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2010학년도 7월 고3 전국연합학력평가
정답 및 해설
×
× × ×
× × ×
수리 영역
“나”
형 정답
1
③
2
②
3
①
4
④
5
③
6
④
7
⑤
8
②
9
③
10
③
11
③
12
②
13
①
14
④
15
⑤
16
②
17
⑤
18
19
20
21
22
23
24
25
26
①
27
①
28
④
29
②
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해설
1. [출제의도] 로그 계산하기
log
․
log
×
log
2. [출제의도] 확률의 덧셈정리를 이용하여 확률
계산하기
P ∪ P P P ∩에서
P
이므로
∴ P
3. [출제의도] 극한값 계산하기
lim
→ ∞
lim
→ ∞
4. [출제의도] 경우의 수 계산하기
P×
5. [출제의도] 식을 변형하여 함숫값 이해하기
×
,
×
,
×
,
∴
6. [출제의도] 등차수열의 합과 일반항의 관계
이해하기
등차수열
의 첫째항과 공차를 ≠ 라
하면 에서
양변을 으로 나누면
두 자리 자연수 가 최댓값 일 때, 은 최댓값
을 갖는다.
∴
7. [출제의도] 역행렬을 이용하여 연립방정식의 해
이해하기
이므로
이다.
에서
∴
8. [출제의도] 로그함수의 성질 이해하기
log log log 에서
즉, 로 놓으면
가 최솟값을 가질 때, log 즉, log 도
최솟값을 갖는다.
과 이 접할 때,
즉, 방정식 이 중근을 가질
때, 가 최솟값을 가지므로 이다.
∴ log
log log
9. [출제의도] 행렬의 성질 추론하기
ㄱ. 이면
∴ 참
ㄴ. 에서 이므로
… ①
또 에서 이므로
… ②
①, ② 에 의하여 ∴ 참
ㄷ. 이면 이므로
따라서 의 역행렬이 존재한다. ∴ 거짓
10. [출제의도 ] 조건부 확률 이해하기
투표 결과
투표 전 갑에게 투표 을에게 투표
갑 지지
을 지지
계
을에게 투표한 학생이 선택된 사건을 , 투표 전과
후에 지지했던 후보를 바꾸지 않은 학생이 선택된
사건을 라 하면, 구하고자 하는 확률은
P
P
P ∩
11. [출제의도] 등비수열을 이용하여 수학 내적
문제 해결하기
CE , EB , BD 이라 하자.
(삼각형EBC 의 넓이) (사각형ABCD 의 넓이)
∴ … ①
∠ABD ∠A′BD, ∠ABD ∠BDC
∆D EB 는 이등변 삼각형이므로 D E EB
∴ … ②
①, ② 에 의하여
CE EB BD 의 길이는 각각 .
∠ED B 이라 할 때, ∆DEB 에서
제이코사인법칙에 의하여
cos × × .
∆ABD 에서 제이코사인법칙에 의하여
AD × × × cos
∴ AD
12. [출제의도] 함수의 그래프를 해석하여 수학
내적 문제 해결하기
A B 라 하자. (단, ≠ )
∆O BD ∆O AC 이므로
O B O A . 즉,
log이고 log 이므로
log
log
,
≠ 이므로 ∴
사각형 ABDC 는 등변사다리꼴이므로,
은 의 역함수이다.
따라서 C D 이므로
에서
,
∴
13. [출제의도] 순서도를 이용하여 약수의 곱 추론하기
인쇄되는 는 의 양의 약수의 곱이다.
×
의 양의 약수는 다음과 같다.
∴ ×
14. [출제의도] 수학적 귀납법을 이용하여 주어진 식
증명하기
(ⅰ) 일 때,
(좌변)(우변)
(ⅱ) ≧ 일 때, 주어진 등식이 성립함을
가정하면,
즉,
임을 가정할 때,
15. [출제의도] 조합을 이용하여 경우의 수 추론
하기
× C×C
× C ×C
ㄱ. ∴ 참
ㄴ. ∴ 참
ㄷ. 의 최댓값은 ∴ 참
16. [출제의도] 수열의 극한을 이용하여 수학
내적 문제 해결하기
,
이므로
,
이므로
∴
∞
∞
17. [출제의도] 로그 방정식을 이용하여 수학 외적
문제 해결하기
log ×
log
log log
log log
∴
18. [출제의도] 지수방정식의 해 계산하기
고 3
정답 및 해설
전국연합학력평가
2010학년도 7월
2
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∴
19. [출제의도] 행렬의 연산 이해하기
∴ 모든 성분의 합은
20. [출제의도] 이항정리를 이용하여 이항계수
이해하기
C×
C ×
CC
∴
21. [출제의도] 여러 가지 수열을 이용하여 수학
내적 문제 해결하기
, 이면 이므로
이면
이면 이고,
이므로
따라서 수열
은 공차가 인 등차수열이다.
…①
수열
에서 을 대입하여 정리하면
…②
①, ②에 의하여
∞
∞
×
∞
22. [출제의도] 무한등비급수의 합을 이용하여
수학 내적 문제 해결하기
∠BAC 이므로
, ,
, …
따라서,
×
이다.
∞
∴
23. [출제의도] 확률을 이용하여 수학 내적 문제
해결하기
중복을 허락하여 만들 수 있는 네 자리 자연수는
∏∏ 가지
이므로 는 또는 이다.
(ⅰ) 일 때
이므로, , 이고
는 중 한 가지이므로 가지
(ⅱ) 일 때
는 중 개의 수를 선택하여 큰
수가 , 작은 수가 (≠ )이다. 따라서,
가 될 수 있는 경우는 C 가지, 는
중 한 가지이므로 가지이다.
조건에 맞는 경우의 수는 C× 가지
구하고자 하는 확률은
∴
24. [출제의도] 수열의 극한의 성질 이해하기
lim
→ ∞
lim
→ ∞
이므로
lim
→ ∞
×
lim
→ ∞
×
lim
→ ∞
×
∴
lim
→ ∞
lim
→ ∞
×
lim
→ ∞
×
25. [출제의도] 로그함수의 그래프를 이용하여
수학 내적 문제 해결하기
직선 OP 가 ∠AOB 의 이등분선이므로
∠AO P ∠P O B 이고
∠P O B ∠AP O(엇각)이므로
∠AO P ∠AP O , O A AP 이다.
AP 이므로 O A .
A 의 좌표가
이므로
∴
26. [출제의도] 경우의 수를 이용하여 수학 외적
문제 해결하기
개의 화면 중 개의 화면은 개의 정보를,
1개의 화면은 개의 정보를 보여주어야 하므로,
가지 정보를 개, 개, 개로 나누는 방법의
수는 C×C×C×
(가지)이고,
이것을 화면에 보여주는 경우의 수는 (가지)이다.
∴ × (가지)
27. [출제의도] 확률을 이용하여 수학 외적 문제
해결하기
(ⅰ) 개의 예선문제 모두 맞힌 경우
C
(ⅱ) 예선문제 개 맞추고, 찬스문제 맞힌 경우
C
×
×
∴
28. [출제의도] 수열의 귀납적 정의를 이용하여
일반항 추론하기
: ⋯ 이므로
이다.
이라 하면
: ⋯ 이므로
인 은 이다.
∴
29. [출제의도] 역행렬의 존재성 이해하기
의 역행렬이 존재하지
않으려면
의 두 근을 라 하면
∴
30. [출제의도] 도형의 성질과 극한을 이용하여
수학 내적 문제 해결하기
lim
→ ∞
lim
→ ∞
∴