⑴ f(x)=-x4+2x3-1로 놓으면
f '(x)=-4x3+6x2, f "(x)=-12x2+12x f "(x)=0에서 -12x(x-1)=0
∴ x=0 또는 x=1
x<0 또는 x>1일 때 f "(x)<0 0<x<1일 때 f "(x)>0
따라서 함수 f(x)의 변곡점의 좌표는 (0, -1), (1, 0)
⑵ f(x)=x2+4`cos`x로 놓으면
f '(x)=2x-4`sin`x, f "(x)=2-4`cos`x f "(x)=0에서 2(1-2`cos`x)=0, cos`x=;2!;
∴ x=;3ÒÒ; 또는 x=;3%;p (∵ 0<x<2p) 0<x<;3Ò; 또는 ;3%;p<x<2p일 때 f "(x)<0
;3Ò;<x<;3%;p일 때 f "(x)>0 따라서 함수 f(x)의 변곡점의 좌표는
{;3Ò;, ;9!;p2+2}, {;3%;p, ;;ª9°;;p2+2}
2-2
f(x)=x3-3x2-9x+2로 놓으면 f '(x)=3x2-6x-9
f "(x)=6x-6=6(x-1) f "(x)=0에서 x=1 x<1일 때 f "(x)<0 x>1일 때 f "(x)>0
따라서 변곡점의 좌표는 (1, -9 )
2-1
f(x)=ex-x라 하면 f '(x)=ex-1 f '(x)=0에서 ex=1 ∴ x=0
함수 f(x)의 증가와 감소를 표로 나타내고, 그래프의 개형 을 그리면 다음과 같다.
x y 0 y
f '(x) - 0 +
f (x) ↘ 1 ↗
이때 함수 y=f(x)의 그래프는 x축 과 만나지 않는다.
따라서 방정식 ex-x=0의 서로 다른 실근의 개수는 0 y=eÅ -x
O 1 y
x
3-1
⑴ f(x)=sin`x+x라 하면 f '(x)=cos`x+1
-1Écos`xÉ1이므로 f '(x)¾æ0, 즉 함수 f(x)는 실수 전체의 집합에서 증가한다.
한편 f(0)=0이고 lim
x Ú`¦ f(x)=¦, limx Ú`-¦ f(x)=-¦이므로 함수 y=f(x)의 그래프의 개형은
오른쪽 그림과 같다.
이때 함수 y=f(x)의 그래프는 x 축과 한 점에서 만나므로 방정식 sin x+x=0의 실근의 개수는 1
⑵ f(x)=ln`x-3x`(x>0)라 하면 f '(x)=;[!;-3 f '(x)=0에서 x=;3!;
함수 f(x)의 증가와 감소를 표로 나타내면 다음과 같다.
x (0) y ;3!; y
f '(x) + 0
-f(x) ↗ -1-ln`3 ↘
한편 lim
x Ú`¦(ln`x-3x)=-¦, lim
x Ú`0+(ln`x-3x)=-¦이
므로 함수 y=f(x)의 그래 프의 개형은 오른쪽 그림과 같다.
이때 함수 y=f(x)의 그래
프는 x축과 만나지 않으므로 방정식 ln`x-3x=0의 실 근의 개수는 0
y=sin x+x
O y
x
y=ln x-3x -1-ln 3
O -13 y
x
3-2
Ú dxdt=-sin`t, dy
dt=cos`t이므로 시각 t에서 점 P의 속도는
(-sin`t, cos`t) Û 시각 t에서 점 P의 속력은
"Ã(-sin`t)2+(cos`t)2=1 Ü d2x
dt2=-cos`t, d2y
dt2=-sin`t이므로 시각 t에서 점 P의 가속도는
(-cos`t, -sin`t)
4-2
Ú ;dDtÓ;=1, ;dDtÕ;=2t이므로
시각 t에서 점 P의 속도는 (1, 2t ) Û 시각 t에서 점 P의 속력은
"Ã12+(2t)2="Ã4t2+1 Ü d2x
dt2=0, d2y
dt2=2이므로
시각 t에서 점 P의 가속도는 ( 0 , 2)
4-1
본문 | 149~161 쪽 확인 문제
⑴ f(x)= 1
x2+1로 놓으면 f '(x)= -2x
(x2+1)2
f "(x) = -2(x2+1)2-2(-2x)(x2+1)_2x (x2+1)4
= -2(x2+1)+8x2 (x2+1)3
= 6x2-2 (x2+1)3
f "(x)=0에서 2(3x2-1)=0이므로 x2=;3!;
∴ x=- '3
3 또는 x='3 3 x<- '3
3 또는 x>'3
3 일 때 f "(x)>0 - '3
3 <x<'3
3 일 때 f "(x)<0 따라서 열린구간{-¦, - '3
3 }, { '3
3 , ¦}에서 아래로볼록 하고, 열린구간{- '3
3 , '3
3 }에서 위로 볼록하다.
또 x=- '3
3 , x='3
3 각각의 좌우에서 f "(x)의 부호가 바뀌 므로 변곡점의 좌표는{- '3
3 , ;4#;}, {'3 3 , ;4#;}
01-1
셀파 f "(x)=0인 x의 값을 기준으로 좌우에서 f "(x)의 부 호를 조사한다.⑴ f '(x)=-2xe-xÛ`
f "(x)=-2e-xÛ`-2xe-xÛ`_(-2x)=2e-xÛ`(2x2`-1) f '(x)=0에서 x=0
f "(x)=0에서 2e-xÛ`>0이므로 2x2-1=0, x2=;2!;
∴ x=- '2
2 또는 x='2 2
함수 f(x)의 증가, 감소 및 오목, 볼록을 표로 나타내면 다음 과 같다.
x y - '2
2 y 0 y '2
2 y
f '(x) + + + 0 - -
-f "(x) + 0 - - - 0 +
f(x) 'e
e 변곡점
1 극대
'ee 변곡점
이때 lim
x Ú`¦e-xÛ`=0, lim
x Ú`-¦e-xÛ`=0이므로 x축이 점근선이다.
따라서 함수 f(x)=e-xÛ`의 그래 프의 개형은 오른쪽 그림과 같 다.
y=f(x)
- O 1 e
y
x 1e
122 122
02-1
셀파 ⑵ (진수)>0인 범위에서 f '(x)=0, f "(x)=0인 x 의 값을 기준으로 f '(x), f "(x)의 부호를 조사한다.⑵ f(x)= xln`x에서 x>0, x+1이고
f '(x)=ln`x-x_;[!;
(ln`x)2 = ln`x-1 (ln`x)2
f "(x) =;[!;`(ln`x)2-(ln`x-1)_2`ln`x_;[!;
(ln`x)4
=ln`x{ln`x-2(ln`x-1)}
x(ln`x)4
= 2-ln`x x(ln`x)3
f '(x)=0에서 ln`x-1=0 ∴ x=e f "(x)=0에서 2-ln`x=0 ∴ x=e2
함수 f(x)의 증가, 감소 및 오목, 볼록을 표로 나타내면 다음 과 같다.
x (0) y (1) y e y e2 y
f '(x) - - 0 + + +
f "(x) - + + + 0
-f(x) e
극소
e2 2 변곡점
이때 lim
x Ú`0+
ln`xx =0, lim
x
Ú`1-ln`xx =-¦, lim
x Ú`1+
ln`xx =¦
따라서 함수 f(x)= xln`x 의 그래프 의 개형은 오른쪽 그림과 같다.
y=f(x)
O 1 y
x e
e eÛ -eÛ2
함수의 그래프
함수 f(x)의 증가, 감소 및 오목, 볼록 함수 f(x)의 그래프는
➊ f '(x)>0, f "(x)>0일 때
⇨ 아래로 볼록한 꼴 ( )로 증가한다.
➋ f '(x)>0, f "(x)<0일 때
⇨ 위로 볼록한 꼴 ( )로 증가한다.
➌ f '(x)<0, f "(x)>0일 때
⇨ 아래로 볼록한 꼴 ( )로 감소한다.
➍ f '(x)<0, f "(x)<0일 때
⇨ 위로 볼록한 꼴 ( )로 감소한다.
LEC TURE
⑵ f(x)=x2`ln`x로 놓으면 f '(x)=2x`ln`x+x2_;[!;
f '(x)=2x`ln`x+x=x(2`ln`x+1) f "(x)=2`ln`x+1+x_;[@;=2`ln`x+3 f "(x)=0에서 2`ln`x+3=0 ∴ x=e-;2#;
진수 조건에서 x>0이므로 0<x<e-;2#;일 때 f "(x)<0 x>e-;2#;일 때 f "(x)>0
따라서 열린구간 (0, e-;2#;)에서 위로 볼록하고, 열린구간 (e-;2#;, ¦)에서 아래로 볼록하다.
또 x=e-;2#;의 좌우에서 f "(x)의 부호가 바뀌므로 변곡점의 좌표는{e-;2#;, -;2#;e-3}
⑴ f(x)=ex-e-x에서 f '(x)=ex+e-x
이때 모든 실수 x에 대하여 f '(x)>0이므로 함수 f(x)는 모 든 실수 x에서 증가한다.
따라서 닫힌구간 [-2, 2]에서 함수 f(x)는 x=2일 때 최댓값 f(2)=e2- 1
e2, x=-2일 때 최솟값 f(-2)= 1
e2-e2을 갖는다.
03-1
셀파 닫힌구간 [a, b]에서 f(x)의 극값, f(a), f(b)를 구하 여 비교한다.변곡점을 구하는 방법
➊ y"=0으로 하는 x=a를 구한다.
➋ x=a의 좌우에서 y"의 부호가 바뀌면 x=a일 때, 변곡 점을 갖는다.
보기 1 다음 함수의 변곡점을 구하시오.
⑴ y=x3-3x2+3x ⑵ y=(x+1)4
해설 ⑴ y '=3x2-6x+3, y "=6x-6 y"=0에서 x=1
x=1의 좌우에서 y "의 부호가 바뀐다.
따라서 변곡점은 (1, 1)
⑵ y '=4(x+1)3, y "=12(x+1)2 y"=0에서 x=-1
x=-1의 좌우에서 y "의 부호가 바뀌지 않는다.
따라서 변곡점은 없다.
O 1
1 y
x
-1 O 1 y
x 세미나 변곡점
y=f '(x)의 그래프에서 f '(x)의 값의 부호가 바뀌는 점이 극점 이므로 주어진 y=f '(x)의 그래프에서 극점은 x좌표가 a, b, 0, f 인 4개의 점이다.
또 y=f '(x)의 그래프에서 증가와 감소가 바뀌는 점이 변곡점이 므로 주어진 y=f '(x)의 그래프에서 변곡점은 x좌표가 c, d, e인 3개의 점이다.
따라서 y=f(x)의 그래프의 극점의 개수는 4, 변곡점의 개수는 3
| 참고 |
함수 f(x)에 대하여 극점과 변곡점을 기준으로 구간을 나누고 주어진 y=f '(x)의 그래프를 이용하여 각 구간에서 f '(x), f "(x)의 부호를 조사 한다. 이때 f(x)의 증가, 감소 및 오목, 볼록을 표로 나타내면 다음과 같다.
x y a y b y 0 y c y d y e y f y f '(x) - 0 + 0 + + + 0 + + + 0 -f "(x) + + + + + + 0 + 0
-f(x) 극소 극대 극소 변곡
점 변곡 점 변곡
점 극대 이 표로부터 함수 y=f(x)의 그래프의
개형은 오른쪽 그림과 같다.
y=f(x)
0 x
b
a c d e f
확인 체크 01
셀파 특강 한편 (x-a);mN;;(m>0, n>0)꼴의 인수를 갖는 함수의 변곡 점을 구하는 방법은 다음과 같다.
➊ y"=0으로 하는 x=a를 구한다.
➋ y"의 분모를 0으로 하는 x=b를 구한다.
➌ x=a, b의 좌우에서 y"의 부호의 변화를 조사한다.
보기 2 다음 함수의 변곡점을 구하시오.
⑴ y=(x+1);3!; ⑵ y=x;3@;
해설 ⑴ y '=;3!;(x+1)-;3@;, y "=- 2 9`3"Ã(x+1)5 y "의 분모를 0으로 하는 값은
x=-1이고, x=-1의 좌우에서 y "의 부호가 바뀐다.
따라서 변곡점은 (-1, 0) ⑵ y '=;3@;x-;3!;, y "=- 2
9`3"x4 y "의 분모를 0으로 하는 값은 x=0
이고, x=0의 좌우에서 y"의 부호 는 바뀌지 않는다.
따라서 변곡점은 없다.
참고 y=x;mN; {m>0, n>0, m은 홀수, n은 짝수, ;mN;;<1}
의 그래프는 x=0에서 첨점(尖點)을 갖는다.
예를 들어 y=x;3@;, x;5@;, x;5$;, x;7@;, x;7$;, x;7^;, y등은 x=0에서 첨점 을 갖는다.
-1 O 1 y
x y=(x+1)£Ú
O y
y=x
x
£Û
점 P의 좌표를 (t, ke-t)(t>0), 직사각형 OQPR의 넓이를 S(t)라 하면
S(t)=t_ke-t=kte-t
S'(t)=ke-t-kte-t=k(1-t)e-t S'(t)=0에서 t=1
열린구간 (0, ¦)에서 함수 S(t)의 증가와 감소를 표로 나타내면 오른쪽과 같다.
따라서 함수 S(t)는 t=1일
때 극대이면서 최대이므로 S(t)의 최댓값이 ;eK;이다.
;eK;=2에서 k=2e
t (0) y 1 y
S '(t) + 0
-S(t) ↗ ;eK; ↘
04-2
셀파 점 P의 좌표를 (t, ke-t)으로 놓고 직사각형의 넓이를 t의 함수로 나타낸다.⑴ f(x)=ln`x-;[!; (x>0)이라 하면 f '(x)=;[!;+ 1x2= x+1
x2
x>0일 때 f '(x)>0이므로 함수 f(x)는 x>0에서 증가한다.
한편 lim
x Ú`0+{ln`x-;[!;}=-¦, limx Ú`¦{ln`x-;[!;}=¦이므로 함수 y=f(x)의 그래프의 개형은
오른쪽 그림과 같다.
이때 함수 y=f(x)의 그래프는 x 축과 한 점에서 만나므로 방정식 ln`x-;[!;=0의 서로 다른 실근의 개수는 1
| 참고 |
ln`x의 진수 조건에 따라 x>0이다.
⑵ f(x)=4xex+1이라 하면 f '(x)=4ex+4xex=4ex(x+1) f '(x)=0에서 x=-1
한편 lim
x Ú`-¦(4xex+1)=1, lim
x Ú`¦(4xex+1)=¦
함수 f(x)의 증가와 감소를 표로 나타내면 다음과 같다.
x y -1 y
f '(x) - 0 +
f(x) ↘ 1-;e$; ↗
y=ln
x--O
x1 y
x
05-1
셀파 방정식 f(x)=0에서 함수 y=f(x)의 그래프를 그린다.곡선 y='x 위의 점 Q의 좌표를 (t, 't )로 놓으면 PQÓ2=(t-0)2+('t-3)2=t2+t-6't+9 f(t)=t2+t-6't+9라 하면
f '(t)=2t+1- 3
"t f '(t)=0에서 2t+1= 3
"t
4t2+4t+1=;t(;, 4t3+4t2+t-9=0 (t-1)(4t2+8t+9)=0
이때 4t2+8t+9=4(t+1)2+5>0이므로 t=1
t>0에서 함수 f(t)의 증가와 감소를 표로 나타내면 다음과 같다.
t (0) y 1 y
f '(t) - 0 +
f(t) ↘ 5 ↗
따라서 함수 f(t)는 t=1에서 최솟값 5를 갖는다.
즉, PQÓ2의 최솟값이 5이므로 PQÓ의 최솟값은 '5
y=f(t)
O 1 5 9 y
t
04-1
셀파 곡선 y='x 위에 있는 점 Q의 좌표를 (t, 't )로 놓는다.⑵ f(x)=x+'2`cos`x에서 f '(x)=1-'2`sin`x f '(x)=0에서 sin`x= '2
2 ∴ x=;4Ò; 또는 x=;4#;p 닫힌구간 [0, p]에서 함수 f(x)의 증가와 감소를 표로 나타내
면 다음과 같다.
x 0 y ;4Ò; y ;4#;p y p
f '(x) + 0 - 0 +
f(x) '2 ↗ ;4Ò;+1 극댓값
↘ ;4#;p-1 극솟값
↗ p-'2
따라서 함수 f(x)는 x=;4Ò;일 때 최댓값;4Ò;+1, x=;4#;p일 때 최솟값;4#;p-1을 갖는다.
| 참고 |
'2=1.414, p=3.14라 하면 f(0)='2=1.414 f {;4Ò;}=;4Ò;+1=1.785 f {;4#;p}=;4#;p-1=1.355 f(p)=p-'2=1.726
⑴ ln`x-ex+3=0에서 ln`x=ex-3
y=f(x) -1 O
-1 1
1 y
x
이때 함수 y=f(x)의 그래프는 x축과 한 점에서 만나므로 방 정식 2x
x2+1=0의 서로 다른 실근의 개수는 1
⑷ f(x)=3x-x`ln`x (x>0)라 하면 f '(x)=3-(ln`x+1)=2-ln`x f '(x)=0에서 ln`x=2 ∴ x=e2 한편 lim
x Ú`¦(3x-x`ln`x)=lim
x Ú`¦x(3-ln`x)=-¦
함수 f(x)의 증가와 감소를 표로 나타내면 다음과 같다.
x (0) y e2 y
f '(x) + 0
-f(x) ↗ e2 ↘
이때 함수 y=f(x)의 그래프는 오 른쪽 그림과 같이 x축과 한 점에서 만나므로 방정식 3x=x`ln`x의 서
로 다른 실근의 개수는 1 O
y
y=f(x) eÛ x
eÛ
⑴ ex=kx에서 ex =k (x+0)x
f(x)= ex 이라 하면 f '(x)=x ex(x-1) x2 f '(x)=0에서 ex(x-1)=0 ∴ x=1 한편 lim
x Ú`¦f(x)=¦, lim
x Ú`-¦f(x)=0,
lim
x Ú`0+ f(x)=¦, lim
x Ú 0-f(x)=-¦
함수 f(x)의 증가와 감소를 표로 나타내면 다음과 같다.
x y (0) y 1 y
f '(x) - - 0 +
f(x) ↘ ↘ e ↗
따라서 함수 y=f(x)의 그래프 의 개형은 오른쪽 그림과 같으 므로 방정식 ex=kx의 서로 다 른 실근의 개수는
k>e일 때 2, k=e일 때 1, 0Ék<e일 때 0, k<0일 때 1
y=k y=
O 1 y
x e
3555xeÅ
02
⑵ f(x)=x+ 4x2 (x+0)라 하면 f '(x)=1- 8x3 f '(x)=0에서 x3=8 ∴ x=2
한편 lim
x Ú`¦ f(x)=¦, limx Ú`-¦ f(x)=-¦, lim
x Ú`0+ f(x)=¦, limx Ú`0- f(x)=¦
함수 f(x)의 증가와 감소를 표로 나타내면 다음과 같다.
x y (0) y 2 y
f '(x) + - 0 +
f(x) ↗ ↘ 3 ↗
따라서 함수 y=f(x)의 그래프 의 개형은 오른쪽 그림과 같으 므로 방정식 x+ 4x2=k의 서로 다른 실근의 개수는
k>3일 때 3, k=3일 때 2, k<3일 때 1
⑶ f(x)=ex-x라 하면 f '(x)=ex-1 f '(x)=0에서 ex=1 ∴ x=0 한편 lim
x Ú`¦ f(x)=¦, limx Ú`-¦ f(x)=¦
함수 f(x)의 증가와 감소를 표로 나타내면 다음과 같다.
x y 0 y
f '(x) - 0 +
f(x) ↘ 1 ↗
따라서 함수 y=f(x)의 그래프 의 개형은 오른쪽 그림과 같으 므로 방정식 ex=x+k의 서로 다른 실근의 개수는
k>1일 때 2, k=1일 때 1, k<1일 때 0
y=k y=x+
O 2 3
xÛ4 y
x
y=k y=eÅ -x
O 1 y
x
⑷ f(x)=ln`x-x (x>0)라 하면 f '(x)= 1x -1
f(x)=2`sin`x+cos2`x라 하면
f '(x) =2`cos`x-2`cos`x`sin`x=2`cos`x(1-sin`x) f '(x)=0에서 cos`x=0 또는 sin`x=1
f(x)=ex-ax라 하면 f '(x)=ex-a f '(x)=0에서 ex=a ∴ x=ln`a
함수 f(x)의 증가와 감소를 표로 나타내면 다음과 같다.
x y ln`a y (10)
f '(x) - 0 +
f(x) ↘ a-a`ln`a ↗
함수 y=f(x)의 그래프의 개형은 오른 쪽 그림과 같으므로 x<10에서 함수 f(x)는 x=ln`a일 때, 극소이면서 최소 이다.
이때 f(x)¾0이려면 f(ln`a)¾0에서 a-a`ln`a¾0
a¾a`ln`a, ln`aÉ1 (∵ a>0)
∴ 0<aÉe
y=f(x)
a-a ln a
O ln a 10 y
x
07-2
셀파 주어진 x의 값의 범위에서 최솟값을 구한다.부등식 f(x)>g(x)가 성립하는 경우
닫힌구간 [a, b]에서 부등식 f(x)>g(x)가 항상 성립할 때
➊ 닫힌구간 [a, b]에서 y=f(x)의 그래프가 y=g(x)의 그 래프보다 항상 위쪽에 있다.
➋ h(x)=f(x)-g(x)로 놓으면 닫힌구간 [a, b]에서 부등식 h(x)>0이 항상 성립한다.
즉, 닫힌구간 [a, b]에서 {h(x)의 최솟값}>0이다.
LEC TURE
점 P의 시각 t에서의 속도를 v, 가속도를 a라 하면 v= dx
dt=2t- 1 t+1 a= dvdt=2+ 1
(t+1)2
따라서 점 P의 t=2에서의 속도와 가속도는 속도 : ;Á3Á;, 가속도 : ;Á9»;
08-1
셀파 x=f(t)일 때, v=f '(t), a=f "(t) f(x)=e-x+x-1이라 하면 f '(x)=-e-x+1 0<x<1일 때, ;e!;<e-x<1이므로 f '(x)>0 즉, 함수 f(x)는 0<x<1에서 증가한다.그런데 f(0)=e0+0-1=0이므로
0<x<1일 때 f(x)>0, 즉 e-x+x-1>0이다.
따라서 0<x<1일 때, 부등식 e-x>1-x가 성립한다.
확인 체크 03
셀파 특강
⑴ dx
dt=-2`sin`2t, dy
dt=2`cos`2t
이므로 속도는 (-2`sin`2t, 2`cos`2t)이고, 그 크기는
"Ã(-2`sin`2t)2+(2`cos`2t)2="Ã4(sin2`2t+cos2`2t)=2 ∴ 속도 : (-2`sin`2t, 2`cos`2t), 속도의 크기 : 2
⑵ d2x
dt2=-4`cos`2t, d2y
dt2=-4`sin`2t
이므로 가속도는 (-4`cos`2t, -4`sin`2t)이고, 그 크기는
"Ã(-4`cos`2t)2+(-4`sin`2t)2="Ã16(cos2`2t+sin2`2t)=4 ∴ 가속도 : (-4`cos`2t, -4`sin`2t), 가속도의 크기 : 4
09-1
셀파 속도 ⇨ {dxdt , dydt }, 가속도 ⇨ {ddt2x2, ddt2y2}함수 f(x)=ax2+sin`x가 서로 다른 임의의 실수 x1, x2에 대하여 f {x1+x2
2 }>f(x1)+f(x2)
2 이므로 곡선 y=f(x)는 위로 볼록 하다.
즉, 임의의 실수 x에 대하여 f "(x)<0이어야 한다.
f '(x)=2ax+cos`x, f "(x)=2a-sin`x이므로 2a-sin`x<0에서 2a<sin`x
이때 -1Ésin`xÉ1이므로 2a<-1 ∴ a<-;2!;