2020 셀파 미적분 답지 정답

⑴ an={;2!;} n-1 의 각 항을 좌표평면 위에 나타내면 오른쪽 그림과 같으므로 수열 {an}은 0 으로 수렴 ⑵ an=-n의 각 항을 좌표평면 위에 나타내면 오른쪽 그림과 같으므로 수열 {an}은 음 의 무한대로 발산

1-1

본문 | 11, 13 쪽 개념 익히기

1.

수열의 극한

lim n Ú`¦an=3, limn Ú`¦bn=-2이므로 ⑴ lim

n Ú`¦(2an+bn) =2 limn Ú`¦an+limn Ú`¦bn =2_3+(-2)=4

⑵ lim

n Ú`¦(3an-bn) =3 limn Ú`¦an-limn Ú`¦bn =3_3-(-2)=11 ⑶ lim n Ú`¦2anbn =2 limn Ú`¦an_limn Ú`¦bn =2_3_(-2)=-12 ⑷ lim n Ú`¦ an 3bn= lim n Ú`¦an 3`lim n Ú`¦bn =_{3_(-2) =-;2!;}3

2-2

⑴ lim

n Ú`¦(3an+2bn) =3`limn Ú`¦an+ 2 limn Ú`¦bn =3_2+2_3= 12

⑵ lim

n Ú`¦(5-2an) =limn Ú`¦5- 2 limn Ú`¦an

= 5 -2_2=1 ⑶ lim n Ú`¦anbn=limn Ú`¦an_limn Ú`¦bn=2_ 3 =6

2-1

⑴ 분모, 분자를 각각 분모의 최고차항인 n 으로 나 누면 limn Ú`¦ 4n+5 3n-1 =limn Ú`¦ 4+;n%; 3-;n!;= 4+lim n Ú`¦;n%; 3-lim n Ú`¦;n!; = 4+  0 3-0 = 4 3 ⑵ lim n Ú`¦("Ãn 2<sub>+n-n) =lim</sub> n Ú`¦ ("Ãn2_+n-n)("Ãn2_+n+n) "Ãn2_+n+n =lim n Ú`¦ n "Ãn2<sub>+n+n</sub> =lim<sub>n</sub> Ú`¦ 1 ¾Ð1+;n!;+1= 1 2

3-1

⑴ 분모와 분자를 각각 분모의 최고차항인 n2_{으로 나누면} lim n Ú`¦ -2n+3 4n2<sub>+1</sub> =lim<sub>n Ú`¦</sub> -;n@;+ 3_n2 4+ 1 n2 = lim n Ú`¦{-;n@;}+limn Ú`¦ 3 n2 4+lim n Ú`¦ 1 n2 =0+0_{4+0 =0}

3-2

⑴ an=2의 각 항을 좌표평면 위 에 나타내면 오른쪽 그림과 같으므로 수열 {an}은 2로 수렴 ⑵ 수열 an=(-1)n의 각 항을 좌표평면 위에 나타내면 오른 쪽 그림과 같이 진동하므로 수열 {an}은 발산`(진동)

1-2

O 2 1 2 3 4 5 n aÇ aÇ=2 O -1 1 1 3 5 2 4 n aÇ aÇ=(-1)Ç ⑷ lim n Ú`¦ 3an2 bn ‌‌= 3 lim n Ú`¦an_limn Ú`¦an lim n Ú`¦bn = 3_2_2 3 =4 O 1 1 1 -₂ 1 -₂ 1 -₄ 2 3 4 5 aÇ n a_Ç=¦ ¥Ç ÑÚ O -1 -2 -3 -4 -5 1 2 3 4 5 n aÇ=-n aÇ

⑵ lim n Ú`¦ 1 "Ãn2<sub>-3n-n</sub> =limn Ú`¦ "Ãn2_-3n+n (_"Ãn2_-3n-n)("Ãn2_-3n+n) =lim n Ú`¦ "Ãn2<sub>-3n+n</sub> -3n =lim n Ú`¦ ¾Ð1-;n#;+1 -3 =-;3@; lim n Ú`¦ 3n-1 n-1 = 3 , limn Ú`¦ 3n+4 n-1 = 3 이므로 수열의 극한의 대소 관계에 의하여 lim n Ú`¦an= 3

4-1

lim n Ú`¦ -n n2<sub>+1</sub>=0, lim<sub>n Ú`¦ n</sub>2n2₊₁=0이므로 수열의 극한의 대소 관계에 의하여 lim n Ú`¦an=0

4-2

본문 | 14~29 쪽 확인 문제 ⑴ n이 한없이 커질 때, an의 값의 변화 를 그래프로 나타내면 오른쪽 그림 과 같다. 따라서 수열 {an}은 발산 (진동)한다. ⑵ n이 한없이 커질 때, an의 값의 변화 를 그래프로 나타내면 오른쪽 그림 과 같다. 따라서 수열 {an}은 수렴하고, 그 극 한값은 0이다. ⑶ n이 한없이 커질 때, an의 값의 변화 를 그래프로 나타내면 오른쪽 그림 과 같다. 따라서 수열 {an}은 음의 무한대로 발산한다. O -1 3 5 -1 1 -₂ 1 -₃ 2 4 n aÇ n aÇ=1123(-1)Ç O -1 -2 -3 -4 1 2 3 4 5 n aÇ aÇ=1-n

0

1-1

셀파 그래프를 이용하여 수열 {an}의 수렴, 발산을 조사한다. O1 1 2 3 4 5 -8 -2 4 16 n aÇ _{aÇ=(-2)Ç ÑÚ} ⑷ n이 한없이 커질 때, an의 값의 변화 를 그래프로 나타내면 오른쪽 그림 과 같다. 따라서 수열 {an}은 수렴하고, 그 극 한값은 2이다. O 1 2 2 3 5 -₂ 3 4 5 n aÇ aÇ=2+1-_n lim n Ú`¦an=-2, limn Ú`¦bn=2이므로 lim n Ú`¦ 2an-bn anbn+1 = lim n Ú`¦(2an-bn) lim n Ú`¦(anbn+1) = 2`lim n Ú`¦an-limn Ú`¦bn lim n Ú`¦an_ limn Ú`¦bn+1 =2_(-2)-2_{-2_2+1 =2}

0

2-1

셀파 lim_n Ú`¦ an bn= lim n Ú`¦an lim n Ú`¦bn (bn+0, lim<sub>n</sub> Ú`¦bn+0)을 이용한다.

두 수열 {an}, {bn}이 수렴하므로 lim_{n Ú`¦</sub>an=a, lim<sub>n Ú`¦}bn=b로 놓으면 lim

n Ú`¦(an+bn)=limn Ú`¦an+limn Ú`¦bn=a+b=-3 lim

n Ú`¦anbn=limn Ú`¦an_limn Ú`¦bn=ab=2 ∴ lim

n Ú`¦(an 2_+b

n2) =lim_{n Ú`¦</sub>an2+lim<sub>n Ú`¦}bn2

=lim

n Ú`¦an_limn Ú`¦an+limn Ú`¦bn_limn Ú`¦bn =a2_+b2_=(a+b)2_-2ab =(-3)2_{-2_2=5} | 다른 풀이 | lim n Ú`¦(an+bn)=-3, limn Ú`¦anbn=2이므로 lim n Ú`¦(an 2_+b

n2) = lim_{n Ú`¦}{(an+bn)2-2anbn}

= lim_{n Ú`¦</sub>(an+bn)_ lim<sub>n Ú`¦}(an+bn)-2 lim_{n Ú`¦}anbn

=-3_(-3)-2_2=5

0

2-2

셀파 곱셈 공식 x2+y2_=(x+y)2_{-2xy를 이용한다.} ⑴ 분모, 분자를 각각 분모의 최고차항 n2_{으로 나누면} lim n Ú`¦ -2n3<sub>+3n</sub>2<sub>-n</sub> n2<sub>-2</sub> =lim<sub>n Ú`¦</sub> -2n+3-;n!; 1- 2 n2 = -¦-0 1-0 =-¦ (발산)

0

3-1

셀파 ¦_{¦ 꼴의 극한값은 분모, 분자를 각각 분모의 최고차항} 으로 나눈다.

⑵ 분모, 분자를 각각 분모의 최고차항 n2_{으로 나누면} lim n Ú`¦ (n-1)(n-2) (n+1)(3n+2)=limn Ú`¦ n2_-3n+2 3n2_+5n+2 =lim_n Ú`¦ 1-;n#;+ 2<sub>n</sub>2 3+;n%;+ 2<sub>n</sub>2 =1-0+0<sub>3+0+0 =;3!;</sub> (수렴) ⑶ n3 12<sub>+2</sub>2<sub>+3</sub>2<sub>+ y +n</sub>2 = n 3 n(n+1)(2n+1) 6 = 6n2 (n+1)(2n+1) 이므로 분모, 분자를 각각 분모의 최고차항 n2<sub>으로 나누면</sub> limn Ú`¦ n3 12₊₂2₊₃2_{+ y +n}2 =lim<sub>n Ú`¦</sub> 6n 2 (n+1)(2n+1) =lim n Ú`¦ 6n2 2n2_+3n+1 =lim n Ú`¦ 6 2+;n#;+ 1<sub>n</sub>2 =<sub>2+0+0 =3</sub>6 (수렴) ⑷ 분모, 분자를 각각 분모의 최고차항 n으로 나누면 lim n Ú`¦ 2n2_+n "Ãn2_-1+'¶3n =lim<sub>n Ú`¦</sub> 2n+1 ¾Ð1- 1<sub>n</sub>2+¾Ð;n#; =<sub>1+0</sub> ¦ =¦ (발산) | 참고 | "Ãn2<sub>-1+'§3n</sub> n ="Ãn 2<sub>-1</sub> n +'§3nn =¾Ðn 2<sub>-1</sub> n2 +¾Ð 3n<sub>n</sub>2 =¾Ð1- 1<sub>n</sub>2+¾;n#; ⑴ lim n Ú`¦ 1 "Ãn2_+3n-n =lim n Ú`¦ "Ãn2<sub>+3n+n</sub> ("Ãn2<sub>+3n-n)("Ãn</sub>2<sub>+3n+n)</sub> =lim n Ú`¦ "Ãn2_+3n+n n2_+3n-n2=limn Ú`¦ "Ãn2<sub>+3n+n</sub> 3n =lim n Ú`¦ ¾Ð1+;n#;+1 3 =1+13 =;3@; (수렴)

0

4-1

셀파 무리식을 포함한 경우 ⇨ 분모 또는 분자를 유리화한다. 무리식을 포함하지 않은 경우 ⇨ 최고차항으로 묶는다. ⑵ lim n Ú`¦(n-"Ãn 2<sub>+2n)</sub> =lim n Ú`¦ (n-"Ãn2_+2n)(n+"Ãn2_+2n) n+"Ãn2_+2n =lim n Ú`¦ n2<sub>-(n</sub>2<sub>+2n)</sub> n+"Ãn2<sub>+2n</sub> =limn Ú`¦ -2n n+"Ãn2_+2n =lim n Ú`¦ -2 1+¾Ð1+;n@;= -2 1+1 =-1 (수렴) ⑶ lim n Ú`¦ 'Än+3-'n 'Än+1-'n =lim n Ú`¦ ('Än+3-'§n )('Än+3+'§n )('Än+1+'§n ) ('Än+1-'§n )('Än+1+'§n )('Än+3+'§n ) =lim n Ú`¦ (n+3-n)('Än+1+'§n ) (n+1-n)('Än+3+'§n ) =3 lim n Ú`¦ 'Än+1+'§n 'Än+3+'§n=3 limn Ú`¦ ¾Ð1+;n!;+1 ¾Ð1+;n#;+1 =3_1+1 1+1=3 (수렴) ⑷ lim n Ú`¦(2n 3<sub>-n+3) = lim</sub> n Ú`¦n 3_{{2- 1} n2+ 3_n3} =¦ (발산) 본문 | 18 쪽 집중 연습 분모, 분자를 각각 분모의 최고차항으로 나눈다. ⑴ lim n Ú`¦ 6n2<sub>+n</sub> 2n2<sub>+1</sub> =lim<sub>n Ú`¦</sub> 6+;n!; 2+ 1 n2 =6+0_{2+0 =3} (수렴) ⑵ lim n Ú`¦ 2n+3 1-n =n limÚ`¦ 2+;n#; ;n!;-1= 2+0 0-1 =-2 (수렴) ⑶ lim n Ú`¦ 3n-1 n2<sub>+2n+4</sub> =lim<sub>n Ú`¦</sub> ;n#;- 1_n2 1+;n@;+ 4_n2 =_{1+0+0 =0}0-0 (수렴)

0

1

⑴ lim n Ú`¦ 1 "Ãn2<sub>+n-n</sub>=limn Ú`¦ "Ãn2_+n+n ("Ãn2_+n-n)("Ãn2_+n+n) =lim n Ú`¦ "Ãn2<sub>+n+n</sub> n2<sub>+n-n</sub>2=lim<sub>n Ú`¦</sub> "Ãn 2_+n+n n =lim n Ú`¦ ¾Ð1+;n!;+1 1 =1+11 =2 (수렴) ⑵ lim n Ú`¦ 1 "Ãn2_+2n-1-n =lim n Ú`¦ "Ãn2<sub>+2n-1+n</sub> ("Ãn2<sub>+2n-1-n)("Ãn</sub>2<sub>+2n-1+n)</sub> =lim n Ú`¦ "Ãn2_+2n-1+n n2_+2n-1-n2=lim<sub>n Ú`¦</sub> "Ãn 2<sub>+2n-1+n</sub> 2n-1 =lim n Ú`¦ ¾Ð1+;n@;- 1_n2+1 2-;n!; = 1+1 2 =1 (수렴) ⑶ 분모를 1로 보고 분자를 유리화하면 lim n Ú`¦('Än-2-'Än+2) =lim n Ú`¦ ('Än-2-'§Än+2)('Än-2+'§Än+2) 'Än-2+'§Än+2 =lim n Ú`¦ (n-2)-(n+2) 'Än-2+'§Än+2 =limn Ú`¦ -4 'Än-2+'§Än+2 =lim n Ú`¦ -4 '§n ¾Ð1-;n@;+¾Ð1+;n@;= 0 1+1 =0 (수렴)

0

2

⑷ lim n Ú`¦ 3n-1 n2<sub>+2n</sub>=lim<sub>n Ú`¦</sub> ;n#;- 1_n2 1+_;n@; = 0-0 1+0 =0 (수렴) ⑸ lim n Ú`¦ n2<sub>+2</sub> 3n+5 =limn Ú`¦ n+;n@; 3+;n%;= ¦+0 3+0 =¦ (발산) ⑹ lim n Ú`¦ -2n2<sub>+3n</sub> n+1 =limn Ú`¦ -2n+3 1+;n!; = -¦ 1+0 =-¦ (발산) ⑷ 분모를 1로 보고 분자를 유리화하면 lim n Ú`¦("Ãn 2<sub>+4n-n)</sub> =lim n Ú`¦ ("Ãn2_+4n-n)("Ãn2_+4n+n) "Ãn2_+4n+n =lim n Ú`¦ n2<sub>+4n-n</sub>2 "Ãn2<sub>+4n+n</sub>=limn Ú`¦ 4n "Ãn2_+4n+n =limn Ú`¦ 4 ¾Ð1+Ð;n$;+1= 4 1+1 =2 (수렴) ⑸ lim n Ú`¦ 'Än+1-'Än-1 'Än+2-'§n =lim n Ú`¦ ('Än+1-'§Än-1)('Än+1+'ħn-1)('Än+2+'§n) ('Än+2-'§n)('Än+2+'§n)('Än+1+'§Än-1) =lim n Ú`¦ 2('Än+2+'§n) 2('Än+1+'§Än-1)=limn Ú`¦ 'Än+2+'§n 'Än+1+'§Än-1 =lim n Ú`¦ ¾Ð1+;n@;+1 ¾Ð1+;n!;+¾Ð1-;n!;= 1+1 1+1 =1 (수렴) ⑹ lim n Ú`¦(5+2n-n 2<sub>) =lim</sub> n Ú`¦n 2_{{ 5} n2+;n@;-1}=-¦ (발산) ⑴ lim n Ú`¦ an2<sub>-bn+4</sub> 2n-1 에서 a+0이면 발산한다. ∴ a=0 limn Ú`¦ an2_-bn+4 2n-1 =limn Ú`¦ -bn+4 2n-1 =;2#;이므로 -;2B;=;2#; ∴ b=-3 ∴ a+b=0-3=-3

0

5-2

셀파 극한값이 0이 아닌 값으로 수렴하므로 (분모의 차수)=(분자의 차수)이어야 한다. lim n Ú`¦ n-1 "Ãn2<sub>-2n+5+an</sub>=limn Ú`¦ 1-;n!; ¾Ð1-;n@;+ 5_n2+a =_1+a1 이므로 1

1+a =;6!;, 1+a=6 ∴ a=5

⑵ lim n Ú`¦ 3n2<sub>-2n+1</sub> an3<sub>+bn</sub>2<sub>+3n-1</sub>에서 a+0이면 0으로 수렴한다. ∴ a=0 lim n Ú`¦ 3n2_-2n+1 bn2_+3n-1=-3이므로 ;b#;=-3 ∴ b=-1 ∴ a+b=0-1=-1 ⑴ 2a_an-3 n+1 =bn으로 놓으면 2an-3=bn(an+1), 2an-3=anbn+bn an(2-bn)=bn+3 ∴ an=b_2-bn+3 n 이때 lim n Ú`¦bn=;4#;이므로 lim n Ú`¦an =limn Ú`¦ bn+3 2-bn= lim n Ú`¦bn+3 2-lim n Ú`¦bn =;4#;+3 2-;4#;=3 ⑵ (n+2)an=bn으로 놓으면 an=<sub>n+2</sub>bn 이때 lim n Ú`¦bn=4이므로 lim n Ú`¦(3n-1)an =limn Ú`¦(3n-1)_ bn n+2 =lim n Ú`¦ 3n-1 n+2 _n limÚ`¦bn=3_4=12

0

7-1

셀파 ⑴ 2an-3 an+1 =bn으로 놓는다. ⑵ (n+2)an=bn으로 놓는다. lim n Ú`¦("Ãn 2<sub>+an-n)=lim</sub> n Ú`¦ ("Ãn2_+an-n)("Ãn2_+an+n) "Ãn2_+an+n =lim n Ú`¦ n2<sub>+an-n</sub>2 "Ãn2<sub>+an+n</sub> =lim n Ú`¦ an "Ãn2_+an+n =lim n Ú`¦ a ¾Ð1+;nA;+1 =<sub>1+1 =;2A;</sub>a 이때 lim n Ú`¦("Ãn

2_{+an-n)=2이므로 ;2A;=2 ∴ a=4}

0

6-1

셀파 "Ãn2+an-n에서 분모를 1로 보고 분모, 분자에 "Ãn2_{+an+n을 곱한다.} lim n Ú`¦("Ãan 2<sub>+bn-n)=lim</sub> n Ú`¦ ("aÃn2_+bn-n)("Ãan2_+bn+n) "Ãan2_+bn+n =lim n Ú`¦ an2<sub>+bn-n</sub>2 "Ãan2<sub>+bn+n</sub> =lim n Ú`¦ (a-1)n2_+bn "Ãan2_+bn+n yy ㉠ 이때 a-1+0이면 발산하므로 a-1=0 ∴ a=1 a=1을 ㉠에 대입하면 lim n Ú`¦ bn "Ãn2<sub>+bn+n</sub>=limn Ú`¦ b ¾Ð1+;nB;+1=;2B; ;2B;=-2이므로 b=-4 ∴ a+b=1-4=-3

0

6-2

셀파 "Ãan2+bn-n에서 분모를 1로 보고 분모, 분자에 "Ãan2_{+bn+n을 곱한다.} n-1 2n+3 <an<_2n+3n+1 에서 lim n Ú`¦ n-1 2n+3Élimn Ú`¦anÉlimn Ú`¦ n+1 2n+3 이때 lim n Ú`¦ n-1 2n+3 =;2!;, limn Ú`¦ n+1 2n+3 =;2!;이므로 lim n Ú`¦an=;2!; 확인 체크

01

셀파 특강 2n<an<2n+1에서 각 변을 n으로 나누면 2n n <an <n 2n+1n 이때 lim n Ú`¦ 2n n =2, limn Ú`¦ 2n+1 n =2이므로 lim n Ú`¦ an n =2 ∴ lim n Ú`¦ 4n+an 4n-an=limn Ú`¦ 4+an n 4-an n =4+2_{4-2 =3}

0

8-1

셀파 lim n Ú`¦ 4n+an 4n-an의 분모와 분자를 각각 n으로 나눈다.

-1Écos`nhÉ1이므로 부등식의 각 변에 2+n n2 을 곱하면 - 2+n<sub>n</sub>2 É (2+n)cos`nh_n2 É 2+n_n2 이때 lim n Ú`¦{- 2+nn2 }=0, limn Ú`¦ 2+n n2 =0이므로 lim n Ú`¦ (2+n)cos`nh n2 =0

0

8-2

셀파 -1Écos`nhÉ1임을 이용한다. ⑴ 공비가 5이고, 5>1이므로 lim n Ú`¦5 n_{=¦ (발산)} ⑵ 공비가 -0.3이고, -1<-0.3<1이므로 lim n Ú`¦(-0.3) n<sub>=0</sub> (수렴) ⑶ 3n 22n= 3 n 4n={;4#;} n 에서 공비가 ;4#;이고, -1<;4#;<1이므로 lim<sub>n Ú`¦2</sub>32nn=0 (수렴) ⑷ {-;4!;}1-n={-;4!;}_{-;4!;}-n={-;4!;}_(-4)n_에서 공비가 -4이고, -4<-1이므로 진동 (발산)

0

9-1

셀파 등비수열 {rn}에서 -1<rÉ1이면 수렴한다. 분모, 분자를 각각 3n_{으로 나누면} lim n Ú`¦ 2n<sub>-3</sub>n+1<sub>a</sub> n 2n+1<sub>-3</sub>n =lim<sub>n Ú`¦</sub> {;3@;}n-3an 2_{;3@;}n-1 = lim n Ú`¦{;3@;} n -3 lim n Ú`¦an 2 lim n Ú`¦{;3@;} n -1 =3 lim n Ú`¦an 이때 3 lim n Ú`¦an=3이므로 limn Ú`¦an=1

10-2

셀파 분모, 분자를 각각 3n_{으로 나눈다.} ⑴ 분모, 분자를 각각 3n_{으로 나누면} lim n Ú`¦ (-3)n+2 2n<sub>+3</sub>n+1 =lim<sub>n Ú`¦</sub> 9_(-1) n {;3@;}n+3 따라서 진동하므로 발산한다. ⑵ 분모, 분자를 각각 4n_{으로 나누면} lim n Ú`¦ 22n<sub>-3</sub>n+2 3n+1<sub>-4</sub>n+2 =lim<sub>n Ú`¦</sub> 1-9_{;4#;}n 3_{;4#;}n-16 = 1-9 lim n Ú`¦{;4#;} n 3 lim n Ú`¦{;4#;} n -16 =_{0-16 =-;1Á6;}1-0 (수렴) ⑶ lim n Ú`¦(2 2n<sub>-3</sub>n<sub>) =lim</sub> n Ú`¦(4 n_-3n₎ =lim n Ú`¦4 n_[1-{;4#;}n_] =¦ (발산)

10-1

셀파 밑의 절댓값이 가장 큰 거듭제곱으로 분모, 분자를 각 각 나누거나 묶는다. ⑴ 공비는 ;3!;이고, -1<;3!;É1이므로 수열 [{;3!;}n]은 수렴 ⑵ 공비는 -5이고, -5<-1이므로 수열 {(-5)n_{}은 진동} (발산) ⑶ 공비는 -;7^;이고, -1<-;7^;É1이므로 수열 [{-;7^;}n-1]은 수렴 확인 체크

02

셀파 특강 ➊ r>1일 때, r=1+h (h>0)라 하면 `rn<sub>=(1+h)</sub>n<sub>>1+nh (n¾2)</sub> 가 성립함을 수학적 귀납법으로 증명할 수 있다. 그런데 h>0이므로 lim n Ú`¦(1+nh)=¦ `∴ limn Ú`¦r n_=¦ ➋ r=1일 때, 수열 {rn_{}의 모든 항이 1이므로} lim n Ú`¦r n<sub>=lim</sub> n Ú`¦1=1 ➌ -1<r<1일 때 Ú r=0이면 수열 {rn_{}의 모든 항이 0이므로} lim n Ú`¦r n<sub>=lim</sub> n Ú`¦0=0 Û r+0이면 _{|r| >1}1 이므로 ➊에 의하여 lim n Ú`¦ 1 |rn<sub>| =</sub>lim n Ú`¦{ 1 |r| } n =¦ 따라서 lim n Ú`¦|r n<sub>|=0이므로 lim</sub> n Ú`¦r n₌₀ ➍ rÉ-1일 때 Ú r=-1이면 수열 {rn_{}은 -1, 1, -1, 1, y이므로 진동} 한다. Û r<-1이면 |r|>1이므로 ➊에 의하여 lim n Ú`¦|r n<sub>|=lim</sub> n Ú`¦|r| n_{=¦이고, 수열 {r}n_{}의 각 항의 부} 호가 교대로 바뀌므로 수열 {rn_{}은 진동한다.} 세미나 등비수열 {rn}의 수렴과 발산

등비수열 {(x-2)2n_{}에서 공비가 (x-2)}2_{이므로 이 수열이 수} 렴하려면 -1<(x-2)2_É1 이때 (x-2)2_{¾0이므로 (x-2)}2_{É1이 성립하는 정수 x의 값의} 개수를 구하면 된다. x2_{-4x+3É0, (x-1)(x-3)É0 ∴ 1ÉxÉ3} 따라서 구하는 정수 x의 값의 개수는 1, 2, 3의 3

11-2

셀파 주어진 등비수열의 공비는 (x-2)2이다.

an+1-a=;3!;(an-a)로 놓으면 an+1=;3!;an+;3@;a ;3@;a=12이므로 a=18 ∴ an+1-18=;3!;(an-18) 따라서 수열 {an-18}은 첫째항이 a1-18=3-18=-15, 공비 가 ;3!;인 등비수열이므로 an-18=-15_{;3!;} n-1 ∴ an=18-15_{;3!;} n-1 ∴ lim n Ú`¦an=limn Ú`¦[18-15_{;3!;} n-1 ]=18-0=18 | 다른 풀이 | an+1=;3!;an+12에서 -1<;3!;<1이므로 수열 {an}은 수렴한다. lim

n Ú`¦an+1= limn Ú`¦[;3!;an+12]이므로 limn Ú`¦an+1=;3!; limn Ú`¦an+12 이때 lim_{n Ú`¦</sub>an=a로 놓으면 lim<sub>n Ú`¦}an+1=a이므로

a=;3!;a+12, ;3@;a=12 ∴ a=18

13-1

셀파 먼저 일반항 an을 구한다.

an+1-a=4(an-a)로 놓으면 an+1=4an-3a -3a=3이므로 a=-1 ∴ an+1+1=4(an+1) 따라서 수열 {an+1}은 첫째항이 a1+1=0+1=1, 공비가 4인 등비수열이므로 an+1=1_4n-1 ∴ an=4n-1-1 ∴ lim n Ú`¦ an 4n=lim n Ú`¦ 4n-1_-1 4n =lim n Ú`¦[;4!;-{;4!;} n ]=;4!;

13-2

셀파 먼저 일반항 an을 구한다. Ú 0<r<1일 때, lim n Ú`¦r n<sub>=0이므로</sub> lim n Ú`¦ 4rn_-3 2rn_{+1 =}0-3_{0+1 =-3} Û r=1일 때, lim n Ú`¦r n<sub>=1이므로</sub> lim n Ú`¦ 4rn_-3 2rn_{+1 =}4-3_{2+1 =;3!;} Ü r>1일 때, lim n Ú`¦ 1 rn=0이므로 lim n Ú`¦ 4rn_-3 2rn_{+1 =}lim n Ú`¦ 4- 3_rn 2+ 1 rn =4-0_{2+0 =2}

12-1

셀파 r의 값의 범위를 0<r<1, r=1, r>1로 나누어 구한다. Ú |r|>1일 때, lim n Ú`¦ 1 rn=0, lim n Ú`¦ 1 r2n=0이므로 lim n Ú`¦ rn<sub>-2</sub> 1+r2n=lim<sub>n Ú`¦</sub> 1 rn- 2_r2n 1 r2n+1 =0-0_{0+1 =0} Û |r|<1일 때, lim n Ú`¦r n<sub>=0, lim</sub> n Ú`¦r 2n_=0이므로 lim n Ú`¦ rn<sub>-2</sub> 1+r2n=0-2<sub>1+0 =-2</sub> Ü r=1일 때, lim n Ú`¦r n_{=1, lim} n Ú`¦r 2n<sub>=1이므로</sub> lim n Ú`¦ rn_-2 1+r2n=1-2_{1+1 =-;2!;} Ú, Û, Ü에서 r=1

12-2

셀파 r의 값의 범위를 |r|>1, |r|<1, r=1로 나누어 구 한다. ⑴ 수열 [(3x+1) n 2n ]=[{3x+1₂ } n ]은 첫째항과 공비가 모두 3x+1 2 인 등비수열이므로 이 수열이 수렴하려면 -1<3x+1₂ É1, -2<3x+1É2 -3<3xÉ1 ∴ -1<xÉ;3!; ⑵ 수열 [(x+1){x-2_{3 }}n-1]은 첫째항이 x+1, 공비가 x-2 3 인 등비수열이므로 이 수열이 수렴하려면 x+1=0 또는 -1<x-2₃ É1 Ú x+1=0에서 x=-1 Û -1<x-2₃ É1에서 -3<x-2É3 ∴ -1<xÉ5 Ú, Û에서 -1ÉxÉ5

11-1

셀파 ⑵ 등비수열 {arn-1}이 수렴하려면 a=0 또는 -1<rÉ1 이어야 한다.

ㄱ. lim n Ú`¦ n-1 3 =¦ (발산) ㄴ. lim n Ú`¦[1+{-;2!;} n ]‌‌=1+lim<sub>n Ú`¦</sub>{-;2!;}n=1+0=1 (수렴) ㄷ. lim n Ú`¦ 1 n2₊₁₀= 1¦ =0 (수렴) ㄹ. 2 '§3>1이므로 limn Ú`¦{ 2 '§3} n =¦ (발산) 따라서 수렴하는 것은 ㄴ, ㄷ

0

1

셀파 등비수열 {rn}에서 -1<r<1이면 lim n Ú`¦r n =0 본문 | 30~31 쪽 연습 문제 ⑴ lim n Ú`¦{;n!;-2}=limn Ú`¦;n!;-2=0-2=-2 ⑵ lim n Ú`¦ 1+;n!; 1-;n!; = 1+lim n Ú`¦;n!; 1-lim n Ú`¦;n!; =1+0_{1-0 =1}

0

2

셀파 lim n Ú`¦;n!;=0을 이용한다. 이차방정식 x2<sub>+nx-n</sub>2<sub>+1=0의 두 근이 a</sub> n, bn이므로 근과 계수의 관계에서 an+bn=-n, anbn=-n2+1 ∴ lim n Ú`¦{ bn an+ an bn} =lim n Ú`¦ an2+bn2 anbn =limn Ú`¦ (an+bn)2-2anbn anbn =lim n Ú`¦ (-n)2<sub>-2(-n</sub>2<sub>+1)</sub> -n2<sub>+1</sub> =lim<sub>n Ú`¦</sub> 3n 2_-2 -n2₊₁ =lim_n Ú`¦ 3- 2_n2 -1+ 1 n2 =_{-1+0 =-3}3-0

0

3

셀파 이차방정식의 근과 계수의 관계를 이용한다. OPnÓ=¿¹n2+('n)2="Ãn2+n, OQnÓ=n이므로 lim n Ú`¦(OPnÓ-OQnÓ`) =lim n Ú`¦("Ãn 2<sub>+n-n)</sub> =lim n Ú`¦ ("Ãn2_+n-n)("Ãn2_+n+n) "Ãn2_+n+n =lim n Ú`¦ n "Ãn2<sub>+n+n</sub>=limn Ú`¦ 1 ¾Ð1+;n!;+1 =_{1+1 =;2!;}1

0

4

셀파 두 점 (x1, y1), (x2, y2) 사이의 거리는 "Ã(x2-x1)2+(y2-y1)2이다. lim n Ú`¦ 1 "Ãn2<sub>+kn-n-k</sub> =lim n Ú`¦ "Ãn2_+kn+(n+k) {"Ãn2_{+kn-(n+k)}{"Ãn}2_+kn+(n+k)} =lim n Ú`¦ "Ãn2<sub>+kn+(n+k)</sub> n2<sub>+kn-(n</sub>2<sub>+2kn+k</sub>2<sub>)</sub> =lim n Ú`¦ "Ãn2_+kn+(n+k) -kn-k2 =lim n Ú`¦ ¾Ð1+;nK;+1+;nK; -k- k_n2 =1+1+0 -k-0 =-;k@; 이때 -;k@;=2이므로 k=-1

0

5

셀파 분모, 분자에 "\Ãn2+kn+(n+k)를 각각 곱한다. 이차방정식의 근과 계수의 관계, 곱셈 공식의 변형 ➊ 이차방정식의 근과 계수의 관계 이차방정식 ax2_{+bx+c=0 (a, b, c는 상수)의 두 근을 a,} b라 할 때, a+b=-;aB;, ab=;aC; ➋ 곱셈 공식의 변형

a2_+b2_=(a+b)2_-2ab=(a-b)2_+2ab a3_+b3_=(a+b)3_-3ab(a+b) a3_-b3_=(a-b)3_+3ab(a-b) LEC TURE 3a_an-4 n-1 =bn으로 놓으면 3an-4=bn(an-1), 3an-4=anbn-bn an(bn-3)=bn-4 ∴ an=b_bn-4 n-3 이때 lim n Ú`¦bn=2이므로 lim n Ú`¦an =limn Ú`¦ bn-4 bn-3 = lim n Ú`¦bn-4 lim n Ú`¦bn-3 =2-4_{2-3 =2}

0

6

셀파 3an-4 an-1 =bn으로 놓는다.

3n2_-nÉ(n+1)2_a nÉ3n2+n에서 3n2_-n (n+1)2ÉanÉ 3n 2_+n (n+1)2 이때 lim n Ú`¦ 3n2<sub>-n</sub> (n+1)2=3, lim<sub>n Ú`¦</sub> 3n 2_+n (n+1)2=3이므로 lim n Ú`¦an=3

0

8

셀파 부등식의 각 변을 (n+1)2_{으로 나눈다.} 수열 [{x 2_+x 2 } n ]은 첫째항과 공비가 모두 x2+x₂ 인 등비수열 이므로 이 수열이 수렴하려면 -1<x2+x₂ É1 Ú -1< x2+x₂ 에서 x2_+x>-2 즉, x2_{+x+2>0이므로 모든 실수 x에 대하여 성립한다.} Û x2+x₂ É1에서 x2_+xÉ2 x2_{+x-2É0, (x+2)(x-1)É0} ∴ -2ÉxÉ1 Ú, Û에서 정수 x는 -2, -1, 0, 1이므로 모든 정수 x의 값의 합은 -2-1+0+1=-2

12

셀파 공비가 x 2_+x 2 인 등비수열이다. 3n_-2n_<(3n-1₊₂n_)a n<3n+2n에서 3n_-2n 3n-1₊₂n<an< 3 n₊₂n 3n-1₊₂n 이때 lim n Ú`¦ 3n<sub>-2</sub>n 3n-1<sub>+2</sub>n=lim<sub>n Ú`¦</sub> 3-2_{;3@;}n-1 1+2_{;3@;}n-1= 3-0 1+0 =3, lim n Ú`¦ 3n<sub>+2</sub>n 3n-1<sub>+2</sub>n=lim<sub>n Ú`¦</sub> 3+2_{;3@;}n-1 1+2_{;3@;}n-1= 3+0 1+0 =3이므로 lim n Ú`¦an=3

10

셀파 부등식의 각 변을 3n-1+2n 으로 나눈다. lim n Ú`¦ an+4n+1-5n-1 4n<sub>+5</sub>n =lim<sub>n Ú`¦</sub> an 5n+4_{;5$;} n -;5!; {;5$;}n+1 =2+4_0-₀₊₁ ;5!;=;5(;

0

9

셀파 분모, 분자를 각각 5n_{으로 나눈다.} ⑴ 등비수열 1, -3r, 9r2_{, -27r}3_{, y에서 공비가 -3r이므로 이} 수열이 수렴하려면 -1<-3rÉ1 ∴ -;3!;Ér<;3!; ⑵ 등비수열 1, ;2R;, r₄2, r 3 8, y에서 공비가 ;2R;이므로 이 수열이 수렴하려면 -1<;2R;É1 ∴ -2<rÉ2

11

셀파 등비수열 {rn}이 수렴하기 위한 필요충분조건은 -1<rÉ1이다. an-bn=xn으로 놓으면 bn=an-xn 이때 lim n Ú`¦an=¦에서 limn Ú`¦ 1 an=0이므로 lim n Ú`¦ bn-2 2an+2 =limn Ú`¦ an-xn-2 2an+2 =lim n Ú`¦ 1-xn an -2 an 2+_a2 n =1-0-0_{2+0 =;2!;}

0

7

셀파 an-bn=xn으로 놓는다.  f {;3!;}=lim<sub>n Ú`¦</sub> {;3!;} n+1 -1 {;3!;}n+1 = 0-1 0+1 =-1  f (3) =lim n Ú`¦ 3n+1_-1 3n₊₁ =lim_{n Ú`¦} 3-{;3!;}n 1+{;3!;}n= 3-0 1+0 =3  ∴ f {;3!;}+f(3)=-1+3=2

13

셀파 0<r<1일 때, lim n Ú`¦r n =0 채점 기준 배점 f {;3!;}의 값을 구한다. 40% f(3)의 값을 구한다. 40% f {;3!;}+ f(3)의 값을 구한다. 20%

주어진 급수의 제n항을 an이라 하면 an=_n(n+1)1 =;n!;- 1 n+1 제n항까지의 부분합을 Sn이라 하면 Sn ={1-;2!;}+{;2!;-;3!;}+ y +{;n!;-_n+11 } =1- 1_n+1= n n+1 ∴ lim n Ú`¦SÇ=limn Ú`¦ n n+1= 1

1-1

⑴ 수열 ;2!;, {;2!;}2, {;2!;}3, {;2!;}4, y은 첫째항이 ;2!;, 공비가 ;2!;인 등비수열이므로 제 n 항까지의 부분합을 Sn이라 하면 Sn= ;2!;[1-{;2!;}n] 1-;2!; =1-{;2!;} n ∴ lim n Ú`¦ Sn=limn Ú`¦[1-{;2!;} n ]=1 ⑵ 주어진 급수의 제 n 항을 an이라 하면 an=_n(n+2)4 =2{;n!;- 1_{n+2 }} 제 n 항까지의 부분합을 Sn이라 하면 Sn=2[{1-;3!;}+{;2!;-;4!;}+{;3!;-;5!;} + y +{ 1_n-1- 1 n+1 }+{n -1 n+2 }]1 =2{1+;2!; - 1_n+1- 1_{n+2 }} ∴ limn Ú`¦ Sn =limn Ú`¦ 2{;2#; - 1 n+1- 1n+2 } =2_;2#;=3

1-2

본문 | 35, 37 쪽 개념 익히기

2.

급수

⑴ Á¦ n=1 2에서 an=2라 하면 lim n Ú`¦an=limn Ú`¦2=2 따라서 lim n Ú`¦an+0이므로 주어진 급수는 발산한다. ⑵ Á¦ n=1'Än+2에서 an='Än+2 라 하면 lim n Ú`¦an=limn Ú`¦'Än+2=¦ 따라서 lim n Ú`¦an+0이므로 주어진 급수는 발산한다. ⑶ Á¦ n=1  3n2₊₁ n2₊₃ 에서 an= 3n 2₊₁ n2₊₃ 이라 하면 lim n Ú`¦an=limn Ú`¦ 3n2₊₁ n2₊₃ =lim<sub>n Ú`¦</sub> 3+ 1 n2 1+ 3<sub>n</sub>2 =;1#;=3 따라서 lim n Ú`¦an+0이므로 주어진 급수는 발산한다. ⑷ Á¦ n=1  n2 n-1에서 an= n 2 n-1이라 하면 lim n Ú`¦ an=limn Ú`¦ n2 n-1=limn Ú`¦ n 1-;n!;= ¦1 =¦ 따라서 lim n Ú`¦an+0이므로 주어진 급수는 발산한다.

2-2

⑴ Á¦ n=1 2n+12n 에서 an= 2n+12n 이라 하면   limn Ú`¦an=limn Ú`¦ 2n+1 2n =limn Ú`¦ 2+;n!; 2 = 1 따라서 lim n Ú`¦an+0이므로 주어진 급수는 발산한다. ⑵ Á¦ n=1  n2_-2 3n+1에서 an= n 2_-2 3n+1라 하면 lim n Ú`¦an=limn Ú`¦ n2_-2 3n+1=limn Ú`¦ n-;n@; 3+;n!;= ¦ 3 =¦ 따라서 lim n Ú`¦an+0이므로 주어진 급수는 발산한다.

2-1

무한급수의 수렴, 발산 ➊ 무한급수 Á¦ n=1an이 수렴하면 limn Ú`¦an=0이다. (이것의 역은 성립하지 않는다.) ➋ lim n Ú`¦an+0이면 무한급수 ¦ Á n=1an은 발산한다. (이것의 역은 성립하지 않는다.) LEC TURE

⑴ 첫째항이 0.3, 공비가 0.1인 등비급수이다. 이때 |0.1|<1이므로 주어진 등비급수는 수렴하고, 그 합은 0.3 1-0.1= 0.30.9=;3!; ⑵ 첫째항이 1, 공비가 -'2인 등비급수이다. 이때 |-'2|>1이므로 주어진 등비급수는 발산한다.

4-2

⑴ Á¦ n=1(an+2bn) = ¦ Á n=1 an+ ¦ Á n=1 2bn =Á¦ n=1 an+2 ¦ Á n=1 bn =3+2_(-4)=-5 ⑵ Á¦ n=1(2an-3bn) = ¦ Á n=1 2an -¦ Á n=1 3bn =2Á¦ n=1 an-3 ¦ Á n=1 bn =2_3-3_(-4)=18

3-2

⑴ 첫째항이 1 , 공비가 -;2!;인 등비급수이다. 이때 |-;2!;| < 1이므로 주어진 등비급수는 수렴하 고, 그 합은 1 1-_{-;2!;}= 1_;2#;=;3@; ⑵ 첫째항이 '5 2 , 공비가 '52 인 등비급수이다. 이때 | '5 2 | > 1이므로 주어진 등비급수는 발산 한다.

4-1

본문 | 38~49 쪽 확인 문제 제n항까지의 부분합을 Sn이라 하면 ⑴ Sn = n Á k=1  1 (3k-1)(3k+2)= n Á k=1 ;3!;{ 1 3k-1-3k+2 }1 =;3!;[{;2!;-;5!;}+{;5!;-;8!;}+{;8!;-;1Á1;} + y +{ 1_3n-1- 1 3n+2 }] =;3!; {;2!;- 1_{3n+2 }} ∴ lim n Ú`¦Sn=limn Ú`¦;3!; {;2!;- 13n+2 }=;6!; (수렴) ⑵ Sn= n Á k=1  1 'k+'Äk+1= n Á_{k=1 ('Äk+1-'k)} =(_{'2-1)+('3-'2 )+(2-'3 )+ y +('Än+1-'n)} ='Än+1-1 ∴ lim n Ú`¦Sn= limn Ú`¦('Än+1-1)=¦ (발산)

0

1-1

셀파 부분합으로 이루어진 수열의 수렴, 발산을 조사한다. 제n항까지의 부분합을 Sn이라 하면 Ú S1=1, S3=1-1+2=2, S5=1-1+2-2+3=3, y, S2n-1=n ∴ lim n Ú`¦S2n-1=¦ Û S2=1-1=0, S4=1-1+2-2=0, S6=1-1+2-2+3-3=0, …, S2n=0 ∴ lim n Ú`¦S2n=0 Ú, Û에서 lim n Ú`¦S2n-1+limn Ú`¦S2n이므로 주어진 급수는 발산한다.

0

2-1

셀파 S2n과 S2n-1의 극한값을 서로 비교한다. ⑴ Á¦ n=1  3n n+1에서 an=_n+13n 이라 하면 limn Ú`¦an=limn Ú`¦ 3n n+1 =3+0 따라서 주어진 급수는 발산한다. 확인 체크

01

셀파 특강 ⑴ Á¦ n=1 (3an-bn) = 3 ¦ Á n=1  an -¦ Á n=1  bn =3_(-2)-3=-9 ⑵ Á¦ n=1 { an 2 +b6 } =;2!;n ¦ Á n=1 an+ 1 6 ¦ Á n=1 bn =;2!;_(-2)+ 1₆ _3=-;2!;

3-1

주어진 급수가 수렴하므로 lim n Ú`¦{an- 1 2<sub>+2</sub>2<sub>+3</sub>2<sub>+ y +n</sub>2 n3 }=0 이때 12<sub>+2</sub>2<sub>+3</sub>2<sub>+ y +n</sub>2<sub>=</sub>n(n+1)(2n+1) 6 이므로 lim n Ú`¦[an -(n+1)(2n+1) 6n2 ]=0 ∴ lim n Ú`¦an =limn Ú`¦ (n+1)(2n+1) 6n2 =lim n Ú`¦ 2n2<sub>+3n+1</sub> 6n2 =lim<sub>n Ú`¦</sub> 2+;n#;+ 1_n2 6 =;6@;=;3!;

0

3-2

셀파 급수 Á¦ n=1{an-f(n)}이 수렴하면 lim n Ú`¦{an-f(n)}=0이다. 급수 Á¦ n=1{ an n -4}가 수렴하므로 lim n Ú`¦{ an n -4}=0에서 limn Ú`¦ an n =4 ∴ lim n Ú`¦ an 2n+1 =limn Ú`¦ an n 2+;n!;= lim n Ú`¦ an n lim n Ú`¦{2+;n!;} =;2$;=2

0

3-1

셀파 Á¦ n=1{ an n -4}=6이므로 ¦ Á n=1{ an n -4}는 수렴한다. 두 급수 Á¦ n=1 an, ¦ Á n=1 bn이 수렴하므로 ¦ Á n=1 an=a, ¦ Á n=1 bn=b로 놓으면 ¦ Á n=1 (an+bn)=6에서 ¦ Á n=1 an+ ¦ Á n=1 bn=6 ∴ a+b=6 yy ㉠ ¦ Á n=1 (an-bn)=2에서 ¦ Á n=1 an -¦ Á n=1 bn=2 ∴ a-b=2 yy ㉡ ㉠, ㉡을 연립하여 풀면 a=4, b=2 ∴ Á¦ n=1 (2an+3bn) =2` ¦ Á n=1 an+3` ¦ Á n=1 bn =2a+3b =2_4+3_2=14

0

4-1

셀파 Á¦ n=1an=a, ¦ Á n=1bn=b로 놓는다. 명제 ‘급수 Á¦ n=1 an이 수렴하면 limn Ú`¦an=0이다.’에 대하여 ➊  명제의 대우 ‘lim n Ú`¦an+0이면 급수 ¦ Á n=1 an은 발산한다.’는 항 상 참이다. 따라서 이를 이용하면 lim n Ú`¦Sn을 조사하지 않고도 급수가 발산하는지를 판별할 수 있다.  lim n Ú`¦ n n+2=1+0이므로 급수 ¦ Á n=1  n n+2은 발산한다.’ ➋  명제의 역 ‘lim n Ú`¦an=0이면 급수 ¦ Á n=1 an은 수렴한다.’는 일반 적으로 성립하지 않는다. 즉, lim n Ú`¦an=0이지만 급수 ¦ Á n=1 an은 수렴하지 않는 경우가 있다.  급수 Á¦ n=1 ('Än+3-'n)에서 an='Än+3-'n이라 하면 lim n Ú`¦an=limn Ú`¦('Än+3-'n)=limn Ú`¦ 3 'Än+3+'n=0이 지만 Á¦ n=1 ('Än+3-'n)=¦이므로 급수 ¦ Á n=1 ('Än+3-'n) 은 발산한다. 세미나 급수 ¦ Á n=1 an의 수렴, 발산과 limn Ú`¦an의 관계 3an+bn=cn으로 놓으면 3an=-bn+cn ∴ an=-;3!;bn+;3!;cn 주어진 조건에서 Á¦ n=1 bn=2, ¦ Á n=1 cn=-4이므로 ¦ Á n=1 an = ¦ Á n=1 {-;3!;bn+;3!;cn} =-;3!; Á_n=1¦_bn+;3!; ¦ Á n=1 cn =-;3!;_2+;3!;_(-4)=-2

0

4-2

셀파 3an+bn=cn으로 놓는다. ⑵ Á¦ n=1('Än+2-'n)에서 an='Än+2-'n이라 하면 an='Än+2-'n=_'Än+2+'n2 ∴ lim n Ú`¦an=limn Ú`¦ 2 'Än+2+'n=0 이때 Á¦ n=1 an의 부분합 Sn을 구하면 Sn = n Á k=1 ('Äk+2-'k ) =('3-1)+('4-'2 )+('5-'3 ) + y +('Än+1-'Än-1 )+('Än+2-'n) =-1-'2+'Än+1+'Än+2 ∴ lim n Ú`¦Sn=limn Ú`¦(-1-'2+'Än+1+'Än+2)=¦ 따라서 주어진 급수는 발산한다.

⑴ Á¦ n=1('2-1) n ₌ '2-1 1-('2-1)= '2-2-1'2 =('2-1)(2+'2 ) (2-'2 )(2+'2 )= ' 2 2 | 참고 | Á¦ n=1('2-1) n_{은 공비가 '2-1인 등비급수이다.} 이때 |'2-1|<1이므로 주어진 등비급수는 수렴한다.

0

5-1

셀파 -1<r<1일 때, Á¦ n=1ar n-1₌ a 1-r OP1Ó=1, P1P2Ó=;2!;, P2P3Ó=;4!;, P3P4Ó=;8!;, P4P5Ó=;1Á6;, P5P6Ó=;3Á2;, y에서 점 Pn의 좌표를 (xn, yn)으로 놓고, 점 Pn이 한없이 가까워지는 점의 좌표를 (x, y)라 하면 x =lim_n Ú`¦xn=OP1Ó+P2P3Ó+P4P5Ó+ y =1+;4!;+;1Á6;+ y= 1 1-;4!;=;3$; y =lim n Ú`¦yn=-P1P2Ó-P3P4Ó-P5P6Ó- y =-;2!;-;8!;-;3Á2;- y= -;2!; 1-;4!;=-;3@; 따라서 점 Pn이 한없이 가까워지는 점의 좌표는 {;3$;, -;3@;}

0

7-1

셀파 OP1Ó, P1P2Ó, P2P3Ó, P3P4Ó, y을 구해 본다. P1P2Ó=1, ∠OP1P2=60ù이므로 P2P3Ó=P1P2Ó`sin`60ù =1_ '_{2 =}3 '3₂ P3P4Ó=P2P3Ó`sin`60ù = '_{2 _}3 '3_{2 ={}'3_{2 }}2 y O 30ù PÁ P£ P° P¦ P¢ P¤ Pª

0

8-1

셀파 규칙에 따라 생기는 도형의 길이의 합 문제에서는 첫 째항과 공비를 구한다. ⑵ Á¦ n=1[{;2!;} 2n +{;3!;}n+1]=Á_n=1¦{;2!;}2n+Á_n=1¦{;3!;}n+1 =Á_n=1¦{;4!;}n+;3!;`Á<sub>n=1</sub>¦{;3!;}n = ;4!; 1-;4!;+ ;3!;_ ;3!; 1-;3!; =;3!; + ;3!;_;2!;=;6#;=;2!; ⑶ Á¦ n=1  1 2ncos`np=;2!; cos`p+;4!;`cos`2p+;8!;`cos`3p+ y =-;2!;+;4!;-;8!;+ y = -;2!; 1-<sub>{-;2!;}</sub> = -;2!; ;2#; =-;3!; ⑷ Á¦ n=2(2 2n-1<sub>+3){;5!;}</sub>n<sub>=Á</sub>¦ n=22 2n-1<sub>_{;5!;}</sub>n<sub>+Á</sub>¦ n=23_{;5!;} n =;2!;`Á¦ n=2 {;5$;} n +3`Á¦ n=2 {;5!;} n =;2!;_ ;2!5^; 1-;5$;+3_ ;2Á5; 1-;5!; =;2!;_;;Á5¤;; +3_;2Á0; =;5*;+;2£0;=;4&; | 주의 | 등비급수 Á¦ n=2{;5$;} n 은 {;5$;}2+{;5$;}3+{;5$;}4+ … 으로 첫째항이 {;5$;}2=;2!5^;이다. 마찬가지로 등비급수 Á¦ n=2{;5!;} n 의 첫째항은 {;5!;}2=;2Á5;이다. ⑴ 공비가 x2_{-x+1이므로 이 등비급수가 수렴하려면} -1<x2_-x+1<1 Ú -1<x2_{-x+1일 때} x2_{-x+2>0에서 {x-;2!;}}2_{+;4&;>0이므로} 모든 실수 x에 대하여 성립한다. Û x2_{-x+1<1일 때} x2_{-x<0에서 x(x-1)<0 ∴ 0<x<1} Ú, Û에서 0<x<1 ⑵ 첫째항이 x-3, 공비가 x+2이므로 이 등비급수가 수렴하려면 x-3=0 또는 -1<x+2<1 Ú x-3=0일 때, x=3 Û -1<x+2<1일 때, -3<x<-1 Ú, Û에서 -3<x<-1 또는x=3

0

6-1

셀파 첫째항과 공비를 구한다.

⑴ Á¦ n=1  1 1+2+3+ y +n에서 1+2+3+ y +n=Á_k=1n k=n(n+1) 2 이므로 1 1+2+3+ y +n=n(n+1)2 =2{ 1n- 1n+1 } 따라서 주어진 급수의 부분합 Sn을 구하면 Sn= n Á_k=1 2{1_k- 1_{k+1 }} =2[{1-;2!;}+{;2!;-;3!;}+ y +{ 1_n- 1 n+1 }] =2{1- 1_{n+1 }}= 2n n+1 ∴ lim n Ú`¦Sn=limn Ú`¦ 2n n+1=2

0

1

셀파 주어진 급수의 제n항을 구한다. 본문 | 50~51 쪽 연습 문제 원 O1의 반지름의 길이는 r, 원 O2의 반지름의 길이는 ;2R;, 원 O3 의 반지름의 길이는 ;4R;, y 각각의 원의 넓이를 S1, S2, S3, y이라 하면 S1=pr2, S2=p{;2R;} 2 =pr2_{;2!;}2_{, S} 3=p{;4R;} 2 =pr2_{;2!;}4_{, y} ∴ S1+S2+S3+ y=pr2+pr2{;2!;} 2 +pr2_{;2!;}4_{+ y} = pr2 1-{;2!;}2=;3$;`pr 2

0

9-1

셀파 각각의 원의 넓이를 구하여 첫째항과 공비를 찾는다. ⑴ 주어진 순환소수를 등비급수로 나타내면 0.H1H5=0.15+0.0015+0.000015+ y =;1Á0°0;+ 15₁₀₀2+ 15₁₀₀3+ y = ;1Á0°0; 1-;10!0;=;9!9%;=;3°3;

10-1

셀파 등비급수의 합을 이용한다. a1=2, a2=0, a3=4, a4=2, a5=0, a6=4, y ∴ Á¦ n=1 an 3n=;3@;+ 0₃2+ 4₃3+ 2₃4+ 0₃5+ 4₃6 + 2 37+ 0₃8+ 4₃9+ y   ={;3@;+ 2₃4+ 2₃7+ y}+{ 4₃3+ 4₃6+ 4₃9+ y}   = ;3@; 1-;2Á7;+ ;2¢7; 1-;2Á7;=;1»3;+;1ª3;=;1!3!;

10-2

셀파 0.H20H4=0.204204y에서 a1, a2, a3, a4, y의 값을 구 한다. ∴ P1P2Ó+P2P3Ó+P3P4Ó+ y=1+ '_{2 +{}3 '3_{2 }} 2 + y = 1 1- '₂3 = 2 2-'3 =4+2'3 | 다른 풀이 | 오른쪽 그림과 같이 PnPn+1Ó=an, Pn+1Pn+2Ó=an+1 이라 하면 an+1=an_cos`30ù ∴ an+1='3_{2 a}n 즉, 수열 {an}은 a1=P1P2Ó=1, 공비 r='3_{2 인 등비수열이므로} ¦ Á n=1an= 1 1-'3₂ =4+2'3 O 30ù 30ù PÁ PÇ PÇ*ª PÇ*Á aÇ*Á aÇ Pª ⑵ 주어진 순환소수를 등비급수로 나타내면 0.3H6=0.3+0.06+0.006+0.0006+ y =0.3+_{{ 6} 102+ 6₁₀3+ 6₁₀4+ y} =_;1£0;+ ;10^0; 1-;1Á0;=;1£0;+;9¤0;=;3!0!;

0

3

셀파 괄호가 있는 급수는 괄호로 묶인 항을 하나의 항으로 생 각한다. ㄱ. 급수 1-1+1-1+1-1+ y에서 S2n+1=1-1+1-1+ y +1-1+1=1 S2n=1-1+1-1+ y +1-1=0 lim n Ú`¦S2n+1+limn Ú`¦S2n이므로 주어진 급수는 발산한다.

0

4

셀파 lim_n Ú`¦an=k`(k는 상수)로 놓는다. 급수 Á¦ n=1{ an+3 an2 -2}가 수렴하므로 lim n Ú`¦{ an+3 an2 -2}=0 yy`㉠ 이때 lim n Ú`¦an=k (k는 상수)로 놓으면 ㉠에서 lim n Ú`¦(an+3) lim n Ú`¦an 2 -2=0 즉, k+3 k2 -2=0이므로 2k2<sub>-k-3=0, (k+1)(2k-3)=0</sub> ∴ k=-1 또는 k=;2#; 그런데 수열 {an}의 각 항이 양수이므로 k=;2#; ∴ lim n Ú`¦an=;2#;

0

5

셀파 3an+2bn=cn 으로 놓으면 an=-;3@;bn+;3!;cn이다. 3an+2bn=cn으로 놓으면 3an=-2bn+cn ∴ an=-;3@;bn+;3!;cn 주어진 조건에서 Á¦ n=1 bn=6, ¦ Á n=1 cn=18이므로 ¦ Á n=1 an= ¦ Á n=1 {-;3@;bn+;3!;cn} =-;3@;`Á<sub>n=1</sub>¦bn+;3!;` ¦ Á n=1cn =-;3@;_6+;3!;_18=2

0

2

셀파 ¦ Á

n=1(an+1-an)=(a2-a1)+(a3-a2)+(a4-a3)+ y

n Á

k=1(ak+1-ak) =(a2-a1)+(a3-a2)+(a4-a3)

+ y +(an+1-an) =an+1-a1 ∴ Á¦ n=1(an+1-an) =limn Ú`¦ n Á k=1(ak+1-ak) =lim n Ú`¦(an+1-a1) =lim n Ú`¦an+1-limn Ú`¦a1 =lim n Ú`¦an-a1 =8-3=5 ⑵ Á¦ n=1  log`[1-1 (n+1)2]에서 log`[1-<sub>(n+1)</sub>1 2]=log`(n+1) 2_-1 (n+1)2 =log` n2+2n (n+1)2 =log` n(n+2)_(n+1)2 따라서 주어진 급수의 부분합 Sn을 구하면 Sn= n Á k=1 log` k(k+2)(k+1)2 =log` 1_3 2_2+log` 2_43_3+ y +log`(n+1)(n+1)n(n+2) =log`{ 1_3<sub>2_2</sub>_ 2_4<sub>3_3</sub>_ y _<sub>(n+1)(n+1) }</sub>n(n+2) =log` n+2 2(n+1) ∴ lim

n Ú`¦Sn=limn Ú`¦log` n+22(n+1)=log`;2!;

ㄴ. 급수 (1-1)+(1-1)+(1-1)+ y에서 Sn=0+0+0+ y +0=0 lim n Ú`¦Sn=0이므로 주어진 급수는 수렴한다. ㄷ. 급수 1-(1-1)-(1-1)-(1-1)- y에서 Sn=1-0-0-0- y -0=1 lim n Ú`¦Sn=1이므로 주어진 급수는 수렴한다. 따라서 수렴하는 급수는 ㄴ, ㄷ이다.

a1=0.H5=;9%;, a3=0.0H2=;9ª0;=;4Á5;에서 등비수열 {an}의 공비를 r라 하면 a3=a1_r2=;9%;r2 이때 a3=;4Á5;이므로 ;9%;r2=;4Á5; r2_{=;2Á5; ∴ r=Ñ;5!;} 각 항이 모두 양수이므로 r=;5!; ∴ Á¦ n=1an =;9%;+;9%;_;5!;+;9%;_{;5!;} 2 + y = ;9%; 1-;5!;=;3@6%;

0

7

셀파 0.H5=0.555y, 0.0H2=0.0222y ⑴ 1-;3{;+x_{9 -}2 _{27 +}x3 … 은 첫째항이 1, 공비가 -;3{;이므로 이 등비급수가 수렴하려면 -1<-;3{;<1 ∴ -3<x<3 ⑵ x+x(x-2)+x(x-2)2_+x(x-2)3_{+ … 은 첫째항이 x,} 공비가 x-2이므로 이 등비급수가 수렴하려면 x=0 또는 -1<x-2<1 ∴ x=0 또는 1<x<3

0

8

셀파 첫째항과 공비를 구한다.  Ú Á¦ n=1{ x+12 } n-1 은 첫째항이 1, 공비가 x+1 2 이므로 이 등비급수가 수렴하려면 -1< x+1 2 <1, -2<x+1<2 ∴ -3<x<1  Û Á¦ n=1(1-x 2₎n_{은 첫째항과 공비가 모두 1-x}2_이므로 이 등비급수가 수렴하려면 -1<1-x2_{<1, 0<x}2_<2 ∴ -'2<x<0 또는 0<x<'2  Ú, Û에서 -'2<x<0 또는0<x<1

0

9

셀파 등비급수 Á¦ n=1r n-1_{의 수렴 조건은 -1<r<1이다.} 채점 기준 배점 Á_n=1¦{x+1₂ }n-1이 수렴하도록 하는 x의 값의 범위를 구한다. 40% Á_n=1¦(1-x2₎n_{이 수렴하도록 하는 x의 값의 범위를 구한다.} 40% 두 등비급수가 수렴하도록 하는 x의 값의 범위를 구한다. 20% ⑴ Á¦ n=1 { 1 2n-₄1n}= ¦ Á n=1 {;2!;} n -Á¦ n=1 {;4!;} n   = ;2!; 1-;2!; -;4!; 1-;4!;   =1-;3!;=;3@; ⑵ Á¦ n=1 1+2n-1 5n = ¦ Á n=1{;5!;} n +Á¦ n=1 2n-1 5n   =_Á¦ n=1{;5!;} n +_Á¦ n=1`;2!;_{;5@;} n   =Á<sub>n=1</sub>¦{;5!;}n+;2!;`Á_n=1¦{;5@;}n = ;5!; 1-;5!;+;2!;_ ;5@; 1-;5@; =;4!;+;3!;=;1¦2; ⑶ Á¦ n=1(3 n+1_-1){;9!;}n _=Á¦ n=13_{;9#;} n -_n=1Á¦{;9!;}n   =3`Á_n=1¦{;3!;}n-Á_n=1¦{;9!;}n  =3_ ;3!; 1-;3!; -;9!; 1-;9!; =;2#;-;8!;=:Á8Á:

0

6

셀파 급수의 성질과 등비급수의 합의 공식을 이용한다. 순환소수와 등비급수 ⑴ 0.Ha1a2 y Han=a1_{99 y 9}a2 y an   예 0.H5=;9%;, 0.H1H2=;9!9@;=;3¢3; ⑵ 0.a1a2 y amHb1b2 y Hbn=a1a2 y a_{99 y 900 y 0}mb1b2 y bn-a1a2 y am   예 0.2H5=25-2 90 =;9@0#; 0.12H3=123-12₉₀₀ =;9!0!0!;=;3£0¦0; n개 m개 n개 LEC TURE

A a£ a£ aª aª aÁ aÁ B _C 1 3 n번째 정사각형의 한 변의 길이를 an이라 하면 a1 : (1-a1)=3 : 1, a1=3-3a1 ∴ a1=;4#; a2 : (a1-a2)=3 : 1, a2=3a1-3a2 ∴ a2=;4#;a1 a3 : (a2-a3)=3 : 1, a3=3a2-3a3 ∴ a3=;4#;a2 y an+1 : (an-an+1)=3 : 1, an+1=3an-3an+1 ∴ an+1=;4#;an 즉, 수열 {an}은 첫째항이 ;4#;, 공비가 ;4#;인 등비수열이므로 a1=;4#;, a2=;1»6;, a3=;6@4&;, y 따라서 정사각형의 넓이의 합은 a12+a22+a32+ y ={;4#;} 2 +{;1»6;}2+{;6@4&;}2+ y =;1»6;+{;1»6;}2+{;1»6;}3+ y = ;1»6; 1-;1»6;=;7(;

12

셀파 n번째 정사각형의 한 변의 길이를 an이라 하고 an과 an+1 사이의 관계를 찾는다.

13

셀파 0.H1, 0.HH1H0, 0.H10H0을 분수로 고쳐서 일반항 an을 구한다. a1=0.H1=;9!;= 10 0 10-1, a2=0.H1H0=;9!9);= 10 1 102_-1, a3=0.H10H0=;9!9)9);= 10 2 103_-1, y에서 an= 10 n-1 10n_-1이므로 _a1 n= 10 n_-1 10n-1 ∴ Á¦ n=1 { 1 an+1 -1 an} = ¦ Á n=1 { 10n+1_-1 10n - 10 n_-1 10n-1 } =Á_n=1¦₁₀9n= ;1»0; 1-;1Á0;=1 수직선에서 P1P2Ó=l로 놓으면 P2P3Ó=;3@;l, P3P4Ó={;3@;} 2 l, P4P5Ó={;3@;} 3 l, y 이므로 점 Pn(xn)을 살펴보면 x3=P1P2Ó-P2P3Ó=l-;3@;l x4=P1P2Ó-P2P3Ó+P3P4Ó=l-;3@;l+{;3@;} 2 l x5=P1P2Ó-P2P3Ó+P3P4Ó-P4P5Ó=l-;3@;l+{;3@;} 2 l-{;3@;}3l y ∴ lim n Ú`¦xn=P1P2Ó-P2P3Ó+P3P4Ó-P4P5Ó+ y =l-;3@;l+{;3@;}2l-{;3@;}3l+ y = l 1-{-;3@;}=;5#;l 이때 l=100이므로 lim n Ú`¦xn=;5#;_100=60

10

셀파 규칙적으로 한없이 움직이는 선분의 길이는 등비수열을 이룬다. 공이 지면에 n번째 닿은 후 n+1번째 닿을 때까지 움직인 거리를 an m라 하면 a1=2_;5$;, a2=2_{;5$;} 2 , a3=2_{;5$;} 3 , y 이므로 an=2_{;5$;} n =;5*;_{;5$;}n-1 공이 처음으로 지면에 닿을 때까지 움직인 거리가 1`m이므로 공 이 한없이 운동한다고 가정할 때, 공이 움직인 거리는 1+Á_n=1¦_an =1+ ¦ Á n=1;5*;_{;5$;} n-1 =1+ ;5*; 1-;5$;=9(m)

11

셀파 처음에 낙하한 거리는 1`m, 다시 올라간 거리는 ;5$;`m, 다 시 올라간 거리는 {;5$;}2`m, y

⑴ 3>1이므로 lim x Ú`¦3 x<sub>=¦</sub> ⑵ 3>1이므로 lim<sub>x</sub> Ú`-¦3 x_{= 0} ⑶ 0<;3!;<1이므로 lim_{x Ú`¦</sub>{;3!;}x= 0 ⑷ 0<;3!;<1이므로 lim<sub>x Ú`-¦}{;3!;}x=¦ 3>1 3>1 ;3!;<1 ;3!;<1

1-1

⑴ 5>1이므로 lim x Ú`¦5 x<sub>=¦</sub> ⑵ 5>1이므로 lim x Ú`-¦5 x₌₀ ⑶ 0<;3@;<1이므로 lim_{x Ú`¦</sub>{;3@;}x=0 ⑷ 0<;3@;<1이므로 lim<sub>x Ú`-¦}{;3@;}x=¦ ⑴ 5>1 ⑵ 5>1 ;3@;<1 ;3@;<1

1-2

본문 | 55 쪽 개념 익히기

3.

지수함수와 로그함수의 미분

⑴ lim x Ú`0(1+x) ;[@;<sub>=lim</sub> x Ú`0{(1+x) ;[!;_}2<sub>`=e</sub>2 ⑵ lim x Ú`¦{1+;[@;} 2x =lim x Ú`¦[{1+;[@;} ;2{; ]4`=e4

2-2

⑴ lim x Ú`0(1+2x) ;[!;<sub>=lim</sub> x Ú`0{(1+2x) ;2Á[;_}2 = e2 ⑵ lim x Ú`¦{1+;[!;} 2x =lim x Ú`¦[{1+;[!;} x ] 2 =e2 ⑶ lim x Ú`¦{1+;2Á[;} x =lim x Ú`¦[{1+;2Á[;} 2x ];2!;=e;2!;='e ⑷ -x=t로 치환하면 x Ú 0일 때 t Ú 0이므로 lim x Ú`0(1-x) ;[!; <sub>=lim</sub> t Ú`0(1+t) -;t!; =lim t Ú`0{(1+t) ;t!;_}-1_=e-1_=;e!;

2-1

본문 | 56~67 쪽 확인 문제 ⑴ lim x Ú`-¦ 5x 4x= lim<sub>x Ú`-¦</sub>{;4%;} x =0 ⑵ lim x Ú`¦ 2x<sub>-1</sub> 2x<sub>+1</sub>=lim<sub>x Ú`¦</sub> 1-{;2!;}x 1+{;2!;}x= 1-01+0=1 ⑶ lim x Ú`¦(4 x<sub>-2</sub>x<sub>)=lim</sub> x Ú`¦4 x_[1-{;2!;}x_]=¦

0

1-1

셀파 a>1일 때 lim x Ú`¦a x<sub>=¦, lim</sub> x Ú`-¦a x₌₀ 0<a<1일 때 lim x Ú`¦a x<sub>=0, lim</sub> x Ú`-¦a x_=¦ lim x Ú`¦(8 x<sub>+9</sub>x<sub>)</sub>;2Á[; <sub>=lim</sub> x Ú`¦[9 x_[{;9*;}x_+1]];2Á[; =3 lim x Ú`¦[{;9*;} x +1];2Á[; =3(0+1)0₌₃

0

1-2

셀파 9x_{으로 묶어낸다.} ⑴ lim x Ú`2log3` x 3₊₁ x-1 =log3` 8+1<sub>2-1 =</sub>log3`9=2 ⑵ lim x Ú`¦{log3`(9x+3)-log3`x} =lim

x Ú`¦log3` 9x+3x =limx Ú`¦log3`{9+;[#;}=log3`9=2

⑶ lim

x Ú`¦{log;3!;`(3x+1)-log;3!;`x} =lim

x Ú`¦log;3!;` 3x+1x =limx Ú`¦log;3!;`{3+;[!;}=log;3!;`3=-1

0

2-1

셀파 lim

x Ú`¦{loga` f(x)-loga` g(x)} 꼴 ⇨ limx Ú`¦loga`

f(x) g(x) ⑶ lim x Ú`0(1+2x) -;[!;<sub>=lim</sub> x Ú`0{(1+2x) ;2Á[;_}-2<sub>`=e</sub>-2<sub>= 1</sub> e2 ⑷ -;2Á[;=t로 치환하면 x Ú ¦일 때 t Ú 0이므로 lim x Ú`¦{1-;2Á[;} x =lim t Ú`0(1+t) -;2Á t; =lim t Ú`0{(1+t) ;t!;_}-;2!;_=e-;2!;_{= 1} 'e

⑴ lim x Ú`0(1+2x) ;[@; <sub>=lim</sub> x Ú`0(1+2x) ;2Á[;_4 =lim x Ú`0{(1+2x) ;2Á[;<sub>}</sub>4<sub>=e</sub>4 ⑵ lim x Ú`¦{1+;2ÒÁ[;} -x =lim x Ú`¦{1+;2ÒÁ[;} 2x_{-;2!;} =lim x Ú`¦[{1+;2ÒÁ[;} 2x ]-;2!;=e-;2!;_{= 1} 'e

0

3-1

셀파 lim ⦁ Ú`0(1+⦁) 1 ⦁=e, lim ▲ Ú`¦{1+ 1_▲} ▲ =e ⑴ -x=t로 치환하면 x Ú`-¦일 때 t Ú`¦이므로 lim x Ú`-¦`{1-;[!;} -3x =lim t Ú`¦`{1+ ;t!;} 3t =lim t Ú`¦[{1+ ;t!;} t ]3=e3 ⑵ x-1=t로 치환하면 x Ú`1일 때 t Ú`0이므로 lim x Ú`1x 3 2x-2=lim t Ú`0(1+t) 3 2t=lim t Ú`0{(1+t) 1 t};2#;=e;2#;

0

3-2

셀파 lim ⦁ Ú`0(1+⦁) 1 ⦁=e, lim ▲ Ú`¦{1+ 1▲} ▲ =e 본문 | 61 쪽 집중 연습 ⑴ lim x Ú`0 ln`(1+x) 3x =limx Ú`0[ ln`(1+x) x _;3!;] =;3!;`lim<sub>x Ú`0</sub> ln`(1+x)<sub>x</sub> =;3!;_1=;3!; ⑵ lim x Ú`0 ln`(1+3x) x =limx Ú`0[ ln`(1+3x) 3x _3] =3`lim x Ú`0 ln`(1+3x) 3x =3_1=3 ⑶ lim x Ú`0 ln`(1+2x) 8x =limx Ú`0[ ln`(1+2x) 2x _;4!;] =1_;4!;=;4!; ⑷ lim x Ú`0 ln`(1+4x) 2x =limx Ú`0[ ln`(1+4x) 4x _2]=1_2=2 ⑸ lim x Ú`0 ln`(1-2x) x =limx Ú`0[ ln`(1-2x) -2x _(-2)] =1_(-2)=-2

0

1

⑴ lim x Ú`0 ex<sub>-1</sub> 2x =limx Ú`0{ ex_-1 x _;2!;} =;2!;`lim<sub>x Ú`0</sub> ex-1_{x =;2!;_1=;2!;} ⑵ lim x Ú`0 e2x<sub>-1</sub> x =limx Ú`0{ e2x_-1 2x _2} =2`lim x Ú`0 e2x_-1 2x =2_1=2 ⑶ lim x Ú`0 e3x<sub>-1</sub> x =limx Ú`0{ e3x_-1 3x _3}=1_3=3 ⑷ lim x Ú`0 e-2x<sub>-1</sub> x =limx Ú`0[ e-2x_-1 -2x _(-2)]=1_(-2)=-2 ⑸ lim x Ú`0 e1-x<sub>-e</sub> x =limx Ú`0 e(e-x_-1) x =e`lim x Ú`0[ e-x_-1 -x _(-1)] =e_1_(-1)=-e

0

2

⑴ lim x Ú`0(1+3x) ;[!;<sub>=lim</sub> x Ú`0{(1+3x) ;3Á[;_}3_=e3_{`</sub> ⑵ lim x Ú`0(1+x) ;2Á[;_=lim x Ú`0{(1+x) ;[!;<sub>}</sub>;2!;<sub>=e</sub>;2!;<sub>='e</sub> ⑶ lim x Ú`¦{1+;[#;} x =lim x Ú`¦[{1+;[#;} ;3{; ]3=e3<sub>`} ⑷ lim x Ú`¦{1+;[!;} 3x =lim x Ú`¦[{1+;[!;} x ]3=e3_` 확인 체크

01

셀파 특강 ⑷ lim x Ú`1(log2`|x 4_-1|-log 2`|x2-1|) =lim<sub>x</sub> Ú`1log2` |x 4<sub>-1|</sub> |x2<sub>-1|</sub>=lim<sub>x</sub> Ú`1log2`

|

(x2_-1)(x2₊₁₎ x2_-1

|

=lim x Ú`1log2`(x 2_+1)=log 2`2=1

⑴ lim x Ú`0 log3`(1+3x) 9x =limx Ú`0 log3`(1+3x) 3x _;3!; =_3`ln`31 ⑵ lim x Ú`0 3x<sub>-1</sub> 2x =limx Ú`0 3x_-1 x _;2!;=;2!; ln`3 ⑶ lim x Ú`0 3x log2`(1+9x) ‌‌=lim x Ú`0 9x log2`(1+9x) _;3!; =;3!;`lim<sub>x Ú`0 log</sub> 1 2`(1+9x) 9x =;3!;_ 1₁ ln`2 =;3!;ln`2 ⑷ lim x Ú`0 3x<sub>-5</sub>x x =limx Ú`0 (3x_-1)-(5x_-1) x =lim x Ú`0 3x<sub>-1</sub> x -limx Ú`0 5x_-1 x =ln`3-ln`5=ln`;5#;

0

4-1

셀파 lim ◼ Ú`0 loga`(1+◼) ◼ = 1ln`a , lim⦁ Ú`0 a⦁_-1 ⦁ =ln`a ⑴ x-2=t로 치환하면 x Ú`2일 때 t Ú`0이고, x=t+2이므로 lim x Ú`2 ln`(x-1) x-2 =limt Ú`0 ln`(t+1) t =1 ⑵ e-x<sub>=t로 치환하면 x Ú`¦일 때 t Ú`0이고, e</sub>x<sub>= 1</sub> t이므로 lim x Ú`¦e x<sub>`ln(1+e</sub>-x<sub>) =lim</sub> t Ú`0 1 t `ln(1+t)=1 ⑶ x-1=t로 치환하면 x Ú`1일 때 t Ú`0이고, x=t+1이므로 lim x Ú`1 log10`x x-1 =limt Ú`0 log10`(1+t) t = 1 ln`10

0

5-1

셀파 치환한 다음 공식을 이용한다. ⑴, ⑵ lim ▲ Ú`0 ln`(1+▲) ▲ =1 ⑶, ⑷ lim ■ Ú`0 loga`(1+■) ■ = 1ln`a , lim● Ú`0 e●_-1 ● =1 x Ú`0일 때 (분모) Ú`0이고 극한값이 존재하므로 (분자) Ú`0이다. 즉, lim x Ú`0(e x+3p_{+q)=0, e}3p_+q=0 ∴ e3p<sub>=-q yy`㉠</sub> ㉠을 주어진 식에 대입하면 lim x Ú`0 ex+3p_+q 3x =limx Ú`0 ex<sub>_e</sub>3p<sub>+q</sub> 3x =limx Ú`0 -qex_+q 3x =-q₃lim x Ú`0 ex_-1 x =-q 3 따라서 -q₃=2이므로 q=-6

0

6-1

셀파 lim x Ú`03x=0이고 극한값이 존재하므로 lim x Ú`0(e x+3p +q)=0 x Ú`0일 때 (분자) Ú`0이고 0이 아닌 극한값이 존재하므로 (분모) Ú`0이다. 즉, lim x Ú`0(e ax+b_{-1)=0, e}b_{-1=0 ∴ b=0} b=0을 주어진 식에 대입하면 lim x Ú`0 ln`(1+cx) eax_-1 =lim<sub>x Ú`0</sub>[ ln`(1+cx)_cx _ ax_eax_-1_;aC;] =1_1_;aC;=;aC; 따라서 ;aC;=5이므로 c=5a ∴ b+c a = 0+5aa =5

0

6-2

셀파 lim x Ú`0ln`(1+cx)=0이고 0이 아닌 극한값이 존재하므 로 lim x Ú`0(e ax+b<sub>-1)=0</sub> ⑷ x+1=t로 치환하면 x <sub>Ú`-1일 때 t Ú`0이고,</sub> x=t-1이므로 limx Ú`-1 x3_+ex+1 x+1 =lim t Ú`0 (t-1)3<sub>+e</sub>t t =limt Ú`0 t3_-3t2_+3t-1+et t =lim t Ú`0{ t 3<sub>-3t</sub>2<sub>+3t</sub> t + e t<sub>-1</sub> t } =lim t Ú`0(t 2_-3t+3)+lim t Ú`0 et_-1 t =3+1=4

함수 f(x)가 x=2에서 미분가능하므로 x=2에서 연속이다. 즉, f(2)= lim x Ú`2-f(x)에서 4p-7=1+q yy ㉠ 함수 f(x)의 도함수 f '(x)는 f '(x)= 2px-3 (x>2)<sub>e</sub>x-2 <sub>(x<2)</sub> 또 f(x)의 x=2에서 미분계수가 존재하므로 lim x Ú`2+ f '(x)= limx Ú`2- f '(x) 4p-3=1 ∴ p=1 p=1을 ㉠에 대입하면 q=-4

0

8-1

셀파 f(2)= lim x Ú`2- f(x), limx Ú`2+ f '(x)= limx Ú`2- f '(x) 함수 f(x)가 x=1에서 미분가능하므로 x=1에서 연속이다. 즉, f(1)= lim x Ú`1- f(x)에서 0=a+b yy ㉠ 함수 f(x)의 도함수 f '(x)는 f '(x)= ;[!; (x>1) a (x<1) 또 f(x)의 x=1에서 미분계수가 존재하므로 lim x Ú`1+ f '(x)= limx Ú`1- f '(x) ∴ a=1 a=1을 ㉠에 대입하면 b=-1

0

8-2

셀파 f(1)= lim x Ú`1- f(x), limx Ú`1+ f '(x)= limx Ú`1- f '(x)

⑴ y'=(xex_{)'=(x)'_e}x_{+x_(e}x_)'=ex_+xex_=(x+1)ex

⑵ y'‌‌={(x-3)2x_}'=(x-3)'2x_+(x-3)(2x_{)'‌ ‌} =2x₊₂x_{`ln`2_(x-3)={(x-3)`ln`2+1}2}x_`

⑶ y'‌‌=(ex_`ln`x)'=(ex_)'`ln`x+ex_{(ln`x)'‌ ‌</sub> =ex<sub>`ln`x+e</sub>x<sub>_;[!;=e</sub>x<sub>{ln`x+;[!;}}

⑷ y' =(x`log5`3x)'=(x)'`log5`3x+x(log5`3x)'‌ ‌ =log5`3x+x(log5`3+log5`x)'‌‌

=log5`3x+x_ 1<sub>x`ln`5</sub>=log5`3x+ 1_ln`5

0

7-1

셀파 (ex)'=ex

, (ax)'=ax`<sub>ln`a, (ln`x)'= 1</sub>

x, (loga`x)'= 1 x`ln`a 을 이용한다. 두 함수 <sub>f(x), g(x)에 대하여</sub> ➊ lim x Ú`a f(x) g(x)=k`(k는 상수)이고, limx Ú`ag(x)=0이면 lim x Ú`a f(x)=0이다. ➋ lim x Ú`a f(x) g(x)=k`(k는 0이 아닌 상수)이고, lim

x Ú`a f(x)=0이면 limx Ú`a g(x)=0이다.

해설 ➊ 극한값이 존재하고, x Ú`a일 때 (분모) Ú`0이면 (분자) Ú`0이어야 한다. 만약 (분자) Ú`0이 아니라고 하면 극한값은 (0이 아닌 상수) (0에 가까운 값) Ú`¦`(또는 -¦) 가 되어 극한값이 존재한다는 조건에 모순이기 때문이다. 예 lim x Ú`0 ex<sub>-a</sub> 2x =b`(a, b는 상수)에서 극한값 b가 존재하고, x Ú`0일 때 (분모) Ú`0이므로 (분자) Ú`0 이어야 한다. 즉, lim x Ú`0(e

x_{-a)=0, 1-a=0 ∴ a=1} 이때 a=1을 주어진 식의 좌변에 대입하면 lim x Ú`0 ex<sub>-1</sub> 2x =limx Ú`0{ ex_-1 x _;2!;} =1_;2!;=;2!; ∴ b=;2!; ➋ 0이 아닌 극한값이 존재하고, x Ú`a일 때 (분자) Ú`0이면 (분모) Ú`0이어야 한다. 예 lim x Ú`0 bx ln`(a+x) =3`(a, b는 상수)에서 0이 아닌 극한값이 존재하고, x Ú`0일 때 (분자) Ú`0이므로 (분모) Ú`0이어야 한다. 즉, lim

x Ú`0`ln`(a+x)=0, ln`a=0 ∴ a=1

이때 a=1을 주어진 식의 좌변에 대입하면 lim x Ú`0 bx ln`(1+x) =limx Ú`0[ x ln`(1+x) _b] =1_b=b ∴ b=3 | 주의 | lim x Ú`a f(x) g(x)=0인 경우 x Ú`a일 때 f(x) Ú`0이면 g(x)가 어떤 값을 가져도 된다. 따라서 극한값이 0이 아닌 경우에만 x Ú`a일 때 (분자) Ú`0이면 (분모) Ú`0이다. 세미나 분수 꼴 함수의 극한값이 존재하는 경우