정적분의 활용

3 +;3%;=2

3-1

본문 | 213, 215 ^쪽 개념 익히기

10. ^{정적분의 활용}

y=ln`x에서 x=e^y이므로 S =:)1``e<sup>y</sup> dy-:)1``y dy S=:)1``(e^y-y)dy S=[e^y-;2!;y²]1)=e-;2#;

2-2

⑴ 닫힌구간 [0, p]에서 y¾0이므로 S=:)È``sin`x`dx=`[-cos`x]È)=2

⑵ y=e^x에서 x=ln`y

닫힌구간 [1, e]에서 x¾0이므로 S =:!e``ln`y`dy

=`[y`ln`y]e!-:!e``dy

=e-`[y]e!=e-(e-1)=1

1-2

⑴ :!9``v(t)dt  =:!9``(2-'t )dt=[2t-;3@;t^;2#;]9!

=18-18-{2-;3@;}=-;3$;

⑵ 1ÉtÉ4일 때 v(t)¾0, 4ÉtÉ9일 때 v(t)É0이므로 t=1에서 t=9까지 점 P가 움직인 거리는

:!9``|v(t)|dt  =:!9``|2-'t |dt   

=:!4``(2-'t )dt+:$9``('t-2)dt   

=[2t-;3@;t^;2#;]4!+[;3@;t^;2#;-2t]9$

=;3$;+;3*;=;;Á3ª;;=4

3-2

;dDÒ Ót;=t²-1, ;dDÔ Õt;=2t이므로 점 P가 움직인 거리 s는 s=:)1``¿¹(t²-1)²+(2t)²`dt

s=:)1``¿¹t<sup>4</sup>+2t<sup>2</sup>+1`dt=:)1``¿¹(t²+1)²`dt s=:)1``(t<sup>2</sup>+1)`dt=[;3!;t³+t]1)=;3$;

4-2

본문 | 217~229 ^쪽

y=ln`x에서 x=e^y

따라서 곡선 y=ln`x와 y축 및 두 직선 y=1, y=2로 둘러싸인 도형은 오른쪽 그 림과 같다.

닫힌구간 [1, 2]에서 e^y>0이므로 S=:!2``e^ydy=[e^y]2!=e²-e

y=ln x

O 1

1 2 y

x

04-1

^셀파 y=ln`x를 x에 대한 함수로 변형하고, 그래프를 그려 본다.

y=- 1

x+1에서 x=-;]!;-1

곡선 x=-;]!;-1과 y축의 교점의 y좌표는 -;]!;-1=0에서 y=-1

따라서 곡선 y=- 1x+1과 y축 및 직 선 y=-e로 둘러싸인 도형은 오른쪽 그림과 같다.

닫힌구간 [-e, -1]에서 -;]!;-1É0이므로

S =-:_-E1``{-;]!;-1}dy

=:_-E1``{;]!;+1}dy

=[ln`|y|+y]-_1E=e-2

y=-1233

O

-1 -1

x+11

-e y

x

04-2

^{셀파 y=-}x+1 을 x에 대한 함수로 변형하고, 그래프를 ¹ 그려 본다.

두 곡선 y=sin`x, y=sin`2x의 교점의 x좌표는 sin`2x=sin`x에서 sin`2x=2 sin`x cos`x이므로 2 sin`x cos`x=sin`x, sin`x(2 cos`x-1)=0 즉, sin`x=0 또는 cos`x=;2!;이므로 x=0 또는 x=;3Ò; 또는 x=p (∵ 0ÉxÉp) 따라서 두 곡선 y=sin`x, y=sin`2x 로 둘러싸인 도형은 오른쪽 그림과 같 다.

닫힌구간 [0, ;3Ò;]에서 sin`2x¾sin`x 닫힌구간 [;3Ò;, p]에서 sin`2xÉsin`x이므로

y=sin x

y=sin 2x O

y

p x

-3-p2 p

05-1

^셀파 두 곡선 y=f(x), y=g(x)로 둘러싸인 도형의 넓이 S는 ⇨ S=:Ab``|`f(x)-g(x)|dx

방법 3 k

n 를 x로 나타내는 경우 1 kn 를 x로, k의 계수 1

n 을 dx로 나타낸다.

2 k=1이고 n Ú`¦이면 x=0이고, k=n이고 n Ú`¦이면 x=1이므로 적분 구간은 [0, 1]이다.

3 lim

n Ú`¦

Án

k=1`{1+ 2kn }

2_ 2n

=2:)1``(1+2x)²`dx

=2_;3!;_;2!;`[(1+2x)³]1)=:ª3¤:

곡선 y=;[!;과 x축 및 두 직선 x=1, x=e 로 둘러싸인 도형은 오른쪽 그림과 같다.

닫힌구간 [1, e]에서 ;[!;>0이므로 S =:!e``|;[!;|dx

=:!e``;[!; dx

=[ln`x]e!=1

y=-O 1 x1 y

e x

03-1

^셀파 적분 구간은 [1, e]이다.

곡선 y=ln`(x+1)과 x축 및 직선 x=e-1 로 둘러싸인 도형은 오른쪽 그림과 같다.

닫힌구간 [0, e-1]에서 ln`(x+1)¾0이 므로

S =:)e` -` 1``ln`(x+1) dx

이때 f(x)=ln`(x+1), g '(x)=1로 놓으면 f '(x)= 1x+1, g(x)=x이므로

S =:)e` -` 1``ln`(x+1)dx

=[x`ln`(x+1)]e) -` 1`-:)e` -` 1`` xx+1 dx

=(e-1)-:)e` -` 1``{1- 1x+1 }dx

=(e-1)-[x-ln |x+1|]e) -` 1`

=(e-1)-(e-2)=1

y=ln(x+1)

O y

e-1 x

03-2

^셀파 f(x)=ln(x+1), g '(x)=1로 놓고 부분적분법을 이용한다.

곡선 y='Œx-"Åx³과 x축 및 직선 x=k (k>1)로 둘러싸인 두 도 형의 넓이가 서로 같으므로

:)k``('Œx-"Åx³)dx=0에서

:)k``('Œx-"Åx³)dx =[;3@;x^;2#;-;5@;x^;2%;]k)

=;3@;k 'k-;5@;k² 'k

=k'k {;3@;-;5@;k}

이때 k'k`{;3@;-;5@;k}=0이므로 k=0 또는 k=;3%;

그런데 k>1이므로 k=;3%;

06-1

^{셀파 f(x)='x-"x3 이라 하면} :)k``f(x)dx=0

두 곡선 y=cos`x {0ÉxÉ;2Ò;}, y=a sin`x의 교점의 x좌표를 h라 하면 cos`h=a sin`h yy ㉠ 이때

:)^;2Ò;`cos`x dx=[sin`x])<sup>;2Ò;</sup>=1이므로 :)<sup>h</sup>`(cos`x-a sin x)dx=;2!;에서

:)^h`(cos`x-a sin x)dx =[sin`x+a cos`x])^h

=sin`h+a cos`h-a 이때 sin`h+a cos`h-a=;2!;이므로

2 sin`h+2a cos`h=2a+1 yy`㉡

㉠, ㉡을 연립하여 풀면 sin`h= 2a+1

2(a²+1), cos`h= a(2a+1) 2(a<sup>2</sup>+1) 한편 sin<sup>2</sup>`h+cos²`h=1이므로 [ 2a+12(a²+1) ]

2+[ a(2a+1)2(a²+1) ]

2=1

위 식의 양변에 {2(a²+1)}²을 곱하여 정리하면 4a³-3a²+4a-3=0

(4a-3)(a²+1)=0 ∴ a=;4#;`

| 참고 |

㉠을 ㉡에 대입하면 2 sin`h+2a<sup>2</sup> sin`h=2a+1 2(a²+1)sin`h=2a+1 ∴ sin`h= 2a+1

2(a²+1) 이것을 ㉠에 대입하면 cos`h=a(2a+1)

2(a²+1)

y=cos x

y=a sin x

O 1

y

h p-2 p x a

07-1

^셀파 두 곡선의 교점의 x좌표를 h라 하고 식을 세운다.

S =:)^;3Ò;`(sin`2x-sin`x)dx+:<sub>;3Ò;</sub>È``(sin`x-sin`2x)dx

=[-;2!; cos`2x+cos`x])^;3Ò;+[-cos`x+;2!; cos`2x]È_;3Ò;``

={;4#;-;2!;}+[;2#;-{-;4#;}]=;4!;+;4(;=;2%;

곡선 y=f(x)와 x축 및 직선 x=4로 둘러 싸인 도형의 넓이를 P, 곡선 y=g(x)와 y축 및 직선 y=4로 둘러싸인 도형의 넓이 를 Q라 하면 P=Q이다.

이때 :)2``g(x)dx=R라 하면 :)2``g(x)dx+:@4``f(x)dx

=R+P=R+Q=2_4=8

08-1

^셀파 서로 역함수인 두 함수의 그래프는 직선 y=x에 대하 여 대칭이다.

y=g(x)

y=f(x) y=x

O 2 2 4

4 y

x P Q R

곡선 y=;[@; (x>0)와 직선 y=2x의 교점의 x좌표는

;[@;=2x에서 x²=1 ∴ x=1 (∵ x>0)

곡선 y=;[@; (x>0)와 직선 y=;2!;x의 교점의 x좌표는

;[@;=;2!;x에서 x²=4 ∴ x=2 (∵ x>0)

따라서 곡선 y=;[@; (x>0)와 두 직선

y=2x, y=;2!;x로 둘러싸인 도형은 오

른쪽 그림과 같다.

∴ S =:)1``2x dx+:!2``;[@; dx

=-:)2``;2!;x dx

=[x²]1)+[2 ln`x]2!-[;4!;`x²]2)

=1+2 ln`2-1=2 ln`2

| 참고 |

닫힌구간 [0, 1]에서 2x¾;2!;x, 닫힌구간 [1, 2]에서 ;[@;¾;2!;x이므로 S =:)1```{2x-;2!;x}dx+:!2```{;[@;-;2!;x}dx

=:)1``2x dx+:!2``;[@; dx-:)1``;2!;x dx-:!2``;2!;x dx

=:)1``2x dx+:!2``;[@; dx-:)2``;2!;x dx

05-2

^셀파 곡선과 두 직선의 교점의 x좌표를 각각 구한다.

y=2x

y=-x

O 1

12

y=-2 x 1 2 2

y

x

n limÚ`¦

2

n (e^{1+ 2n}+e^{1+ 4n}+ y +e^{1+ 2nn}) =lim

n Ú`¦

2 n ;

Án k=1`e^{1+ 2kn} f(x)=e^x, a=1, b=3으로 놓으면 Dx=2

n, xk=1+2k n

∴ (주어진 식) =lim

n Ú`¦

Án

k=1`f(xk)Dx=:!3``e^xdx=[e^x]3!=e³-e

01

^셀파 ; ````를 사용하여 주어진 식을 나타낸 다음 정적분으로 변형 한다.

본문 | 230~231 ^쪽 연습 문제

dx

dt='2(cos`t+sin`t), dydt='2(cos`t-sin`t)이므로 t=0에서 t=;2Ò;까지 점 P가 움직인 거리 s는

s =:)^;2Ò;`"Ã2(cos`t+sin`t)<sup>2</sup>+2(cos`t-sin`t)<sup>2</sup>`dt

=:)^;2Ò;`"Ã2(1+2 sin`t cos`t)+2(1-2 sin`t cos`t)`dt

=:)^;2Ò;`"4 dt=:)<sup>;2Ò;</sup>`2 dt=[2t])^;2Ò;=p

11-1

^{셀파 dx}dt , dy

dt 를 구한다.

⑴ dx

dt= 2t, dy

dt=1- 1t²이므로 곡선의 길이 l은 l =:!^e`¾±{ 2t }

2+{1-± 1t²}² dt

=:!^e`¾±1+ 2t<sup>2</sup>+ 1t<sup>4</sup> dt=:!<sup>e</sup>`¾{±1+ 1t²}² dt

=:!^e`{1+ 1t²}dt=[t-;t!;]e!=e-;e!;

⑵ dy

dx=;2!;(e^x-e^-x)이므로 곡선의 길이 l은 l =:)²`¾±1+;4!;(e^x-e^-x)² dx

=:)²`¾± e^2x+2+e^-2x

4 `dx=:)<sup>2</sup>`¾{± e^x+e^-x 2 }² dx

=:)²`;2!;(e<sup>x</sup>+e<sup>-x</sup>)<sup>`</sup>dx=[;2!;(e^x-e^-x)]2)

=;2!;(e²-e^-2)=;2!;{e²- 1 e²}

12-1

^{셀파 ⑴ l=}:Ab``"Ã{ f '(t)}²+{ g '(t)}² dt

⑵ l=:Ab``¾±1+{dy dx }

2 dx

⑴`:)2``v(t) dt =:)2``(t-1)e^t dt

=[(t-1)e^t]2)-:)2``e^t dt

=e²+1-[e^t]2)

=e²+1-(e²-1)=2

⑵ 0ÉtÉ1일 때 v(t)É0, 1ÉtÉ2일 때 v(t)¾0이므로 :)2``|v(t)|dt  =:)2``|(t-1)e^t|dt  

=:)1``(1-t)e<sup>t</sup> dt+:!2``(t-1)e^t dt   

=[(1-t)e^t]1)+:)1``e<sup>t</sup> dt+[(t-1)e<sup>t</sup>]2!-:!2``e^t dt 

=-1+[e^t]1)+e²-[e^t ]2!

=-1+e-1+e²-(e²-e)=2e-2

10-1

^셀파 원점에서 출발하였으므로 시각 t에서 점 P의 위치는 0+:)t``v(t)dt

오른쪽 그림과 같이 밑면의 중심을 원 점, 밑면의 지름을 x축으로 정할 때, 닫 힌구간 [-3, 3]에서 x축 위의 점 P(x, 0)을 지나 x축에 수직인 평면으 로 주어진 입체도형을 자른 단면을 삼 각형 PQR라 하자.

삼각형 OPQ에서

PQÓ=¿¹OQÓ²-OPÓ²="Ã9-x²이므로 RQÓ=PQÓ tan`45ù="Ã9-x²

△PQR의 넓이를 S(x)라 하면

S(x)=;2!;_PQÓ_RQÓ=;2!;"Ã9-x²_"Ã9-x²=;2!;(9-x²)

∴ V =:_3#` S(x)dx=:_3#` ;2!;(9-x²)dx

=2:)3``;2!;(9-x<sup>2</sup>)dx=:)3``(9-x²)dx

=[9x-;3!;x³]3)=18

09-1

^셀파 밑면의 중심을 원점, 밑면의 지름을 x축으로 놓고 생 각한다.

O

45ù Q

P

R

-3

3

y

x

곡선 y=ln`(x+k)와 x축의 교점의 x좌표는 ln(x+k)=0에서 x+k=1 ∴ x=1-k 따라서 곡선 y=ln(x+k)와 x축 및 y축으 로 둘러싸인 도형의 넓이 S는 오른쪽 그림 의 색칠한 부분이므로

S=:!0_K`ln(x+k)dx

이때 f(x)=ln(x+k), g'(x)=1로 놓으면 f '(x)= 1

x+k , g(x)=x이므로 S =[x`ln(x+k)]0!_K-:!0_K` x

x+k dx

=0-:!0_K`{1- k x+k } dx

=-[x-k`ln |x+k|]0!_K

=-{-k`ln`k-(1-k)}

=k`ln`k+1-k

이때 주어진 조건에서 도형의 넓이가 1이므로 k ln`k+1-k=1, k(ln`k-1)=0

그런데 k>1이므로 ln`k=1 ∴ k=e

y=ln(x+k)

1-k O

ln k y

x

02

^셀파 곡선 y=ln(x+k)와 x축의 교점의 x좌표를 구한다.

두 곡선 y=ln`x, y=ln`;[!;=-ln`x와 직선 x=e로 둘러싸인 도형은 오른쪽 그림과 같다.

닫힌구간 [1, e]에서 ln`x¾ln`;[!;이므로 S =:!e``{ln`x-ln`;[!;}dx

=:!e``2 ln`x dx

=2{[x ln`x]e!-:!e``dx}

=2{e-[x]e!}=2

y=ln x

y=ln-O 1

x1 y

x e

04

^셀파 두 곡선 y=ln`x, y=ln`;[!;은 x축에 대하여 대칭이다.

⑴ y=3'x에서 x=y² 9

닫힌구간 [1, 3]에서 æ y9 >0² 이므로 S =:!3``y²

9 dy=[ y³ 27 ]3!

=1-;2Á7;=;2@7^;

⑵ y=ln`x+1에서 x=e^y-1

닫힌구간 [0, 2]에서 e^y-1>æ0이므로 S =:)2``e^y-1 dy

=[e^y-1]2)=e-;e!;

y=31x

O 1 3 y

x

y=ln x+1

O 1-e 2 y

x

03

^{셀파 곡선 x=}g(y)와 y축으로 둘러싸인 도형의 넓이 S는

⇨ S=:Cd``| g(y)|dy

05

^셀파 A와 B의 넓이의 합은 A의 넓이의 2배이다.

:!e`<sup>2``</sup> ln`x

x dx에서 ln`x=t로 놓으면 ;[!;= dtdx x=1일 때 t=0, x=e<sup>2</sup>일 때 t=2이므로 :!e`^2```ln`x

x dx=:)2``t`dt=[;2!;t<sup>2</sup>]2)=2 :!k`` ln`xx dx=;2!;:!e`^2```ln`x

x dx=1에서

:!k`` ln`xx dx =:)<sup>ln`k`</sup>t dt=[;2!;<sup>`</sup>t²])^ln`k`=;2!;(ln`k)<sup>2</sup> 즉, ;2!;(ln`k)²=1이므로 (ln`k)²=2

∴ ln`k='2 또는 ln`k=-'2

∴ k=e^'2 또는 k=e^-'2 그런데 1<k<e²이므로 k=e^'2

06

^셀파 접선의 방정식을 구한다.

f(x)=ln`x로 놓으면 f '(x)=;[!;에서 f '(e)=;e!;이므로 점 (e, 1)에서의 접선의 방정식은

y-1=;e!;(x-e) ∴ y=;e!;x 따라서 구하는 도형의 넓이는 오른쪽 그림의 색칠한 부분의 넓이와 같으므로 :)e``;e!; x dx-:!e``ln`x dx

=[ 1

2e x²]e)-[x ln`x-x]e!=;2E;-1 y=ln x y=-x

O 1 P

1e

1 e

y

x

11

^셀파 x=f(t), y=g(t)일 때, t=a에서 t=b까지 움직인 거리는 :Ab``¾{±dx

dt ±}

2+{dy dt }

2dt

x=t-t³

3, y=t²에서 dx

dt =1-t², dy dt =2t 따라서 점 P가 t=0에서 t=1까지 움직인 거리 s는 s =:)1``"Ã(1-t<sup>2</sup>)<sup>2</sup>+(2t)<sup>2</sup> dt=:)1``"Ã(t²+1)² dt

=:)1``(t²+1) dt=[t³

3+t]1)=;3$;\

12

^셀파 곡선 y=f(x)의 aÉxÉb에서의 길이는 :Ab``"\Ã1+{f '(x)}² dx

0ÉxÉa에서 곡선 y=f(x)의 길이는 :)a``¿¹1+(-"Ãx²+2x)²`dx

=:)a``"Ã(x+1)<sup>2</sup>dx=:)a``(x+1)dx

=[;2!;x²+x]a)=;2!;a²+a

이때 곡선의 길이가 12이므로 ;2!;a²+a=12 a²+2a-24=0, (a-4)(a+6)=0

∴ a=4 (∵ a>0)

10

^셀파 점 P의 운동 방향이 바뀌는 지점을 찾는다.

v(t)=0인 t에서 점 P의 운동 방향이 바뀌므로 2 cos`{t-;3Ò;}+1=0, cos`{t-;3Ò;}=-;2!;

이때 점 P는 t=0에서 t=p까지 움직이므로 -;3Ò;Ét-;3Ò;É;3@;p

t-;3Ò;=;3@;p ∴ t=p t=0에서 t=p까지 점 P의 속도

v(t)=2 cos`{t-;3Ò;}+1의 그래프가 오른 쪽 그림과 같으므로 0ÉtÉp에서 v(t)¾0 따라서 t=0에서 t=p까지 점 P가 움직인 거리는

:)È``|v(t)| dt =:)È``[2 cos`{t-;3Ò;}+1]dt

=[2 sin`{t-;3Ò;}+t]È)

=('3+p)-(-'3)=2'3+p

-p3 p 2

3 v(t)

t

채점 기준 배점

단면인 반원의 지름의 길이를 구한다. ^30%

단면의 넓이를 구한다. 40%

정적분을 이용하여 k의 값을 구한다. ^30%

 오른쪽 그림과 같이 지름 AB가 x축과 일치하도록 좌표평면 위에 반원을 놓으 면 PHÓ="Ã4-x²

 밑면의 지름 AB에 수직인 평면으로 입체 도형을 자른 단면의 넓이를 S(x)라 하면 S(x)=;2Ò;{;2!;"Ã4-x²}²=;8Ò;(4-x²)

 따라서 구하는 입체도형의 부피 V는 V =:_2@``S(x)dx=:_2@``;8Ò;(4-x²)dx

=2:)2``;8Ò;(4-x²)dx=;4Ò;[4x-;3!;x³]2)=;3$;p ;3$;p=;3K;p ∴ k=4

09

^셀파 단면의 넓이를 S(x)로 나타낸다.

두 곡선 y=f(x), y=g(x)는 직선 y=x에 대하여 대칭이므로 구하는 넓 이를 S라 하면 S는 곡선 y=f(x)와 직 선 y=x로 둘러싸인 도형의 넓이의 2배 이다.

이때 직선 y=x, x=2, x=8 및 x축으로 둘러싸인 사다리꼴의 넓이는

;2!;_(2+8)_6=30

또 :@8``f(x)dx=25이므로 색칠한 부분의 넓이는 30-:@8``f(x)dx=30-25=5

따라서 구하는 넓이는 색칠한 부분의 넓이의 2배이므로 5_2=10

y=f(x) y=x y=g(x)

O 2 2 8

8 y

x

07

^셀파 함수의 그래프와 그 역함수의 그래프는 직선 y=x에 대 하여 대칭이다.

08

^셀파 단면의 넓이가 S(x)인 입체도형의 부피 V는

⇨ V=:Ab``S(x)dx

물의 높이가 x`cm일 때, 수면의 넓이가 (x+1)<sup>2</sup>`cm²인 그릇이므 로 물의 높이가 6`cm일 때, 이 그릇에 담긴 물의 부피 V는 V =:)6``(x+1)² dx=[;3!;(x+1)³]6)=114(cm³)

A O B

P

-2 H 2

2 2 y

x

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