유형콕 중3하 답지 정답

Ⅰ. 삼각비 본문 10~11쪽

Ⅰ 삼각비

01 삼각비

10~21쪽 01 ③ 02 ⑤ 03 2rt3~~₃ 04 ① 05_cos~A=7/11, tan~A= 6rt2~~₇ 06 ② 07 ③ 08 75rt2~~₂ 09 ⑴ ^-AC^-=3rt3, ^-BC^-=6 ⑵ sin~B= rt3~~ 2 , tan~C= rt3~~3 10_7/9 11 ④ 12 3rt5~~ 5 13 ③ 14 rt13~13 15_5/2 16 10rt41~ 41 177/5 18sin~x=2/3, cos~x= rt5~~₃ , tan~x= 2rt5~~₅ 19 ① 202rt2~~ 21 ⑤ 22 ⑴ rt7 ⑵ tan~A= rt7~~ 3 , cos~C= rt7~~4 ⑶ 7rt7~~12 23 ④ 24 2rt5~~ 9 25^-MN^-=2rt2, sin~x= 2rt2~~3 26rt6&-3 27 ③ 281/3 29 ① 30 ④ 31 ⑴ 60° ⑵ 45° ⑶ _20° 32_30° 33 ⑴ rt2~~ 2 ⑵ 5rt3~~6 34 ② 35_3rt3~~ 36 ① 379rt2~~ 382rt3~~&-2

39_{^-AD^-=rt3&`cm, ^-DE^-=3/2&`cm} 40<sub>1`m</sub> 41<sub>2-rt3</sub> 42 ⑴ 2rt2&`cm ⑵ (2rt2&+2)~cm ⑶ rt2&~~-1 436

44_30° 45 5rt3~~ 9 46 ④ 47 ① 48 ⑴ _{0.7986 ⑵ 0.7986 ⑶ 1.3270} 49 ㄱ, ㄴ 50 ④ 51 ⑤ 52 ⑴ 1 ⑵ -1 53 ㄱ, ㄹ 54 ① 55 ⑤ 56 ③ 57 ㄴ, ㅁ, ㅂ 58 풀이 참조 59 ④ 60_cos~x 61 ⑴ 0.5769 ⑵ 16° 62 ⑤ 632.8244 64_4.04

01

_{^-AB^-=rt6^2+8^2~=10이므로} ③ tan~A=6/8=3/4  ③

02

sin~A=a/b, cos~A=c/b, tan~A=a/c _{sin~C=c/b, cos~C=a/b, tan~C=c/a}

.t3 sin~A=cos~C, cos~A=sin~C  ⑤

03

△ABC에서 ^-AB^-=rt6^2-(2rt3&~)^2x=2rt6~~이므로 …… 10% cos~A= ^-AB^-^-AC^- = 2rt6~~6 =rt6~~3 …… 30% tan~C= ^-AB^-^-BC^- = 2rt6~~2rt3 =rt2 …… 30% ∴ cos~A\tan~C= rt6~~_{3 \rt2=}2rt3~~₃ …… 30%  2rt3~~₃ 채점 기준 배점 ^-AB^-의 길이 구하기 10% cos~A의 값 구하기 30% tan~C의 값 구하기 30% cos~A\tan~C의 값 구하기 30%

04

_{^-AB^-=rt5&a, ^-AC^-=a(a>0)라 하면 ^-BC^-=rt(rt5&~a)^2&x+a^2x=rt6&~a} .t3 cos~C= ^-AC^-^-BC^-= art6&a =rt6~~6  ①

05

_{△BCD에서 ^-BC^-=rt9^2-3^2~=6rt2 △ABC에서 ^-AC^-=rt11^2-(6rt2&~)^2x=7} ∴ cos~A=

^-AC^-^-AB^-=7/11, tan~A= ^-BC^-^-AC^-= 6rt2~~7

 cos~A=7/11, tan~A= 6rt2~~₇

06

sin~B= ^-AC^-^-AB^-=4/5에서 8^-AB^-=4/5 .t3 ^-AB^-=10~(cm) ∴ ^-BC^-=rt10^2-8^2~=6~(cm)  ②

07

tan~B= ^-AC^-^-BC^-=8/15에서 ^-AC^-15 =8/15 ∴ _{^-AC^-=8~(cm)} .t3 △ABC=1/2\15&\8=60~(cm^2)  ③

08

_cos~A=

^-AB^-^-AC^-= rt33 에서 5rt3^-AC^-= rt33 ∴ ^-AC^-=15 ^-BC^-=rt15^2-(5rt3&~)^2x=5rt6~~이므로 _{△ABC=1/2\5rt6\5rt3~~= 75rt2} 2  75rt2~~2

09

⑴ cos~B= ^-AB^-^-BC^-=1/2에서 3^-BC^-=1/2 ∴ ^-BC^-=6 직각삼각형 ABC에서 ^-AC^-=rt6^2-3^2~=3rt3 …… 50% ⑵ sin~B= ^-AC^-^-BC^-= 3rt3~~6 =rt3~~2 tan~C= ^-AB^-^-AC^-= 3~3rt3~~ =rt3~~3 …… 50%

 ⑴ _{^-AC^-=3rt3, ^-BC^-=6 ⑵ sin~B= rt3~~2 , tan~C=}rt3~~₃

채점 기준 배점

⑴ 구하기 50%

10

sin~B=

^-AC^-^-AB^-= ^-AC^-18 =7/9에서 ^-AC^-=14이므로 ^-BC^-=218^2&-x14^2x=8rt2 .t3 sin~A\tan~B= 8rt2~~_{18 \} 14~ 8rt2~~ =7/9  7/9

11

cos~A=3/4이므로 오른쪽 그림과 같이 _{^-AB^-=3k, ^-AC^-=4k(k>0)인 직각삼각} 형 _{ABC를 그릴 수 있다. ^-BC^-=rt(4k)^2-(3k)^2~=rt7&k} ∴ 12~sin~A\tan~A=12\ rt7~~_{4 \}rt7~~_{3 =7}  ④

12

tan~A=1/2이므로 오른쪽 그림과 같이 ∠B=90°이고 ^-AB^-=2k, ^-BC^-=k (k>0)인 직각삼각형 ABC를 그릴 수 있다. ^-AC^-=rt(2k)^2+k^2~=rt5&k .t3 sin~A+cos~A= 1~~ rt5~~ +rt5~~ =2 3rt5~~5  3rt5~~5

13

13~sin~A=11에서 sin~A=11/13이므로 오 른쪽 그림과 같이 _{^-AC^-=13k, ^-BC^-=11k (k>0)인 직각삼각형 ABC를 그릴 수 있} 다. _{^-AB^-=rt(13k)^2-(11k)^2~~=4rt3&~k} .t3 tan~A= 11~ 4rt3~~ =11rt3~~12  ③

14

_{A(-6, 0), B(0, 4)이므로 ^-AO^-=6, ^-BO^-=4, ^-AB^-=rt6^2+4^2~=2213w} ∴ cos~A-sin~A= 6 2rt13~ -2rt13~ =4 rt1313  rt13~13

15

일차함수 y=5/2&x+4의 그래프와 x축, y축과의 교점을 각각 A, B라 하자. A(-8/5, 0^), B(0, 4)이므로 ^-OA^-=8/5, ^-OB^-=4 ∴ tan~a= ^-OB^-^-OA^-=4\5/8=5/2  5/2

16

4x-5y-20=0의 그래프의 x절편은 5, y절편은 -4 이므로 ^-OA^-=5, ^-OB^-=4, ^-AB^-=rt5^2+4^2~=rt41 A B C 4k 3k C A _B k 2k A B C 13k _11k A B 4 a y x O y= x+45₂ -85 ∴ cos~A+sin~B= 5 rt41~ +rt41~ =5 10rt41~41  10rt41~41

17

^-BC^-=rt3^2+4^2~=5이고 ∠B=∠CAH=∠&y, ∠C=∠BAH=∠&x이므로 cos~x+cos~y=4/5+3/5=7/5  7/5

18

_{∠&x=∠ABH=∠ACB이므로} sin~x=sin~C=2/3, cos~x=cos~C= rt5~~₃ tan~x=tan~C= 2 rt5~~ =2rt5~~5

 sin~x=2/3, cos~x= rt5~~_{3 , tan~x=}2rt5~~₅

19

∠&x =∠DAE=∠ABC =∠EDC이므로 sin~x=

^-DE^-^-AD^-= ^-CD^-^-AC^-= ^-AC^-

^-BC^-= ^-CE^-_^-CD^-  ①

20

∠BCH=∠BAC이므로 △ABC에서 cos~x=cos~A=1/3 ^-AC^-3 =1/3에서 ^-AC^-=1이므로 ^-BC^-=rt3^2-1^2~=2rt2  _2rt2

21

∠&x=∠BED=∠BAC이므로 ① sin~x=

^-BD^-^-BE^-= ^-BC^-^-AB^- ② cos~x= ^-DE^-^-BE^-= ^-AC^- ^-AB^- ③ tan~x= ^-BD^-^-DE^-= ^-BC^- ^-AC^- ④ cos~x= ^-DE^-^-BE^-에서 ^-DE^-=^-BE^-~cos~x ⑤ sinx= ^-BD^-^-BE^-에서 ^-BD^-=^-BE^-~sin~x이므로 ^-AD^-=^-AB^--^-BD^-=^-AB^--^-BE^-~sin~x  ⑤

22

⑴ △BED에서 ^-BD^-=rt4^2-3^2~=rt7 …… 25% ⑵ ∠CAB=∠DEB이므로 tan~A=tan(∠DEB)= ^-BD^-^-BE^-= rt7~~3 ∠ACB=∠EDB이므로 cos~C=cos(∠EDB)= ^-BD^-^-DE^-= rt7~~4 …… 50% x x y y H 3 4 A B C A B _D C E x x x

Ⅰ. 삼각비 본문 11~16쪽 ⑶ tan~A+cos~C= rt7~~ 3 +rt7~~4 =7rt7~~12 …… 25%  ⑴ rt7 ⑵ tan~A= rt7~~_{3 , cos~C=}rt7~~_{4 ⑶} 7rt7~~₁₂ 채점 기준 배점 ⑴ 구하기 25% ⑵ 구하기 50% ⑶ 구하기 25%

23

^-EG^-=rt4^2+4^2~=4rt2&`(cm) ^-CE^-=rt4^2+4^2+4^2~=4rt3&`(cm) △CEG에서 ∠CGE=90°이므로 cos~x= ^-EG^-^-CE^-= 4rt2~~4rt3~~ =rt6~~3  ④

24

^-EG^-=rt4^2+2^2~=2rt5`(cm), ^-AG^-=rt4^2+2^2+5^2~=3rt5&`(cm) △AEG에서 ∠AEG=90°이므로 sin~x\cos~x=

^-AE^-^-AG^-\ ^-EG^-^-AG^-= 53rt5~~ \3rt5~~ =2rt5 2rt59

 2rt5~~₉

25

△ABC에서 ^-AM^-=34^2&-2^2c=2rt3 ^-MD^-=^-AM^-=2rt3 △AMD는 이등변삼각형이므로 ^-MN^-은 ^-AD^-의 수직이 등분선이다. .t3 ^-MN^-=3(2rt3&)^2&c-2^2c=2rt2 점 A에서 ^-MD^-에 내린 수선의 발을 H라 하면 점 H는 △BCD의 무게중심이므로 ^-MH^-=1/3~&^-MD^-= 2rt3~~₃ △AMH에서 ^-AH^-=4(2rt3&)^2&-v^( 2rt3~_{3 ^)^^2}v~= 4rt6~~₃ ∴ sin~x= ^-AH^-^-AM^-= 4rt6~~3 \2rt3 =1~ 2rt2~~3  _{^-MN^-=2rt2, sin~x= 2rt2~~3}

26

4~cos~45°\&sin~60°-2~cos~30°\tan~60° =4\ rt2~~_{2 \}rt3~~_{2 -2\}rt3~~_{2 \rt3~~=rt6&~-3}  _rt6&-3

27

③ tan~60°÷sin~45°=rt3÷;!rt2/2$=rt3\;#2rt2:::=rt6/  ③ 3 2 3 2 H A D M x

28

tan~30°\sin~60°~~ rt2~~sin~45°+cos~60° = ;!rt3/3:\;!rt3/_2:~~ rt2~~\;!rt2/2:+1/2=1/3  1/3

29

(1-sin~x)(1+cos~2x) =(1-sin~30°)(1+cos~60°) =(1-1/2^)(1+1/2^)=1/2\3/2=3/4  ①

30

∠A=180°\_{1+2+3 =30}1 °이므로 sin~A`:`cos~A`:`tan~A=sin~30°`:`cos~30°`:`tan~30° =1/2`:`;!rt3/2$`:`;!rt3/3$=rt3`:`3`:`2  ④

31

⑴ sin~x=;!rt3/2$이므로 ∠&x=60° ⑵ cos~x=;!rt2/2$이므로 ∠&x=45° ⑶ _{tan~(x+10°)=;!rt3/3$이므로 ∠&x+10°=30°} ∴ ∠&x=20°  ⑴ 60° ⑵ 45° ⑶ 20°

32

cos~B= 6 4rt3~~ =;!rt3/2$이고 0°<B<90°이므로 ∠B=30°  _30°

33

⑴ sin~(2x-30°)=;!rt3/2$에서 2∠&x-30°=60° ∴ ∠&x=45° ∴ cos~x=cos~45°=;!rt2/2$ …… 50% ⑵ _{cos~(x+15°)=;!rt2/2$에서 ∠&x+15°=45°} ∴ ∠&x=30° ∴ tan~x+sin~2x=tan~30°+sin~60° ∴ tan~x+sin~2x=;!rt3/3$+;!rt3/2$= 5rt3₆ …… 50%  ⑴ rt2~~_{2 ⑵} 5rt3~~₆ 채점 기준 배점 ⑴ 구하기 50% ⑵ 구하기 50%

34

△ABH에서 sin~45°= ^-AH^-6rt2 =;!rt2/2$에서 ^-AH^-=6 △AHC에서 sin~30°= 6 ^-AC^-=1/2에서 ^-AC^-=12  ②

35

_{sin~60°=3/x=;!rt3/2$에서 x=2rt3}

tan~60°=3/y=rt3~~에서 y=rt3 ∴ _{x+y=2rt3&~+rt3~=3rt3~~}  3rt3

36

△ABD에서 sin~30°= 6 ^-BD^-=1/2에서 ^-BD^-=12~(cm) △BCD에서 cos~30°= 12 ^-BC^-=;!rt3/2$에서 ^-BC^-=8rt3&`(cm)  ①

37

△BCD에서 _tan~60°= ^-BC^-3rt3~~ =rt3~~이므로 ^-BC^-=9 …… 50% △ABC에서 sin~45°= 9 ^-AC^-=;!rt2/2$에서 ^-AC^-=9rt2 …… 50%  9rt2 채점 기준 배점 ^-BC^-의 길이 구하기 50% ^-AC^-의 길이 구하기 50%

38

△ABD에서 tan~45°= ^-BD^-_{2 =1}이므로 ^-BD^-=2 △ABC에서 tan~30°= 2 ^-BC^-=;!rt3/3$이므로 ^-BC^-=2rt3 ∴ ^-CD^-=^-BC^--^-BD^-=2rt3&~-2  2rt3~~-2

39

△ABC에서 cos~60°= ^-AC^-_{4 =1}/2이므로 ^-AC^-=2~(cm) △ADC에서 sin~60°= ^-AD^-_{2 =;!rt3}/2$이므로

_{^-AD^-=rt3&~(cm)}

_{∠BCA=∠BAD=60°이므로}

△AED에서 sin~60°=

^-DE^-rt3 =;!^-DE^-rt3/2$이므로

^-DE^-=3/2(cm)  ^-AD^-=rt3&`cm, ^-DE^-=3/2&`cm

40

△ABC에서 sin~30°= ^-BC^-2 =1/2이므로 ^-BC^-=1(m) 따라서 막대의 가장 높은 부분까지의 높이는 1`m이다.  <sub>1`m</sub>

41

<sub>∠DAB=30°-15°=15°이므로 ^-AD^-=^-BD^-=6`cm</sub> △ADC에서 sin~30°= ^-AC^-<sub>6 =1</sub>/2이므로 ^-AC^-=3~(cm) 30æ A B C 2`m cos~30°= ^-CD^-_{6 =;!rt3}/2$이므로 ^-CD^-=3rt3`(cm) .t3 tan~15°= ^-AC^-^-BC^-=6+3rt3~~ =3 2+rt3~~ =2-rt31  2-rt3~~

42

⑴ △BCD에서 cos~45°= 2 ^-BD^-=;!rt2/2$이므로 ^-BD^-=2rt2&~(cm) ⑵ △BCD에서 tan~45°= ^-CD^-_{2 =1}이므로 ^-CD^-=2~(cm) .t3 ^-AC^-=^-AD^-+^-DC^-=^-BD^-+^-DC^-=2rt2&~+2~(cm) ⑶ ∠BDC=45°이고 ^-AD^-=^-BD^-이므로 ∠ABD=∠BAD=22.5° .t3 tan~22.5°=

^-BC^-^-AC^-=2rt2&+2 =2 rt2&+1 =rt2&~-11

 ⑴ 2rt2&`cm ⑵ (2rt2&~+2)~cm ⑶ rt2&-1

43

직선의 기울기 a=tan45°=1 _{y절편이 b이므로 tan~45°=b/5=1에서 b=5} ∴ a+b=1+5=6  6

44

x-rt3&~y+rt3~=0에서 y=;!rt3/3$&x+1 _{tan~α=;!rt3/3$이므로 ∠α=30°이다.}  30°

45

3rt3&x-5y+10=0에서 y= 3rt3~~_{5 ~x+2} 따라서 tan~α= 3rt3~~₅ 이므로 1_{tan~α =} 5~~ 3rt3~~ =5rt3~~9 이다.  5rt3~~₉

46

④ cos~y=

^-AB^-^-OA^-= ^-AB^-1 =^-AB^-  ④

47

_{∠ACB=∠&x이므로 sin~x=}

^-AB^-^-AC^-= ^-AB^-1 =^-AB^- ①

48

⑴ △AOB에서 sin~53°= ^-AB^-^-OA^-= 0 .7986 1 =0.7986 ⑵ △AOB에서 ∠OAB=180°-(90°+53°)=37°이 므로 cos~37°= ^-AB^-^-OA^-= 0 .7986 1 =0.7986

Ⅰ. 삼각비 본문 16~21쪽 ⑶ △COD에서 tan~53°= ^-CD^-^-OD^-= 1.32701 =1.3270  ⑴ 0.7986 ⑵ 0.7986 ⑶ 1.3270

49

sin~x= ^-AH^-r 에서 ^-AH^-=r~sin~x cos~x= ^-OH^-r 에서 ^-OH^-=r~cos~x ^-OB^-=r이므로 ^-BH^-=^-OB^--^-OH^-=r-r~cos~x tan~x= ^-BT^-_r 에서 ^-BT^-=r~tan~x 따라서 옳은 것은 ㄱ, ㄴ이다.  ㄱ, ㄴ

50

점 A의 좌표는 A(^-OB^-, ^-AB^-)이고 ^-OB^-=cos~a=sin~b, ^-AB^-=sin~a=cos~b  ④

51

⑤ _{sin~90°=1이고 tan~0°=0이므로 sin~90°not=tan~0°}  ⑤

52

⑴ sin~30°+cos~60°+tan~0°=1/2+1/2+0=1 ⑵ sin~0°\cos~90°-sin~90°\cos~0° =0\0-1\1=-1  ⑴ 1 ⑵ -1

53

ㄱ. 2~sin~90°+cos~90°=2\1+0=2 ㄴ. cos~45°=;!rt2/2$, cos~60°=1/2이므로 cos~45°>cos~60° ㄷ. cos~0°\(sin~90°+tan~45°)=1\(1+1)=2 ㄹ. rt2~~sin~45°\cos~0°=rt2\;!rt2/2$\1=1 tan~30°\tan~60°=;!rt3/3$\rt3=1 _{.t3 rt2`sin~45°\cos~0°=tan~30°\tan~60°} ㅁ. (1+tan~45°)(1+sin~30°)=(1+1)(1+1/2^)=3 ㅂ. sin~60°\tan~30°=;!rt3/2$\;!rt3/3$=1/2 (sin~0°+sin~45°)(cos~90°-cos~45°) =(0+;!rt2/2$^)(0-;!rt2/2$^)=-1/2 .t3 sin~60°\tan~30° not=(sin~0°+sin~45°)(cos~90°-cos~45°) 따라서 옳은 것은 ㄱ, ㄹ이다.  ㄱ, ㄹ

54

sin~20°<cos~20°<1=tan~45°<tan~50°  ①

55

⑤ tan~x의 최댓값은 알 수 없다.  ⑤

56

① sin~0°=0 ② sin~30°=1/2 ③ tan~55°>1

④ cos~60°=1/2 ⑤ cos~90°=0  ③

57

0°-<∠&x-<90°인 범위에서 ∠&x의 크기가 증가하면

sin~x, tan~x의 값은 각각 증가하고, cos~x의 값은 감소

한다.

ㄱ. cos~30°>cos~31°

ㄷ. tan~30°=;!rt3/3$, cos~60°=1/2이므로 tan~30°>cos~60° ㄹ. tan~45°=1, sin~45°=;!rt2/2$이므로 tan~45°>sin~45° 따라서 옳은 것은 ㄴ, ㅁ, ㅂ이다.  ㄴ, ㅁ, ㅂ

58

 혜미  예각의 범위에서 _{sin, cos의 값은 0과 1 사이의 값을} 갖지만 tan의 값은 1 이상의 값도 갖는다. 우리  예각의 범위에서 ∠&x의 크기가 커질수록 cos~x의 값은 점점 작아지고 tan~x의 값은 점점 커진다. 또는 예각의 범위에서 ∠&x의 크기가 작아질수록 cos~x의 값은 점점 커지고 tan~x의 값은 점점 작 아진다.

59

0°<∠&x<90°일 때, 0<cos~x<1이므로 rt(cos~xx+x1)^2&x~+rt(cos~xx-x1)^2&x~ =(cos~x+1)-(cos~x-1) =cos~x+1-cos~x+1=2  ④

60

0°<∠&x<45°일 때, 0<sin~x<cos~x이므로 rt(cos~x-xsin~xx)^2&&x+2sin^2~&xx =(cos~x-sin~x)+sin~x=cos~x  cos~x

61

⑴ sin~18°+tan~15°=0.3090+0.2679=0.5769 ⑵ cos~16°=0.9613이므로 ∠&x=16°  ⑴ 0.5769 ⑵ 16°

62

④ sin~57°+cos~54°=0.8387+0.5878=1.4265 ⑤ tan~56°-sin~53°=1.4826-0.7986=0.684  ⑤

63

sin~48°=x/2=0.7431에서 x=1.4862 cos~48°=y/2=0.6691에서 y=1.3382 ∴ x+y=1.4862+1.3382=2.8244  2.8244

64

∠B=90°-68°=22°이므로

tan~22°= ^-AC^-_{10 =0.4040} .t3 ^-AC^-=4.04  _4.04

22~24쪽 01 ③ 02_1/15 03 rt5~~ 3 04 2rt5~5 05_{y= rt3~~} 3 x-6 06 rt3~2 077/23 089/41 096 10 ② 11_{^-AD^-=2, ^-DE^-=3} 12_15/4 13_rt2~~+1 14_{3(rt6~~-rt2~~)~cm} 15 ⑤ 16 ㄷ, ㅂ 17_rt3&-1/2 18_29.225 19 rt10~~ 4 20 ⑴ 3/2 ⑵ 5/2

01

_{^-AB^-=2~^-OA^-=26이므로 ^-AC^-=226^2&-1x0^2w=24} sin`A=10/26=5/13, cos`A=24/26=12/13 tan`A=10/24=5/12, sin`B=24/26=12/13 _{cos`B=10/26=5/13}  ③

02

^-BD^-=rt8^2+6^2w=10이므로 _{sin`x+cos`x-tan`x=4/5+3/5-4/3=1/15}  1/15

03

△ABC에서 ^-BC^-=3(2rt6~~)c&^2e&-2^2&c=2rt5 ^-BD^-=^-CD^-=rt5이므로 △ADC에서 ^-AD^-=3(rt5~~)^2&+c2^2e=3 _{.t3 cos`x=} ^-CD^-^-AD^-= rt5~~3  rt5~~3

04

△ABC에서 ^-BC^-=32^2&+4^2c=2rt5 ∠&x=90°-∠C=∠ABC이므로 sin~x= ^-AC^-^-BC^-= 42rt5~~ =2rt55  2rt5~5

05

sin~a=1/2이므로 ∠a=30° 직선의 기울기는 tan~30°= rt3~~ 3 이므로 구하는 직선의 방정식은 y= rt3~~_{3 ~x-6}이다.  y= rt3~~_{3 x-6}

06

점 A에서 ^-BC^-에 내린 수선의 발을 H라 하면 △AHC에서 cos`C= ^-CH^-_{9 =}rt5~~₃ .t3 ^-CH^-=3rt5 ^-AH^-=39^2&~-(3crt5&~)^2c=6이므로 △ABH에서 ^-BH^-=212^2&-x6^2w=6rt3 .t3 cos~B= 6rt3~~_{12 =}rt3~~₂  rt3~₂

07

∠B=90°이고 tan(90°-C)=tan`A=15/8인 삼각형을 그리면 오른쪽 그림과 같다. ^-AC^-=2(8k)^2&+(x15k)x^2w=17k

_{sin~A=15/17, cos~A=8/17, tan~A=15/8이므로 cos~A+cos~A~tan~A}sin~A-cos~A = 15/17-8/17 8 / 17+8/17\15/8= 7 / 17 23 / 17=7/23  7/23

08

5x-4y=20을 y에 관하여 풀면 y=5/4&x-5 일차함수 y=5/4&x-5의 그래프가 x축, _{y축과 만나는 점을 각각 A, B라 하면 A(4, 0), B(0, -5)이므로 ^-AB^-=34^2&+5^2c=rt41} .t3 sin^2~a-cos^2&~a=( 5 rt41~^)^^2&-^( 4rt41~^)^^2 =25/41-16/41=9/41  9/41

09

△BFH는 ∠BFH=90°인 직각삼각형이므로 ^-FH^-=24^2&+s8^2w=4rt5, ^-BH^-=24^2&+8^2&+1x2^2w=4rt14 .t3 tan~x= ^-BF^-^-FH^-= 124rt5~~= 3rt55 , sin~x= ^-BF^-^-BH^-~= 124rt14~~= 3rt1414 .t3 rt5~~tan~x+rt14~sin~x =rt5~\ 3rt5 5 +rt14~\3rt1414 =6~  6

10

① tan~0°-sin~90°\cos~90°=0-1\0=0 ② sin~30°+cos~60°\tan~45°=1/2+1/2\1=1 A H 12 9 B C A _B C 15k 8k y x a 4 -5 O A B

Ⅰ. 삼각비 본문 21~24쪽 ③ cos~60°÷sin~30°=1/2&÷1/2=1 ④ rt3`tan~30°-4~cos~60°=rt3\;!rt3/3$-4\1/2 =1-2=-1 ⑤ (sin~30°+cos~30°)(sin~60°-cos~60°) ` =(1/2+ rt3~~_{2 ^)^(}rt3~~_{2 -1}2^)=3/ /4-1/4=1/2  ②

11

△ABC에서 cos~30°= 4rt3~~~~ ^-AC^- = rt3~~2 이므로 ^-AC^-=8 △DBC에서 cos~30°= ^-CD^-~ 4rt3~~= rt3~~2 이므로 ^-CD^-=6 .t3 ^-AD^-=8-6=2

△DEC에서 sin~30°= ^-DE^-_{6 =1}/2이므로 ^-DE^-=3

 ^-AD^-=2, ^-DE^-=3

12

2x^2&-11x+5=0, (2x-1)(x-5)=0 _{.t3 x=1/2 또는 x=5} ∠α는 예각이므로 0<cos~α<1에서 cos~α=1/2 .t3 ∠α=60° .t3 sin^2&~α+rt3~~tan~α=sin^2&60°+rt3~~tan~60° =^( rt3~~_{2 ^)^^2&+rt3\rt3} =3/4+3=15/4  _15/4

13

∠ADC=22.5°+22.5°=45°이므로

△ADC에서 sin~45°= ^-AC^-_{4 =}rt2~~₂ .t3 ^-AC^-=2rt2 cos~45°= ^-CD^-_{4 =}rt2~~₂ .t3 ^-CD^-=2rt2 ∠BAC=22.5°+45°=67.5°이므로 △ABC에서 tan~67.5°= ^-BC^-^-AC^-= 4+2rt2~~2rt2 =rt2~~+1  rt2~~+1

14

△ABC에서 tan~30°= 2rt6~~ ^-BC^-= rt3~~3 이므로 ^-BC^-=6rt2~`(cm) ^-EF^-=x`cm라 하면 △BEF에서 tan~45°= x ^-BF^-=1이므로 ^-BF^-=x~(cm) _{△CEF에서 tan~30°= x} ^-CF^-= rt3~~3 이므로 ^-CF^-=rt3~~x(cm) ^-BC^-=^-BF^-+^-FC^-이므로 x+rt3~~x=6rt2 .t3 x= 6rt2~~ rt3&+1=3(rt6~~-rt2~~) 따라서 ^-EF^-의 길이는 3(rt6~~-rt2~~)~cm이다.  3(rt6~~-rt2~~)~cm

15

⑤ sin~y+tan~x =0.5878+1.3764=1.9642  ⑤

16

ㄱ. sin~0°=0, cos~0°=1, tan~0°=0이므로 sin~0°=tan~0°<cos~0° ㄴ. 0°<A<45°일 때, rt2~~_{2 <cos~A<1}, 0<sin~A< rt2~~₂ 이므로 sin~A<cos~A ㄷ. 45°<A<90°일 때, cos~A<sin~A<1<tan~A ㄹ. tan~50°>1, cos~45°= rt2~~₂ , 0<sin~20°< rt2~~₂ 이므로 sin~20°<cos~45°<tan~50° ㅁ. 0°-<A-<90°의 범위에서 ∠A의 크기가 증가하면 sin~A의 값은 0에서 1까지 증가한다.  ㄷ, ㅂ

17

_{45°<∠&x<90°일 때, rt2~~} 2 <sin~x<1이고 _{tan~60°=rt3, cos~60°=1/2이므로} sin~x-tan~60°<0, cos~60°-sin~x<0 ∴ 2(sin~x-tan~x60°)^2x&+2(cos~60°-sixn~x)^2x =-(sin~x-tan~60°)-(cos~60°-sin~x) =-sin~x+tan~60°-cos~60°+sin~x =tan~60°-cos~60° _=rt3~~-1/2  rt3&~-1/2

18

△ABD에서 cos~65°= ^-BD^-_{10 =0.42}이므로 ^-BD^-=10\0.42=4.2 sin~65°= ^-AD^-_{10 =0.91}이므로 ^-AD^-=10\0.91=9.1

△ADC에서 tan~70°= ^-CD^-_{9.1 =2.75}이므로 _{^-CD^-=9.1\2.75=25.025 ^-BC^-=^-BD^-+^-CD^-= 4.2+25.025=29.225}  29.225

19

직각삼각형 ADC에서 ^-AC^-jgak^-DE^-이므로 ^-DE^-~^2=3\5=15 .t3 ^-DE^-=rt15`(cm)(.T3 ^-DE^->0) …… 30% 직각삼각형 DCE에서 피타고라스 정리에 의해 ^-DC^-=3(rt15~)^2&c+5^2c=rt40=2rt10`(cm) …… 30%

.t3 x=60\0.9925=59.55 건물이 3° 기울어졌을 때의 높이를 y`m라 하면 cos~3°=y/60=0.9986 <sub>.t3 y=60\0.9986=59.916</sub> 따라서 구하는 높이의 차는 <sub>59.916-59.55=0.366~(m)이다.</sub> 답0.366`m~~

02 삼각비의 활용

28~35쪽 01_{^-AC^-=5.3528, ^-BC^-=5.9448} 02 ④ 03_{50(rt26&+1)~m} 04_{48rt3~`cm^3</sub> 05 512rt3~~ 3 pai`cm^3 0615.7`m 07<sub>0.984`m} 08_10(rt3&-1)~m 09_{20(rt3~~+3)~m} 10_{40rt6~~`m</sub> 11<sub>10초</sub> 12<sub>4분</sub> 13 ④ 14<sub>2rt7`cm} 15_5(rt5~~+2)~m 16<sub>15rt7~~`km</sub> 17 ③ 1810(rt3~~-1)~cm 19(6+2rt2~~+2rt3~~)`cm 20_{40(3-rt3~~)~cm} 21_{50(18-5rt3~~)~cm} 22_{36(rt3~&~-1)~cm^2} 23_{7rt3`cm</sub> 24<sub>25(rt3~~+1)~m</sub> 25<sub>9(3+rt3~~)~cm^2</sub> 26 ③ 275`cm 2860° 29 ② 30 10rt3~~ 3 `cm^2 31 24rt3~~7 328rt2`cm^2 33 ④ 34 ③ 35150° 362 37(12pai-6rt3~~)~cm^2 38_{12rt3&`cm^2</sub> 39<sub>8rt3&`cm^2} 40_{(32+10rt6~~)~cm^2} 41 ① 4212rt3`cm^2 43 ② 44<sub>18rt2`cm^2} 45_{4rt3~`cm</sub> 46<sub>64`cm^2} 47_{45rt2`cm^2</sub> 48<sub>14`cm} 49_10`cm

01

^-AC^-=8~sin~42°=8\0.6691=5.3528 ^-BC^-=8~cos~42°=8\0.7431=5.9448  _{^-AC^-=5.3528, ^-BC^-=5.9448}

02

_{sin~29°= 4} ^-BC^- 에서 ^-BC^-= 4sin~29°  ④

03

경사도 <sub>20`%이면 tan~A=21/000=1/5이므로</sub> sin~A= 1 rt26~이다. 직각삼각형에서 빗변의 길이가 1.3`km=1300`m 이므로 이동한 높이는 1300\sin~A=1300\ 1 rt26~=50rt26`(m) 따라서 수호는 현재 해발 .t3 sin~x\tan~y= rt15 2rt10~\ 5rt15~= rt10~4 …… 40%  rt10~~₄ 채점 기준 배점 ^-DE^-의 길이 구하기 30% ^-DC^-의 길이 구하기 30% sin~x\tan~y의 값 구하기 40%

20

⑴ A=sin~30°-tan~60°=1/2-rt3 B=cos~0°-sin~60°=1- rt3~~_{2 .t3 A^2&-B^2=(A+B)(A-B)} =(&3/2- 3rt3~~_{2 ^)(&-1}/2- rt3~~_{2 ^)} =3/2&(1-rt3&~)\(-1/2&^)(1+rt3&~) =-3/4\(-2)=3/2 …… 50% ⑵ cos~30°= rt3~~₂ 이므로 2∠&x-30°=30° .t3 ∠&x=30° rt3~`tan~2x-sin~x=rt3`tan~60°-sin~30° =rt3\rt3&-1/2=5/2 …… 50%  ⑴ _{3/2 ⑵ 5/2} 채점 기준 배점 ⑴ 구하기 50% ⑵ 구하기 50% 25쪽

1

오른쪽 그림과 같이 ^-AB^-의 중점 60æ 10`km 10`km A B _C D _E F 을 D, 점 D에서 ^-AC^-와 ^-BC^-에 내린 수선의 발을 각각 E, F라 고 하면 △ADE/=-△EFC/=-△DBF/=-△FED 또, △ADE에서 ^-AE^-=10`km이므로 cos~60°= ^-AE^-^-AD^-=1/2에서 10^-AD^-=1/2 .t3 ^-AD^-=20~(km) 따라서 분할된 직각삼각형의 빗변의 길이는 20`km이 다. 답20`km~~

2

건물이 기울어지지 않았을 때의 높이가 60`m이다. 건물이 7° 기울어졌을 때의 높이를 x`m라 하면 cos~7°=x/60=0.9925

Ⅰ. 삼각비 본문 24~30쪽 50rt26&+50=50(rt26&+1)(m)에 있다.  50(rt26&+1)~m

04

△CFG에서 ^-CG^-=4rt3~`~tan~30°=4rt3\ rt3~~<sub>3 =4~(cm)</sub> .t3 (부피)=4rt3\3\4=48rt3`(cm^3)  48rt3~`cm^3

05

△ABH에서 ^-BH^-=16~cos~60°=16\1/2=8~(cm) ^-AH^-=16~sin~60°=16\ rt3~~_{2 =8rt3}`(cm) <sub>.t3 (부피)=1/3\pai\8^2&\8rt3= 512rt3~~</sub> 3 pai~(cm^3)  512rt3~~<sub>3 pai`cm^3</sub>

06

△ABC에서 25æ 30`m A B C ^-AB^-=30~tan~25°=30\0.47 =14.1~(m) .t3 (러버덕의 높이)=^-AB^-+(정후의 눈높이) =14.1+1.6=15.7~(m)  <sub>15.7`m</sub>

07

1.2~sin~55°=1.2\0.82=0.984~(m)  0.984`m

08

△DBC에서 ^-BC^-= 10~~_{tan~45° =10~(m)} △ABC에서 ^-AC^-=10~tan~60°=10rt3`(m) .t3 ^-AD^-=^-AC^--^-CD^-=10rt3&-10=10(rt3&-1)(m)  10(rt3&~-1)~m

09

_△ABC에서 ^-BC^-=60~tan~30°=60\ rt3~~_{3 =20rt3&`(m)} …… 40% △ACD에서 ^-CD^- =60~tan~45°=60\1=60~(m) …… 40% .t3 ^-BD^-=^-BC^-+^-CD^-=20rt3~~+60~(m) 따라서 ㈏ 건물의 높이는 20(rt3~~+3)~m이다. …… 20%  _{20(rt3~~+3)~m} 채점 기준 배점 ^-BC^-의 길이 구하기 40% ^-CD^-의 길이 구하기 40% ㈏ 건물의 높이 구하기 20%

10

△ABH에서 ^-AH^-=240~sin~45°=240\ rt2~~ 2 =120rt2`(m) △AHC에서 ^-CH^-=120rt2`tan~30°=120rt2\ rt3~~<sub>3 =40rt6`(m)</sub>  40rt6~~`m

11

^-AC^-= 235~~_{sin~70° =}235~~_{0.94 =250~(m)} 따라서 독수리가 토끼를 잡는 데까지 걸린 시간은 250/25=10(초)이다.  10초

12

_{^-AC^-= 30~} sin~30° =30\2=60~(m) A지점에서 C지점까지 분속 15`m의 속력으로 걸었으 므로 가는 데 걸린 시간은 _{60/15=4(분)이다.}  4분

13

꼭짓점 A에서 ^-BC^-에 내린 수선의 H 60æ 4`cm 7`cm A B C 발을 H라 하면 △ABH에서 ^-AH^-=4~sin~60°=2rt3~`(cm) ^-BH^-=4~cos~60°=2~(cm) 따라서 △ACH에서 ^-CH^-=7-2=5~(cm)이므로 ^-AC^-=3(2rt3~~)^2&c+5^2c=rt37`(cm)이다.  ④

14

꼭짓점 A에서 ^-BC^-에 내린 수선의 3 4 cm 30æ 10`cm A H B C 발을 H라 하면 △AHC에서 ^-AH^- =4rt3`&sin~30°=2rt3~`(cm), ^-CH^-=4rt3`cos~30°=6~(cm) .t3 ^-BH^-=^-BC^--^-CH^-=10-6=4~(cm) △ABH에서 ^-AB^-=34^2&+(2crt3~~)^2c=2rt7~`(cm)  2rt7`cm

15

꼭짓점 A에서 ^-BC^-에 내린 수선 H 45æ 15`m 102m A B C 의 발을 H라 하면 △AHC에서 ^-AH^-=10rt2~~sin~45°=10~(m) ^-CH^-=^-AH^-=10~(m) …… 50% △ABH에서 ^-BH^-=215^2&s-10^2x=5rt5~`(m) …… 30% .t3 ^-BC^-=^-BH^-+^-CH^-=5rt5~~+10=5(rt5~~+2)~(m) 따라서 두 지점 B, C 사이의 거리는 5(rt5~~+2)~m이다. …… 20%  5(rt5~~+2)~m

19

꼭짓점 C에서 ^-AB^-에 내린 수선의 30æ 45æ 45æ 60æ 4`cm A H B C 발을 H라 하면 △BCH에서 ^-BH^-=4~cos~30°=2rt3~`(cm) ^-CH^-=4~sin~30°=2~(cm) ∠BAC=180°-30°-105°=45°이므로 △AHC에서 ^-AH^-=^-CH^-=2~tan~45°=2~(cm) .t3 ^-AC^-=22^2&+2^2x=2rt2~`(cm) .t3 (semoABC의 둘레의 길이) =^-AB^-+^-BC^-+^-CA^-=2+2rt3~~+4+2rt2 =6+2rt2~~+2rt3~`(cm)  (6+2rt2~~+2rt3~~)`cm

20

∠BAH=30°, ∠CAH=45°이므로 ^-AH^-=h`cm라 하면 <sub>△ABH에서 ^-BH^-=h~tan~30°= rt3~~</sub> 3 `h~(cm) △AHC에서 ^-CH^-=h~tan~45°=h~(cm) 이때 ^-BC^-=^-BH^-+^-CH^-이므로 rt3~~ 3 ~h+h=80, rt3&+33 `h=80 .t3 h=40(3-rt3&~) 따라서 ^-AH^-=40(3-rt3~~&)~cm이다.  40(3-rt3~~)~cm

21

꼭짓점 C에서 ^-AB^-에 내린 수선의 H60æ 40æ 30æ 830`cm A B C 50æ h`cm 발을 H라 하고 나무의 높이를 h`cm라 하면 ∠ACH=50°, ∠BCH=30°이므 로 △CAH에서 ^-AH^-=h~tan~50°=1.2h~(cm) △CHB에서 ^-BH^-=h~tan~30°= rt3~~ 3 `h~(cm) 1.2h+ rt3~~ 3 ~h=830이므로 18+5rt3~~15 ~h=830 .t3 h=50(18-5rt3~~) 따라서 나무의 높이는 50(18-5rt3~~)~cm이다.  50(18-5rt3~~)~cm

22

_꼭짓점 A에서 ^-BC^-에 내린 수선의 발을 H라 하고 ^-AH^-=h`cm라 하면 ∠BAH=45°, ∠CAH=60°이므로 △ABH에서 ^-BH^-=h~tan~45°=h~(cm) △AHC에서 ^-CH^-=h~tan~60°=rt3&~h~(cm) h+rt3&~h=12에서 (1+rt3&~)h=12 .t3 h=6(rt3&~-1) 채점 기준 배점 ^-AH^-, ^-CH^-의 길이 구하기 50% ^-BH^-의 길이 구하기 30% 두 지점 B, C 사이의 거리 구하기 20%

16

은빛호와 구조선의 위치를 각각 A, B, 제주항의 위치를 C라 하고, 점 C에서 ^-AB^-에 내린 수선의 발을 H라 하면 _{^-AB^-=60\45/60=45(km)} △CHB에서 ^-CH^-=30~sin~60°=15rt3`(km), ^-BH^-=30~cos~60°=15~(km) ∴ ^-AH^-=^-AB^--^-BH^-=45-15=30~(km) △AHC에서 ^-AC^-=330^2&+c(15crt3~~)^2c=rt1575=15rt7~`(km) 따라서 은빛호는 제주항에서 15rt7~~`km 떨어진 지점에 있다.  15rt7~~`km

17

꼭짓점 A에서 ^-BC^-에 내린 수선의 60æ 45æ 45æ 30æ 3 6 cm A H B C 발을 H라 하면 △AHC에서 ^-CH^-=6rt3~~~cos~60°=3rt3~`(cm) ^-AH^-=6rt3~~~sin~60°=9~(cm) ∠ABC=180°-75°-60°=45°이므로 △ABH에서

^-AB^-= 9~~_{sin`45° =9rt2&`(cm)}  ③

18

꼭짓점 A에서 ^-BC^-에 내린 수선 x`cm x`cm H 30æ 45æ 10`cm A B C 의 발을 H라 하고 ^-AH^-=x`cm라 하면 semoABH에서 ^-BH^-= x~~<sub>tan`45° =x~(cm)</sub> △AHC에서 <sub>^-CH^-= x~~</sub> tan`30° =rt3~~x~(cm) ^-BC^-=^-BH^-+^-HC^-=x+rt3~~x=(1+rt3~~)x=10~(cm) _{.t3 x= 10~} 1+rt3~~~=5(rt3~~-1)

.t3 ^-AC^-= 5(rt3&-1)~~_{sin`30° ~=10(rt3~~-1)~(cm)}

 _{10(rt3~~-1)~cm} 30`km 45`km A B 60æ C H

Ⅰ. 삼각비 본문 30~33쪽 .t3 △ABC=1/2\12\6(rt3&~-1)=36(rt3&~-1)~(cm^2)  _{36(rt3~&~-1)~cm^2}

23

∠BAH=60°, ∠CAH=30°이므로 ^-AH^-=h`cm라 하면 △ABH에서 ^-BH^-=h~tan~60°=rt3~&h~(cm) △ACH에서 ^-CH^-=h~tan~30°=#!rt3/3$h~(cm)이므로 rt3&h-#!rt3/3$h=14이므로 2rt3~ 3 h=14 .t3 h=7rt3 따라서 ^-AH^-의 길이는 7rt3~&`cm이다.  _7rt3`cm

24

∠ADC=60°, ∠BDC=45°이므로 ^-CD^-=h`m라 하면 ^-AC^-=h~tan~60°=rt3~~h~(m), ^-BC^-=h~tan~45°=h~(m) ^-AC^--^-BC^-=^-AB^-이므로 rt3~~h-h=50 .t3 h=25(rt3&+1) 따라서 건물의 높이는 25(rt3~~+1)~m이다.  25(rt3~~+1)~m

25

꼭짓점 A에서 ^-BC^-의 연장선에 내 45æ 60æ 45æ 6`cm A B <sub>C H</sub> 30æ h`cm 린 수선의 발을 H라 하고 ^-AH^-=h`cm라 하면 ∠BAH=45°, ∠CAH=30° 이므로 …… 20% ^-BH^-=h~tan~45°=h~(cm) ^-CH^-=h~tan~30°= rt3~~ 3 ~h~(cm) …… 30% ^-BH^--^-CH^-=^-BC^-이므로 h- rt3~~ 3 ~h=6 .t3 h=3(3+rt3&~) …… 30% .t3 △ABC=1/2\6\3(3+rt3~~) _{=9(3+rt3~~)(~cm^2) ……} 20%  _{9(3+rt3~~)~cm^2} 채점 기준 배점 ∠BAH, ∠CAH의 크기 구하기 20% ^-BH^-, ^-CH^-의 길이 구하기 30% ^-AH^-의 길이 구하기 30% △ABC의 넓이 구하기 20%

26

△ABC=1/2\7\12\sin~60° =1/2\7\12\ rt3~~_{2 =21rt3~}`(cm^2)  ③ 30æ 45æ 45æ 60æ h`m 50`m A _{B C} D

27

1/2\^-AB^-\6rt2\sin~45°=15에서 3^-AB^-=15 .t3 ^-AB^-&=5~(cm)  _5`cm

28

_{1/2\16\12\sin~B=48rt3에서} sin~B= rt3~~₂ 0°<B<90°이므로 ∠B=60°  60°

29

∠A=180°-75°-75°=30°이므로 △ABC=1/2\3rt5\3rt5\sin~30° =1/2\3rt5\3rt5\1/2=45/4~(cm^2)  ②

30

△ABC=1/2\5\8\sin~60° =1/2\5\8\ rt3~~ 2 =10rt3`(cm^2) 점 G는 무게중심이므로 △GBC=1/3△ABC=1/3\10rt3= 10rt3~~<sub>3 ~(cm^2)</sub>  10rt3~~<sub>3 `cm^2</sub>

31

^-AD^-=x라 하면 △ABC=△ABD+△ADC이므로 1/2\6\8\sin~60°=1/2\6\x\sin~30° +1/2\x\8\sin~30° 12rt3=3/2&x+2x, 7/2&x=12rt3 .t3 x= 24rt3~~₇ 따라서 ^-AD^-의 길이는 24rt3~~ 7 이다.  24rt3~~7

32

꼭짓점 B에서 ^-AE^-에 내린 수선 E H D 45æ 4`cm A B C 의 발을 H라 하면 ^-BH^-=4`cm, ∠BAH=45°이므로 <sub>^-AB^-= 4~~sin~45° =4rt2~`(cm)</sub> ∠BAC=∠CAD=∠ACB이므로 △ABC는 이등변삼각형이다. .t3 ^-AB^-=^-BC^-=4rt2`cm .t3 △ABC=1/2\4rt2\4rt2\sin~45° =1/2\4rt2\4rt2\ rt2~~_{2 =8rt2~`(cm^2)</sub>  <sub>8rt2`cm^2}

.t3 △ABC=1/2\4rt3\4rt3\sin(180°-120°) =1/2\4rt3\4rt3\ rt3~~<sub>2 =12rt3~`(cm^2)</sub>  12rt3&`cm^2

39

nemoABCD=△ABC+△ACD =1/2\4\6\sin~60° +1/2\4\2\sin(180°-120°) <sub>=6rt3~~+2rt3=8rt3~`(cm^2)</sub>  8rt3&`cm^2

40

직각삼각형 ABC에서 ^-AC^-= 8~_{cos~45° =8rt2~}`(cm)이므로 …… 40% nemoABCD=△ABC+△ACD =1/2\8\8rt2\sin~45° +1/2\8rt2\5\sin~60° =32+10rt6~`(cm^2) …… 60%  (32+10rt6~~)~cm^2 채점 기준 배점 ^-AC^-의 길이 구하기 40% sqrABCD의 넓이 구하기 60%

41

오른쪽 그림과 같이 정육각형은 6개의 합동인 정삼각형으로 나누어진다. (정육각형의 넓이) =6\(12\2\2\sin~60°^)=6rt3~~`(cm^2)/  ①

42

△AHD/=-△AHE(RHS 합동)이므로 ∠DAE=90°-30°=60°에서 ∠DAH=∠EAH=30° ^-AH^-= 6 cos~30° =4rt3`(cm) .t3 nemoAEHD=2△ADH=2\1/2\4rt3\6\sin~30° =2\1/2\4rt3\6\1/2=12rt3`(cm^2)  12rt3`cm^2

43

nemoABCD=8\10\sin~60° =8\10\ rt3~~ 2 =40rt3~`(cm^2)  ② 2`cm 2`cm60æ2`cm

33

△ABC=1/2\5\4\sin(180°-135°) =1/2\5\4\ rt2~~_{2 =5rt2~`(cm^2)}  ④

34

1/2\~^-AB^-\10\sin(180°-120°)=20rt3에서 5rt3~~_{2 ~^-AB^-=20rt3} .t3 ^-AB^-=8~(cm)  ③

35

△ABC의 넓이는 _{1/2\9\12\sin(180°-C)=27에서} …… 20% sin(180°-C)=1/2 …… 40% 따라서 180°-∠C=30°이므로 ∠C=150°이다. …… 40%  150° 채점 기준 배점 △ABC의 넓이 구하는 식 세우기 20% sin(180°-C)의 값 구하기 40% ∠C의 크기 구하기 40%

36

△ABC에서 ^-AB^-=2rt3~~~tan~30°=2, ^-BC^-= 2rt3~~_{cos~30° =4} ∠ABD=60°+90°=150°이고 ^-BC^-=^-BD^-이므로 △ABD=1/2\2\4\sin(180°-150°) =1/2\2\4\1/2=2  2

37

∠AOC=180°-30°-30°=120°이므로 (색칠한 부분의 넓이) =12\pai\(2rt6~~)^2&-1/ /2\2rt6\2rt6\sin(180°-120°) =12pai-6rt3`(cm^2)  _{(12pai-6rt3~~)~cm^2}

38

점 A에서 ^-BC^-의 연장선에 내린 12`cm 6`cm 6`cm A B H C D 수선의 발을 H라 하면 ^-AH^-=6`cm이므로 △AHC에서 sin~C=6/12=1/2 .t3 ∠C=30° ∠BAC=∠CAD=∠ACB에서 △ABC는 이등변삼각형이므로 ∠ABC=120°, ∠ABH=60°이다. .t3 ^-BC^-=^-AB^-= 6~_{sin~60° =4rt3~}`(cm)

Ⅰ. 삼각비 본문 33~37쪽

44

nemoABCD는 ^-BC^-=^-CD^-=^-AB^-=6`cm인 평행사변형이 므로 nemoABCD=6\6\sin(180°-135°) =6\6\ rt2~~ 2 =18rt2~`(cm^2)  18rt2`cm^2

45

<sub>10\^-AD^-\sin(180°-120°)=60에서 5rt3``^-AD^-=60 .t3 ^-AD^-=4rt3`(cm)</sub>  4rt3~`cm

46

_{∠ACB=∠DAC=45°이므로} △ABC에서 ^-BC^-= 16~_{sin~45° =16rt2}`(cm) .t3 (색칠한 부분의 넓이) <sub>=1/4~nemoABCD=1/4\16\16rt2\sin~45°</sub> =1/4\16\16rt2\ rt2~~ 2 =64~(cm^2)  64`cm^2

47

nemoABCD=1/2\12\15\sin(180°-135°) =1/2\12\15\ rt2~~ 2 =45rt2~`(cm^2)  <sub>45rt2`cm^2</sub>

48

1/2\16\^-BD^-\sin~60°=56rt3 4rt3\^-BD^-=56rt3 .t3 ^-BD^-=14~(cm)  _14`cm

49

등변사다리꼴의 두 대각선의 길이는 서로 같으므로 ^-AC^-=^-BD^- 1/2\^-AC^-\^-AC^-\sin(180°-120°)=25rt3~~에서 rt3~~ 4 ~^-AC^-~^2=25rt3 _{.t3 ^-AC^-=10~(cm)(.T3 ^-AC^->0)}  10`cm 36~38쪽 01<sub>18.2`cm</sub> 02_{rt6`cm</sub> 03<sub>36rt6`cm^3} 04<sub>15.9`m</sub> 05 ② 0670rt3`m 07_{30(rt3~~-1)~m} 08_{4rt3`cm</sub> 09<sub>5(1~+rt3&~)~m</sub> 10<sub>50(rt3~~-1)~m</sub> 11<sub>25rt3~`m} 12 ④ 13_{3rt3`cm^2</sub> 14<sub>3/5</sub> 15<sub>tan~15°=2-rt3`, tan~75°=2+rt3`</sub> 16<sub>8(rt3~~-1)~m</sub> 17<sub>24rt2`cm^2}

01

^-AB^-=20~cos~25°=20\0.91=18.2~(cm)  18.2`cm

02

^-BC^-=3~cos~C=3\2/3=2~(cm) ^-AB^-=23^2&-s2^2s=rt5`~(cm) ^-BD^-=1/2&&~^-BC^-=1~(cm)이므로 ^-AD^-=3(rt5~~)^2&d+1^2c=rt6~`(cm)  rt6`cm

03

직각삼각형 ABC에서 ^-AC^-=26^2&+6^2x=6rt2~`(cm) .t3 ^-AH^-=1/2&~^-AC^-=1/2\6rt2~~=3rt2`(cm) 직각삼각형 OAH에서 ^-OH^-=3rt2`tan~60°=3rt2\rt3=3rt6~`(cm) ∴ (정사각뿔의 부피) =1/3\6\6\3rt6=36rt6~`(cm^3)  36rt6`cm^3

04

^-BC^-=10`m이므로 ^-AC^-=10~tan~55°=10\1.43=14.3~(m) 따라서 전봇대의 높이는 14.3+1.6=15.9~(m)이다.  15.9`m

05

점 B에서 ^-OA^-에 내린 수선의 발 을 H라 하면 △OBH에서 _{^-OH^-=20~cos~45°=20\ rt2~~} 2 =10rt2~`(cm) _{.t3 ^-AH^-=^-OA^--^-OH^-=20-10rt2~~=10(2-rt2~~)~(cm)}  ②

06

△ABC에서 ^-BC^-=140~sin~60°=140\ rt3~~ 2 =70rt3~`(m) △DCB에서 ^-CD^-=70rt3`tan~45°=70rt3~`(m) 따라서 산의 높이는 70rt3~~`m이다.  70rt3`m

07

△ABC에서 ^-AB^-= 30 tan`30° =30\rt3=30rt3~`(m) △ABD에서 ^-BD^-=30rt3`tan~45°=30rt3~`(m) .t3 ^-CD^-=^-BD^--^-BC^-=30rt3~~-30=30(rt3~~-1)~(m)  30(rt3~~-1)~m 45æ 45æ 20`cm A B H B' O

12

∠BAD=∠DAC=30°이고 △ABC=△ABD+△ADC이므로 1/2\14\10\sin~60° _{=1/2\14\^-AD^-\sin~30°+1/2\^-AD^-\10\sin~30°} 35rt3`=7/2&~^-AD^-+5/ 2&~^-AD^-=6~^-AD^- .t3 ^-AD^-= 35rt3~~<sub>6</sub> `(cm)  ④

13

점 A에서 ^-BC^-의 연장선에 내린 6`cm 3`cm 3`cm A B H C D 수선의 발을 H라 하면 ^-AH^-=3`cm이므로 △ACH에서 _{sin~&C=3/6=1/2 .t3 ∠C=30°} ∠CAB=∠DAC=∠ACB이므로 △ABC는 이등변삼각형이다. △AHB에서 ∠ABH=60°이므로 ^-BC^-=^-AB^-= 3~_{sin~60° =2rt3~}`(cm) △ABC에서 ∠ABC=120°이므로 △ABC=1/2\2rt3\2rt3\sin(180°-120°) =1/2\2rt3\2rt3\ rt3~~<sub>2 =3rt3~</sub>`(cm^2)  _3rt3`cm^2

14

^-AM^-=^-AN^-=34^2&+2^2c=2rt5&`(cm) nemoABCD=△ABM+△AMN+△NMC+△AND 이므로 4\4=1/2\4\2+1/2\2rt5\2rt5\sin~x _{+1/2\2\2+1/2\4\2} 16=10+10~sin~x .t3 sin~x=3/5  _3/5

15

_△ADC에서 ^-AD^-= 2~ sin~30° =4, ^-CD^-= 2~tan~30° =2rt3 …… 30% ∠ABD=30°-15°=15°이므로 △ABD는 이등변삼각형이다. ^-BD^-=^-AD^-=4 ^-BC^-=^-BD^-+^-DC^-=4+2rt3 …… 30% .t3 tan~15°= ^-AC^-^-BC^-=4+2rt3~~2 =2-rt3 …… 20% tan~75°= ^-BC^-^-AC^-= 4+2rt3~~2 =2+rt3 …… 20%  tan~15°=2-rt3`, tan~75°=2+rt3`

08

점 A에서 ^-BC^-에 내린 수선의 발을 30æ 12`cm 3 8 cm A B H C H라 하면 △ABH에서 ^-AH^-=12~sin~30°=12\1/2=6~(cm) ^-BH^-=12~cos~30°=12\ rt3~~ 2 =6rt3~`(cm) .t3 ^-CH^-=8rt3~~-6rt3=2rt3`(cm) △AHC에서 ^-AC^-=36^2&+(2rt3~~c)^2d=4rt3~`(cm)  4rt3`cm

09

점 C에서 ^-AB^-에 내린 수선의 발을 45æ 75æ 60æ 10`m A B C H H라 하면 △AHC에서 ^-AH^-=10~cos~60°=10\1/2=5~(m) ^-CH^-=10~sin~60°=10\ rt3~~ 2 =5rt3`(m) △CHB에서 ^-BH^-= 5rt3 tan`45° =5rt3&`(m)이므로 ^-AB^-=^-AH^-+^-BH^-=5+5rt3~~=5(1+rt3~~)~(m)  _{5(1~+rt3&~)~m}

10

점 C에서 ^-AB^-에 내린 수선의 발 30æ 45æ 45æ 60æ h`m A <sub>H</sub> B C 100`m 을 H라 하고 ^-CH^-=h`m라 하면 ∠ACH=45°, ∠BCH=60°이므로 △AHC에서 ^-AH^-=h~tan~45°=h~(m) △CHB에서 ^-BH^-=h~tan~60°=rt3~~h~(m) ^-AH^-+^-BH^-=^-AB^-이므로 h+rt3~~h=100 .t3 h= 100 rt3&+1=50(rt3~~-1) 따라서 연의 높이는 50(rt3~~-1)~m이다.  50(rt3~~-1)~m

11

^-CH^-=h`m라 하면 △AHC에서 ∠ACH=60°이므로 ^-AH^-=h~tan~60°=rt3~~h~(m) △BHC에서 ∠BCH=30°이므로 ^-BH^-=h~tan~30°= rt3~~<sub>3 ~h~(m) ^-AH^--^-BH^-=^-AB^-이므로</sub> rt3~~h- rt3~~<sub>3 ~h=50</sub> , 2rt3~~<sub>3 ~h=50</sub> .t3 h=25rt3 따라서 탑의 높이는 25rt3~`m이다.  25rt3~`m

Ⅰ. 삼각비 본문 37~39쪽 채점 기준 배점 ^-AD^-, ^-CD^-의 길이 구하기 30% ^-BC^-의 길이 구하기 30% tan~15°의 값 구하기 20% tan~75°의 값 구하기 20%

16

∠ADC=60°, ∠BDC=45° 30æ 45æ 45æ 60æ 8`m A <sub>B C</sub> D 이므로 △DAC에서 ^-AC^-=8~tan~60°=8\rt3=8rt3~`(m) …… 40% △DBC에서 ^-BC^-=8~tan~45°=8\1=8~(m) …… 40% .t3 ^-AB^-=8rt3~~-8=8(rt3~~-1)~(m) …… 20%  8(rt3~~-1)~m 채점 기준 배점 ^-AC^-의 길이 구하기 40% ^-BC^-의 길이 구하기 40% ^-AB^-의 길이 구하기 20%

17

겹쳐진 부분을 nemoABCD라 135æ 6`cm 4`cm 6`cm 4`cm A B C D P Q 하고 점 D에서 ^-BC^-의 연장선 에 내린 수선의 발을 P, 점 B 에서 ^-CD^-의 연장선에 내린 수 선의 발을 Q라 하면 △CPD에서 ∠DCP=∠ABC=180°-135°=45° ^-DP^-=6`cm이므로 ^-CD^-= 6 sin~45° =6rt2~`(cm) …… 30% △BQC에서 ∠BCQ=∠DCP=45°이고 ^-BQ^-=4`cm이므로 ^-BC^-= 4 sin~45° =4rt2~`(cm) …… 30% nemoABCD는 평행사변형이므로 nemoABCD=6rt2\4rt2\sin~(180°-135°) =6rt2\4rt2\ rt2~~_{2 =24rt2~`(cm^2)</sub> …… 40%  <sub>24rt2`cm^2} 채점 기준 배점 ^-CD^-의 길이 구하기 30% ^-BC^-의 길이 구하기 30% 겹쳐진 부분의 넓이 구하기 40% 39쪽

1

도영 : 1.65+10~tan~48° =1.65+10\1.11 =12.75~(m) 호준 : 1.72+10~tan~46° =1.72+10\1.04 =12.12~(m) 민재 : 1.57+15~tan~37° =1.57+15\0.75 =12.82~(m) 강준 : 1.68+15~tan~36° =1.68+15\0.73 =12.63~(m) .t3 (평균)= 12.75+12.12+12.82+12.63₄ = 50.32_{4 =12.58~(m)} 답12.58`m~

Ⅱ 원의 성질

01 원과 직선

44~56쪽 01 ④ 02 ⑴ 120 ⑵ 4 03 ③, ④ 0428`cm 0515`cm 06_{16`cm</sub> 07 ⑤ 08<sub>15/2`cm} 09 ⑴ _{17 ⑵ 10rt3} 10_{32/3`cm</sub> 11<sub>4rt15`cm} 12_{5rt5pai`cm</sub> 13<sub>17`cm} 14_{10`cm</sub> 15<sub>40`cm} 16_{12rt3`cm</sub> 17<sub>4`cm} 18_120* 19 ③ 208rt6~~ 21 ④ 226`cm 23600`m 24_40* 25_50* 26_{10`cm</sub> 27<sub>75rt3`cm^2} 28 ② 29 ⑴ 7 ⑵ 66 3050* 31 ⑴ 18`cm ⑵ 8pai`cm^2 32_{4rt5`cm</sub> 33<sub>9`cm} 34_{14rt11`cm^2</sub> 35<sub>70*</sub> 36 ② 37 24rt10~<sub>7 `cm} 389pai`cm^2 391/3 40<sub>16rt3`cm</sub> 41 ③ 4210`cm 439`cm 44_{3rt3`cm</sub> 45<sub>32rt15`cm^2} 46<sub>(20rt6&-12pai)`cm^2</sub> 47 ⑴ 20`cm ⑵ 80`cm^2 48 ④ 49 ⑴ 36pai`cm^2 ⑵ _{4rt6`cm</sub> 50 ② 51<sub>5`cm} 52_{10`cm</sub> 53<sub>5</sub> 54 ① 5554`km 56 ② 576`cm 58<sub>^-AB^-=6`cm, ^-BC^-=8`cm</sub> 59<sub>30`cm^2} 60_{6`km</sub> 61 ④ 624 6342`cm 644`cm 65<sub>^-AD^-=16`cm, ^-BC^-=12`cm</sub> 66 ③ 67 ③ 68<sub>^-BE^-=9`cm, ^-AD^-=18`cm</sub> 69<sub>48/5`cm^2} 70_{(14-4rt10~)`cm</sub> 71<sub>4/3`cm}

01

④ 현의 길이는 중심각의 크기에 정비례하지 않으므로 2^-AB^-≠^-CE^-  ④

02

한 원에서 호의 길이는 중심각의 크기에 정비례한다. ⑴ _{x°`:`30°=8`:`2 ∴ x=120} ⑵ _{∠AOB=180°-45°=135°이므로 135°`:`45°=12`:`x ∴ x=4}  ⑴ 120 ⑵ 4

03

③ _{∠BOC=180°-20°-80°=80°} ∠BOC=∠COD이므로 ^-BC^-=^-CD^- ④ _{^\`:`BCAB ^\=∠AOB`:`∠BOC=20°`:`80°=1`:`4} 이므로 _4AB^\=BC^\  ③, ④

04

^-AB^-//^-CD^-이므로 30æ 30æ 30æ 7`cm A <sub>B</sub> C D O <sub>∠OCD=∠AOC=30° ^-OC^-=^-OD^-이므로 ∠ODC=∠OCD=30° ∠COD=180°-30°-30°=120°이므로 30°`:`120°=7`:`CD^\ ∴ CD^\=28`(cm)</sub>  28`cm

05

^-OD^-를 그으면 40æ 6`cm A <sub>B</sub> C D O 40æ 40æ ∠ODA=∠OAD =∠BOC=40° ∠AOD=180°-40°-40°=100° 이므로 40°`:`100°=6`:`AD^\ ∴ AD^\=15~(cm)  15`cm

06

∠OCD=∠ODC 25æ 15`cm A B C <sub>D</sub> O P 50æ 50æ 80æ75æ 25æ =25°+25°=50°에서 ∠COD=180°-50°-50° =80°, ∠BOD=25°+50°=75°이므로 80°`:`75°=CD^\`:`15 ∴ CD^\=16~(cm)  16`cm

07

직각삼각형 OAM에서 ^-AM^-=35^2&-3^2c~=4~(cm) ∴ ^-AB^-=2~^-AM^-=2\4=8~(cm)  ⑤

08

^-AM^-=1/2^-AB^-=6~(cm) 원 O의 반지름의 길이를 r`cm라 하면 직각삼각형 OAM에서 ^-OM^-=(r-3)~cm이므로 r^2=(r-3)^2&+6^2, 6r=45 ∴ r=15/2 따라서 원 O의 반지름의 길이는 15/2`cm이다.  15/2`cm

09

⑴ ^-AM^-=1/2^-AB^-=15(cm), ^-OM^-=(x-9)cm이므로 직각삼각형 OAM에서 x^2=(x-9)^2&+15^2, 18x=306 ∴ x=17 ⑵ ^-OM^-=1/2^-OC^-=5(cm)이므로 직각삼각형 _{OMB에서 ^-B^-M=rt10^2-5^2~~=5rt3&`(cm)} ∴ _{x=2~^-MB^-=2\5rt3=10rt3~~}  ⑴ 17 ⑵ 10rt3

10

^-MC^-=1/2^-CD^-=1/2\16=8(cm) 원 O의 반지름의 길이를 r`cm라 하면 직각삼각형 OMC에서 ^-OM^-=(24-r)~cm이므로 r^2=(24-r)^2&+8^2, 48r=640 .t3 r=40/3 .t3 ^-OM^-=24-40/3=32/3~(cm)  32/3`cm

Ⅱ. 원의 성질 본문 44~47쪽

11

semoOAM에서 ^-AM^-=1/2^-AB^-=1/2\12=6(cm)이므로 _{^-OA^-=37^2&+6^2c=rt85`(cm)</sub> …… 40% 반지름의 길이가 <sub>rt85`cm이므로 ^-OC^-=rt85`cm semoOCN에서 ^-CN^-=3(rt85~)^2&c-5^2c=rt60=2rt15`(cm)} …… 40% ∴ _{^-CD^-=2~^-CN^-=2\2rt15=4rt15`(cm)</sub> …… 20%  <sub>4rt15`cm} 채점 기준 배점 ^-OA^-의 길이 구하기 40% ^-CN^-의 길이 구하기 40% ^-CD^-의 길이 구하기 20%

12

원의 중심 O에서 ^-AB^-, ^-CD^-에 내린 8`cm 4`cm 6`cm 3`cm E A B C D O F P 수선의 발을 각각 E, F라 하면 _{^-EB^-=1/2^-AB^-=1/2\(4+6)} =5(cm) ^-OE^-=^-FP^-=1/2^-CD^--^-CP^-=1/2\(3+8)-3=5/2~(cm) semoOEB에서 ^-OB^-=55^2&+^(&5/2&^)^^2b= 5rt5~_{2 ~(cm)} 따라서 원 O의 반지름의 길이가 5rt5~<sub>2 `cm</sub>이므로 둘레의 길이는 <sub>2pai\ 5rt5~</sub> 2 =5rt5pai~(cm)이다.  5rt5~~pai`cm

13

원 O의 반지름의 길이를 r`cm라 8`cm 2`cm {r-2}`cm r`cm A B C M O 하면 직각삼각형 OAM에서 ^-OM^-=(r-2)~cm이므로 r^2=(r-2)^2&+8^2 4r=68 ∴ r=17 따라서 원 O의 반지름의 길이는 17`cm이다.  17`cm

14

구하는 원의 중심을 _{O, 반지름의} A B P 4`cm 8`cm O {r-4}`cm r`cm M 길이를 _{r`cm라 하면 ^-AM^-=^-BM^-=8`cm, ^-OM^-=(r-4)~cm semoOAM에서} r^2=8^2&+(r-4)^2, 8r=80 ∴ r=10 따라서 구하는 원의 반지름의 길이는 _{10`cm이다.</sub>  <sub>10`cm}

15

태양의 중심을 O, 반지름의 길이 4`cm {r-4}`cm r`cm 12`cmD A B C O 를 r`cm라 하면 직각삼각형 OAD에서 ^-AD^-=^-DB^-=12`cm, ^-OD^-=(r-4)~cm이므로 r^2=(r-4)^2&+12^2, 8r=160 ∴ r=20 따라서 태양의 지름의 길이는 40`cm이다.  40`cm

16

원의 중심 O에서 ^-AB^-에 내린 수선의 발을 M이라 하면 ^-OM^-=1/2^-OA^-=1/2\12=6~(cm) 이므로 semoOAM에서 ^-AM^-=312^2&e-6^2c=6rt3`(cm) ∴ ^-AB^-=2~^-AM^-=12rt3&`(cm)  _12rt3`cm

17

원 O의 반지름의 길이를 r`cm라 하고 원의 중심 O에서 ^-AB^-에 내린 수선의 발을 M이라 하면 ^-AM^-=1/2^-AB^-=2rt3&`(cm), ^-OM^-=1/2^-OA^-=1/2&r~(cm)이므로

semoOAM에서 r^2=(2rt3&~)^2&+^(1/2&r&^)^^2, r^2=16 ∴ r=4 (∵ r>0) 따라서 원 O의 반지름의 길이는 4`cm이다.  <sub>4`cm</sub>

18

원의 중심 O에서 ^-AB^-에 내린 수선의 A B O M 10 발을 M이라 하면 semoOAM에서 ^-OM^-=1/2^-OA^-=5이므로 _{^-AM^-=310^2&d-5^2c=5rt3 ^-OA^-`:`^-AM^-`:`^-OM^-=10`:`5rt3`:`5=2`:`rt3`:`1이므로 ∠AOM=60°이다.} ∴ _{∠AOB=2∠AOM=120°}  120*

19

<sub>^-OM^-=^-ON^-이므로 ^-AB^-=^-CD^-=8`cm</sub> ∴ ^-BM^-=1/2^-AB^-=1/2\8=4~(cm) semoOBM에서 ^-OB^-=3(2rt3&~)^2&c+4^2c=rt28=2rt7`(cm)  ③ 12`cm A <sub>M</sub> B C O 3 2 cm A B M O r`cm

20

semoOBM에서 _A B C D 5 5 7 M N O ^-OB^-=7이므로 ^-BM^-=rt7^2-5^2~=rt24=2rt6 …… 30% ^-AB^-=2^-BM^-=2\2rt6=4rt6 …… 30% ^-OM^-=^-ON^-이므로 ^-AB^-=^-CD^- ∴ ^-AB^-+^-CD^-=2~^-AB^-=2\4rt6=8rt6 …… 40%  8rt6~~ 채점 기준 배점 ^-BM^-의 길이 구하기 30% ^-AB^-의 길이 구하기 30% ^-AB^-+^-CD^-의 길이 구하기 40%

21

④ ∠CON=45°인 경우에만 ^-ON^-=^-CN^-이다.  ④

22

^-AB^-=2~^-AM^-=2\8=16~(cm) ^-AB^-=^-CD^-이므로 ^-OM^-=^-ON^- semoOAM에서 ^-OM^-=310^2&c-8^2c=6~(cm) ∴ ^-ON^-=^-OM^-=6`cm  6`cm

23

놀이동산의 중심을 O라 하고 두 길을 현이라 하면 현 의 길이가 같으므로 원의 중심 O에서 두 현에 이르는 거리는 160÷2=80~(m)로 같다. 한 현의 길이를 2x`m라 하면 x=2170^2&-x80^2x=150 따라서 한 길의 길이가 300`m이므로 평행한 두 길의 길이의 합은 600`m이다.  600`m

24

^-OM^-=^-ON^-이므로 ^-AB^-=^-AC^-, 즉 semoABC는 이등변삼각 형이다. ∴ ∠BAC=180°-(70°+70°)=40°  40*

25

^-OM^-=^-ON^-이므로 ^-AB^-=^-BC^-, 즉 semoABC는 이등변삼각 형이다. ∴ ∠C=∠A=1/2\(180°-80°)=50°  50*

26

nemoAMON에서 ∠A=360°-(90°+120°+90°)=60° …… 30% ^-OM^-=^-ON^-이므로 ^-AB^-=^-AC^- 즉, semoABC는 이등변삼각형이므로 ∠B=∠C=1/2\(180°-60°)=60° …… 40% 따라서 semoABC는 정삼각형이므로 ^-BC^-=^-AB^-=2^-AM^-=2\5=10~(cm)이다. …… 30%  10`cm 채점 기준 배점 ∠A의 크기 구하기 30% ∠B, ∠C의 크기 구하기 40% ^-BC^-의 길이 구하기 30%

27

^-OD^-=^-OE^-=^-OF^-이므로 ^-AB^-=^-BC^-=^-AC^-, 즉 semoABC는 정삼각형이다. ∴ _{semoABC=1/2\10rt3\10rt3\sin`60°=75rt3`(cm^2)}  75rt3`cm^2

28

∠PAO=∠PBO=90°이므로 ∠AOB=360°-(90°+66°+90°)=114°  ②

29

⑴ ^-PA^-=^-PB^-이므로 x=7 ⑵ ^-PA^-=^-PB^-이므로 ∠PAB=∠PBA ∴ x=1/2\(180-48)=66  ⑴ 7 ⑵ 66

30

semoOAB에서 ∠OAB=∠OBA=25°이므로 ∠AOB=180°-(25°+25°)=130° ∴ ∠APB=180°-∠AOB=180°-130°=50°  50*

31

⑴ ^-PA^-=^-PB^-에서 ∠PAB=∠PBA=1/2\(180°-60°)=60°이므로 semoPAB는 정삼각형이다. 따라서 semoPAB의 둘레의 길이는 6\3=18(cm)이다. …… 50% ⑵ ∠APB+∠AOB=180°이므로 ∠AOB=180°-60°=120°이다. 따라서 색칠한 부분의 넓이는 pai\(2rt3&~)^2&\ 240_{360° =8pai~(cm^2)}° 이다. …… 50%  ⑴ 18`cm ⑵ 8pai`cm^2 채점 기준 배점 ⑴ 구하기 50% ⑵ 구하기 50%

32

^-OB^-=^-OA^-=8`cm이므로 ^-PO^-=4+8=12~(cm) ∠PAO=90°이므로 semoPAO에서 ^-PA^-=312^2&e-8^2c=rt80=4rt5`(cm)  4rt5`cm

33

원 O의 반지름의 길이를 r`cm라 하면 ^-OA^-=r`cm, ^-OP^-=(r+6)~cm이므로

Ⅱ. 원의 성질 본문 47~52쪽 semoPAO에서 (r+6)^2=12^2&+r^2 12r=108 ∴ r=9 따라서 원 O의 반지름의 길이는 9`cm이다.  9`cm

34

^-OA^-=^-OB^-=7`cm이므로 semoPAO에서 ^-PA^-=315^2&e-7^2c=4rt11`(cm) ∴ semoPAO=1/2\4rt11\7=14rt11`(cm^2)  <sub>14rt11`cm^2</sub>

35

_{semoPAO/=-semoPBO(RHS 합동)이므로 ∠APO=∠BPO, ∠POA=∠POB이다.} ∴ _{∠&x=∠POA=180°-(90°+20°)=70°}  70*

36

② _{^-AB^-=^-OP^-임을 알 수 없다.}  ②

37

_{semoAOP에서 ^-AP^-=314^2&e-6^2c=rt160=4rt10`(cm) ^-OP^-jgak^-AB^-이므로 semoAOP에서</sub> 6\4rt10=14\^-AH^- .t3 ^-AH^-= 12rt10~<sub>7 `(cm)} .t3 ^-AB^-=2~^-AH^-= 24rt10~<sub>7 `(cm)</sub>  24rt10~<sub>7</sub> `cm

38

semoPAO≡semoPBO(RHS 합동)이 므로 ∠APO=∠BPO=30°, ∠POA=∠POB=60° semoPOA에서 ^-OA^-=9~tan~30*=3rt3`(cm) ∴ (색칠한 부분의 넓이) <sub>=pai\(3rt3&~)^2&\ 120*</sub> 360* =9pai`(cm^2)  9pai`cm^2

39

semoPAO/=-semoPCO(RHS 합동), semoPBO'/=-semoPDO'(RHS 합동) 이므로 세 점 P, O, O'은 일직선 위에 있고 ∠DPO'=∠BPO'=30°이다. semoPAO에서 ^-PO^-= r sin~30° =2r semoPBO'에서 ^-P^-O'= R sin~30° =2R 이때 ^-O^-O'=r+R이므로 ^-P^-O'=^-PO^-+^-O^-O'에서 2R=3r+R R=3r ∴ rR=1/3  _1/3 3 3 cm 60æ 60æ 30æ 30æ 9`cm A B O P 60æ A B C D P r R O' O

40

semoOAD에서 ^-AD^-=rt16^2-8^2~=8rt3`(cm) ^-BF^-=^-BD^-, ^-CF^-=^-CE^-이므로 (semoABC의 둘레의 길이) =^-AD^-+^-AE^-=2^-AD^- =2\8rt3=16rt3`(cm)  16rt3`cm

41

③ ^-CD^-=^-CE^-인 경우에만 semoOCD=semoOCE이고 ^-CD^-&not=^-CE^-이면 semoOCDnot=semoOCE이다.  ③

42

^-PC^-=^-PE^-=16`cm이므로 ^-AC^-=^-AD^-=16-12=4~(cm) ^-BD^-=^-BE^-=16-10=6~(cm)이므로 ^-AB^-=^-AD^-+^-BD^-=4+6=10~(cm)  10`cm

43

^-CF^-=^-CE^-=4`cm이므로 ^-BF^-=^-BD^-=7-4=3~(cm) ^-AD^-=^-AE^-=8+4=12~(cm)이므로 ^-AB^-=^-AD^--^-BD^-=12-3=9~(cm)  9`cm

44

^-DE^-=^-DA^-=3`cm, ^-CE^-=^-CB^-=9`cm이므로 ^-DC^-=3+9=12~(cm) 점 D에서 ^-BC^-에 내린 수선의 발을 H라 하면 semoCDH에서 ^-CH^-=9-3=6~(cm)이므로 ^-DH^-=rt12^2-6^2~=6rt3`(cm) ^-AB^-=^-DH^-=6rt3`(cm)이므로 ^-OA^-=3rt3`(cm)이다.  3rt3`cm

45

점 C에서 ^-AD^-에 내린 수선의 발을 H라 하면 ^-DA^-=^-DE^-=10`cm, ^-CB^-=^-CE^-=6`cm이므로 ^-DH^-=10-6=4~(cm) semoDHC에서 ^-HC^-=rt16^2-4^2~=4rt15`(cm) ^-AB^-=^-HC^-=4rt15`cm이므로 nemoABCD=1/2\(6+10)\4rt15=32rt15`(cm^2)  <sub>32rt15`cm^2</sub>

46

점 C에서 ^-BD^-에 내린 수선의 발을 H라 하면 ^-CD^-=4+6=10~(cm), ^-DH^-=6-4=2~(cm)이므로 9`cm 3`cm A B C D E _H O 6`cm A B C D E H O 10`cm 4`cm 6`cm A B C D E H O

semoCHD에서 ^-CH^-=rt10^2-2^2~=4rt6`(cm) ^-AB^-=^-CH^-이므로 원 O의 반지름의 길이는 2rt6`cm이 다. .t3 (색칠한 부분의 넓이) =1/2\(4+6)\4rt6&-1/2\pai\(2rt6&)^2 _{=20rt6&-12pai~(cm^2)}  (20rt6&-12pai)`cm^2

47

⑴ ^-FE^-=^-FB^-=x`cm라 하면 ^-DE^-=^-DC^-=16`cm이고 ^-DF^-=(16+x)~cm이므로 semoAFD에서 (16+x)^2=16^2&+(16-x)^2, 64x=256 .t3 x=4 .t3 ^-DF^-=^-DE^-+^-EF^-=16+4=20~(cm) …… 70% ⑵ ^-OE^-를 그으면 ^-OE^-&jgak^-DF^-이므로 semoDFO=1/2\20\8=80~(cm^2) …… 30%  ⑴ 20`cm ⑵ 80`cm^2 채점 기준 배점 ⑴ 구하기 70% ⑵ 구하기 30%

48

직각삼각형 OAH에서 ^-AH^-=rt15^2-9^2~=12~(cm) .t3 ^-AB^-=2^-AH^-=2\12=24~(cm)  ④

49

큰 원의 반지름의 길이를 a`cm, 작은 원의 반지름의 길이를 b`cm라 하면 ⑴ a^2=b^2&+6^2 .t3 a^2&-b^2=36 .t3 (색칠한 부분의 넓이) =paia^2&-paib^2&=pai(a^2&-b^2) =36pai~(cm^2) ⑵ ^-AB^-=x`cm라 하면

a^2=b^2&+^(&x/2&^)^^2 ∴ a^2&-b^2&= x^24 paia^2&-paib^2&=pai(a^2&-b^2)=24pai에서 a^2&-b&^2=24이므로& x^2_{4 =24}, x^2=96 .t3 x=4rt6 따라서 ^-AB^-의 길이는 4rt6`cm이다.  ⑴ 36pai`cm^2 ⑵ 4rt6`cm 16`cm A B C D E F O b`cm a`cm A B O

50

점 O에서 ^-AC^-에 내린 수선의 발을 D라 하면 ^-AD^-=rt12^2-3^2~=3rt15`(cm) ^-AC^-=2^-AD^-=2\3rt15=6rt15`(cm) 점 A에서 ^-BC^-에 내린 수선의 발을 E 라 하면 semoAOD와 semoACE에서 ∠ADO=∠AEC=90°, ∠A는 공통이므로 semoAODZsemoACE (AA 닮음) ^-AO^- : ^-AC^-=^-OD^- : ^-CE^-에서 12 : 6rt15=3 : ^-CE^- ∴ ^-CE^-= 3rt15~_{2 `(cm)</sub> 따라서 ^-BC^-=2^-CE^-=2\ 3rt15~<sub>2 =3rt15`(cm)}이다.  ②

51

^-BD^-=^-BE^-=x`cm라 하면 ^-AD^-=^-AF^-=(7-x)~cm, ^-CE^-=^-CF^-=(14-x)~cm ^-AC^-=^-AF^-+^-CF^-이므로 11=(7-x)+(14-x) 2x=10 .t3 x=5 따라서 ^-BE^-의 길이는 5`cm이다.  _5`cm

52

<sub>^-AD^-=^-AF^-=3`cm이므로 ^-BD^-=^-BE^-=7-3=4~(cm) ^-CF^-=^-CE^-=9-3=6~(cm) .t3 ^-BC^-=^-BE^-+^-CE^-=4+6=10~(cm)</sub>  10`cm

53

^-AD^-=^-AF^-, ^-BD^-=^-BE^-, ^-CE^-=^-CF^-이므로 2(^-AD^-+^-BE^-+^-CF^-)=36 ^-AD^-+^-BE^-+^-CF^-=18 .t3 ^-CF^-=18-(10+3)=5  ₅

54

^-PE^-=^-PR^-, ^-QD^-=^-QR^-이므로 semoBPQ의 둘레의 길이는 ^-BP^-+^-PQ^-+^-QB^- =^-BP^-+^-PR^-+^-RQ^-+^-QB^- =^-BP^-+^-PE^-+^-QD^-+^-QB^- =^-BE^-+^-BD^-=2^-BE^- ^-BD^-=^-BE^-=x라 하면 ^-AD^-=^-AF^-=14-x, ^-CE^-=^-CF^-=10-x ^-AC^-=^-AD^-+^-CE^-이므로 12=(14-x)+(10-x) .t3 x=6 따라서 semoBPQ의 둘레의 길이는 2\6=12이다.  ① A B C D E O 12`cm 3`cm