제 3절 지수분포

확률및통계 (2)

제 3절 지수분포

.

) (

on) distributi

al (exponenti

,

) 0 (

0

) 0 (

)

(

) (

] [

표기한다 로

하고 따른다고

를

인 모수가

는 때

주어질 로

가 확률밀도함수

의 확률변수

지수분포 정의





 ^

E

X

x x x e

f

x f X

x

지수분포







 ^ 

x

y



0

e ^x

 ^

그래프 확률밀도함수의

지수분포의

예제 7

지수분포가 확률밀도함수임을 보이시오.

 

.

,

1 lim

,

) 0 (

, 0 )

(

.

] [

0 0

확률밀도함수이다 지수분포는

이므로 한편

그러므로

갖는다 양수값을

항상 지수함수는

풀이

















x T T

x

x

e dx

e

x e

x f











.

,

1 ]

[

) (

) (

) (

0 0

있다 수

표현할 같이

다음과 이므로

하면 라

분포함수를 지수분포의

x x

x t

tdt e e

e

x X

P x

F

x F















이고 그래프는 )

0 (

0

) 0 (

) 1

( 





  ^

x x x e

F

x

x

e x

x

F( )  1 ^

0

0 . 1

5 . 0

그래프 분포함수

지수분포의

인

 1



예제 8

.

20

10 (2)

.

10 (1)

.

10 /

1 )

(

구하시오

확률을 통화할

이하 분

이상 분

구하시오 확률을

통화할 이상

분 한다 를

지수분포 인

은 분

전화통화시간



233 .

0

10 ) 1

20 10

( (2)

368 .

0

10 ) 1

10 (

(1)

] [

2 1

20

10 10

20 10 10 1

10 10

10 10









 



















 





















 

 





e e

e

dx e

X P

e

e dx

e X

P

x

x

x x

풀이

예제 9

. s)

(memoryles

, .

) (

)

| (

한다 이라고 비기억

를 확률변수 아닌

음이 만족하는

성질을 위의

때 이 보이시오 임을

때 할 지수분포를 가

X y X P x X y x X P X











) (

) (

) (

) (

) ,

) (

| (

] [

) (

y X

P e

e e dt

e

dt e

x X

P

y x

X P

x X

P

x X

y x

X x P

X y

x X

P

y

x y x

x

t y

x

t









 



 







 















 

























풀이

제 4절 감마분포

.

) , (

on) distributi

(gamma

,

0) (x

0

) 0 (

) (

1 )

(

0 ,

0 ),

, (

] [

1

표기한다 로

하고 따른다고

를

감마분포 는

때 가질

을

확률밀도함수 다음

가지며 를

모수 가

확률변수

감마분포 정의

























X

x e

x x f

X

x









 







 

) 1 (

) 1 (

) 1 (

) 1 (

] [

) (

, function)

(gamma

) ( ,

0

2

2 0 0

1 0

1

































  

  







  





















dx x

e

dx x

e x

e

dx x

e

x

x x

x

의해서 에

부분적분 이며

감마함수 는

여기서

)!

1 (

) 1 ( 1

2 3

) 2 )(

1 (

) 2 (

) 2 )(

1 (

) 1 (

) 1 (

) (

1 )

1 (

,

,

0

















































n

n n

n n

n

n n

n

dx e

n

x







이므로 식에서

위의

이고 들면

예를 때

정수값일

가 



예제 10

감마분포가 확률밀도함수임을 보이시오.

이므로 이고

풀이

dx x e

dx e

x

x e

x x

f

x x x





  

 



 

 





 



0

1 0

1 1

) ( 1

) ( 1

,

) 0 (

) 0

( ) 1

(

] [







 



 















dx x e

dx x e

y x

dy y

e

x x

y



















 

 



  

 





  





















0

1

0 1

1

1 0

) 1 (

0

,

) (

놓으면 라

에서

.

) 1 (

) (

) (

1

0

1

확률밀도함수이다

감마분포는 그러므로

따라서

 

 



  

 _{ } ^









dx

x e

.

,

.

1

, 1

*

*

*

경우이다 특수한

감마분포의

지수분포는 즉

일치한다 밀도함수와

확률 지수분포의

이면

식에서 확률밀도함수

감마분포의

 

  



^{(1,2, A}

^k

^{, , k}

^{) | k}

^{, , k}

^{3 , , n} 

A

n

n

 

 









,

2 , 1

) 2

(

사상이므로 위치하는

자리에

번째 두

가 첫번째

 이

 A

A

.

) 1 (

1

!

)!

2 ) (

(

2 1

이다

확률은 구하는

 

 

 n n n

A n A

P

이므로 )!

2 (

|

| A

 A

 n 

.

) (

) (

) (

) (

) 3

( _{1 2 1 2 1 2}

이용한다 을

A A

P A

P A

P A

A

P     

) 1 (

3 2

) 1 (

1 1

) 1 ( _{1 2}



 

 







n n

n

n n n

A n A

P

따라서

사상은 않으려면

있지 번호에

제 숫자도

어느

) 4 (

.

,

한다 아니어야

이 자리도

째

번 n

n



), ,

(

1

자리도 이 아니고 즉 A₁^c 첫번째

), (

2

자리도 가 아니고 A₂^c 번째

두

.

,

2 1

것이다 구하는

확률을 의

즉

c n c

c A A

A

   

.

) ( _{1 2}

2 1

것이다 구하는

확률을 의

그런데

c n c n c

c

A A

A

A A

A



















,

배운 확률계산법을 이용하면 위에서

.

,

의미한다

을 즉

여사상

의 A

A

A₁  ₂  _n

,

) (

1

2 1

이고

확률은 하는

구하고자 그러므로

An

A A

P   

 

.

)}

( )

1 (

) (

) (

) (

{ 1

) (

1

1 1

1

이다

n n

k j i

k j

i

j i

j i

i

i n

A A

P

A A

A P

A A

P A

P A A

P

















































