서술형 - EBS 올림포스 수학(하) 답지 정답

01

^{y= 4x+a}_{x-1 =}^4(x-1)+a+4_x-1 ^{= a+4}x-1 +4 yy ➊ 의 그래프를 평행이동하여 y= 52x 의 그래프와 일치하도록 하 려면

a+4=;2%; yy ➋

따라서 a=-;2#; yy ➌

 -;2#;

단계 채점 기준 비율

➊ y= kx-p +q 꼴로 바꾼 경우 50`%

➋ 두 그래프가 일치하기 위한 조건을 구한 경우 30`%

➌ a의 값을 구한 경우 20`%

02

^{y= 2x+1}_{x-3 =}^2(x-3)+7_x-3 ^{= 7}_{x-3 +2} ^{yy ➊}

주어진 함수의 그래프는 점근선 x=3, y=2의 교점 (3, 2)를 지나고 기울기가 1 또는 -1인 직선에 대하여 대칭이므로 직선 y=-x+k는 점 (3, 2)를 지난다. yy ➋ y=-x+k에 x=3, y=2를 대입하면

2=-3+k

따라서 k=5 yy ➌

 5

단계 채점 기준 비율

➊ y= kx-p +q 꼴로 바꾼 경우 30`%

➋ 직선 y=-x+k가 점 (3, 2)를 지나는 이유

를 밝힌 경우 50`%

➌ k의 값을 구한 경우 20`%

03

두 함수 y=f(x)와 y=g(x)의 그래프가 만나는 점은 함 수 y=f(x)의 그래프와 직선 y=x의 교점과 같으므로 점 (a, b)는 직선 y=x 위의 점이다. 즉,

a=b yy ㉠ yy ➊

x=a, y=b를 y='Äx+2+4에 대입하면 b='Äa+2+4

b-4='Äa+2

양변을 제곱하여 정리하면

(b-4)Û`=a+2, bÛ`-8b+16=a+2

bÛ`-8b-a+14=0 yy ㉡

㉠, ㉡에서

aÛ`-9a+14=0 yy ➋

따라서

(a-3)(b-6) =ab-6a-3b+18

=(aÛ`-9a+14)+4

=0+4=4 yy ➌

 4

단계 채점 기준 비율

➊ a=b임을 보인 경우 20`%

➋ 점 (a, b)를 f(x)='Äx+2+4에 대입하여

a에 관한 관계식을 만든 경우 50`%

➌ (a-3)(b-6)의 값을 구한 경우 30`%

01

^②

02

03

^③

04

^②

고난도 문항

내신

⁺

수능

본문 59쪽

01

직사각형 OAPB의 네 변의 길이의 합을 l이라 하면 l=2(a+b)

점 P(a, b)가 유리함수 y= 5x-2 +3의 그래프 위의 점이므로 b= 5a-2 +3

a>2이므로 산술평균과 기하평균의 관계에 의해 l=2{a+ 5a-2 +3}

=2{a-2+ 5a-2 +5}

¾2[2¾¨(a-2)_ 5a-2 +5]

=4'5+10

{단, 등호는 a-2= 5a-2 , 즉 a=2+'5일 때 성립한다.}

따라서 l의 값은 a=2+'5, b=3+'5일 때, 최솟값을 가지므

x+2x+1 =mx+n, mxÛ`+nx+mx+n=x+2

x에 대한 이차방정식 mxÛ`+(m+n-1)x+n-2=0의 판별 D4 =25-(4a+9)=0, 4a=16 따라서 a=4

01

^⑤

02

^①

03

^③

04

^①

05

^③

06

^④

07

^②

08

⁹

09

^②

10

^④

11

21

22

a<-1 또는 a>1

23

⁹

본문 60~63쪽

대단원

종합 문제

01

① 함수 f(x)는 일차함수이다.

② 함수 f(x)는 상수함수이다.

③ 정의역 R의 임의의 원소 x에 대하여 함숫값 f(x)가 존재하 므로 함수이다.

④ x¾0일 때 |x|=x이므로 f(x)=xÛ`+x이고, x<0일 때 |x|=-x이므로 f(x)=-xÛ`+x이다.

따라서 정의역 R의 임의의 원소 x에 대하여 함숫값 f(x)가 존재하므로 함수이다.

⑤ x=1일 때, 분모가 0이 되어 f(1)의 값이 존재하지 않으므 로 R에서 R로의 함수가 아니다.

 ⑤

02

f(-3)=f(-1)=1, f(-2)=0, f(0)=2 f(1)=3, f(2)=4

따라서 함수 f의 치역은 {0, 1, 2, 3, 4}이므로 구하는 모든 원 소의 합은

0+1+2+3+4=10

 ①

03

f(x)=xÛ`-2x+5에서 f(2)=5이므로 ( f½f)(2) =f( f(2))

=f(5)

=25-10+5

=20

 ③

04

^f^-1(2)=3에서 역함수의 성질에 의해 f(3)=2이므로 f(3)=3_3+k=2

k=-7

따라서 f(x)=3x-7이므로 f(5)=3_5-7=8

 ①

05

^{유리함수 y=};[K;+1의 그래프가 점 {;3!;, 7}을 지나므로 7= k;3!;+1, 6=3k

k=2

유리함수 y=;[@;+1의 그래프는 y=;[@;의 그래프를 y축의 방향 으로 1만큼 평행이동한 것이므로 ;2!;ÉxÉ4에서 x의 값이 증가 하면 y의 값은 감소한다.

따라서 x=;2!;일 때 최댓값 M=5, x=4일 때 최솟값 m=;2#;

을 가지므로

M+m=5+;2#;=;;Á2£;;

 ③

06

2x-4¾0에서 x¾2,

1-'2 -1 1

2 3 4 y

y=-152x-24+1 O x

-'Ä2x-4É0에서 yÉ1이므로 무리함수 y=-'Ä2x-4+1의 그 래프는 오른쪽 그림과 같다.

3ÉxÉ4에서 무리함수

y=-'Ä2x-4+1은 x=3일 때 최댓값 M=1-'2, x=4일 때 최솟값 m=-1을 가지므로

M-m=1-'2-(-1)=2-'2

 ④

07

f(1)=3이므로 ( f½f)(1)=f( f(1))=f(3)=1 마찬가지로 f(2)=4이므로

( f½f)(2)=f( f(2))=f(4)=2 이때 함수 f는 일대일함수이므로 f(5)=5

따라서

f(4)-f(5)=2-5=-3

 ②

08

^f^{{ 2x+3}₅ }=x+;2!;에서 2x+35 =t라 하면 x= 5t-32 이므로

f(t)= 5t-32 +;2!;=;2%;t-1 따라서 f(x)=;2%;x-1이므로

f(4)=;2%;_4-1=9

 9

다른풀이

2x+35 =4라 하면 x=;;Á2¦;;

이것을 f { 2x+35 }=x+;2!;의 양변에 대입하여 정리하면 f(4)=;;Á2¦;;+;2!;=9

09

^(g½f^-1)(3)+( f½g ^-1)(3) =g( f ^-1(3))+f(g ^-1(3))

=g(1)+f(3)

=2+1

 ②

10

(h½f)(x)=g ^-1(x)에서 h( f(x))=g ^-1(x)

h(2x+1)=g ^-1(x) yy ㉠

㉠에 x=4를 대입하면 h(9)=g ^-1(4) 이때 g ^-1(4)=k라 하면 g(k)=4이므로 -3k+10=4, 3k=6

k=2

따라서 h(9)=2

 ④

11

^{y= 2x+5}_x+3

y=2x+5 2 x+3 M

m 1

-3 a

O x

=2(x+3)-1 x+3 = -1x+3 +2

이므로 그래프는 그림과 같다.

유리함수 y= 2x+5x+3 는 x=a일 때 최댓값 M= -1 a+3 +2, x=1일 때 최솟값 m= -11+3 +2=;4&;을 갖는다.

즉, M-m=- 1a+3 +;4!;=;1Á2;에서 a+3 =;4!;-;1Á2;=;6!;, a+3=61 따라서 a=3

 3

12

유리함수 y= ax+bx+2 의 그래프가 점 (0, 1)을 지나므로

;2B;=1, b=2 또한

y= ax+bx+2 =ax+2 x+2

=a(x+2)-2a+2 x+2

= -2a+2x+2 +a

이고 점근선의 방정식이 x=-2`, y=a이므로 c=-2, a=-3

따라서

a+b+c=-3+2+(-2)=-3

 ②

13

f(g(x))=x이므로 f(x)와 g(x)는 역함수의 관계에 있 다.

y= 2x-1x+2 에서

xy+2y=2x-1, (y-2)x=-2y-1 x= -2y-1y-2

x, y를 서로 바꾸면 y= -2x-1x-2 이므로 g(x)=-2x-1

x-2

따라서 a=-2, b=-1, c=-2이므로 abc=-4`

 ②

14

^(g½f^-1⁾^-1^{=( f}^-1⁾^-1^½g^-1^=f½g^-1^이므로

( f ^-1½(g½f ^-1)^-1)(4) =( f ^-1½f½g ^-1)(4)

=g ^-1(4) g ^-1(4)=k로 놓으면 g(k)=4이므로 'Ä2k-4=4, 2k-4=16, 2k=20 따라서 k=10

 ②

15

^{무리함수 y=}'Ä6-x+3='Ä-(x-6)+3의 그래프는 무리함수 y='Äx+3의 그래프를 y축에 대하여 대칭이동시키고 다시 x축의 방향으로 3만큼, y축의 방향으로 3만큼 평행이동시

킨 것이다.

직선 y=mx+1이 점 (5, 2)를 지날 때 2=5m+1, m=;5!;

따라서 구하는 m의 값의 범위는 0<mÉ;5!;

 0<mÉ;5!;

20

주어진 함수의 그래프에서 a<0이고

y='Äax+2+ab에서 치역은 {y|y¾ab}이므로 ab<0 따라서 b>0이다.

y= ax+1x+b =a(x+b)-ab+1 x+b

= -ab+1x+b +a 이고 점근선의 방정식은

a y

-b -1b

O x

x=-b(<0), y=a이고, -ab+1>0 이며 y절편은 ;b!;(>0)이므로 그래프의 개형은 오른쪽 그림과 같다.

 ③

21

두 점 P, Q의 x좌표를 각각 a, b(a<b)라 하면 두 점 P, Q의 y좌표는 각각 'Äa-1+3, 'Äb-1+3이고 선분 PQ의 중점의 y좌표가 4이므로

'Äa-1+3+'Äb-1+3

2 =4

'Äa-1+'Äb-1=2 직선 PQ의 기울기는

'Äb-1+3-('Äa-1+3)

b-a = 'Äb-1-'Äa-1 b-a

= b-a

(b-a)('Äb-1+'Äa-1 )

= 1

'Äb-1+'Äa-1

=;2!;

따라서 기울기가 ;2!;이고 점 (-2, 3)을 지나는 직선의 방정식은 y-3=;2!;(x+2), y=;2!;x+4

따라서 a=;2!;, b=4이므로

ab=2

22

Ú x<2일 때,  2

f(x) =-(x-2)+ax+3

=(a-1)x+5

Û x¾2일 때, yy ➊

f(x) =x-2+ax+3

=(a+1)x+1 yy ➋

함수 f(x)가 일대일대응이려면 Ú, Û의 직선의 기울기의 부 호가 서로 같아야 하므로

(a-1)(a+1)>0

따라서 a<-1 또는 a>1이다. yy ➌

 a<-1 또는 a>1

단계 채점 기준 비율

➊ x<2일 때, f(x)를 구한 경우 30`%

➋ x¾2일 때, f(x)를 구한 경우 30`%

➌ a의 값의 범위를 구한 경우 40`%

23

^{유리함수 y=};[A;+1의 그래프를 x축의 방향으로 2만큼, y축의 방향으로 3만큼 평행이동시키면

y= ax-2 +1+3= a

x-2 +4 yy ➊

이고 이 함수의 그래프의 점근선의 방정식은 x=2, y=4이다.

유리함수 y= ax-2 +4의 그래프가

2 4

y y=----``x-2a +4

O x

좌표평면 위의 모든 사분면을 지나므 로 그래프의 개형은 오른쪽 그림과 같아야 한다. 즉, yy ➋

-2 +4<0, a a 2 >4 a>8

따라서 구하는 자연수 a의 최솟값은 9이다. yy ➌

 9

단계 채점 기준 비율

➊ 평행이동시킨 그래프의 함수식을 구한 경우 20`%

➋ 모든 사분면을 지나도록 그래프의 개형을 추론

한 경우 40`%

➌ 자연수 a의 최솟값을 구한 경우 40`%

5.

^⑴ⁿ⁺¹^C²⁼_2!(n-1)!^(n+1)!

=(n+1)_n

2 =21

nÛ`+n=42, (n-6)(n+7)=0 n+1¾2이므로 n=6

⑵ ÇC£= n!

3!(n-3)!, ÇCª= n!

2!(n-2)!이므로 n!

3!(n-3)!= n!

2!(n-2)!, ;3!;= 1n-2 따라서 n=5

Ú 바닥에 닿은 밑면에 적힌 세 수의 합이 6인 경우 (1, 1, 4), (1, 4, 1), (4, 1, 1), (1, 2, 3), (1, 3, 2),

(2, 1, 3), (2, 3, 1), (3, 1, 2), (3, 2, 1), (2, 2, 2) 의 10가지

Û 바닥에 닿은 밑면에 적힌 세 수의 합이 12인 경우 (4, 4, 4)의 1가지

Ú, Û가 동시에 일어나지 않으므로 구하는 경우의 수는 10+1=11

 11

02

x+2y=14-4z>0에서 1Éz<4 Ú z=1일 때

x+2y=10을 만족시키는 순서쌍 (x, y)는 (8, 1), (6, 2), (4, 3), (2, 4)의 4가지

문서에서 EBS 올림포스 수학(하) 답지 정답 (페이지 25-31)