숨마쿰라우데_수학2 내신·모의고사_대비_TEST 해설

Ⅰ. 함수의 극한과 연속

Ⅱ. 다항함수의 미분법

Ⅲ. 다항함수의 적분법

®

[수학Ⅱ]

내신・모의고사

대비

_T

_E

_S

_T

[정답 및 해설]

1.③ 2.⑴ 12 ⑵ -;3@; 3.;2!; 4.3 5.-21 6.2 7.ㄴ 8.8 9.18 10.3 11.2 본문 326쪽 S U M M A C U M L A U D E

내신・모의고사 대비

TEST

0

1

주어진 그래프로부터 f(x)=3, f(x)=0 ∴ f(x)+ f(x)=3+0=3 ③

0

2

⑴ = _{ ¥ _} = = _{(x¤ +1)('ƒx+∂10+3)} =2¥6=12 ⑵ x=-t로 놓으면 x⁄ -¶일 때 t ⁄ ¶이므로 = = = =- ⑴ 12 ⑵

-0

3

모든 양의 실수 x에 대하여 2x¤ +x+4>0이므 로 주어진 부등식의 각 변에1241113_{2x¤ +x+4}x 를 곱하면 2 1₃ 2 1 1₃ -2 1125₂₊₁ 3 1-2_t 1111111115_{1 5} Ƭ4- 14 +Ƭ1+14_{t¤ t¤} lim t⁄¶ 3-2t 1241111134 "√4t¤ -1+"√t¤ +5 lim t⁄¶ 3+2x 1241111113 "√4x¤ -1+"√x¤ +5 lim x⁄-¶ lim x⁄-1 (x+1)(x¤ +1)('ƒx+∂10+3) 124111111111125_x+1 lim x⁄-1 'ƒx+∂10+3 12411125 'ƒx+∂10+3 x‹ +x¤ +x+1 124111125 'ƒx+∂10-3 lim x⁄-1 x‹ +x¤ +x+1 124111125 'ƒx+∂10-3 lim x⁄-1 lim x⁄0+ lim x ⁄-1-lim x⁄0+ lim x ⁄-1-<xf(x)< 이때 = = 이므로 xf(x)=

0

4

=b에서 x⁄2일 때 (분모) ⁄0이고 극한값이 존재하므로 (분자)⁄0이다. 즉, ('ƒx+a-2)=0이므로 'ƒ2+a -2=0, 2+a=4 ∴ a=2 yy ㉠ ㉠을 주어진 식에 대입하면 = = = _=;4!; ∴ b=;4!; ∴ a+4b=2+1=3 3

0

5

= 에서 f(x)는 이차항의 계수 가 3인 이차함수이다. 또 =6에서 x⁄-2일 때 (분모) ⁄0이고 극한값이 존재하므로 (분자)⁄0이다. 즉, f(x)=0이므로 f(-2)=0 f(x)=3(x+2)(x+a) (a는 상수)라 하면 = = =-1112333(a-2) =6 4 3(x+a) 111233_x-2 lim x⁄-2 3(x+2)(x+a) 111111233_(x+2)(x-2) lim x⁄-2 f(x) 11235_{x¤ -4} lim x⁄-2 lim x⁄-2 f(x) 11235_{x¤ -4} lim x⁄-2 1 1₃ x¤ -3 11235_f(x) lim x⁄¶ 1 11121 'ƒx+2 +2 lim x⁄2 (x+2)-4 11121211123 (x-2)('ƒx+2+2 ) lim x⁄2 'ƒx+2-2 111212_x-2 lim x⁄2 'ƒx+a-2 111214_x-2 lim x⁄2 lim x⁄2 'ƒx+a-2 111214_x-2 lim x⁄2 1 1₂ 1 1 1₂ lim x⁄¶ 1 1₂ x¤ +2x 1241113_{2x¤ +x+4} lim x⁄¶ x¤ 1241113_{2x¤ +x+4} lim x⁄¶ x¤ +2x 1241113_{2x¤ +x+4} x¤ 1241113_{2x¤ +x+4}

01

함수의 극한

내신 ・ 모의고사 대비 TEST a-2=-8 ∴ a=-6 따라서 f(x)=3(x+2)(x-6)이므로 f(x)=f(-1)=3¥1¥(-7)=-21 -21

0

6

직선 y=x+2와 수직인 직선의 기울기는 -1이 므로 점 P(t, t+2)를 지나고 기울기가 -1인 직선의 방 정식은 y-(t+2)=-(x-t) ∴ y=-x+2t+2 점 Q는 이 직선과 y축이 만나는 점이므로 Q(0, 2t+2) 이제 세 점 A(-2, 0), P, Q에 대하여 AQ”¤ =2¤ +(2t+2)¤ =4t¤ +8t+8 AP”¤ =(t+2)¤ +(t+2)¤ =2t¤ +8t+8 ∴ = ∴ = _=;2$;=2 2

0

7

ㄱ. f(x)=0, f(x)=2이므로 f(x)의 값은 존재하지 않는다. (거짓) ㄴ. f(x)=t로 놓으면 x⁄ 1+일 때 t ⁄ 0+이고 x⁄ 0+일 때 t ⁄ 1+이므로 (fΩfΩf)(x)= (fΩf)(t) = (fΩf)(x) = f(t)=0 (참) ㄷ. ㄴ에 의하여 (fΩf)(x)=0이고 f(x)=t로 놓으면 x⁄ 0-일 때 t=0이므로 (fΩf)(x)=f(0)=1 따라서 (fΩf)(x)의 값은 존재하지 않는다. (거짓) 이상에서 옳은 것은 ㄴ뿐이다. ㄴ lim x⁄0 lim x ⁄0-lim x⁄0+ lim t⁄1+ lim x⁄0+ lim t⁄0+ lim x⁄1+ lim x⁄1 lim x ⁄1-lim x⁄1+ 8 8 4+1+15 t t¤ 1111155_{8 8} 2+1+15 t t¤ lim t⁄¶ 4t¤ +8t+8 11111_{2t¤ +8t+8} lim t⁄¶ AQ”¤ 112 AP”¤ lim t⁄¶ lim x⁄-1

0

8

x= 로 놓으면 x= =1-이므로 t⁄¶일 때 x ⁄1-이고 t⁄-¶일 때 x ⁄1+이다. ∴ f{ }+ f{ } = f(x)+ f(x) =5+3=8 8

0

9

f(x)=1이므로 a=0, b=1 f(x)= 이므로 = ∴ e=1 =-1에서 x_{⁄-1일 때} (분모)⁄0이고 극한값이 존재하므로 (분자) ⁄0이다. 즉, (x‹ +cx¤ +dx+1)=0이므로 -1+c-d+1=0 ∴ c=d ∴ = = = =-1 ∴ c=8 ∴ a+b+c+d+e=0+1+8+8+1 =18 18

10

x-a=t로 놓으면 x=t+a이고 x⁄a일 때 t⁄0이므로 =4에서 3f(x-a) 11111_x-a lim x⁄a 3-c 1144₅ x¤ +(c-1)x+1 11111113_{x¤ -2x+2} lim x⁄-1 (x+1){x¤ +(c-1)x+1} 11111111112344_{(x+1)(x¤ -2x+2)} lim x⁄-1 x‹ +cx¤ +cx+1 1111112325_{x‹ -x¤ +2} lim x⁄-1 lim x⁄-1 x‹ +cx¤ +dx+1 1111112334_{x‹ -x¤ +2} lim x⁄-1 1 1₂ e 1₂ 1 1₂ lim x⁄0 lim x⁄¶ lim x⁄1+ lim x ⁄1-t-1 112_t+1 lim t⁄-¶ t-1 112_t+1 lim t⁄¶ 2 112_t+1 (t+1)-2 11111_t+1 t-1 112_t+1

= =4 ∴ ∴= = ∴= = =3 3

11

A(-1, 0), B(1, 0), C(0, 1)이고 P(t, 1-t¤ )(0<t<1)이라 하면 직선 CP의 방정식은 y= x+1 ∴ y=-tx+1 점 Q의 좌표는 -tx=-1에서 x= 이므로 { , 0} 또 직선 AP의 방정식은 y= (x+1) ∴ y=(1-t)(x+1) 점 R의 x좌표가 이므로 점 R의 좌표는 { , (1-t){ +1}}, 즉 { , -t} ∴ QR”= -t, BQ”= -1 (∵ 0<t<1) 점 P가 점 B에 한없이 가까이 가면 t⁄ 1-이므로 구하는 극한값은 = = = =lim (1+t)=2 2 t ⁄1-(1+t)(1-t) 1111115_1-t lim t ⁄1-1-t¤ 1133_1-t lim t ⁄1-1 1-t_t 111₁ 1-1_t lim t ⁄1-QR” 11_BQ” lim t ⁄1-1 1_t 1 1_t 1 1_t 1 1_t 1 1_t 1 1_t 1 1_t 1-t¤ 1133_t+1 1 1_t 1 1_t -t¤ 1234_t 4+2_4 11112₀₊₄ 3f(x) 4+2lim1124 x⁄0 x 111111111_3f(x) lim 5x+lim1124 x⁄0 x⁄0 x 6f(x) lim[4+1124]_{x⁄0 x} 11111111_3f(x) lim[5x+1124]_{x⁄0 x} 6f(x) 4+1124 x 111112_3f(x) 5x+1124 x lim x⁄0 4x+6f(x) 111111_{5x¤ +3f(x)} lim x⁄0 3f(x) 111_x lim x⁄0 3f(t) 111_t lim t⁄0 1.② 2.19 3.2 4.3 5.12 6.4 7.③ 8.0 9.④ 10.2 11.3 본문 328쪽 S U M M A C U M L A U D E

02

함수의 연속

0

1

ㄱ. f(x)=-1, g(x)=1, f(x)=1, g(x)=-1이므로 f(x)g(x)=(-1)_1=-1 f(x)g(x)=1_(-1)=-1 ∴ f(x)g(x)=-1 (참) ㄴ. { f(x)+g(x)}=0= { f(x)+g(x)} 이고, f(1)+g(1)=(-1)+1=0이므로 함수 f(x)+g(x)는 x=1에서 연속이다. (참) ㄷ. f(x)=-1, g(x)=-1, f(x)=1, g(x)=-1 이므로 f(x)g(x)의 값이 존재하지 않는다. 따라서 함수 f(x)g(x)는 x=-1에서 불연속이다. (거짓) 이상에서 옳은 것은 ㄱ, ㄴ이다. ②

0

2

0<x<2이므로 0<5x¤ <20 함수 f(x)=[5x¤ ]은 5x¤ 이 정수가 되는 점에서 불연속 이므로 불연속이 되는 x의 값은 , , , y, 의 19개이다. 19

0

3

f(x)= =a에서 x ⁄ 0일 때 (분모) ⁄ 0이고 극한값이 존재하므로 (분자)⁄ 0이다. 즉, (x¤ +x+b-1)=0이므로 b-1=0 ∴ b=1 lim x⁄0 x¤ +x+b-1 11111344_x lim x⁄0 lim x⁄0 '∂19 114 '5 '3 124 '5 '2 124 '5 1 124 '5 lim x⁄-1 lim x ⁄-1-lim x ⁄-1-lim x⁄-1+ lim x⁄-1+ lim x ⁄1-lim x⁄1+ lim x⁄1 lim x ⁄1-lim x⁄1+ lim x ⁄1-lim x ⁄1-lim x⁄1+ lim x⁄1+

내신 ・ 모의고사 대비 TEST 이때 함수 f(x)는 x=0에서 연속이므로 f(x)= f(x)= (x+1)=a ∴ a=1 ∴ a+b=1+1=2 2

0

4

함수 f(x)가 실수 전체의 집합에서 연속이려면 x=1에서 연속이어야 하므로 f(x)=f(1) -1+a¤ =1¤ +1+2a

a¤ -2a-3=0, (a+1)(a-3)=0

∴ a=3 (∵ a>0) 3

0

5

x+2일 때 f(x)= 함수 f(x)가 x=2에서 연속이므로 f(2)= f(x)= = = (x¤ +2x+4)=12 12

0

6

f(x)는 연속함수이고 f(-2)f(-1)=-1<0, f(-1)f(0)=-1<0, f(0)f(1)=-1<0, f(1)f(2)=-1<0 이므로 사잇값의 정리에 의하여 방정식 f(x)=0은 열린 구간 (-2, -1), (-1, 0), (0, 1), (1, 2)에서 각각 적어도 하나의 실근을 갖는다. 따라서 열린구간 (-2, 2)에서 적어도 4개의 실근을 갖 는다. 4 lim x⁄2 (x-2)(x¤ +2x+4) 111111113444_x-2 lim x⁄2 x‹ -8 11335_x-2 lim x⁄2 lim x⁄2 x‹ -8 11335_x-2 lim x⁄1+ lim x⁄0 x¤ +x 11233_x lim x⁄0 lim x⁄0

0

7

ㄱ. f(x)+ f(x) ㄱ=1+(-1)=0 (참) ㄴ. -x=t로 놓으면 ㄴ.x⁄ 1+일 때 t ⁄ -1-이고 x⁄ 1-일 때 t ⁄ -1+이므로 ㄴ. f(-x)= f(t)=1 yy ㉠ ㄴ. f(-x)= f(t)=-1 yy ㉡ ㄴ.따라서 f(-x)의 값이 존재하지 않으므로 함수 ㄴ.f(-x)는 x=1에서 불연속이다. (거짓) ㄷ. f(x) f(-x)= f(x) f(-x) ㄴ. f(x) f(-x)=(-1)¥1 (∵ ㉠) ㄴ. f(x) f(-x)=-1 ㄴ. f(x) f(-x)= f(x) f(-x) ㄴ. f(x) f(-x)=1¥(-1) (∵ ㉡) ㄴ. f(x) f(-x)=-1 ㄴ. f(1)f(-1)=1¥(-1)=-1 ㄴ.따라서 함수 f(x) f(-x)는 x=1에서 연속이다. (참) 이상에서 옳은 것은 ㄱ, ㄷ이다. ③

0

8

=4에서 x⁄2일 때 (분모) ⁄0이고 극한값이 존재하므로 (분자)⁄0이다. 즉, f(x-2)=0이고 x-2=t로 놓으면 x⁄ 2일 때 t⁄ 0이므로 f(x-2)= f(t)=0 이때 f(t)는 t=0에서 연속이므로 f(0)= f(t)=0 0

0

9

① ㈎로부터 f(4)=f(-4)이고, ㈏로부터 |x|>4에서 f(x)=0이므로 함수 f(x)가 연속함수 이려면 f(4)=f(-4)=0이어야 한다. lim t⁄0 lim t⁄0 lim x⁄2 lim x⁄2 f(x-2) 1112544_x-2 lim x⁄2 lim x ⁄1-lim x ⁄1-lim x ⁄1-lim x⁄1+ lim x⁄1+ lim x⁄1+

lim

x⁄1

lim

t⁄-1+

lim

x

⁄1-lim

t

⁄-1-lim

x⁄1+

lim

x⁄1+

lim

x

⁄-1-② |f(x)|…8이고, f(x)=8이 되는 x가 오직 한 개 있 으므로 f(0)=8이고 이것이 최댓값이다. ③, ④ f(0)=8, f(4)=f(-4)=0이므로 다음 그림 의 함수를 생각해 보면 f(x)=2가 되는 x는 2개 이상 이지만 f(x)가 최소가 되는 x가 오직 하나인 것은 아 니다. ⑤ 모든 x에 대하여 f(x+4)=0 또는 f(x-4)=0이므 로 f(x+4)f(x-4)=0이다. 따라서 옳지 않은 것은 ④이다. ④

10

함수 f(x)가 x=1에서 연속이므로 f(1)= f(x)= =c x ⁄ 1일 때 (분모) ⁄ 0이고 극한값이 존재하므로 (분자)⁄ 0이다. 즉, (x‹ +x¤ +ax+b)=0이므로 2+a+b=0 ∴ b=-2-a yy ㉠ ∴ f(x) = = = 또 x⁄ 1일 때 (분모) ⁄ 0이고 극한값이 존재하므로 (분자)⁄ 0이다. 즉, (x¤ +2x+2+a)=0이므로 1+2+2+a=0 ∴ a=-5 lim x⁄1 x¤ +2x+2+a 11111144_x-1 lim x⁄1 (x-1)(x¤ +2x+2+a) 11111121113543_(x-1)¤ lim x⁄1 x‹ +x¤ +ax-2-a 1111111315_(x-1)¤ lim x⁄1 lim x⁄1 lim x⁄1 x‹ +x¤ +ax+b 111111233_(x-1)¤ lim x⁄1 lim x⁄1 O -4 4 2 8 x y a=-5를 ㉠에 대입하면 b=3 ∴ f(x)= = = (x+3)=4 ∴ c=f(1)=4 ∴ a+b+c=-5+3+4=2 2

11

두 조건 ㈎, ㈏에 의하여 f(1)=0, f(3)=0이 므로 다항함수 P(x)에 대하여 f(x)를 f(x)=(x-1)(x-3)P(x) 라 하자. 이제 f(x)를 조건 ㈎, ㈏에 각각 대입하면 = (x-3)P(x) =-2P(1)=1 ∴ P(1)=-= (x-1)P(x) =2P(3)=2 ∴ P(3)=1 이때 P(x)는 다항함수이므로 모든 실수에서 연속이고 P(1)P(3)<0이므로 P(x)는 열린구간 (1, 3)에서 적어도 하나의 실근을 갖는다. 따라서 방정식 f(x)=0은 두 실근 1, 3과 열린구간 (1, 3)에서 적어도 하나의 실근을 가지므로 닫힌구간 [1, 3]에서 적어도 3개의 실근을 갖는다. 3 lim x⁄3 (x-1)(x-3)P(x) 11111111234_x-3 lim x⁄3 1 1₂ lim x⁄1 (x-1)(x-3)P(x) 11111111234_x-1 lim x⁄1 lim x⁄1 (x-1)¤ (x+3) 111111245_(x-1)¤ lim x⁄1 x‹ +x¤ -5x+3 111111345_(x-1)¤ lim x⁄1 lim x⁄1

내신 ・ 모의고사 대비 TEST

0

1

= = ¥(-2) - ¥4 =-2f'(a)-4f'(a) =-6f'(a)=-6¥(-2)=12 12

0

2

① x=3에서의 좌극한과 우극한이 2로 같으므로 f(x)=2이다. ② x=4에서의 접선의 기울기는 음수이므로 f'(4)<0 이다. ③ x=3, x=5에서 불연속이므로 불연속인 점은 2개 이다. ④ x=1에서 그래프의 모양이 뾰족하므로 미분가능하 지 않고, x=3, x=5에서 불연속이므로 미분가능하 지 않다. 즉, 미분가능하지 않은 점은 3개이다. ⑤ x=6에서 f '(x)=0이므로 f '(x)=0인 점은 1개 이다. 따라서 옳지 않은 것은 ⑤이다. ⑤

0

3

{ f(1)-1}¤ +|f '(1)-1|=0 HjK f(1)=1, f'(1)=1 f(x)=x‹ +ax¤ +bx이므로 f(1)=1+a+b=1 ∴ a+b=0 yy ㉠ f '(x)=3x¤ +2ax+b이므로 f '(1)=3+2a+b=1 lim x⁄3 f(a+4h)-f(a) 11111113_4h f(a-2h)-f(a) 11111113_-2h lim h⁄0 f(a-2h)-f(a)+f(a)-f(a+4h) 1111111111111114_h lim h⁄0 f(a-2h)-f(a+4h) 11111111134_h lim h⁄0 1.12 2.⑤ 3.8 4. 5.④ 6.④ 7.4 8.② 9.① 10.③ 11.100 12.6 3 12₂₅ 본문 330쪽 S U M M A C U M L A U D E

03

미분계수와 도함수 ∴ 2a+b=-2 yy ㉡ ㉠, ㉡을 연립하여 풀면 a=-2, b=2 ∴ a¤ +b¤ =8 8

0

4

f '(x)=(2x+1)(ax+b)+(x¤ +x-1)¥a f '(x)=3ax¤ +2(a+b)x-a+b =f '(2)=10이므로 f '(2)=12a+4(a+b)-a+b=10 ∴ 3a+b=2 yy ㉠ = ¥(x¤ +x+1) = ¥3=1 즉, f '(1)=3이므로 f '(1)=3a+2(a+b)-a+b=3 ∴ 4a+3b=3 yy ㉡ ㉠, ㉡을 연립하여 풀면 a= , b= ∴ ab=

0

5

f(x)=x⁄ ‚ +xfi 으로 놓으면 f(1)=1+1=2이 므로 = =f'(1) 이때 f'(x)=10x· +5x› 이므로 f'(1)=10+5=15 ④

0

6

f(x)=[ 에 대하여 f'(x)=[-1 (x<0) 2ax-2a (x>0) -x+1 (x<0) a(x-1)¤ +b (xæ0) f(x)-f(1) 1111134_x-1 lim x⁄1 x⁄ ‚ +xfi -2 1111334_x-1 lim x⁄1 3 12₂₅ 3 1 122₂₅ 1 1₅ 3 1₅ 1 11344_{f '(1)} x-1 1111144_f(x)-f(1) lim x⁄1 x‹ -1 1111144_f(x)-f(1) lim x⁄1 f(x)-f(2) 1111144_x-2 lim x⁄2

이때 함수 f(x)가 x=0에서 연속이므로 f(0)= f(x) ∴ a+b=1 yy ㉠ 또 f(x)는 x=0에서 미분가능하므로 f'(x)= f'(x) -2a=-1 _{∴ a=;2!;} a=;2!;을 ㉠에 대입하면 b=;2!; 따라서 xæ0일 때 f(x)=;2!;(x-1)¤ +;2!;이므로 f(3)=;2!;¥2¤ +;2!;=;2%; ④

0

7

= = - ¥(-1) =f '(3)+f '(3) =2f '(3) 이때 2…x<4에서[ ]=1이므로 f(x)=2x 따라서 2…x<4에서 f'(x)=2이므로 f '(3)=2 ∴ (주어진 식)=2f '(3)=2¥2=4 4

0

8

주어진 식에 x=0, y=0을 대입하면 f(0)=f(0)+f(0) ∴ f(0)=0 f'(0)= = =3 ∴ f'(a)= ∴ f'(a)= _11111111111f(a)+f(h)+2ah-f(a) h lim h⁄0 f(a+h)-f(a) 1111111_h lim h⁄0 f(h) 113_h lim h⁄0 f(h)-f(0) 111112_h lim h⁄0 x 1₂ f(3-h)-f(3) 11111125_-h lim h⁄0 f(3+h)-f(3) 11111125_h lim h⁄0 f(3+h)-f(3)+f(3)-f(3-h) 1111111111111225_h lim h⁄0 f(3+h)-f(3-h) 111111112_h lim h⁄0 lim x ⁄0-lim x⁄0+ lim x ⁄0-∴ f'(a)= ∴ f'(a)= +2a ∴ f'(a)=3+2a 즉, 3+2a=7이므로 a=2 ②

0

9

ㄱ. =0에서 x⁄ 1일 때 (분모)⁄ 0이고 극한값이 존재하므로 (분자) ⁄ 0이어 야 한다. ∴ f(x)=0 (참) ㄴ, ㄷ. (반례) f(x)=g 이라 하면 = =0이지만 f(1)=1+0 (거짓) 또 f(x)는 x=1에서 불연속이므로 f(x)는 x=1에 서 미분가능하지 않다. 즉, f '(1)의 값은 존재하지 않는다. (거짓) 따라서 옳은 것은 ㄱ뿐이다. ①

10

g(x)=(x¤ -1)f(x)로 놓으면 g(2)=3f(2)이므로 = =g'(2) (∵ g(x)는 다항함수) 이때g'(x)=2xf(x)+(x¤ -1)f '(x)이므로 g'(2)=4f(2)+3f '(2) =4¥2+3¥6=26 ③

11

x+1일 때, f(x)= 이때 f(x)가 연속함수이므로 x⁄ ‚ ‚ -1 1114_x-1 g(x)-g(2) 1111134_x-2 lim x⁄2 (x¤ -1)f(x)-3f(2) 111111112434_x-2 lim x⁄2 0 11344_x-1 lim x⁄1 f(x) 11244_x-1 lim x⁄1 0 (x+1) 1 (x=1) lim x⁄1 f(x) 11244_x-1 lim x⁄1 f(h) 112_h lim h⁄0 f(h)+2ah 111115_h lim h⁄0

내신 ・ 모의고사 대비 TEST f(1)= f(x)= g(x)=x⁄ ‚ ‚ 으로 놓으면 g(1)=1이므로 f(1)= = =g'(1) 이때g'(x)=100x· · 이므로 g'(1)=100 ∴ f(1)=100 x+1일 때, f(x)= 이때 f(x)가 연속함수이므로 f(1)= f(x) f(1)= f(1)= (x· · +x· ° +x· ‡ +y+x¤ +x+1) f(1)=100 100

12

f(x)=ax¤ +bx+c (a+0, a, b, c는 상수)로 놓으면 f'(x)=2ax+b f(x), f'(x)를 주어진 식에 대입하면 (x-1)(2ax+b)-(ax¤ +bx+c)=2x¤ -4x-1 ax¤ -2ax-b-c=2x¤ -4x-1 이 식이 모든 실수 x에 대하여 성립하므로 a=2이고, -b-c=-1에서 b+c=1 yy ㉠ 이때 f'(-1)=-2a+b=-4+b=-7이므로 b=-3 b=-3을 ㉠에 대입하면 c=4 따라서 f(x)=2x¤ -3x+4이므로 f(2)=8-6+4=6 6 lim x⁄1 x⁄ ‚ ‚ -1 1114_x-1 lim x⁄1 lim x⁄1 x⁄ ‚ ‚ -1 1114_x-1 g(x)-g(1) 1111144_x-1 lim x⁄1 x⁄ ‚ ‚ -1 1114_x-1 lim x⁄1 x⁄ ‚ ‚ -1 1114_x-1 lim x⁄1 lim x⁄1

0

1

f(x)=x‹ -2x로 놓으면 f'(x)=3x¤ -2 점 (2, 4)에서의 접선의 기울기는 f'(2)=12-2=10 이므로 이 점에서의 접선의 방정식은 y-4=10(x-2) ∴ y=10x-16 따라서 접선과 x축, y축으로 둘러싸인 삼각형은 오른쪽 그 림과 같으므로 S=;2!;¥16¥;5*;=:§5¢: ∴ 10S=10¥:§5¢:=128 ④

0

2

f(x)=x¤ 으로 놓으면 f'(x)=2x 점 A(1, 1)에서의 접선의 기울기는 f'(1)=2이므로 직선 l의 기울기는 - 이다. 즉, 직선 l의 방정식은 y-1=- (x-1) ∴ y=- x+ 직선 l이 곡선 y=x¤ 과 만나는 또 다른 점 B의 x좌표는 x¤ =- x+ 에서 2x¤ +x-3=0 (2x+3)(x-1)=0 ∴ x=- (∵ x+1) ∴ B {-13₂,19₄} 3 1₂ 3 1₂ 1 1₂ 3 1₂ 1 1₂ 1 1₂ 1 1₂ O S 8 5 -16 x y y=10x-16 1.④ 2.y=-3x-;4(; 3.4 4.① 5.6 6.③ 7.4 8.⑤ 9.9 10.① 11.③ 12.1 13.2 14.ㄱ, ㄴ, ㄷ 15.6 16.③ 17.5 18.-3 19.② 20.1 : 2 21.;2(; 22.1<a<3 23.-8 본문 332쪽 S U M M A C U M L A U D E

04

도함수의 활용

따라서 점 B에서의 접선의 기울기는 f'{- }=-3이 므로 직선 m의 방정식은 y- _{=-3{x+ } ∴}

y=-3x-0

3

함수 f(x)=x¤ +4x-3에 대하여 닫힌구간 [0, k]에서 평균값 정리를 만족시키는 실수가 2이므로 =f'(2) 이때 f'(x)=2x+4이므로 =8, k¤ -4k=0 k(k-4)=0 ∴ k=4 (∵ k>2) 4

0

4

h(x)=x‹ +5x¤ +10x+5에서 h(-1)=-1+5-10+5=-1, h(0)=5이므로 h(-1)h(0)<0 따라서 에 의하여 방정식 h(x)=0은 -1과 0 사이에서 적어도 하나의 실근을 갖는다. h'(x)=3x¤ +10x+10=3{x+ }¤ + 이므로 h'(x) 0 따라서 h(x)는 하는 함수이다. ∴ ㈎：사잇값의 정리, ㈏：>, ㈐：증가 ①

0

5

f(x)=x‹ +ax¤ +2ax에서 f '(x)=3x¤ +2ax+2a 함수 f(x)가 실수 전체의 집합에서 증가하려면 모든 실 수 x에 대하여 f '(x)æ0이어야 한다. 즉, 이차방정식 3x¤ +2ax+2a=0의 판별식을 D라 하 면

=a¤ -6a…0, a(a-6)…0

∴ 0…a…6 D 14₄ 증가 > 5 1₃ 5 1₃ 사잇값의 정리 k¤ +4k-3-(-3) 111111113_k f(k)-f(0) 111112_k-0 9 1₄ 9 1 1₄ 3 1₂ 9 1₄ 3 1₂ 따라서 실수 a의 최댓값 M=6, 최솟값 m=0이므로 M-m=6 6

0

6

① f(x)는 x=-2, x=0, x=2에서 극값을 갖는다. ② 구간 (-1, 0)에서 f'(x)<0이므로 f(x)는 감소 한다. ③ 구간 (0, 2)에서 f'(x)>0이므로 f(x)는 증가한다. ④ x=2의 좌우에서 f '(x)의 부호가 양에서 음으로 변 하므로 f(x)는 x=2에서 극대이다. ⑤ x<-2에서 f'(x)>0이므로 f(x)는 증가한다. 따라서 옳은 것은 ③이다. ③

0

7

함수 f(x)가 극값을 갖지 않으려면 이차방정식 f '(x)=0이 중근 또는 허근을 가져야 한다. f '(x)=3x¤ +6ax+6=0의 판별식을 D라 하면 =(3a)¤ -18=9(a¤ -2)…0

(a+'2 )(a-'2 )…0 ∴ -'2…a…'2

따라서 a=-'2, b='2이므로 a¤ +b¤ =4 4

0

8

f(x)=x‹ -3x¤ -9x+a에서 f'(x)=3x¤ -6x-9=3(x+1)(x-3) f'(x)=0에서 x=-1 (∵ -3…x…2) 구간 [-3, 2]에서 함수 f(x)의 증감표를 만들면 다음과 같다. 즉, 함수 f(x)는 x=-1에서 최댓값 a+5, x=-3에 서 최솟값 a-27을 갖는다. D 14₄ -3 y -1 y 2 + 0

-a-27 ↗ a+5 ↘ a-22

x f'(x)

내신 ・ 모의고사 대비 TEST 이때 함수 f(x)의 최솟값이 -6이므로 a-27=-6 ∴ a=21 따라서 함수 f(x)의 최댓값은 a+5=21+5=26 ⑤

0

9

y=x‹ +3x¤ -5의 그래프를 y축의 방향으로 a 만큼 평행이동시킨 그래프의 식은 y=x‹ +3x¤ -5+a 즉,g(x)=x‹ +3x¤ -5+a이므로 g'(x)=3x¤ +6x=3x(x+2) g'(x)=0에서 x=-2 또는 x=0 함수g(x)의 증감표를 만들면 다음과 같다. 이때 방정식g(x)=0이 서로 다른 세 실근을 가지려면 y=g(x)의 그래프가 x축과 서로 다른 세 점에서 만나야 한다. 즉, 함수g(x)의 극댓값은 0보다 크고 극솟값은 0 보다 작아야 하므로

a-1>0, a-5<0 ∴ 1<a<5

따라서 가능한 정수 a의 값은 2, 3, 4이므로 그 합은 2+3+4=9 9

10

두 점 P, Q의 시각 t일 때의 위치가 각각 f(t)=2t¤ -2t, g(t)=t¤ -8t이므로 두 점의 속도는 각각 f'(t)=4t-2, g'(t)=2t-8 두 점 P, Q가 서로 반대 방향으로 움직일 때는 속도의 부호가 서로 반대이므로 (4t-2)(2t-8)<0 ∴ ;2!;<t<4 ①

11

t초 후의 공의 반지름의 길이를 r cm라 하면 r=12+t t초 후의 공의 겉넓이를 S cm¤ 라 하면 S=4pr¤ =4p(12+t)¤ t초 후의 겉넓이가 처음 겉넓이의 4배라 하면 4p(12+t)¤ =4¥4p¥12¤ , (12+t)¤ =24¤ ∴ t=12 (∵ t>0) 이때 =8p(12+t)이므로 t=12일 때의 겉넓이의 변화율은 8p¥(12+12)=192p`(cm¤ /s) ③

12

f(x)=- x‹ -x¤ + 로 놓으면 f'(x)=-x¤ -2x 접점의 좌표를 {t, - t‹ -t¤ + _{}라 하면 접선의 기} 울기는 tan 45˘=1이므로 f'(t)=1에서 -t¤ -2t=1 t¤ +2t+1=0, (t+1)¤ =0 ∴ t=-1 즉, 접점의 좌표는 (-1, 0)이므로 구하는 접선의 방정 식은 y=x+1 따라서 a=1, b=1이므로 ab=1 1

13

이차함수 y=(x+a)(x-2a)의 그래프와 x축 의 교점의 좌표가 (-a, 0), (2a, 0)이므로 A(-a, 0), B(2a, 0)이라 하자. f(x)=(x+a)(x-2a)로 놓으면 f '(x)=(x-2a)+(x+a)=2x-a이므로 두 점 A, B에서의 접선의 기울기는 각각 f '(-a)=-3a, f '(2a)=3a 따라서 두 점 A, B에서의 접선의 방정식은 각각 y=-3a(x+a) ∴ y=-3ax-3a¤ yy ㉠ y=3a(x-2a) ∴ y=3ax-6a¤ yy ㉡ 2 1₃ 1 1₃ 2 1₃ 1 1₃ dS 125_dt y -2 y 0 y + 0 - 0 + ↗ a-1 ↘ a-5 ↗ x g'(x) g(x)

㉠, ㉡을 연립하여 풀면 x= , y=- a¤

즉, 두 접선의 교점의 좌표는 { , - a¤ }이다.

이때 두 접선과 x축으로 둘러싸인 삼각형의 넓이가 54이 므로

¥3a¥ a¤ =54, a‹ =8

∴ a=2 (∵ a>0) 2

14

ㄱ. (반례) < <0일 때 f(c)<f(b)<f(a) (거짓) ㄴ. (반례) y=f(x)의 그래프가 다음 그림과 같다고 하면 < 를 만족시키지만 f '(b)<f '(a)<f '(c)이다.(거짓) ㄷ. (반례) y=f(x)의 그래프가 오른쪽 그림과 같다고 하면 < 를 만족시키지만 구간 [a, c]에 f '(x)=0을 만족시 키는 x의 값이 존재하지 않는다. (거짓) 따라서 옳지 않은 것은 ㄱ, ㄴ, ㄷ이다. ㄱ, ㄴ, ㄷ

15

함수 f(x)는 모든 실수 x에서 미분가능하므로 닫힌구간 [x-3, x+3]에서 연속이고 열린구간 (x-3, x+3)에서 미분가능하다. f(c)-f(b) 111113_c-b f(b)-f(a) 111113_b-a c x b a x c a b f(c)-f(b) 111113_c-b f(b)-f(a) 111113_b-a f(c)-f(b) 111113_c-b f(b)-f(a) 111113_b-a 9 1₂ 1 1₂ 9 1₂ a 1₂ 9 1₂ a 1₂ 따라서 평균값 정리에 의하여 =f'(c) 인 c가 열린구간 (x-3, x+3)에 적어도 하나 존재한다. 이때 x-3<c<x+3에서 x ⁄ ¶이면 c ⁄ ¶이므로 { f(x+3)-f(x-3)} =6 =6 f'(c) =6¥1 (∵ f'(x)=1) =6 6

16

f(x)=x‹ -(a+2)x¤ +ax에서 f'(x)=3x¤ -2(a+2)x+a 이므로 곡선 y=f(x) 위의 점 (t, f(t))에서의 접선의 방정식은

y-{t‹ -(a+2)t¤ +at} ={3t¤ -2(a+2)t+a}(x-t) 이때 이 접선이 y축과 만나는 점의 좌표가 (0, g(t))이 므로 g(t)-{t‹ -(a+2)t¤ +at} ={3t¤ -2(a+2)t+a}¥(-t) ∴g(t)=-2t‹ +(a+2)t¤ 한편 함수g(t)가 구간 (0, 5)에서 증가하려면 구간 (0, 5)에서 g'(t)=-6t¤ +2(a+2)tæ0 이 성립해야 한다. 즉, 함수 y=g'(t)의 그래프가 오른쪽 그림과 같이 그려질 때 이므로 g'(5) =-150+10(a+2)æ0 10aæ130 ∴ aæ13 따라서 구하는 a의 최솟값은 13이다. ③ O 5 t y y=g'(t) lim x⁄¶ lim c⁄¶ f(x+3)-f(x-3) 111111112_(x+3)-(x-3) lim x⁄¶ lim x⁄¶ f(x+3)-f(x-3) 111111112_(x+3)-(x-3)

내신 ・ 모의고사 대비 TEST

17

즉, 함수 y=f(x)의 그래프의 개형은 다음 그림과 같다. 따라서 함수 f(x)가 극대가 되거나 극소가 되게 하는 x 의 값의 개수는 5이다. 5

18

f(x)=x‹ +(k+2)x¤ +kx+4에서 f'(x)=3x¤ +2(k+2)x+k 삼차함수 f(x)가 -3<x<-1에서 극댓값을 갖고, x>-1에서 극솟값을 가지려면 이차방정식 f'(x)=0 이 -3<x<-1에서 실근 1개, x>-1에서 실근 1개 를 가져야 한다. ⁄f'(-3)>0에서 27-6(k+2)+k>0 -5k+15>0 ∴ k<3 ¤f'(-1)<0에서 3-2(k+2)+k<0 -k-1<0 ∴ k>-1 -3 -1 x y=f '(x) O c a b d e f x y O x a c d e f y=f '(x) b y ⁄, ¤의 공통 부분을 구하면 -1<k<3 따라서 a=-1, b=3이므로 ab=-3 -3

19

점 Q(a, a¤ )이 라 하면 a_{="√a¤ +√(a¤ √-2)¤} a¤ =a› -3a¤ +4 f(a)=a› -3a¤ +4로 놓으면 f '(a)=4a‹ -6a =2a(2a¤ -3)

f '(a)=0에서 a=0 또는 a=—æ–

함수 f(a)의 증감표를 만들면 다음과 같다.

따라서 a=—æ– 일 때 f(a), 즉 a¤ 은 최솟값 을 갖 는다. 따라서 m=4, n=7이므로 m+n=11 ②

20

원기둥의 겉넓이를 S라 하면 S=2pr¤ +2prh 이때 원기둥의 겉넓이가 일정하므로 2pr¤ +2prh=2p(r¤ +rh)=2pk(k는 상수)라 하면 h= -r 원기둥의 부피를 V(r)라 하면 V(r)=pr¤ h=pr¤ { -r}=prk-pr‹ V'(r)=pk-3pr¤ =p(k-3r¤ ) k 1_r k 1_r 7 1₄ 3 1₂ 3 1₂ P{0, 2} Q{a, a@} O x y _y=x@ y a y b y c y d y e y f y - 0 + 0 - + 0 - 0 - 0 + ↘ 극소 ↗ 극대 ↘ 극소 ↗ 극대 ↘ ↘ 극소 ↗ x f '(x) f(x) y _-Æ y 0 y _Æ13 y 2 3 1₂ ↘ 17₄ ↗ 4 ↘ 17₄ ↗ - 0 + 0 - 0 + a f '(a) f(a)

V'(r)=0에서 r=æ– (∵ r>0) 함수 V(r)의 증감표를 만들면 다음과 같다. 따라서 함수 V(r)는 r=æ– 일 때 극대이면서 최대 이고, 이때의 원기둥의 높이 h는 h= -r= = _=2æ– ∴ r : h=æ– : 2æ– =1 : 2 1 : 2

21

f(x)=;3!;x‹ -;2#;x¤ 으로 놓으면 f'(x)=x¤ -3x=x(x-3) f'(x)=0에서 x=0 또는 x=3 함수 f(x)의 증감표를 만들면 다음과 같다. 즉, 함수 y=f(x)의 그래프와 함수 y=|f(x)|의 그래프 는 각각 다음 그림과 같다. 방정식 |f(x)|=k가 서로 다른 세 실근을 갖는 경우는 y=|f(x)| 3 x y=f(x) O y 9 2 -9 2 3 x O y k 1₃ k 1₃ k 1₃ k k-1 3 11244_k æ1₃ k-r¤ 11444_r k 1_r k 1₃ k 1₃ 다음 그림과 같이 함수 y=|f(x)|의 그래프와 직선 y=k가 서로 다른 세 점에서 만날 때이다. ∴ k=;2(; ;2(;

22

h(x)=f(x)-g(x)라 하면 h(x)=(x‹ -3x¤ +6ax-a)-(-x‹ +3ax¤ -3) =2x‹ -3(a+1)x¤ +6ax-a+3 h'(x)=6x¤ -6(a+1)x+6a =6{x¤ -(a+1)x+a} =6(x-1)(x-a) h'(x)=0에서 x=1 또는 x=a xæ0에서 함수 h(x)의 증감표를 만들면 다음과 같다. 즉, xæ0일 때 h(x)>0이 성립하려면 h(0)>0, h(a)>0이어야 한다. h(0)=-a+3>0에서 a<3 yy ㉠

h(a)=-a‹ +3a¤ -a+3>0에서

a‹ -3a¤ +a-3<0, a¤ (a-3)+a-3<0 (a¤ +1)(a-3)<0 ∴ a<3 yy ㉡

㉠, ㉡의 공통 부분을 구하면 a<3 이때 주어진 조건에서 a>1이므로 1<a<3 1<a<3

23

점 P의 시각 t에서의 속도를 v, 가속도를 a라 하면 3 x y=k y=|f(x)| O y 9 2 r V'(r) V(r) (0) y _æ– y + 0 -↗ 극대 ↘ k 1₃ y 0 y 3 y + 0 - 0 + ↗ 0 ↘ -19₂ ↗ x f'(x) f(x) 0 y 1 y a y + 0 - 0 + h(0) ↗ 2a+2 ↘ h(a) ↗ x h'(x) h(x)

내신 ・ 모의고사 대비 TEST v= =3t¤ +2at+b, a= =6t+2a t=3일 때 속도가 0이므로 27+6a+b=0 ∴ 6a+b=-27 yy ㉠ t=3일 때 위치가 -5이므로 27+9a+3b+4=-5 ∴ 3a+b=-12 yy ㉡ ㉠, ㉡을 연립하여 풀면 a=-5, b=3 이때 v=3t¤ -10t+3=(3t-1)(t-3)이므로 v=0에서 t= 또는 t=3 따라서 t=3 이외에 운동 방향을 바꾸는 시각은 t= 이므로 이때의 가속도는 a=6t-10=6¥11-10=-8 -8 3 1 1₃ 1 1₃ dv 125_dt dx 125_dt

0

1

f '(x)=9x¤ -6x이므로 f(x)=: (9x¤ -6x)dx=3x‹ -3x¤ +C f(0)=3이므로 C=3 ∴ f(x)=3x‹ -3x¤ +3 f(x)=3x‹ -3x¤ +3

0

2

f(x)=: dx+: dx =: dx =: dx =: (x¤ -x+1)dx = x‹ - x¤ +x+C f(0)=2이므로 C=2 따라서 f(x)= x‹ - x¤ +x+2이므로 f(-1)=- - -1+2= ②

0

3

[: (ax‹ +4x¤ +bx) dx]=ax‹ +4x¤ +bx 이므로 ax‹ +4x¤ +bx=4x‹ -cx¤ -3x ∴ a=4, b=-3, c=-4 a=4, b=-3, c=-4 d 133_dx 1 1 1₆ 1 1₂ 1 1₃ 1 1₂ 1 1₃ 1 1₂ 1 1₃ (x+1)(x¤ -x+1) 111111112_x+1 x‹ +1 111_x+1 x‹ 112_x+1 1 112_x+1 1.f(x)=3x‹ -3x¤ +3 2.② 3.a=4, b=-3, c=-4 4.ㄷ 5.f(x)=-x¤ +2x+4 6.f(x)=x‹ -3x¤ +4 7.10 8.825 9. 10.27 11.f(x)=2x¤ -3x 12.⑤ 5 1₃ 본문 336쪽 S U M M A C U M L A U D E

05

부정적분

0

4

ㄱ. (반례) f(x)=2x-1이면 : f(x)dx-: f(t)dt =: (2x-1)dx-: (2t-1)dt =x¤ -x-t¤ +t+C+0 (거짓) ㄴ. 적분한 다음 미분하면 원래 함수 f(x)가 되지만 미분 한 다음 적분하면 f(x)에 적분상수 C가 더해진다. 즉, [: f(x) dx]=f(x) : [ f(x)]dx=f(x)+C ∴ [: f(x) dx]+: [ f(x)]dx (거짓) ㄷ. 양변을 x에 대하여 미분하면 [: f(x) dx]= [: g(x) dx] ∴ f(x)=g(x) (참) 따라서 옳은 것은 ㄷ뿐이다. ㄷ

0

5

F'(x)=f(x)이므로 주어진 등식의 양변을 미 분하면 f(x)=f(x)+(x+1)f '(x)+2x¤ -2 (x+1)f '(x)=-2x¤ +2=-2(x+1)(x-1) ∴ f '(x)=-2(x-1) ∴ f(x)=: {-2(x-1)} dx=-x¤ +2x+C f(0)=4이므로 C=4 ∴ f(x)=-x¤ +2x+4 f(x)=-x¤ +2x+4

0

6

f '(x)=ax(x-2)에서 f '(0)=0, f '(2)=0이고 a>0이므로 함수 f(x)는 x=0에서 극댓값 4를 갖고, x=2에서 극 솟값 0을 갖는다. 즉, f(0)=4, f(2)=0 d 133_dx d 133_dx d 133_dx d 133_dx d 133_dx d 133_dx 한편

f(x)=: (ax¤ -2ax)dx= x‹ -ax¤ +C

이때 f(0)=C=4 이고 f(2)= a-4a+C=0 에서 - a+4=0 ∴ a=3 ∴ f(x)=x‹ -3x¤ +4 f(x)=x‹ -3x¤ +4

0

7

f(x)=: (1+2x+3x¤ +y+100x· · )dx =x+x¤ +x‹ +y+x⁄ ‚ ‚ +C 이때 f(1)=110이므로 f(1)=1+1+1+y+1+C=110 ∴ C=10 ∴ f(-1)=(-1)+1+(-1)+y+1+10 ∴ f(-1)=10 10

0

8

g(x)=: [ : [ f(x)] dx] dx g(x)=: [ { f(x)+C¡}] dx g(x)=f(x)+C™ f(0)=0, g(0)=5이므로 g(0)=f(0)+C™=5 ∴ C™=5 ∴g(1)=f(1)+5 =(1+2+3+y+40)+5 = +5=825 825

0

9

f '(x)= 에서 ( 1 (x>1) { x¤ (|x|<1) 9 x+2 (x<-1) 40¥41 111₂ d 133_dx d 133_dx d 133_dx 4 1₃ 8 1₃ a 1₃ ( | { | 9 100개 ( | » | { | » | 9 (합)=0

내신 ・ 모의고사 대비 TEST f(x)= f(-2)=- 이므로 2-4+C£=- ∴ C£= 이때 함수 f(x)는 x=1에서 연속이므로 1+C¡= +C™ jjK C¡=C™-또한 함수 f(x)는 x=-1에서 연속이므로 - +C™= -2+C£ jjK C™=C£- = - = ∴ C¡=C™- = - =-∴ f(x)= ∴ f(2)=2- =

10

f(x)=: (x+2)(x¤ -2x+4)dx f(x)=: (x‹ +8)dx ∴ f '(x)= [: (x‹ +8) dx]=x‹ +8 ∴ ∴= ∴= _{[ 2¥} +11111123f(1-h)-f(1)_] -h f(1+2h)-f(1) 11111114_2h lim h⁄0 f(1+2h)-f(1)+f(1)-f(1-h) 1111111111111123_h lim h⁄0 f(1+2h)-f(1-h) 111111111_h lim h⁄0 d 133_dx 5 1₃ 5 1 1₃ 1 1₃ x-;3!; (x>1) ;3!; x‹ + ;3!; (|x|<1) ;2!; x¤ +2x+ ;2#; (x<-1) ( » { » 9 1 1₃ 2 1₃ 1 1₃ 2 1₃ 1 1₃ 7 1₆ 3 1₂ 7 1₆ 1 1₂ 1 1₃ 2 1₃ 1 1₃ 3 1₂ 1 1₂ 1 1₂ x+C¡ (x>1) ;3!; x‹ +C™ (|x|<1) ;2!; x¤ +2x+C£ (x<-1) ( \ { \ 9 =2f '(1)+f '(1) =3f '(1) f'(x)=x‹ +8에서 f'(1)=9이므로 3f'(1)=3¥9=27 27

11

함수 f(x)가 임의의 실수 x, y에 대하여 f(x+y)=f(x)+f(y)+4xy 를 만족시키므로 위 식의 양변에 x=0, y=0을 대입하면 f(0+0)=f(0)+f(0)+0 ∴ f(0)=0 f '(0)=-3이므로 f '(0)= f '(0)= =-3 yy ㉠ f '(x)= f '(x)= f '(x)= f '(x)= +4x f '(x)=4x-3 (∵ ㉠) ∴ f(x)=: (4x-3)dx=2x¤ -3x+C 이때 f(0)=0이므로 C=0 ∴ f(x)=2x¤ -3x f(x)=2x¤ -3x

12

f(x)=6x¤ -30x+36이므로 F(x)=: f(x)dx=: (6x¤ -30x+36)dx F(x)=2x‹ -15x¤ +36x+C 방정식 F(x)=0이 서로 다른 세 실근을 가지려면 (극댓값)・(극솟값)<0이어야 한다. 이때 f(h) 1135_h lim h⁄0 f(h)+4xh 111115_h lim h⁄0 f(x)+f(h)+4xh-f(x) 111111111115_h lim h⁄0 f(x+h)-f(x) 111111233_h lim h⁄0 f(h) 1135_h lim h⁄0 f(0+h)-f(0) 111111334_h lim h⁄0

F'(x)=f(x) =6(x¤ -5x+6) =6(x-2)(x-3) 이고 F'(x)=0에서 x=2 또는 x=3 즉, F(x)는 x=2, x=3에서 극값을 가지므로 F(2)F(3)<0 (28+C)(27+C)<0 ∴ -28<C<-27 ⑤

₀

₁

_{:)1 f(x)dx+:!2 f(x)dx+:@3 f(x)dx} +y+_{:(1 0 f(x)dx} =:)1 0 f(x)dx=:)1 0 (4x‹ -8x)dx =[x› -4x¤ ]1)0 =9600 9600

0

2

f(-x)=f(x)이므로 f(x)는 짝함수이다. ∴:_2@ f(x)dx=2:)2 f(x)dx=2¥ = 한편 x‹ f(x), xf(x)는 홀함수이므로 (3x‹ -2x)f(x)도 홀함수이다. ∴:_2@ (3x‹ -2x+6)f(x)dx ∴=:_2@ (3x‹ -2x)f(x)dx+:_2@6f(x)dx ∴=0+:_2@6f(x)dx ∴=6:_2@ f(x)dx ∴=6¥ =2 2

0

3

f(x)의 한 부정적분을 F(x)라 하면 :?3 f(t)dt=F(3)-F(x)이므로 주어진 방정식은 :?3 f(t)dt=g(x) HjK -f(x)=g(x) 이다. 이 방정식을 풀면 -(-x‹ +2x¤ +2x-3)=x‹ -x¤ +x-1 d 125_dx 1 1₃ 1 1₃ 1 1₆ 1.9600 2.2 3.-85 4.-2 5.18 6.20 7.③ 8.100 9.x=-3 또는 x=2 또는 x=5 10.18 11.0 12.9 본문 338쪽 S U M M A C U M L A U D E

06

정적분

내신 ・ 모의고사 대비 TEST x¤ +3x-4=0, (x+4)(x-1)=0 ∴ x=-4 또는 x=1 이때 a=-4, b=1이라 하면 g(a)=g(-4)=-64-16-4-1=-85 g(b)=g(1)=1-1+1-1=0 ∴g(a)+g(b)=-85 -85

0

4

:)3 tf'(t)dt=k (k는 상수) yy ㉠ 라 하면 f(x)=-x¤ +8x+k ∴ f'(x)=-2x+8 이것을 ㉠에 대입하면 :)3 t(-2t+8)dt=:)3 (-2t¤ +8t)dt=k [- t‹ +4t¤ ]3)=k ∴ k=18 따라서 f(x)=-x¤ +8x+18이므로 f(-2)=-4-16+18=-2 -2

0

5

f(x)가 증가할 때는 접선의 기울기가 양, f(x) 가 감소할 때는 접선의 기울기가 음이므로 구간을 나누어 적분하여야 한다. ∴:)4 |f'(x)|dx=:)2 f'(x)dx-:@4 f'(x)dx =_{[f(x)]2)-[f(x)]4@} =f(2)-f(0)-f(4)+f(2) =2¥13-0-8=18 18

0

6

F(x)=: f(x)dx라 하면 :!1+2hf(x)dx= {F(1+2h)-F(1)} =2 =2F'(1)=2f(1) F(1+2h)-F(1) 111111113_2h lim h⁄0 1 1_h lim h⁄0 1 1_h lim h⁄0 2 1₃ f(x)=4x‹ +3x¤ +2x+1에서 f(1)=10이므로 2f(1)=2¥10=20 20

0

7

f(x)=1+x¤ , g(x)=|x-2|이므로 (gΩf )(x)=g( f(x))=g(1+x¤ )=|x¤ -1| |x¤ -1|=

_[

에서 :_1@ (gΩf )(x)dx =:_-@1 |x¤ -1|dx+:_1! |x¤ -1|dx =:_-@1 (x¤ -1)dx+:_1! (-x¤ +1)dx =[ x‹ -x]-_1@+[- x‹ +x]1_! = + = ③

0

8

함수 f(x)가 모든 실수 x에 대하여 f(x+4)=f(x)이므로 :)4 f(x)dx=:$8 f(x)dx=:*1 2 f(x)dx =:!1@6 f(x)dx=:!2^0 f(x)dx=10 ∴: 0 20 f(x)dx ∴=:)4 f(x)dx+:$8 f(x)dx+:*1 2 f(x)dx +:!1@6 f(x)dx+:!2^0 f(x)dx ∴=5¥10=50 또 f(-x)=f(x)이므로 :_2@0) f(x)dx=2:₀20f(x)dx =2¥50=100 100 8 1 1₃ 4 1₃ 4 1₃ 1 1₃ 1 1₃ x¤ -1 (x…-1 또는 xæ1) -x¤ +1 (-1…x…1)

a=1+ ∴ a= b=3+ ∴ b=6 따라서 f(x)= x+6이므로 f(10)= _10+6=18 18

11

이차함수 y=f(x)의 그래프가 두 점 (-2, 0), (3, 0)을 지나고 아래로 볼록하므로 f(x)=a(x+2)(x-3) (a>0) 으로 놓을 수 있다. g(x)=:?/ — 1 f(t)dt의 양변을 x에 대하여 미분하면 g'(x)=f(x+1)-f(x) =a(x+3)(x-2)-a(x+2)(x-3) =ax¤ +ax-6a-(ax¤ -ax-6a) =2ax g'(x)=0에서 x=0 따라서g(x)는 x=0에서 극소이면서 최소이다. 0

12

xf(x)=2x‹ +kx¤ +:@/ f(t)dt에서 양변을 x에 대하여 미분하면 f(x)+xf '(x)=6x¤ +2kx+f(x) f '(x)=6x+2k ∴ f(x)=: f'(x)dx=: (6x+2k)dx =3x¤ +2kx+C yy ㉠ 또 주어진 식의 양변에 x=2를 대입하면 2f(2)=16+4k+0 ∴ f(2)=8+2k yy ㉡ 6 1₅ 6 1₅ b 1₂ 6 1₅ a 1₆

0

9

정적분과 미분의 관계에 의해 g(x)=- :?3 f(t)dt= :#/ f(t)dt=f(x) ∴ g(t)=f(t) 따라서 주어진 방정식의 g(t) 대신 f(t)=3t¤ -8t-11 을 대입하여 적분하면 :@/ g(t)dt=0 HjK :@/ (3t¤ -8t-11)dt=0 HjK [t‹ -4t¤ -11t]/@=0 HjK x‹ -4x¤ -11x+30=0 이 방정식을 풀면 x‹ -4x¤ -11x+30=(x+3)(x-2)(x-5)=0 ∴ x=-3 또는 x=2 또는 x=5 x=-3 또는 x=2 또는 x=5

10

f(x)는 일차다항식이므로 f(x)=ax+b (a+0)로 놓을 수 있다. 주어진 식에 f(x)=ax+b를 대입하면 x¤ (ax+b) =x‹ +3x¤ +:)/ (x-t)(at+b)dt yy ㉠ 이때 :)/ (x-t)(at+b)dt =:)/ [-at¤ +(ax-b)t+bx]dt =[- t‹ + t¤ +bxt]/) = x‹ + x¤ 이므로 ㉠에서 ax‹ +bx¤ =x‹ +3x¤ + x‹ + x¤ ax‹ +bx¤_{={1+ }x‹ +{3+ }x¤} 양변의 계수를 비교하면 b 1₂ a 1₆ b 1₂ a 1₆ b 1₂ a 1₆ (ax-b) 11115₂ a 1₃ d 125_dx d 125_dx x g'(x) g(x) y 0 y - 0 + ↘ (극소) ↗

내신 ・ 모의고사 대비 TEST 이때 =4가 성립하므로 f(2)=0임을 알 수 있다. 이를 ㉠, ㉡에 적용하면 12+4k+C=0, 8+2k=0 두 식을 연립하여 풀면 k=-4, C=4 ∴ f(x)=3x¤ -8x+4 ∴: -1 0 f(t)dt=: -1 0 (3t¤ -8t+4)dt =_{[t‹ -4t¤ +4t]0_!} =9 9 f(x) 11344_x-2 lim x⁄2 1.3 2.⑤ 3. 4. 5.25 m 6.④ 7. 8.-3 9.54 10.23 11.ㄷ, ㄹ 1 12₆₀ 25 12₃ 1 1₃ 본문 340쪽 S U M M A C U M L A U D E

07

정적분의 활용

0

1

곡선 y=x¤ -ax와 x축으로 둘러싸인 도형은 오 른쪽 그림의 색칠한 부분과 같다. 따라서 구하는 넓이는 -:)a (x¤ -ax)dx =-[ x‹ - x¤ ]a)= 따라서 = 이므로 a‹ =27 ∴ a=3 3

0

2

두 곡선 y=-x¤ +3, y=x‹ +2x¤ -1의 교점 의 x좌표는 -x¤ +3=x‹ +2x¤ -1에서 x‹ +3x¤ -4=0, (x+2)¤ (x-1)=0 ∴ x=-2 또는 x=1 따라서 구하는 넓이 S는 S=:_1@{(-x¤ +3)-(x‹ +2x¤ -1)} dx x y O -2 1 -1 3 y=x#+2x@-1 y=-x@+3 9 1₂ a‹ 13₆ a‹ 13₆ a 1₂ 1 1₃ O a x y y=x@-ax

S=:_1@ (-x‹ -3x¤ +4)dx S=[- x› -x‹ +4x]1_@ S= 이므로 4S=4_ =27 ⑤

0

3

y=-x¤ -1에서 y'=-2x이므로 곡선 위의 점 (-1, -2)에서의 접선의 기 울기는 -2¥(-1)=2 따라서 접선의 방정식은 y+2=2(x+1) ∴ y=2x 구하는 넓이는 :_0!{2x-(-x¤ -1)} dx =:_0! (x¤ +2x+1)dx =_{[ x‹ +x¤ +x]0_!} =

0

4

함수 y=f(x)의 역함수를g(x)라 하면 y=f(x)의 그래프와 그 역함수 y=g(x)의 그래프는 직선 y=x에 대하여 대칭이고 두 그래프의 교점의 x좌 표는 곡선 y= x¤ 과 직선 y=x의 교점의 x좌표와 같 으므로 x¤ =x, x(x-5)=0 ∴ x=0 또는 x=5 두 곡선 y=f(x), y=g(x)로 둘러싸인 도형의 넓이는 다음 그림의 색칠한 부분의 넓이의 2배이다. 1 1₅ 1 1₅ 1 1₅ 1 1₃ 1 1₃ 1 1₃ O -1 -2 x y y=2x y=-x@-1 27 12₄ 27 12₄ 1 1₄ 따라서 구하는 넓이는 2:)5 {x- x¤ } dx =2[ x¤ - x‹]5) =2_ =

0

5

0…t…2에서 v(t)æ0, 2…t…3에서 v(t)…0 이므로 :)3 |20-10t|dt =:)2 (20-10t)dt+:@3 (-20+10t)dt =[20t-5t¤ ]2)+[-20t+5t¤ ]3@ =20+5=25(m) 25 m

0

6

가속도가 2t-1이므로 속도 v(t)는 v(t)=: (2t-1)dt=t¤ -t+C¡ 그런데 처음 속도가 2이므로 C¡=2 ∴ v(t)=t¤ -t+2 처음 점 P의 좌표가 3이므로 4초 후 점 P의 좌표는 3+:)4 (t¤ -t+2)dt=3+[ t‹ - t¤ +2t]4) =3+ =112273 ④ 3 64 12₃ 1 1₂ 1 1₃ 25 144₃ 25 1 14444₃ 25 144₆ 1 144₁₅ 1 1₂ 1 1₅ O x y 5 5 y=x y=g(x) y=f(x)

내신 ・ 모의고사 대비 TEST

0

7

두 곡선 y=f(x), y=g(x)가 x=a에서 같은 직선에 접하므로

f(a)=g(a)에서 2a¤ =16a› +k yy ㉠ 한편 f'(x)=4x,g'(x)=64x‹ 이므로

f'(a)=g'(a)에서 4a=64a‹ 16a‹ -a=0, a(16a¤ -1)=0 a(4a+1)(4a-1)=0

∴ a=- 또는 a= (∵ k>0이므로 a+0) yy ㉡

㉠, ㉡에서 a=— 일 때, k=

두 곡선 y=2x¤ , y=16x› + 은 각각 y축에 대하여 대칭이므로 구하는 넓이는 :_-;4!;;4!; [{16x› + }-2x¤ ] dx =2: 0 ;4!; {16x› -2x¤ + } dx =2[ xfi - x‹ + x]);4!; =2¥ =

0

8

f(x)=-2x¤ +6x+k =-2{x- }¤ + +k 에서 곡선 y=-2x¤ +6x+k는 직선 x=13₂에 대하여 9 1₂ 3 1₂ 1 12₆₀ 1 1 122₆₀ 1 11₁₂₀ 1 12₁₆ 2 1₃ 16 12₅ 1 12₁₆ 1 12₁₆ 1 12₁₆ y=2x@ O x y _{y=16x$+ 1} 16 -1₄ 1₄ 1 16 1 12₁₆ 1 1₄ 1 1₄ 1 1₄ 대칭이므로 B 부분의 넓이는 직선 x= 에 의해 이등 분된다. 즉, : 0 ;2#; f(x)dx=0이므로 :₀;2#; f(x)dx=: 0 ;2#; (-2x¤ +6x+k)dx =[- x‹ +3x¤ +kx];2#; 0 = + k=0 ∴ k=-3 -3

0

9

주어진 곡선과 직선의 교점의 x좌표를 구하면 x¤ -3x=ax에서 x(x-a-3)=0 ∴ x=0 또는 x=a+3 a>0이므로 이를 이용하여 그래프를 그리면 다음 그림과 같고, 주어진 곡선과 직선으로 둘러싸인 도형의 넓이 S 를 그림과 같이 S¡, S™의 합이라 하면 S=2S¡ 구간 [0, a+3]에서 axæx¤ -3x이므로 S=: 0 a+3 {ax-(x¤ -3x)} dx S=: 0 a+3 {-x¤ +(a+3)x} dx S=[- x‹ + x¤] 0 a+3 S= (a+3)‹ 구간 [0, 3]에서 x¤ -3x…0이므로 1 1₆ a+3 1144₂ 1 1₃ O S¡ 3 x S™ a+3 y y=x@-3x y=ax 3 1₂ 9 1₂ 2 1₃ 3 1₂

S¡=-:)3 (x¤ -3x)dx S¡=-[ x‹ - x¤ ]3)= S=2S¡에서 (a+3)‹ =9 ∴ (a+3)‹ =54 54

10

f(1)=3, f(2)=13이므로 g(3)=1, g(13)=2 이고, 두 함수 y=f(x)와 y=g(x)의 그래프는 직선 y=x에 대하여 대칭이다. ∴:!2 f(x)dx+: 3 13 g(x)dx ∴=2¥13-1¥3=23 23

11

점 P의 시각 t에서의 위치를 x(t)라 하면 ㄱ. 점 P의 시각 t=3에서의 위치는 x(3)=x(0)+:)3 v(t)dt x(3)_{=2-[ _(3+1)_2]=-2} 따라서 점 P의 시각 t=3에서의 위치는 x=-2이 다. (거짓) ㄴ. 점 P의 시각 t=1에서 t=5까지의 위치의 변화량은 - _(2+1)_2+ _(2+1)_2 =-3+3=0 (거짓) 1 1₂ 1 1₂ 1 1₂ 1 2 3 13 13 1 3 2 x y y=x y=f{x} y=g{x} O 1 1₆ 9 1₂ 3 1₂ 1 1₃ ㄷ. 점 P의 시각 t=0에서 t=8까지 움직인 거리는 속도 v(t)의 그래프와 t축으로 둘러싸인 도형의 넓이와 같 으므로 :)8 |v(t)|dt =[ _(3+1)_2]_2+ _2_2 =10 (참) ㄹ. 운동 방향이 바뀌는 것은 속도의 부호가 바뀔 때이다. 시각 t=3에서만 속도의 부호가 바뀌었으므로 점 P 는 운동 방향을 1번 바꿨다. (참) 따라서 옳은 것은 ㄷ, ㄹ이다. ㄷ, ㄹ 1 1₂ 1 1₂

내신 ・ 모의고사 대비 TEST 1.⑤ 2.① 3.① 4.10 5.④ 6.16 7.50 8.⑤ 9.13 10.① 11.③ 12.③ 13.20 14.21 15.④ 16.8 17.② 18.② 본문 342쪽 S U M M A C U M L A U D E 기출문제로 1등급 도전하기

0

1

주어진 그래프로부터 x⁄0+이면 f(x) ⁄3-x⁄2+이면 f(x)=3 임을 알 수 있다. ∴ f(f(x))+ f(f(x)) = f(t)+f(3) =3+2=5 ⑤

0

2

=2이므로 f(x)=x¤ +2x+a (단, a는 상수)로 놓을 수 있다. 따라서 f{;[!;}= +;[@;+a이므로 x¤ f{;[!;}= x¤ { +;[@;+a} = (1+2x+ax¤ )=1 ①

0

3

=2에서 x⁄ 1일 때 0이 아닌 극한 값이 존재하고 (분자)⁄0이므로 (분모) ⁄0이어야 한다. ∴ f(x)=0 ∴ ∴= ∴= _[ ¥ ¥1111 _] 2x+1 f(x) 121_x-1 f( f(x)) 1111_f(x) lim x⁄1 f( f(x)) 1111111_(2x+1)(x-1) lim x⁄1 f( f(x)) 11111_{2x¤ -x-1} lim x_⁄1 lim x⁄1 x-1 112_f(x) lim x⁄1 lim x⁄0+ 1 12_x¤ lim x⁄0+ lim x⁄0+ 1 12_x¤ f(x)-x¤ 11112_x lim x⁄¶ lim t ⁄3-lim x⁄2+ lim x⁄0+ ∴= ¥ ¥ ∴= ¥ ¥ ∴=;6!; 이때 f(x)=t로 치환하면 x⁄ 1일 때 t ⁄ 0이므로 = = =1 ∴ =;6!; =;6!; ①

0

4

;[!;=t로 놓으면 x ⁄0+일 때 t ⁄¶이므로 = = =5 즉, 함수 f(t)-t‹ 은 최고차항의 계수가 5인 이차함수이 므로 f(x)=x‹ +5x¤ +ax+b (a, b는 상수) yy ㉠ 로 놓을 수 있다. 또 =;3!;에서 x ⁄1일 때 극한값이 존재 하고 (분모)⁄0이므로 (분자) ⁄0이어야 한다. 즉, f(x)=1+5+a+b=0이므로 b=-a-6 yy ㉡ ㉠에 ㉡을 대입하면 f(x)=x‹ +5x¤ +ax+b=x‹ +5x¤ +ax-a-6 =(x-1)(x¤ +6x+a+6) ∴ = ∴ = 11111155x¤ +6x+a+6 x+2 lim x⁄1 (x-1)(x¤ +6x+a+6) 111111111145_(x-1)(x+2) lim x⁄1 f(x) 11113 x¤ +x-2 lim x⁄1 lim x_⁄1 f(x) 11113_{x¤ +x-2} lim x_⁄1 f(t)-t‹ 1111 t¤ +1 lim t⁄¶ 1 1f(t)-1_t‹ 121115_{1 1} 1+1_{t‹ t} lim t⁄¶ x‹ f{;[!;}-1 11111_{x‹ +x} lim x⁄0+ f( f(x)) 11221_f(x) lim x⁄1 f( f(x)) 11111_{2x¤ -x-1} lim x⁄1 1 112_t 132_f(t) lim t⁄0 f(t) 112_t lim t⁄0 f( f(x)) 1111_f(x) lim x⁄1 f( f(x)) 1111_f(x) lim x⁄1 1 111_2x+1 lim x⁄1 1 111_x-1 121_f(x) lim x⁄1 f( f(x)) 1111_f(x) lim x⁄1 1 111_2x+1 lim x⁄1 f(x) 121_x-1 lim x⁄1 f( f(x)) 1111_f(x) lim x⁄1

I.

함수의 극한과 연속

∴ = _=;3!; ∴ a=-12, b=6 (∵ ㉡`) 따라서 f(x)=x‹ +5x¤ -12x+6이므로 f(2)=8+20-24+6=10 10

0

5

f(x)는 최고차항의 계수가 1인 이차함수이므로 f(x)=x¤ +bx+c (b, c는 상수)로 놓으면 f{;[!;}= { +;[B;+c}=c=3 ∴ f(x)=x¤ +bx+3 또한 |x|[ f{;[!;}-f{-;[!;}]=a이므로 |x|[ f{;[!;}-f{-;[!;}] = _{|x|[{ +;[B;+3}-{ -;[B;+3}]} = =a 이때 x=0에서 극한값이 존재하려면 x=0에서 좌극한 과 우극한이 같아야 하므로 = , =-즉, 2b=-2b이므로 b=0 ∴ a=0 따라서 f(x)=x¤ +3이므로 f(2)=2¤ +3=7 ④

0

6

⁄8<x<9일 때, x보다 작은 자연수 중 소수는 `2, 3, 5, 7의 4개이므로 f(x)=4 이때 2f(x)=2_4=8이므로 x>2f(x) 즉, `g(x)=f(x)=4이므로 g(x)=4=a ¤7<x<8일 때, x보다 작은 자연수 중 소수는 `2, 3, 5, 7의 4개이므로 f(x)=4 lim x⁄8+ 2bx x 2bx x 2b|x| x lim x ⁄0-2b|x| x lim x⁄0+ 2b|x| x lim x⁄0 1 x¤ 1 x¤ lim x⁄0 lim x⁄0 lim x⁄0 1 x¤ lim x⁄¶ lim x⁄¶ a+13 111<sub>3</sub> 이때 2f(x)=2_4=8이므로 x<2f(x) 즉, `g(x)= =;4!;이므로 g(x)=;4!;=b 따라서 ⁄, ¤에서 ;∫ƒ;= =16 함수 f(x)를 구한 후 y=f(x)와 `y=;2{;의 그래프를 그려 본다. 함수 f(x)는 양수 x보다 작은 자연수 중에서 소수의 개 수이므로 다음과 같이 구간에 따라 나눌 수 있다. f(x)= 한편 함수g(x)= 이므로 함수 y=f(x)와 y=;2{;의 그래프를 살펴보면 다음과 같다. 위 그래프에서 x ⁄ 8+일 때 ;2{;>f(x)이므로 g(x)= f(x)=4=a 또 x ⁄ 8-일 때 ;2{;<f(x)이므로 g(x)= =;4!;=b ∴ ;∫ƒ;=124 =16 16 ;4!; 1 112_f(x) lim x ⁄8-lim x ⁄8-lim x⁄8+ lim x⁄8+ 2 O 1 3 4 5 6 7 8 9 10 11 1 2 3 4 x y y= y=f(x) 2 x f(x) {;2{;>f(x)} 1 112 {;2{;…f(x)}_f(x) ( { 9 0 (0<x…2) 1 (2<x…3) 2 (3<x…5) 3 (5<x…7) 4 (7<x…11) ⋮ ( M M { M M 9 4 12 ;4!; lim x ⁄8-1 112_f(x)

내신 ・ 모의고사 대비 TEST

0

7

직선 PQ의 기울기가 =2a+1 이므로 직선 PQ의 방정식은 y=(2a+1)(x-a)+a¤ =(2a+1)x-(a¤ +a) 따라서 직선 PQ와 직선 y=x의 교점의 x좌표를 구하면

x=(2a+1)x-(a¤ +a), 2ax=a¤ +a

∴ x= = (∵ a+0) 즉, f(a)= 이므로 f(a)= _=;2!; ∴ 100 f(a)=100_;2!;=50 50

0

8

직선 l의 y절편을 b (b는 상수)라 하면 직선 l의 방정식은 y=-2x+b 이때 직선 -2x-y+b=0과 점 C(2, 0) 사이의 거리 가 r이므로 =r _{∴ b=4—'5r} 이를 직선 l의 방정식에 대입하면 -2x-y+4—'5r=0이고, 이 직선과 점 C'(3, 3) 사 이의 거리가 f(r)이므로 =f(r) ∴ f(r)= = _{(∵ r<'5)} ∴ f(r)= = _='5 ⑤

0

9

함수 f(x)가 x=1, x=2, x=3에서만 불연속 이므로g(2)=1, g(2)=2, g(2)=3일 때 x=2에서 5 123 '5 5—'5r 11124 '5 lim r⁄0+ lim r⁄0+ 5—'5r 11124 '5 |-5—'5r|₁₁₁₁₁ '5 |-6-3+4—'5r| 111111115 '5 |-4+b| 1111 '5 lim a⁄0 a+1 112₂ lim a⁄0 lim a⁄0 a+1 112₂ a+1 112₂ a¤ +a 1124_2a a¤ +2a+1-a¤ 11111123_a+1-a ( fΩg)(x)=f(g(x))가 불연속일 가능성이 있다. 따라서 x=2일 때 f(g(x))의 함숫값과 x⁄ 2일 때의 극한값이 같지 않도록 하는 k를 찾으면 된다. ⁄_{g(2)=1일 때} f(g(2))=f(1)=3 f(g(x))= f(t)=3ÓΔ g(x)=t로 치환 따라서 f(g(2))= f(g(x))이므로 함수 ( fΩg)(x)는 x=2에서 연속이다. ¤_{g(2)=2일 때} f(g(2))=f(2)=1 f(g(x))= f(t)=2ÓΔ g(x)=t로 치환 따라서 f(g(2))+ f(g(x))이므로 함수 ( fΩg)(x)는 x=2에서 불연속이다. ‹_{g(2)=3일 때} f(g(2))=f(3)=1 f(g(x))= f(t)=2ÓΔ g(x)=t로 치환 따라서 f(g(2))+ f(g(x))이므로 함수 ( fΩg)(x)는 x=2에서 불연속이다. ⁄, ¤, ‹에 의하여 함수 ( fΩg)(x)가 x=2에서 불연 속이 되는 경우는g(2)=2, g(2)=3일 때이고 이때의 실수 k는 6, 7이다. 따라서 실수 k의 합은 6+7=13 13

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삼차함수 g(x)는 최고차항의 계수가 1이고 g(0)=3이므로 g(x)=x‹ +ax¤ +bx+3 (단, a, b는 상수) 으로 놓을 수 있다. 이때 합성함수 (gÁ f)(x)가 실수 전체의 집합에서 연속 이므로 x=0, x=2에서도 연속이다. ⁄(gÁ f)(x)가 x=0에서 연속이므로 (gÁ f)(x)=(gÁ f)(0) 이 성립한다. 즉, lim x⁄0 lim x⁄2 lim t⁄3+ lim x⁄2 lim x⁄2 lim t⁄2+ lim x⁄2 lim x⁄2 lim t⁄1+ lim x⁄2

(gÁ f)(x)= g(f(x)) (gÁ f)(x)= g(t)ÓΔ f(x)=t로 치환 =a+b+4 (gÁ f)(0)=g(f(0))=g(0)=3 에서 a+b+4=3 ∴ a+b=-1 yy ㉠ ¤ _{(gÁ f)(x)가 x=2에서 연속이므로} (gÁ f)(x)=(gÁ f)(2) 가 성립한다. 즉, (gÁ f)(x)= g(f(x)) (gÁ f)(x)= g(t)ÓΔ f(x)=t로 치환 =a-b+2 (gÁ f)(2)=g(f(2))=g(0)=3 에서 a-b+2=3 ∴ a-b=1 yy ㉡ ㉠, ㉡을 연립하여 풀면 a=0, b=-1 따라서g(x)=x‹ -x+3이므로 g(3)=27-3+3=27 [참고]함수 y=f(x)의 그래프를 보면 x=0에서는 함숫 값만 떨어져 있고, x=2에서는 직선 x=2를 기준으로 그래프가 둘로 나뉘어져 있다. 따라서 위의 해설과 같이 ⁄에서는 극한을 좌극한과 우극한으로 나누지 않고 계산 하면 되고, ¤에서는 우극한만 이용하여 계산하면 된다. ①

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ㄱ. f(x)=1=f(-1) (참) ㄴ. f(x)g(x)=1_0=0, ㄴ. f(x)g(x)=0_1=0 ∴ f(x)g(x)= f(x)g(x) (참) ㄷ. ㄴ에 의하여 f(x)g(x)=0 f(1)g(1)=1_1=1 ∴ f(x)g(x)+f(1)g(1) (거짓) 따라서 옳은 것은 ㄱ, ㄴ이다. ③ lim x⁄1 lim x⁄1 lim x ⁄1-lim x⁄1+ lim x ⁄1-lim x⁄1+ lim x ⁄-1-lim t⁄-1+ lim x⁄2+ lim x⁄2+ lim x⁄2+ lim t ⁄1-lim x⁄0 lim x⁄0

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원 x¤ +y¤ =t¤ 과 직 선 y=1이 만나는 점의 개수 f(t)를 t의 값의 범위에 따라 나누어 구해 보면 f(t)=

_[

함수 (x+k)f(x)가 구간 (0, ¶)에서 연속이므로 x=1에서 연속이어야 한다. 즉, (1+k)f(1)= (x+k)f(x) = (x+k)f(x) 이어야 하므로 1+k=(1+k)_0=(1+k)_2 ∴ k=-1 ∴ f(1)+k=1-1=0 ③

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함수 y=f(x)는 x=2에서 불연속이다. 또한 함수g(x)=ax‹ +bx¤ +cx+10 (a, b, c는 상수) 은 다항함수이므로 실수 전체의 집합에서 연속이다. 따라 서 합성함수 (gΩf)(x)가 실수 전체의 집합에서 연속이 려면 x=2에서도 연속이어야 하므로 (gΩf )(2)= (gΩf )(x)= (gΩf )(x) 이어야 한다. 즉, (gΩf )(2)=g( f(2))=g(1) (gΩf )(x)= g( f (x))=g(0) (gΩf )(x)= g( f (x))=g(2) 즉, g(0)=g(1)=g(2)이어야 한다. 이때 g(0)=10이 므로g(1)=g(2)=10이다. ∴g(1)+g(2)=10+10=20 20

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함수 g(x)=x-(2a+7)은 다항함수이므로 실 수 전체의 집합에서 연속이다. 이때 함수 f(x)g(x)가 실수 전체의 집합에서 연속이려면 다음 두 가지 경우이어 lim x⁄2+ lim x⁄2+ lim x ⁄2-lim x ⁄2-lim x⁄2+ lim x ⁄2-lim x⁄1+ lim x ⁄1-2 (|t|>1) 1 (|t|=1) 0 (|t|<1) -1 t y O y=f(t) 1 1 2