므로
와 사이의 거리의 제곱은 다음과 같다.
이것은 에 관한 미분가능 함수이므로 최대가 되는 순간의 값이
이므로 ′
′
′
×
×
∴
× 이고, 나누어진 네 개의 영역에 직각이등변삼각형 모양의 시트지
장을 붙이는 경우의 수는 이다.
따라서 곱의 법칙에 의하여 구하는 경우의 수는
C× × × ×
×
× × × × × ×
22
[정답] [풀이]
부터 까지의 자연수 중 소수는 이고 비밀번호는 소수가 두 개 이상 포함되어야 하므로 가장 큰 수부터 생각하면
ⅰ) □ □ ⇒ P (개) ⅱ) □ □ ⇒ P (개) ⅲ) □ □
소수 개 포함 ⇒C×C× (개) 소수 개 포함 ⇒ P (개) ⅰ), ⅱ), ⅲ) 까지 개이므로
번째의 수는 백의 자리의 숫자가 이고 소수를 두 개 포함하는 가장 큰 수이므로 ∴
23
[정답] [풀이]
분할-분배의 아이디어를 활용하여, 이 문제에서도 먼저 숫자들을 뽑은 후에 나열하는 방법을 채택하기로 하자.
우선, 주어진 조건에 맞게 수를 뽑는 경우의 수를 구해 보면, 각 가로 줄마다 숫자를 적어도 한 개씩은 택해야 하니 4행의 0은 반드시 택해야만 한다.
이 경우, 2개의 숫자를 뽑는 열은 0이 포함되어 있는 2열과 0이 없는 1열, 3열의 경우로 나누어서 생각할 수 있다.
i) 2열에서 2개의 수를 쓰는 경우
2열의 수 2, 5, 8 중 1개를 택하는 경우의 수는
이때, 1열에서 택할 수 있는 수는 2열에서 택한 수를 제외한 행의 것이어야 하므로
그러므로 이 경우에는 숫자를 뽑는 경우의 수가 × 이 된다.
ii) 1열(3열)에서 2개의 수를 뽑는 경우
1열의 수 1, 4, 7 중 2개를 택하는 경우의 수는
이때, 2열에서는 이미 0이 택해져 있으므로 3열에서는 1열에서 뽑지 않은 행의 수를 택해야 하므로 경우의 수는 1가지가 된다.
이때, 1열에서 2개 뽑는 경우와 3열에서 2개 뽑는 경우는 경우의 수가 같다.
∴×
i), ii)에서 숫자를 뽑는 총 경우의 수는 12가지가 된다.
문제 조건 (가)에서 누르는 순서가 다르면 다른 것으로 취급하자고 하였기 때문에 주어진 4개의 숫자를 나열해 주어야 한다. 4개의 서로 다른 수를 나열하는 경우의 수는
∴숫자판의 수를 누르는 방법 ×
24
[정답] [풀이]
[출제의도] 순열과 조합을 활용하여 실생활과 관련된 문제를 해결한다.
각 분단에는 같은 학급 학생이 명 올 수 없으므로 분단에는 A 학급 학생이 명 또는 명이 배정된다.
분단에 A 학급 학생 명이 배정되는 경우를 먼저 생각하자. (단, 빈 좌석에는 B 학급 학생을 배정한다.)
ⅰ) 첫째 줄에 A 학급 학생이 앉지 않는 경우
C A C
A A
C A C A A
C A
A A C
A C A
C A
() A
A C A C
() C A A
C A
()
ⅳ) 넷째 줄에 A학급 학생이 앉지 않는 경우
A C A A
C ()
A A A C C
() A C
A A
C ()
( )과 ( )의 경우 C학급 학생이 같은 분단에 배정되어 학급 번호가 작은 학생이 항상 앞줄에 앉기 때문에 C학급 학생이 배정되는 방법의 수는 이다.
( ),( ),( ),( ),( ),( ),( ),( ),( ),( )의 경우 C학급 학생이 서로 다른 분단에 배정되는 방법의 수는 이다.
그러므로 C학급 학생이 배정되는 모든 방법의 수는
× ×
A 학급 학생이 배정되는 방법의 수는 B 학급 학생이 배정되는 방법의 수는
분단에 A 학급 학생 명이 배정되는 경우 학생이 배정되는 방법의 수는
× ×
분단에 A학급 학생이 명 배정되는 경우는
분단에 A학급 학생이 명 배정되는 경우와 같으므로 위에서 구한
분단에 A 학급 학생이 명 배정되는 방법의 수와 같다.
따라서 구하는 방법의 수는 × × ×
25
[정답] ② [풀이][출제의도] 합의 법칙과 곱의 법칙을 이용하여 경우의 수를 구한다.
선택한 카드에 적혀 있는 개의 수의 합이 짝수이고 부터 까지의 모든 자연수의 합이 으로 짝수이다. 여기서 선택한 카드에 적혀 있는 개의 수의 합이 짝수인 경우는 선택되지 않는 카드 장에 적혀 있는 세 수의 합이 짝수인 경우와 같다.
세 수의 합이 짝수가 되는 경우는 세 수가 모두 짝수이거나, 세 수 중 짝수 개, 홀수 개인 경우이다.
ⅰ) 세 수가 모두 짝수인 경우의 수는 C
ⅱ) 세 수 중 짝수 개, 홀수 개인 경우의 수는 C×C ×
ⅰ), ⅱ)로부터 구하는 경우의 수는
26
[정답] [풀이]
부터 까지 개의 자연수 중에서 서로 다른 두 수 를 택하는 방법은
⋅
⋅ ⋯ ①
이때, 두 수의 곱이 홀수인 경우는 (홀수)×(홀수) ⇒ 홀수이므로
⋅
⋅ ⋯ ②
따라서 구하는 경우의 수는
①과 ②에서
27
[정답] [풀이]
2000부터 2999까지의 수이므로 첫째자리의 수가 2 (즉, 짝수)이다.
그러므로 가운데 세 자리의 각 자리의 수의 합이 짝수이고 또, 세 자리의 각각의 숫자가 모두 다른 경우는
ⅰ) 짝수로만 만드는 경우(0, 2, 4, 6, 8)
[풀이]
[출제의도] 경우의 수를 이용하여 수열의 일반항을 구하고 수열의 극한값 을 구한다.
장의 카드에서 세 장의 카드를 동시에 뽑을 때, 세 장의 카드에 적힌 수의 합이 짝수인 경우는 세 수 모두 짝수인 경우와 세 수 중 두 수는 홀수이고 나머지 한 수는 짝수인 경우가 있다.
ⅰ) 세 수가 모두 짝수인 경우의 수는 짝수 개 중 3개를 택하는 경우의 수이므로
C
ⅱ) 세 수 중 두 수는 홀수이고 나머지 한 수는 짝수인 경우의 수는 홀수
개 중 개를 택하고 짝수 개 중 한 개를 택하는 경우의 수이므로 C×C
×
ⅰ), ⅱ)에서
∴
lim
→∞
lim
→∞
lim
→∞
29
[정답] ⑤ [풀이] 부터 까지의 홀수 중에서 으로 나눈 나머지가
( )인 집합을 라 하면
,
,
이때, 두 수의 합이 이 되는 경우는 다음과 같다.
i) (의 원소)+(의 원소)인 경우 C×C × (가지) ii) (의 원소)+(의 원소)인 경우 C
× (가지)
이상에서 구하는 경우의 수는 (가지)
30
[정답] ③ [풀이][출제의도] 함수의 도함수와 이계도함수를 이해하여 함수의 그래프와 관 련된 성질을 추론한다.
함수
에서
′
⋅
″
⋅
