EBS 올림포스 수학(하) 답지 정답
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(2) 정답과 풀이 Ⅳ. 집합과 명제. 10. 1+4+6+8+9+10=38. 집합. 38. 기본 유형 익히기 1. 7 6. 8. 1.. 2. 3 7. 18. 따라서 집합 AC의 모든 원소의 합은. 유제. 3. -2 8. 12. 4. 8. 본문 9~12쪽. 6.. A;C=A에서 A,C, B;C=C에서 C,B이므로. A,C,B. 5. 38. 이때 n(A)=3, n(B)=6이므로 구하는 집합 C의 개수는 26-3=8 8. 집합 A의 원소는 -2, 1, 4, a이고 모든 원소의 합이 10. 이므로 -2+1+4+a=10, a+3=10. 7.. 따라서 a=7 7. U={x|x는 9 이하의 자연수}. U 1. 이고 주어진 조건을 벤다이어그램으로. 2.. 5. 나타내면 오른쪽과 같다.. a=1, b=-1일 때, a-b=2. B. A. ={1, 2, 3, y, 8, 9} 4. a=1, b=0일 때, a-b=1. 즉, A'B={1, 2, 3, 5, 7, 9}이므로. a=2, b=-1일 때, a-b=3. AC;BC=(A'B)C=U-(A'B). 2 7 6. a=2, b=0일 때, a-b=2. ={1, 2, 3, y, 8, 9}-{1, 2, 3, 5, 7, 9}. 따라서 C={a-b|a<A, b<B}={1, 2, 3}이므로. ={4, 6, 8}. 9 8. 따라서 집합 AC;BC의 모든 원소의 합은 4+6+8=18. n(C)=3. 18. 3. 3.. 3. 집합 A={a, a+2, 4}의 원소의 개수가 3이므로 a+2,. 8.. n(BC)=n(A'BC)-n(A;B)=22-10=12 12. a+4이고, 두 집합 A={a, a+2, 4}, B={-1, b, 4}에 대 하여 A=B이고 a+b이므로 a=-1이다. 즉, A={-1, 1, 4}이므로 b=1이면 B={-1, 1, 4}로 A=B이다. 따라서 a-b=-1-1=-2 -2. 4.. 집합 A={1, 2, 3, 4, 5, 6}의 부분집합 중 2는 원소로. 갖고 4, 6은 원소로 갖지 않는 부분집합 X의 개수는. 유형 확인. 01 ⑤ 06 ④ 11 -4 16 ⑤ 21 ②. 02 ③ 07 4 12 4 17 ③. 본문 13~15쪽. 03 4 08 ④ 13 -1 18 16. 04 23 09 10 14 5 19 15. 05 ⑤ 10 ② 15 ② 20 2. 26-1-2=2Ü`=8 8. 5.. 01 키가 크다, 예쁘다, 무섭다, 가깝다 등은 기준이 확실하지 않으므로 집합이 아니다.. U={x|x는 10 이하의 자연수} ={1, 2, 3, y, 9, 10}. 이고 A={x|x는 소수}={2, 3, 5, 7}이므로 AC=U-A={1, 2, 3, y, 10}-{2, 3, 5, 7} ={1, 4, 6, 8, 9, 10}. 2. 따라서 집합인 것은 ⑤ 10보다 작은 자연수의 모임이다. ⑤. 02 ①, ② a, b는 자연수이므로 2, 3은 2 _3 의 꼴로 나타낼 a. b. 수 없다. 즉, 2²A, 3²A이다.. 올림포스•수학 (하). (하) 해 01-40 올림기본-오3.indd 2. 2017-11-01 오전 10:49:24.
(3) ③ 6=2_3<A. B={x||x|<a}. ④ 12=2Û`_3<A. ={x|-a<x<a}. ⑤ 18=2_3Û`<A. 따라서 A,B가 성립하기 위해서 ③. 03 0Û`+2Û`=4, 0Û`+(-2)Û`=4, 2Û`+0Û`=4, (-2)Û`+0Û`=4. B A. 는 오른쪽 그림과 같아야 한다. 즉, a>3이므로 자연수 a의 최솟. -a. -1. 3. a x. 값은 4이다.. 이므로. 4. A={(x, y)|xÛ`+yÛ`=4, x, y는 정수}. 08 집합 A={1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8}의 원소 중 소수는 2,. ={(0, 2), (0, -2), (2, 0), (-2, 0)} 따라서 n(A)=4 4. 3, 5, 7이다. 집합 A의 부분집합의 개수는 2¡`=256 이 중에서 소수가 아닌 4개의 원소로 만들 수 있는 부분집합의. 04 A={x|x는 100 이하의 3의 양의 배수}. 개수는 2Ý`=16. ={3, 6, 9, y, 99}. 따라서 구하는 부분집합의 개수는 256-16=240. ={3_1, 3_2, 3_3, y, 3_33}. ④. 이므로 n(A)=33 B={x|x=2n, n은 10 이하의 자연수}. 09 2. n-2-2. ={2_1, 2_2, 2_3, y, 2_10}. =2n-4=2ß`이므로 n-4=6. 따라서 n=10. 이므로 n(B)=10. 10. 따라서 n(A)-n(B)=33-10=23 23. 05 집합 A={1, 2, {1, 2}}의 원소는 1, 2, {1, 2}이다. ㄱ. 1<A (참). 10 A={x|(x-1)(x-2)=0}={1, 2} B={x|x는 16의 양의 약수} ={1, 2, 4, 8, 16} 따라서 A,X,B를 만족시키는 집합 X의 개수는. ㄴ. {1, 2}<A (참). 25-2=2Ü`=8. ㄷ. {1, 2},A (참). ②. 따라서 옳은 것은 ㄱ, ㄴ, ㄷ이다. ⑤. 06 B={x||x|<1, x는 정수}. 11 두 집합 A={a, 1, aÛ`-4}, B={-3, 2aÛ`+a, a+4} 에 대하여 A;B={-3, 1}이므로 Ú a=-3일 때,. ={x|-1<x<1, x는 정수}. A={a, 1, aÛ`-4}={-3, 1, 5},. ={0}. B={-3, 2aÛ`+a, a+4}={-3, 1, 15}. C={x|xÜ`-x=0}. 이므로 A;B={-3, 1}이다.. ={x|x(x-1)(x+1)=0}. Û aÛ`-4=-3, aÛ`=1에서 a+1이므로 a=-1일 때,. ={-1, 0, 1} 따라서 B,A,C이다.. A={a, 1, aÛ`-4}={-1, 1, -3}, ④. B={-3, 2aÛ`+a, a+4}={-3, 1, 3} 이므로 A;B={-3, 1}이다.. 07. A={x|xÛ`-2x-3É0} ={x|(x-3)(x+1)É0}. Ú, Û에 의하여 모든 상수 a의 값의 합은 -3+(-1)=-4. ={x|-1ÉxÉ3}. -4. 정답과 풀이. (하) 해 01-40 올림기본-오3.indd 3. 3. 2017-11-01 오전 10:49:24.
(4) 정답과 풀이. 12 A={x|x는 10보다 작은 짝수인 자연수}. 17 A★B=(A'B)-(A;B)를. 벤. U. 다이어그램으로 나타내면 오른쪽과 같다.. ={2, 4, 6, 8}. A. 의 원소 중 집합 B={1, 2, 3, 4}의 원소가 아닌 것은 6, 8이 므로 구하는 집합의 개수는 2Û`=4. B. 4. 따라서 집합 (A★B)★C는 오른쪽과 같. U. 다.. 13 U={x||x|É5}={x|-5ÉxÉ5}이므로. AC=U-A={x|-5ÉxÉ5}-{x|-1<x<3}. C. A. B. ={x|-5ÉxÉ-1 또는 3ÉxÉ5}. C. ③. 따라서 A 'B={x|-5ÉxÉ-1 또는 3ÉxÉ5}'{x|1<xÉ4} C. ={x|-5ÉxÉ-1 또는 1<xÉ5}. 18 (Aª¢'AÁ¤);A¥=(Aª¢;A¥)'(AÁ¤;A¥)이고 Aª¢;A¥은 24와 8의 공통된 양의 약수의 집합이므로. 이므로 정수인 모든 원소의 합은 -5+(-4)+(-3)+(-2)+(-1)+2+3+4+5=-1 -1. Aª¢;A¥=A¥ 같은 방법으로 AÁ¤;A¥은 16과 8의 공통된 양의 약수의 집합 이므로 AÁ¤;A¥=A¥ (Aª¢'AÁ¤);A¥=(Aª¢;A¥)'(AÁ¤;A¥). 14 A;B=A-{(A-B)'(B-A)}. ={2, 4, 6, 8, 10}-{1, 2, 3, 4, 5, 6}. =A¥'A¥=A¥={1, 2, 4, 8}. 따라서 구하는 부분집합의 개수는. ={8, 10}. 2Ý`=16. B-A={(A-B)'(B-A)}-A. 16. ={1, 2, 3, 4, 5, 6}-{2, 4, 6, 8, 10} ={1, 3, 5}. 19 n(A-B )=n(A;B)=3이므로 C. 이므로. n(A'B)=n(A)+n(B)-n(A;B). B=(A;B)'(B-A)={8, 10}'{1, 3, 5}. =10+8-3. ={1, 3, 5, 8, 10}. =15. 따라서 n(B)=5. 15. 5. 20 (A;B),A,. 15. A-B=A이므로 A;B=∅이다.. n(A;B)Én(A)=10, n(A;B)Én(B)=6. ㄱ. A={1, 2}, B={3}이면. 이므로 n(A;B)É6. A-B=A이지만 AøB이다. (거짓). yy ㉠. 또, n(A'B)Én(U)=12에서. ㄴ. A;B=∅이므로 B-A=B (참). n(A'B)=n(A)+n(B)-n(A;B). ㄷ. U={1, 2, 3, 4}, A={1, 2}, B={3}이면. =10+6-n(A;B). BC={1, 2, 4}이므로 BCøA (거짓). É12. 따라서 옳은 것은 ㄴ뿐이다.. 이므로 ②. n(A;B)¾4. yy ㉡. ㉠, ㉡에서 4Én(A;B)É6이므로. 16. (A'B);(AC'BC)=(A'B);(A;B)C. m=4, M=6. =(A'B)-(A;B). 따라서 M-m=6-4=2 ⑤. 4. (A;B),B에서. 2. 올림포스•수학 (하). (하) 해 01-40 올림기본-오3.indd 4. 2017-11-01 오전 10:49:25.
(5) 21 학급 학생 전체의 집합을 U, 휴대폰을 갖고 있는 학생의 집합을 A, 태블릿PC를 갖고 있는 학생의 집합을 B라 하면. Ú, Û 에 의하여 구하는 순서쌍 (A, B)의 개수는 yy ➌. 12_2=24. 24. n(U)=35, n(A)=24, n(B)=12, n(A ;B )=6 C. C. 이때. 단계. n(A ;B )=n((A'B) ) C. C. C. =n(U)-n(A'B) =35-n(A'B)=6 이므로 n(A'B)=29. 채점 기준. 비율. ➊. n(A), n(B)의 값을 구한 경우. 30`%. ➋. n(A)=1, n(B)=2와 n(A)=2, n(B)=1일 때의 순서쌍의 개수를 구한 경우. 60`%. ➌. 순서쌍 (A, B)의 개수를 구한 경우. 10`%. 따라서. 03 AÁª={1, 2, 3, 4, 6, 12},. n(A;B)=n(A)+n(B)-n(A'B) =24+12-29=7 ②. yy ➊. Aª¢={1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 24} 이므로 AÁª;B£={3, 6, 12}. 서술형 01 7. 연습장. 본문 16쪽. 02 24. yy ➋. Aª¢;B¢={4, 8, 12, 24} 따라서. (AÁª;B£)'(Aª¢;B¢)={3, 6, 12}'{4, 8, 12, 24}. 03 57. ={3, 4, 6, 8, 12, 24}. 01 A={x|xÛ`-7x+6É0, x는 자연수}. yy ➌. 이므로 모든 원소의 합은 yy ➍. 3+4+6+8+12+24=57. ={x|(x-1)(x-6)É0, x는 자연수}. 57. ={x|1ÉxÉ6, x는 자연수} ={1, 2, 3, 4, 5, 6}. yy ➊. 단계. 채점 기준. 비율. 따라서 1, 3, 5로 만들 수 있는 공집합이 아닌 부분집합의 개수는. ➊. AÁª, Aª¢를 구한 경우. 20`%. yy ➋. ➋. AÁª;B£, Aª¢;B¢를 구한 경우. 20`%. 7. ➌. (AÁª;B£)'(Aª¢;B¢)를 구한 경우. 50`%. ➍. 모든 원소의 합을 구한 경우. 10`%. 2Ü`-1=7. 단계. 채점 기준. 비율. ➊. 집합 A를 구한 경우. 50`%. ➋. 부분집합의 개수를 구한 경우. 50`%. 02 A-B=A에서 A;B=∅. 내신. 그런데 n(A'B)=3이므로 n(A)=1, n(B)=2 또는 n(A)=2, n(B)=1. 01 ③. yy ➊. Ú n(A)=1, n(B)=2인 집합은. +. 수능. 고난도 문항. 02 ④. 본문 17쪽. 03 23. A={-2}. 01 AÁ={x|1ÉxÉ12, x는 자연수}. ={-1, 0} 또는 B={-1, 1} 또는 B={0, 1}로 3개 B. Aª={x|3ÉxÉ12, x는 자연수}. 같은 방법으로 A={-1} 또는 A={0} 또는 A={1}도. A£={x|5ÉxÉ12, x는 자연수}. 모두 3개씩이므로 순서쌍 (A, B)의 개수는. . 3_4=12. 따라서 AÁ.Aª.A£.y이므로 AÁ;Aª;y;AÇ=∅이 되. Û n(A)=2, n(B)=1인 집합은 Ú과 같은 방법으로 생각하면 12가지이다.. 도록 하는 경우는 Ak(k=1, 2, y, n)가 공집합이 될 때이다. yy ➋. 즉, 2n-1>12에서 n>6.5이므로 자연수 n의 최솟값은 7이다.. 정답과 풀이. (하) 해 01-40 올림기본-오3.indd 5. 5. 2017-11-01 오전 10:49:25.
(6) 정답과 풀이 Ⅳ. 집합과 명제. A7-2=A5={x|9ÉxÉ12, x는 자연수}={9, 10, 11, 12} 이므로 모든 원소의 합은. 11. 9+10+11+12=42 ③. 02 ㄱ. A;B={1, 2, 3, 4, 5};{2, 4, 6, 8}={2, 4} 이므로. S(A, B)=n(AC'BC)=n((A;B)C). 기본 유형 익히기 1. 8 5. -2. 1.. =n(U)-n(A;B) =20-2=18 (참). 명제 본문 21~24쪽. 유제. 2. 2ÉxÉ4 3. 풀이 참조 4. -3 6. 풀이 참조 7. -4 8. 8. xÛ`-8x+7=0에서 (x-1)(x-7)=0. x=1 또는 x=7. ㄴ. S(A, B)ÉS(B, C)에서. 따라서 조건 p의 진리집합은 {1, 7}이므로 진리집합의 모든 원. n(U)-n(A;B)Én(U)-n(B;C). 소의 합은. n(A;B)¾n(B;C) (거짓). 1+7=8. ㄷ. A,B이면 A;B=A이고 n(A)Én(B)이므로. 8. S(A, B)=n(U)-n(A;B) =n(U)-n(A). 2.. ¾n(U)-n(B). ‘p 또는 q’의 부정은 ‘~p이고 ~q’이므로. 2ÉxÉ4. =n(BC) (참). 이다.. 따라서 옳은 것은 ㄱ, ㄷ이다.. 2ÉxÉ4. ④. 03 조사한 사람 전체의 집합을 U, 예금을 거래한 사람의 집. 3.. ‘어떤 자연수 x에 대하여 x는 홀수이다’의 부정은. 합을 A, 펀드를 거래한 사람의 집합을 B, 주식을 거래한 사람. ‘모든 자연수 x에 대하여 x는 홀수가 아니다.’, 즉 ‘모든 자연수. 의 집합을 C라 하면. x에 대하여 x는 짝수이다.’이다. 풀이 참조. n(A;B;C)=6, n(C)=37 n(A ;B ;C)=8 C. C. 4.. B,A 위 조건을 만족시키는 경우를 벤다이 어그램으로 나타내면 오른쪽과 같다. 이때 펀드는 거래하지 않고 예금과 주. U A B. 또, |x|<3에서 -3<x<3이. C 6 x. 두 조건 p, q의 진리집합을 각각 P, Q라 하자. Q P. 므로 명제 p`2Ú q가 참이 되기 8. 위해서는 오른쪽 그림과 같아야. a -3. 식만 거래한 사람의 집합은. 한다.. A;BC;C이고. 따라서 aÉ-3이므로 실수 a의 최댓값은 -3이다.. n(A;BC;C)=x라 하면. 3 4 x. -3. 6+x+8=37, x=23 따라서 n(A;BC;C)=23 23. 5.. 명제 ‘-2<x<1이면. x¾k이다.’의 대우는 ‘x<k이 면 xÉ-2 또는 x¾1이다.’이. k -2. 1. x. 고 이것이 참이 되기 위해서는 그림과 같아야 한다. 즉, kÉ-2이므로 정수 k의 최댓값은 -2이다. -2. 6. 올림포스•수학 (하). (하) 해 01-40 올림기본-오3.indd 6. 2017-11-01 오전 10:49:25.
(7) 6.. '2가 유리수라고 가정하면. 01 ①, ②, ③은 조건이고 ④는 참, 거짓을 판단할 수 없으므. '2=;pQ; ( p, q는 서로소인 자연수). 로 명제가 아니고 ⑤는 참, 거짓을 판단할 수 있으므로 명제이 다.. 로 나타낼 수 있다.. '2p=q의 양변을 제곱하면 2pÛ`=qÛ`. ⑤. yy ㉠. 좌변은 짝수이므로 우변도 짝수이어야 한다.. 02 P={3, 6, 9, 12, 15, y, 99}, Q={5, 10, 15, y, 100}. q=2k (k는 자연수). 이므로 집합 P;Q는 15의 배수인 집합이다.. 라 하고 ㉠에 대입하면. 즉, P;Q={15, 30, 45, 60, 75, 90}이므로. 2pÛ`=4kÛ`, pÛ`=2kÛ`. n(P;Q)=6. 따라서 우변이 짝수이므로 좌변인 p도 짝수이어야 한다.. 이것은 p, q는 서로소라는 가정에 모순이므로 '2가 유리수라는. 가정은 거짓이다.. 즉, 귀류법에 의하여 '2는 유리수가 아니다.. 7.. 6. 03 ‘세 실수 x, y, z에 대하여 xyz=0이다.’의 부정은 풀이 참조. ‘세 실수 x, y, z에 대하여 xyz+0이다.’이다. 즉, ‘세 실수 x, y, z에 대하여 x+0이고 y+0이고 z+0이다.’. q`:`|x|=2에서 x=-2 또는 x=2이고 p가 q이기 위한. 이다.. 필요충분조건이므로 x=-2, x=2는 이차방정식. 풀이 참조. xÛ`+ax+b=0의 두 근이어야 한다. 이차방정식의 근과 계수의 관계에 의하여. 04 두 조건 p, q의 진리집합을 각각 P, Q라 하면. -a=-2+2, b=-2_2. P={1, 2, 5, 10}. 이므로 a=0, b=-4. xÛ`+2x-24<0, (x-4)(x+6)<0에서 -6<x<4이므로. 따라서 a+b=-4 -4. 8.. Q={1, 2, 3}이다. 따라서 조건 ‘~p 또는 q’의 진리집합은 PC'Q={3, 4, 6, 7, 8, 9}'{1, 2, 3}. 산술평균과 기하평균의 관계에 의하여. ={1, 2, 3, 4, 6, 7, 8, 9}. x+;[$;¾2®Éx_;[$;=2_2=4. 이므로 모든 원소의 합은 1+2+3+4+6+7+8+9=40. 이때 등호는 x=;[$;, xÛ`=4, 즉 x=2일 때 성립하므로. 40. a=2, b=4 따라서 ab=2_4=8 8. 05 ① 모든 홀수는 2로 나누어떨어지지 않으므로 거짓이다. ② x=0이면 xÛ`=0이므로 거짓이다. ③ 2는 소수이면서 짝수이므로 거짓이다.. 유형 확인. 01 ⑤ 02 6 05 ⑤ 06 ③ 10 ③ 11 ① 14 풀이 참조 18 9 19 ③. ④ 12의 양의 약수 중에서 1, 3은 짝수가 아니므로 거짓이다. 본문 25~27쪽. 03 풀이 참조 04 40 07 51 08 ④ 09 ④ 12 3 13 ㄱ, ㄴ 15 ⑤ 16 ㄱ, ㄷ 17 ② 20 ②. ⑤ x=i이면 xÛ`=i Û`=-1<0이므로 참이다. ⑤. 06 ‘모든 자연수는 2 또는 3 중 적어도 하나의 배수이다.’의 부정은 ‘어떤 자연수는 2의 배수도 아니고 3의 배수도 아니다.’ 이다. ③. 정답과 풀이. (하) 해 01-40 올림기본-오3.indd 7. 7. 2017-11-01 오전 10:49:26.
(8) 정답과 풀이. 07 명제 ‘n이 3의 배수이면 n은 4의 배수이다.’가 거짓임을. Û -a+5¾3이므로 aÉ2. 보이기 위해서는 3의 배수 중에서 4의 배수가 아니어야 하므로 n=3 또는 n=6 또는 n=9 또는 n=15 또는 n=18이다.. Q. P. -1. P. 3 -a+5 a+5 x. Ú, Û에 의하여 0<aÉ2이므로 모든 자연수 a의 값의 합은. 따라서 모든 자연수 n의 값의 합은. 1+2=3. 3+6+9+15+18=51. 3. 51. 13 ㄱ. ~p`2Ú q가 참이므로 대우인 ~q`2Ú p도 참이다.. 08 ㄱ. a<0, b<0이면 ab>0이다. (참). ㄴ. ~p`2Ú q, q`2Ú r가 모두 참이므로 삼단논법에 의하여. ㄴ. [반례] a=-1, b=-2, c=-3이면. ~p`2Ú r도 참이다. 즉, 대우인 ~r`2Ú p도 참이다.. a>b>c이지만 ac<bc이다. (거짓) ㄷ. a, b, c가 실수이므로 aÛ`+bÛ`+cÛ`=0이면 a=b=c=0이 다. (참). ㄷ. q`2Ú r가 참이라고 해서 r`2Ú q가 반드시 참인 것은 아니다. 따라서 반드시 참인 것은 ㄱ, ㄴ이다. ㄱ, ㄴ. 따라서 참인 명제는 ㄱ, ㄷ이다. ④. 14 주어진 명제의 대우는 ‘두 실수 x, y에 대하여 x<1이고 y<1이면 x+y<2이다.’이다.. 09 ㄱ. R,Q이므로 r`2Ú q는 참이다.. x<1이고 y<1에서 x-1<0, y-1<0이므로. ㄴ. P;R=∅이므로 RCøP이다.. (x-1)+(y-1)<0. 즉, 명제 ~r`2Ú p는 거짓이다.. 즉, x+y<2이다.. ㄷ. R,Q이면 QC,RC이므로 명제 ~q`2Ú ~r는 참이다.. 따라서 대우가 참이므로 원래 명제도 참이다.. 따라서 참인 명제는 ㄱ, ㄷ이다.. 풀이 참조. ④. 15 ① 명제 p`2Ú q ‘xy>0이면 x>0, y>0’은 거짓이다.. 10. 명제 ~p`2Ú q가 참이므로 PC,Q이다.. [반례] x=y=-1. 즉, PC-Q=PC;QC=(P'Q)C=∅이므로. 또한 명제 q`2Ú p ‘x>0, y>0이면 xy>0’은 참이다.. P'Q=U. 따라서 p는 q이기 위한 필요조건이지만 충분조건은 아니다. ③. ② 명제 p`2Ú q ‘xy=0이면 x=0, y=0’은 거짓이다. [반례] x=2, y=0. 11 명제 p`2Ú ~q의 역은 ~q`2Ú p,. 또한 명제 q`2Ú p ‘x=0, y=0이면 xy=0’은 참이다.. 대우는 ~(~q)`2Ú ~p, 즉 q`2Ú ~p이다.. 따라서 p는 q이기 위한 필요조건이지만 충분조건은 아니다. ①. ③ 명제 p`2Ú q ‘|x|+|y|=0이면 x=0, y=0’은 참이다. 또한 명제 q`2Ú p ‘x=0, y=0이면 |x|+|y|=0’은 참이. 12 p`:`|x-5|>a에서. 다.. p`:`x<-a+5 또는 x>a+5. 따라서 p는 q이기 위한 필요충분조건이다.. q`:`|x-1|<2에서 -1<x<3. ④ 명제 p`2Ú q ‘|xy|=xy이면 x>0, y>0’은 거짓이다. . 따라서 두 조건 p, q의 진리집합을 각각 P, Q라 하면 명제. [반례] x=y=0. p`2Ú q의 역은 q`2Ú p이므로 역이 참이 되기 위해서는 Q,P. 명제 q`2Ú p ‘x>0, y>0이면 |xy|=xy’는 참이다.. 이어야 한다.. 따라서 p는 q이기 위한 필요조건이지만 충분조건은 아니다.. Ú a+5É-1이므로 aÉ-6. P. P. 그런데 a>0이므로 조건을 만족시키지 못한다.. 8. -a+5 a+5 -1. ⑤ 명제 p`2Ú q ‘x=y이면 xÛ`=yÛ``’은 참이다.. Q 3. x. 명제 q`2Ú p ‘xÛ`=yÛ`이면 x=y’는 거짓이다. [반례] x=1, y=-1. 올림포스•수학 (하). (하) 해 01-40 올림기본-오3.indd 8. 2017-11-01 오전 10:49:26.
(9) 따라서 p는 q이기 위한 충분조건이지만 필요조건은 아니다. ⑤. 16 p는 ~q이기 위한 충분조건이므로. ㉠에서 산술평균과 기하평균의 관계에 의하여 3x+2y ¾'Ä3x_2y, 4¾'¶6xy 2 양변을 제곱하여 정리하면. p jjK ~q . yy ㉠. r jjK q. yy ㉡. q는 r이기 위한 필요조건이므로 ㄱ. 명제 p`2Ú ~q의 대우는 q`2Ú ~p이므로 q JjjK ~p (참). 6xyÉ16, 3xyÉ8 {단, 등호는 3x=2y, 즉 x=;3$;, y=2일 때 성립한다.} 따라서 큰 직사각형 모양의 땅의 둘레의 길이는 6x+2y=6_;3$;+2_2=12(m). ㄴ. 명제 r`2Ú q의 대우는 ~q`2Ú ~r이므로. ②. ~q JjjK ~r (거짓). ㄷ. p JjjK ~q, ~q JjjK ~r이므로 p JjjK ~r (참). 따라서 옳은 것은 ㄱ, ㄷ이다.. 17 p는 q이기 위한 필요조건이므로 Q,P r는 q이기 위한 필요조건이므로 Q,R. yy ㉠ yy ㉡. 따라서 ㉠, ㉡에 의하여. 연습장. 서술형. ㄱ, ㄷ. 본문 28쪽. 01 256 03 a=b=c, 최솟값: 6. 02 a-b=-2. 01 P={1, 2, 5, 10}, Q={2, 4, 6, 8, 10}이므로. Q,(P'R) ②. P;Q={2, 10}. yy ➊. 따라서 P 'Q =(P;Q) ={1, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}이므로 C. =5+ab+;a¢b;. . ¾5+2®Éab_;a¢b;. . =5+2_2=9. yy ➌ 256. 단계. 채점 기준. 비율. ➊. P;Q를 구한 경우. 30`%. ➋. n(P` 'Q` )의 값을 구한 경우. 50`%. ➌. 부분집합의 개수를 구한 경우. 20`%. 02 ‘a<x<a+2이면 b-2<x<b이다.’의 역과 대우가 모. x+y ¾'¶xy에서 8¾'¶xy 2. 따라서 xyÉ64이고 등호가 성립할 조건은 x=y, 즉 x=y=8 일 때이다.. 두 참이라는 것은 조건 a<x<a+2가 조건 b-2<x<b이기 위한 필요충분조건임을 뜻한다. . yy ➊. {x|a<x<a+2}={x|b-2<x<b}이므로. 즉, a=64, b=c=8이므로 a+b+c=80 ③. 20 작은 직사각형의 가로의 길이를 x`m, 세로의 길이를 y`m 라 하면 6x+4y=16, 3x+2y=8. C. 2¡`=256. 9. 또, 큰 직사각형의 넓이는 3xy`mÛ`이다.. yy ➋. 즉, 집합 P 'Q 의 부분집합의 개수는 C. {단, 등호는 ab=;a¢b; , 즉 ab=2일 때 성립한다.}. 19 x+y=16이므로. C. n(PC'QC)=8. 18 {a+;b!;}{b+;a$;}=ab+4+1+;a¢b; . C. yy ㉠. a=b-2 yy ➋. 따라서 a-b=-2. a-b=-2 단계. 채점 기준. 비율. ➊. 필요충분조건임을 구한 경우. 50`%. ➋. a-b=-2를 구한 경우. 50`%. 정답과 풀이. (하) 해 01-40 올림기본-오3.indd 9. 9. 2017-11-01 오전 10:49:26.
(10) 정답과 풀이 Ú a=b=0인 경우. c+a a+b + + 03 b+c a b c. 순서쌍 (a, b)는 (0, 0)의 1개이다.. ={;aB;+;bA;}+{;bC;+;cB;}+{;aC;+;cA;}. yy ➊. a>0이고 방정식 axÛ`+bx+3=0의 판별식을 D라 하면. ¾2®É;aB;_;bA;+2®É;bC;_;cB;+2®É;aC;_;cA;. D<0이어야 하므로 yy ➋. =2+2+2=6. 이때 등호는 ;aB;=;bA;, ;bC;=;cB;, ;aC;=;cA; 에서 aÛ`=bÛ`=cÛ`이므로 yy ➌. a=b=c일 때 성립한다.. a=b=c, 최솟값: 6 단계. Û a+0인 경우. 채점 기준. D=bÛ`-12a<0 순서쌍 (a, b)는 (1, 0), (1, 1), (1, 2), (1, 3) (2, 0), (2, 1), (2, 2), (2, 3), (2, 4) (3, 0), (3, 1), (3, 2), (3, 3), (3, 4), (3, 5). 비율. (4, 0), (4, 1), (4, 2), (4, 3), (4, 4), (4, 5). ➊. 식을 전개한 경우. 20`%. (5, 0), (5, 1), (5, 2), (5, 3), (5, 4), (5, 5). ➋. 최솟값을 구한 경우. 40`%. 이므로 4+5+6+6+6=27. ➌. 최솟값을 가질 조건을 구한 경우. 40`%. Ú, Û에 의하여 순서쌍 (a, b)의 개수는 1+27=28 28. 내신. +. 수능. 01 2. 고난도 문항. 02 28. 본문 29쪽. 03 A가 거짓말을 했으므로 A는 P 또는 Q 중에 한 편을 관 람했다.. 03 ④. B는 진실을 말한 것이므로 P를 관람했다. P, Q를 관람한 사람이 각각 1명이므로 P, Q를 관람한 사람과. 01 ~p`:`x는 2의 배수가 아니다. 이므로 2의 배수가 아닌 수는 제곱해도 2의 배수가 아니므로 ~p`2Ú q는 거짓이다.. 어느 것도 관람하지 못한 사람을 차례대로 나열하면 B, A, C 이다. ④. 따라서 f(~p, q)=0이다. ~q`2Ú ~r의 대우는 r`2Ú q이다.. 이때 'x가 2의 배수이므로 'x=2k (k는 정수)로 놓으면 x=4kÛ`. yy ㉠. xÛ`=16kÝ`=2(8kÝ`)이므로 xÛ`도 2의 배수이다.. 대단원 종합 문제. 즉, 명제 r`2Ú q가 참이므로 ~q`2Ú ~r도 참이다.. 01 ⑤ 06 ① 11 16 16 ④ 21 ④. 따라서 f(~q, ~r)=1이다. 또, ㉠에서 x=4kÛ`=2(2kÛ`)이므로 x는 2의 배수이다. 즉, 명제 r`2Ú ~p는 거짓이므로 f(r, ~p)=0이다. 따라서 f(~p, q)+2_f(~q, ~r)+3_f(r, ~p) =0+2_1+3_0=2 2. 02 ⑤ 07 ④ 12 35 17 ① 22 ②. 04 ③ 09 ② 14 7 19 ④ 24 341. 05 ④ 10 ② 15 ③ 20 ④. 01 A={x|x는 8의 양의 약수} ={1, 2, 4, 8}. 02. 이므로 모든 원소의 합은. ‘모든 실수 x에 대하여 axÛ`+bx+3>0이다.’이고 이 명제가. 1+2+4+8=15. ‘어떤 실수 x에 대하여 axÛ`+bx+3É0이다.’의 부정은. 참이므로. 10. 03 29 08 16 13 15 18 24 23 84. 본문 30~33쪽. ⑤. 올림포스•수학 (하). (하) 해 01-40 올림기본-오3.indd 10. 2017-11-01 오전 10:49:26.
(11) 02 ① 0²A. 08 산술평균과 기하평균의 관계에 의하여. ② 3<B. x+4y¾2'¶x_4y=4'¶xy=4'¶16=16. ③ {3},A. (단, 등호는 x=4y일 때 성립한다.). ④ -2<A이지만 -2²B이므로 AøB이다.. 따라서 x+4y의 최솟값은 16이다.. ⑤ -1<B, 3<B이므로 {-1, 3},B이다.. 16 ⑤. 09 A=B이므로 삼차방정식 xÜ`+axÛ`+bx+c=0의 세 실. 03 A'B={1, 2, 3, 4, 5, 6}'{4, 5, 6, 7, 8}. 근이 -2, -1, 1이다. 즉,. ={1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8}. xÜ`+axÛ`+bx+c=(x+2)(x+1)(x-1). 이므로. =(x+2)(xÛ`-1). (A'B);C. =xÜ`+2xÛ`-x-2. ={1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8};{1, 3, 4, 6, 7, 8, 9}. 따라서 a=2, b=-1, c=-2이므로. ={1, 3, 4, 6, 7, 8}. abc=2_(-1)_(-2)=4. 따라서 모든 원소의 합은. ②. 1+3+4+6+7+8=29 29. 10 2<A, 4<A, 2<B, 4<B이고 집합 A-B의 모든 원 소의 합이 10이므로. 04 A;B =A-B C. 1+3+a+2b=10. ={1, 3, 5, 7}-{2, 3, 4, 5, 6}. yy ㉠. a+2b=6. ={1, 7}. 또, 집합 B-A의 모든 원소의 합이 9이므로. 따라서 n(A;BC)=2 ③. yy ㉡. 2a+b=9 ㉠, ㉡을 연립하여 풀면 a=4, b=1이므로 aÛ`+bÛ`=4Û`+1Û`=17. 05 조건 p`:`-2<xÉ5의 진리집합을 P라 하면. ②. P={x|-2<xÉ5, x는 정수} ={-1, 0, 1, 2, 3, 4, 5}. 11 A¢={x|x는 4의 배수}={4, 8, 12, 16, 20, y}. 따라서 진리집합의 모든 원소의 합은. A¤={x|x는 6의 배수}={6, 12, 18, 24, y}. -1+0+1+2+3+4+5=14 ④. 이므로 집합 A¢;A¤은 12의 배수의 집합이다. 즉, A¢;A¤={12, 24, 36, 48, y},. 06 명제 ‘p`2Ú ~q’가 거짓임을 보이는 반례는 집합 P의 원 C. 소이면서 집합 Q 의 원소는 아니어야 하므로 집합 P;Q에 속 한다. ①. 07 명제 ‘xÛ`=a이면 x=2이다.’의 역은 ‘x=2이면 xÛ`=a이. A¥={x|x는 8의 배수}={8, 16, 24, 32, y}이므로 (A¢;A¤)'A¥={12, 24, 36, 48, y}'{8, 16, 24, 32, y} ={8, 12, 16, 24, 32, 36, y} 따라서 세 번째로 작은 원소는 16이다. 16. 다.’이므로 역이 참이 되기 위해서는. 12 A시리즈를 운전해 본 사람의 집합을 A, B시리즈를 운전. a=2Û`=4. 해 본 사람의 집합을 B라 하자. ④. 주어진 조건에 의하여 n(A)=40, n(B)=65, n(A'B)É100. 정답과 풀이. (하) 해 01-40 올림기본-오3.indd 11. 11. 2017-11-01 오전 10:49:26.
(12) 정답과 풀이 이므로. 따라서 최솟값은 ;2(;이다.. n(A'B)=n(A)+n(B)-n(A;B). ④. =40+65-n(A;B)É100. 17 A,C,B를 만족시키는 세 집합. n(A;B)¾5 따라서. A, B, C의 포함 관계를 벤다이어그램으. n(A-B)=n(A)-n(A;B). 즉, n(B-C)=n(C-A)=3을 만족. É40-5=35 35. 13 A ;B;C =B;(A ;C ) C. C. C. U. =B;(A'C)C. 이므로. 시키는 집합 C의 원소의 개수가 최소일 때와 최대일 때는 n(A)가 각각 최소일 때와 최대일 때이므로 1Én(A)É4에서 m=1+3=4. A. M=4+3=7. =B-(A'C) B. C. 따라서 M+m=7+4=11 ①. n(AC;B;CC) =n(B-(A'C)) =n(A'B'C)-{n(A;B)+n(C-A)+n(A-B)} =30-(4+8+3)=15 15. 14 명제 ‘xÛ`>9이면 x+a이다.’의 대우는 ‘x=a이면 xÛ`É9이다.’. 18 zÁ+zÁÕ=(2+i)+(2-i)=4, zÁzÁ=(2+i)(2-i)=2Û `-i Û`=5, Õ zÁ (2+i)Û` 2+i = =;5#;+;5$;i = zÁÕ 2-i (2-i)(2+i) 이므로. yy ㉠. 이고 ㉠이 참이 되려면 aÛ`É9이다. 즉, -3ÉaÉ3이므로 정수 a의 개수는 -3, -2, …, 2, 3으 로 7이다. 7. A=[4, 5, ;5#;+;5$; i] zª-zªÕ=(1+2i)-(1-2i)=4i, zªzª=(1+2i)(1-2i)=1Û `-4i Û`=5, Õ zª (1+2i)Û` 1+2i = =-;5#;+;5$; i = zªÕ 1-2i (1-2i)(1+2i) 이므로. 15. ㄱ. R,Q이므로 r는 q이기 위한 충분조건이다. (참). ㄴ. P,QC이므로 p는 ~q이기 위한 충분조건이다. (거짓) ㄷ. R,PC이므로 r는 ~p이기 위한 충분조건이다. (참) 따라서 옳은 것은 ㄱ, ㄷ이다. ③. 16 (1+x){;2!;+;[@;}=;2!;+;[@;+;2{;+2 . =;2%;+;[@;+;2{;. . ¾;2%;+2®É;[@;_;2{;. . =;2%;+2=;2(;. {단, 등호는 ;[@;=;2{;, 즉 x=2일 때 성립한다.}. 12. B C A. 로 나타내면 오른쪽과 같다.. =40-n(A;B). C. U. B=[4i, 5, -;5#;+;5$; i] 따라서 A'B=[4, 5, ;5#;+;5$; i]'[4i, 5, -;5#;+;5$; i] =[4, 5, 4i, ;5#;+;5$; i, -;5#;+;5$; i] 이고 이 중에서 실수인 것은 4, 5의 2개이므로 구하는 부분집합 의 개수는 2Þ`-2Ü`=32-8=24 24. 19 A={1, 2, 3} B={x|x=a+b, a<A, b<A, a+b} ={3, 4, 5}. 올림포스•수학 (하). (하) 해 01-40 올림기본-오3.indd 12. 2017-11-01 오전 10:49:27.
(13) 이므로 등식 A;X=B;X를 만족시키기 위해서는 집합 X. 따라서 집합 A의 모든 원소의 합의 최댓값은 집합 A가. 는 1, 2, 4, 5를 원소로 가지면 안되고 3, 6, 7, 8 중 적어도 하. A={2, 6, 7, 8, 9, 10}. 나는 원소로 가져야 한다.. 일 때이고 그때의 최댓값은. 따라서 모든 원소의 합이 가장 큰 집합 X는. 2+6+7+8+9+10=42 ④. X={3, 6, 7, 8} 이므로 모든 원소의 합은 3+6+7+8=24 ④. 22 명제 ‘모든 실수 x에 대하여 ~p 또는 ~q이다.’의 부정 은 ‘어떤 실수 x에 대하여 p이고 q이다.’이고 이 부정이 참이 되 어야 하므로 두 조건 p, q의 진리집합을 각각 P, Q라 할 때,. 20 n(A)=33, n(B)=36, n(C)=37에서. P;Q+∅이어야 한다.. n(A)<n(B)<n(C)이고 n(B;C)와 n(A;B;C)가. xÛ`-2kx+kÛ`-1<0, xÛ`-2kx+(k-1)(k+1)<0. 최댓값을 가질 조건은 A,B,C일 때이다.. (x-k+1)(x-k-1)<0. 즉, A-B=∅, B-C=∅이므로. 에서 k-1<x<k+1. n(A-B)+n(B-C)+n(C-A) =0+0+n(C)-n(A;C). |x-;2K;|<5에서 ;2K;-5<x<;2K;+5. =37-33. 이고 k가 자연수이므로. =4 ④. 21 a=1<A이면 ;2!;²A, a=2<A이면 1²A a=3<A이면 ;2#;²a, a=4<A이면 2²A a=5<A이면 ;2%;²A, a=6<A이면 3²A a=7<A이면 ;2&;²A, a=8<A이면 4²A. k-1>;2K;-5 즉, P;Q+ ∅이기 위해서는 오른쪽 그림과 같아야 하므로 k-1<;2K;+5. P. Q k -5 2. k-1. k+1 x. k +5 2. 2k-2<k+10 k<12 따라서 k<12이므로 자연수 k의 개수는 1, 2, y, 10, 11의 11 이다. ②. a=9<A이면 ;2(;²A, a=10<A이면 5²A 또한 명제 ‘a<A이면 ;2A;²A’의 대우. 23 두 집합 A, B를 원소나열법으로 나타내면. ‘;2A;<A이면 a²A’도 참이므로. A=[;2!;, ;2@;, ;2#;, ;2$;, …, :°2¼:]. a=2일 때 1<A이면 2²A. B=[;3!;, ;3@;, ;3#;, ;3$;, …, :°3¼:]. yy ➊. 따라서 A;B={1, 2, 3, … 16}이므로. yy ➋. a=4일 때 2<A이면 4²A a=6일 때 3<A이면 6²A a=8일 때 4<A이면 8²A. n(A'B)=n(A)+n(B)-n(A;B) =50+50-16=84. a=10일 때 5<A이면 10²A. yy ➌ 84. a=12일 때 6<A이면 12²A a=14일 때 7<A이면 14²A. 단계. a=16일 때 8<A이면 16²A. ➊. A, B를 구한 경우. 채점 기준. 40`%. 비율. a=18일 때 9<A이면 18²A. ➋. A;B를 구한 경우. 30`%. a=20일 때 10<A이면 20²A. ➌. n(A'B)의 값을 구한 경우. 30`%. 정답과 풀이. (하) 해 01-40 올림기본-오3.indd 13. 13. 2017-11-01 오전 10:49:27.
(14) 정답과 풀이 Ⅴ. 함수와 그래프. 24 {a+;b@;}{b+;a*;}=ab+8+2+;a!b^; . =10+ab+;a!b^;. . ¾10+2®Éab_;a!b^;. . =10+2_4. . =18. 12. 기본 유형 익히기 yy ➊. {단, 등호는 ab=;a!b^;, (ab)Û`=16, 즉 ab=4일 때 성립한다.} . 채점 기준. 2. -1. 3. 풀이 참조. 5. :Á4Á:. 6. 27. 7. -2. 4. 5. 8. 12. yy ➌. f('2)+f {;2#;}=('2)Û`+{;2#;-1}=2+;2!;=;2%;. '2는 무리수이고 ;2#;은 유리수이므로. ;2%;. yy ➍ 341. 단계. 1. ;2%;. 1.. 따라서 mÛ`+nÛ`+lÛ`=16+1+324=341 . 본문 37~40쪽. 유제. yy ➋. 그런데 a+b=5이므로 a=4, b=1 (a>b). 함수. 비율. ➊. 최솟값을 구한 경우. 50`%. ➋. 최소일 조건을 구한 경우. 30`%. ➌. a, b의 값을 구한 경우. 10`%. ➍. mÛ`+nÛ`+lÛ`의 값을 구한 경우. 10`%. 2. f(1)=1-1=0이므로 g(1)=1+b=0, b=-1 또한 f(a)=a-1, g(a)=aÛ`-1이므로 a-1=aÛ`-1, a(a-1)=0 a=0 또는 a=1 그런데 a+1이므로 a=0 따라서 a+b=0+(-1)=-1 -1. 3. f(x)=|2x-4|=0에서 x=2이. y. 므로. 4. y=f(x). f(x)=|2x-4| =à. -2x+4 (0Éx<2) 2x-4. (2ÉxÉ4). O. 2. 4. x. 따라서 함수 y=f(x)의 그래프는 그림 과 같다. 풀이 참조. 4.. 함수 f는 항등함수이므로 f(1)=1. 또, 함수 g는 상수함수이고 g(2)=k라 하면 f(1)+g(2)=1+k=3이므로 k=2 따라서 f(3)+g(3)=3+2=5 5. 5. . 14. (g½f)(x)=g( f(x))=g(2x+1) =(2x+1)Û`-(2x+1)+3=4xÛ`+2x+3. 올림포스•수학 (하). (하) 해 01-40 올림기본-오3.indd 14. 2017-11-01 오전 10:49:27.
(15) =4{x+;4!;}2`+:Á4Á:. . 01 ① f(-1)=0, f(0)=1, f(1)=2. 따라서 함수 (g½f)(x)의 최솟값은 x=-;4!;일 때 :Á4:Á 이다. :Á4Á:. 6.. 에서 0²Y이므로 함수가 아니다. ② f(-1)=1, f(0)=0, f(1)=1 에서 0²Y이므로 함수가 아니다. ③ f(-1)=1, f(0)=0, f(1)=1 에서 0²Y이므로 함수가 아니다.. ( f½(g½h))(2)=(( f½g)½h)(2). ④ f(-1)=-1, f(0)=0, f(1)=1. =( f½g)(h(2)). 에서 -1²Y, 0²Y이므로 함수가 아니다.. =( f½g)(4). ⑤ f(-1)=2, f(0)=2, f(1)=4이므로 함수이다.. =4Û`+3_4-1=27. ⑤. 27. 02 2를 3으로 나눈 나머지는 2, 3을 3으로 나눈 나머지는 0,. 7. f(x)=2x+a에서 y=2x+a라 하면 2x=y-a, x=. 4를 3으로 나눈 나머지는 1, 5를 3으로 나눈 나머지는 2이므로. y-a 2. x, y를 서로 바꾸면 y=. f(2)+f(3)+f(4)+f(5)=2+0+1+2=5 ⑤. x-a =;2!;x-;2A;이므로 2. f -1(x)=;2!;x-;2A;. 03 y=xÛ`-2x+a=(x-1)Û`+a-1. 즉, b=;2!;, -;2A;=2에서 a=-4이므로. {y|a-1ÉyÉa+3}이다.. 이고 정의역이 {x|0ÉxÉ3}이므로 치역은 즉, a-1=-1, b=a+3이므로 a=0, b=3. ab=-2 -2. 따라서 a+b=3 3. 8.. 함수 f(x)=;2!;x+3의 그래. 프와 그 역함수 y=f -1(x)의 그래 프는 직선 y=x와 한 점에서 만나 므로. y. y=x 1 y=-x+3 2. 3. x. O. 04 f(xy)=f(x)+f(y)+1에서 x=y=1을 대입하면 f(1)=f(1)+f(1)+1, f(1)=-1. y=f`ÑÚ`(x). x=y=-1을 대입하면. ;2!;x+3=x, ;2!;x=3, x=6. f(1)=f(-1)+f(-1)+1, f(-1)=-1 따라서 f(-1)+f(1)=-1+(-1)=-2. 즉, 점 (6, 6)에서 만나므로. -2. a+b=6+6=12 12. 05 ㄱ. f(-2)=-2, g(-2)=2에서 f(-2)+g(-2)이 므로 f+g이다.. 유형 확인. 01 ⑤ 06 7 11 ④ 16 ② 20 ④. 02 ⑤ 07 ㄱ, ㄷ 12 3 17 -1 21 ⑤. 본문 41~43쪽. 03 3 08 ④ 13 20 18 12 22 ①. 04 -2 05 ② 09 29 10 4 14 ① 15 ④ 19 풀이 참조. ㄴ. f(-2)=|-2|=2, g(-2)=. (-2)Û` =2 2. f(0)=0, g(0)=0 f(2)=2, g(2)=. 2Û` =2 2. 따라서 f=g이다. ㄷ. f(-2)=-|-2|+2=0, g(-2)=-(-2)Û`+2=-2. 정답과 풀이. (하) 해 01-40 올림기본-오3.indd 15. 15. 2017-11-01 오전 10:49:27.
(16) 정답과 풀이 에서 f(-2)+g(-2)이므로 f+g이다.. 따라서 a+b+c=24+1+4=29. 따라서 f=g인 것은 ㄴ이다.. 29 ②. 06 f(x)=g(x)이어야 하므로 xÜ`=x, x(x-1)(x+1)=0. 10 f(-1)=2, ( f½f)(2)=f( f(2))= f(-1)=2이므로 f(-1)+( f½f)(2)=2+2=4 4. x=-1 또는 x=0 또는 x=1 즉, 집합 X의 원소는 -1 또는 0 또는 1로 이루어진 집합이므 로 집합 X의 개수는 2Ü`-1=7 7. 07 ㄱ. 직선 x=a(a는 실수)와 함수의 그래프는 단 한 점에. 11 ( f½f)(x)=f( f(x))=f(x+a)=(x+a)+a =x+2a=x+8 즉, a=4이므로 f(x)=x+4이다. 따라서 f(10)=10+4=14 ④. 서 만나므로 함수의 그래프이다. ㄴ. 오른쪽 그림과 같이 직선 x=a와 함수. y. 12 ( f½h)(x)=f(h(x)). 의 그래프가 두 점에서 만나는 경우가 있으므로 함수의 그래프가 아니다.. x. O. ㄷ. 직선 x=a(a는 실수)와 함수의 그래프. =2h(x)-5=2xÛ`-2x-3 에서 h(x)=xÛ`-x+1 따라서 h(2)=2Û`-2+1=3. x=a. 는 단 한 점에서 만나므로 함수의 그래. 3. 프이다. ㄹ. 오른쪽 그림과 같이 직선 x=a와 함수. 13 f(1)=4이고 함수 f의 치역의 원소의 합이 15이므로. y. 의 그래프가 두 점에서 만나는 경우가 있 으므로 함수의 그래프가 아니다.. f(2)=5, f(3)=6 또는 f(2)=6, f(3)=5 x. O. 따라서 함수의 그래프인 것은 ㄱ, ㄷ이다.. 또한 함수 g의 치역의 원소의 합이 14이므로 g(4)=g(5)=g(6)=14. x=a. ㄱ, ㄷ. 따라서 f(2)+(g½f)(3)의 값이 최대가 되기 위해서는 f(2)=6, f(3)=5일 때이다.. 08 ㄱ. 서로 다른 두 실수 xÁ, xª에 대하여. f(2)+(g½f)(3)=f(2)+g( f(3)) É6+14=20. f(xÁ)-f(xª)=(xÁ-2)-(xª-2)=xÁ-xª+0. 20. 즉, f(xÁ)+f(xª)이므로 일대일대응이다. ㄴ. g(-1)=g(1)=1이므로 일대일대응이 아니다. ㄷ. h(x)=x|x|=à. -xÛ` (x<0). `xÛ` (x¾0). y. 14 ( f½(g½h))(x)=(( f½g)½h)(x)=( f½g)(h(x)) y=h(x) y=a. 이므로 함수 y=h(x)의 그래프는 오 른쪽 그림과 같다.. O. =h(x)+1=2x+4 따라서 h(x)=2x+3이므로 h(4)=2_4+3=11 ①. x. 즉, 직선 y=a(a는 실수)와 함수 y=h(x)의 그래프는 한 점에서만 만나므로 함수 h(x)는 일대일대응이다.. 15 f {;2!;}=f {;2!;}=-;2!; 1. f Û`{;2!;}=f {f {;2!;}}=f {-;2!;}=;2!;. 따라서 일대일대응인 것은 ㄱ, ㄷ이다. ④. f Ü`{;2!;}=f Û`{f {;2!;}}=f Û`{-;2!;}=f {f {-;2!;}} =f {;2!;}=-;2!;. 09 n(X)=4이므로 a=4_3_2_1=24, b=1, c=4. 16. . 올림포스•수학 (하). (하) 해 01-40 올림기본-오3.indd 16. 2017-11-01 오전 10:49:28.
(17) 따라서 자연수 k에 대하여 f 2k{;2!;}=;2!;, f 2k-1{;2!;}=-;2!;이. ㉠에서 aÛ`=1이므로 a=-1 또는 a=1. 므로 f {;2!;}=;2!;. a=1을 ㉡에 대입하면 b=0이다.. 10. a=-1을 ㉡에 대입하면 b는 임의의 상수이다. 풀이 참조. ④. 16 함수 f(x)=ax+3의 그래프가 점 (-1, 2)를 지나므로 f(-1)=-a+3=2 즉, a=1이다.. 20 (g½f). -1. (2)=a라 하면 (g½f)(a)=2이므로. g( f(a))=g(a+1)=2 그런데 g(x)=à. -1. 또, 역함수 y=f (x)의 그래프가 점 (b, 3)을 지나므로. x (x<0) xÛ` (x¾0). 이므로. f -1(b)=3에서 f(3)=b이다. 즉,. a+1¾0이고 (a+1)Û`=2. b=f(3)=3a+3=3_1+3=6. 따라서 a+1='2이므로 a='2-1. 따라서 a+b=1+6=7. 즉, (g½f)-1(2)='2-1이다. ②. ( f -1½g -1)(-2)=(g½f)-1(-2)=b라 하면 (g½f)(b)=g( f(b))=g(b+1)=-2. 17 f(x+2)=2x+a에서 x+2=t라 하면. 그런데 g(x)=à. f(t)=2(t-2)+a=2t+a-4. x (x<0) xÛ` (x¾0). 이므로. 이므로 f(x)=2x+a-4. b+1<0이고 g(b+1)=b+1=-2. 이때 y=2x+a-4라 하면. 따라서 b=-3이므로. 2x=y-a+4, x=;2!;y-;2!;a+2. ( f -1½g -1)(-2)=-3 그러므로. x, y를 서로 바꾸면 y=;2!;x-;2!;a+2. (g½f)-1(2)+( f -1½g -1)(-2)=('2-1)+(-3) ='2-4. 즉, f -1(x)=;2!;x-;2!;a+2이므로 b=;2!;, -;2!;a+2=3 따라서 a=-2, b=;2!;이므로 ab=-2_;2!;=-1 -1. ④. 21 함수 y=f(x)의 그래프와 그. y. -1. 18 f . 역함수 y=f (x)의 그래프는 직. -1. (3)=a라 하면 f(a)=3이므로 a=2. 선 y=x에 대하여 대칭이므로 오른. -1. g (5)=b라 하면 g(b)=5이므로 b=5. 쪽 그림과 같다.. ( f½g)(2)=f(g(2))=f(4)=5. 따라서 -2ÉxÉ2에서 . 따라서. 0Éf -1(x)É2이므로 최댓값과 최. -1. -1. f (3)+g (5)+( f½g)(2)=2+5+5. y=f`ÑÚ`(x) -3 -2. y=x. 2 1. -1 O -1. 1. -2. 2 x y=f(x). -3. 솟값의 합은. =12. 2+0=2 12. ⑤. 19 f(x)=ax+b에서 y=ax+b이므로 x=;a!;y-;aB;. 22 함수 y=xÛ`-2x+2 (x¾1). y y=xÛ`-2x+2 y=x. x, y를 서로 바꾸면 y=;a!;x-;aB;이므로 f -1(x)=;a!;x-;aB;. 의 그래프와 역함수의 그래프는 직. 2. 즉, ax+b=;a!;x-;aB;이므로. 은 직선 y=x 위에 있으므로 교점. a=;a!; yy ㉠, b=-;aB; yy ㉡. 선 y=x에 대하여 대칭이고 교점 의 x좌표는. Q. y=f`ÑÚ`(x). P. 1 O. 1. 2. x. xÛ`-2x+2=x, xÛ`-3x+2=0. 정답과 풀이. (하) 해 01-40 올림기본-오3.indd 17. 17. 2017-11-01 오전 10:49:28.
(18) 정답과 풀이 (x-1)(x-2)=0. h(x)=-;2!;x+5. 따라서 x=1 또는 x=2이므로 P(1, 1), Q(2, 2)라 하면. PQÓ="Ã(2-1)Û`+(2-1)Û`='2. 연습장. 서술형 01 -:Á2¦:. 단계. ①. 본문 44쪽. =2[{;2T;+1}2`-3{;2T;+1}-2]-1. yy ➊. =;2!;tÛ`-t-9=;2!;(t-1)Û`-:Á2»:. 50`%. ➌. h(x)를 구한 경우. 30`%. 다른풀이. (h½f )(x)=h( f(x))=g(x). h(t)=-. t-4 이므로 2. t-4 +3=-;2!;t+5 2. a+b=1+{-:Á2»:}=-:Á2¦:. 채점 기준. yy ➋. 채점 기준. 비율. yy ➌ -:Á2¦:. ➋. 역함수가 존재할 때 x의 값의 범위를 구한 경우. 40`%. ➌. 역함수가 존재할 때 f(x)의 최솟값을 구한 경우. 20`%. ➍. ab의 최솟값을 구한 경우. 20`%. 비율. g(t)=;2!;(t-1)Û`-:Á2»:를 구한 경우. 30`%. ➌. a+b의 값을 구한 경우. 50`%. yy ➊. f(x)=2x+4에서 y=2x+4라 하면 x=;2!;y-2. 내신. +. 01 7. 수능. 고난도 문항. 02 ②. 본문 45쪽. 03 ⑤. 01 f(x)=4x-3+|ax+a|=4x-3+|a||x+1|. x, y를 서로 바꾸면 y=;2!;x-2. Ú xÉ-1일 때 yy ➋. h(x)=(g½f )(x)=g( f (x))=g {;2!;x-2}. f(x)=4x-3+|a||x+1|=4x-3-|a|(x+1) =(4-|a|)x-|a|-3 Û x>-1일 때. -1. =-{;2!;x-2}+3=-;2!;x+5. 단계. 20`%. ➋. 즉, f -1(x)=;2!;x-2이므로. 8 f(x)=(x-2)Û`+4를 구한 경우. 20`%. 이다.. yy ➍. 2_4=8 . ➊. g(t)를 구한 경우. -1. yy ➊. 따라서 a=2, b=4일 때, ab의 최솟값은. ➊. 02 h½f=g에서 h=g½f . 03 f(x)=xÛ`-4x+8=(x-2)Û`+4. 이때 함수 f(x)의 최솟값은 4이므로 f(x)¾4이다. yy ➌. 따라서 함수 g(x)의 최솟값은 t=1, 즉 x=1일 때 -:Á2:» 이므로. 18. f ÑÚ`(x)를 구한 경우. 이므로 x¾2일 때 함수 f(x)의 역함수가 존재한다. yy ➋. tÛ` +t+1-;2#;t-5}-1 4. -1. ➋. 따라서 h(x)=-;2!;x+5. g(t)=2f {;2T;+1}-1. 단계. 20`%. 2x+4=t라 하면 x=. t+1 이므로 2. =2{. 비율. h=g½f ÑÚ`를 구한 경우. h(2x+4)=-x+3. 02 h(x)=-;2!;x+5 03 8. 01 g(2x-1)=2f {x+;2!;}-1에서 2x-1=t라 하면 x=. 채점 기준. ➊. yy ➌. f(x)=4x-3+|a||x+1|=4x-3+|a|(x+1) =(4+|a|)x+|a|-3. 올림포스•수학 (하). (하) 해 01-40 올림기본-오3.indd 18. 2017-11-01 오전 10:49:28.
(19) Ⅴ. 함수와 그래프. Ú, Û에 의하여 함수 f(x)의 역함수가 존재하기 위해서는 기 울기의 부호가 서로 같아야 하므로 (4-|a|)(4+|a|)>0 이때 4+|a|>0이므로. 13. 4-|a|>0, |a|<4. 기본 유형 익히기. 즉, -4<a<4이므로 정수 a의 개수는 -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3의 7이다. 7 ( x+1 (0Éx<1) \ `2 (1Éx<2) g(x)= { 이므로 \ 2x-2 (2Éx<3) (x¾3) 9 `4. 유리함수와 무리함수. 1.. 1. (x+1)(x+2). 5. 'Äx+2 6. ;3*;. 본문 50~53쪽. 유제. 2. 3'5. 3. 80. 4. 3. 7. -18 8. 7. x+2 x+1 xÛ`+3x+2 _ Ö x+1 x-3 xÛ`-x-6 (x+1)(x+2) x+2 x+1 = _ Ö x-3 x+1 (x-3)(x+2). 1.. 02. (g½g){;2%;}=g {g {;2%;}}=g(3)=4. ( f½f)-1(1)=a라 하면 ( f½f)(a)=1이므로 f( f(a))=1 f(2)=1에서 f(a)=2이므로 a=3. =. x-3 x+2 x+1 _ _ x+1 (x+1)(x+2) (x-3)(x+2). =. 1 (x+1)(x+2). 따라서. . (g½g){;2%;}+( f½f)-1(1)=4+3=7 ②. 03 박테리아의 수가 1190마리일 때의 온도는. 2.. 1 (x+1)(x+2). 유리함수 y=;[A;의 그래프가 점 A(2, 2)를 지나므로. 2=;2A;, a=4. 10xÛ`-20x+200=1190. 또한 유리함수 y=;[$;의 그래프가 점 B(-1, b)를 지나므로. xÛ`-2x-99=0, (x-11)(x+9)=0 1ÉxÉ21에서 x=11이므로 x=11일 때의 시간은. 4 =-4 -1. b=. 2t+1=11, t=5 즉, 박테리아의 수가 1190마리였을 때는 실험이 시작된 후 5시 간이 지났을 때이다.. 따라서. ABÓ="Ã(-Ã1-2Ã)Û`+Ã(-4Ã-2)Û` ='Ä9+36='45=3'5. ⑤. 3'5. 3.. 유리함수 y=;[K;의 그래프를 x축의 방향으로 2만큼, y축. 의 방향으로 -1만큼 평행이동시키면 y=. k -1 x-2. 이 함수의 그래프가 점 (0, 0)을 지나므로 k -1, k=-2 0-2 -2 또한 유리함수 y= -1의 그래프가 점 (a, -4)를 지나므로 x-2 -2 -2 , -3a+6=-2 -4= -1, -3= a-2 a-2 0=. 정답과 풀이. (하) 해 01-40 올림기본-오3.indd 19. 19. 2017-11-01 오전 10:49:28.
(20) 정답과 풀이. 7.. 따라서 a=;3*;이므로. 무리함수 y='Ä-2x+1의 그래프를 x축의 방향으로 -2. 만큼, y축의 방향으로 3만큼 평행이동하면. 30a=30_;3*;=80. y='Ä-2(x+2)+1+3 80. yy ㉠. y='Ä-2x-3+3 ㉠의 그래프를 x축에 대하여 대칭이동하면. 4.. y=. -y='Ä-2x-3+3. 3x+2 에서 x-a. y=-'Ä-2x-3-3. yx-ya=3x+2, (y-3)x=ya+2. 따라서 a=-2, b=-3, c=-3이므로. ay+2 x= y-3. abc=-18. 이때 x, y를 서로 바꾸면 y= f -1(x)=. ax+2 이므로 구하는 역함수는 x-3. ax+2 이다. x-3. -18. 8.. y=f(x)로 놓으면 y='Ä2x-4-3 (y¾-3)에서. y+3='Ä2x-4. 따라서 f(x)=f -1(x)이려면 a=3이다. 3 다른풀이. 함수 y=f(x)의 점근선의 방정식은 x=a, y=3이므로 함수. 양변을 제곱하여 정리하면 (y+3)Û`=2x-4 x=;2!;(y+3)Û`+2. y=f ÑÚ`(x)의 점근선의 방정식은 x=3, y=a이다.. x, y를 서로 바꾸면. 이때 f(x)=f ÑÚ`(x)이므로 a=3이다.. y=;2!;(x+3)Û`+2. 5.. 'Äx+2+'x 'Äx+2+'x 1 = = 2 ('Äx+2)Û`-('x)Û` 'Äx+2-'x. 'Äx+2-'x 'Äx+2-'x 1 = = 2 ('Äx+2)Û`-('x)Û` 'Äx+2+'x. 즉, f -1(x)=;2!;(x+3)Û`+2 (x¾-3)이므로 f -1(-1)=;2!;(-1+3)Û`+2=4 이고 f(20)='Ä2_20-4-3=6-3=3이므로 f(20)+f -1(-1)=3+4=7. 따라서. 7. 'Äx+2+'x 'Äx+2-'x 1 1 + + = 2 2 'Äx+2-'x 'Äx+2+'x. . 6.. ='Äx+2. 'Äx+2. 무리함수 f(x)='¶ax의 그래프가 점 (-3, 2)를 지나므로. f(-3)='Ä-3a=2. 유형 확인. -3a=4, a=-;3$;. 01 ⑤. 따라서 f(4a)='Äa_4a="4aÛ` =|2a|=|2_{-;3$;}| =|-;3*;|=;3*; ;3*;. 20. 02 ①. 본문 54~57쪽. 03 ①. 04 ④. 05 3. 06 최댓값: ;4!;, 최솟값: -2. 07 ④. 08 ④. 09 ④. 10 ①. 11 ②. 12 ①. 13 ⑤. 14 -2+. 215x+1. x. 15 ③. 16 ②. 17 ④. 18 15 23 ①. 19 ③ 24 22. 20 ②. 21 ⑤. 22 ②. 올림포스•수학 (하). (하) 해 01-40 올림기본-오3.indd 20. 2017-11-01 오전 10:49:29.
(21) 01. xÛ`+3x+1 1 xÛ`+2x-3 x x+1 x-1. 가 만나는 두 점 사이의 거리이다. 즉, ;[@;=x에서. 1 1 (x+3)(x-1) x x+1 x-1 1 1 x+1-x 1 = = = x x+1 x(x+1) x(x+1) =x+3+. xÛ`=2, x=Ñ'2 따라서 ABÓ의 값이 최소가 되는 두 점 A, B의 좌표는 각각 ⑤. a. bx-1. 02 x-1 + xÛ`+x+1 =. a(xÛ`+x+1)+(bx-1)(x-1) (x-1)(xÛ`+x+1). =. (a+b)xÛ`+(a-b-1)x+(a+1) xÜ`-1. =. x+2 xÜ`-1. ('2, '2), (-'2, -'2)이므로 구하는 최솟값은 Á°(12+12)Û`+(12+12)Û`='Ä8+8='16=4. ④. 05 점근선의 방정식이 x=-1, y=2이므로 p=-1, q=2` k +2의 그래프가 점 (1, 3)을 지나므로 x+1 k k 3= +2, 1= , k=2 1+1 2 유리함수 y=. 항등식의 성질에 의해 a+b=0, a-b-1=1, a+1=2이므로. 따라서. a=1, b=-1. p+q+k=-1+2+2=3. 따라서 aÛ`+bÛ`=2. 3 ① x-1. 06 y= x+2 =. 03 유리함수 y=;[A;의 그래프가 점 {;2!;, 4}를 지나므로 4=. a ;2!;. . , a=2. 즉, 유리함수 y=. 가하면 y의 값은 감소한다. 따라서 x=;3!;일 때 최댓값. y. 1 8. 3 2 O. 1 2_;3!;. =;2#;,. 1 3. 4. x. x-1 은 x=2일 때 최댓 x+2 2-1 -1-1 값 =;4!;, x=-1일 때 최솟값 =-2를 갖는다. 2+2 -1+2 최댓값: ;4!;, 최솟값: -2 2(x-1)+1 2x-1 = x-1 x-1 1 = +2 x-1. 07 y= . ①. 의 그래프는 오른쪽 그림과 같다. ㄱ. 점근선의 방정식은 x=1, y=2이. 04 유리함수 y=;[@;의 역함수는 자기 자신이므로 이 함수의 그래프는 직선. 유리함수 y= ;[@;의 그래프와 직선 y=x. 1 1 4 -1 -2 O 2x -2. 따라서 -1ÉxÉ2에서 유리함수 y=. 합은 ;2#;+;8!;=;;Á8£;;. 두 점 A, B에 대하여 ABÓ의 최솟값은. -3 +1 x+2. 는 오른쪽 그림과 같다. 1 y= 2x. 1 x=4일 때 최솟값 =;8!;을 가지므로 최댓값과 최솟값의 2_4. y=x에 대하여 대칭이다.. x-1` y=---x+2`. x-1 이므로 유리함수 y= 의 그래프 x+2. 1 의 그래프는 오른쪽 2x. 그림과 같이 ;3!;ÉxÉ4에서 x의 값이 증. =. y. (x+2)-3 x+2. -'2. y. y=x. '2. 2 y= x O '2 -'2. x. y. y=x+1 y=. 2 1 O. 1. x. 다. (거짓) ㄴ. 유리함수 y=. 2x-1 의 그래프는 직선 y=x+1에 대하여 x-1. 대칭이다. (참) ㄷ. 유리함수 y=. 2x-1 의 그래프는 제 1, 2, 4사분면을 지나 x-1. 정답과 풀이. (하) 해 01-40 올림기본-오3.indd 21. 2x-1 x-1. 21. 2017-11-01 오전 10:49:29.
(22) 정답과 풀이 고, 제 3사분면은 지나지 않는다. (참) . ①. 따라서 옳은 것은 ㄴ, ㄷ이다. ④. 08 주어진 함수의 그래프의 점근선의 방정식이 x=1, y=2 이므로 주어진 함수를 y=. k +2 x-1. yy ㉠. 로 놓으면 ㉠의 그래프가 점 (0, 3)을 지나므로 3=. 4x+1 에서 yx+2y=4x+1 x+2 -2y+1 (y-4)x=-2y+1, x= y-4 -2x+1 x, y를 서로 바꾸면 y= x-4 -2x+1 f -1(x)의 역함수 f(x)는 f(x)= 이므로 주어진 함 x-4. 11 y=f . -1. (x)라 하면 y=. 수 f(x)와 계수를 비교하면. k +2, 3=-k+2, k=-1 0-1. a=-2, b=1, c=-4. k=-1을 ㉠에 대입하면. 따라서. -1 -1+2x-2 2x-3 y= +2= = x-1 x-1 x-1. a+b+c=-2+1+(-4)=-5 ②. 따라서 a=2, b=-3, c=-1이므로 abc=6. ax+1. ④. 12 y= 3x+b . yy ㉠. 의 그래프가 직선 y=x에 대하여 대칭이므로 이 함수의 그래프. 09 g(x)=t라 하면. 는 역함수의 그래프와 일치한다.. ( f½g)(x)=f(g(x))=f(t) =. ㉠의 역함수를 구하면 y=. 2t+1 =x+1 t-2. ax+1 에서 3x+b. 3yx+by=ax+1, (3y-a)x=-by+1 -by+1 3y-a. 2t+1=(x+1)(t-2)=xt-2x+t-2. x=. (x-1)t=2x+3. -bx+1 3x-a -bx+1 즉, ㉠의 역함수는 y= 이므로 이것이 ㉠과 일치하려면 3x-a x, y를 서로 바꾸면 y=. 2x+3 따라서 g(x)=t= 이므로 x-1 4+3 g(2)= =7 2-1 ④ 다른풀이. ( f½g)(2)=f(g(2))=2+1=3. a=-b 따라서 a와 b의 관계식은 a+b=0. 2t+1 g(2)=t라 하면 f(t)= =3 t-2. ①. 2t+1=3(t-2)=3t-6, t=7. ax+2. 13 유리함수 y= -x+b 의 역함수의 그래프가 두 직선. 따라서 g(2)=7. x=-2, y=3과 만나지 않으므로 유리함수 y= k. 10 유리함수 y= x+1 +2의 그래 프의 점근선의 방정식은 x=-1, y=2. y k y= +2 x+1 2. 이고, 이 그래프가 모든 사분면을 지나 기 위해서는 오른쪽 그림과 같이 x=0 일 때의 함숫값이 음수이어야 한다. k +2<0, k+2<0 0+1 따라서 k<-2. 22. -1 O. x. ax+2 의그 -x+b. 래프의 점근선은 두 직선 x=3, y=-2이다. -a(-x+b)+ab+2 ax+2 y= = -x+b -x+b ab+2 = -a -x+b ax+2 이므로 유리함수 y= 의 그래프의 점근선은 두 직선 -x+b x=b, y=-a이다. 따라서 a=2, b=3이므로. 올림포스•수학 (하). (하) 해 01-40 올림기본-오3.indd 22. 2017-11-01 오전 10:49:29.
(23) a+b=5 ⑤. 17 ① -2x¾0에서 xÉ0이므로 정의역은 {x|xÉ0}이다. ② -'Ä-2xÉ0이므로 -'Ä-2x+1É1 따라서 치역은 {y|yÉ1}이다. ③ y =-'Ä-2x+1의 그래프는 오른. 14 각각 분모를 유리화하면. 쪽 그림과 같다.. x+1 (x+1)(1-'Äx+1) = 1+'Äx+1 (1+'Äx+1)(1-'Äx+1). 1 x. O. 따라서 그래프는 제4사분면을 지나. y=-14-2x+1. 지 않는다.. (x+1)-(x+1)'Äx+1 =x. ④ y=-'Ä-2x+1의 그래프를 x축에 대하여 대칭이동시키면 -y=-'Ä-2x+1, 즉 y='Ä-2x-1의 그래프와 일치한다.. x-1 (x-1)(1+'Äx+1) = 1-'Äx+1 (1-'Äx+1)(1+'Äx+1). ⑤ y=-'Ä-2x+1에서 y-1=-15-2x, (y-1)Û`=-2x. (x-1)+(x-1)'Äx+1 =x. x=-;2!;(y-1)Û`. 따라서. x, y를 서로 바꾸면 y=-;2!;(x-1)Û`. x+1 x-1 + 1+'Äx+1 1-'Äx+1 (x+1)-(x+1)'Äx+1 (x-1)+(x-1)'Äx+1 =x x =-2+. y. 2'Äx+1 x 2'Äx+1 -2+ x. 따라서 구하는 역함수는 y=-;2!;(x-1)Û` (xÉ1)이다. ④. 18 -3x+a¾0에서 3xÉa이므로 xÉ;3A; 주어진 무리함수의 정의역이 {x|xÉ2}이므로 ;3A;=2, a=6. 'x+1. 'x-1. 따라서 주어진 무리함수는 y='Ä-3x+6+;2%;이고,. ('x+1)Û`+('x-1)Û` ('x-1)('x+1) x+2'x+1+x-2'x+1 = x-1. 15 'x-1 + 'x+1 = . =. '¶-3x+6¾0이므로 치역은 {y|y¾b}에서 b=;2%; 그러므로 ab=6_;2%;=15. 2(x+1) x-1. 15 ③. 19 y='Ä3-x-2='Ä-(x-3)-2에서 ㄱ. 3-x¾0이므로 xÉ3. 16 ㄱ. 3x¾0이므로 x¾0, y¾0이다.. 'Ä3-x¾0이므로 y='Ä3-x-2¾-2. 즉, 정의역은 {x|x¾0}, 치역은 {y|y¾0}이다. (참) ㄴ. y=-'Ä - 3x를 변형하면 -y=!% 3 (-x)이므로 함수 y=13x의 그래프는 y=-'Ä-3x의 그래프와 원점에 대하 여 대칭이다. (참). 따라서 정의역은 {x|xÉ3}, 치역은 {y|y¾-2}이다. (참) ㄴ. 주어진 함수의 그래프는 무리함수 y='¶-x 의 그래프를 x 축의 방향으로 3만큼, y축의 방향으로 -2만큼 평행이동한 것이다. (참). ㄷ. [반례] a=12, b=3일 때,. ㄷ. ㄴ에 의해 무리함수 . '¶3a-'¶3b='¶36-'9=6-3=3,. y='Ä3-x-2의 그래프는 그림. a-b=12-3=9이므로. 과 같고 제 1사분면을 지나지 않. '¶3a-'¶3b<a-b (거짓). 는다. (거짓). 따라서 옳은 것은 ㄱ, ㄴ이다. ②. y y='34-3x-2 O '3-2. x. -2. 따라서 옳은 것은 ㄱ, ㄴ이다. ③. 정답과 풀이. (하) 해 01-40 올림기본-오3.indd 23. 3. 23. 2017-11-01 오전 10:49:30.
(24) 정답과 풀이. 20 y=-'Ä2x+a+4`. y y=-152x34+2a+4. 4. =-¾¨2{x+;2A;}+4. . 이므로 주어진 함수의 그래프는 무리. O. -. 함수 y=-'¶2x의 그래프를 x축의. x. a 2. 즉, f -1(x)=;2!;(x-2)Û`-;2A; (x¾2)이고 f(x)의 역함수 y= f -1(x)의 그래프가 점 (5, 3)을 지나므로. 방향으로 - ;2A;만큼, y축의 방향으로 4만큼 평행이동한 것이다.. f -1(5)=;2!;(5-2)Û`-;2A;=3 9-a=6 따라서 a=3. 그런데 x=-;2A;일 때 최댓값 4를 가지므로 -;2A;=1에서. ②. a=-2이고 M=4이다.. 다른풀이. 따라서 a_M=-8 ②. 21 곡선 y='Ä4-2x 와 직선 y=-x+k를 좌표평면 위에 나타. y=;2!;(x-2)Û`-;2A;. 'Ä6+a=3. y=-x+k 2. 양변을 제곱하면 6+a=9. 내면 오른쪽 그림과 같다. 곡선과 직선이 두 점에서 만나려면. 로 역함수의 성질에 의해 f(3)=5이다. 즉, f(3)='Ä6+a+2=5. y y=154-23x. f(x)='Ä2x+a+2의 역함수의 그래프가 점 (5, 3)을 지나므. 2. O. x. 따라서 a=3이다.. 직선이 그림에서의 두 직선과 평행하면서 어두운 부분에 있어야 한다.. 23 y=f . -1. Ú 직선 y=-x+k가 점 (2, 0)을 지날 때 0=-2+k. x='Äy+4+3. k=2. x, y를 서로 바꾸면. Û 곡선 y='Ä4-2x 와 직선 y=-x+k가 접하는 경우. y='Äx+4+3. 'Ä4-2x =-x+k. 즉, f(x)='Äx+4+3이고 a=4, b=3이므로. 양변을 제곱하여 정리하면. xÛ`-2(k-1)x+kÛ`-4=0 . (x)로 놓으면 y=xÛ`-6x+5 (x¾3)에서. y=(x-3)Û`-4, y+4=(x-3)Û`. yy ㉠. f -1(a+b)=f -1(7) =7Û`-6_7+5=12. 이차방정식 ㉠의 판별식을 D라 하면. ①. D =(k-1)Û`-(kÛ`-4)=0 4 kÛ`-2k+1-kÛ`+4=0. 24 두 함수의 그래프가 점 (1, 4)에서 만나므로. -2k+5=0, k=;2%;. f(1)=4에서 'Äa+b=4. Ú, Û에서 곡선과 직선이 서로 다른 두 점에서 만나도록 하는. a+b=16. 실수 k의 값의 범위는. g(1)=4에서 역함수의 성질에 의하여 f(4)=1이므로 'Ä4a+b=1. 2Ék<;2%; ⑤. 22 y=f(x)로 놓으면 y='Ä2x+a+2 (y¾2)에서 (y-2)Û`=2x+a x=;2!;(y-2)Û`-;2A; x, y를 서로 바꾸면. 24. yy ㉠. yy ㉡. 4a+b=1. ㉠, ㉡을 연립하여 풀면 a=-5, b=21 따라서 f(x)='Ä-5x+21이고 f(-3)='¶36 =6이므로 a+b+f(-3)=-5+21+6 =22 22. 올림포스•수학 (하). (하) 해 01-40 올림기본-오3.indd 24. 2017-11-01 오전 10:49:30.
(25) 서술형 01 -;2#;. 연습장. 본문 58쪽. 02 5. x=a, y=b를 y='Äx+2+4에 대입하면 b='Äa+2+4 b-4='Äa+2. 03 4. 양변을 제곱하여 정리하면 (b-4)Û`=a+2, bÛ`-8b+16=a+2. 4x+a 4(x-1)+a+4 a+4 y= = = +4 yy ➊ x-1 x-1 x-1. 01. 의 그래프를 평행이동하여 y=. 5 의 그래프와 일치하도록 하 2x. bÛ`-8b-a+14=0. yy ㉡. ㉠, ㉡에서 aÛ`-9a+14=0. yy ➋. 따라서. 려면 a+4=;2%;. yy ➋. 따라서 a=-;2#; . yy ➌ -;2#;. 단계. 채점 기준 k +q 꼴로 바꾼 경우 x-p. 4 단계. 50`%. ➋. 점 (a, b)를 f(x)='Äx+2+4에 대입하여 a에 관한 관계식을 만든 경우. 50`%. ➌. (a-3)(b-6)의 값을 구한 경우. 30`%. 두 그래프가 일치하기 위한 조건을 구한 경우. 30`%. a의 값을 구한 경우. 20`%. yy ➊. 주어진 함수의 그래프는 점근선 x=3, y=2의 교점 (3, 2)를. 내신. 지나고 기울기가 1 또는 -1인 직선에 대하여 대칭이므로 직선 yy ➋. y=-x+k에 x=3, y=2를 대입하면 2=-3+k yy ➌ 5 단계. 채점 기준. 비율. k +q 꼴로 바꾼 경우 x-p. ➊. y=. ➋. 직선 y=-x+k가 점 (3, 2)를 지나는 이유 를 밝힌 경우. 50`%. ➌. k의 값을 구한 경우. 20`%. 30`%. 03 두 함수 y=f(x)와 y=g(x)의 그래프가 만나는 점은 함 수 y=f(x)의 그래프와 직선 y=x의 교점과 같으므로 점 (a, b)는 직선 y=x 위의 점이다. 즉, yy ㉠ yy ➊. +. 01 ②. 수능. 02 2. 고난도 문항. 03 ③. 본문 59쪽. 04 ②. 01 직사각형 OAPB의 네 변의 길이의 합을 l이라 하면 l=2(a+b) 점 P(a, b)가 유리함수 y= b=. 5 +3의 그래프 위의 점이므로 x-2. 5 +3 a-2. a>2이므로 산술평균과 기하평균의 관계에 의해 l=2{a+. 5 +3} a-2. =2{a-2+. a=b. 비율 20`%. ➌. 따라서 k=5. 채점 기준 a=b임을 보인 경우. ➋. y=-x+k는 점 (3, 2)를 지난다.. yy ➌. =0+4=4. ➊. y=. 2(x-3)+7 2x+1 7 = = +2 x-3 x-3 x-3. =(aÛ`-9a+14)+4. 비율. ➊. 02 y=. (a-3)(b-6)=ab-6a-3b+18. 5 +5} a-2. ¾2[2¾¨(a-2)_. 5 +5] a-2. =4'5+10 {단, 등호는 a-2=. 5 , 즉 a=2+'5일 때 성립한다.} a-2. 정답과 풀이. (하) 해 01-40 올림기본-오3.indd 25. 25. 2017-11-01 오전 10:49:30.
(26) 정답과 풀이 따라서 l의 값은 a=2+'5, b=3+'5일 때, 최솟값을 가지므. 따라서 구하는 실수 n의 최솟값은 2이다.. 로 a+b=5+2'5 ②. 03 무리함수 y=2'x+3의 그래프를 x축의 방향으로 a만큼 평행이동시키면 y=2'Äx-a+3이므로 f(x)=2'Äx-a+3. x+2 (x+1)+1 y= = x+1 x+1 1 = +1 x+1. 02. 이므로 이 함수의 그래프는 오른쪽 그 림과 같고, 이 그래프는 점 (0, 2)를. 두 함수 y=f(x)와 y=f -1(x)의 그래프가 접하기 위한 필요 x+2` y y=---x+1`. 2. y=mx+n. 충분조건은 함수 y=f(x)의 그래프와 직선 y=x가 접하는 것 이다. 즉, 2'Ä x-a+3=x에서 2'Ä x-a=x-3의 양변을 제곱하여. 1 O. x. -1. 정리하면 4(x-a)=xÛ`-6x+9. 지난다.. xÛ`-10x+4a+9=0. 또, 직선 y=mx+n의 y절편이 n¾2. 이 이차방정식의 판별식을 D라 하면. x+2 이면 기울기 m의 값에 관계없이 이 직선은 유리함수 y= x+1. D =25-(4a+9)=0, 4a=16 4. 의 그래프와 교점을 갖는다.. 따라서 a=4 y. 그러나 n<2이면 직선과 유리함수의 그래프는 만나지 않게 되는 경우가 오 른쪽 그림과 같이 반드시 생긴다. 따라서 교점을 갖도록 하는 n의 값의 범위는 n¾2이므로 구하는 실수 n의. ③ 2. -2 -1. 1 O. x+2` y=---x+1` x y=mx+n. 최솟값은 2이다. 2. 04 원 (x-2)Û`+(y-2)Û`=1은 직 선 y=x에 대하여 대칭이고, 함수. y (x-2)Û`+(y-2)Û`=1 y=x D. y=f(x)의 그래프와 역함수 . 2. -1. y=f (x)의 그래프도 직선 y=x에 대하여 대칭이므로 두 직선 AB, CD. 다른풀이. x+2 유리함수 y= 의 그래프와 직선 y=mx+n이 교점을 가 x+1 지려면 x+2 =mx+n, mxÛ`+nx+mx+n=x+2 x+1 x에 대한 이차방정식 mxÛ`+(m+n-1)x+n-2=0의 판별 식을 D라 하면. B. A C O. 따라서 직선 AB의 방정식을 y=mÁx+n이라 하면 직선 CD의 방정식은 x=mÁy+n 1 n 이다. xmÁ mÁ 1 이므로 mÁmª=1 따라서 mª= mÁ 즉, y=. ② 다른풀이. mÛ`+nÛ`+1+2mn-2n-2m-4mn+8m¾0. 두 점 A, B의 좌표를 각각 (a, b), (c, d)라 하면. mÛ`-2(n-3)m+nÛ`-2n+1¾0. 두 점 C, D의 좌표는 각각 (b, a),``(d, c)이므로. 이 부등식이 m의 값에 관계없이 항상 성립해야 하므로 m에 대 한 이차방정식 mÛ`-2(n-3)m+nÛ`-2n+1=0의 판별식을 DÁ이라 하면 DÁ =(n-3)Û`-(nÛ`-2n+1)É0 4. x. 는 서로 직선 y=x에 대하여 대칭이다.. D=(m+n-1)Û`-4m(n-2)¾0 이어야 한다.. 2. mÁ=. d-b c-a , mª= c-a d-b. 따라서 mÁmª=. d-b c-a _ =1 c-a d-b. nÛ`-6n+9-nÛ`+2n-1É0, -4nÉ-8 n¾2. 26. 올림포스•수학 (하). (하) 해 01-40 올림기본-오3.indd 26. 2017-11-01 오전 10:49:30.
(27) 대단원 종합 문제. 본문 60~63쪽. 01 ⑤ 06 ④ 11 3. 02 ① 07 ② 12 ②. 03 ③ 08 9 13 ②. 04 ① 09 ② 14 ②. 05 ③ 10 ④ 15 ④. 16 8. 17 ④. 18 ⑤. 19 0<mÉ;5!;. 20 ③. 21 2. 22 a<-1 또는 a>1 23 9. 05 유리함수 y=;[K;+1의 그래프가 점 {;3!;, 7}을 지나므로 7=. k ;3!;. +1, 6=3k. k=2 유리함수 y=;[@;+1의 그래프는 y=;[@;의 그래프를 y축의 방향 으로 1만큼 평행이동한 것이므로 ;2!;ÉxÉ4에서 x의 값이 증가 하면 y의 값은 감소한다.. 01 ① 함수 f(x)는 일차함수이다. ② 함수 f(x)는 상수함수이다.. 따라서 x=;2!;일 때 최댓값 M=5, x=4일 때 최솟값 m=;2#; . ③ 정의역 R의 임의의 원소 x에 대하여 함숫값 f(x)가 존재하. 을 가지므로. 므로 함수이다.. M+m=5+;2#;=;;Á2£;;. ④ x¾0일 때 |x|=x이므로 f(x)=xÛ`+x이고, . ③. x<0일 때 |x|=-x이므로 f(x)=-xÛ`+x이다. 따라서 정의역 R의 임의의 원소 x에 대하여 함숫값 f(x)가 존재하므로 함수이다. ⑤ x=1일 때, 분모가 0이 되어 f(1)의 값이 존재하지 않으므 로 R에서 R로의 함수가 아니다. ⑤. 02 f(-3)=f(-1)=1, f(-2)=0, f(0)=2. 06 2x-4¾0에서 x¾2,. -'Ä 2x-4É0에서 y É1이므로 무리함수 y=-'Ä2x-4+1의 그 래프는 오른쪽 그림과 같다.. y 1 O 1-'2 -1. y=-152x-24+1 2. 3. 4. x. 3ÉxÉ4에서 무리함수 y=-'Ä2x-4+1은 x=3일 때 최댓값 M=1-'2, x=4일. f(1)=3, f(2)=4. 때 최솟값 m=-1을 가지므로. 따라서 함수 f의 치역은 {0, 1, 2, 3, 4}이므로 구하는 모든 원. M-m=1-'2-(-1)=2-'2 ④. 소의 합은 0+1+2+3+4=10 ①. 07 f(1)=3이므로 ( f½f)(1)=f( f(1))=f(3)=1 마찬가지로 f(2)=4이므로. 03 f(x)=xÛ`-2x+5에서 f(2)=5이므로. ( f½f)(2)=f( f(2))=f(4)=2 이때 함수 f는 일대일함수이므로. ( f½f)(2)=f( f(2)) =f(5). f(5)=5. =25-10+5 . 따라서. =20. f(4)-f(5)=2-5=-3 ②. ③. 04 f . -1. (2)=3에서 역함수의 성질에 의해 f(3)=2이므로. f(3)=3_3+k=2. 08 f {. k=-7. 이므로. 따라서 f(x)=3x-7이므로. f(t)=. f(5)=3_5-7=8 ①. 2x+3 2x+3 5t-3 }=x+;2!;에서 =t라 하면 x= 5 5 2. 5t-3 +;2!;=;2%;t-1 2. 따라서 f(x)=;2%;x-1이므로. 정답과 풀이. (하) 해 01-40 올림기본-오3.indd 27. 27. 2017-11-01 오전 10:49:31.
(28) 정답과 풀이 f(4)=;2%;_4-1=9. 12 유리함수 y= 9. 다른풀이. ;2B;=1, b=2 또한. 2x+3 =4라 하면 x=;;Á2¦;; 5 이것을 f {. ax+b 의 그래프가 점 (0, 1)을 지나므로 x+2. ax+b ax+2 = x+2 x+2 a(x+2)-2a+2 = x+2 -2a+2 = +a x+2. y=. 2x+3 }=x+;2!;의 양변에 대입하여 정리하면 5. f(4)=;;Á2¦;;+;2!;=9. 이고 점근선의 방정식이 x=-2`, y=a이므로. 09 (g½f . )(3)+( f½g )(3)=g( f (3))+f(g (3)). -1. -1. -1. -1. c=-2, a=-3. =g(1)+f(3). 따라서. =2+1. a+b+c=-3+2+(-2)=-3 ②. =3 ②. 13 f(g(x))=x이므로 f(x)와 g(x)는 역함수의 관계에 있 10 (h½f)(x)=g . -1. 다.. -1. (x)에서 h( f(x))=g (x) yy ㉠. h(2x+1)=g -1(x). -1. ㉠에 x=4를 대입하면 h(9)=g (4). y=. 2x-1 에서 x+2. xy+2y=2x-1, (y-2)x=-2y-1. 이때 g -1(4)=k라 하면 g(k)=4이므로. x=. -3k+10=4, 3k=6 k=2. -2y-1 y-2. x, y를 서로 바꾸면 y=. 따라서 h(9)=2 ④. g(x)=. -2x-1 이므로 x-2. -2x-1 x-2. 따라서 a=-2, b=-1, c=-2이므로 2x+5 x+3 2(x+3)-1 = x+3 -1 = +2 x+3. abc=-4`. 11 y= . y M 2. y=. m -3. O. ②. 2x+5 x+3. 14 (g½f . a. x. ( f -1½(g½f -1)-1)(4)=( f -1½f½g -1)(4) . 이므로 그래프는 그림과 같다.. =g -1(4). 2x+5 -1 는 x=a일 때 최댓값 M= +2, x+3 a+3 -1 x=1일 때 최솟값 m= +2=;4&;을 갖는다. 1+3 1 즉, M-m=+;4!;=;1Á2;에서 a+3 1 =;4!;-;1Á2;=;6!;, a+3=6 a+3 유리함수 y=. 따라서 a=3. g -1(4)=k로 놓으면 g(k)=4이므로. 'Ä2k-4=4, 2k-4=16, 2k=20 따라서 k=10. ②. 15 무리함수 y='Ä6-x+3='Ä-(x-6)+3의 그래프는 무리함수 y='Äx+3의 그래프를 y축에 대하여 대칭이동시키고. 3. 28. ) =( f -1)-1½g -1=f½g -1이므로. -1 -1. 1. 다시 x축의 방향으로 3만큼, y축의 방향으로 3만큼 평행이동시. 올림포스•수학 (하). (하) 해 01-40 올림기본-오3.indd 28. 2017-11-01 오전 10:49:31.
(29) 킨 것이다.. -xÛ`+4x+k=x에서 이차방정식 xÛ`-3x-k=0이 중근을. 오른쪽 그림에서 어두운 두. 가져야 하므로 이 이차방정식의 판별식을 D라 하면. y y= 6-x+3. 부분의 넓이가 같으므로 두 3. C. A -3 O x=-3. B 6. 곡선과 직선 x=-3으로 둘 러싸인 도형의 넓이는 직사각 형 ABCD의 넓이와 같다.. D. D=(-3)Û`-4_1_(-k)=0 y= x+3. 9+4k=0 따라서 k=-;4(; . x. ④. 따라서 구하는 넓이는 9_3=27 ④. 16 조건 (가)에서 g(x)가 항등함수이므로. yy ㉠. f(2)=g(3)=h(4)=3. 조건 (나)에서 f(1)+ f(3)=f(2)이고 f(x)가 일대일대응이 므로 f(1)=1, f(2)=3, f(3)=2 또는 f(1)=2, f(2)=3, f(3)=1 조건 (다)에서 f(1)_g(2)_h(3)=12이고 g(x)는 항등함 수, h(x)는 상수함수이므로 ㉠에 의해. x-1. 18 f(x)= x+1 에서 x-1 -1 x+1 x-1 }= =-;[!; x+1 x-1 +1 x+1 x-1 1+x 1 }= f Ü`(x)=f Û`( f(x))=f Û`{ = x+1 1-x x-1 x+1 x-1 1+ x+1 x-1 }= f Ý`(x)=f Ü`( f(x))=f Ü`{ =x x+1 x-1 1x+1. f Û`(x)=f( f(x))=f {. 따라서 자연수 n에 대하여 f n(x)=f n+4(x)이고 f(3)=. f(1)_2_3=12 f(1)=2. 3-1 =;4@;=;2!;, 3+1. f Û`(3)=-;3!;,. 따라서 f(1)=2, f(2)=3, f(3)=1, f(4)=4이므로. f Ü`(3)=. f(3)+g(4)+h(2)=1+4+3=8 8. 1+3 =-2, 1-3. f Ý`(3)=3 이므로. 17 함수 y=f(x)의 그래프는 오른쪽 그림과 같고,. f(3)+f Û`(3)+f Ü`(3)+y+f 100(3)=25_{;2!;-;3!;-2+3}. y 2. y=f(x) O. ( f(x) ( f(x)É2) ( f½f)(x)= Ò 9 -;2!;f(x)+3 ( f(x)>2). 2. =. 19 무리함수 y=-'Ä5-x+2의. ( f½f)(x)=f(x)이다. y=-xÛ`+4x+k =-(x-2)Û`+k+4 의 그래프는 직선 x=2에 대하여 대칭이므로 함수 y=f(x)의 그래. y. 그래프는 오른쪽 그림과 같다.. 2 O. 175 6 ⑤. 그런데 모든 실수 x에 대하여 f(x)É2이므로. 이차함수 . =25_;6&;. x. 6. y=f(x) 2. 6. y=-xÛ`+4x+k. 직선 y=mx+1은 m의 값에 관계 x. 없이 점 (0, 1)을 지나므로 함수 y=-'Ä5-x+2의 그래프와 직선. y 2 1 O. y=mx+1. y=-1455-x+2 5 x. y=mx+1이 서로 다른 두 점에서 만나려면 직선의 기울기는. 프와 오직 한 점에서 만나기 위해서는 그림과 같이 이차함수. 0보다 크고 점 (5, 2)를 지날 때의 기울기보다 작거나 같아야. y=-xÛ`+4x+k의 그래프와 직선 y=x가 접해야 한다.. 한다.. 정답과 풀이. (하) 해 01-40 올림기본-오3.indd 29. 29. 2017-11-01 오전 10:49:31.
(30) 정답과 풀이 직선 y=mx+1이 점 (5, 2)를 지날 때. ab=2. 2=5m+1, m=;5!;. 2. 22 Ú x<2일 때,. 따라서 구하는 m의 값의 범위는. f(x)=-(x-2)+ax+3. 0<mÉ;5!;. =(a-1)x+5 0<mÉ;5!;. Û x¾2일 때,. yy ➊. f(x)=x-2+ax+3 yy ➋. =(a+1)x+1. 함수 f(x)가 일대일대응이려면 Ú, Û의 직선의 기울기의 부. 20 주어진 함수의 그래프에서 a<0이고. 호가 서로 같아야 하므로. y='Äax+2+ab에서 치역은 {y|y¾ab}이므로 ab<0. (a-1)(a+1)>0. 따라서 b>0이다.. 따라서 a<-1 또는 a>1이다.. ax+1 a(x+b)-ab+1 y= = x+b x+b -ab+1 = +a x+b 이고 점근선의 방정식은. a<-1 또는 a>1 단계 y 1 b. x=-b(<0), y=a이고, -ab+1>0 이며 y절편은 ;b!;(>0)이므로 그래프의. yy ➌. -b O. x. 채점 기준. 비율. ➊. x<2일 때, f(x)를 구한 경우. 30`%. ➋. x¾2일 때, f(x)를 구한 경우. 30`%. ➌. a의 값의 범위를 구한 경우. 40`%. a. 개형은 오른쪽 그림과 같다. ③. 23 유리함수 y=;[A;+1의 그래프를 x축의 방향으로 2만큼, y축의 방향으로 3만큼 평행이동시키면. 21 두 점 P, Q의 x좌표를 각각 a, b(a<b)라 하면 두 점 P, Q의 y좌표는 각각 'Äa-1+3, 'Äb-1+3이고 선분 PQ의. 중점의 y좌표가 4이므로. 'Äa-1+3+'Äb-1+3 =4 2. 'Äa-1+'Äb-1=2. y=. a a +1+3= +4 x-2 x-2. 이고 이 함수의 그래프의 점근선의 방정식은 x=2, y=4이다. 유리함수 y=. a +4의 그래프가 x-2. 좌표평면 위의 모든 사분면을 지나므 로 그래프의 개형은 오른쪽 그림과. 직선 PQ의 기울기는. 'Äb-1+3-('Äa-1+3) 'Äb-1-'Äa-1 = b-a b-a b-a = (b-a)('Äb-1+'Äa-1 ) 1 = 'Äb-1+'Äa-1 =;2!;. 따라서 기울기가 ;2!;이고 점 (-2, 3)을 지나는 직선의 방정식은 y-3=;2!;(x+2), y=;2!;x+4. yy ➊. 같아야 한다. 즉,. yy ➋. y. a y=---`` +4 x-2. 4 O 2. x. a a +4<0, >4 -2 2 a>8 따라서 구하는 자연수 a의 최솟값은 9이다.. yy ➌ 9. 단계. 채점 기준. 비율. ➊. 평행이동시킨 그래프의 함수식을 구한 경우. 20`%. ➋. 모든 사분면을 지나도록 그래프의 개형을 추론 한 경우. 40`%. ➌. 자연수 a의 최솟값을 구한 경우. 40`%. 따라서 a=;2!;, b=4이므로. 30. 올림포스•수학 (하). (하) 해 01-40 올림기본-오3.indd 30. 2017-11-01 오전 10:49:32.
(31) Ⅵ. 경우의 수. 14. 순열과 조합. 기본 유형 익히기 1. 9 5. ⑴ 6 . 2. 20 ⑵ 5 . 유제. 3. 100 6. 15. 본문 67~69쪽. 4. 432. 5.. ⑴ n+1C2=. . =. n+1¾2이므로 n=6 ⑵ ÇC£=. Ú 눈의 수의 합이 4가 되는 경우. (n+1)_n =21 2. nÛ`+n=42, (n-6)(n+7)=0. 1.. (n+1)! 2!(n-1)!. n! n! , ÇCª= 이므로 3!(n-3)! 2!(n-2)!. n! n! 1 , ;3!;= = n-2 3!(n-3)! 2!(n-2)!. 따라서 n=5. (1, 3), (2, 2), (3, 1)의 3가지. ⑴ 6 ⑵ 5. Û 눈의 수의 합이 8이 되는 경우 (2, 6), (3, 5), (4, 4), (5, 3), (6, 2)의 5가지. 6.. Ü 눈의 수의 합이 12가 되는 경우. 1과 8이 적혀 있는 공을 제외한 6개의 공에서 2개를 꺼내. 는 경우의 수와 같으므로. (6, 6)의 1가지. ¤Cª=. Ú ~ Ü이 동시에 일어나지 않으므로 구하는 경우의 수는. 6_5 =15 2_1 15. 3+5+1=9 9. 2.. 432=2Ý`_3Ü`이므로 양의 약수는 1, 2, 2Û`, 2Ü`, 2Ý` 중 하나. 와 1, 3, 3Û`, 3Ü` 중 하나의 곱으로 나타낼 수 있으므로 구하는 양 의 약수의 개수는 (4+1)_(3+1)=5_4=20 20. 3.. 01 11 06 ⑤ 11 ④ 16 ⑤ 21 ④. 02 ① 07 5 12 ⑤ 17 ③ 22 ④. 본문 70~73쪽. 03 ③ 08 720 13 144 18 ④ 23 ⑤. 04 ⑤ 09 ④ 14 ④ 19 ④ 24 ③. 05 ⑤ 10 ① 15 ⑤ 20 ⑤. 백의 자리에는 0이 올 수 없으므로 백의 자리에 올 수 있. 는 수는 1, 2, 3, 4, 5의 5가지 나머지 십의 자리와 일의 자리에는 백의 자리에 놓인 숫자를 제 외한 5개의 숫자 중 2개를 택하여 일렬로 나열하면 되므로 구하 는 자연수의 개수는. 01 Ú 바닥에 닿은 밑면에 적힌 세 수의 합이 6인 경우 (1, 1, 4), (1, 4, 1), (4, 1, 1), (1, 2, 3), (1, 3, 2), (2, 1, 3), (2, 3, 1), (3, 1, 2), (3, 2, 1), (2, 2, 2) 의 10가지. 5_°Pª=5_5_4=100 100. 4.. 유형 확인. Û 바닥에 닿은 밑면에 적힌 세 수의 합이 12인 경우 (4, 4, 4)의 1가지 Ú, Û가 동시에 일어나지 않으므로 구하는 경우의 수는. 1학년 2명을 한 명, 2학년 3명을 한 명, 3학년 3명을 한. 10+1=11. 명으로 생각하여 3명을 일렬로 세우는 경우의 수는. 11. 3!=6 그 각각에 대하여 같은 학년 학생들끼리 서로 자리를 바꿀 수. 02 x+2y=14-4z>0에서 1Éz<4. Ú z=1일 때. 있으므로 구하는 경우의 수는. x+2y=10을 만족시키는 순서쌍 (x, y)는. 6_2!_3!_3!=6_2_6_6=432 432. (8, 1), (6, 2), (4, 3), (2, 4)의 4가지. 정답과 풀이. (하) 해 01-40 올림기본-오3.indd 31. 31. 2017-11-01 오전 10:49:32.
