정적분 - 2020 셀파 미적분 답지 정답

⑴`:_2!`(e^x+1)dx=[e^x+x]2_!

=( e² +2)-(e^-1-1) =e²-;e!;+ 3

⑵ :)^;2Ò;`sin`x`dx=[-cos`x])^;2Ò;

=-cos`;2Ò;+cos`0

= 0 +1= 1

2-1

⑴ :!3``2^x`dx =[ 2ln`2 ]3!^x = 8-2 ln`2 = 6

ln`2

⑵ :)È``(e^x-cos`x)dx=[e^x-sin`x]È)=e^p-1

2-2

본문 | 194~207^쪽 확인 문제

⑴ :_0!` 1

(x-1)(x-2)dx =:_0!`{ 1x-2- 1

x-1 }dx

=[ln|x-2|-ln|x-1|]0_!

=[ln| x-2x-1 |]0_!

=ln`2-ln`;2#;=ln`;3$;

⑵ :!4``{'x+ 1'x }dx =:!4``(x^;2!;+x^-;2!;)dx

=[;3@;x^;2#;+2x^;2!;]4!

={;3@;_4^;2#;+2_4^;2!;}-{;3@;+2}=;;ª3¼;;

⑶ :)1`` 4^x-1

2^x-1 dx =:)1`` (2^x-1)(2^x+1) 2^x-1 dx

=:)1``(2^x+1)dx

=[ 2ln`2 ^x +x]1)

={ 2ln`2+1}- 1ln`2= 1ln`2+1

⑷ :)^;2Ò;` sin²`x

1+cos`xdx =:)^;2Ò;` 1-cos²`x

1+cos`xdx

=:)^;2Ò;` (1+cos`x)(1-cos`x) 1+cos`x dx

=:)^;2Ò;`(1-cos`x)dx

=[x-sin`x])`=;2Ò;-1^;2Ò;

01-1

^셀파 F'(x)=f(x)일 때

:Ab``f(x)dx=[F(x)]bA=F(b)-F(a)

본문 | 195^쪽 집중 연습

⑴ :)1`` ee^x+1 ^2x dx-:)1`` 1e^x+1 dx =:)1`` e^2x-1

e^x+1 dx=:)1`` (e^x-1)(e^x+1) e^x+1 dx =:)1``(e^x-1)dx=[e^x-x]1)=e-2

⑵ :)1`` 1t+1 dt=:)1`` 1x+1dx이므로 :)1`` xx+1 ³ dx+:)1`` 1t+1 dt =:)1`` xx+1 ³ dx+:)1`` 1x+1dx =:)1`` x³+1

x+1 dx

=:)1`` (x+1)(x²-x+1) x+1 dx =:)1``(x²-x+1)dx

=[;3!;x³-;2!;x²+x]1)=;6%;

⑶ :)È``(sin`x-e^2x)dx+:)È``(e^2x+sin`x)dx =:)È``{(sin`x-e^2x)+(e^2x+sin`x)}dx =:)È``2`sin`x`dx

=[-2`cos`x]È)=4

⑷ :) ^;2Ò;`(cos`x+e^-x)dx+:_;2Ò;0``(e^-x-cos`x)dx

=:) ^;2Ò;(cos`x+e^-x)dx-:) ^;2Ò;(e^-x-cos`x)dx =:) ^;2Ò;{(cos`x+e^-x)-(e^-x-cos`x)}dx =:) ^;2Ò;`2`cos`x`dx

`=[2`sin`x])=2^;2Ò;

01

⑴ :) ^;4Ò;`(cos`x-sin`x)dx+:

;4Ò;```(cos`x-sin`x)dx =:) ^;2Ò;`(cos`x-sin`x)dx

=[sin`x+cos`x])=0

;2Ò;

02

⑵ :) ^;3Ò;` 2`cos^2`x-1

cos^2`x dx+:_;3Ò;``` 2`cos^2`x-1 cos^2`x dx =:) ^;4Ò;` 2`cos^2`x-1

cos^2`x dx =:) ^;4Ò;`{2- 1cos^2`x } dx =:) ^;4Ò;`

(

^2-sec²^`x

)

^dx

=[2x-tan`x])`=;2Ò;-1

⑶ :!3`` e^2x-1

e^x-1 dx-:@3`` e^2x-1 e^x-1 dx =:!3`` e^2x-1

e^x-1 dx+:#2`` e^2x-1 e^x-1 dx =:!2`` e^2x-1

e^x-1 dx =:!2`` (e^x-1)(e^x+1)

e^x-1 dx =:!2``(e^x+1)dx=[e^x+x]2!

=(e²+2)-(e+1)=e²-e+1

⑷ :)2``"Ãe^2x-6e^x+9`dx-:!2``"Ãe^2x-6e^x+9`dx =:)2``"Ãe^2x-6e^x+9`dx+:@1``"Ãe^2x-6e^x+9`dx =:)1``"Ãe^2x-6e^x+9`dx=:)1``"Ã(e^x-3)²`dx =:)1``|e^x-3|dx=:)1``(3-e^x)dx =[3x-e^x]1)=4-e

| 참고 |

닫힌구간 [0, 1]에서 1Ée^xÉe<3이므로 e^x-3<0 ∴ :)1``|e^x-3|dx =:)1``{-(e^x-3)}dx

=:)1``(3-e^x)dx

;4Ò;

⑴ 2^x-2=0에서 x=1이므로 |2^x-2|=g-2^x+2 (x<1)

````2^x-2 (x¾1)

02-1

^셀파 절댓값 기호 안이 0이 되는 x의 값을 기준으로 적분 구간을 나눈다.

⑴ :_4!(sin`x-3x²+6x)dx+:_-$1` (sin`x-3x²+6x)dx =:_4$(sin`x-3x²+6x)dx

=:_4$(sin`x+6x)dx+:_4$(-3x²)dx =2:)4` (-3x²)dx=-2:)4``3x²`dx =-2[x³]4)=-2_64=-128

03-1

^셀파 :Ac``f(x)dx+:Cb``f(x)dx=:Ab``f(x)dx

f(x)=|cos`x|로 놓으면 닫힌구간 [0, 4p]에서 함수 y=f(x) 의 그래프는 다음 그림과 같다.

y=f(x)

O 1 y

p p x

-p2 -32 2p-52p3p-72p4p

이때 f(x)=f(x+p)이므로 f(x)는 주기가 p인 주기함수이다.

∴ :)4`È``|cos`x|dx =4:)È``|cos`x|dx

=4[ :) ^;2Ò;`cos`x`dx+:_;2È_Ò;``(-cos`x)dx]

=4 [sin`x])`-4 [sin`x]È_;2Ò;

=4+4=8

;2Ò;

확인 체크 01

셀파 특강

⑵ f(x)= sin`x-tan`x 1+cos`x 라 하면 f(-x) =sin(-x)-tan(-x)

1+cos(-x)

= -sin`x+tan`x

1+cos`x =-f(x)

즉, f(-x)=-f(x)이므로 함수 f(x)는 기함수이다.

∴ :_Èù` sin`x-tan`x1+cos`x dx=0 ∴ :)3``|2^x-2|dx

=:)1``(-2^x+2)dx+:!3``(2^x-2)dx =[- 2ln`2^x +2x]1)+[ 2ln`2^x -2x]3!

=[- 2ln`2+2-{- 1ln`2 }]+[ 8ln`2-6-{ 2ln`2-2}]

= 5 ln`2-2

⑵ 닫힌구간 [0, p]에서 sin`x+cos`x=0을 풀면 x=;4#;p이므로

|sin`x+cos`x|=

g

``````sin`x+cos`x {0Éx<;4#;p}

-sin`x-cos`x {;4#;pÉxÉp}

∴ :)È``|sin`x+cos`x|dx

=:) ^;4#;p`(sin`x+cos`x)dx+:_;4#È_;p`(-sin`x-cos`x)dx =[-cos`x+sin`x])`^p+[cos`x-sin`x]È_;4#;p

=[ '2 2 +'2

2 -(-1)]+[-1-{-'2 2 -'2

2 }]

=2'2

| 참고 |

sin`x+cos`x ='2`{ 1

'2 sin`x+ 1'2 cos`x}

='2`{cos`;4Ò;`sin`x+sin`;4Ò;`cos`x}

='2`sin`{x+;4Ò;}

이므로 닫힌구간 [0, p]에서 sin`x+cos`x=0인 x의 값을 구하면 '2`sin`{x+;4Ò;}=0이므로 x+;4Ò;=p ∴ x=;4#;p

;4#;

⑴ 3x-1=t로 놓으면 3= dtdx

x=;3!;일 때 t=0, x=1일 때 t=2이므로 :

;3!1

;`(3x-1)³dx =;3!;:)2``t³dt=;3!;`[;4!;t⁴]2)=;3$;

⑵ x+3=t로 놓으면 1= dt dx

x=-3일 때 t=0, x=1일 때 t=4이므로 :_1#` 1'Äx+3dx =:)4`` 1't dt=:)4``t^-;2!;`dt

=2 [t^;2!;]4)=4

04-1

^셀파 a=g(a), b=g(b)일 때, :Ab``f(x)dx=:òÕ```f(g(t))g '(t)dt

⑶ 4-x=t로 놓으면 -1= dt dx

x=0일 때 t=4, x=4일 때 t=0이므로 :)4` x'Ä4-x`dx =:$0` (4-t)'t_(-1)dt

=:)4` (4-t)'t`dt

=:)4` (4't-t't`)dt

=:)4` (4t^;2!;-t^;2#;)dt

=[;3*;t^;2#;-;5@;t^;2%;]4)=;;Á1ª5¥;;

⑷ e^x=t로 놓으면 e^x= dt dx

x=0일 때 t=1, x=1일 때 t=e이므로 :)1`` 2ee^x+e^x^-x dx =:!e`` 2

t+;t!; dt=:!e`` 2tt²+1 dt

=[ln(t²+1)]e!=ln(e²+1)-ln`2

=ln` e²+1 2

| 다른 풀이 | 2e^x

e^x+e^-x의 분모, 분자에 e^x을 곱하면 2e^2x e^2x+1 e^2x+1=t로 놓으면 2e^2x=dt

x=0일 때 t=2, x=1일 때 t=e²+1이므로 :)1`` 2e^x

e^x+e^-x dx =:)1`` 2e^2x e^2x+1 dx

=:@^eÛ`+1;t!;dt=[ln`|t|]e@^Û`+1

=ln(e²+1)-ln`2=ln`e²+1 2

⑴ x=4`sin`h {-;2Ò;ÉhÉ;2Ò;}로 치환하면 dx

dh=4`cos`h

x=-4일 때 h=-;2Ò;, x=4일 때 h=;2Ò;이므로

05-1

^셀파 ^"Ãa²^-x² (a>0)꼴 ⇨ x=a`sin`h로 치환 1

a²+x² (a>0)꼴 ⇨ x=a`tan`h로 치환

:_4$`"Ã16-x²`dx =:

-;2Ò;`"Ã16-16`sin²`h_4`cos`h`dh

-;2Ò;`16`cos²`h`dh

-;2Ò;`(8+8`cos`2h)dh

=[8h+4`sin`2h]_-;2Ò;=8p

⑵`x=2`tan`h`{-;2Ò;<h<;2Ò;}로 치환하면 dx

dh=2`sec²`h

x=0일 때 h=0, x=2일 때 h=;4Ò;이므로 :)2` 14+x²dx =:)``` 1

4+4 tan^2`h_2`sec²`h`dh

=:)``` 2`sec²`h

4`sec²`h dh=;2!;:)```dh

=;2!;`[h])`=;8Ò;

;2Ò;

;4Ò;

;4Ò; ;4Ò;

;4Ò;

➊ :)a``"Ãa²-x²`dx의 뜻

함수 y="Ãa²-x² (a>0), 즉 x²+y²=a² (y¾æ0)의 그래프를 좌

표평면 위에 나타내면 오른쪽 그림 과 같이 중심이 원점이고 반지름의

길이가 a인 반원이므로 :)a``"Ãa²-x²`dx의 값은 색칠한 부분 의 넓이와 같다.

➋ 삼각치환법은 삼각함수의 역함수를 이용한 것이므로 치환 하는 함수식은 반드시 역함수가 존재해야 한다.

이때 역함수가 존재하려면 일대일대응이어야 하므로 정의 역이 다음과 같이 정해진다.

Ú x=a`sin`h로 치환할 때 x=a`sin`h ⇨ -;2Ò;ÉhÉ;2Ò;

Û x=a`tan`h로 치환할 때 x=a`tan`h ⇨ -;2Ò;<h<;2Ò;

y=1a2Û 4-3x2Û O

-a a x

x=a sin h

-x

-p2 -p2

h a

-a x=a tan h

- O x

p h -2 -p2

세미나 삼각치환적분법 이해하기

⑴ :) ^;2Ò;x`cos`x`dx에서

f(x)=x, g '(x)=cos`x로 놓으면 f '(x)=1, g(x)=sin`x

∴ :) ^;2Ò;x`cos`x`dx =[x`sin`x])`-:) ^;2Ò;sin`x`dx

=;2Ò;+[cos`x])^;2Ò;=;2Ò;-1

⑵ :)1`xe^x`dx에서

f(x)=x, g '(x)=e^x으로 놓으면 f '(x)=1, g(x)=e^x

∴ :)1`xe^x`dx =[xe^x]1)-:)1`e^x`dx

=e-[e^x]1)=1

⑶ :!e` ln`xx² dx에서

f(x)=ln`x, g'(x)= 1x²=x^-2으로 놓으면 f '(x)=;[!;, g(x)=-x^-1=-;[!;

∴ :!e`` ln`xx² dx =[-ln`x

x ]e!-:!e``- 1x² dx

=-;e!;+:!e`x^-2`dx

=-;e!;+[-;[!;]e!

=-;e!;-;e!;+1=-;e@;+1

⑷ :ù2`È``x(sin`x+cos`x)dx에서

f(x)=x, g '(x)=sin`x+cos`x로 놓으면 f '(x)=1, g(x)=-cos`x+sin`x ∴ :ù2`È``x`(sin`x+cos`x)dx

=[-x`cos`x+x`sin`x]2ùÈ`-:ù2`È``(-cos`x+sin`x)dx =(-2p-p)+:ù2`È``(cos`x-sin`x)dx

=-3p+[sin`x+cos`x]2ùÈ`

=-3p+1-(-1)=-3p+2

;2Ò;

06-1

^셀파 :Ab``f(x)g '(x)dx=[f(x)g(x)]bA-:Ab``f '(x)g(x)dx

⑴ :)2``f(t)dt=k (k는 상수)로 놓으면 f(x)=e^x+k :)2```f(t)dt=:)2``(e^t+k)dt=[e^t+kt]2)=e²+2k-1 이때 e²+2k-1=k이므로 k=-e²+1

∴ f(x)=e^x-e²+1

⑵ :) ^;2Ò; f(t)cos`t`dt=k (k는 상수)로 놓으면 f(x)=2`sin`x-k

:) ^;2Ò; f(t)cos`t`dt =:) ^;2Ò; (2`sin`t-k)cos`t`dt 이때 sin`t=s로 놓으면 cos`t= ds

dt t=0일 때 s=0, t=;2Ò;일 때 s=1이므로 :) ^;2Ò;(2`sin`t-k)cos`t`dt

=:)1``(2s-k)ds=[s²-ks]1)=1-k 이때 1-k=k이므로 2k=1에서 k=;2!;

∴ f(x)=2`sin`x-;2!;

07-1

^셀파 ^f(x)=g(x)+:Ab``f(t)dt 꼴이면 :Ab``f(t)dt=k (k는 상수)로 놓는다.

f(x)=e^-x+2x-1+:)/``f(t)dt yy ㉠에서

㉠의 양변을 x에 대하여 미분하면 f '(x)=-e^-x+2+f(x) 또 ㉠의 양변에 x=0을 대입하면 f(0)=1+0-1=0

∴ f '(0)=-1+2+f(0)=1 (∵ f(0)=0)

08-1

^셀파 :Aa``f(t)dt=0, d

dx :A/``f(t)dt=f(x)

:)/``f(t)dt=e^2x-ae^x yy`㉠에서

㉠의 양변을 x에 대하여 미분하면 f(x)=2e^2x-ae^x 또 ㉠의 양변에 x=0을 대입하면

0=1-a ∴ a=1

∴ f(x)=2e^2x-e^x

∴ f(ln`3)=2e^2`ln`3-e^ln`3=18-3=15

08-2

^셀파 양변을 x에 대하여 미분한다. 또 양변에 x=0을 대입 한다.

:!/``(x-t)f(t)dt=x²`ln`x+ax+b에서

:!/``(x-t)f(t)dt=x:!/`` f(t)dt-:!/``tf(t)dt이므로

x:!/`` f(t)dt-:!/``t`f(t)dt=x²`ln`x+ax+b yy ㉠

㉠의 양변을 x에 대하여 미분하면

:!/`` f(t)dt+xf(x)-xf(x)=2x`ln`x+x+a

∴ :!/`` f(t)dt=2x`ln`x+x+a yy ㉡

㉡의 양변에 x=1을 대입하면 0=1+a ∴ a=-1

㉠의 양변에 x=1을 대입하면 0=a+b yy ㉢

㉢에 a=-1을 대입하면 b=1

∴ a=-1, b=1

09-1

^셀파 :!/`(x-t)f(t)dt에서 적분변수가 t이므로 x는 상수 로 생각한다.

f(x)=:)/``(x-t)cos`t`dt=x:)/``cos`t`dt-:)/``t`cos`t`dt 의 양변을 x에 대하여 미분하면

f '(x) =:)/``cos`t`dt+x`cos`x-x`cos`x

=:)/``cos`t`dt=[sin`t]/)=sin`x

즉, f '(x)=sin`x이므로 f(x)=-cos`x+C yy ㉠ 이때 f(x)=:)/``(x-t)cos`t`dt의 양변에 x=0을 대입하면 f(0)=0

㉠에 x=0을 대입하면 f(0)=-1+C=0 ∴ C=1 따라서 f(x)=-cos`x+1이므로

:)2`È``f(x)dx=:)2`È``(-cos`x+1)dx=[-sin`x+x]2)È=2p

09-2

^셀파 :)/``(x-t)cos`t`dt에서 적분변수가 t이므로 x는 상 수로 생각한다.

f(x)=:)/``3(1+cos`t)²`sin`t`dt의 양변을 x에 대하여 미분하면 f '(x)=3(1+cos`x)²`sin`x

f '(x)=0에서 cos`x=-1 또는 sin`x=0

∴ x=0 또는 x=p 또는 x=2p

이때 함수 f(x)의 증가와 감소를 표로 나타내면 다음과 같다.

10-1

^셀파 양변을 x에 대하여 미분하고 f(x)의 증가와 감소를 표로 나타낸다.

⑴ f(t)=e^t+3으로 놓고 f(t)의 한 부정적분을 F(t)라 하면 (주어진 식) =lim

x Ú`1

x-1 :!/``f(t)dt

=limx Ú`1

x-1 [F(t)]/!

=limx Ú`1

F(x)-F(1) x-1

=F'(1)=f(1)=e+3

⑵ f(t)=t+cos`t로 놓고 f(t)의 한 부정적분을 F(t)라 하면 (주어진 식) =lim

x Ú`0;[!;:)/``f(t)dt

=limx Ú`0;[!;[F(t)]/)

=limx Ú`0

F(x)-F(0) x

=F '(0)=f(0)=1

11-1

^셀파 ^limx Ú`0;[!;:Aa` ^+x`f(t)dt=lim

x Ú`0

F(a+x)-F(a)

x =f(a)

0 y p y 2p

f '(x) 0 + 0 - 0

f(x) ↗ 극대 ↘

즉, 0ÉxÉ2p에서 함수 f(x)의 최댓값은 극댓값인 f(p)이고, 최솟값은 f(0)과 f(2p) 중 더 작은 값이다.

f(x)=:)/``3(1+cos`t)²`sin`t`dt에서 cos`t=v로 놓으면 dv

dt=-sin`t t=0일 때 v=1, t=x일 때 v=cos`x

∴ f(x) =:)/```3(1+cos`t)²`sin`t`dt

=:!^cos`x3(1+v)²(-1)dv

=[-(1+v)³]!````

=-(1+cos`x)³+8 f(x)=-(1+cos`x)³+8에서 f(0)=0, f(p)=8, f(2p)=0

따라서 0ÉxÉ2p에서 함수 f(x)의 최댓값은 8, 최솟값은 0

cos`x

⑶ f(t)=te^t-4+ln(t-3)으로 놓고 f(t)의 한 부정적분을 F(t) 라 하면

(주어진 식) =lim

x Ú`2

1 x-2 :$

xÛ``f(t)dt

=limx Ú`2

x-2 [F(t)]$ =lim

x Ú`2

F(x²)-F(4)

x-2

=limx Ú`2[F(x²)-F(4)

x²-4 _(x+2)]

=4F'(4)=4 f(4)=4(4+0)=16

⑷ f(t)=t`ln`t²으로 놓고 f(t)의 한 부정적분을 F(t)라 하면 (주어진 식)

=lim

x Ú`0;[!;:_eÛ`-x``f(t)dt=lim

x Ú`0;[!;[F(t)]_eÛ`-x =lim

x Ú`0

F(e²+x)-F(e²-x) x

=lim

x Ú`0

F(e²+x)-F(e²)+F(e²)-F(e²-x) x

=lim

x Ú`0

F(e²+x)-F(e²)

x +lim

x Ú`0

F(e²-x)-F(e²) -x =F'(e²)+F'(e²)=2F'(e²)=2`f(e²) =2e²`ln`e⁴=8e²`

x²

e²+x e²+x

x²+3x= 3

x(x+3)=;[!;- 1

x+3이므로 :!5`` 3

x²+3xdx =:!5``{;[!;- 1 x+3 }dx

=[ln|x|-ln|x+3|]5!

={(ln`5-ln`8)-(-ln`4)}=ln`;2%;

이때 ln`a=ln ;2%;이므로 a=;2%;

01

^셀파 x(x+k) =;k!; {;[!;-¹ 1 x+k }

본문 | 208~209^쪽 연습 문제

함수 y=f(x)의 그래프 위의 점 (x, f(x))에서의 접선의 기울기 는 f '(x)이므로 f(x)=e^2x에서 f '(x)=2e^2x

따라서 g(x)=2e^2x이므로

02

^셀파 곡선 y=f(x)`위의 임의의 점 (x, f(x))에서의 접선의 기울기는 f '(x)이다.

f(x)=f(-x)인 함수 f(x)는 우함수이다.

이때 f(x)cos`x는 우함수, x f(x)는 기함수이다.

∴ :_Èù`(3`cos`x-4x)f(x)dx

=3:_Èù`f(x)cos`x`dx-4:_Èù`x f(x)dx =3_2:)È` f(x)cos`x`dx-4_0 =6_4=24

| 참고 |

f(x)는 우함수, cos`x는 우함수이므로 f(x)cos`x는 우함수이다.

x는 기함수, f(x)는 우함수이므로 xf(x)는 기함수이다.

05

^셀파 (우함수)_(우함수)=(우함수), (우함수)_(기함수)=(기함수) :)a` 1

sin²`x-1 dx =:)a` 1

-cos²`x dx=:)a` (-sec²`x)dx

=[-tan`x]a)=-tan`a 이때 -tan`a=-1이므로

tan`a=1 ∴ a=;4Ò; {∵ 0<a<;2Ò;}

03

^셀파 ^sin²^`x+cos²`x=1이므로 sin²`x-1=-cos²`x

:_1!`{ 1

x+2 +k"|x|+x}dx

=:_1!`{ 1

x+2 +x}dx+:_1!`k"|x|`dx

=[ln|x+2|+;2!;x²]1_!+:_0!`k'¶-x`dx+:)1``k'x`dx

={ln`3+;2!;}-;2!;+[-;3@;k(-x)^;2#;]0_!+[;3@;kx^;2#;]1)

=ln`3+[0-{-;3@;k}]+{;3@;k-0}=ln`3+;3$;`k 이때 ln`3+;3$;k=ln`3+;3$;이므로 k=1

04

^셀파 절댓값 기호가 있는 k'¶|x|항을 따로 계산한다.

:_2!`e^-xg(x)dx =:_2!`e^-x_2e^2xdx

=2:_2!`e^xdx=2[e^x]2_!

=2(e²-e^-1)=2{e²-;e!;}

06

^셀파 x+1=t로 치환하여 주어진 식을 변형한다.

:)1` e^x f(x+1)dx에서

x+1=t로 치환하면 dtdx=1

x=0일 때 t=1, x=1일 때 t=2이므로 :)1``e^x f(x+1)dx=:!2``e^t-1`f(t)dt 이때 주어진 그래프에서

f(x)=gx+1 (-1Éx<0) 1 (0ÉxÉ2) 이므로 1ÉtÉ2에서 f(t)=1

∴ :!2``e^t-1`f(t)dt=:!2``e^t-1`dt=[e^t-1]2!=e-1

| 다른 풀이 |

함수 y=f(x+1)의 그래프는 함수 y=f(x)의 그래프를 x축의 방향으로 -1만큼 평행이동한 것이므로

f(x+1)=gx+2 (-2Éx<-1) 1 (-1ÉxÉ1) 0ÉxÉ1에서 f(x+1)=1이므로 :)1``e^x`f(x+1)dx =:)1``e^x`dx

=[e^x]1)=e-1

y=f(x)

-1 O 1 2

1 y

y=f(x+1)

-1 1

-2 1 y

07

^셀파 sin`x=t로 치환한 다음 다시 t=tan`h로 치환한다.

:) ^;2Ò;` cos`x

1+sin²`x dx에서 sin x=t로 놓으면 dtdx =cos`x x=0일 때 t=0, x=;2Ò;일 때 t=1이므로 :) ^;2Ò;` cos`x

1+sin²`x dx=:)1`` 1 1+t²dt

이때 t=tan`h {-;2Ò;<h<;2Ò;}로 놓으면 dt

dh =sec²`h t=0일 때 h=0, t=1일 때 h=;4Ò;이므로

:)1`` 1

1+t² dt =:) ^;4Ò;` 1

1+tan²`h_sec²`h`dh

=:) ^;4Ò;` 1

sec²`h_sec²`h`dh

=:) ^;4Ò;`dh=[h]) =;4Ò;^;4Ò;

08

^셀파 피적분함수가 (다항함수)_(지수함수) 꼴이면 다항함수 를 u(x), 지수함수를 v'(x)로 놓고 부분적분법을 이용한다.

f(x)=|x-1|=g-x+1 (x<1) -x-1 (x¾1)이므로 :)2``f(x)e^-x`dx

=:)1``(-x+1)e^-x`dx+:!2``(x-1)e^-x`dx

=-:)1``(x-1)e^-x`dx+:!2``(x-1)e^-x`dx u(x)=x-1, v'(x)=e^-x으로 놓으면 u'(x)=1, v(x)=-e^-x

∴ -:)1``(x-1)e^-x`dx+:!2``(x-1)e^-x`dx

=[(x-1)e^-x]1)-:)1``e^-x`dx-[(x-1)e^-x]2!+:!2``e^-x`dx =1+[e^-x]1)-e^-2-[e^-x]2!

=1+(e^-1-1)-e^-2-(e^-2-e^-1) =2{;e!;- 1e²}=2(e-1)

e²

09

^셀파 구간을 나누어 생각한다.

주어진 그래프에서 f(x)=

g

-x (-2Éx<-1)

``````1 (-1Éx<1)

``````x (1ÉxÉ2) 이므로 :_2@è^x`f(x)dx=:_-@1`è^x(-x)dx+:_1!è^xdx+:!2``xe^xdx 이때 u(x)=x, v '(x)=e^x으로 놓으면

u '(x)=1, v(x)=e^x

∴ :_-@1``e^x(-x)dx+:_1!`e^x`dx+:!2``xe^x`dx

=-[xe^x]-_1@+:_-@1``e^xdx+[e^x]1_!+[xe^x]2!-:!2``e^xdx =-(-e^-1+2e^-2)+[e^x]-_1@+(e-e^-1)+(2e²-e)-[e^x]2!

=;e!;- 2e²+;e!;- 1e²+e-;e!;+2e²-e-e²+e =e²+e+;e!;- 3

e²

12

^셀파 :)/``(x-t)sin`t`dt=x:)/``sin`t`dt-:)/``t`sin`t`dt :)/``(x-t)sin`t`dt=x:)/``sin`t`dt-:)/``t`sin`t`dt이므로

f(x)=x:)/``sin`t`dt-:)/``t`sin`t`dt의 양변을 x에 대하여 미분하면 f '(x)=:)/``sin`t`dt+x`sin`x-x`sin`x

f '(x)=:)/``sin`t`dt

∴ f '{;2Ò;}=:) ^;2Ò;`sin`t`dt=[-cos`t])`=1^;2Ò;

13

^셀파 함수 f(x)의 증가와 감소를 표로 나타낸다.

f(x)=:!/``(1-ln`t)dt의 양변을 x에 대하여 미분하면 f '(x)=1-ln`x

f '(x)=0에서 ln`x=1 ∴ x=e 이때 함수 f(x)의 증가와 감소를 표로 나타내면 오른쪽과 같다.

따라서 함수 f(x)는 x=e에서 극 대이면서 최대이므로 최댓값은 f(e) =:!e``(1-ln`t)dt

=[t-t`ln`t]e!+:!e``dt

=e-e-1+[t]e!=-1+(e-1)=e-2 따라서 a=e, b=e-2이므로

a-b=e-(e-2)=2

x (0) y e y

f '(x) + 0

-f(x) ↗ 극대 ↘

14

^셀파 ^lim_x Ú`a _x-a¹ :A/``f(t)dt=f(a)

f(t)=(2-t)e^t으로 놓고 f(t)의 한 부정적분을 F(t)라 하면 limx Ú`1

x²-1 :!/``f(t)dt =lim

x Ú`1[ 1

x+1 _ 1

x-1 :!/``f(t)dt]

=limx Ú`1[ 1

x+1 _ 1

x-1 [F(t)]/!]

=;2!;lim_x Ú`1 F(x)-F(1)

x-1 =;2!;F'(1)

=;2!; f(1)=;2E;

11

^셀파 :Aa``f(t)dt=0, ;dë[;`:A/``f(t)dt=f(x)

 :E/` f(t)dt=x`ln`x-x+k yy ㉠ ㉠의 양변을 x에 대하여 미분하면 f(x)=ln`x+x_;[!;-1=ln`x

 ㉠의 양변에 x=e를 대입하면

:Ee``f(t)dt=0이므로 e`ln`e-e+k=0 ∴ k=0

 따라서 f(x)=ln`x에서 f(e²)=ln`e²=2이므로 f(e²)+k=2+0=2

채점 기준 배점

함수 f(x)를 구한다. ^40%

상수 k의 값을 구한다. 30%

f(e²)+k의 값을 구한다. 30%

10

^셀파 ^f(x)=g(x)+:Ab``f(t)dt 꼴이면 :Ab``f(t)dt=k (k는 상수)로 놓는다.

:!3``f(t)dt=k (k는 상수)로 놓으면 f(x)=ln`x+k :!3``f(t)dt =:!3``(ln`t+k)dt

=:!3``ln`t`dt+:!3``k`dt yy ㉠ :!3``ln`t`dt에서 u(t)=ln`t, v'(t)=1로 놓으면 u'(t)=;t!;, v(t)=t이므로

:!3``ln`t`dt=[t`ln`t]3!-:!3``dt=3`ln`3-[t]3!=3`ln`3-2

:!3``k`dt=[kt]3!=2k

이때 3`ln`3-2+2k=k이므로 k=2-3`ln`3 따라서 f(x)=ln`x+2-3`ln`3이므로 f(27)=ln`27+2-3`ln`3=2

⑴ 닫힌구간 [0, 4]에서 y¾0이므로 S=:)4`` 'x `dx=[;3@;x^;2#;]4)=:Á3¤:

⑵ y= 1

x-1에서 y(x-1)=1이므로 yx=y+1 ∴ x=1+;]!;

닫힌구간 [1, 3]에서 x>0이므로 S =:!3``{ 1 +;]!;}dy

=[ y +ln|y|]3!=2+ln`3

1-1

S=:)1``'§x`dx-:)1`` x² `dx S=:)1``('§x-x²)dx

S=[ 2

3 x^;2#;-;3!;x³]1)=;3!;

2-1

;dDÒ Ót;=2t, ;dDÔ Õt;= 4t 이므로 점 P가 움직인 거리 s는

s=:)1``¿¹(2t)²+(4t)²`dt=:)1``¿¹20t²`dt s=:)1`` 2'5 t`dt=['5 t²]1)='5

4-1

⑴ t=0에서 점 P의 위치가 0이므로 t=1에서 점 P의 위 치는

0 +:)1``(1-'t`)dt=[ t -;3@;t^;2#;]1)=;3!;

⑵ 0ÉtÉ1일 때 v(t)¾0, 1ÉtÉ4일 때 v(t)É0이므로 t=0에서 t=4까지 점 P가 움직인 거리는

:)4``|1-'t |dt =:)1``(1-'t )dt+:!4``('t -1)dt

=[t-;3@;t^;2#;]1)+[;3@; t^;2#;-t]4!

문서에서 2020 셀파 미적분 답지 정답 (페이지 78-87)