8.2 궤도 각운동량 연산자의 위치표현과 고유상태
(Orbital Angular Momentum Operator in Position Representation and its Eigenstates)이 절에서는 궤도 각운동량 연산자의 위치 표현을 살펴보겠다. 먼저 궤도 각운동량 × 에 운동량 연산자의 위치표현
∇
을 써서 궤도 각운동량 연산자 의 위치 표현을 알아보자. 일단 구면좌표에서(그림 [8.1] 참조) 위치벡터 연산자가 로 간결하게 주어지므로, 기울기벡터 연산자
∇
도 동일하게 구 면좌표에서 표현하면 다음과 같다.
∇
sin
여기에 구면좌표에서의 단위벡터들 사이의 벡터곱,
×
×
및
×
를 사용하 면, 궤도 각운동량 연산자는 다음과 같이 쓸 수 있 다.
×
∇
×
sin
sin
한편, 궤도 각운동량 연산자 성분들 사이의 교환관계식은 직각좌표에서 주어졌으므로 앞 절 에서 주어진 각운동량 연산자의 고유상태를 주는 연산자 방정식을 살펴보기 위해서는 위의 구면좌표 표현을 직각좌표계로 변환하여 표현하여야 한다. 이를 위해서 우리는 다음의 관계 를 사용하고자 한다(그림[8.2] 참조).
sin
cos
cos cos
cos sin
sin
위의 관계를 궤도 각운동량 연산자
의 구면좌표 표현에 적용하면 다음과 같다.
sin
cos
cos cos
cos sin
sin
sin
그러므로 궤도 각운동량 연산자의 직각좌표 성분들은 다음과 같이 주어진다. 그림[8.2] 구면좌표 단위벡터들의 직각좌표에서의 성분 표현
그림[8.1] 구면좌표계
sin
cos cos
sin
sin
cot cos
cos
cos sin
sin
cos
cot sin
그리고 궤도 각운동량 벡터 제곱의 연산자를 얻기 위하여는
에서 각 성분들의 제곱을 구하면 다음과 같다.
sin
cot cos
sin
cot cos
sin
sin
cot cos
cot cos
sin
cot cos
sin
sin
cot cos
cot cos
sin
cot cos
cot cos
sin
sin cos
sin
sin cos cot
cot cos
cot cos sin
cot
cos sin
cot
cos
cos
cot sin
cos
cot sin
cos
cos
cot sin
cot sin
cos
cot sin
cos
cos
cot sin
cot sin
cos
cot sin
cot sin
cos
cos sin
sin
cos sin cot
cot sin
cot sin cos
cot
sin cos
cot
sin
이상 결과를 모두 더하면, 궤도 각운동량 벡터 제곱의 연산자는 다음과 같이 주어진다.
cot
cot
cot
sin
sin
sin
sin
이는 7.2절에서 구한 라플라시안의 각도 부분(angular part)과 동일하므로, 우리는 라플라시 안을 지름방향(
) 미분 연산자와 각운동량 연산자로 다음과 같이 표현할 수 있다.
∇
sin
sin
sin
이를 쓰면 일반적인 해밀토니안에서 운동에너지의 연산자 표현은 다음과 같이 쓸 수 있다.
∇
∇ 그러므로 중심력장 해밀토니안의 고유상태를 의 함수와
의 고유상태로 분리하여 쓰면,
이 되고, 앞 절에서 구한 각운동량 연산자의 고유상태 관계식
을 적용하면 궤도 각운동량의 경우
이 되어 원심 장벽을 갖는 유 효퍼텐셀 ≡ 의 지름방정식을 얻는다.
이는 왜 우리가 7장에서 각방정식 부분의 상수를 형태로 놓았는지 알 수 있게 한다. 한편 고유상태를 올리고 내려주는 올림과 내림 연산자
의 표현은 다음과 같다.
sin
cot cos
cos
cot sin
cot
sin
cot cos
cos
cot sin
cos
sin
cot cos
sin
cot
이 올림과 내림 연산자를 사용하여 우리는 7장에서 각방정식의 해로 언급한 구면조화함수 를 구할 수 있다. 먼저 앞 절에서 얻은
m ax
의 관계식을 적용 하면
으로 쓸 수 있고,
으로 변수분리하여 쓰면,
cot
이 된다. 두 번째 식에서 일단
(
은 적분상수)로 주어짐을 알 수 있다. 이를 적 용하면 첫 번째 식은 다음과 같이 된다.
cot
이는
sin
cos
sin
sin
로 다시 쓰면, 그 해가
sin
(
는 적분상수)로 주어짐을 곧 알 수 있다. 그러므로
sin
이 된다. 여기 서
는 규격화 상수로
sin
를 만족한다. 이제 다 시 앞 절에서 구한 관계식
∝
로부터
∝
이 성립하므로, 우리는 모든
을
로부터
를 적용하여 바로 구할 수 있다.
∝
∝
∝
∝
∝
⋮
이러한 과정을
∝
까지 계속하면 모든
을 구할 수 있다(앞 절에서 얻 은 관계식
m i n
에서
임을 기억하자). 여기서 비례상수들은
의규격화 조건식
sin
으로부터 결정된다. 이제 이러한 표현들이 구체적으로 어떻게 주어지는지 살펴보자. 먼저,
∝
은 위에서 구한
과
를 사용하면 다음과 같이 쓸 수 있다.
∝
cot
sin
여기서 앞 절에서 구한 관계식
으로부터
∼
가 되므로, 상수
는 서로 상쇄되어 다시 다음과 같이 쓸 수 있다.
′
cot
sin
′
cot
sin
′
sin
sin
맨 마지막 과정에서 우리는
cot
sin
sin
의 관계를 사용하였다. 이를 반복하면, 우리는 다음의 관계를 얻는다.
″
cot
sin
sin
″
cot
sin
sin
″
sin
sin
sin
sin
″ ′
cot
sin
sin
sin
sin
″ ′
cot
sin
sin
sin
sin
″ ′
sin
sin
sin
sin
sin
sin
⋮
그리고
∝
이므로 이 과정을 반복하여 우리는 다음과 같이
이 주어 짐을 알 수 있다.
sin
sin
sin
sin
sin
sin
⋯
sin
sin
sin
sin
sin
여기서cos ≡
로 놓으면,
의 함수 부분은 다음과 같이 쓸 수 있으며,
∝
이는 7장에서 언급한 버금 르장드르 함수(associated Legendre function) 에 해당
한다. 즉,
