우석대학교 에너지전기공학과

미적분학 (25)

우석대학교 에너지전기공학과

이우금 교수

(퀴즈8 검토) 1) 다음의 부정적분을 구하라 1-1) 3𝑥2 + 2𝑥 − 1 𝑑𝑥 = 3𝑥2+1 2+1 + 2 𝑥1+1 1+1 − 𝑥 + 𝐶 = 𝑥 3_+𝑥2 _{− 𝑥 + 𝐶} 1-2) 𝑥3+𝑥 𝑥2 𝑑𝑥 = 𝑥 + 1 𝑥 𝑑𝑥 = 𝑥2 2 + ln 𝑥 + 𝐶 2) 다음의 부정적분을 치환적분법에 의해 구하라 2-1) 𝑒2𝑥+1𝑑𝑥  2𝑥 + 1 = 𝑡 & _𝑑𝑥𝑑 (2𝑥 + 1) = _𝑑𝑥𝑑𝑡 2 = _𝑑𝑥𝑑𝑡 𝑑𝑥 = 1₂𝑑𝑡 ∴ 𝑒2𝑥+1_{𝑑𝑥 = 𝑒}𝑡 _∙1 2𝑑𝑡 = 1 2 𝑒 𝑡_{𝑑𝑡 =} 1 2𝑒 𝑡 _{+ 𝐶 =} 1 2𝑒 2𝑥+1 _{+ 𝐶} 퀴즈8 검토

(퀴즈8 검토) 2-2) 𝑥2 𝑥3₊₁ 𝑑𝑥  𝑥3 + 1 = 𝑡 & 𝑑 𝑑𝑥(𝑥 3 _{+ 1) =} 𝑑𝑡 𝑑𝑥 3𝑥 2₌ 𝑑𝑡 𝑑𝑥 𝑥 2_{𝑑𝑥 =} 1 3𝑑𝑡 ∴ 𝑥2 𝑥3₊₁ 𝑑𝑥 = 1 𝑡 ∙ 1 3𝑑𝑡 = 1 3 1 𝑡 𝑑𝑡 = 1 3ln 𝑡 + 𝐶 = 1 3ln 𝑥 3 _{+ 1 +𝐶} 2-3) 𝑥2 + 𝑥)5(2𝑥 + 1 𝑑𝑥  𝑥2 + 𝑥 = 𝑡 & 𝑑 𝑑𝑥(𝑥 2 _{+ 𝑥) =} 𝑑𝑡 𝑑𝑥 2𝑥 + 1 = 𝑑𝑡 𝑑𝑥 (2𝑥 + 1)𝑑𝑥 = 𝑑𝑡 ∴ 𝑥2 + 𝑥)5(2𝑥 + 1 𝑑𝑥 = 𝑡5(2𝑥 + 1) 𝑑𝑥 = 𝑡5 𝑑𝑡 = 𝑡₆6+ 𝐶 = (𝑥2+𝑥)₆ 6 + 𝐶 퀴즈8 검토 𝑑𝑡

(지난 시간 복습) 7-2-3. 부분분수(partial fraction) 분해  유리함수: 분모와 분자가 다항함수로 구성되어 있는 분수 식  부분분수 분해: 여러 개의 분수 식의 합과 차로 변환하여 간단한 분수 식으로 표현 예제 1) 2 𝑥2₋₁𝑑𝑥 를 구하라  피적분 함수를 부분분수로 분해 2 𝑥2−1 = 2 (𝑥−1)(𝑥+1) = 𝐴 (𝑥−1) + 𝐵 (𝑥+1) = 𝐴 𝑥+1 +𝐵(𝑥−1) (𝑥−1)(𝑥+1) = 𝐴+𝐵 𝑥+(𝐴−𝐵) (𝑥−1)(𝑥+1)  항등식의 미정계수 법에 의해 A와 B를 구하면, 𝐴 + 𝐵 = 0 𝐴 − 𝐵 = 2  𝑇ℎ𝑒𝑟𝑒𝑓𝑜𝑟𝑒

,

7-3. 정적분 7-3-1. 구분구적법  도형의 면적 직사각형 삼각형 원 (a) 𝑆 = 𝑎 × 𝑏 (b) 𝑆 = 𝑎×ℎ₂ (c) 𝑆 = 𝜋𝑟2  다각형의 면적 (d) 𝑆 = 𝑠1 + 𝑠2 + 𝑠3 + 𝑠4 (e) 𝑆 = 𝑠1 + 𝑠2 + 𝑠3 + 𝑠4 7. 적분 𝑎 𝑏 𝑎 ℎ 𝑠₁ 𝑠2 𝑠3 𝑠4 𝑠1 𝑠2 𝑠3 𝑠₄

 구분구적법  원과 같이 곡선이 포함된 도형은 삼각형 또는 사각형의 기본도형으로 세분하여 구할 수 없음.  그러나, 곡선이 포함된 부분을 기본도형으로 세분화하여 근사값을 구하고, 근사값의 극한을 이용하면, 원의 면적을 구할 수 있음.  그림과 같이 원에 내접하는 다각형면적의 합은 다각형이 많을 수록 원의 면적에 근접.  다각형면적의 합을 𝑆_𝑛 , 다각형 밑변의 합을 𝑙_𝑛이라 하면, 𝑆_𝑛 = ∆𝑂𝐴𝐵 × 𝑛 = 1 2∙ 𝐴𝐵 ∙ ℎ ∙ 𝑛 = 1 2ℎ(𝑛 ∙ 𝐴𝐵) 𝑙_𝑛 = 𝑛 ∙ 𝐴𝐵 ∴ 𝑆_𝑛 = 1 2ℎ ∙ 𝑙𝑛  여기서, 𝑛 → ∞ 이면, 𝑙_𝑛 → 2𝜋𝑟, ℎ → 𝑟 ∴ lim 𝑛→∞𝑆𝑛 = lim𝑛→∞ 1 2ℎ ∙ 𝑙𝑛 = 1 2𝑟 ∙ 2𝜋𝑟 = 𝜋𝑟 2 _{= 𝑆}  이와 같이 평면도형의 면적이나 입체도형의 체적을 구할 때, 주어진 도형을 충분히 작은 𝑛 개의 도형으로 세분화하여 그 도형에 근사 시키고,  세분된 기본 도형들의 면적을 합한 근사값의 극한을 취하여 면적 또는 체적을 구하는 방법을 구분구적법이라 함. 7. 적분 𝑜 𝑟 𝐴 𝐵 ℎ

예제) 포물선 𝑦 = 𝑥2 과 𝑥 = 1 및 𝑥 축으로 둘러싸인 도형의 면적을 구분구적법으로 구하라  구간 [0, 1]을 𝑛 등분하면, 각 끝점의 𝑥 좌표는 왼쪽에서 부터 1 𝑛 , 2 𝑛 , 3 𝑛 , … , 𝑛 𝑛  이때의 함수 값을 구하면 1 𝑛 2 , _𝑛2 2, _𝑛3 2, … , 𝑛_𝑛 2  직사각형 면적의 합을 𝑆_𝑛 이라 하면, 𝑆_𝑛 = 1 𝑛 1 𝑛 2 + _𝑛2 2 + _𝑛3 2 + ⋯ + 𝑛_𝑛 2 = _𝑛1₃ 12 _{+ 2}3 _{+ 3}2 _{+ ⋯ + 𝑛}2 ₌ 𝑛(𝑛+1)(2𝑛+1) 6𝑛3  여기서 𝑛 → ∞ 일 때 ∴ 𝑆 = lim 𝑆_𝑛 = lim 𝑛(𝑛+1)(2𝑛+1) = 2 = 1 7. 적분 0 𝑛 𝑛 𝑦 = 𝑥2 𝑦 𝑥 1 𝑛 2 𝑛 3 𝑛

7-3-2. 정적분의 정의  연속함수 𝑦 = 𝑓 𝑥 와 구간 [𝑎, 𝑏] 에서 𝑥 축과 이루는 도형의 면적을 구분구적법으로 구하면,  함수 𝑓 𝑥 가 폐구간 [𝑎, 𝑏]에서 연속 일 때, 그 구간을 𝑛 등분한 각 분점의 𝑥 좌표를 차례로, 𝑥₀, 𝑥₁, 𝑥₂, … 𝑥_𝑛−1, 𝑥_𝑛  이에 대응하는 함수 값은 (즉, 기본도형의 높이)? 𝑓(𝑥₁), 𝑓(𝑥₂), … , 𝑓(𝑥_𝑛−1), 𝑓(𝑥_𝑛)  기본도형의 너비를 ∆𝑥 라 하면, ∆𝑥 = 𝑏−𝑎 𝑛  기본도형의 면적의 합 𝑆_𝑛 은 𝑆_𝑛 = ∆𝑥 · 𝑓(𝑥₁) + ∆𝑥 · 𝑓(𝑥₂) + …∆𝑥 · 𝑓(𝑥_𝑛−1) + ∆𝑥 · 𝑓(𝑥_𝑛) = ∆𝑥 · 𝑓(𝑥₁)+ 𝑓(𝑥₂) + …𝑓(𝑥_𝑛−1) + 𝑓(𝑥_𝑛) = ∆𝑥 · 𝑛_𝑘=1𝑓(𝑥_𝑘)  여기서 𝑛 → ∞ 일 때 𝑆 = lim 𝑛→∞𝑆𝑛 = lim𝑛→∞ 𝑓(𝑥𝑘) · ∆𝑥 𝑛 𝑘=1  이 극한값을 함수 𝑓 𝑥 의 𝑎 에서

b

7-4. 정적분의 계산 7-4-1. 정적분의 기본 정리 1) 𝑓 𝑥_𝑎𝑎 𝑑𝑥 = 0 2) 𝑓 𝑥_𝑎𝑏 𝑑𝑥 = − 𝑓 𝑥 𝑑𝑥_𝑏𝑎 7-4-2. 정적분의 기본 공식 1) 𝑘_𝑎𝑏 𝑑𝑥 = 𝑘 𝑑𝑥_𝑎𝑏 = 𝑘 𝑏 − 𝑎 , 𝑘 = 상수 2) 𝑓 𝑥 ± 𝑔(𝑥)_𝑎𝑏 𝑑𝑥 = 𝑓 𝑥_𝑎𝑏 𝑑𝑥 ± 𝑔 𝑥_𝑎𝑏 𝑑𝑥 3) 𝑓 𝑥𝑏 𝑎 𝑑𝑥 = 𝑓 𝑥 𝑐 𝑎 𝑑𝑥 + 𝑓 𝑥 𝑏 𝑐 𝑑𝑥 7. 적분

예제) 다음의 정적분을 구하라 1) (2𝑥₁2 2 + 3𝑥 + 1)𝑑𝑥 − 2𝑥₁2 2 + 𝑥 + 1 𝑑𝑥 = 2𝑥₁2 𝑑𝑥 = [𝑥2]₁2 = 22 − 12 = 3 2) 𝑥₁2 𝑑𝑥 + 𝑥₂3 𝑑𝑥 = 𝑥₁3 𝑑𝑥 = 𝑥2 2 1 3 = 32 2 − 1 2 = 4 3) 𝑥 − 1₀2 𝑑𝑥 𝑥 − 1 = − 𝑥 − 1 , (0 ≤ 𝑥 ≤ 1) 𝑥 − 1 , (1 ≤ 𝑥 ≤ 2) _{∴ 𝑥 − 10}2 _{𝑑𝑥 = −(𝑥 − 1)0}1 _{𝑑𝑥 + (𝑥 − 1)1}2 𝑑𝑥 = −𝑥2 2 + 𝑥 ₀ 1 + 𝑥2 2 − 𝑥 ₁ 2 = −1 2 + 1 + 4 2− 2 − 1 2 − 1 = 1 7. 적분 −1 0 _{1 2} 1 𝑦 = − 𝑥 − 1 _{𝑦 = 𝑥 − 1}

4) ₀2𝜋 sin 𝑥 𝑑𝑥

sin 𝑥 =

sin 𝑥 , (0 ≤ 𝑥 ≤ 𝜋) −sin 𝑥 , (𝜋 ≤ 𝑥 ≤ 2𝜋)

_{∴ sin 𝑥0}𝜋 _{𝑑𝑥 = sin 𝑥0}𝜋 _{𝑑𝑥 − sin 𝑥𝜋}2𝜋 𝑑𝑥 = − cos 𝑥 ₀𝜋 _{+ cos 𝑥}

𝜋 2𝜋

= − cos 𝜋 − cos 0 + cos 2𝜋 − cos 𝜋 = 2 + 2 = 4

7. 적분 𝟐𝝅 𝑦 = sin 𝑥 𝑥 𝝅 −𝝅 𝟑𝝅 𝟐 𝑦 = cos 𝑥 𝑥 𝝅 −𝝅

7-4-3. 우함수와 기함수의 적분  우함수: 𝑦 축에 대칭 𝑓 𝑥 = 𝑓(−𝑥)  𝑓 𝑥_−𝑎𝑎 𝑑𝑥 = 2 𝑓 𝑥₀𝑎 𝑑𝑥 <증명> _{𝑓 𝑥−𝑎}𝑎 𝑑𝑥 = 𝑓 𝑥_−𝑎0 𝑑𝑥 + 𝑓 𝑥₀𝑎 𝑑𝑥 = 𝑓 −𝑥₀𝑎 𝑑𝑥 + 𝑓 𝑥₀𝑎 𝑑𝑥 ∴ 𝑓 𝑥_−𝑎𝑎 𝑑𝑥 = 𝑓 𝑥₀𝑎 𝑑𝑥 + 𝑓 𝑥₀𝑎 𝑑𝑥 = 2 𝑓 𝑥₀𝑎 𝑑𝑥  기함수: 원점에 대칭 𝑓 −𝑥 = −𝑓(𝑥)  𝑓(𝑥)_−𝑎𝑎 𝑑𝑥 = 0 <증명> 𝑓(𝑥)_−𝑎𝑎 𝑑𝑥 = 𝑓(𝑥)_−𝑎0 𝑑𝑥 + 𝑓(𝑥)₀𝑎 𝑑𝑥 = 𝑓 −𝑥₀𝑎 𝑑𝑥 + 𝑓(𝑥)₀𝑎 𝑑𝑥 ∴ 𝑓 𝑥_−𝑎𝑎 _{𝑑𝑥 = − 𝑓 𝑥0}𝑎 _{𝑑𝑥 + 𝑓 𝑥0}𝑎 𝑑𝑥 = 0 7. 적분 𝑓 −𝑥 = 𝑓 𝑥 𝑓 −𝑥 = −𝑓 𝑥