⑴ :`(ex+3x)dx =:`exdx+:`3xdx
=ex+ 3x ln`3+C
⑵ :`23xdx =:`(23)xdx=:`8xdx
= 8ln`8x +C= 23x 3`ln`2+C
2-2
⑴ 1+3x=t로 놓으면 dt
dx=3이므로 :`3(1+3x)4`dx =:` t4 `dt
=;5!;t5+C
=;5!;(1+3x)5+C
⑵ x2=t로 놓으면 dt
dx=2x이므로 :`2x`cos`x2 dx =:`cos`t`dt
= sin`t +C
=sin`x2+C
3-1
⑴ x-3=t로 놓으면 dt
dx=1이므로 :`'Äx-3`dx =:`t;2!; dt
=;3@;t;2#;+C=;3@;t't+C
=;3@;(x-3)'Äx-3`+C
⑵ 4x+1=t로 놓으면 dt
dx=4이므로
:`4`cos (4x+1)dx =:`cos`t`dt=sin`t+C
=sin`(4x+1)+C
3-2
⑴ :`ln`x`dx=:`ln`x_1`dx에서
f(x)=ln`x, g '(x)= 1 로 놓으면 f '(x)=;[!;, g(x)=x
∴ :`ln`x`dx =(ln`x)_x-:`;'[!;_ x `dx
=x`ln`x-x+C
⑵ f(x)=x, g '(x)=sin`x로 놓으면 f '(x) = 1 , g(x)=-cos`x
∴ :`x`sin`x`dx =x(-cos`x)-:(-cos`x)dx
=-x`cos`x+ sin`x +C
4-1
⑴ :`x cos`x`dx에서
f(x)=x, g '(x)=cos`x로 놓으면 f '(x)=1, g(x)=sin`x
∴ :`x cos`x`dx =x`sin`x-:`1_sin`x`dx
=x`sin`x-(-cos`x)+C
=x`sin`x+cos`x+C
⑵ :`x2`ln`x`dx에서
f(x)=ln`x, g '(x)=x2으로 놓으면 f '(x)=;[!;, g(x)=;3!;x3
∴ :`x2 ln`x`dx =(ln`x)_;3!;x3-:``;[!;_;3!;x3 dx
= x3 ln`x
3 -;9!;x3+C
= x3(3 ln`x-1)
9 +C
4-2
본문 | 170~187 쪽 확인 문제
⑴ :`{x-3+ 4x5}dx =:`(x-3+4x-5)dx
=;2!;x2-3x-x-4+C
=;2!;x2-3x- 1 x4+C
⑵ :` x-1x2 dx =:`{;[!;-x-2}dx
=ln|x|+x-1+C
=ln|x|+;[!;+C
⑶ :`{3"Åx2- 3
x3}dx =:`
(
x;3@;-3x-3)
dx=;5#;x;3%;+;2#;x-2+C
=;5#;x`3"Åx2+ 3 2x2+C
01-1
셀파 :`xn`dx= 1n+1 xn+1+C (단, n+-1인 실수) :`x-1`dx=ln|x|+C⑴ :`(ex+1)2dx =:`(e2x+2ex+1)dx
=;2!;e2x+2ex+x+C
⑵ :` xex+3ex-2
x dx =:`{ex+3e-;[@;}dx
=ex+3ex-2`ln|x|+C
⑶ :`(e1-x-23-2x)dx =:`e1-x`dx-:`23-2x`dx
=e:`e-xdx-8:`{;4!;}x`dx
=-e_e-x-8_{;4!;}x
ln`;4!;+C
=-e1-x-8_ 2-2`ln`2-2x +C
=-e1-x+ 22-2x ln`2 +C
⑷ :` 4x-1
2x+1dx =:` (2x+1)(2x-1)
2x+1 dx
=:`(2x-1)dx= 2x
ln`2-x+C
02-1
셀파 :`eax`dx=;a!;eax+C (단, a+0)⑴ (ex)'=ex이므로 :`ex`dx= ex +C
⑵ { aln`a }x '=ax (a>0, a+1)이므로 :`ax`dx= ax
ln`a +C
⑶ (cos`x)'=-sin`x이므로 :`sin`x`dx= -cos`x +C 확인 체크 01
셀파 특강
⑷ :` (3'x-1)3 x dx
=:` x-3`3"Åx2+3`3"x-1
x dx
=:`{1-3x-;3!;+3x-;3@;-;[!;}dx =x-3_;2#;x;3@;+3_3x;3!;-ln|x|+C =x-;2(;`3"x2+9`3'x-ln|x|+C
본문 | 174~175 쪽 집중 연습
⑴ :`{;[@;+ 3x2}dx =:`{;[@;+3x-2}dx
=2`ln|x|-3x-1+C
=2`ln|x|-;[#;+C
⑵ :`{x'x+ 1'x}dx =:`(x;2#;+x-;2!;)dx
=;5@;x;2%;+2x;2!;+C
=;5@;x2'x+2'x+C
01
⑴ :`e2-3xdx =:`e2_e-3xdx
=e2_{-;3!;e-3x}+C
=-;3!;e2-3x+C
⑵ :` 3-2xex x-1dx =:`{;[#;-2ex-1}dx
=:`{;[#;-;e@;ex}dx
=3`ln|x|-;e@;ex+C
=3`ln|x|-2ex-1+C
02
⑴ cot`x= cos`x sin`x이므로
:`(cot`x+2)sin`x`dx =:`{ cos`xsin`x+2}sin`x`dx
=:`(cos`x+2`sin`x)dx
=sin`x-2`cos`x+C
⑵`:` sin3`x-1
sin2`x dx =:`{sin`x- 1sin2`x }dx
=:`(sin`x-csc2`x)dx
=-cos`x+cot`x+C
⑶ :` sin2`x
1+cos`xdx =:` 1-cos2`x
1+cos`xdx
=:` (1+cos`x)(1-cos`x)1+cos`x dx
=:`(1-cos`x)dx
=x-sin`x+C
⑷ :` 1
1+cos`xdx =:` 1-cos`x
(1+cos`x)(1-cos`x)dx
=:` 1-cos`x1-cos2`xdx
=:` 1-cos`xsin2`x dx
=:`{ 1sin2`x- 1sin`x_ cos`xsin`x }dx
=:`(csc2`x-csc`x`cot`x)dx
=-cot`x+csc`x+C
03-1
셀파 삼각함수의 부정적분 공식을 이용한다. ⑶ :` x3+4x-5x2 dx =:`{x+;[$;-5x-2}dx
=;2!;x2+4`ln|x|+5x-1+C
=;2!;x2+4`ln|x|+;[%;+C
⑷ :` x+'xx'x dx =:`{ 1'x+;[!;}dx
=:`{x-;2!;+;[!;}dx
=2x;2!;+ln|x|+C
=2'x+ln|x|+C
⑸ :` ('x-2)x 2dx =:` x-4'x+4x dx
=:`{1-4x-;2!;+;[$;}dx
=x-8x;2!;+4`ln|x|+C
=x-8'x+4`ln|x|+C
⑹ :` x2-x
x-'xdx =:` (x+'x)(x-'x)x-'x dx
=:`(x+'x)dx=:`(x+x;2!;)dx
=;2!;x2+;3@;x;2#;+C
=;2!;x2+;3@;x'x+C
⑴ :`(2+tan`x)cos`x`dx =:`(2`cos`x+tan`x`cos`x)dx
=:`(2`cos`x+sin`x)dx
=2`sin`x-cos`x+C
⑵ tan`x= sin`xcos`x, cot`x= cos`xsin`x이므로 :`(2`cos`x+cot`x)tan`x`dx
=:`{2`cos`x+ cos`xsin`x }sin`x cos`xdx =:`(2`sin`x+1)dx
=-2`cos`x+x+C
⑶ :` cos`x1-cos2`xdx =:` cos`xsin2`xdx
=:` 1sin`x_ cos`x sin`xdx
=:`csc`x`cot`x`dx
=-csc`x+C
03
⑷ :`tan2`x`dx =:`(sec2`x-1)dx
=tan`x-x+C
⑸ :` x-cos2`x
x`cos2`x dx =:`{ 1cos2`x-;[!;}dx
=:`{sec2`x-;[!;}dx
=tan`x-ln|x|+C
⑹ :` 1-cos3`x
1-sin2`xdx =:` 1-cos3`x
cos2`x dx
=:`{ 1cos2`x-cos`x}dx
=:`(sec2`x-cos`x)dx
=tan`x-sin`x+C
⑴ 3x2-1=t로 놓으면 dtdx=6x이므로 :`x(3x2-1)4`dx =;6!;:`6x(3x2-1)4`dx
=;6!;:`t4`dt
=;6!;_;5!;t5+C
=;3Á0;t5+C
=;3Á0;(3x2-1)5+C
⑵ x2-2x-2=t로 놓으면 dt
dx=2x-2이므로 :`(x-1)(x2-2x-2)3dx
=;2!;:`(2x-2)(x2-2x-2)3dx =;2!;:`t3dt=;2!;_;4!;t4+C =;8!;t4+C
=;8!;(x2-2x-2)4+C
04-1
셀파 피적분함수를 f( g(x))g '(x)꼴이 되도록 변형한다.⑶ :` e3x-1
e2x+ex+1dx =:` (ex-1)(e2x+ex+1)
e2x+ex+1 dx
=:`(ex-1)dx
=ex-x+C
⑷ :` e3x-8
ex-2 dx =:` (ex-2)(e2x+2ex+4)
ex-2 dx
=:`(e2x+2ex+4)dx
=;2!;e2x+2ex+4x+C
⑸ :` 164xxdx =:` (4x)2
4x dx=:`4xdx
= 4ln`4x +C= 2ln`22x-1+C
⑹ :`(1-2x)2`dx =:`(1-2_2x+4x)dx
=x-2_ 2ln`2x + 4ln`4x +C
=x- 2x+1 ln`2+ 22x
2`ln`2+C
=x- 2ln`2x+1+ 2ln`22x-1+C
⑴ x3+1=t로 놓으면 dt
dx=3x2이므로 :`x2"Ãx3+1`dx =;3!;:`3x2"Ãx3+1`dx
=;3!;:`'t`dt=;3!;:`t ;2!;`dt
=;9@;`t ;2#;+C=;9@;t't +C
=;9@;(x3+1)"Ãx3+1+C
⑵ x2+1=t로 놓으면 dtdx=2x이므로
:` 4x"Ãx2+1dx =2:` 2x"Ãx2+1dx=2:` 1"t dt
=2:`t-;2!;dt=4t;2!;+C
=4't +C
=4"Ãx2+1+C
05-1
셀파 피적분함수를 f(g(x))g '(x) 꼴이 되도록 변형한다.⑶ 2x+3=t, 즉 x= t-3
2 으로 놓으면 dx
dt=;2!;이므로 :`(2x+3)6`dx =:`t6_;2!;dt=;2!;_;7!;t7+C
=;1Á4;t7+C
=;1Á4;(2x+3)7+C
⑷ x2+3x+1=t로 놓으면 dt
dx=2x+3이므로 :` 4x+6
(x2+3x+1)3 dx =:` 2(2x+3)
(x2+3x+1)3 dx
=2:` 2x+3
(x2+3x+1)3 dx
=2:` 1 t3 dt
=2:`t-3`dt
=2_ 1
-2 t-2+C
=-1 t2+C
=- 1
(x2+3x+1)2+C ⑴ 2x+3=t, 즉 x=t-3
2 으로 놓으면 dx
dt =;2!;이므로 :`e2x+3`dx =:`et_;2!;`dt=;2!;:`et`dt
=;2!;et+C=;2!;e2x+3+C
| 다른 풀이 |
:`eax+b`dx=;a!;eax+b+C이므로 :`e2x+3`dx=;2!;e2x+3+C
⑵ x3+1=t로 놓으면 dt
dx =3x2이므로 :`12x2exÜ`+1`dx =4:`3x2exÜ`+1`dx
=4:`et`dt=4et+C
=4exÜ`+1+C
⑶ ex-1=t로 놓으면 dt
dx =ex이므로 :`ex'Äex-1`dx =:`'t`dt=:`t ;2!;`dt
=;3@; t ;2#;+C=;3@;t't`+C
=;3@;(ex-1)'Äex-1+C
06-1
셀파 치환할 함수를 찾는다.⑶ 6x+5=t, 즉 x=t-5
6 로 놓으면 dx
dt =;6!;이므로 :` 13
'Ä6x+5dx =:` 13
't _;6!;`dt=;6!;:`t-;3!; dt
=;6!;_;2#;t;3@;+C=;4!;3"Åt2+C
=;4!;`3"Ã(6x+5)2+C
⑷ x4+6=t로 놓으면 dt
dx =4x3이므로 :` x3
3"Ãx4+6 dx=;4!;:` 4x3
3"Ãx4+6 dx =;4!;:` 1
3"t dt=;4!;:`t-;3!;`dt =;4!;_;2#;t;3@;+C=;8#;3"Åt2+C =;8#;`3"Ã(x4+6)2+C
⑴ 1-x=t, 즉 x=1-t로 놓으면 dx
dt =-1이므로 :`cos(1-x)dx =:`cos`t_(-1)dt
=-:`cos`t`dt=-sin`t+C
=-sin(1-x)+C
⑵ tan`x=t로 놓으면 dt
dx =sec2`x이므로 :`tan`x`sec2`x`dx =:`tdt=;2!; t2+C
=;2!;tan2`x+C
| 다른 풀이 | tan`x=sin`x
cos`x , sec2`x= 1
cos2`x 이므로 :`tan`x`sec2`x`dx=:` sin`x
cos3`x dx 이때 cos`x=t로 놓으면 dt
dx=-sin`x이므로 (주어진 식) =-:` 1
t3dt=-:`t-3dt
=;2!;t-2+C= 1 2t2+C
= 1
2`cos2`x+C=;2!;`sec2`x+C
| 참고 |
함수의 부정적분은 다양한 방법으로 구할 수 있는 경우가 있다.
이때 그 방법에 따라 부정적분이 다르게 표현되기도 한다.
⑶ cos`x=t로 놓으면 dt
dx =-sin`x이므로 :`cos4`x`sin`x`dx =-:`t4`dt=-;5!;`t5+C
=-;5!;`cos5`x+C
07-1
셀파 치환할 함수를 찾는다.⑷ ln`(1+x2)=t로 놓으면 dt dx = 2x
1+x2이므로 :` x
1+x2ln(1+x2)dx =;2!;:` 2x
1+x2`ln`(1+x2)dx
=;2!;:`t`dt=;4!;t2+C
=;4!;{ln`(1+x2)}2+C
⑷ :`sin3`x`dx =:`sin`x`sin2`x`dx
=:`sin`x(1-cos2`x)dx 이때 cos`x=t로 놓으면 dt
dx =-sin`x이므로 (주어진 식) =-:`(1-t2)dt=:`(t2-1)dt
=;3!;t3-t+C
=;3!;`cos3`x-cos`x+C
⑴ (5-2x)'=-2이므로 :` 1
5-2x dx =-;2!;:` -2 5-2x dx
=-;2!;:` (5-2x)'
5-2x dx
=-;2!;`ln|5-2x|+C
⑵ (x2-2x+3)'=2x-2이므로 :` x-1
x2-2x+3dx =;2!;:` 2x-2
x2-2x+3dx
=;2!;:` (x2-2x+3)' x2-2x+3 dx
=;2!;`ln(x2-2x+3)+C
| 참고 |
x2-2x+3=(x-1)2+2>0이므로 ln|x2-2x+3|=ln(x2-2x+3)
⑶ (ex+e-x)'=ex-e-x이므로 :` e-x-ex
ex+e-x dx =-:` ex-e-x ex+e-x dx
=-:` (ex+e-x)'
ex+e-x dx
=-ln(ex+e-x)+C
⑷ (x+cos`x)' =1-sin`x이므로 :` 1-sin`x
x+cos`x dx =:` (x+cos`x)'
x+cos`x dx
=ln|x+cos`x|+C
08-1
셀파 피적분함수를 f '(x)f(x) 꼴이 되도록 변형한다.⑴ x3-1
x-1= (x-1)(x2+x+1)
x-1 =x2+x+1 ∴ :` x3-1
x-1 dx =:`(x2+x+1)dx
=;3!;x3+;2!;x2+x+C
⑵ 2x2+x+1
x+1 = (x+1)(2x-1)+2
x+1 =2x-1+ 2
x+1 ∴ :` 2x2+x+1
x+1 dx =:`{2x-1+ 2x+1 }dx
=x2-x+2`ln|x+1|+C
⑶ 상수 a, b에 대하여
x+1
x2-5x+6= x+1
(x-2)(x-3)= a x-2+ b
x-3 로 놓으면
x+1
(x-2)(x-3)= (a+b)x-(3a+2b)(x-2)(x-3) 에서 a+b=1, 3a+2b=-1
∴ a=-3, b=4 따라서 x+1
x2-5x+6= -3 x-2+ 4
x-3이므로 :` x+1x2-5x+6 dx =:`{- 3x-2+ 4
x-3 }dx
=-3`ln|x-2|+4`ln|x-3|+C
09-1
셀파 분모와 분자의 차수를 비교한다.⑷ 상수 a, b, c에 대하여 3x2+2
x(x2+1)= a
x+ bx+c
x2+1로 놓으면 3x2+2
x(x2+1)= (a+b)x2+cx+a x(x2+1) 에서 a+b=3, c=0, a=2
∴ a=2, b=1, c=0 따라서 3x2+2
x(x2+1)=;[@;+ xx2+1이므로 :` 3x2+2
x(x2+1)dx =:`{;[@;+ xx2+1 }dx
=2:`;[!;dx+;2!;:` 2xx2+1dx
=2:`;[!;dx+;2!;:` (x2+1)'
x2+1 dx
=2`ln|x|+;2!;`ln(x2+1)+C 치환적분법의 적용
➊ f(ax+b) 꼴인 경우 : `f(x)dx=F(x)+C이면 : `f(ax+b)dx=;a!;F(ax+b)+C
(단, a, b는 상수, a+0)
➋ f(g(x))g '(x) 꼴인 경우 g(x)=t로 놓으면
: `f(g(x))g'(x)dx=: `f(t)dt
➌ f '(x)
f(x) 꼴인 경우 :` f '(x)
f(x) dx=ln|f(x)|+C
LEC TURE
본문 | 184 쪽 집중 연습
⑴ (x2-x+1)'=2x-1이므로 :` 2x-1x2-x+1dx =:` (x2-x+1)'
x2-x+1 dx
=ln(x2-x+1)+C
⑵ (x-1)(x2+x+1)=x3-1이고, (x3-1)'=3x2이므로
:` 3x2
(x-1)(x2+x+1)dx =:` 3xx3-12 dx
=:` (x3-1)'
x3-1 dx
=ln|x3-1|+C
⑶ (1+2`sin`x)'=2`cos`x이므로
:` cos`x1+2`sin`xdx =;2!;:` 2`cos`x1+2`sin`xdx
=;2!;:` (1+2`sin`x)'1+2`sin`x dx
=;2!;`ln|1+2`sin`x|+C
⑷ (2x-x3)'=2x`ln`2-3x2이므로 :` 2x`ln`2-3x2
2x-x3 dx =:` (2x-x3)'
2x-x3 dx
=ln|2x-x3|+C
01
⑴ f(x)=2x-1, g '(x)=sin`x로 놓으면 f '(x)=2, g(x)=-cos`x
∴ :`(2x-1)sin`x`dx
=(2x-1)(-cos`x)-:`2_(-cos`x)dx
=-(2x-1)cos`x+2`sin`x+C
⑵ f(x)=x, g '(x)=e2x으로 놓으면 f '(x)=1, g(x)=;2!;e2x
∴ :`xe2x`dx =x_;2!;e2x-:`1_;2!;e2x`dx
=;2!;xe2x-;4!;e2x+C
⑶ f(x)=x+1, g '(x)=sec2`x로 놓으면 f '(x)=1, g(x)=tan`x
∴ :`(x+1)`sec2`x`dx
=(x+1)tan`x-:`1_tan`x`dx
=(x+1)tan`x-:`sin`x cos`x dx
=(x+1)tan`x+:`(cos`x)'
cos`x dx
=(x+1)tan`x+ln|cos`x|+C
⑷ f(x)=ln 'x=;2!;`ln`x, g '(x)=1로 놓으면 f '(x)=;2Á[;, g(x)=x
∴ :`ln 'x`dx =x`ln`'x-:`;2Á[;_x`dx
=x`ln`'x-;2!;:`dx
=x`ln`'x-;2!;x+C
| 다른 풀이 |
:`ln`'x`dx =;2!;:`ln`x`dx
=;2!;{x`ln`x-:`;[!;_x`dx}
=;2!;(x`ln`x-x)+C
=x`ln`'§x-;2!;x+C
10-1
셀파 : `f(x)g '(x)dx=f(x)g(x)-: `f '(x)g(x)dx⑴ :` 2x2+3x-2
x+2 dx =:` (x+2)(2x-1)x+2 dx
=:`(2x-1)dx
=x2-x+C
⑵ :` 3x2-2x-1
3x-2 dx =:` x(3x-2)-13x-2 dx
=:`{x- 13x-2 }dx
=:`x`dx-;3!;:` (3x-2)'3x-2 dx
=;2!;x2-;3!;`ln|3x-2|+C
⑶ 상수 a, b에 대하여
2x
x2+3x+2= 2x
(x+1)(x+2)= a
x+1+ b x+2 로 놓으면
2x
(x+1)(x+2)= (a+b)x+2a+b (x+1)(x+2) 에서 a+b=2, 2a+b=0 ∴ a=-2, b=4 따라서 2x
x2+3x+2= -2 x+1+ 4
x+2이므로 :` 2x
x2+3x+2dx =:`{ -2x+1+ 4
x+2 }dx
=-2`ln|x+1|+4`ln|x+2|+C
⑷ 상수 a, b, c에 대하여
16
(x+1)(x-3)2= a
x+1+ b
x-3+ c (x-3)2 로 놓으면
16
(x+1)(x-3)2
= (a+b)x2-(6a+2b-c)x+(9a-3b+c) (x+1)(x-3)2
에서 a+b=0, 6a+2b-c=0, 9a-3b+c=16 ∴ a=1, b=-1, c=4
16
(x+1)(x-3)2= 1x+1- 1x-3+ 4
(x-3)2이므로 :` 16
(x+1)(x-3)2dx =:`[ 1x+1- 1
x-3+ 4 (x-3)2]dx
=:` 1x+1dx-:` 1x-3dx+:`4(x-3)-2`dx
=ln|x+1|-ln|x-3|- 4x-3+C
02
f '(x)= x2-x 'x+1에서 f(x) =:` x2-x
'x+1dx=:` x('x+1)('x-1)'x+1 dx
=:`x('x-1)dx=:`(x;2#;-x)dx
=;5@;x;2%;-;2!;x2+C=;5@;x2'x-;2!;x2+C 이때 `f(1)=;1Á0;이므로
f(1)=;5@;-;2!;+C=;1Á0; ∴ C=;5!;
따라서 f(x)=;5@;x2`'x-;2!;x2+;5!;이므로
f(4)=;5@;_42_'4-;2!;_42+;5!;=;;§¤5¢;;-8+;5!;=5
01
셀파 'x+1x2-x를 간단히 한 다음 적분한다.본문 | 188~189 쪽 연습 문제
⑴ f(x)=x2, g '(x)=cos`x로 놓으면 f '(x)=2x, g(x)=sin`x이므로
:`x2`cos`x`dx=x2`sin`x-:`2x`sin`x`dx` yy ㉠ 이때 :`2x`sin`x`dx에서 u(x)=2x, v '(x)=sin`x로 놓으면 u '(x)=2, v(x)=-cos`x이므로
:`2x`sin`x`dx =-2x`cos`x+:`2`cos`x`dx
=-2x`cos`x+2`sin`x+C1 yy ㉡ ㉡을 ㉠에 대입하면
:`x2`cos`x`dx=x2`sinx-(-2x`cos`x+2`sin`x+C1) ∴ :`x2`cos`x`dx=x2`sin`x+2x`cos`x-2`sin`x+C
⑵ f(x)=(ln`x)2, g '(x)=1로 놓으면 f '(x)=2(ln`x)_;[!;, g(x)=x이므로 :`(ln`x)2`dx =x(ln`x)2-:` 2`ln`x
x _x`dx
=x(ln`x)2-2:`ln`x`dx yy ㉠ 이때 :`ln`x`dx에서 u(x)=ln`x, v '(x)=1로 놓으면 u '(x)=;[!;, v(x)=x이므로
:`ln`x`dx =ln`x_x-:`;[!;_x`dx=x`ln`x-x+C1 yy ㉡ ㉡을 ㉠에 대입하면
:(ln`x)2dx=x(ln`x)2-2(x`ln`x-x+C1) ∴ :`(ln x)2 dx=x(ln`x)2-2x`ln`x+2x+C
⑶ f(x)=sin`x, g'(x)=ex으로 놓으면 f '(x)=cos`x, g(x)=ex이므로
:`ex`sin`x`dx=ex`sin`x-:`ex`cos`x`dx yy ㉠ 이때 :`ex`cos`x`dx에서 u(x)=cos`x, v'(x)=ex으로 놓으면 u'(x)=-sin`x, v(x)=ex
∴ :`ex`cos`x`dx=ex`cos`x+:`ex`sin`x`dx yy ㉡ ㉡을 ㉠에 대입하면
:`ex`sin`x`dx=ex`sin`x-{ex`cos`x+:`ex`sin`x`dx} 2:`ex`sin`x`dx=ex`sin`x-ex`cos`x
∴ :`ex`sin`x`dx=;2!; ex(sin`x-cos`x)+C
11-1
셀파 부분적분법을 두 번 적용한다. ⑷ f(x)=cos`2x, g '(x)=e-x으로 놓으면 f '(x)=-2`sin`2x, g(x)=-e-x이므로:`e-x`cos`2x`dx=-e-x`cos`2x-2:`e-x`sin`2x`dx
yy ㉠
이때 :`e-x`sin`2x`dx에서
u(x)=sin`2x, v '(x)=e-x으로 놓으면 u '(x)=2`cos`2x, v(x)=-e-x이므로
:`e-x`sin`2x`dx=-e-x`sin`2x+2:`e-x`cos`2x`dx
yy ㉡
㉡을 ㉠에 대입하면 :`e-x`cos`2x`dx
=-e-x`cos`2x-2{-e-x`sin`2x+2:`e-x`cos`2x`dx} =-e-x`cos`2x+2e-x`sin`2x-4:`e-x`cos`2x`dx 5:`e-x`cos`2x`dx=2e-x`sin`2x-e-x`cos`2x ∴ :`e-x`cos`2x`dx=;5!;e-x(2`sin`2x-cos`2x)+C
02
셀파 주어진 등식의 양변을 x에 대하여 미분한다.F(x)=x f(x)-ln`x+x2의 양변을 x에 대하여 미분하면 F '(x)=f(x)+xf '(x)-;[!;+2x
F '(x)=f(x)이므로
f(x)=f(x)+xf '(x)-;[!;+2x
x f '(x)=;[!;-2x, 즉 f '(x)= 1x2-2이므로 f(x) =:`{ 1x2-2}dx=:`(x-2-2)dx
=-x-1-2x+C=-;[!;-2x+C 이때 f(1)=0이므로
f(1)=-1-2+C=0 ∴ C=3
∴ f(x)=-;[!;-2x+3
03
셀파 limx Ú`0 f(x)x =3a+2`(상수)이고, x Ú 0일 때 (분모) Ú 0이므로 (분자) Ú 0이다.f '(x)=aex에서 f(x)=:`aex`dx=aex+C 이때 lim
x Ú`0
f(x)
x =3a+2에서 lim
x Ú`0 f(x)=0이므로 limx Ú`0(aex+C)=0, a+C=0 ∴ C=-a 즉, f(x)=aex-a이므로
limx Ú`0
f(x) x =lim
x Ú`0
aex-a x =lim
x Ú`0
a(ex-1) x =a 따라서 `a=3a+2에서 a=-1이므로
f '(x)=-ex ∴ f '(0)=-1
| 다른 풀이 |
f(x)는 미분가능하므로 연속함수이다.
∴ limx Ú`0 f(x)=f(0)=0
이때 limx Ú`0 f(x)
x =3a+2이므로 limx Ú`0
f(x) x =lim
x Ú`0
f(x)-f(0)
x =f '(0)=3a+2 그런데 f '(x)=aex이므로 f '(0)=a
따라서 3a+2=a에서 a=-1이므로 f '(0)=-1
04
셀파 P'(t)=3000e0.006t에서 P(t)=:`3000e0.006t dt P(t) =:`3000e0.006tdt=3000_ 10.006e0.006t+C=500000e0.006t+C
05
셀파 f '(x)=cos12`x 이므로 f(x)=:` 1 cos2`x dx f '(x)= 1cos2`x=sec2`x이므로
f(x)=:` 1cos2`xdx=:`sec2`x`dx=tan`x+C 이때 곡선 y=f(x)가 점 (0, 1)을 지나므로
f(0)=tan`0+C=1에서 C=1 ∴ `f(x)=tan`x+1 또 곡선 y=f(x)가 점 {;4Ò;, k}를 지나므로
`f {;4Ò;}=tan ;4Ò;+1=1+1=k ∴ k=2
'x=t로 놓으면 dt dx = 1
2'x이므로 f(x) =:` sin`'x
'x dx=:`2`sin`t`dt
=-2`cos`t+C=-2`cos`'x+C
이때 f(p2)=1이므로 -2`cos`p+C=1에서 C=-1
∴ f(x)=-2`cos`'§x-1
06
셀파 'x=t로 치환하여 치환적분법을 이용한다.p`ln`x=t로 놓으면 px = dt dx이므로
f(x) =:` sin (p`ln`x)x dx=:`sin`t_ 1p dt
=1
p :`sin t`dt=-1
p cos`t+C
=-1
p `cos`(p`ln`x)+C 이때 f(1)=-1
p 에서 -1
p cos`(p`ln`1)+C=-1
p ∴ C=0 따라서 f(x)=-1
p `cos`(p`ln`x)이므로 f(e)=-1
p `cos`p=1 p
07
셀파 p`ln`x=t로 치환하여 치환적분법을 이용한다.그런데 올해 현재 인구가 50만 명이므로 P(0)=500000e0.006_0+C=500000에서 C=0
∴ P(t)=500000e0.006t
따라서 10년 후의 이 도시의 예상 인구 수는 P(10) =500000e0.006_10=500000e0.06
=500000_1.06=530000
이차방정식 x2+ax+b=0의 두 근이 -1, 2이므로 근과 계수의 관계에서 -1+2=-a, (-1)_2=b
∴ a=-1, b=-2 상수 c, d에 대하여
x-5
x2-x-2= x-5
(x+1)(x-2)= cx+1+ dx-2로 놓으면 x-5
(x+1)(x-2)= (c+d)x-2c+d (x+1)(x-2) 에서 c+d=1, -2c+d=-5 ∴ c=2, d=-1
따라서 x-5
(x+1)(x-2)= 2
x+1+ -1 x-2이므로 :` x-5x2-x-2dx =:`{ 2x+1- 1
x-2 } dx
=2`ln|x+1|-ln|x-2|+C
09
셀파 (분자의 차수)<(분모의 차수)이므로 부분분수로 분해 하여 적분한다.f '(x)=x+ln`x이므로
f(x) =:`(x+ln`x)dx=:`x`dx+:`ln`x`dx
=;2!;x2+:`ln`x`dx yy ㉠
이때 :` ln`x`dx에서 u(x)=ln`x, v '(x)=1로 놓으면 u'(x)=;[!;, v(x)=x이므로
:`ln`x`dx =(ln`x)_x-:`;[!;_x`dx
=x`ln`x-x+C yy ㉡
㉡을 ㉠에 대입하면
f(x) =;2!;x2+x`ln`x-x+C
이때 f(1)=0에서 ;2!;-1+C=0 ∴ C=;2!;
따라서 f(x)=;2!;x2+x`ln`x-x+;2!;이므로 f(e)=;2!;e2+e`ln`e-e+;2!;=;2!;e2+;2!;
10
셀파 f(x)=: `f '(x)dx이다.F(x) =:` f(x)dx=:`(sin`x+cos x)2 dx
=:`(1+2 sin`x`cos`x)dx
=x+2:`sin`x`cos`x`dx yy ㉠
:`sin`x`cos`x`dx에서 u(x)=sin x, v '(x)=cos x로 놓으면 u '(x)=cos`x, v(x)=sin`x이므로
:`sin`x`cos`x`dx=sin`x`sin`x-:`cos`x`sin`x`dx
∴ :`sin`x`cos`x`dx=sin2`x
2 yy ㉡
㉡을 ㉠에 대입하면 F(x)=x+sin2`x+C
∴ F{p
2 }-F(0) ={p
2 +1+C}-(0+0+C)
=p 2 +1
| 다른 풀이 |
sin`2x=sin(x+x)=2`sin`x`cos`x이므로 F(x)=:`(1+sin`2x)dx=x-;2!;`cos`2x+C
∴ F{;2Ò;}-F(0) ={;2Ò;+;2!;+C}-{-;2!;+C}
=;2Ò;+1
12
셀파 :`sin`x`cos`x`dx에서 부분적분법을 적용한다.f '(x)
f(x) =3이므로 :` f '(x)
f(x) dx=:`3`dx ln| f(x)|=3x+C ∴ f(x)=e3x+C 이때 f(0)=e이므로 eC=e ∴ C=1 따라서 f(x)=e3x+1이므로 f(1)=e4
08
셀파 :` f '(x)f(x) dx=ln| f(x)|+C
f '(x)=(x+a)ex이므로 f '(2)=0에서 (2+a)e2=0 ∴ a=-2 (∵ e2>0)
u(x)=x-2, v'(x)=ex으로 놓으면 u'(x)=1, v(x)=ex
∴ f(x) =:`(x-2)ex`dx=(x-2)ex-:`ex`dx
=(x-2)ex-ex+C=(x-3)ex+C 이때 f(0)=2에서 -3+C=2 ∴ C=5
따라서 f(x)=(x-3)ex+5이므로 f(3)=5
11
셀파 f '(x)=(x+a)ex채점 기준 배점
상수 a의 값을 구한다. 30%
함수 f(x)를 구한다. 50%
f(3)의 값을 구한다. 20%
⑴ :@4``;[!;`dx=[ln`|x|]4@ =ln` 4 -ln`2
=ln` 4
2 =ln`2
⑵ :)1``('x-1)dx=:)1``(x;2!;-1)dx =[;3@;x;2#;- x ]1) =;3@;- 1 =-;3!;
1-1
⑴ :!3`` x+3x2 dx =:!3``{;[!;+ 3x2}dx
=:!3``{;[!;+3x-2}dx
=[ln`|x|-3x-1]3!
=(ln`3-1)-(0-3)
=2+ln`3
⑵ :!4`` 'x+1'x dx =:!4``{1+ 1'x }dx
=:!4``(1+x-;2!;)dx
=[x+2x;2!;]4!
=(4+4)-(1+2)=5
1-2
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