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2010학년도 7월 고3 전국연합학력평가 정답 및 해설(나형)

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24

2010학년도 7월 고3 전국연합학력평가

정답 및 해설

×             ×  ×  ×     ×  ×  × 

수리 영역

“나”

형 정답

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

13

14

15

16

17

18



19



20



21



22



23



24



25



26

27

28

29

30



해설

1. [출제의도] 로그 계산하기 log



․

  

 log

  ×  

  log    2. [출제의도] 확률의 덧셈정리를 이용하여 확률 계산하기 P ∪  P   P   P ∩에서    P    이므로 ∴ P      3. [출제의도] 극한값 계산하기

lim

→ ∞

    

     

lim

→ ∞



    

   

  4. [출제의도] 경우의 수 계산하기 P×     5. [출제의도] 식을 변형하여 함숫값 이해하기    

 ×   

 



  , 

      

 ×   

 



  , 

      

 ×   

 



 , 

  ∴ 

 

 

 

 

 

  6. [출제의도] 등차수열의 합과 일반항의 관계 이해하기 등차수열



의 첫째항과 공차를  ≠  라 하면    에서 

   

 

   

       양변을 으로 나누면       두 자리 자연수  가 최댓값  일 때,  은 최댓값 을 갖는다. ∴  7. [출제의도] 역행렬을 이용하여 연립방정식의 해 이해하기          

     

 이므로       이다. 

 

  

 

  에서

 

     

 

       

 

    

 

   

 

   

 

  

 

   

 

  

 

           ∴      8. [출제의도] 로그함수의 성질 이해하기 log    log    log   에서

        즉,        로 놓으면 가 최솟값을 가질 때, log   즉, log  도 최솟값을 갖는다.   과        이 접할 때, 즉, 방정식         이 중근을 가질 때,  가 최솟값을 가지므로    이다. ∴ log     log  log   9. [출제의도] 행렬의 성질 추론하기 ㄱ. 이면  ㄴ.  에서  이므로  … ① 또  에서  이므로  … ② ①, ② 에 의하여  ㄷ. 이면  이므로   따라서  의 역행렬이 존재한다. ∴ 거짓 10. [출제의도 ] 조건부 확률 이해하기 투표 결과 투표 전 갑에게 투표 을에게 투표 갑 지지   을 지지   계   을에게 투표한 학생이 선택된 사건을 , 투표 전과 후에 지지했던 후보를 바꾸지 않은 학생이 선택된 사건을 라 하면, 구하고자 하는 확률은 P     P  P ∩       11. [출제의도] 등비수열을 이용하여 수학 내적 문제 해결하기  CE  , EB  , BD  이라 하자. (삼각형EBC 의 넓이)  (사각형ABCD 의 넓이) ∴    … ①

∠ABD  ∠A′BD, ∠ABD  ∠BDC ∆D EB 는 이등변 삼각형이므로 D E  EB ∴    … ② ①, ② 에 의하여  CE  EB  BD 의 길이는 각각      . ∠ED B   이라 할 때, ∆DEB 에서 제이코사인법칙에 의하여 cos        ×  ×    . ∆ABD 에서 제이코사인법칙에 의하여  AD    ×  ×  × cos  ∴ AD 

 12. [출제의도] 함수의 그래프를 해석하여 수학 내적 문제 해결하기 A   B  라 하자. (단,  ≠  ) ∆O BD  ∆O AC    이므로  O B  O A    . 즉,      log이고   log 이므로  log  log,     ≠ 이므로 ∴       사각형 ABDC 는 등변사다리꼴이므로,    은     의 역함수이다. 따라서 C   D   이므로   에서      ,    ∴      13. [출제의도] 순서도를 이용하여 약수의 곱 추론하기 인쇄되는  는  의 양의 약수의 곱이다.   ×  의 양의 약수는 다음과 같다. ∴  ×  14. [출제의도] 수학적 귀납법을 이용하여 주어진 식 증명하기 (ⅰ)    일 때,   (좌변)(우변) (ⅱ)     ≧ 일 때, 주어진 등식이 성립함을 가정하면, 즉,  

       

      임을 가정할 때,      

          

       

         

         

  

       

        15. [출제의도] 조합을 이용하여 경우의 수 추론 하기    

 × C×C       × C  ×C        ㄱ.     ∴ 참 ㄴ.          ∴ 참 ㄷ.   의 최댓값은     ∴ 참 16. [출제의도] 수열의 극한을 이용하여 수학 내적 문제 해결하기     ,      이므로          ,     

   이므로   

     ∴

   ∞   

   ∞

       

   

17. [출제의도] 로그 방정식을 이용하여 수학 외적 문제 해결하기    log      ×    log       log   log     log   log    ∴    18. [출제의도] 지수방정식의 해 계산하기        

(2)

고 3

정답 및 해설

전국연합학력평가

2010학년도 7월

2

24

      ∴    19. [출제의도] 행렬의 연산 이해하기     

 

    

     

     

 

    ∴ 모든 성분의 합은          20. [출제의도] 이항정리를 이용하여 이항계수 이해하기 C×    C ×

  

 CC ∴  21. [출제의도] 여러 가지 수열을 이용하여 수학 내적 문제 해결하기     ,    이면      이므로            이면            이면   이고,      이므로   따라서 수열



은 공차가  인 등차수열이다.     …① 수열



에서    을 대입하여 정리하면  

   

 

…② ①, ②에 의하여

   ∞   

   ∞    ×   

   ∞

   22. [출제의도] 무한등비급수의 합을 이용하여 수학 내적 문제 해결하기 ∠BAC  이므로  

 ,   ,  

, … 따라서,   

 ×

 

   이다.

   ∞      



    

∴      23. [출제의도] 확률을 이용하여 수학 내적 문제 해결하기 중복을 허락하여 만들 수 있는 네 자리 자연수는 ∏∏     가지    이므로 는  또는  이다. (ⅰ)  일 때    이므로,  ,  이고 는    중 한 가지이므로  가지 (ⅱ)  일 때  는    중  개의 수를 선택하여 큰 수가 , 작은 수가 (≠ )이다. 따라서,  가 될 수 있는 경우는 C  가지, 는     중 한 가지이므로  가지이다. 조건에 맞는 경우의 수는 C×   가지 구하고자 하는 확률은      ∴      24. [출제의도] 수열의 극한의 성질 이해하기

lim

→ ∞     

lim

→ ∞     이므로

lim

→ ∞    ×    

lim

 → ∞    ×

lim

 → ∞       ×    ∴

lim

 → ∞  

lim

 → ∞      ×

lim

 → ∞         ×    25. [출제의도] 로그함수의 그래프를 이용하여 수학 내적 문제 해결하기 직선 OP 가 ∠AOB 의 이등분선이므로 ∠AO P  ∠P O B 이고 ∠P O B  ∠AP O(엇각)이므로 ∠AO P  ∠AP O , O A  AP 이다.  AP   이므로 O A   . A 의 좌표가  이므로   

  ∴

     

        26. [출제의도] 경우의 수를 이용하여 수학 외적 문제 해결하기  개의 화면 중  개의 화면은  개의 정보를, 1개의 화면은  개의 정보를 보여주어야 하므로,  가지 정보를  개,  개,  개로 나누는 방법의 수는 C×C×C×    (가지)이고, 이것을 화면에 보여주는 경우의 수는  (가지)이다. ∴  ×   (가지) 27. [출제의도] 확률을 이용하여 수학 외적 문제 해결하기 (ⅰ)  개의 예선문제 모두 맞힌 경우 C

   (ⅱ) 예선문제  개 맞추고, 찬스문제 맞힌 경우 C

× ×   ∴      28. [출제의도] 수열의 귀납적 정의를 이용하여 일반항 추론하기



:       ⋯ 이므로        이다.     이라 하면



:        ⋯ 이므로  인  은   이다. ∴      29. [출제의도] 역행렬의 존재성 이해하기   

   

    의 역행렬이 존재하지 않으려면              의 두 근을   라 하면       ∴     30. [출제의도] 도형의 성질과 극한을 이용하여 수학 내적 문제 해결하기

lim

→ ∞  

lim

→ ∞

                    

   ∴     

참조

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