우석대학교 에너지전기공학과

미적분학 (20)

우석대학교 에너지공학과

이우금 교수

 그림 (A)와 같이 구간 [a, b]에서 두 곡선 𝑦 = 𝑓 𝑥 , 𝑦 = 𝑔 𝑥 로 둘러싸인 면적 S 는 위 그래프에서 아래 그래프를 뺀 𝑓 𝑥 − 𝑔(𝑥) 를 구간 [a, b]로 적분한 값.  두 곡선이 모두 𝑥 축 위 또는 아래에 있거나, 𝑥 축을 사이에 두고 있는 경우 모두 성립.  구간 𝑎, 𝑏 에서 𝑓 𝑥 ≥ 𝑔(𝑥) 일 때, 𝑆 = _𝑎𝑏 𝑓 𝑥 − 𝑔(𝑥) 𝑑𝑥 그림 (A) 𝑆 𝑦 = 𝑔(𝑥) 𝑦 𝑦 = 𝑓(𝑥)

예제) 다음 두 함수로 둘러싸인 도형의 면적을 구하라. (1) 𝑦 = 𝑥2 _{− 2𝑥 − 3, 𝑦 = −𝑥}2_{+ 1} <풀이과정> 그림에서 두 곡선의 교점의 좌표는 𝑦 = 𝑥2 − 2𝑥 − 3 𝑦 = −𝑥2+ 1 ∴ 2𝑥2− 2𝑥 − 4 = 2 𝑥 + 1 𝑥 − 2 = 0 𝑥 = −1 𝑜𝑟 2 1) 구간 −1, 2 에서 −𝑥2_{+ 1 ≥ 𝑥}2_{− 2𝑥 − 3 이므로, 도형의 면적 𝑆 는} 𝑆 = ₋₁2 𝑓 𝑥 − 𝑔(𝑥) 𝑑𝑥 = ₋₁2 −𝑥2+ 1 − (𝑥2− 2𝑥 − 3) 𝑑𝑥 = ₋₁2 (−2𝑥2+2𝑥 + 4) 𝑑𝑥 = −2𝑥3 3 + 𝑥 2_{+ 4𝑥} −1 2 = 9 𝑥2− 2𝑥 − 3 = −𝑥2 + 1 2𝑥2 − 2𝑥 − 4 = 0 -4 -3 -2 -1 0 1 -3 -2 -1 0 1 2 3 𝑦 = −𝑥2_{+ 1} 𝑦 = 𝑥2− 2𝑥 − 3

(2) 𝑦 = 𝑥2_{, 𝑦 = 𝑥}3_{− 2𝑥} <풀이과정> 그림에서 두 곡선의 교점의 좌표는 𝑦 = 𝑥3 − 2𝑥 𝑦 = 𝑥2 ∴ 𝑥 𝑥 + 1 𝑥 − 2 = 0 𝑥 = 0, −1 , 2 1) 구간 −1, 0 에서 𝑥3_{− 2𝑥 ≥ 𝑥}2 _이고, 구간 [0, 2] 에서 𝑥3_{− 2𝑥 ≤ 𝑥}2 _{이므로, 도형의 면적 𝑆} S = ₋₁0 𝑥3− 2𝑥 − 𝑥2 𝑑𝑥 + ₀2 𝑥2− 𝑥3+ 2𝑥 𝑑𝑥 = 1 4𝑥 4 _{− 𝑥}2 ₋1 3𝑥 3 −1 0 + −1 4𝑥 4_{+ 𝑥}2₊1 3𝑥 3 0 2 = 9 4 𝑥3− 2𝑥 = 𝑥2 𝑥3− 𝑥2− 2𝑥 = 0 0 1 2 3 4 5 𝑦 = 𝑥2

7-5-2. 회전체의 체적 (1) 입체도형의 체적  𝑘 번째 절단면의 면적을 𝑆(𝑥𝑘) 라하고 높이를 ∆𝑥 라 하면, 이 부분의 미소 체적은 ∆𝑉_𝑘 = 𝑆(𝑥_𝑘) ∙ ∆𝑥  이 미소체적을 모두 합하면 입체도형의 체적에 대한 근사값 𝑉 ≈ _𝑘=1𝑛 𝑆(𝑥_𝑘) ∙ ∆𝑥  여기서 𝑛 → ∞ 일 때 𝑉 = lim 𝑛→∞ 𝑘=1 𝑛 _𝑆(𝑥 𝑘) · ∆𝑥 = _𝑎 𝑏 𝑆 𝑥 𝑑𝑥 (2) 입체도형의 체적에 대한 정의  구간 [𝑎, 𝑏] 에서 𝑥 축에 수직인 평면으로 자른 절단면의 면적이 𝑆 𝑥 일 때, 입체도형의 체적은 𝑉 = _𝑎𝑏𝑆 𝑥 𝑑𝑥 (단, 여기서 𝑆 𝑥 는 연속함수) 예제) 어떤 입체를 𝑥 축에 수직인 평면으로 자를 때, 단면적 𝑆 𝑥 = 2𝑥 + 1 일 때, 𝑥 축에 수직인 두 평면 𝑥 = 0, 1 에 의해 잘린 입체도형의 체적 라 하면 𝑉 를 구하라. 1 1

(3) 회전체의 체적  구간 [𝑎, 𝑏] 에서 함수 𝑦 = 𝑓(𝑥) 와 𝑥 축으로 둘러싸인 부분을 𝑥 축 둘레로 회전 시켰을 때 생기는 입체도형을 회전체(solid revolution) 라 함.  이 회전체의 절단면은 원판이 되고, 이 원판의 면적을 𝑆 𝑥 라 하면, 이 회전체의 체적 𝑉 는 𝑉 = _𝑎𝑏𝑆 𝑥 𝑑𝑥  이 때, 𝑆 𝑥 의 반지름은 𝑓 𝑥 이므로, 𝑆 𝑥 = 𝜋 𝑓(𝑥) 2 ∴ 𝑉 = _𝑎𝑏𝑆 𝑥 𝑑𝑥 = 𝜋 _𝑎𝑏 𝑓(𝑥) 2𝑑𝑥 예제1) 구간 [0, 1] 에서 곡선 𝑦 = 𝑥 를 𝑥 축 둘레로 회전 시킬 때 생기는 회전체의 체적을 구하라. 회전체의 단면적 𝑆 𝑥 의 반지름은 𝑦 = 𝑥 이므로, 𝑆 𝑥 = 𝜋 𝑥 2 _{= 𝜋𝑥} ∴ 𝑉 = ₀1𝑆 𝑥 𝑑𝑥 = ₀1𝜋𝑥 𝑑𝑥 = 𝜋 1 2𝑥 2 0 1 =𝜋 2