f '(x)=-3x€+6x=-3x(x-2) f '(x)=0에서 x=0 또는 x=2 f '(x)=6x€-6=6(x+1)(x-1) f '(x)=0에서 x=-1 또는 x=1 f '(x)=3x€-3=3(x+1)(x-1) f '(x)=0에서 x=-1 또는 x=1 f '(x)=4x‹-12x€=4x€(x-3) f '(x)=0에서 x=0 또는 x=3
f(x)=x›-4x‹+27>0
따라서 모든 실수 x에 대하여 부등식
f '(x)=0에서 x=-1 또는 x=0
f '(x) =-4x‹+8x=-4x(x+'2 )(x-'2 ) f '(x)=0에서 x=-'2 또는 x=0 또는 x='2 함수 f(x)의 증가, 감소를 표로 나타내면 다음과 같다.
01 -2
2f(2)_f(-2)=(16-k)(-16-k)<0, 즉 (k-16)(k+16)<0 이어야 한다.
f(-1)_f(2)=(7+k)(-20+k)<0, 즉 (k+7)(k-20)<0 이어야 한다.
∴ -7<k<20
⑵ 주어진 방정식이 한 실근과 중근을 가지려면 f(-1)_f(2)=(7+k)(-20+k)=0 이어야 한다.
∴ k=-7 또는 k=20
⑶ 주어진 방정식이 한 실근과 두 허근을 가지려면
f(-1)_f(2)=(7+k)(-20+k)>0, 즉 (k+7)(k-20)>0 이어야 한다.
∴ k<-7 또는 k>20
03-1
k>32|해결 전략 | 함수 y=f(x)의 그래프와 직선 y=k의 교점의 x좌표가 오직 한 개 의 양수가 되도록 하는 실수 k의 값의 범위를 구한다.
x‹-12x€+36x-k=0에서 x‹-12x€+36x=k f(x)=x‹-12x€+36x로 놓으면
f '(x) =3x€-24x+36=3(x-2)(x-6) f '(x)=0에서 x=2 또는 x=6
함수 f(x)의 증가, 감소를 표로 나타내면 다음과 같다.
x y 2 y 6 y
f '(x) + 0 - 0 +
f(x) ↗ 32 ↘ 0 ↗
따라서 함수 y=f(x)의 그래프는 오른쪽 그림과 같고, 주어진 방정식이 오직 한 개 의 양의 실근을 가지려면 함수 y=f(x) 의 그래프와 직선 y=k의 교점의 x좌표 가 오직 한 개의 양수이어야 하므로 k>32
03-2
⑴ k=-2 또는 k=2 ⑵ -2<k<0⑶ 0<k<2 ⑷ k<-2
|해결 전략 | 함수 y=f(x)의 그래프와 직선 y=k의 교점의 x좌표의 부호를 이 용하여 조건을 만족시키는 실수 k의 값의 범위를 구한다.
-x‹+3x+k=0에서 x‹-3x=k f(x)=x‹-3x로 놓으면
f '(x)=3x€-3=3(x+1)(x-1) f '(x)=0에서 x=-1 또는 x=1
함수 f(x)의 증가, 감소를 표로 나타내면 다음과 같다.
x y -1 y 1 y
f '(x) + 0 - 0 +
f(x) ↗ 2 ↘ -2 ↗
따라서 함수 y=f(x)의 그래프는 다음 그림과 같다.
y=f(x)
-1 O1 2
-2 x y
y=k
⑴ 주어진 방정식이 한 개의 양의 실근과 한 개의 음의 실근을 가지려 면 함수 y=f(x)의 그래프와 직선 y=k의 교점의 x좌표가 한 개 는 양수이고, 다른 한 개는 음수이어야 하므로
k=-2 또는 k=2
⑵ 주어진 방정식이 서로 다른 두 개의 양의 실근과 한 개의 음의 실 근을 가지려면 함수 y=f(x)의 그래프와 직선 y=k의 교점의 x 좌표가 두 개는 양수이고, 다른 한 개는 음수이어야 하므로 -2<k<0
⑶ 주어진 방정식이 한 개의 양의 실근과 서로 다른 두 개의 음의 실 근을 가지려면 함수 y=f(x)의 그래프와 직선 y=k의 교점의 x 좌표가 두 개는 음수이고, 다른 한 개는 양수이어야 하므로 0<k<2
y=f(x) 32 y=k
2 6
O x
y
⑷ 주어진 방정식이 오직 한 개의 음의 실근을 가지려면 함수 y=f(x)의 그래프와 직선 y=k의 교점의 x좌표가 오직 한 개의 음수이어야 하므로
k<-2
04-1
⑴ k>54 ⑵ k<10|해결 전략 | ⑴ x>-3에서 ( f(x)의 최솟값)>0인 실수 k의 값의 범위를 구 한다.
⑵ 2<x<5에서 함수 f(x)가 감소하므로 f(2)<0인 실수 k의 값의 범위를 구 한다.
⑴ f(x)=x‹-27x+k로 놓으면 f '(x)=3x€-27=3(x+3)(x-3) f '(x)=0에서 x=-3 또는 x=3
x>-3에서 함수 f(x)의 증가, 감소를 표로 나타내면 다음과 같다.
x -3 y 3 y
f '(x) 0 - 0 +
f(x) 54+k ↘ -54+k ↗
x>-3일 때, 함수 f(x)는 x=3에서 최솟값 -54+k를 가진다.
따라서 x>-3일 때 f(x)>0이려면 f(3)>0이어야 하므로 -54+k>0 ∴ k>54
⑵ f(x)=-x‹-x€+x+k로 놓으면
f '(x)=-3x€-2x+1=-(3x-1)(x+1)
2<x<5에서 f '(x)=0인 x의 값이 없으므로 함수 f(x)는 최댓 값이 없다.
2<x<5일 때, f '(x)<0이므로 함수 f(x)는 2<x<5에서 감소 한다.
따라서 2<x<5일 때 f(x)<0이려면 f(2)<0이어야 하므로 f(2)=-10+k<0 ∴ k<10
04-2
-8|해결 전략 | 0<x<3에서 ( f(x)의 최댓값)<0인 실수 k의 최댓값을 구한다.
-x‹-x€+8x+k<5x€-7x에서 -x‹-6x€+15x+k<0 f(x)=-x‹-6x€+15x+k로 놓으면
f '(x)=-3x€-12x+15=-3(x-1)(x+5) f '(x)=0에서 x=1 (∵ 0<x<3)
0<x<3에서 함수 f(x)의 증가, 감소를 표로 나타내면 다음과 같다.
x 0 y 1 y 3
f '(x) + 0
-f(x) k ↗ 8+k ↘ -36+k
0<x<3일 때, 함수 f(x)는 x=1에서 최댓값 8+k를 가진다.
즉, 0<x<3일 때 f(x)<0이려면 f(1)<0이어야 하므로 8+k<0 ∴ k<-8
따라서 실수 k의 최댓값은 -8이다.
05-1
k<-16|해결 전략 | ( f(x)의 최댓값)<0인 실수 k의 값의 범위를 구한다.
f(x)=-x›+8x€+k로 놓으면
f '(x)=-4x‹+16x=-4x(x+2)(x-2) f '(x)=0에서 x=-2 또는 x=0 또는 x=2
개념 check
1-1 3t€-6t, 6t-6, 3, 6, -3, 6, 6, 0 2-1 3t€-4t, 3, 4, 15
3-1 ⑴ 8pt, 8p, 16p ⑵ 4pt€, 4p, 16p
개념 드릴 | 149쪽 |
1
STEP
스스로 check
1 -2
⑴ v=6, a=2 ⑵ v=-1, a=-12 ⑶ v=3, a=102 속도와 가속도
개념 확인 148쪽
1 ⑴ v=11, a=4 ⑵ v=14, a=14
1
⑴ v= dxdt =4t+3, a=dvdt =4이므로 t=2에서의 점 P의 속도와 가속도는 v=4_2+3=11, a=4
⑵ v= dxdt =3t€+2t-2, a=dv
dt =6t+2이므로 t=2에서의 점 P의 속도와 가속도는
v=3_2€+2_2-2=14, a=6_2+2=14
필수 유형 | 150쪽~154쪽 |
2
STEP
01-1
⑴ 속도: -30, 가속도: -42 ⑵ 1|해결 전략 | ⑴ 위치를 미분하면 속도, 속도를 미분하면 가속도임을 이용한다.
⑵ 수직선 위를 움직이는 점 P가 운동 방향을 바꾸는 순간의 속도는 0임을 이용 한다.
⑴ 시각 t에서의 점 P의 속도를 v, 가속도를 a라 하면 v= dxdt =-12t€+6t+6, a=dv
dt =-24t+6 따라서 t=2에서의 점 P의 속도와 가속도는
v=-12_2€+6_2+6=-30, a=-24_2+6=-42
⑵ 점 P가 운동 방향을 바꾸는 순간의 속도는 0이므로 v=-12t€+6t+6=-6(t-1)(2t+1)=0에서 t=1 (∵ t>0)
0<t<1일 때 v>0, t>1일 때 v<0이므로 점 P는 t=1에서 운동 방향을 바꾼다.
함수 f(x)의 증가, 감소를 표로 나타내면 다음과 같다.
x y -2 y 0 y 2 y
f '(x) + 0 - 0 + 0
-f(x) ↗ 16+k ↘ k ↗ 16+k ↘
함수 f(x)는 x=-2 또는 x=2에서 최댓값 16+k를 가진다.
따라서 모든 실수 x에 대하여 f(x)<0이려면 f(-2)=f(2)<0이 어야 하므로
16+k<0 ∴ k<-16
05 -2
-32|해결 전략 | ( f(x)의 최솟값)>0인 실수 k의 값의 범위를 구한다.
3x›-4x‹>12x€+k에서 3x›-4x‹-12x€-k>0 f(x)=3x›-4x‹-12x€-k로 놓으면
f '(x)=12x‹-12x€-24x=12x(x+1)(x-2) f '(x)=0에서 x=-1 또는 x=0 또는 x=2 함수 f(x)의 증가, 감소를 표로 나타내면 다음과 같다.
x y -1 y 0 y 2 y
f '(x) - 0 + 0 - 0 +
f(x) ↘ -5-k ↗ -k ↘ -32-k ↗
함수 f(x)는 x=2에서 최솟값 -32-k를 가진다.
따라서 모든 실수 x에 대하여 f(x)>0이려면 f(2)>0이어야 하므로 -32-k>0 ∴ k<-32
∴ a=-32
⑴ v= dxdt =2t+2, a=dv
dt =2이므로 t=2에서의 점 P의 속도와 가속도는 v=2_2+2=6, a=2
⑵ v= dxdt =-6t€+5, a=dv
dt =-12t이므로 t=1에서의 점 P의 속도와 가속도는 v=-6_1€+5=-1, a=-12
⑶ v= dxdt =3t€-8t, a=dv
dt =6t-8이므로 t=3에서의 점 P의 속도와 가속도는 v=3_3€-8_3=3, a=6_3-8=10
2 -2
⑴ -1 ⑵ 20⑴ dldt =6t€-2t-5이므로 t=1에서의 고무줄의 길이의 변화율은 6_1€-2_1-5=-1
⑵ dldt =12t€+8이므로 t=1에서의 고무줄의 길이의 변화율은 12_1€+8=20
3 -2
⑴ 32p ⑵ 32p⑴ 구의 겉넓이를 S라 하면
S=4p(2t)€=16pt€ ∴ dSdt =32pt 따라서 t=1에서의 구의 겉넓이의 변화율은 32p_1=32p
⑵ 구의 부피를 V라 하면
V=;3$;p(2t)‹=:£3™:pt‹ ∴ dVdt =32pt€
따라서 t=1에서의 구의 부피의 변화율은 32p_1€=32p
01-2
-18|해결 전략 | 위치를 미분하면 속도, 속도를 미분하면 가속도임을 이용한다.
시각 t에서의 점 P의 속도를 v라 하면 v= dxdt =6t€-42t+60=6(t-2)(t-5) 6(t-2)(t-5)=0에서 t=2 또는 t=5
원점을 출발한 점 P의 속도가 처음으로 0이 되는 순간은 t=2일 때 이고, 시각 t에서의 점 P의 가속도를 a라 하면
a= dvdt =12t-42
따라서 t=2에서의 점 P의 가속도는 a=12_2-42=-18
02-1
⑴ 2초, 45 m ⑵ -30 m/s|해결 전략 | ⑴ 속도가 0일 때의 t의 값을 구한 다음 그 시각에서의 높이를 구한다.
⑵ 높이가 0일 때의 t의 값을 구한 다음 그 시각에서의 물체의 속도를 구한다.
물체의 t초 후의 속도를 v m/s라 하면 v= dhdt =-10t+20
⑴ 최고 높이에 도달했을 때의 속도는 v=0이므로 v=-10t+20=0에서 t=2
따라서 물체가 최고 높이에 도달할 때까지 걸린 시간은 2초이고, 최고 높이는
h=-5_2€+20_2+25=45 (m)
⑵ 물체가 지면에 떨어질 때의 높이는 h=0이므로 -5t€+20t+25=0에서 -5(t-5)(t+1)=0 ∴ t=5 (∵ t>0)
따라서 물체가 지면에 떨어지는 순간, 즉 t=5일 때 물체의 속도는 v=-10_5+20=-30 (m/s)
참고 물체가 지면과 수직으로 운동하는 경우, v>0일 때 물체는 위로 올라가 고, v<0일 때 물체는 아래로 내려오므로 최고점에 도달하는 순간의 속 도는 v=0이다.
02-2
16 m/s|해결 전략 | 높이가 0일 때의 t의 값을 구한 다음 그 시각에서의 물로켓의 속력을 구한다.
물로켓이 지면에 떨어질 때의 높이는 h=0이므로 -2t€+16t=0에서 -2t(t-8)=0
∴ t=8 (∵ t>0)
물로켓의 t초 후의 속도를 v m/s라 하면 v= dhdt =-4t+16
t=8일 때, 물로켓의 속도는 v=-4_8+16=-16 (m/s)
따라서 물로켓이 지면에 떨어지는 순간의 속력은
|v|=|-16|=16 (m/s)