2012학년도 10월 고3 전국연합학력평가 정답 및 해설(가형)

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2013학년도 대학수학능력시험 대비

2012학년도 10월 고3 전국연합학력평가 정답 및 해설

• 수리 영역 •

수리 가형 정답 1 ③ 2 ⑤ 3 ② 4 ④ 5 ① 6 ③ 7 ③ 8 ⑤ 9 ① 10 ③ 11 ② 12 ② 13 ③ 14 ① 15 ④ 16 ① 17 ④ 18 ② 19 ⑤ 20 ④ 21 ⑤ 22  23  24  25  26  27  28  29  30  해 설 1. [출제의도] 로그의 밑을 같게 하여 주어진 식을 계산 한다. log_ log_   log  _  2. [출제의도] 행렬의 성질을 이용하여 행렬의 합과 차 를 계산한다.        



_ _







  



  





     



 



 ,  





    따라서 행렬 의 모든 성분의 합은        3. [출제의도] 여러 가지 함수의 극한값을 계산한다. lim  → sin  _{ } lim  →   



 sin_ _ _{ } ⋅_  



 _ 4. [출제의도] 여러 가지 함수의 미분법을 이해한다.  ′    ln  이므로 lim  →        lim  →      ⋅   ′   5. [출제의도] 쌍곡선의 접선의 방정식을 이해한다.   _ ,      따라서 축과 만나는 점의 좌표는   6. [출제의도] 삼각방정식을 이해한다.

sin  sin cos  , sin  cos  

ⅰ) sin  에서    또는    ⅱ) _{cos  }   에서 _{  }    또는 _{  }    따라서 모든 근의 합은 _{    }          7. [출제의도] 두 직선이 이루는 각을 이해한다. 모서리 DE와 모서리 CB가 평행이므로 두 모서리 AC와 DE가 이루는 각은 두 모서리 AC와 CB가 이 루는 각과 같다. 따라서     이므로 cos    8. [출제의도] 조건부 확률을 이용하여 실생활 문제를 해결한다. 남학생 여학생 계 전통문화 체험    수학 체험    계    이 학교 학생 명 중에서 임의로 한 학생을 선택하 였을 때, 수학 체험을 희망한 학생일 사건을 라 하 고, 여학생일 사건을 라 하면 P∣  P∩_P     _  _ 9. [출제의도] 치환적분을 이해한다.   라 하면   _이므로



_   _



    _





  



  



 _     10. [출제의도] 분수부등식과 함수의 그래프 사이의 관 계를 이해한다. _  ≥ 에서  ≥ _{이고  ≠} 즉,   ≤ 이고  ≠ ⅰ)   이고  ≤ 인 경우   이면       또는     ≤ 이면  ≤   또는  ≤  ≤  ∴     ≤  ⅱ)   이고  ≥ 인 경우   이면    또는       ≥ 이면   ≤  ≤  또는  ≥  ∴    ≤  따라서 구하는 정수는      의 개이다. 11. [출제의도] 이항분포와 정규분포 사이의 관계를 이 해한다. 사과의 무게 는 정규분포  _{을 따른다.} 1등급 상품이 될 확률은 P ≥   P



_{ ≥ }    



 P  ≥    사과 개 중 등급 상품의 개수 는 이항분포  를 따르고 근사적으로  _{을 따른다.} P ≥   P



_{ ≥ }    



 P ≥    12. [출제의도] 로그함수와 관련된 실생활 문제를 해결 한다.  _{ log}       에서 _{  log}   log  ⋅log_{  }    13. [출제의도] 포물선의 정의를 이용하여 도형과 관련 된 문제를 해결한다. ∠EFB    이고 _{BF }BE이므로 ∆BEF는 정삼각형이 다. _{FC  이므로} _{FB FE FC }  AF AD이고 ∠DAE    이므로 _{AE AD }AF에 서 AF  즉, _{AF } ∴ ∆AFB  _⋅⋅⋅_ _ 14. [출제의도] 수학적 귀납법을 이용하여 수열의 일반 항을 구하는 과정을 설명한다. _{  }   에서 에   을 대입하면 _{  }      이므로         _{  }   _{ }       _{  이므로}       ∴          15. [출제의도] 함수와 정적분의 관계를 이해한다. (나)에서



     라 두면   cos   (가)에서   을 대입하면      ⋅ 이므 로   이고,   _를 대입하면    ⋅ 이므 로    이다. 따라서   cos  이므로



     cos  sin  

   sin_{ cos  cos ∴   }

16. [출제의도] 지수함수와 로그함수의 성질을 이용하 여 도형과 관련된 문제를 해결한다. 두 사각형이 합동이고 두 점 P, Q가 직선    위 의 점이므로 P  , Q  이다. 따라서 _{ , }_{ 이므로   }_{ }__{ }_에 서   이다. _{  ∴  } 17. [출제의도] 행렬의 성질을 추론한다. ㄱ. __{    에서 } _{  } 이므로      따라서    _{로 존재한다. (참)} ㄴ.     이므로     에서        , _{  } __{    }_{   (거짓)} ㄷ.     에서 _{  이므로} _{  }_{ }_{,   } 양변의 오른쪽에  _{을 곱하면    (참)} 18. [출제의도] 삼수선의 정리를 이해한다. 직각삼각형 ABC에서 _{AB }_ 점 B에서 AP에 내린 수선의 발을 H라 하면 직각삼 각형 ABP에서 _BH 삼수선의 정리에 의하여 _{CH⊥AP이다. 따라서 직각} 삼각형 CBH에서 _{BC  , BH } _이므로 _{CH }_ 19. [출제의도] 주어진 조건에 맞는 함수의 성질을 추 론한다. 함수 의 증감표는 다음과 같다.  ⋯   ⋯  ⋯  ⋯  ′         ↘ ↗ ↗ ↘ ㄱ. 는   에서 극값을 갖지 않는다. (거짓) ㄴ.   이면 도함수  ′는 축에 대하여 대칭 이므로 함수 는 원점 대칭이다. 따라서 극댓 값 , 극솟값  에 대하여      이므로      이다. (참) ㄷ. 극댓값 이 보다 작으므로 방정식   은    인 오직 하나의 실근을 갖는다. (참) 20. [출제의도] 여러 가지 함수의 극한을 이용하여 도 형과 관련된 문제를 해결한다.  AB  이고 ∠APB    이므로 _{PB sin} ∠QBP     ∠PQB  _   _ _  ∴ _{PQ  PB⋅tan}

_

_ 



 sin⋅tan



_ 



    ⋅sin⋅sin⋅tan



_    



 sin_{ tan}



_ 



lim →    lim →   sin_{ tan}



_   



lim →   tan



_    



  21. [출제의도] 도형에서 무한등비급수의 합을 이해한 다. 직선   __  와 축이 이루는 각의 크기는 _  이 다. ∆OO_A_은 이등변삼각형이므로 ∠OOA _  

2

2

따라서 _{ }    ∆OO A은 이등변삼각형이므로 ∠OOA _   따라서  _   ⋅    ≥  수열



_  



은 첫째항이 _ 이고 공비가 _ 인 등비 수열이므로

_

   ∞ _         _   _{  } 22. [출제의도] 등차수열의 성질을 이해한다. _   ⋅   에서 _ , _ 이므로 _    23. [출제의도] 무리방정식의 근을 구한다.       _{, }_{     ,       } ∴    또는      가 무연근이므로 실근은    24. [출제의도] 이산확률분포를 이해한다.     에서 _{  }   P      , E 

_

    ⋅   _⋅ ⋅⋅   ∴ E    E         25. [출제의도] 일차변환과 역변환의 뜻을 이해한다. 일차변환 를 나타내는 행렬을 라 하면 

 

_

 

 ,  

 

 

 

 이므로 

 

 

 

 , 

 

 

 

  

 

 _{ }

 

   이므로  

 

    

 

_

 

   

 

 

 

 에서      이므로      26. [출제의도] 포물선의 그래프를 이용하여 회전체의 부피를 구하는 문제를 해결한다. 두 곡선의 교점의 좌표는     에서      



   



      _    _{ }         ∴ _  27. [출제의도] 삼각함수의 덧셈정리를 이용하여 도형 과 관련된 문제를 해결한다. 원의 중심을 O라 하면 ∠POB   직선 OP와 선분 AC가 만나는 점을 R, ∠BAC  라 하면 ∠PRQ  이고 _{tan  }   ∠QPR  _ ∠PQA  _이므로 ∠PRQ     _

tan  tan



_ 



 _{ ⋅tan}  tan     _  _ 따라서 tan   28. [출제의도] 평면과 구의 위치관계를 이용하여 벡터 의 내적과 관련된 문제를 해결한다.  BA ⋅BP BA ⋅BC  CP  BA ⋅BC  BA ⋅CP _{ ⋅⋅} ⋅⋅     BA ⋅CP   BA ⋅CP 그런데 최대일 때의 점 P를 PM, 최소일 때의 점 P 를 P_m이라 하면 _CP M, CPm은 _{BA와 평행하고 방향} 이 반대이므로 BA ⋅CP_M BA ⋅CP_m   BA ⋅BP의 최댓값과 최솟값의 합은      29. [출제의도] 입체도형의 형태를 추론하고 중복조합 을 이용하여 경우의 수를 구한다. 층에 개를 모두 쌓은 후 남은 개를 쌓는 방법은 다음과 같다. ⅰ) 층 앞줄에 모두 개씩 쌓는 경우 C×C  ⅱ) 층 앞줄 두 곳 중 한 곳에만 개를 쌓는 경우 뒷줄 네 곳 중 한 곳에 개를 쌓고 나머지 세 곳에 중복을 허락하여 개를 쌓으면 되므로 C×C×H  따라서     30. [출제의도] 평면과 평면의 위치관계와 정사영을 이 용하여 도형과 관련된 문제를 해결한다. 평면       에 의하여 정육면체가 잘린 단면 은 그림과 같다. 두 평면       ,   의 법선벡터가 각각   ,    이므로 두 평면이 이루는 각 에 대하여 _{ ⋅⋅cos  , cos  } _  오각형 HIJKL의 정사영이 오각형 OAJKC이므로  cos   따라서   _{이므로 }_{ }