우석대학교 에너지전기공학과

미적분학

강의 (26)

우석대학교 에너지전기공학과

이우금 교수

결강 보강 결강사유 일시 수업 일시 수업 10월9일 (수) 3교시 12월18일 (수) 3교시 (기말시험) 한글날 휴무 <결강 일시 및 보강계획> <퀴즈 make up 계획>  대상: 결석으로 퀴즈(1~6) 를 못 본 학생  일시: 12월11일 (수) 까지  문자 또는 전화로 일정 조절

5-1. 도형의 면적 (1) _𝑥 축과 곡선 사이의 면적: _𝑥 축과 곡선이 만드는 면적은 다음의 3 case 로 분류. case 1) 𝑓 𝑥 ≥ 0 인 경우: _{𝑆 = 𝑓(𝑥)}𝑏 𝑎 𝑑𝑥 case 2) 𝑓 𝑥 ≤ 0 인 경우: _{𝑆 = − 𝑓(𝑥)}𝑏 𝑎 𝑑𝑥 case 3) 일반적인 경우: _{𝑆 = 𝑆1 + 𝑆2 = 𝑓(𝑥)}𝑐 𝑎 𝑑𝑥 − 𝑓(𝑥) 𝑏 𝑐 𝑑𝑥 ※ _{𝑛𝑜𝑡𝑒:} 정적분은 _𝑥 축과 곡선 사이의 면적이 아님!!! 𝑆₁ 𝑦 = 𝑓(𝑥) 𝑥

(case 1) (case 2) _{(case 3)}

𝑆 𝑦 = 𝑓(𝑥) 𝑥 0 𝑆 𝑦 = 𝑓(𝑥) 𝑥 0 𝑆₂ 𝑎 𝑐 𝑏 𝑎 𝑏 𝑎 𝑏 지난 시간 강의복습 <지난 시간 강의복습>

예시1) _{𝑓(𝑥) =} 𝑥 2− 1 에 대해 다음을 구하라. (1) 구간 [0, 3) 에서 _𝑓(𝑥) 의 정적분을 구하라  정적분: 𝑥 2 − 1 3 0 𝑑𝑥 = 𝑥2 4 − 𝑥 ₀ 3 = 32 4 − 3 = − 3 4 (2) 구간 [0, 3]에서 주어진 함수 _𝑓(𝑥) 와 _𝑥 축이 이루는 면적.  면적: −₀2 𝑥₂ − 1 𝑑𝑥 + ₂3 𝑥₂ − 1 𝑑𝑥 = − 𝑥2 4 − 𝑥 ₀ 2 + 𝑥2 4 − 𝑥 ₂ 3 ∴ 면적: − 22 4 − 2 + 32 4 − 3 − 22 4 − 2 = 1 − 3 4 + 1 = 5 4 예시2) 다음함수의 정적분을 구하라.  𝑥 2 − 1 3 0 𝑑𝑥 𝑛𝑜𝑡𝑒: 𝑥 2 − 1 = − 𝑥 2 − 1 , (0 ≤ 𝑥 ≤ 2) 𝑥 2 − 1, (2 ≤ 𝑥 ≤ 3) ∴ 𝑥 2 − 1 3 0 𝑑𝑥 = − 𝑥 2 − 1 2 0 𝑑𝑥 + 𝑥 2− 1 3 2 𝑑𝑥 = − 𝑥2 4 − 𝑥 ₀ 2 + 𝑥2 4 − 𝑥 ₂ 3 = 5 4 예시 (1) 과 같음: 즉 도형의 면적 5. 정적분의 응용 −1 0 _{2 3} 1 𝑦 𝑦 =𝑥 2− 1 𝑥 −1 0 _{2 3} 1 𝑦 𝑦 = 𝑥 2− 1 𝑥

예제1) 함수 𝑦 = 𝑥2 − 4𝑥 + 3 에서 다음을 구하라. (1) 구간 _{0, 3} 에서, 주어진 함수의 정적분을 구하라. 𝑥3 2 _{− 4𝑥 + 3} 0 𝑑𝑥 = 𝑥3 3 − 2𝑥 2 _{+ 3𝑥} 0 3 = 27 3 − 2 × 9 + 9 − 0 = 0 (2) 구간 0, 3 에서, 주어진 함수와 𝑥 축 사이의 면적을 구하라.  함수 𝑦 와 𝑥 (𝑦 = 0) 축의 교점을 구하면, 𝑥2 − 4𝑥 + 3 = 𝑥 − 1 𝑥 − 3 = 0 ∴ 𝑥 = 1 𝑜𝑟 3 이고 , 주어진 함수의 그래프는 오른쪽 그림과 같다.  구간 0, 3 에서 도형의 면적: 𝑆 = 𝑆1+ 𝑆2 • 𝑆₁ = 𝑥₀1 2 − 4𝑥 + 3 𝑑𝑥 = 𝑥3 3 − 2𝑥 2 _{+ 3𝑥} 0 1 = 1 3− 2 + 3 − 0 = 4 3 • 𝑆2 = − 𝑥2 − 4𝑥 + 3 3 1 𝑑𝑥 = − 𝑥3 3 + 2𝑥 2 _{− 3𝑥} 1 3 = −27 3 + 2 × 9 − 9 − − 1 3 + 2 − 3 = 4 3 ∴ 𝑆 = 𝑆₁ + 𝑆₂ = 4 3 + 4 3 = 8 3 5. 정적분의 응용 𝑦 𝑥 0 −1 3 2 3 𝑺𝟏 𝑺𝟐 1 𝑦 = 𝑥2 − 4𝑥 + 3

예제 2) 함수 𝑦 = 𝑠𝑖𝑛(𝑥) 에서 다음을 구하라 (1) 구간 0, 2𝜋 에서, 주어진 함수의 정적분을 구하라.  ₀2𝜋 𝑠𝑖𝑛(𝑥) 𝑑𝑥 = − 𝑐𝑜 𝑠 𝑥 ₀2𝜋 = − 𝑐𝑜𝑠 2𝜋 − 𝑐𝑜𝑠 0 = − 1 − 1 = 0

(2) 구간 0, 2𝜋 에서, 주어진 함수와 𝑥 축 사이의 면적을 구하라.  구간 0, 2𝜋 에서 도형의 면적: 𝑆 = 𝑆₁ + 𝑆₂ • 𝑆₁ = 𝑠𝑖𝑛(𝑥)₀𝜋 𝑑𝑥 = − 𝑐𝑜𝑠 𝑥 ₀𝜋 = − 𝑐𝑜𝑠 𝜋 − 𝑐𝑜𝑠 0 = − −1 − 1 = 2 • 𝑆₂ = − _𝜋2𝜋 𝑠𝑖𝑛 𝑥 𝑑𝑥 = 𝑐𝑜𝑠 𝑥 _𝜋2𝜋 = 𝑐𝑜𝑠 2𝜋 − 𝑐𝑜𝑠 𝜋 = 1 − −1 = 2 ∴ 𝑆 = 𝑆₁ + 𝑆₂ = 2 + 2 = 4 5. 정적분의 응용  주기: 2𝜋 & 크기: −1 ≤ 𝑐𝑜𝑠(𝑥) ≤ 1 0 2𝜋 𝜋 𝑥 𝑦 = 𝑐𝑜𝑠(𝑥) −1 1  주기: 2𝜋 & 크기: −1 ≤ 𝑠𝑖𝑛(𝑥) ≤ 1 0 𝜋 2𝜋 𝑥 𝑦 = 𝑠𝑖𝑛(𝑥) −1 1 𝑆₁ 𝑆₂

(숙제 4) 함수 𝑦 = 𝑐𝑜𝑠(𝑥) 에서 다음을 구하라 (1) 구간 −𝜋 2, 𝜋 에서, 주어진 함수의 정적분을 구하라.

(2) 구간 −𝜋 2, 𝜋 에서, 주어진 함수와 𝑥 축 사이의 면적을 구하라.  구간 −𝜋 2, 𝜋 에서 도형의 면적: 𝑆 = 𝑆1 + 𝑆2  제출 일시: 12월9일(월) 3교시 전 까지 (시간 엄수!)  제출 양식: A4 용지 1장. 5. 정적분의 응용  주기: 2𝜋 & 크기: −1 ≤ 𝑐𝑜𝑠(𝑥) ≤ 1 0 𝜋 𝑥 𝑦 = 𝑐𝑜𝑠(𝑥) −1 1 −𝜋 2  주기: 2𝜋 & 크기: −1 ≤ 𝑠𝑖𝑛(𝑥) ≤ 1 0 𝜋 2𝜋 𝑥 𝑦 = 𝑠𝑖𝑛(𝑥) −1 1 −𝜋 2 𝑆₁ 𝑆2

(2) 두 곡선 사이의 면적  그림 (A)와 같이 구간 𝑎, 𝑏 에서 두 곡선 _{𝑦 = 𝑓 𝑥 & 𝑦 = 𝑔 𝑥} 로 둘러싸인 면적 _S 는 위 그래프에서 아래 그래프를 뺀 _{𝑓 𝑥 − 𝑔(𝑥)} 를 구간 _{𝑎, 𝑏} 로 적분한 값.  두 곡선이 모두 𝑥 축 위 또는 아래에 있거나, _𝑥 축을 사이에 두고 있는 경우 모두 위의 공식이 성립. ∴ 구간 𝑎, 𝑏 에서 𝑓 𝑥 ≥ 𝑔(𝑥) 일 때, 두 곡선 사이의 면적은? _{𝑆 = 𝑓 𝑥 − 𝑔(𝑥}𝑏 𝑎 𝑑𝑥 5. 정적분의 응용 그림 (A) 𝑆 𝑦 = 𝑔(𝑥) 𝑥 0 𝑎 𝑏 𝑦 𝑦 = 𝑓(𝑥)

예시) 다음 두 함수의 그래프로 둘러싸인 도형의 면적을 구하라. (1) 𝑓(𝑥) = 𝑥 & 𝑔(𝑥) = 𝑥2 − 2  주어진 두 함수의 교점을 구하면: 𝑓(𝑥) = 𝑥 𝑔(𝑥) = 𝑥2 _{− 2} ∴ 𝑥2 _{− 𝑥 − 2𝑥 = 𝑥 + 1 𝑥 − 2 = 0 𝑥 = −1 𝑜𝑟 2}  구간 −1, 2 에서 _{𝑥 ≥ 𝑥}2 _{− 2} 이므로 (즉, _{𝑓(𝑥) ≥ 𝑔(𝑥)}), 도형의 면적 _𝑆 는 _{𝑆 = −1}2 𝑓 𝑥 − 𝑔(𝑥) 𝑑𝑥 = ₋₁2 𝑥 − (𝑥2 − 2) 𝑑𝑥 = (−𝑥2 2_{+𝑥 + 2)} −1 𝑑𝑥 = − 𝑥3 3 + 𝑥2 2 + 2𝑥 ₋₁ 2 = 9 2 𝑥 = 𝑥2 − 2 𝑥2 − 𝑥 − 2 = 0 5. 정적분의 응용 𝑦 𝑥 0 −2 2 −1 𝑺 𝑔(𝑥) = 𝑥2− 2 𝑓(𝑥) = 𝑥