(교과서) 금성출판사 고등수학 정답과 해설

(1)

(2)

Ⅰ

다항식

1

⑴ 2x+2y ⑵ 2xy¡`

2

⑴ 3ac-4ad+6bc-8bd ⑵ aÛ`+2ab+bÛ` xÛ`+4x+16 문제 1 ⑴ xÛ`+(y-1)x+yÛ`-y+1 ⑵ xÛ`-x+1+(x-1)y+yÛ` 문제 2 ⑴ xÜ`+3xÛ`+3x+4 ⑵ 2xÜ`+3xÛ`+3x+5 ⑶ -xÜ`-xÛ`+x+4 ⑷ xÜ`+3xÛ`-5 확인문제 15쪽 1 ⑴ xÛ`-x+13 ⑵ xÛ`+2yx+yÛ` ⑶ 2xÛ`+3yx+yÛ`+6y 2 7xÜ`-5xÛ`-4x+11 3 4xÛ`-3xy+8yÛ` 4 5xÛ`+6x-1 5 ㈎ 결합법칙, ㈏ 교환법칙, ㈐ 결합법칙 창의•융합 [형권] xÛ`+x+3+xÛ`+x+3+2x+6x+2xÛ` +2xÛ`+2x+6x+2xÛ`+2xÛ` =10xÛ`+18x+6 [희경] 2{(xÛ`+x+3)+2x(x+3)+2x(x+1)} =2(5xÛ`+9x+3)=10xÛ`+18x+6 [종철] 2{(x+1)(x+3)+2x(x+1)+2x(x+3)}-2_3x =2(5xÛ`+12x+3)-6x=10xÛ`+18x+6 xÛ`+ax+bx+ab 문제 1 ⑴ xÜ`-1 ⑵ xÞ`+2xÝ`+3xÜ`-xÛ`-2x-3 ⑶ 2xÜ`+xÛ`+x-4 문제 2 ⑴ aÛ`+bÛ`+cÛ`-2ab-2bc+2ca ⑵ aÛ`+bÛ`-cÛ`-2ab 문제 3 ⑴ aÜ`-3aÛ`b+3abÛ`-bÜ` ⑵ aÜ`-bÜ` 문제 4 ⑴ 4aÛ`+bÛ`+9cÛ`+4ab+6bc+12ca

1 다항식

의

연산

준비 학습 12쪽

다항식

의

덧셈

과

뺄셈

1

13쪽~14쪽 생각 열기

다항식

의

곱셈

2

16쪽~18쪽 생각 열기 ⑵ 8aÜ`-60aÛ`b+150abÛ`-125bÜ` ⑶ aÜ`-8bÜ` 문제 5 ⑴ 1030301 ⑵ 1000001 확인문제 19쪽 1 ⑴ xÛ`+yÛ`+1+2xy-2y-2x ⑵ aÜ`-3a+ 3 a -1 aÜ` ⑶ 27aÜ`+54aÛ`b+36abÛ`+8bÜ` ⑷ 8aÜ`+1 2 ⑴ 6aÜ`-13aÛ`+16a-15 ⑵ xÝ`-4xÜ`+6xÛ`-4x-8 3 ⑴ 6136+10 ⑵ 6136-10 ⑶ 12136 ⑷ 20 4 9 5

999999 6 1단계 _{가로의 길이: 2}xÛ`-1, 세로의 길이: 2xÛ`+1, 높이: 4xÛ`+2x+1 2단계 (2xÛ`-1)(2xÛ`+1)(4xÛ`+2x+1) 3단계 16xß`+8xÞ`+4xÝ`-4xÛ`-2x-1 추론 (a-b)Ü`=aÜ`-3aÛ`b+3abÛ`-bÜ`에서 aÜ`-bÜ` =(a-b)Ü`+3aÛ`b-3abÛ` =(a-b)Ü`+3ab(a-b) 1 (3xÛ`+x-2)(x-4) 3 3 1 -2 1 8 -11 -6 -2 -12 -4 8 1 -4 3 =3xÜ`-11xÛ`-6x+8 2 1 1 x x x 1 1 x x x x x 1 x x x x x2 _x2 _x2 x2 _x2 _x2 따라서 (2x+1)(3x+2)=6xÛ`+7x+2 48명, 60 m 문제 1 ⑴ Q=3xÛ`-2x+1, R=16 3xÜ`-8xÛ`+5x+14=(x-2)(3xÛ`-2x+1)+16 20쪽 탐구 과제

다항식

의

나눗셈

3

(3)

⑵ Q=2x+2, R=-6x+3 2xÜ`-4x+7=(xÛ`-x+2)(2x+2)-6x+3 문제 2 xÜ`+x+3 확인문제 23쪽 1 (차례대로) 2, 1, 6, 2, 3, 3, 1, 3, 2, 1, 3 2 ⑴ 몫: xÛ`-4, 나머지: 3 ⑵ xÜ`-5xÛ`+11x-8 3 몫: 2x+5, 나머지: 13 4 몫: x+2, 나머지: -3x-3 5 1단계 2xÝ`-xÜ`+4xÛ`+3x+6=A(2xÛ`+x+1)+R 2단계 A=xÛ`-x+2, R=2x+4 의사소통 [반례] 2xÜ`+xÛ`-1을 xÛ`-1로 나누었을 때의 몫 은 2x+1, 나머지는 2x이다. 하지만 2xÜ`+xÛ`-1을 2x+1로 나누었을 때의 몫은 xÛ`, 나머지는 -1이다. 1 몫: 2x+3, 나머지: 5 2 몫: 3x+1, 나머지: 4

1 ⑴

a=2, b=1 ⑵ a=-2, b=5

2 ⑴

(x-1)Û` ⑵ (x+2)(x-2) ⑶ (x+2)(x-3) ⑷ (3x-1)(x-2) ㄱ, ㄷ, ㄹ 문제 1 a=a', b=b', c=c' 문제 2 ⑴ a=3, b=7, c=2 ⑵ a=1, b=2, c=-1 확인문제 28쪽 ₁ ㄴ, ㄷ, ㄹ 2 a=1, b=5, c=9 3 a=2, b=1 4 a=5, b=-9 5

⑴ 녹색 사각형의 맨 위의 수를 x라고 하면 녹색 사각형 안에 있는 수는 오른쪽과 같다. 녹색 사각형 안에 있는 수의 합을 구하면 x+(x+6)+(x+7)+(x+8)+(x+14) =5x+35=5(x+7) 따라서 녹색 사각형 안에 있는 수의 합은 항상 가운데 에 있는 수의 5배와 같다. 24쪽 교구로 아는 수학

2 나머지정리

와

인수분해

준비 학습 25쪽

항등식

1

26쪽~27쪽 생각 열기 x x+6 x+7 x+8 x+14 ⑵ 파란색 사각형의 왼쪽 위의 수를 x 라고 하면 파란색 사각형 안에 있 는 네 수는 오른쪽과 같다. 이때 대각선에 있는 두 수의 곱의 차를 구하면 (x+1)(x+7)-x(x+8) =xÛ`+8x+7-xÛ`-8x=7 따라서 대각선에 있는 두 수의 곱의 차는 항상 7이다. 추론 ③ 서로 같다. 문제 1 13 문제 2 -34₉ 문제 3 2x+1 확인문제 31쪽 1 ⑴ 3 ⑵ -1₈ 2 a=5, b=3 3 x 4 -2 5 ⑴ 600 ⑵ P(x)를 x-100으로 나눈 나머지는 R=P(100)이 므로 이 값은 광고비 지출액이 100만 원일 때, 기업의 매출액을 의미한다. 문제 해결 _{주어진 문제의 답은}-2이다. [예시] P(x)=xÜ`+mxÛ`+nx+2를 x-1로 나누었을 때 의 나머지는 1이고, x+1로 나누었을 때의 나머지는 2이 다. 다항식 P(x)를 xÛ`-1로 나누었을 때의 나머지를 구 하시오. (단, m, n은 상수이다.) 예시 문제의 답은 -;2!;x+;2#;이다. ⑴ 0 ⑵ P(x)를 x-1로 나누었을 때의 나머지는 P(1)이고, P(1)=0이므로 P(x)는 x-1로 나누어떨어진다. 문제 1 ⑴, ⑵, ⑶ 문제 2 -13 문제 3 ⑴ 몫: xÛ`-2x-7, 나머지: -14 ⑵ 몫: 3xÛ`-13x+31, 나머지: -58 문제 4 ⑴ 몫: xÛ`+2_{3 x-}32_{9 , 나머지: -}28₉ ⑵ 몫: 3xÛ`-7_{2 x+}11_{4 , 나머지:}1₄ 확인문제 35쪽 1 ㄷ, ㄹ x x+1 x+7 x+8

나머지정리

2 인수정리

3

(4)

2단계 x=17을 1단계 의 결과에 대입하면 N=17Ü`+3_17Û`-4 =(17-1)_(17+2)Û` =16_19Û` =2Ý`_19Û` 창의•융합 _1. aÜ`+bÜ` 2. (a+b) 3. 2에서 그림 2 의 직육면체 2개의 부피의 합은 a(a-b)(a+b)+bÛ`(a+b) =(a+b){a(a-b)+bÛ`} =(a+b)(aÛ`-ab+bÛ`) 그림 1 과 그림 2 의 부피가 같으므로 aÜ`+bÜ`=(a+b)(aÛ`-ab+bÛ`)이 성립한다. 1 2 1 xÛ`+5yÛ` 2 A=xÛ`+1, B=2xÛ`+x-1 3 ⑴ xÛ`-yÛ`+zÛ`+2xz ⑵ xß`-64 4 ⑴ 10 ⑵ -12 5 ⑴ 13 ⑵ -4 6 xÛ`-2x+3 7 몫: 3 Q(x), 나머지: R 8 x=- 12_{7 , y=}8₇ 9 a=0, b=0 10 2x+10 11 나머지정리에 의하여 f(4)=2 다항식 (x-2) f(x)를 x-4로 나누었을 때의 몫을 Q(x), 나머지를 R라고 하면 (x-2) f(x)=(x-4)Q(x)+R 위의 식의 양변에 x=4를 대입하면 2 f(4)=R 따라서 R=2_2=4 40쪽 함께 만드는 수학

단원 평가

문제

42쪽~44쪽 2 ⑴ 몫: 3xÛ`+2x+1, 나머지: -9 ⑵ 몫: xÛ`-3x+2, 나머지: -9 3 a=4, b=3 4 a=4, b=1 5 3 6 1단계 a=3, b=4 2단계 3x+2 추론 1. rÁ=3, rª=17, r£=10 2. xÜ`+7xÛ`-5 =(x-1)(xÛ`+8x+8)+3 =(x-1){(x-1)(x+9)+17}+3 =(x-1)[(x-1){(x-1)+10}+17]+3 =(x-1){(x-1)Û`+10(x-1)+17}+3 =(x-1)Ü`+10(x-1)Û`+17(x-1)+3 (차례대로) a+b, a+b 문제 1 ⑴ (x-1)Ü` ⑵ (a+2b)Ü` ⑶ (x+1)(xÛ`-x+1) ⑷ (a-b-c)Û` 문제 2 ⑴ (xÛ`+3)(x+1)(x-1) ⑵ (x+1)Û`(x-1)Û` ⑶ (xÛ`+2x+2)Û` ⑷ (x+1)(x-1)(x+2)(x+4) 문제 3 ⑴ (x-1)Û`(x+3) ⑵ (x+1)(x-1)(x-2)(x-3) 확인문제 39쪽 1 ⑴ (2a+b-c)Û` ⑵ (2a-1)Ü` ⑶ (a+2b)(aÛ`-2ab+4bÛ`) ⑷ (a-1)(aÛ`+a+1)(aÜ`+4) ⑸ (xÛ`+3x+4)(xÛ`+3x-2) ⑹ (x+1)(x-2)(x+4) ⑺ (x+1)Û`(x-1)(x+4) 2 30 3 (x+1)(x-2)(x+3) 4 (차례대로) xÛ`, xÛ`, x, x, x, x 5 1단계 P(x)=xÜ`+3xÛ`-4로 놓으면 P(1)=1Ü`+3_1Û`-4=0 이므로 x-1은 P(x)의 인수이다. 따라서 다음과 같이 조립제법을 이용하여 인수분해하 면 1 1 3 0 -4 1 4 4

1

4 4 0 xÜ`+3xÛ`-4 =(x-1)(xÛ`+4x+4) =(x-1)(x+2)Û`

인수분해

4

36쪽~38쪽 생각 열기 3 3 3 3 3 3 3 2 2 2 2 2 1 1 1 1 1 1 1 4 4 6 6 6 6 5 5 5 7 8 k c c k c e e e f f f g h e b b j d d b i i a a i a a j c k

(5)

aÛ`(a+b)-bÛ`(a+b)-c(a+b)(a-b) =(a+b){aÛ`-bÛ`-c(a-b)}

=(a+b)(a-b)(a+b-c) 즉, (a+b)(a-b)(a+b-c)=0 그러므로 a=-b, a=b, c=a+b

그런데 a, b, c는 각각 삼각형 ABC의 세 변의 길이이므 로 삼각형이 그려지는 경우는 a=b이다. 따라서 삼각형 ABC는 a=b인 이등변삼각형이다. 21

FGÓ=a cm, GHÓ=b cm, DHÓ=c cm라고 하면 4(a+b+c)=56에서 a+b+c=14 y❶ !%aÛ`+bÛ`+cÛ` =13546에서 aÛ`+bÛ`+cÛ`=54 y❷ 즉, 2ab+2bc+2ca =(a+b+c)Û`-(aÛ`+bÛ`+cÛ`)=142 따라서 구하는 상자의 겉넓이는 2ab+2bc+2ca=142(cmÛ`) y❸ 평가 기준 배점 비율 ❶a+b+c의 값을 구한 경우 30 % ❷aÛ`+bÛ`+cÛ`의 값을 구한 경우 30 % ❸ 상자의 겉넓이를 구한 경우 40 % 22

⑴ 주어진 등식에 x=1을 대입하면 1=a¢+a£+aª+aÁ+a¼ yy① y❶ ⑵ 주어진 등식에 x=-1을 대입하면 9=a¢-a£+aª-aÁ+a¼ yy② y❷ ⑶ ①+② 를 하면 2(a¢+aª+a¼)=10이므로 a¢+aª+a¼=5 y❸ 평가 기준 배점 비율 ❶a¢+a£+aª+aÁ+a¼의 값을 구한 경우 40 % ❷a¢-a£+aª-aÁ+a¼의 값을 구한 경우 40 % ❸a¢+aª+a¼의 값을 구한 경우 20 % 23

f(x)+1을 (x-1)Û`으로 나누었을 때의 몫을 2x+a라고 하면 f(x)+1=(x-1)Û`(2x+a) yy① 인수정리에 의하여 f(1)=-1 f(x)-1은 x+1로 나누어떨어지므로 인수정리에 의하여 f(-1)=1 y❶ ①의 양변에 x=-1을 대입하면 f(-1)+1=(-1-1)Û`_(-2+a) 2_{=4a-8, a= 52} y❷ 따라서 f(x)=(x-1)Û` _{{2x+ 52 }-1} _{=2xÜ`- 32 xÛ`-3x+}3₂ y❸ 평가 기준 배점 비율 ❶ f(1)의 값과 f(-1)의 값을 구한 경우 40 % ❷ ①에 x=-1을 대입하여 a의 값을 구한 경우 40 % ❸ 삼차식 f(x)를 구한 경우 20 % 12 f(x)-3이 xÛ`-3x+2=(x-1)(x-2)로 나누어떨어 지므로 인수정리에 의하여 f(1)-3=0, f(2)-3=0 즉, f(1)=f(2)=3 다항식 f(x+3)을 xÛ`+3x+2로 나누었을 때의 몫을 Q(x), 나머지를 R(x)=ax+b라고 하면 f(x+3)=(xÛ`+3x+2)Q(x)+ax+b yy① ① 의 양변에 x=-1을 대입하면 f(2)=-a+b=3 yy② ① 의 양변에 x=-2를 대입하면 f(1)=-2a+b=3 yy③ ②, ③ 을 연립하여 풀면 a=0, b=3 따라서 구하는 나머지는 R=3 13 P(x) =(x-1)A(x)+7 =(x+1)B(x)+1 즉, (x-1)A(x)+7=(x+1)B(x)+1 위의 식의 양변에 x=-1을 대입하면 -2A(-1)+7=1 A(-1)=3이고 이것은 A(x)를 x+1로 나누었을 때의 나머지이므로 구하는 나머지는 3이다. 14 ㄱ, ㄴ 15 a=2, b=3, c=4 16 조립제법을 이용하면 1 a b 0 0 -2 a a+b a+b a+b

1 a a+b a+b a+b -2+a+b

a 2a+b 3a+2b a 2a+b 3a+2b 4a+3b

다항식 axÝ`+bxÜ`-2는 (x-1)Û`을 인수로 가지므로 -2+a+b=0, a+b=2 yy①

4a+3b=0 yy② ①, ② 를 연립하여 풀면 a=-6, b=8 17 a=-2, b=-2 18 ⑴ _{2017_2018+1 =}2018Ü`+1 (2018+1)_(2018Û`-2018+1)_{(2018-1)_2018+1} =(2018+1)_(2018Û`-2018+1) 2018Û`-2018+1 =2018+1=2019 ⑵ 102Ü`-6_102Û`+12_102-8 =(102-2)Ü` =100Ü`=1000000 19 ⑴ (a+2b+3c)Û` ⑵ (x-1)(x+2)Û` ⑶ (x+1)(x-1)(xÛ`+2x-4) ⑷ (xÛ`+xy-yÛ`)(xÛ`-xy-yÛ`) 20

주어진 등식의 좌변을 인수분해하면

(6)

Ⅱ

방정식

과

부등식

1

⑴ 3+4126 ⑵ -2-3126 ⑶ 1+2126 ⑷ 4+3126

2

⑴ x=5 또는 x=-2 ⑵ x=-5Ñ₄13656 존재하지 않는다. 문제 1 ⑴ 실수부분: 3, 허수부분: 176 ⑵ 실수부분: -8, 허수부분: 0 ⑶ 실수부분: 0, 허수부분: -5 ⑷ 실수부분: 126, 허수부분: -1 실수는 ⑵이고, 허수는 ⑴, ⑶, ⑷이다. 문제 2 ⑴ a=3, b=1 ⑵ a=-1, b=1 문제 3 ⑴ ;2!;-;6%; i ⑵ 136+2i ⑶ 126i ⑷ 8

창의•융합 [예시] 짝을 나타내는 의미를 가진 단어를 사용하 면 바람직하다. 예를 들어 짝꿍복소수, 쌍쌍복소수, 배우 자복소수 등을 생각할 수 있다. 확인문제 51쪽 1 실수: 0, 1+₂136, !%(-2)Û`^, iÛ`, 허수: i, 1-i 2 ;4%;

3 ⑴ 1+5i ⑵ 126-156i ⑶ ;5@; ⑷ -136i

4 ⑴ a=1, b=0 ⑵ a=2, b=1 ⑶ a=-3, b=-1 ⑷ a=-4, b=-1 5 ⑴ iÛ`=-1이다. ⑵ 2-9i의 켤레복소수는 2+9i이다. ⑶ 3-5i의 실수부분은 3이고 허수부분은 -5이다. ⑷ 두 실수 a, b에 대하여 a+bi가 실수이면 b=0이다. 추론 0Õ=0, 2 iÓ=-2 i, -5Ó=-5, 1+2 iÓ=1-2 i, -3 iÓ=3 i, ;7@; iÓ=-;7@; i, -13106Ó=-13106 1. 0, -5, -13106

1 복소수

와

이차방정식

준비 학습 48쪽

복소수

1

49쪽~50쪽 생각 열기 2. ㈎ a-bi, ㈏ -b, ㈐ a, ㈑ 실수 1 [예시] 페르마 정리 증명 기념우표 2 풀이 생략 ⑴ 8x+3 ⑵ 5x+14 문제 1 ⑴ 4+i ⑵ 2-2i ⑶ -1+5i ⑷ -136+2126i 문제 2 ⑴ -4+3i ⑵ 3-i ⑶ 5-27i ⑷ 13 문제 3 ⑴ ;1£0;-;1Á0; i ⑵ ;1£3;+;1!3!; i 문제 4 ⑴ Ñ2136i ⑵ Ñ;2!; i 문제 5 ⑴ 6i ⑵ 4-136i ⑶ -8 ⑷ 3 확인문제 56쪽 1 ⑴ 2 ⑵ 1+i ⑶ 5-5i ⑷ i 2 ⑴ 5 ⑵ -;5#;+;5$; i ⑶ 2i 3 2-i 4 ⑴ 4136i ⑵ -136i ⑶ 14-126i ⑷ ;3%;-2126_{3 i} 5 1단계 z=(2-x)-xi 2단계 zÛ`=(4-4x)-2x(2-x)i가 음의 실수이므로 4-4x<0, 2x(2-x)=0 3단계 x=2, zÝ`=16 추론 [진영] ②, !%(-4)_(-9)^ =14366=6이고 14-46_14-96=2i_3i=-6이므로 !%(-4)_(-9)^ =-

(

14-46_14-96

)

[보라] ③, ¾Ð 1 -4=¾Ð- 14 =¾ 1 4 i =12 i이고 1 14-46=146i1 = i2i Û`=-12 i이므로 ¾Ð-41 =-_14-461 1 ⑴ 5 ⑵ -1 2 1_i =-i이므로 { 1_{i }2`}=-1, { 1_{i }3`}=-1_i=i, 52쪽 함께 만드는 수학 아르키메데스 기념우표

복소수

의

사칙연산

2

53쪽~55쪽 생각 열기 57쪽 탐구 과제

(7)

{ 1_{i }4`}=1, { 1_{i }5`}=1_i =-i, y 따라서 1_i 의 거듭제곱은 i의 거듭제곱과 마찬가지로 순 환한다. 3 방법 1 i+iÛ`+iÜ`+ y +iÚ`â`â`=0이므로 1+i+iÛ`+iÜ`+ y +iÚ`â`â`=1 ……① 또, 1_i+1 iÛ`+ 1 iÜ`+ 1 iÝ`=-i-1+i+1=0임을 이용하 면 { 1_i+1 iÛ`+ 1 iÜ`+ 1 iÝ` }+{ 1iÞ`+ 1 iß`+ 1 ià`+ 1 i¡` } + y +{ 1_iá`à`+ 1 iá`¡`+ 1 iá`á`+ 1 iÚ`â`â` }=0 이므로 1_{1 +}1_i+1 iÛ`+ y + 1 iÚ`â`â`=1 ……② ①, ②에서 주어진 식의 값은 2이다. 방법 2 {1+;1!;}+{i+ 1

i }+{iÛ`+ 1iÛ` }+{iÜ`+ 1iÜ` } =(1+1)+(i-i)+(-1-1)+(-i+i)=0 이므로

[{1+;1!;}+{i+ 1_{i }}+{iÛ`+ 1_{iÛ` }}+{iÜ`+ 1_{iÜ` }]} +[{iÝ`+ 1_{iÝ` }}+{iÞ`+ 1_{iÞ` }}+{iß`+ 1_{iß` }}+{ià`+ 1_{ià` }]} + y

 +[{iá`ß`+ 1_{iá`ß` }}+{iá`à`+ 1_{iá`à` }}+{iá`¡`+ 1_{iá`¡` }}+{iá`á`+ 1_{iá`á` }]} +{iÚ`â`â`+ 1_{iÚ`â`â` }}=iÚ`â`â`+ 1

iÚ`â`â`=1+1=2 ⑴ 문제 1 ⑴ x= -1Ñ13136₂ , 실근 ⑵ x=3Ñ13156i₄ , 허근 문제 2 ⑴ 서로 다른 두 실근 ⑵ 서로 다른 두 허근 ⑶ 중근 ⑷ 서로 다른 두 허근 추론 주어진 이차방정식에서 a와 c의 부호가 서로 다르면 ac<0이다. 이때 bÛ`¾0, -ac>0이므로 주어진 이차방 정식의 판별식을 D라고 하면 D=bÛ`-4ac>0이다. 따라서 항상 서로 다른 두 실근을 갖는다. 문제 3 k<-;4(; 의사소통 ⑴ 과 ⑵

이차방정식

의

판별식

3

58쪽~60쪽 생각 열기 확인문제 61쪽 1 ⑴ x=4 또는 x=12, 실근 ⑵ x= -5Ñ13116i₆ , 허근 2 ⑴ 서로 다른 두 실근 ⑵ 서로 다른 두 허근 ⑶ 서로 다른 두 실근 ⑷ 중근 3 서로 다른 두 실근 4 2166 5 1단계 (a-b)xÛ`+2cx+(a+b)=0 2단계 정리한 이차방정식의 판별식을 D라고 하면 D=(2c)Û`-4(a-b)(a+b)=0 이 식을 정리하면 aÛ`=bÛ`+cÛ` 3단계 _{빗변의 길이가}a인 직각삼각형 추론 ㈎ (2b')Û`-4ac, ㈏ 4{(b')Û`-ac}, ㈐ (b')Û`-ac -3, 5 1Ñ136i 2 2 ⑴ 1 ⑵ -15 1 두 근 두 근의 합 두 근의 곱 문제 1 ⑴ 두 근의 합: ;3*;, 두 근의 곱: ;;ª3¼;; ⑵ 두 근의 합: 0, 두 근의 곱: -;;ª5Á;; 문제 2 ⑴ 56 ⑵ 48 ⑶ 14 ⑷ 416 의사소통 xÛ`의 계수가 1이라는 조건이 없으면 무수히 많은 이차방정식을 얻을 수 있기 때문이다. 문제 3 ⑴ xÛ`-2x-5=0 ⑵ xÛ`-4x+13=0 문제 4 ⑴ 3 {x-1+126i₃ }{x-1-126i₃ } ⑵ (x+3-166)(x+3+166) 확인문제 65쪽 1 ⑴ 두 근의 합: -10, 두 근의 곱: 0 ⑵ 두 근의 합: 0, 두 근의 곱: -;;Á3¼;; ⑶ 두 근의 합: -;2%;, 두 근의 곱: -4 ⑷ 두 근의 합: -;3*;, 두 근의 곱: -3 2 ⑴ xÛ`-4x+3=0 ⑵ xÛ`+x-1=0 ⑶ xÛ`-3x+1=0 ⑷ xÛ`-7x+1=0 3 ⑴ (x-5-2166)(x-5+2166) ⑵ 2 {x-3+176i₄ }{x-3-176i₄ }

이차방정식

의

근

과

계수

의

관계

4

(8)

⑶ (x+1-_{156)(x+1+156)} ⑷ 2 {x-9+13156i₄ }{x-9-13156i₄ } 4 -35 5 1단계 aaÛ`+ba+c=0, abÛ`+bb+c=0 2단계 aaÛ`+ba+c=0의 양변을 aÛ`으로 나누면 _aÛ`c _{+ ba +a=0} ……① abÛ`+bb+c=0의 양변을 bÛ`으로 나누면 _bÛ`c _{+ bb +a=0} ……② 3단계 이차방정식 cxÛ`+bx+a=0에 x=1 a 과 x=b 을1 대입하면 각각 식 ① 과 ② 를 얻는다. 따라서 이차방정 식 cxÛ`+bx+a=0은 두 개의 근을 갖고, x=_{a 과}1 x=1_{b 이 방정식을 만족시키므로 두 근은}1_{a ,}_{b 이다.}1 창의•융합 [정우] (1-i)Û`+a(1-i)+b=0에서 (a+b)-(2+a)i=0이므로 a=-2, b=2 [민수] 두 근의 합은 (1-i)+(1+i)=2=-a 두 근의 곱은 (1-i)(1+i)=2=b 따라서 a=-2, b=2 [지혜]xÛ`-2x+1=-1에서 xÛ`-2x+2=0 따라서 a=-2, b=2

1

⑴ y x O -2 -1 -3 1 2 3 2 3 1 5 4 -1 y=-x2 +4 ⑵ y x O -1 -2 -3 1 2 3 2 3 1 -1 -2 -3 y=x2-x-2

2

⑴ 서로 다른 두 실근 ⑵ 서로 다른 두 허근 ⑴ 2 ⑵ 1 ⑶ 없다. 문제 1 ⑴ 1, -1 ⑵ 3 ⑶ 2, 8 ⑷ 1, ;2#; 문제 2 ⑴ 만나지 않는다. ⑵ 서로 다른 두 점에서 만난다.

2 이차방정식

과

이차함수

준비 학습 66쪽

이차방정식

과

이차함수

의

관계

1

67쪽~69쪽 생각 열기 ⑶ 한 점에서 만난다(접한다). ⑷ 만나지 않는다. 창의•융합 - D 4a >0일 때 0, -4a =0일 때 1, D - D_{4a <0일 때 2} 문제 3 ⑴ k>;6!; ⑵ k=;6!; ⑶ k<;6!; 확인문제 70쪽 1 ⑴ 2 ⑵ 0 ⑶ 1 2 p>;;Á2°;; 3 234 4 -6 5 1단계 D=4(a+k)Û`-4(kÛ`-2a-4k) 2단계 (8a+16)k+(4aÛ`+8a) 3단계 _{주어진 이차함수의 그래프가 실수}k의 값에 관계 없이 항상 x축에 접하므로 D=(8a+16)k+(4aÛ`+8a)=0, a=-2 추론 ㈎ (x-1)Û`+a, ㈏ (1, a), ㈐ ② 이차함수의 그래프가 x축과 서로 다른 두 점에서 만나야 하므로 x=1에서의 함숫값은 음수이어야 한다. 즉, a<0 이다. 또, 두 근이 모두 3보다 작아야 하므로 그래프 ② 와 같이 x=3에서의 함숫값은 양수이어야 한다. 즉, 4+a>0에서 a>-4 따라서 -4<a<0 이차함수 y=xÛ`의 그래프와 직선 y=x+1은 서로 다른 두 점에서 만나므로 교점의 개수는 2, 직선 y=x-2는 만나지 않으므로 교점은 없 다. 문제 1 ⑴ 서로 다른 두 점에서 만난다. ⑵ 만나지 않는다. ⑶ 한 점에서 만난다(접한다). 문제 2 ⑴ k>;3@; ⑵ k=;3@; ⑶ k<;3@; 확인문제 73쪽 1 ⑴ 만나지 않는다. ⑵ 서로 다른 두 점에서 만난다. ⑶ 한 점에서 만난다(접한다). 2 a=-8, b=-4

이차함수

의

그래프

와

직선

의

위치 관계

2

71쪽~72쪽 -2 -1O 1 2 2 3 1 -1 -2 -3 y=x2 y=x+1 y=x-2 y x 생각 열기

(9)

3단계 y =(10000-500x)(40+10x) =-5000{(x-8)Û`-144} 따라서 x=8일 때 판매액이 최대가 되고 그때의 상의 한 장의 가격은 10000-500_8=6000(원) 의사소통 _꼭짓점의x좌표가 주어진 x의 값의 범위에 속 하지 않으므로 꼭짓점의 y좌표가 최솟값이라는 것은 잘 못된 것이다. 따라서 최솟값은 x=0일 때 y=-2이다.

1

⑴ (x-2)(x+1-136i)(x+1+136i) ⑵ (x-126)(x+126)(x-2)(x+2) ⑶ (x-1){x+1-13116i₂ }{x+1+13116i₂ } ⑷ (x+1)Û`(x-2)(x-3)

2 ⑴

x=-4, y=-7 ⑵ x=5, y=2 (x+1)(x+2)(x+3)=210 문제 1 ⑴ x=-1 또는 x=1Ñ136i₂ ⑵ x=1 ⑶ x=Ñ136 또는 x=Ñ156i ⑷ x=1 또는 x=Ñ2 또는 x=-3 문제 2 ⑴ x=1 또는 x=-2 또는 x=-3 ⑵ x=2 또는 x=1Ñ126 ⑶ x=1(중근) 또는 x=Ñ2 ⑷ x=1 또는 x=3 또는 x=-1Ñ₂1336i 문제 3 ⑴ a=1, b=-4 ⑵ -3, 1-i 문제 4 4 확인문제 82쪽 1 ⑴ x=Ñ;2!; i 또는 x=Ñ;2!; ⑵ x=0 또는 x=2 또는 x=5 ⑶ x=-3 또는 x=1Ñ13156i₂ ⑷ x=-1(중근) 또는 x=Ñi ⑸ x=Ñ3 i 또는 x=Ñ2 ⑹ x=1Ñ156₂ (중근) ⑺ x=-2Ñi 또는 x=-2Ñ2126

3 여러 가지 방정식

준비 학습 78쪽

삼차방정식

과

사차방정식

1

79쪽~81쪽 생각 열기 3 y=6x-1, y=-2x-1 4 kÁ=-5, kª=-2이므로 kÁ+kª=-7 5 1단계 xÛ`+(2-a)x-2=0 2단계 _이차함수y=xÛ`+(2-a)x-2의 x=1에서의 함 숫값이 음수이어야 한다. 3단계 a>1 문제 해결 a=;3!;, b=0, m=;3!; 종이류, 45.4 % 의사소통 x의 값의 범위가 주어지지 않은 경우 그래프의 꼭 짓점의 y좌표가 항상 이차함수의 최댓값 또는 최솟값이다. 문제 1 ⑴ 최댓값은 9이고 최솟값은 없다. ⑵ 최솟값은 -25이고 최댓값은 없다. 정보 처리 a=2 ? ? a 입력: 2 8 6 4 (-9.67, 8.8) (9.03, 0.01) 각 그래프의 꼭짓점의 y좌표를 구하여 본다. 문제 2 ⑴ 최댓값은 2, 최솟값은 -14 ⑵ 최댓값은 -2, 최솟값은 -;;£2Á;; 문제 3 600 mÛ` 확인문제 77쪽 1 ⑴ 최솟값은 -13이고 최댓값은 없다. ⑵ 최댓값은 -;2%; 이고 최솟값은 없다. 2 ⑴ 최댓값은 8, 최솟값은 -1 ⑵ 최댓값은 5, 최솟값은 -4 ⑶ 최댓값은 9, 최솟값은 0 ⑷ 최댓값은 5, 최솟값은 -19 3 a=2, b=-1 4 2 5 1단계 한 장의 판매 가격: 10000-500x(원) 전체 판매량: 40+10x(장) 2단계 하루 판매액을 y원이라고 하면 (판매액)=(한 장의 판매 가격)_(전체 판매량) 이므로 y=(10000-500x)(40+10x)

이차함수

의

최대, 최소

3

(10)

2 ⑴ [x=2_y=₁₂₆126 또는 [x=-2_y=-₁₂₆126 또는 [x=2_y=-2 또는 x=-2

y=2 [

⑵ [x=1_y=3 또는 [x=-1_y=-3 또는 [x=4_y=0 또는 [x=-4_y=0

3 a=5, b=-1 4 19 또는 91 5 1단계 ₃a+3b=30 또는 a+b=10 2단계 ₁36 4 aÛ`-1364 bÛ`=10136 또는 aÛ`-bÛ`=40 3단계 a=7, b=3 창의•융합 [배홍] 합과 곱을 알고 있는 두 수에 대하여 이 두 수를 두 근으로 하는 최고차항의 계수가 1인 이차방정식 은 xÛ`-6x+4=0이므로 x=3Ñ156

[유진] 두 수를 x, y라고 하면 x+y=6 yy①

xy=4 yy②

[

① 을 y에 대하여 풀면 y=-x+6 yy③ ③ 을 ②에 대입하면 x(-x+6)=4 xÛ`-6x+4=0, x=3Ñ156 따라서 [x=3+_y=3-₁₅₆156 또는 [x=3-_y=3+₁₅₆156

1

⑴ < ⑵ < ⑶ > ⑷ >

2 ⑴

x>-1 ⑵ xÉ3 ⑶ x<3 ⑷ x¾5 -40É;9%;_(화씨(ùF)-32)É68 문제 1 ⑴ -2Éx<1 ⑵ x¾3 ⑶ xÉ1 ⑷ x=5 문제 2 ⑴ 해가 없다. ⑵ 해가 없다. 문제 3 ⑴ 7<xÉ8 ⑵ xÉ2 문제 4 8점 또는 9점 확인문제 91쪽 1 ⑴ 1Éx<5 ⑵ x>2 ⑶ x>5 ⑷ 해가 없다. ⑸ 2<xÉ3 ⑹ x=-1 2 2 3 a=2, b=5 4 150 g 이상 600 g 이하 5 1단계 ₄x+5 2단계 5(x-4)+1É4x+5É5(x-4)+5 3단계 _{20 이상 24 이하}

4 여러 가지 부등식

준비 학습 87쪽

연립일차부등식

1

88쪽~90쪽 생각 열기 2 -4 3 ⑴ a=-3, b=-6 ⑵ 1(중근) 4 2 cm 또는 (7-13176) cm 5 ㈎ 4, ㈏ 12, ㈐ 2, ㈑ 1 창의•융합 [민수]P(x)=xÝ`+6xÜ`+11xÛ`+6x-24라고 하 면 주어진 방정식은 (x-1)(x+4)(xÛ`+3x+6)=0 따라서 x=1 또는 x=-4 또는 x=-3Ñ₂13156i [새롬]xÛ`+3x=X로 놓으면 주어진 방정식은  X(X+2)-24=0, XÛ`+2X-24=0 즉, (X-4)(X+6)=0이므로  (xÛ`+3x-4)(xÛ`+3x+6)=0 따라서 x=1 또는 x=-4 또는 x=-3Ñ₂13156i 1 ⑴ 0 ⑵ -1 ⑶ 1 ⑷ xÕ ⑸ x 2 ⑴ 1 ⑵ -1 ⑶ 1 3 [예시] (차례대로) ⑴ _, _, Ö ⑵ _, +, Ö ⑶ +, +, _ ⑷ _, _, + 4x+y=x+5y 5x+6y=1 [ 문제 1 ⑴ [x=-8_y=-34 또는 [x=2_y=-4 ⑵ [x=-2_y=0 또는 [x=-1_y=1 문제 2 ⑴ x=2176₇ y=4176₇ ( \ { ] 9 또는 x=-2176₇ y=-4176₇ ( \ { ] 9 또는 [x=2_y=-2 또는 [x=-2_y=2

⑵ [x=-2_y=1 또는 [x=2_y=-1 또는 [x=1_y=2 또는 [x=-1_y=-2 문제 3 2000원, 120잔

확인문제 86쪽

1 ⑴ [x=-5_y=-2 또는 [_y=5x=2 ⑵ [x=-1_y=-2 또는 [x=2_y=1 ⑶ x=-;2!; y=-3 ( { 9 (중근) ⑷ x=-4 y=1 [ 또는 [x=1_y=-4 83쪽 탐구 과제

연립이차방정식

2

(11)

[수지]-3<|x|-1<3에서 -2<|x|<4 -2<|x|는 항상 성립하므로 |x|<4 따라서 -4<x<4 1 (차례대로) |x-65|É15, |x-75|É25, |x-85|É35 2 [예시][장점] 더 빠르게 이동할 수 있어 시간이 절약된다. 같은 시간에 많은 차량이 이동할 수 있으므로 교통 정 체가 줄어든다. [단점] 소음이 증가한다. 사고의 위험이 증가한다. -4.9 tÛ`+9.8>0 문제 1 ⑴ xÉ-3 또는 x¾1 ⑵ -3<x<;2!; 문제 2 ⑴ 모든 실수 ⑵ 해가 없다. 문제 3 ⑴ 모든 실수 ⑵ 해가 없다. 문제 4 ⑴ -2<xÉ4 ⑵ -1Éx<0 문제 5 -6<k<-3 또는 4<k<10 확인문제 102쪽 1 ⑴ -7<x<3 ⑵ -2ÉxÉ-1 ⑶ xÉ;2!; 또는 x¾3 ⑷ x+;3!;인 모든 실수 ⑸ -2<xÉ-1 또는 1Éx<3 2 300 km 3 0<a<12 4 -4ÉaÉ-1 5 1단계 x>0, x+(x+1)>x+2 2단계 (x+2)Û`>xÛ`+(x+1)Û` 3단계 1<x<3 문제 해결 x<3 x=3 3<x<4 x=4 x>4 x-3 - 0 + + + x-4 - - - 0 + (x-3)(x-4) + 0 - 0 + ⑴ x<3 또는 x>4 ⑵ 3<x<4 1 z=a+bi를 주어진 식에 대입하면 (5-i)(a+bi)+(2+3i)(a-bi)=18+7i 복소수가 서로 같을 조건에 의하여 7a+4b=18, 2a+3b=7 따라서 a=2, b=1이므로 aÛ`+bÛ`=5 97쪽 탐구 과제

이차부등식

3 단원 평가

문제

104쪽~106쪽 의사소통 정훈, [이유] 부등식 1<2x+3Éx+4는 두 부등식 1<2x+3 과 2x+3Éx+4를 하나로 나타낸 것이므로 부등식 1<2x+3Éx+4는 연립부등식 1<2x+3 2x+3Éx+4 [ 로 고쳐 서 풀어야 한다. 1 주어진 [예시]에서 나트륨 총량은 대략 4475 mg이므로 세 계 보건 기구의 권고 기준보다 대략 2475 mg 더 많이 섭 취한다. 2 1161 mg 초과 5621 mg 미만 3 [예시] ① 국, 찌개, 국수 등의 국물이 있는 음식을 먹을 때 에는 국물을 적게 먹는다. ② 칼륨이 풍부한 식품을 섭취하면 몸속 나트륨이 배출되 므로 고구마, 감자, 오이, 부추, 버섯 등을 섭취한다. ③ 채소 위주의 저염식 식단으로 식사하는 습관을 기른다. 21 문제 1 ⑴ -1<x<5 ⑵ xÉ-1 또는 x¾4 문제 2 ⑴ x>-1 또는 x<-5 ⑵ -2ÉxÉ2 문제 3 ⑴ 해가 없다. ⑵ ;5$;<x<;;Á3¤;; 확인문제 96쪽 1 ⑴ 2<x<4 ⑵ x<-4 또는 x>-1 ⑶ ;3!; ÉxÉ1 ⑷ xÉ-3 또는 x¾2 2 ⑴ xÉ1 ⑵ -3<x<3 ⑶ x<-2 또는 x>6 ⑷ -;3$; ÉxÉ0 3 a=5, b=-13 4 2<aÉ3 5 1단계 -2, 1 2단계 Ú x<-2일 때, -x+1-x-2É4-x  Û -2Éx<1일 때, -x+1+x+2É4-x  Ü x¾1일 때, x-1+x+2É4-x 3단계 -5ÉxÉ1 창의•융합 [재석] Ú x¾0일 때, |x-1|<3에서 -3<x-1<3, -2<x<4 그런데 x¾0이므로 0Éx<4  Û x<0일 때, |-x-1|<3, 즉 |x+1|<3에서 -3<x+1<3, -4<x<2 그런데 x<0이므로 -4<x<0 Ú, Û에서 -4<x<4 92쪽 탐구 과제

절댓값

을

포함

한

일차부등식

2

(12)

주어진 방정식은 xÜ`-5xÛ`+8x-6=0에서 (x-3)(xÛ`-2x+2)=0 따라서 나머지 두 근은 3, 1+i이다. 11 xÜ`-1=0에서 (x-1)(xÛ`+x+1)=0 이므로 x 는 xÛ`+x+1=0의 근이다. 즉, xÜ`=1, xÛ`+x+1=0 ⑴ 1+xÛ`+xÝ`=1+xÛ`+x=0 ⑵ 1+x_xÛ` + x 1+xÛ`= -xxÛ`Û`+ x-x=-1-1=-2 12xÝ`+2xÜ`+xÛ`-4=0에서 (x-1)(x+2)(xÛ`+x+2)=0 이때 허근 a는 이차방정식 xÛ`+x+2=0의 근이므로

aÛ`+a+2=0 yy①

a+0이므로 ①의 양변을 a로 나누면  a+1+ 2a =0, a+2a =-1 13 8 cm 이상 10 cm 이하 14 이차방정식 axÛ`-4x+2a-1=0의 판별식을 D라고 하 면 주어진 이차부등식이 해가 없을 조건은 a<0이고, D=(-4)Û`-4_a_(2a-1)<0 2aÛ`-a-4>0에서 a<1-13336₄ 또는 a>1+13336₄ 그런데 a<0이므로 a<1-₄13336 따라서 조건을 만족시키는 정수 a의 최댓값은 -2이다.

15[3(x-1)¾2x+3 _5x-2É3x+a yy①_yy②

부등식 ①에서 3x-3¾2x+3, x¾6 부등식 ②에서 2xÉa+2, xÉ a+₂2 그런데 연립부등식의 해가 없도록 하려면 오른쪽 그림에서 ①, ②의 공통부분이 없어 야 하므로 a+2_{2 <6, 즉 a<10} 16 이차부등식 axÛ`+bx+c<0의 해가 x<-1 또는 x>5 이므로 a<0이다. x<-1 또는 x>5를 해로 갖는 xÛ`의 계수가 1인 이차부 등식은 (x+1)(x-5)>0, xÛ`-4x-5>0 a<0이므로 위 식의 양변에 a를 곱하면 axÛ`-4ax-5a<0 즉, b=-4a, c=-5a이고 이 식을 이차부등식 x 6 a+2 -₂ ① ②

2 1-i_{1+i =}_{(1+i)(1-i) =-i이므로 {}(1-i)Û` 1-i_{1+i }1`0`0`=1} 3 ㄱ. a<0, b<0이므로 1a6 1b6=¾ ab (참) ㄴ. aÛ`>0, b<0이므로 !aÛ`b^=!aÛ`^1b6=-a1b6 (거짓) ㄷ. !aÛ`^!bÛ`^=|a||b|=ab (참) ㄹ. 1a6 !bÛ`^= 1 a6 |b|=- 1 a6 b (거짓) 따라서 옳은 것은 ㄱ, ㄷ이다. 4 주어진 이차방정식의 판별식을 D라고 하면 D=(2k)Û`-4(k+1)(k+3)¾0 4k+3É0, kÉ-;4#; 그런데 k+1+0이므로 k<-1 또는 -1<kÉ-;4#; 5 a, b가 주어진 이차방정식의 근이므로  aÛ`-3a-5=0, bÛ`-3b-5=0 즉, aÛ`-3a=5, bÛ`-3b=5이므로 (aÛ`-3a-1)(bÛ`-3b+2)=(5-1)_(5+2)=28 6 이차방정식의 두 근을 a, b(a>b)라고 하면 근과 계수 의 관계에 의하여 a+b=5, ab=k+2, a-b=3 이때 (a+b)Û`=(a-b)Û`+4ab이므로 25=3Û`+4(k+2), k=2 7 f(x) =xÛ`+2ax+4a+1=(x+a)Û`-aÛ`+4a+1 이차함수 f(x)는 x=-a에서 최솟값 m을 가지므로 m=-aÛ`+4a+1=-(a-2)Û`+5 따라서 a=2일 때 m의 최댓값은 5이다. 8 ;2!; ABÓ=;2!; ACÓ=x라고 하면 ;2!; BCÓ=6-2x이므로 세 반원의 넓이의 합은 pxÛ`+;2!; p(6-2x)Û`=p{3(x-2)Û`+6} 따라서 x=2일 때 최솟값은 6p이다. 9 a, b는 이차방정식 xÛ`-(a+3)x-4=0의 두 근이므로 근과 계수의 관계에 의하여 a+b=a+3, ab=-4  aÜ`+bÜ`=(a+b)Ü`-3ab(a+b)이므로 32=(a+3)Ü`+12(a+3) a+3=X로 놓으면 XÜ`+12X-32=0 (X-2)(XÛ`+2X+16)=0

a는 실수이므로 X=a+3=2, a=-1

10 _{1+i =}2 _{(1+i)(1-i) =1-i이므로}2(1-i)

x=1-i 를 주어진 식에 대입하여 정리하면 (b-8)+(-2a-b-2)i=0

(13)

③ 을 ②에 대입하면 x(-x+2a-6)=2aÛ`+9 xÛ`+(6-2a)x+2aÛ`+9=0 ……④ 이차방정식 ④의 판별식을 D라고 하면 D=(6-2a)Û`-4_1_(2aÛ`+9) y❶ 이차방정식 ④가 오직 하나의 해를 가지려면 D=0이어 야 하므로 D=(6-2a)Û`-4_1_(2aÛ`+9)=0 y❷ aÛ`+6a=0, a(a+6)=0 따라서 a=0 또는 a=-6 y❸ 평가 기준 배점 비율 ❶ 주어진 연립방정식을 정리하여 얻은 이차방정 식의 판별식을 구한 경우 40 % ❷ 이차방정식의 해가 오직 하나일 때 (판별식)=0 임을 이해한 경우 40 % ❸ a의 값을 모두 구한 경우 20 % 22 방의 개수를 x라고 하면 전체 학생 수는 (6x+12)명이 다. y❶ 7명씩 잘 때, 방이 2개 남는다는 것은 (x-3)개의 방에 서 7명씩 자고, 남은 3개의 방 중 한 방에서 최소 1명에서 7명까지 잔다는 것과 같다. 즉, 전체 학생 수는 7(x-3)+1É6x+12É7(x-3)+7 y❷ 7x-20É6x+12É7x-14, 26ÉxÉ32 따라서 방의 개수는 26 이상 32 이하이다. y❸ 평가 기준 배점 비율 ❶ 방의 개수를 x로 놓고 전체 학생 수를 x를 이용 하여 나타낸 경우 20 % ❷ 전체 학생 수에 대한 연립부등식을 세운 경우 40 % ❸ 연립부등식을 풀어 방의 개수의 범위를 구한 경우 40 % 23 a와 b는 이차방정식 xÛ`+x+1=0의 근이므로 aÛ`+a+1=0, bÛ`+b+1=0 이고 a+b=-1이므로

aÛ`=-a-1=b, bÛ`=-b-1=a y❶

즉, f(aÛ`)=f(b)=-5a=5(b+1)=5b+5 f(bÛ`)=f(a)=-5b=5(a+1)=5a+5 이때 f(x)-5x-5=0은 최고차항의 계수가 1인 이차방 정식이다. y❷ f(x)-5x-5=0의 두 근이 a와 b이므로 f(x)-5x-5=(x-a)(x-b)=xÛ`+x+1 따라서 f(x)=xÛ`+6x+6이므로 p=6, q=6 y❸ 평가 기준 배점 비율 ❶ 근과 계수의 관계를 이용하여 aÛ`=b, bÛ`=a임 을 안 경우 30 % ❷ ❶에서 구한 식을 이용하여 두 근이 a, b인 방 정식을 세운 경우 40 % ❸p, q의 값을 구한 경우 30 % a(x-1)Û`-b(x-1)+c¾0에 대입하면 a(x-1)Û`+4a(x-1)-5a¾0 양변을 a로 나누면 (x-1)Û`+4(x-1)-5É0 (x-2)(x+4)É0, -4ÉxÉ2 17 주어진 이차방정식이 서로 다른 두 양의 실근을 갖기 위 해서는 (판별식)>0, (두 근의 합)>0, (두 근의 곱)>0이 어야 한다.  Ú D=4(k-4)Û`-4_1_(-kÛ`+26)>0에서 kÛ`-4k-5>0, (k+1)(k-5)>0 k<-1 또는 k>5 ……①  Û -2(k-4)>0에서 k<4 ……②  Ü -kÛ`+26>0에서 -13266<k<13266 ……③ 따라서 ①, ②, ③ 을 동시에 만족시키는 정수 k의 값은 -5, -4, -3, -2이다. 18y=2-x이므로 2xÛ`+yÛ`=2xÛ`+(2-x)Û`=3 {x-;3@;}2`+;3*; 그런데 x¾0이고 y=2-x¾0이므로 x의 값의 범위는 0ÉxÉ2 Ú x=;3@; 일 때, 2xÛ`+yÛ`=;3*; Û x=0일 때, 2xÛ`+yÛ`=4 Ü x=2일 때, 2xÛ`+yÛ`=8 Ú ~ Ü에서 최댓값은 8, 최솟값은 ;3*;이다. 19xÛ`-6x+8É0에서 (x-2)(x-4)É0이므로 2ÉxÉ4 ……① 부등식 ①과 (x-3)(x-a)<0을 동시에 만족시키는 x 의 값의 범위가 3<xÉ4이기 위해서는 오른쪽 그림에서 a>4이다. 20xÛ`-3x-10É0에서 (x+2)(x-5)É0이므로 -2ÉxÉ5 ……① 또, |x-3|<k에서 -k<x-3<k이므로 3-k<x<3+k ……② ①과 ② 를 동시에 만족시키는 정수는 5개이므로 다음 그 림과 같아야 한다. x 2 3 4 5 0 1 -1 -2 3+k 3-k 따라서 0É3-k<1, 2<kÉ3이므로 k의 최댓값은 3이다.

21[x+y=2a-6 _xy=2aÛ`+9 yy①_yy②

① 을 정리하면 y=-x+2a-6 yy③ ① x 4 a 3 2

(14)

Ⅲ

도형

의

방정식

1

y x O 4 2 -2 -4 4 -2 -4 2 A C D B

2

13 40 m 문제 1 ⑴ 8 ⑵ 10 ⑶ 4 ⑷ 5 의사소통 _|x-4|=1은 수직선 위에서 좌표가 4인 점과의 거리가 1인 점의 좌표가 x임을 나타내므로 x=5 또는 x=3 문제 2 ⑴ 2126 ⑵ 13 ⑶ 126 ⑷ 5 문제 3 정삼각형 문제 4 (0, -1) 문제 해결 [예시] 색칠한 부분인 x축을 직선 y=x로 바꾸고 구하는 점을 P(a, a)라고 하면 APÓ=BPÓ, 즉 APÓ Û`=BPÓ Û`이므로 (a-2)Û`+(a-4)Û`={a-(-1)}Û`+(a-1)Û`, a=;2#; 따라서 구하는 점의 좌표는 {;2#;, ;2#;}이다. 확인문제 114쪽 1 ⑴ 5 ⑵ 6 ⑶ 5 ⑷ 13136 2 둔각삼각형 3 -1, 9 4 7 5 (차례대로) 0, 0, -c, (a+c)Û`, aÛ`+bÛ`+cÛ`, c 의사소통 _1.[예시] 덕수궁 덕수궁 경희궁경희궁 강북삼성병원 강북삼성병원 정동공원 정동공원 정동공원 덕수초등학교 덕수초등학교 세종문화회관 세종문화회관 서울시청 서울시청 세계일보 금호아트홀 성곡미술관 세계일보 금호아트홀 성곡미술관y x O ໏ါ࿦ຫ ෢මશ ໏ါ࿦ຫ ෢මશ ၦጷ࿥ၴ ધ౾ዼો ၦጷ࿥ၴ ધ౾ዼો ઼ጷබ࿦ ઼ጷබ࿦ ໏ါ ኒၦ஑༺໠ሽ໏ါ ኒၦ஑༺໠ሽ ໏ఝබ࿦ ໏ఝබ࿦

1 평면좌표

준비 학습 110쪽

두 점 사이

의

거리

1

111쪽~113쪽 생각 열기 앞의 그림과 같이 서울 역사 박물관을 원점 O로 하여 가로선을 x축, 세로선을 y축으로 하는 좌표평면을 정 하면 서울 역사 박물관의 좌표는 (0, 0), 서대문역의 좌 표는 (-2, -3), 광화문역의 좌표는 (4, 1)이다. 2. 1에서 서울 역사 박물관과 서대문역 사이의 거리는 !%(-2-0)Û`+(-3-0)Û`^ =13136 서울 역사 박물관과 광화문역 사이의 거리는 !%(4-0)Û`+(1-0)Û`^ =13176 3. 좌표축을 정하는 방법이 달라도 2에서 구한 두 점 사이 의 거리는 같은 값이 나온다. 따라서 살펴보려는 점의 좌표가 간단하게 나오도록 좌 표축을 정하면 거리를 구하기 편리하다. 1 [지수의 방법] A(0, 0), B(1, 2), C(3, 0)으로 놓을 수 있 고, P(a, b)라고 하면 PAÓ=PBÓ=PCÓ에서 PAÓ Û`=PBÓ Û`=PCÓ Û`이므로 aÛ`+bÛ`=(a-1)Û`+(b-2)Û`=(a-3)Û`+bÛ` -6a+9=0에서 a=1.5 a=1.5를 -2a-4b+5=0에 대입하면 b=0.5 따라서 P(1.5, 0.5)이므로 A아파트 단지에서 동쪽으로 1.5 km, 북쪽으로 0.5 km 떨어진 지점에 공원을 만들면 된다. [도연이의 방법] AMÓ=;2!;_ACÓ=;2!;_3=1.5 이때 PMÓ=k라고 하면 IHÓ=k이므로 BIÓ=2-k 또, IPÓ=HMÓ=AMÓ-AHÓ=1.5-1=0.5

한편 두 직각삼각형 PAM과 PBI에서 PAÓ=PBÓ이므로 PAÓ Û`=PBÓ Û`이고 피타고라스 정리를 이용하면

AMÓ Û`+PMÓ Û`=BIÓ Û`+IPÓ Û`, 1.5Û`+kÛ`=(2-k)Û`+0.5Û` 2.25=-4k+4.25에서 k=0.5 따라서 A아파트 단지에서 동쪽으로 1.5 km, 북쪽으로 0.5 km 떨어진 지점에 공원을 만들면 된다. 2 지수는 좌표축을 정하여 각 점의 좌표를 구한 후 두 점 사 이의 거리 관계를 나타내는 연립방정식을 풀어서 공원의 위치를 구하였다. 한편 도연이는 도형 문제로 생각하여 적당한 보조선을 그 어 두 직각삼각형을 만든 후 피타고라스 정리를 이용하여 공원의 위치를 구하였다. 태양 지구 달 태양 지구 달 : 일식, 태양 지구 달 태양 지구 달: 월식 115쪽 탐구 과제

수직선 위

의

선분

의

내분

과

외분

2

(15)

확인문제 123쪽 1 ⑴ {2, ;;Á5£;;} ⑵ {;2#;, ;2%;} ⑶ (9, 4) 2 (3, 0) 3 a=4, b=-4 4 점 B의 좌표는 (-1, 4), 점 C의 좌표는 (1, -8) 5 1단계 _y x O B A 4 2 1 -3 2단계 APÓ : PBÓ=3 : 1 3단계 _{오른쪽 그림에서} 점 P의 좌표는 (3, 5) 이다. 추론 1. 세 점 P, Q, R의 x좌표는 각각 2_5+1_1₂₊₁ , 2_0+1_5₂₊₁ , 2_1+1_0₂₊₁ 삼각형 PQR의 무게중심의 좌표를 (x, y)라고 하면 x=1_{3 _}2_(5+0+1)+1_(1+5+0)₂₊₁ =1_{3 _}(2+1)_(1+5+0)₂₊₁ =1_{3 _(1+5+0)=2} 같은 방법으로 하면 y=1_{3 _(0+2+4)=2} 따라서 삼각형 PQR의 무게중심의 좌표는 (2, 2)이 고, 삼각형 ABC의 무게중심의 좌표도 (2, 2)이므로 두 삼각형의 무게중심의 좌표는 같다. 2. 색칠한 부분을 m : n(m>0, n>0)이라 하고, 1의 풀이에서 자리에 m, 자리에 n을 대입하여 계산 하면 같은 결과를 얻을 수 있다. 1 (LÁ의 최댓값)=;;Á2ª;;=6(cm) 2 (차례대로) 1, 1, (Lª의 최댓값)=6+;2!;_6=9(cm) y x O P A B 1 3 5 -3 4 2 124쪽 함께 만드는 수학 문제 1 ⑴ 점 R ⑵ 점 Q 의사소통 [예시] 문제 1의 그림에서 선분 PR를 1 : 1로 내분 하는 점을 구하시오.  점 Q 문제 2 ⑴ 1 ⑵ ;2%; 문제 3 ⑴ 점 P ⑵ 점 T 문제 4 ⑴ 12 ⑵ -;;ª2°;; 추론 선분 AB를 1 : 1로 외분하는 점은 없다. 확인문제 119쪽 1 (차례대로) ⑴ 2, 1, 내분 ⑵ 1, 3, 외분 2 점 P의 좌표는 ;;Á2£;;, 점 Q의 좌표는 11 3 -7 4 ;;ª7¤;;, 14 5 1단계 M1 M2 M3 A B

2단계 AMÁÓ=;2!; a, AMªÓ=;4!; a, AM£Ó=;8!; a

3단계 7 창의•융합 _{점 Q가 선분 ABÓ를 3 : 1로 외분하는 점이므로} AQÓ : QBÓ=3 : 1이다. 즉, AQÓ=3a, QBÓ=a(a>0)로 놓으면 오른쪽 그림에서 ABÓ= AQÓ-QBÓ=3a-a=2a 따라서 ABÓ : BQÓ=2a : a=2 : 1이므로 점 B는 선분 AQ 를 2 : 1로 내분하는 점이다. 오른쪽 그림에서 세로선 들은 모두 평행하고, 가로의 길이 는 접은 선에 의하여 4등분된다. 따라서 평행선의 성질에 의하여 선 분 AB도 접은 선에 의하여 4등분 되므로 선분 AB를 3 : 1로 내분하는 점은 그림의 점 P 이다. 문제 1 ⑴ {-;5&;, ;5*;} ⑵ {-;5#;, -;5#;} ⑶ {-1, ;2!;} 문제 2 ⑴ {;2(;, ;;ª2¦;;} ⑵ (1,-11) 문제 3 {1, ;3$;} A B Q 3a 2a a

좌표평면 위

의

선분

의

내분

과

외분

3

120쪽~122쪽 A B P 생각 열기

(16)

확인문제 129쪽 1 ⑴ y=3x-5 ⑵ y=-3x+14 2 x O 2 1 3 -2 -1 -3 y -2 -3 -1 1 23 (1) (2) (4) (3) 3 a=0, b=1 4 y=x+5 5 ㈎a, ㈏b, ㈐;aB;, ㈑a, ㈒b 추론 x+y-6+k(3x-y-2)=0 yy① ① 을 x, y에 대하여 정리하면 (1+3k)x+(1-k)y-6-2k=0 yy② 방정식 ② 는 x, y에 대한 일차방정식이므로 방정식 ① 은 직선을 나타낸다. 두 직선 x+y-6=0, 3x-y-2=0의 교점의 좌표를 (p, q)라고 하면 p+q-6=0, 3p-q-2=0 을 만족시킨다. ①의 좌변에 x=p, y=q를 대입하면 (p+q-6)+k(3p-q-2)=0+k_0=0 이므로 직선 ① 은 점 (p, q)를 지난다. 따라서 직선 ① 은 두 직선 x+y-6=0, 3x-y-2=0의 교점을 지난다. 1 ax+by+c=0 직선의 특징 a=0이고 b+0 a+0이고 b=0 계수 변화에 따른 직선의 이동 방향 x축에 평행 y축에 평행 상하로 이동 좌우로 이동 2 ⑴ ax+by+c=0 a b c y절편 x절편 기울기   _  _  _  

⑵ y=- a_bx- c_b 에서 기울기는 -;bA;, x절편은 -;aC;, y절편은 -;bC;이므로 a 또는 b의 값이 변하면 기울기가 변하고, a 또는 c의 값이 변하면 x절편이 변하며, b 또 는 c의 값이 변하면 y절편이 변한다. 두 선반 A, C가 이루는 각의 크기와 두 선반 B, C가 이루는 각의 크기가 서로 같으면 두 선반 A, B는 서로 평행하다. 130쪽 교구로 아는 수학

두 직선

의

평행

과

수직

2

131쪽~133쪽 생각 열기 3 블록을 위에 놓인 것부터 차례로 A, B, C라 하고 각 블 록의 무게를 a라고 하자. 또, 블록 A, B 전체와 블록 C 의 무게중심을 각각 G, G£이라 하고 GG£Ó을 두 점 G, G£ 에 각각 무게가 2a, a인 물체가 놓인 지렛대로 생각하자. G3 L3 B A G' G C 지렛대의 원리에 의하여 세 블록 전체의 무게중심을 G'이 라고 하면 G£G'Ó : GG'Ó=2a : a=2 : 1 이므로 무게중심 G'은 GG£Ó을 1 : 2로 내분하는 점이다. 이때 세 블록 전체의 무게중심이 책상의 모서리에 오도 록 블록 C를 6__{;3!;=2(cm)만큼 민다.} 따라서 L£의 최댓값은 6+3+2=11(cm)

1

기울기: -3, x절편: 1, y절편: 3

2

⑴ y=4x-3 ⑵ y=-2x+5 y=0.081x 문제 1 ⑴ y=2x-5 ⑵ y=-2x+2 ⑶ y=4 ⑷ y=2 문제 해결 (기울기)=( y의 값의 증가량) ( x의 값의 증가량)이다. 그런데 y축에 평행한 직선 위의 임의의 두 점은 x좌표가 같으므로 x의 값의 증가량이 0이다. 따라서 y축에 평행 한 직선의 기울기는 정할 수 없다. 문제 2 ⑴ y=-x+5 ⑵ y=3x+5 ⑶ y=3 ⑷ x=4 문제 3 y x O -3 3 -₂ 6 3 -₂ -(1) (2) (3) 의사소통 직선의 방정식 ax+by+c=0은 y=mx+n인 꼴과 x=k인 꼴의 모든 직선을 나타낸다. 반면 y=mx+n은 x=k인 꼴의 직선을 나타내지 못한다.

2 직선

의

방정식

직선

의

방정식

1

(17)

발 구름선 P 문제 1 ⑴ 3156 ⑵ 3126₂ ⑶ 4 ⑷ 5 문제 2 x-2y+5=0, x-2y-5=0 문제 3 13136 확인문제 138쪽 1 ⑴ 2 ⑵ 3 2 13106 3 x-y-1=0, x-y-5=0 4 13

5 ㈎xª yÁ-xÁ yª, ㈏ |xÁ yª-xª yÁ|, ㈐;2!;|xÁ yª-xª yÁ| 창의•융합 [희경] 점 A를 원점, 직선 AB가 x축이 되도록 좌표평면을 정하면 B(30, 0), C(10, 40)이므로 직선 BC의 방정식은 y-0=_{10-30 (x-30)}40-0 즉, 2x+y-60=0 원점 A(0, 0)과 이 직선 BC 사이의 거리는 |2_0+1_0-60| !%2Û`+1Û`^ = 60 156=12156 따라서 새로운 도로의 길이는 12156 km이다. [서호] 점 A에서 선분 BC에 내린 수선의 발을 D, 점 C에 서 선분 AB에 내린 수선의 발을 E라고 하면 직각삼각형 CBE에서 BCÓ Û`=CEÓ Û`+BEÓ Û`=2000, BCÓ=20156 두 직각삼각형 ABD와 CBE에서 ∠B가 공통이므로 두 삼각형은 서로 닮음이다. 즉, ABÓ : CBÓ=ADÓ : CEÓ에서 30 : 20156=ADÓ : 40, ADÓ=12156 따라서 새로운 도로의 길이는 12156 km이다.

1

10

2

⑴ -4<k<4 ⑵ k=Ñ4 A, C, D

점

과

직선 사이

의

거리

3

3 원

의

방정식

원

의

방정식

1

140쪽~142쪽 생각 열기 문제 1 ㄱ, ㄹ 추론 a a'= bb'이고 b'b+ cc', 즉 a'a= bb'+ cc' 문제 2 ⑴ y=-x+6 ⑵ y=;2#;x+;2!; 문제 3 ㄴ, ㄷ 문제 4 ⑴ y=-;2!;x+1 ⑵ y=;2!;x-;2&; 추론 - a b_{- a'b' }=-1, 즉 aa'+bb'=0 확인문제 134쪽 1 서로 평행한 것은 ㄴ, ㄹ이고 서로 수직인 것은 ㄱ, ㄷ이다. 2 ⑴ y=3x-1 ⑵ y=-;2#;x-8 3 ⑴ -;3!; ⑵ 3 4 (2, 3) 5 1단계 2단계 y 2x-y+3=0 3x-4y+5=0 O x 3 5 -₄ - 5-₃ - 3-₂ 점 (0, 1)을 반드시 지나고, 점 (0, 1)을 지나는 직선은 다음 그림과 같다. x O 1 y {-;5&;, ;5!;} 3단계 _{Ú 직선}y=mx+1이 직선 2x-y+3=0 또는 직선 3x-4y+5=0에 평행할 때 m=2 또는 m=;4#; Û 직선 y=mx+1이 두 직선 2x-y+3=0, 3x-4y+5=0의 교점 _{{-;5&;, ;5!;}을 지날 때} m=;7$; 창의•융합 [배중] 직선 AB의 기울기가 4-0_{5-1 =1이고, 선분} AB의 중점의 좌표가 { 1+5_{2 ,}0+4_{2 }, 즉 (3, 2)이다.} 따라서 선분 AB의 수직이등분선은 기울기가 -1이고 점 (3, 2)를 지나므로 구하는 직선의 방정식은 y-2=-1_(x-3), x+y-5=0 [민정] 선분 AB의 수직이등분선 위의 점을 P(x, y)라고 하면 PAÓ=PBÓ, 즉 PAÓ Û`=PBÓ Û`이므로 (x-1)Û`+yÛ`=(x-5)Û`+(y-4)Û`, x+y-5=0

(18)

0개 또는 1개 또는 2개 태도 및 실천  기타는 원과 직선이 서로 다른 두 점에서 만나는 예라고 할 수 있다. 문제 1 ⑴ 서로 다른 두 점에서 만난다. ⑵ 만나지 않는다. 문제 2 ⑴ k<-_{136 또는 k>136} ⑵ k=Ñ136 ⑶ -_136<k<136 확인문제 147쪽 1 ⑴ 만나지 않는다. ⑵ 서로 다른 두 점에서 만난다. 2 -2_{13106<k<213106} 3 -2156_{5 ÉmÉ}2156₅ 4 0<r<;;ª5£;; 5 1단계 0보다 크거나 같고 1보다 작거나 같아야 한다. 2단계 선분 AB에서의 거 리가 1인 두 직선과 두 점 A, B에서의 거리 가 1인 도형을 좌표평 면 위에 나타내면 오른 쪽 그림의 색선으로 표 시한 부분과 같다. 따 라서 점 C가 나타내는 도형은 오른쪽 그림에서 색칠한 부분이다. 3단계 2_2126+2_;2!;_p_1Û`=4126+p 문제 해결 _{처음의 배의} 위치를 점 O, 등대의 위치를 점 C라 하고 오른쪽 그림과 같이 직선 OC를 x축, 점 O 를 지나면서 직선 OC 에 수직인 직선을 y축 으로 하는 좌표평면을 정하자. 점 O가 원점이고 점 C의 좌표가 (6, 0)이므로 등대의 불 빛이 비추는 영역의 경계를 나타내는 원의 방정식은 (x-6)Û`+yÛ`=16 배가 지나는 자취를 포함하는 직선을 l이라고 하면 직선 l의 방정식은 y=;2!;x, 즉 x-2y=0

원

과

직선

의

위치 관계

2

145쪽~146쪽 생각 열기 y O x A B 2 3 1 1 1 ₁ 1 2 1 3 y O x 6 km 4 km 3 km A H C B 문제 1 ⑴ (x+3)Û`+yÛ`=4 ⑵ xÛ`+yÛ`=25 문제 2 ⑴ 중심: (0, 0), 반지름의 길이: 4 ⑵ 중심: (-4, 5), 반지름의 길이: 4₁₂₆ 문제 3 ⑴ (x+2)Û`+(y-5)Û`=20 ⑵ (x-3)Û`+(y+4)Û`=25 문제 4 ⑴ 중심: (5, 0), 반지름의 길이: 5 ⑵ 중심: (1, -3), 반지름의 길이: 3 확인문제 143쪽 1 ⑴ (x+3)Û`+yÛ`=25 ⑵ xÛ`+yÛ`=4 ⑶ (x-1)Û`+(y-1)Û`=32 2. ⑴ 중심: (0, 0), 반지름의 길이: 2 ⑵ 중심: (3, -5), 반지름의 길이: ₁₃₁₀₆ ⑶ 중심: (0, 1), 반지름의 길이: 4 ⑷ 중심: (-4, -6), 반지름의 길이: 5 3 1 4 k<-2 또는 k>3 5 1단계 2 2단계 (-r, r) 3단계 1, 5 따라서 구하는 원의 방정식은 (x+1)Û`+(y-1)Û`=1, (x+5)Û`+(y-5)Û`=25 정보 처리 현의 수직이등분선은 원의 중심을 지난다. 컴퓨터 프로그램을 이 용하여 두 현 AB, BC 의 수직이등분선을 각 각 그리면 이 두 직선 의 교점이 원의 중심이 고, 중심과 점 A(또는 점 B 또는 점 C)를 연 결한 선분의 길이가 원 의 반지름의 길이이다. 원의 반지름의 길이가 18 cm, 즉 지름의 길이가 36 cm 이므로 피자는 L 사이즈이다. 1 ⑴ (차례대로) 3, 2 ⑵ 컴퓨터 프로그램을 이용하여 점 P가 나 타내는 도형을 그리 면 오른쪽과 같고, 도형의 방정식은 {x-;;Á5¦;;}2`+yÛ` =_{{;;Á5¥;;}2`} ? a 입력: x 0 y D 10 h=18.06 20 30 A B C 0 -10 -20 10 -30 144쪽 교구로 아는 수학 ? r=3 a 입력: x y 0 -5 -10 A B D C 10 5 0 -5 5 10

(19)

O A 1 1 2 3 4 5 2 3 4 5 N y x 문제 1 ⑴ (-2, 5) ⑵ (-3, -1) ⑶ (-7, 0) 문제 2 ⑴ 2x-3y+15=0 ⑵ y=3(x+2)Û`+6 ⑶ (x+4)Û`+(y-5)Û`=4 확인문제 155쪽 1 ⑴ (-1, 8) ⑵ (-9, 1) 2 a=1, b=5 3 ⑴ y=3x-9 ⑵ (x-2)Û`+(y-2)Û`=2 4 a=-2, b=3 5 1단계 y=ax-a+b-2 2단계 ₃ 3단계 7

창의•융합 y=2x의 그래프를 x축의 방향으로 a만큼, y축

의 방향으로 b만큼 평행이동한 직선의 방정식은 y-b=2(x-a), 즉 y=2x-2a+b 이므로 -2a+b=4를 만족시키는 실수 a, b는 무수히 많다. 1 동쪽으로 이동한 거리: 330 cm 남쪽으로 이동한 거리: 300 cm 2 [예시] 눈을 가리고 이동해 봤는데 이동로가 끊어져 있거 나 훼손된 구간이 있어서 사고의 위험이 느껴졌다. 시각 장애인의 안전한 보행을 위해 지속적인 관리가 필요하다 고 느꼈다. 3 출입문 출입문 출입문 교실 독서실 급식실

도형

의

평행이동

1

153쪽~154쪽 생각 열기 156쪽 함께 만드는 수학 원 C와 직선 l의 두 교점을 각각 A, B라 하고, 원의 중심 C에서 현 AB에 내린 수선의 발을 H라고 하면 CHÓ=6156_{5 , AHÓ=}213556_{5 , ABÓ=2AHÓ=}413556₅ 따라서 구하는 길이는 413556_{5 km이다.} 2개 문제 1 ⑴ y=-xÑ2126 ⑵ y=2xÑ13106 문제 2 ⑴ 3x-y=10 ⑵ x=5 문제 3 2x+y=5, -x+2y=5 확인문제 151쪽 1 ⑴ y=3xÑ2₁₃₁₀₆ ⑵ y=-2xÑ3₁₅₆ 2 ⑴ x-y=4 ⑵ 136x+y=2, -136x+y=2 3 1+136 4 4126 5 1단계 -;2!; 2단계 2 3단계 y=2x-1 의사소통 접선의 기울기를 m이라 하고 접선의 방정식은 구 하였으나 이렇게 구하면 접선의 기울기를 정할 수 없는, 즉 y축에 평행한 접선의 방정식을 구할 수 없다. 점 A(1, 2)를 지나고 y축에 평행한 접선은 직선 x=1 이다. 이와 같이 접선의 기울기를 이용하여 접선의 방정식을 구 할 때에는 접선의 기울기를 정할 수 있는 경우와 정할 수 없는 경우로 나누어서 접선의 방정식을 구해야 한다.

1

2 ⑴

⑵

원

의

접선

의

방정식

3

4 도형

의

이동

(20)

2.  ? a=2 a 입력: 1A y x 0 0.5 0 -1.5 B C A' A''' C'' -0.5 -1 -0.5 -1 B' B'' C''' C' C B''' 0.5 A'' O''' D a1 c1 b1 d 0 1 1.5 1 좌우 대칭 아래로 한 칸 평행이동 ㅊ ㅌ ㅍ ㅎ 초성 종성 초성 종성 초성 종성 초성 종성 2 초심 3 참고 한글 점자에서는 혼동을 일으키지 않는 범위 안에서 자음과 결합되어 있는 모음 ‘ㅏ’를 생략한다. 단, ‘ㄹ’과 ‘ㅊ’은 ‘ㅏ’를 생략하지 않는다. 1 2 2 ;4#; 3 5 4 (-9, 10) 5 ;5!;<t<;3!; 6 4x+y-4=0 7 3x-4y-9=0 8 ㄱ, ㄴ, ㄷ 9 2 10 2 11 (x+1)Û`+(y-2)Û`=4 12 도연이와 준서의 위치를 각각 O(0, 0), A(6, 0)이라 하 고 두 사람이 동시에 도착할 수 있는 지점을 P(x, y)라고 하면 같은 시간 동안 준서는 도연이보다 2배의 거리를 이 동할 수 있으므로 APÓ=2OPÓ가 된다. 즉, (x-6)Û`+yÛ`=4(xÛ`+yÛ`), (x+2)Û`+yÛ`=16 따라서 구하는 도형의 넓이는 p_4Û`=16p 13 두 점 (4, -2), (-2, 6)을 지름의 양 끝점으로 하는 원 의 중심의 좌표는 {4+(-2)₂ , -2+6₂ }, 즉 (1, 2) 이고 반지름의 길이는 !%(1-4)Û`+{2-(-2)}Û`^ =13256=5 이므로 원의 방정식은 (x-1)Û`+(y-2)Û`=25 따라서 x축과 만나는 두 점 (1+13216, 0), (1-13216, 0) 사이의 거리는 21321이다. 162쪽 탐구 과제

단원 평가

문제

164쪽~166쪽 y 3 2 1 -1 -2 -3 x O 1 (1) (2) (3) -1 -2 -3 2 3 P Q R S 문제 1 ⑴ x축: (-2, -5), y축: (2, 5), 원점: (2, -5) ⑵ x축: (3, 1), y축: (-3, -1), 원점: (-3, 1) ⑶ x축: (-4, 6), y축: (4, -6), 원점: (4, 6) 문제 2 ⑴ x축: 3x-2y-1=0, y축: 3x-2y+1=0, 원점: 3x+2y+1=0 ⑵ x축: (x-1)Û`+(y-1)Û`=3, y축: (x+1)Û`+(y+1)Û`=3, 원점: (x+1)Û`+(y-1)Û`=3 문제 3 ⑴ (1, -2) ⑵ (-5, 3) ⑶ (-4, -7) 문제 4 ⑴ 3x+4y-5=0 ⑵ xÛ`+yÛ`-6x+2y+1=0 확인문제 161쪽 1 x축, y축, 원점, 직선 y=x에 대하여 대칭이동한 점의 좌 표를 차례대로 나열하면 ⑴ (1, -6), (-1, 6), (-1, -6), (6, 1) ⑵ (5, 3), (-5, -3), (-5, 3), (-3, 5) ⑶ (-2, -4), (2, 4), (2, -4), (4, -2) ⑷ (-3, 1), (3, -1), (3, 1), (-1, -3) 2 ⑴ x축: y=2x+3, y축: y=2x-3, 원점: y=-2x+3, 직선 y=x: x=-2y-3 ⑵ x축: 4x+7y+1=0, y축: 4x+7y-1=0, 원점: 4x-7y-1=0, 직선 y=x: 7x-4y-1=0 ⑶ x축: xÛ`+(y+1)Û`=3, y축: xÛ`+(y-1)Û`=3, 원점: xÛ`+(y+1)Û`=3, 직선 y=x: (x-1)Û`+yÛ`=3 3 6 4 375 m 5 ㄱ 2Ú ㄴ: 3x-y-9=0 ㄴ 2Ú ㄱ: 3x-y+11=0 정보 처리 1. ? a=2 a 입력: 2 1 -1 -2 y x 0 0 C B A -1 -3 -2 1 2 3

x축, y축, 원점, 직선 y=x

에 대한

대칭이동

2

157쪽~160쪽 생각 열기 ⑤ ④ ⑥ ⑦

(21)

xÛ`+yÛ`-x-12y=0, {x-;2!;}2`+(y-6)Û`= 145₄ 이므로 M{;2!;, 6}이고, 직선 OP의 방정식은 y=12x

19 직선 y=2x-3을 x축의 방향으로 a만큼, y축의 방향으 로 b만큼 평행이동한 직선의 방정식은 y-b=2(x-a)-3, y=2x-2a+b-3 그런데 평행이동한 직선과 원래의 직선이 일치하였으므 로 -2a+b-3=-3에서 ;aB;=2 20 점 B(3, 1)이 점 B'(7, 4)로 이동하였으므로 직사각형 OABC를 x축의 방향으로 4만큼, y축의 방향으로 3만큼 평행이동한 것이다. 직선 AC의 방정식은 x+3y=3이므 로 직선 A'C'의 방정식은 (x-4)+3(y-3)=3에서 x+3y=16 따라서 직선 A'C'의 y절편은 ;;Á3¤;; 이다. 21 원 xÛ`+yÛ`+6x-10y-2=0, 즉 (x+3)Û`+(y-5)Û`=36을 y축에 대하여 대칭이동하면 (-x+3)Û`+(y-5)Û`=36에서 (x-3)Û`+(y-5)Û`=36 yy① 원 ① 을 직선 y=x에 대하여 대칭이동하면 (y-3)Û`+(x-5)Û`=36에서 (x-5)Û`+(y-3)Û`=36 원의 중심 (5, 3)이 직선 y=ax-7 위에 있으므로 3=5a-7, a=2 22 OPÓ=5, OQÓ=13 y❶ 오른쪽 그림에서 ∠POQ의 이등분선과 PQÓ의 교점을 R(x, y)라고 하면 각 의 이등분선의 성질에 의하여 PRÓ : RQÓ=5 : 13 점 R는 선분 PQ를 5 : 13으로 내분하는 점이므로 y❷ x=5_12+13_3₅₊₁₃ =99_{18 =}11₂ y=5_(-5)+13_4₅₊₁₃ =27_{18 =}3₂ 따라서 구하는 교점의 좌표는 { 11_{2 ,}3_{2 }이다.} y❸ 평가 기준 배점 비율 ❶ OPÓ, OQÓ의 길이를 구한 경우 20 % ❷ 각의 이등분선의 성질을 이용하여 점 R가 선분 PQ를 5 : 13으로 내분하는 점임을 구한 경우 40 % ❸ 교점 R의 좌표를 구한 경우 40 % y O x -5 4 3 12 5k 13k R(x, y) P Q 14y=_{126x+k를 xÛ`+yÛ`=4에 대입하면} xÛ`+(126x+k)Û`=4 3xÛ`+2_{126kx+kÛ`-4=0} yy① 원과 직선이 서로 다른 두 점에서 만나려면 이차방정식 ①의 판별식을 D라고 할 때 D>0이어야 하므로 D=(2126k)Û`-4_3_(kÛ`-4)=-4(kÛ`-12)>0 -2_136<k<2136 따라서 구하는 정수 k는 -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3의 7개 이다. 15 원의 중심을 C라고 하면 점 C의 좌표는 (0, 3)이므로 CPÓ=!%(2-0)Û`+(7-3)Û`^ =2156, CQÓ=2 이때 삼각형 CPQ는 CPÓ가 빗변인 직각삼각형이므로 PQÓ=AECPÓ Û`-CQÓ Û`F=Á°(2156)Û`-2Û`¤ =4 16 직선 AP의 기울기를 m이라고 하면 직선 AP의 방정식 은 y-0=m(x-5), 즉 y=mx-5m xÛ`+yÛ`=4에 y=mx-5m을 대입하면 xÛ`+(mx-5m)Û`=4 (1+mÛ`)xÛ`-10mÛ`x+25mÛ`-4=0 yy① 이차방정식 ①의 판별식을 D라고 하면 직선 AP가 원과 만나기 위해서는 D¾0이어야 하므로  D=(-10mÛ`)Û`-4(1+mÛ`)(25mÛ`-4)¾0 21mÛ`-4É0에서 -213216_{21 ÉmÉ}213216₂₁ 따라서 직선 AP의 기울기의 최댓값은 213216_{21 이다.} 17xÛ`+yÛ`=5 위의 점 (1, 2)에서의 접선의 방정식은 1_x+2_y=5, 즉 x+2y-5=0 yy① 직선 ①이 원 xÛ`+yÛ`+2x-4y+a=0, 즉 (x+1)Û`+(y-2)Û`=5-a에 접하므로 |1_(-1)+2_2-5| !%1Û`+2Û`^ =155-a6 2 156=155-a6, a= 215 18 원 xÛ`+yÛ`-x+ay+b=0 위에 두 점 O(0, 0), A(5, 2)가 있으므로 b=0이고 25+4-5+2a+b=0 즉, a=-12 원 위의 점 P가 ∠OAP=90ù를 만족시키므로 OPÓ는 삼각형 OAP의 외접원의 지름이다. 원 xÛ`+yÛ`-x-12y=0의 중심을 M이라고 하면 직선 OP는 원의 중심 M을 지나므로 직선 OP는 직선 OM과 같다. 즉, y O x 2 6 P 5 1 -₂ A(5, 2) M 1

(

-₂, 6

)

(22)

23xÛ`+yÛ`-6x+4y+9=0에서 (x-3)Û`+(y+2)Û`=4 y❶ 원의 중심 (3, -2)와 직선 3x-4y+13=0 사이의 거리는 |3_3-4_(-2)+13| !%3Û`+(-4)Û`^ =6 y❷ 원의 반지름의 길이가 2이므로 원 위의 점 P와 직선 3x-4y+13=0 사이의 거리를 d라고 하면 6-2ÉdÉ6+2 4ÉdÉ8 y❸ 따라서 정수 d는 4, 5, 6, 7, 8이고 거리가 4, 8인 점은 각 각 1개씩 존재하고, 거리가 5, 6, 7인 점은 각각 2개씩 존 재하므로 구하는 점의 개수는 1+1+2+2+2=8 y❹ 평가 기준 배점 비율 ❶ 원의 방정식 (x-3)Û`+(y+2)Û`=4를 구한 경우 20 % ❷ 원의 중심과 직선 사이의 거리를 구한 경우 30 % ❸ 점 P와 직선 사이의 거리 d의 범위를 구한 경우 30 % ❹d가 정수인 점 P의 개수를 구한 경우 20 % 24 y x O M A' y=x A(3, 0) B(6, 0) P Y 꼭짓점 O가 원점, 반직선 OX가 x축이 되도록 좌표평면 을 잡으면 A(3, 0), B(6, 0)이고 반직선 OY의 방정식 은 y=x이다. 이때 점 A를 반직선 OY에 대하여 대칭이동한 점을 A' 이라고 하면 점 A'의 좌표는 (0, 3)이고, AA'Ó의 중점을 M이라고 하면 AMÓ=A'MÓ이므로 세 점 A', P, B가 한 직선 위에 있을 때, APÓ+PBÓ의 값이 최소가 된다. 즉, APÓ+PBÓ=A'PÓ+PBÓ¾A'BÓ이므로 m=A'BÓ=!%(6-0)Û`+(0-3)Û`^=3156 y❶

직선 A'B의 방정식은 y=-;2!;x+3이고 직선 A'B와 직 선 y=x의 교점의 x좌표는 x=-;2!;x+3에서 x=2 점 P(2, 2)이므로 n=OPÓ=!%2Û`+2Û`^ =2126 y❷ 따라서 mÛ`+nÛ`=45+8=53 y❸ 평가 기준 배점 비율 ❶ 점의 대칭이동을 이용하여 APÓ+BPÓ의 값이 최소가 되는 경우를 구한 경우 40 % ❷ OPÓ의 길이를 구한 경우 40 % ❸ mÛ`+nÛ`의 값을 구한 경우 20 %

Ⅳ

집합

과

명제

1 ⑴ 1, 3, 5, 15

⑵ 3, 6, 9, 12, 15, …

2

⑴ 1, -5, ;5#; ⑵ 136 ⑶ 1, -5, 136, ;5#; ⑷ i, 2+3i ⑴ 북극곰, 순록, 북극여우 ⑵ 기준이 분명하지 않으므로 찾을 수 없다. 문제 1 ⑴ 집합이다, 원소는 1, 2, 3, 6이다. ⑵ 집합이다. 각 반에서 생일이 9월인 학생을 찾아 집합 으로 나타내어 보자. ⑶, ⑷ 조건이 분명하지 않으므로 집합이 아니다. 문제 2 (차례대로) ⑴ <, ² ⑵ <, < ⑶ ², < 문제 3 ⑴ A={x|x는 9의 약수} 1 3 A 9 ⑵ B={x|x는 10 이하의 소수} 2 3 B 5 7 ⑶ C={-1, 4} -1 4 C ⑷ D={-2, -1, 0, 1, 2} -2 -1 D 1 0 2 문제 4 ⑴ n(A)=7 ⑵ n(B)=0 확인문제 174쪽 1 ⑴ {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9} ⑵ 집합이 아니다. ⑶ {2, 4, 6, 8, 10, 12, y} ⑷ 집합이 아니다. 2 ⑴ ² ⑵ ² ⑶ < ⑷ <