● 준비해 볼까? 1 ⑴ 12 ⑵ 13 ⑶ 34 ⑷ 47 2 ⑴ 0.25 ⑵ 0.3 ⑶ 0.325 ⑷ 0.4 3 ⑴ 10 1 ⑵ 20 7 ⑶ 35 ⑷ 2425 4 ⑴ 2@\3 ⑵ 2#\5 ⑶ 2@\3\7 ⑷ 2@\7@ 분수와 소수의 사용 P.10
1.0
● 3.246 ● 모범 예시 피자 한 판을 균등하게 6조각 내었을 때 한 조각의 크기를 한 판의 16 로 나타내면 이해하기 쉽다. 25경기 중 15경기를 이겼을 때 승률이 0.6이라고 하면 이해하기 쉽다. 이와 같이 분수는 상대적인 양을 나타 낼 때 편리하고 소수는 크기를 비교할 때 편리하다. 유리수와 소수 P. 111.1
● 생각 열기 활동 1 김 : 12 , 0.75 박\\: 9 1015 , 0.666y 이 : 10 , 7 0.7 허△△: 11 , 8 0.727272y 활동 2 소수가 더 편리하다. 활동 3 모범 예시 김 의 승률 0.75는 소수점 아래에 0이 아닌 숫자가 유한 번 나타나지만 박××의 승률 0.666y 은 소수점 아래에 0이 아닌 숫자가 무한 번 나타난다. 문제 1 ⑴ 0.333y, 무한소수 ⑵ 2.25, 유한소수 ⑶ 0.444y, 무한소수 ⑷ -0.7, 유한소수 문제 2 ⑴, ⑶ 생각을 나누는 의사소통 모범 예시 유한소수로 나타낼 수 있는 분수를 찾을 때에 는 먼저 주어진 분수를 기약분수로 고친 후 분모를 소인 수분해하여 소인수가 2 또는 5뿐인지 확인한다. ● 스스로 해결하기 1 ⑴ 유한소수 ⑵ 무한소수 2 ⑴ 유한소수 ⑵ 무한소수 ⑶ 유한소수 ⑷ 무한소수 3 ⑴ 0.625, 유한소수 ⑵ -0.090909y, 무한소수 ⑶ 0.555y, 무한소수 ⑷ -0.55, 유한소수유리수와 소수
1
정
답
3 0.45^8^, 0.4^58^, 0.458, 0.45^ 4 ⑴ 0.5^ ⑵ 0.13^ ⑶ 0.3^0^ ⑷ 0.17^ 5 3, 6, 9 6 3 7 213=0.153846153846y=0.1^53846^ y`➊ 즉, 소수점 아래 3번째 자리의 숫자는 3이고, 소수점 아래 14번째 자리의 숫자는 14=6\2+2이므로 5이다. 따라서 a=3, b=5이다. y`➋ 이때 ba=53=1.666y=1.6^ 따라서 순환마디는 6이다. y`➌ 채점 기준 배점 비율 ➊132 를 소수로 나타내기 30`% ➋ a, b의 값 각각 구하기 30`% ➌ ba 를 소수로 나타내고 순환마디 구하기 40`% ● 1 511 =0.4^5^, 13 =0.4^61538^ 6 2 0.7^14285^ 순환소수를 분수로 나타내기 P. 20
1.3
● 생각 열기 활동 1 7.777y 활동 2 소수점 아래의 부분이 같다. 문제 1 ⑴ 19 ⑵ 2399 ⑶ 15199 ⑷ 33349 문제 2 ⑴ 1145 ⑵ 9790 ⑶ 103330 ⑷ 239110 ● 스스로 해결하기 1 12.121212y, 334 2 ⑴ 59 ⑵ 3499 ⑶ 127999 ⑷ 3265999 3 198 43 4 3 5 2개 6 0.7^을 x라고 하면 x=0.777y yy`① 10x=7.777y yy`② ②에서 ①을 변끼리 빼면 9x=7, x=79 이때 0.7^=7a=79 이므로 a=19 y`➊ 또한, 1b=3a이므로 1b=3\19=13 , b=3 y`➋ 4 ⑴ 5@ ⑵ 5@ ⑶ 175 ⑷ 0.175 5 ⑴, ⑷ 6 7 7 3a 을 정수로 나타낼 수 있을 때, 10 이하의 자연수 a는 1, 3으로 2개이다. y`➊ 3 a 을 유한소수로 나타낼 수 있으려면, 기약분수로 나 타내었을 때 분모의 소인수가 2 또는 5뿐이어야 하므로 3 2 , 3 4 , 3 5 , 3 6 , 3 8 , 3 10 이다. 즉, 3 a 을 유한소수로 나타 낼 수 있을 때, 10 이하의 자연수 a는 2, 4, 5, 6, 8, 10 으로 6개이다. y`➋ 따라서 a의 값이 될 수 있는 것은 2+6=8(개)이다. y`➌ 채점 기준 배점 비율 ➊ 3a 을 정수로 나타낼 수 있도록 하는 10 이하의 자연수 a의 개수 구하기 40`% ➋ 3a 을 유한소수로 나타낼 수 있도록 하는 10 이 하의 자연수 a의 개수 구하기 40`% ➌ a의 값이 될 수 있는 것은 모두 몇 개인지 구 하기 20`% 순환소수로 나타내어지는 분수 P. 151.2
● 생각 열기 활동 1 301 =0.0333y, 124=0.041666y 활동 2 소수점 아래의 어떤 자리에서부터 같은 숫자가 한 없이 되풀이된다. 문제 1 ⑴ 12 ⑵ 307 ⑶ 89 ⑷ 478 문제 2 ⑴ 5, 0.5^ ⑵ 524, 4.5^24^ ⑶ 65, 3.06^5^ ⑷ 362, -2.13^62^ 문제 3 ⑵ 0.1^8^ ⑷ -0.6^ 생각을 나누는 의사소통 모범 예시 서영이는 순환마디의 모든 숫자 위에 점을 찍 어 잘못 표현하였다. 따라서 이를 바르게 나타내면 0.234234234y=0.2^34^와 같다. 준서는 순환마디를 123으로 잘못 생각하였다. 따라서 이 를 바르게 나타내면 1.231231231y=1.2^31^과 같다. ● 스스로 해결하기 1 ⑴ 순환소수, 순환마디 ⑵ 2, 5 2 ⑵, ⑷따라서 순환소수 0.3^을 y라고 하면
y=0.333y yy`③ 10y=3.333y yy`④ ④에서 ③을 변끼리 빼면 9y=3, y=39=13 y`➌ 채점 기준 배점 비율 ➊ a의 값 구하기 30`% ➋ b의 값 구하기 30`% ➌ 0.b^를 기약분수로 나타내기 40`% ● 1 49 , 실 2 2899 , 수 3 109 , 시 4 16199 , 도 5 16 , 재 6 9845 , 능 7 241495 , 호 8 13165 , 기 실 수 가 없었던 사람은 아무것도 새로운 것을 시 도 하지 않았던 사람이다. 나에겐 특별한 재 능 이 없다. 단지 열정적으로 호 기 심이 많을 뿐이다. ● 1 ⑴ 111=99 이고 9 11은 9의 약수가 아니므로 11 을 소1 수로 나타내었을 때 순환마디를 이루는 숫자의 개수 는 2로 예상, 계산기로 확인해 보면 2 ⑵ 5599=59 이고 기약분수로 나타내었을 때 분모가 9의 약수이므로 5599 를 소수로 나타내었을 때 순환마디 를 이루는 숫자의 개수는 1로 예상, 계산기로 확인 해 보면 1 2 345999 =115333 이고 기약분수로 나타내었을 때 분모가 9의 약수도 아니며 99의 약수도 아니므로 345999 를 소수로 나타내었을 때 순환마디를 이루는 숫자의 개수는 3으 로 예상, 계산기로 확인해 보면 3 01 ㄴ, ㄹ, ㅁ 02 ㄴ, ㄷ, ㄹ, ㅂ 03 3개 04 273 05 ㄷ, ㅁ 06 3 07 2 08 4개 09 6855 10 24 11 ㄷ, ㄹ 12 90 13 0.25^ 14 1190 15 0.4^3^ 16 풀이 참조 P. 26 04 5 84= 5 2@\3\7, 3 130= 3 2\5\13 y`➊ 5 84\a, 3 130\a를 모두 유한소수로 나타내려면 a의 값은 21과 13의 공배수이어야 한다. 따라서 가장 작은 자연수 a의 값은 21과 13의 최소공 배수인 273이다. y`➋ 채점 기준 배점 비율 ➊ 기약분수의 분모를 소인수분해하기 40`% ➋ 가장 작은 자연수 a의 값 구하기 60`% 08 15=153 , 23=1015이므로 a는 3과 10 사이의 자연수이 다. y`➊ a 3\5 를 순환소수로 나타내려면 기약분수로 나타내 었을 때 분모에 2 또는 5 이외의 소인수가 있어야 하 므로 a는 3의 배수가 아니어야 한다. 따라서 a의 값 이 될 수 있는 자연수는 4, 5, 7, 8로 4개이다. y`➋ 채점 기준 배점 비율 ➊ 두 수 사이에 있기 위한 자연수 a의 값 구하기 40`% ➋ a의 값이 될 수 있는 자연수는 모두 몇 개인지 구하기 60`% 16 모범 예시 53 , 21 , 4 6789 또는 17 , 35 , 2 6849 또는 2 9 , 4 13 , 56 87 ● 창의
+
융합 프로젝트 1 11933333 2 ⑴ ‘시’, ‘라’, ‘솔’, ‘라’, ‘시’가 연주된다. ⑵ ‘레’, ‘(쉼)’이 계속 반복해서 연주된다.y
3 모범 예시 ⑴ 제목: 딩동 , 1625 을 입력한다. ⑵ 제목: 가벼운 발걸음 , 678767999999 을 입력한다.y
● 준비해 볼까? 1 ⑴ 2$ ⑵ 3@\5# 2 ⑴ -4ab ⑵ a 5 ⑶ 6x y ⑷ 2x@+ y 3 3 ⑴ 12a ⑵ -4y 4 ⑴ 3x-2 ⑵ y+17 손을 깨끗이 씻자! P. 32
2.0
●2!*`마리 ● 모범 예시 행성들의 크기를 비교하거나 행성들 사이 의 거리를 구할 때, 바이러스 또는 세균의 크기를 비교 할 때 거듭제곱의 곱셈과 거듭제곱의 거듭제곱 P. 332.1
● 생각 열기 활동 1 30000000`km 활동 2 3\10&`km문제 1 ⑴ a% ⑵ x& ⑶ a!)b% ⑷ x$y( 문제 2 ⑴ a@) ⑵ a!& ⑶ x#$ ⑷ x@@y*
생각을 나누는 의사소통 모범 예시 예은이와 민재의 과정을 바르게 고치면 각각 다음과 같다. 예은: x$\x%=x4+5=x( 민재: {y@}#=y2\3=y^ 즉, 예은이는 지수끼리 곱하지 말고 더해야 하고, 민재는 지 수를 거듭제곱으로 계산하지 말고 지수끼리 곱해야 한다. ● 스스로 해결하기 1 ⑴ m+n ⑵ mn
2 ⑴ a*b( ⑵ a!( ⑶ x*y!) ⑷ x!^y@) 3 ⑴ 6 ⑵ 2 4 a=10, b=9 5 12 6 9 7 x%y*
식의 계산
2
8 (거리)=(속력)\(시간)이므로 지구와 지구로부터 100 광년 떨어진 행성 사이의 거리는 100\{3\10%}\{3\10&} {km} y`➊ 이를 10의 거듭제곱을 사용하여 간단히 나타내면 100\{3\10%}\{3\10&} =10@\3\10%\3\10& =3\3\10@\10%\10& =9\10!$ {km} y`➋ 채점 기준 배점 비율 ➊ 식 세우기 60`% ➋ 10의 거듭제곱을 사용하여 간단히 나타내기 40`% 거듭제곱의 나눗셈 P. 372.2
● 생각 열기 활동 1 100`m@/인 활동 2 10@`m@/인 문제 1 ⑴ a$ ⑵ x% ⑶ 1 ⑷ y^1 문제 2 ⑴ a$ ⑵ 1 ⑶ 1 b$ ⑷ y# 생각을 나누는 의사소통 모범 예시 수빈이의 과정을 바르게 고치면 다음과 같다. x*_x$ =x\x\x\x\x\x\x\xx\x\x\x =x8-4=x$ 즉, 지수끼리 나누지 말고 빼야 한다. ● 스스로 해결하기 1 ⑴ m-n ⑵ 1 ⑶ n-m 2 ⑴ a# ⑵ 1b ⑶ 1 ⑷ y#1 3 ⑴ a$ ⑵ x 4 ⑴ 9 ⑵ 5 5 11 6 4 7 ㉠ x&, ㉡ x$ 8 ‘항하사’는 10%@이고 ‘정’은 10$)이므로 10%@_10$)=10%@_$)=10!@ y`➊ 따라서 ‘항하사’는 ‘정’의 10!@배이다. y`➋ 채점 기준 배점 비율 ➊ 식 세우기 60`% ➋ ‘항하사’는 ‘정’의 몇 배인지 구하기 40`%곱의 거듭제곱과 분수의 거듭제곱 P. 41
2.3
● 생각 열기 활동 1 36
활동 2모범 예시 6@ 또는 {2\3}@ 또는 2@\3@
문제 1 ⑴ a%b% ⑵ 8a!@ ⑶ x!@y!* ⑷ x!@y$ 문제 2 ⑴ a^b^ ⑵ a^4 ⑶ x@)y!@ ⑷ -x!)y%
● 스스로 해결하기
1 ⑴ m, m ⑵ m, m
2 ⑴ a%b!% ⑵ -a^b!@ ⑶ 16x@)y* ⑷ x!*y^z!@ 3 ⑴ a@$b!@ ⑵ -y!%x# 4 ⑴ 3, 24 ⑵ 3, 12 5 a=9, b=6 6 42 7 8 8 (1회에서 남은 끈의 길이의 합)=108\ 23 {cm} y`➊ (2회에서 남은 끈의 길이의 합) =[108\ 23 ]\23=108\[ 23 ]@{cm} y`➋ (3회에서 남은 끈의 길이의 합) =-108\[ 23 ]@ =\23=108\[ 23 ]# =108\278 =32{cm} 따라서 3회 반복하였을 때, 남은 끈의 길이의 합은 32`cm이다. y`➌ 채점 기준 배점 비율 ➊ 1회에서 남은 끈의 길이의 합 구하기 30`% ➋ 2회에서 남은 끈의 길이의 합 구하기 30`% ➌ 3회에서 남은 끈의 길이의 합 구하기 40`% ● 모범 예시 공학용 계산기를 이용하여 등식의 좌변과 우 변을 각각 계산하면 다음과 같다. ⑴ 2.5#\2.5$=610.3515625, 2.5&=610.3515625이므로 2.5#\2.5$=2.5&이다. ⑵ 11!@_11*=14641, 11$=14641이므로 11!@_11*=11$이다. ⑶ {5\1.4@}#=941.192, 5#\1.4^=941.192이므로 {5\1.4@}#=5#\1.4^이다. ⑷ [ 5@8 ]%=298.023223876953125, 5!) 8%=298.023223876953125이므로 [ 5@8 ]%=5!)8%이다. 단항식의 곱셈과 나눗셈 P. 46
2.4
● 생각 열기 활동 1 {5a\4b}`cm@ 또는 20ab`cm@` 활동 2 {5a\4b}`cm@는 협동화의 전체 가로의 길이와 세 로의 길이를 이용하여 그 넓이를 구하였고, 20ab`cm@는 직사각형 모양의 종이 1장의 넓이를 이용하여 협동화의 넓이를 구하였다.문제 1 ⑴ 21ab ⑵ 18x% ⑶ -27x$y@ ⑷ 16a*b% 문제 2 ⑴ 3a@ ⑵ -15xy@ ⑶ -2a# ⑷ -6y# 문제 3 ⑴ -2b@ ⑵ 3a%b# ⑶ 5x@y# ⑷ 3x#y 생각을 나누는 의사소통 모범 예시 2 3x= 2x 3 이므로 2 3 x의 역수는 3 2x이다. 따라서 동현이의 계산 과정을 바르게 고치면 다음과 같다. 6x@_23 x =6x@\2x3 =6x@\32x =18x@2x =9x ● 스스로 해결하기 1 ⑴ 계수, 문자 ⑵ 역수
2 ⑴ 10a#b@ ⑵ -2x# ⑶ -8a#b ⑷ -10x!%y^ 3 ⑴ 5ab# ⑵ 3a@b 4 3x@y# 5 22 6 - 54 x@y@ 7 2x@y\3x_{x#_xy} 8 (밑넓이)=p\{2a@b}@=4pa$b@ y`➊ 높이는 6ab이므로 구하는 원기둥의 부피는 4pa$b@\6ab=24pa%b# y`➋ 채점 기준 배점 비율 ➊ 원기둥의 밑넓이 구하기 40`% ➋ 원기둥의 부피 구하기 60`% ● 1 8 2 9 3 7 4 10 5 14 6 20 7 2 8 5 9 4 10 6 식물의 이름은 ‘민들레’이다.
다항식의 덧셈과 뺄셈 P. 51
2.5
● 생각 열기 활동 1 3x+2y 활동 2 5x+3y 문제 1 ⑴ a+10b ⑵ 2x+y ⑶ 11a-2b+9 ⑷ 11x-19y+14 문제 2 ⑴ -x+5y ⑵ -6b 문제 3 ⑴ 3x@+5x+3 ⑵ -x@-7x 생각을 나누는 의사소통 모범 예시 두 다항식 3x+2y-1, 5x-y+3을 고른 경우 <두 다항식을 더하는 식> {3x+2y-1}+{5x-y+3} =3x+2y-1+5x-y+3 =3x+5x+2y-y-1+3 =8x+y+2 두 다항식을 더할 때에는 먼저 괄호를 풀고 동류항끼리 모 아서 계산한다. <두 다항식을 빼는 식> {3x+2y-1}-{5x-y+3} =3x+2y-1-5x+y-3 =3x-5x+2y+y-1-3 =-2x+3y-4 두 다항식을 뺄 때에는 빼는 식의 각 항의 부호를 바꾸어 더한다. ● 스스로 해결하기 1 ⑴ 동류항 ⑵ 이차식 2 ⑴ 9a-b ⑵ -5a+3b ⑶ 10x-2y+3 ⑷ 2x-9y+3 3 ⑴ -4x+5y ` ⑵ -8x-3y+1 4 ⑴ 8x@-x+2 ⑵ y@+5y-9 5 18 6 2a+5b-2 7 x@+7x-11, 3x@+6x-7 8 어떤 식을 A라고 하면 A+{-x@+6x-9}=7x@-x+3 y`➊ A =7x@-x+3-{-x@+6x-9} ` =8x@-7x+12 y`➋ 따라서 바르게 계산한 식은 {8x@-7x+12}-{-x@+6x-9} =9x@-13x+21 y`➌ 채점 기준 배점 비율 ➊ 어떤 식을 구할 수 있는 식 세우기 30`% ➋ 어떤 식 구하기 40`% ➌ 바르게 계산한 식 구하기 30`% 단항식과 다항식의 곱셈, 나눗셈 P. 552.6
● 생각 열기 활동 1 3a{4a+b}`cm@ 또는 {12a@+3ab}`cm@ 활동 2 3a{4a+b}`cm@는 책갈피의 전체 가로의 길이와 세로의 길이를 이용하여 책갈피의 넓이를 구하였고, {12a@+3ab}`cm@는 2개의 직사각형의 넓이를 이용하여 책갈피의 넓이를 구하였다. 문제 1 ⑴ 20ab+8a ⑵ -24a@+6ab ⑶ -14xy+21y@ ⑷ -6x@+15xy-3x 문제 2 ⑴ 3a@-7a+5b ⑵ 3x@+8xy 문제 3 ⑴ 4a-3 ⑵ -2a@-6 ⑶ 20y@-4x ⑷ 3x-2y+1 문제 4 ⑴ -xy+14y@ ⑵ 3ab-14b@ 생각을 나누는 의사소통 모범 예시 {A-B}_C=A-BC =AC-BC이므로 지민 이의 계산 과정을 바르게 고치면 다음과 같다.{9x@-6xy}_3x =9x@-6xy3x =9x@3x-6xy3x =3x-2y
● 스스로 해결하기 1 전개 2 ⑴ 3a@+15ab ⑵ -8x@+2xy-12x 3 ⑴ 3x+5y ⑵ -16y-12x+8 4 ⑴ -7a@-6ab+6a ⑵ -5xy 5 -7 6 18x#y@+45x@y# 7 A=-6x@y+3x, B=-12x#y@+6x@y 8 어떤 다항식을 A라고 하면 A\23xy=-4x@y+2xy@-6xy y`➊ 따라서 A ={-4x@y+2xy@-6xy}_23 xy ={-4x@y+2xy@-6xy}\2xy 3 =-6x+3y-9 y`➋ 채점 기준 배점 비율 ➊ 어떤 다항식을 구할 수 있는 식 세우기 30`% ➋ 어떤 다항식 구하기 70`%
● 모범 예시 ⑴ 1 x 1 1 x x x x x x+3 \ x@ ⇨ x{x+3}=x@+3x ⑵ 1 x 1 1 x x x x 1 x x@ x x x@ x x x 2x x+4 \ ⇨ 2x{x+4}=2x@+8x ⑶ x x x x x x x@ x@ x@ x x x 1 1 x x+2 3x \ ⇨ 3x{x+2}=3x@+6x ⑷ x x x x@ x@ x@ x x x x x@ x 1 x x+1 4x \ ` ⇨ 4x{x+1}=4x@+4x 01 ㄴ 02 -x(y 03 21 04 2 05 5ab@c 06 -6x#y@ 07 9배 08 5 09 {3a+2b}원 10 1 11 13ab-7b@ 12 2b 13 ⑴ 6a@-15a ⑵ -3a+4 14 -x-2y 15 9x@-3xy+2y@ 16 1.97\10^년 17 9 P. 60 07 원기둥의 부피는 p\{3ab}@\6ab=54pa#b# y`➊ 원뿔의 부피는 13\p\[ ba ]@\18a%b=6pa#b# y`➋
따라서 54pa#b#_6pa#b#=54pa#b#6pa#b# =9이므로 원기 둥의 부피는 원뿔의 부피의 9배이다. y`➌ 채점 기준 배점 비율 ➊ 원기둥의 부피 구하기 40`% ➋ 원뿔의 부피 구하기 40`% ➌ 원기둥의 부피는 원뿔의 부피의 몇 배인지 구 하기 20`% 11 어떤 식을 A라고 하면 A+{a@-4ab+3b@}=2a@+5ab-b@ y`➊ A =2a@+5ab-b@-{a@-4ab+3b@} =a@+9ab-4b@ y`➋ 따라서 바르게 계산한 식은 a@+9ab-4b@-{a@-4ab+3b@} =13ab-7b@ y`➌ 채점 기준 배점 비율 ➊ 어떤 식을 구할 수 있는 식 세우기 30`% ➋ 어떤 식 구하기 40`% ➌ 바르게 계산한 식 구하기 30`% ● 창의 융합 프로젝트 모범 예시 1 행성 수성 금성 지구 화성 목성 토성 천왕성 해왕성 반지름의 길이의 비 0.38 0.94 1.00 0.53 11.09 9.38 4.06 3.75 2 행성 수성 금성 지구 화성 목성 토성 천왕성 해왕성 태양으로 부터 행성 까지의 거 리의 비 0.39 0.72 1.00 1.52 5.19 9.47 19.33 30.00 3 수성{0.38} 30.0019.33 9.47 5.19 0.390.72 1 1.52 금성{0.94}지구{1.00} 화성{0.53} 목성{11.09} 천왕성{4.06} 해왕성{3.75} 토성{9.38} 반지름의 길이가 큰 순서로 나열하면 목성, 토성, 천왕 성, 해왕성, 지구, 금성, 화성, 수성이다.
● 준비해 볼까? 1 2, 35, 5, 20, 15, 19, 48, 30, 56 2 ⑴ < ⑵ > ⑶ < 3 ⑴ a<6 ⑵ b>-4 4 x=2 소리의 세계 P. 66
3.0
● 20<a<20000 ● 모범 예시 <미세 먼지 농도에 따른 등급> •좋음: 0`Ig/m# 이상 15`Ig/m# 이하 •보통: 16`Ig/m# 이상 35`Ig/m# 이하 •나쁨: 36`Ig/m# 이상 75`Ig/m# 이하 •매우 나쁨: 76`Ig/m# 이상 부등식과 그 해 P. 673.1
● 생각 열기 활동 1 서울, 강원, 경기, 충남 활동 2 76`Ig/m# 이상 문제 1 ⑴ x-3<2 ⑵ 5a<10000 ⑶ x>120 문제 2 ⑴ 2, 3 ⑵ 1, 2, 3 ⑶ 0, 1 ⑷ 0, 1 ● 스스로 해결하기 1 ⑴ 부등식 ⑵ 해 2 ㄱ, ㄹ 3 ⑴ x+3<8 ⑵ x-7>2x ⑶ 4a<10000 ⑷ 8x>10 4 ⑴ -1, 0 ⑵ -1 ⑶ -1, 0, 1 ⑷ 1, 2 5 ⑴, ⑷ 6 ⑴ x<5.5 ⑵ x>50 ⑶ x>30 ⑷ x<2.2 7 x 부등식 2x-3<x-1 참/ 거짓 좌변의 값 부등호 우변의 값 1 2\1-3=-1 < 1-1=0 참 2 2\2-3=1 < 2-1=1 참 3 2\3-3=3 < 3-1=2 거짓 4 2\4-3=5 < 4-1=3 거짓 5 2\5-3=7 < 5-1=4 거짓 y`➊ 따라서 부등식 2x-3<x-1을 참이 되게 하는 모든 x 의 값은 1, 2이므로 그 합은 1+2=3 y`➋부등식
3
채점 기준 배점 비율 ➊ x의 값을 대입하여 부등식의 참, 거짓 구하기 60`% ➋ 부등식을 참이 되게 하는 모든 x의 값의 합 구하기 40`% ● 모범 예시 x=0, x=1, x=2, x=3일 때 참이므로 부등식 x+14>3{x+2}의 해는 0, 1, 2, 3이다. 부등식의 성질 P. 713.2
● 생각 열기 활동 1 3<5 활동 2 1<3 문제 1 ⑴ < ⑵ < ⑶ < ⑷ < 문제 2 ⑴ < ⑵ < ⑶ < ⑷ < 문제 3 ⑴ > ⑵ > ⑶ > ⑷ > 문제 4 ⑴ < ⑵ < ⑶ > ⑷ > 생각을 나누는 의사소통 모범 예시 양변에 같은 수를 더하거나 양변에서 같은 수 를 빼어도 부등식은 부등호의 방향이 바뀌지 않고, 등식 은 등호가 성립한다는 점에서 부등식의 성질과 등식의 성 질은 같다. 그러나 양변에 같은 수를 곱하거나 양변을 0이 아닌 같은 수로 나눌 때, 등식은 항상 등호가 성립하지만 부등식은 양변에 같은 음수를 곱하거나 양변을 같은 음수로 나누면 부등호의 방향이 바뀐다는 차이가 있다. ● 스스로 해결하기 1 ⑴ <, < ⑵ <, < ⑶ >, > 2 ⑴ < ⑵ < ⑶ < ⑷ > 3 ⑴ < ⑵ > ⑶ > ⑷ < 4 ⑴ < ⑵ > ⑶ < ⑷ >5 ⑴ < ⑵ < 6 > 7 x<5의 양변에 -2를 곱하면 -2x>-10 y`➊ 양변에 3을 더하면 3-2x>-7 y`➋ 채점 기준 배점 비율 ➊ -2x의 값의 범위 구하기 50`% ➋ 3-2x의 값의 범위 구하기 50`% ● 1 × 2 3 4 × 5 × 6 7 일차부등식의 풀이 P. 76
3.3
● 생각 열기 활동 1 {5x+25000}원 활동 2 1200원, 1300원, 1400원 문제 1 ⑴, ⑶ 문제 2 ⑴ x<-2 ⑵ x<-3 -4 -3 -2 -1 -5 -4 -3 -2 문제 3 ⑴ x>-3 ⑵ x<1 -4 -3 -2 -1 -1 0 1 2 문제 4 ⑴ x>1 ⑵ x>-10 ⑶ x<4 ⑷ x>-22 문제 5 ⑴ x>5 ⑵ x>3 문제 6 ⑴ x>23 ⑵ x<10 문제 7 5 cm 이상 문제 8 3.6 km 이내 생각을 나누는 의사소통 모범 예시 <지원이의 방법> x 4 -2 3< 56+x에서 우변의 x를 좌변으로, 좌변의 -2 3 를 우변으로 이항하면 x4-x< 56+23 양변을 정리하면 -34x< 32 양변에 -43 를 곱하면 x>-2 <민재의 방법> x 4 -2 3< 56+x의 양변에 12를 곱하면 3x-8<10+12x 우변의 12x를 좌변으로, 좌변의 -8을 우변으로 이항하면 3x-12x<10+8 양변을 정리하면 -9x<18 양변을 -9로 나누면 x>-2 ● 스스로 해결하기 1 일차부등식 2 ㄱ, ㄹ 3 ⑴ x>4 3 4 5 6 ⑵ x>3 2 3 4 5 ⑶ x<2 0 1 2 3 ⑷ x<1 -1 0 1 2 4 ⑴ x<1 ⑵ x>3 ⑶ x<-2 ⑷ x>7 5 11송이 6 2 7 산에 올라갈 수 있는 거리를 x km라고 하면 (올라가는 데 걸리는 시간)+(내려오는 데 걸리는 시간) 이 3시간 이하이어야 하므로 부등식을 세우면 x 2+ x 3 <3 y`➊ 부등식을 풀면 3x+2x<18, 5x<18, x<3.6 따라서 최대 3.6 km까지 올라갔다 올 수 있다. y`➋ 확인 올라갈 수 있는 거리를 3.6 km라고 하면 올라가는 데 걸리는 시간은 3.62 =1.8(시간), 내려오는 데 걸리는 시간은 3.63 =1.2(시간)이므로 걸리는 총시간은 1.8+1.2=3(시간)으로 3시간 이내이다. 따라서 구한 해가 문제의 뜻에 맞는다. y`➌채점 기준 배점 비율 ➊ 일차부등식 세우기 30`% ➋ 일차부등식을 풀어 답 구하기 50`% ➌ 구한 해가 문제의 뜻에 맞는지 확인하기 20`% ● 모범 예시 [방법 1] 예상과 확인 박물관에서 30명의 단체 입장료는 20 % 할인이므로 30\9000\{1-0.2}=216000(원)이다. 25명의 개인 입장료는 9000\25=225000(원)으로 30명의 단체 입장료가 더 저렴하다. 24명의 개인 입장료는 9000\24=216000(원)으로 30명의 단체 입장료와 같다. 따라서 25명 이상부터 30명의 단체 입장권을 사는 것이 더 저렴하다. [방법 2] 식 세우기 박물관에 입장하는 학생 수를 x명이라고 하면 x명의 개 인 입장료는 9000x원이고, 30명의 단체 입장료는 30\9000\{1-0.2}=216000(원)이다. 30명의 단체 입장료가 개인 입장료의 합보다 더 저렴해야 하므로 부등식을 세우면 9000x>216000이다. 이 일차부등식을 풀면 x>2160009000 , x>24이므로 25명 이 상부터 30명의 단체 입장권을 사는 것이 더 저렴하다. [방법 3] 논리적 추론 30명의 단체 입장료는 20 %가 할인되므로 30명 중 20 %의 인원은 무료로 입장하는 것과 같다. 즉, 30\0.2=6(명)은 무료로 입장하는 것이므로 30명의 단 체 입장료는 30-6=24(명)의 개인 입장료의 합과 같아 진다. 따라서 25명 이상부터 30명의 단체 입장권을 사는 것이 더 저렴하다. 선택한 이유 [방법 1] ‘예상과 확인’은 주어진 문제 상황이 복잡하지 않아서 대략적인 값을 추측하여 그 값이 문제 상황에 맞는지 확인하기만 해도 답을 찾을 수 있기 때문 에 선택하였다. [방법 2] ‘식 세우기’는 문제의 조건에 맞는 일차부등식을 세워 그 일차부등식을 풀면 구하고자 하는 것을 찾을 수 있기 때문에 선택하였다. [방법 3] ‘논리적 추론’은 단체 입장권의 할인율을 이용하 여 무료로 입장하는 학생 수를 구하면 단체 입장권을 사 는 것이 더 저렴할 때의 학생 수를 찾을 수 있기 때문에 선택하였다. 01 4x+5000>8000 02 ㄴ, ㄷ 03 > 04 ㄴ, ㄹ 05 ㄱ, ㄹ 06 3 07 x>2 08 4 09 4 10 x>2 11 1 12 6`cm 이상 13 94점 이상 14 23명 15 31개월 이상 16 17번 이상 P. 84 09 16{x+14}>7{x+a}에서 괄호를 풀면 16x+64>7x+7a 우변의 7x를 좌변으로, 좌변의 64를 우변으로 이항하면 16x-7x>7a-64, 9x>7a-64 즉, x>7a-649 y`➊ 이때 주어진 일차부등식의 해가 x>-4이므로 7a-64 9 =-4, 7a-64=-36, 7a=28 따라서 a=4이다. y`➋ 채점 기준 배점 비율 ➊ 주어진 부등식의 해 구하기 60`% ➋ a의 값 구하기 40`% 11 ax-a>4{x-1}에서
ax-a>4x-4, ax-4x>a-4, {a-4}x>a-4 이때 a<4에서 a-4<0이므로 x<a-4a-4, 즉 x<1 y`➊ 따라서 x의 값 중 가장 큰 정수는 1이다. y`➋ 채점 기준 배점 비율 ➊ a의 조건을 이용하여 주어진 부등식 풀기 70`% ➋ 가장 큰 정수 구하기 30`% ● 창의 융합 프로젝트 1 ⑴ 구분 사용량 이산화 탄소 배출량(kg) 전기{kWh} 300 127.2 도시가스{m#} 155 341 수도{m#} 50 16.6 합계 484.8 ⑵ 3봉지 이하 2 모범 예시 •사용하지 않는 전등 끄기 •안 쓰는 전기 코드 뽑기 •양치할 때 물컵 사용하기
● 준비해 볼까? 1 ⑴ 5 ⑵ -3 2 ⑴ 2x+3 ⑵ 3x+13 3 ⑴ x=2 ⑵ x=-2 4 2 조선, 수학을 장려하다 P. 90
4.0
● 모범 예시 닭의 수를 x라고 하면 토끼의 수는 {100-x} 이므로 2x+4{100-x}=272로 나타낼 수 있다. ● 모범 예시 홍정하(洪正夏, 1684~?): 방정식의 구성과 해법을 다룬 구일집 을 지었다. 연립일차방정식과 그 해 P. 914.1
● 생각 열기 활동 1 x+y=5 활동 2 3x+y=11 문제 1 ⑴, ⑶ 문제 2 ⑴ x=1, y=3 ⑵ x=4, y=2 생각을 나누는 의사소통 모범 예시 <준서의 방법> 일차방정식 x+y=8의 x에 자연수 1, 2, 3, y을 차례로 대입하여 y의 값을 구하면 다음 표와 같다. x 1 2 3 4 5 6 7 8 y y 7 6 5 4 3 2 1 0 y 일차방정식 4x+y=14의 x에 자연수 1, 2, 3, y을 차례 로 대입하여 y의 값을 구하면 다음 표와 같다. x 1 2 3 4 y y 10 6 2 -2 y 따라서 구하는 해는 두 일차방정식을 동시에 참이 되게 하는 x, y의 값이므로 x=2, y=6이다. <서영이의 방법> 일차방정식 4x+y=14의 x에 자연수 1, 2, 3, y을 차례 로 대입하여 y의 값을 구하면 다음 표와 같다. x 1 2 3 4 y y 10 6 2 -2 y 일차방정식 4x+y=14를 참이 되게 하는 값 x=1, y=10 과 x=3, y=2를 x+y=8에 대입하면 각각 1+10=8과 3+2=8이므로 거짓이고, x=2, y=6을 x+y=8에 대입 하면 2+6=8이므로 참이다.연립방정식
4
따라서 구하는 해는 x=2, y=6이다. 이와 같이 x, y가 자연수일 때 연립방정식은 준서와 같이 한 미지수에 자연수를 대입하여 두 일차방정식을 동시에 참이 되게 하는 값을 찾는 방법으로 풀 수도 있고, 서영이 와 같이 하나의 일차방정식을 참이 되게 하는 값을 구한 후 다른 방정식에 대입하여 참이 되는지 확인하는 방법으 로 풀 수도 있다. ● 스스로 해결하기 1 연립일차방정식, 연립방정식 2 ㄱ, ㄷ, ㄹ 3 ⑵, ⑷ 4 ⑴ x=2, y=4 ⑵ x=2, y=2 5 ㈎, ㈐ 6 x=1, y=4를 두 일차방정식에 각각 대입하면 - a\1+4=14 1+3b\4=13, 즉 - a+4=14 1+12b=13 y`➊ a+4=14에서 a=10 1+12b=13에서 b=1 y`➋ 따라서 a+b=10+1=11 y`➌ 채점 기준 배점 비율 ➊ 주어진 해를 연립방정식에 대입하기 50`% ➋ a, b의 값 각각 구하기 40`% ➌ a+b의 값 구하기 10`% ● 모범 예시 ➊ 셀 A2에서부터 셀 A8에 x의 값 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7을 각각 입력한다. ➋ ➌ ➍ ➎ 따라서 구하는 해는 x=6, y=-13이다.대입을 이용한 연립방정식의 풀이 P. 96
4.2
● 생각 열기 활동 1 5자루, 6000원 활동 2 1200원 문제 1 ⑴ x=2, y=4 ⑵ x=0, y=5 문제 2 ⑴ x=2, y=1 ⑵ x=-5, y=-2 ● 스스로 해결하기 1 대입 2 ⑴ x=4, y=2 ⑵ x=1, y=-1 3 ⑴ x=-2, y=-4 ⑵ x=2, y=-1 ⑶ x=0, y=-2 ⑷ x=-1, y=2 4 15 5 10 6 y의 값이 x의 값의 3배이므로 y=3x yy`① y`➊ ①을 4x-3y=10에 대입하면 4x-3\3x=10 -5x=10이므로 x=-2 이때 x=-2를 ①에 대입하면 y=3\{-2}=-6 y`➋ x=-2, y=-6을 x-y=a에 대입하면 -2-{-6}=a이므로 a=4이다. y`➌ 채점 기준 배점 비율 ➊ y=3x임을 알기 40`% ➋ x, y의 값 각각 구하기 40`% ➌ a의 값 구하기 20`% 다른 풀이 x-y=a에서 x를 y의 식으로 나타내면 x=y+a yy`② ②를 4x-3y=10에 대입하면 4{y+a}-3y=10 4y+4a-3y=10이므로 y=-4a+10 이때 y=-4a+10을 ②에 대입하면 x={-4a+10}+a이므로 x=-3a+10 y`➊ 한편, y의 값이 x의 값의 3배이므로 -4a+10=3{-3a+10}, -4a+10=-9a+30 5a=20이므로 a=4이다. y`➋ 채점 기준 배점 비율 ➊ 주어진 연립방정식의 해를 a의 식으로 나타내기 60`% ➋ a의 값 구하기 40`% 두 식의 합 또는 차를 이용한 연립방정식의 풀이 P. 1004.3
● 생각 열기 활동 1 빨간 메모지 2장, 파란 메모지 1장 문제1 ⑴ x=-4, y=-2 ⑵ x=2, y=1 문제 2 ⑴ x=-4, y=3 ⑵ x=2, y=-1 문제 3 ⑴ x=11, y=-1 ⑵ x=2, y=9 문제4 색연필: 700원, 도화지: 200원 문제5 36 생각을 나누는 의사소통 모범 예시 <지민이의 방법> ②의 2x에 ①을 대입하여 풀면 y=-2 이때 y=-2를 ①에 대입하여 풀면 x=3 따라서 구하는 해는 x=3, y=-2이다. <민재의 방법> ②에서 ①을 변끼리 빼면5y={-4}-{3y+12}, 8y=-16이므로 y=-2 이때 y=-2를 ①에 대입하여 풀면 x=3 따라서 구하는 해는 x=3, y=-2이다. 이와 같이 연립방정식은 지민이와 같이 대입을 이용하여 풀 수도 있고, 민재와 같이 두 식의 합 또는 차를 이용하 여 풀 수도 있다. ● 스스로 해결하기 1 더하, 빼 2 ⑴ x=-2, y=5 ⑵ x=52 , y=112 ⑶ x=-3, y=-4 3 ⑴ x=4, y=2 ⑵ x=2, y=4 4 3 5 2점 슛: 10골, 3점 슛: 4골 6 1 7 시속 40`km로 달린 거리를 x`km, 시속 60`km로 달린 거리를 y`km라고 하면 이동한 총거리는 50`km이므로 x+y=50 시속 40`km로 이동할 때 걸린 시간은 40 시간, 시속 x 60`km로 이동할 때 걸린 시간은 60 시간이고, 총 1시y 간이 걸렸으므로 40 +x 60 =1y 연립방정식을 세우면 ( -9 x+y=50 yy`① x 40 + y 60 =1 yy`② y`➊ ②의 양변에 120을 곱하면 3x+2y=120 yy`③
①의 양변에 2를 곱하면 2x+2y=100 yy`④ ③에서 ④를 변끼리 빼면 x=20 이때 x=20을 ①에 대입하면 20+y=50이므로 y=30 따라서 시속 40`km로 달린 거리는 20`km이고 시속 60`km로 달린 거리는 30`km이다. y`➋ 확인 시속 40`km로 달린 거리가 20`km이고 시속 60`km로 달린 거리가 30`km이면 이동한 총거리는 50`km이다. 시속 40`km로 20`km를 이동한 시간은 2040 =12 (시간), 시속 60`km로 30`km를 이동한 시간은 3060 =12 (시간) 이므로 이동한 총시간은 1시간이다. 즉, 구한 해가 문제의 뜻에 맞는다. y`➌ 채점 기준 배점 비율 ➊ 연립방정식 세우기 40`% ➋ 연립방정식 풀기 40`% ➌ 구한 해가 문제의 뜻에 맞는지 확인하기 20`% ● 야구 방망이 삼각자 머리빗 압정 연필 종이배 ● ⑴ x=-4, y=-3 ⑵ x=2, y=-1 01 5x+6y=60 02 20 03 ㄱ, ㄷ 04 22 05 x=5, y=3 06 2 07 x=9, y=3 08 -4 09 -2 10 x=0, y=2 11 x=2, y=-1 12 x=-2, y=3 13 11 14 13 15 남학생: 648명, 여학생: 576명 16 10003 `m 17 15명 P. 108
08 - ax+y=-5 yy`①-x+y=10 yy`②에서 y의 값이 x의 값의
3배이므로 y=3x yy`③ y`➊ ③을 ②에 대입하면 -x+3x=10, x=5 x=5를 ③에 대입하면 y=15 y`➋ 따라서 x=5, y=15를 ①에 대입하면 5a+15=-5이므로 a=-4 y`➌ 채점 기준 배점 비율 ➊ y=3x임을 알기 40`% ➋ x, y의 값 각각 구하기 40`% ➌ a의 값 구하기 20`% 09 - ax+by=-2 yy`① 2x+7y=34 yy`② - x-3y=-9 yy`③ 6x+ay=10 yy`④에서 ③의 양변에 2를 곱한 식에서 ②를 변끼리 빼면 -13y=-52, y=4 y=4를 ③에 대입하면 x-3\4=-9, x=3 y`➊
x=3, y=4를 ④에 대입하면 6\3+4a=10, a=-2 ①의 식 -2x+by=-2에 x=3, y=4를 대입하면 -2\3+4b=-2, b=1 y`➋ 따라서 ab={-2}\1=-2 y`➌ 채점 기준 배점 비율 ➊ 연립방정식의 해 구하기 40`% ➋ a, b의 값 각각 구하기 40`% ➌ ab의 값 구하기 20`% 15 작년 신입생의 남학생 수를 x명, 여학생 수를 y명이 라고 하면 ( -9 x+y=1200 -10010 \x+10020 \y=24 y`➊ 즉, - x+y=1200 -x+2y=240 연립방정식을 풀면 x=720, y=480 y`➋ 따라서 작년 신입생의 남학생 수는 720명, 여학생 수 는 480명이므로 올해 신입생의 남학생 수와 여학생 수는 (남학생 수)=720-720\10010 =648(명) (여학생 수) =480+480\10020 =576(명) y`➌
확인 작년 신입생의 남학생 수가 720명, 여학생 수가 480명이면 작년도 신입생 수는 남녀를 합하여 720+480=1200(명)이고, 올해 줄어든 남학생 수는 720\10010 =72(명), 올해 늘어난 여학생 수는 480\100 =96(명)이므로 전체적으로 96-72=24(명) 20 늘었다. 즉, 구한 해가 문제의 뜻에 맞는다. y`➍ 채점 기준 배점 비율 ➊ 연립방정식 세우기 40`% ➋ 연립방정식의 해 구하기 20`% ➌ 올해 신입생의 남학생 수와 여학생 수 각각 구하기 30`% ➍ 구한 해가 문제의 뜻에 맞는지 확인하기 10`% ● 창의
+
융합 프로젝트 모범 예시 1 당나귀의 짐을 x자루, 노새의 짐을 y자루라고 하면 - 2{x-1}=y+1 x+1=y-1 이 연립방정식을 풀면 x=5, y=7 따라서 당나귀의 짐은 5자루, 노새의 짐은 7자루이다. 2 신난다 오늘은 하경이네랑 유람선 타고 놀러간다. 우리는 어른 3명, 청소년 2명이니까 52000원이네. 우리는 어른 2명, 청소년 1명이니까 32000원이네. 하빈아, 어른과 청소년의 요금은 각각 얼마씩일까? 어른 요금을 x원, 청소년 요금을 y원이라고 하면 - 2x+y=32000 3x+2y=52000 이 연립방정식을 풀면 x=12000, y=8000 따라서 어른 요금은 12000원, 청소년 요금은 8000원 이다. ● 준비해 볼까? 1 ⑴, ⑵ 2 ⑴ y=2x ⑵ y=-3x 3 ⑴ 제1사분면, 제3사분면 -2 2 4 -4 2 4 y x -2 O -4 ⑴ ⑵ ⑵ 제2사분면, 제4사분면 4 ⑴ x=10, y=-3 ⑵ x=2, y=5 물시계 속에 숨어 있는 수학 P. 1145.0
●20`cm ● 모범 예시 전력 계량기에서는 전기를 사용함에 따라 수치가 변하는 것을 알 수 있다. 함수와 함숫값 P. 1155.1
● 생각 열기 활동 1 340원 활동 2 1190원 문제 1 ⑴ x 1 2 3 4 5 y y 1.5 3 4.5 6 7.5 y ⑵ 두 변수 x, y에 대하여 x의 값이 변함에 따라 y의 값이 하나씩 정해지므로 y는 x의 함수이다. 문제 2 y가 x의 함수인 것은 ⑴, ⑵이다. ⑶ x 1 2 3 4 y y 1 1, 2 1, 3 1, 2, 4 y 위의 표에서 x의 값이 변함에 따라 y의 값이 하 나씩 정해지지 않으므로 y는 x의 함수가 아니다. 문제 3 ⑴ f{2}=8, f{-3}=-12 ⑵ f{2}=-3, f{-3}=2 ⑶ f{2}=1, f{-3}=-4 생각을 나누는 의사소통 모범 예시 •아이스크림 한 개의 가격이 1000원일 때, 구입한 아이스크림의 개수와 지불해야 하는 금액 사이 의 관계일차함수와 그래프
5
• 삼각형의 넓이가 10`cm@일 때, 삼각형의 밑변의 길이와 높이 사이의 관계 • 자동차가 시속 100`km의 일정한 속력으로 달릴 때, 시 간과 거리 사이의 관계 • 하루 중 낮의 길이와 밤의 길이 사이의 관계 ● 스스로 해결하기 1 ⑴ 함수 ⑵ 함숫값 2 ⑴ x 1 2 3 4 5 y 15 30 45 60 75 ⑵ 두 변수 x, y에 대하여 x의 값이 변함에 따라 y의 값이 하나씩 정해지므로 y는 x의 함수이다. 3 y가 x의 함수인 것은 ⑴, ⑶이다. ⑵ x 1 2 3 4 y y 1 1, 2 1, 2, 3 y 위의 표에서 x의 값이 변함에 따라 y의 값이 하나씩 정해지지 않으므로 y는 x의 함수가 아니다. 4 ⑴ f{-2}=6, f{5}=-15 ⑵ f{-2}=-5, f{5}=2 ⑶ f{-2}=-1, f{5}=13 ⑷ f{-2}=3, f{5}=-4 5 -5 6 f{-2}=5\{-2}-3=-13 y`➊ f{1}=5\1-3=2 y`➋ 따라서 f{-2}+2f{1}=-13+2\2=-9이다. y`➌ 채점 기준 배점 비율 ➊ f{-2}의 값 구하기 40`% ➋ f{1}의 값 구하기 40`% ➌ f{-2}+2f{1}의 값 구하기 20`% ● 모범 예시 ⑴ x 1 2 3 4 5 y 5 10 15 20 25 ⑵ O 1 2 3 4 5 5 10 20 15 25 x y 일차함수의 뜻과 그 그래프 P. 120
5.2
● 생각 열기 활동 1 x 1 2 3 4 5 y 45 75 105 135 165 활동 2 y는 x의 함수이다., y=30x+15 문제 1 ⑴, ⑶ 문제 2 ⑴ y=2x ⑵ y=x@ ⑶ y=3x+1500 ⑷ y=12x 따라서 일차함수인 것은 ⑴, ⑶이다. 문제 3 ⑴ -2 2 4 -4 -2 2 4 O y x -4 ⑵ -2 2 4 -4 -2 4 O -4 y x 2 문제 4 ⑴ y=-x y=-x+3 -2 2 4 -4 -2 2 4 O -4 y x ⑵ y=3x y=3x-1 -2 2 4 -4 -2 2 4 -4 y x O 문제 5 ⑴ 1 ⑵ -4 생각을 나누는 의사소통 모범 예시 일차함수 y x -2 2 4 -4 -4 -2 y=3x+4 y=3x y=3x-1 2 4 O y=3x-1의 그래프와 일차 함수 y=3x+4의 그래프는 일차함수 y=3x의 그래프를 각각 -1만큼, 4만큼 평행이 동한 것이다. 따라서 일차함수 y=3x-1 의 그래프를 y축의 방향으로 5만큼 평행이동하면 일차함 수 y=3x+4의 그래프가 된다. ● 스스로 해결하기 1 ⑴ 일차함수 ⑵ 평행이동 2 ⑴, ⑵3 ⑴ y x 4 -4 -4 -2 O 2 4 -2 2 ⑵ y x -2 4 -4 -4 -2 O 2 4 2 4 ⑴ y x -2 2 4 -4 -4 -2 y=2!x y=2!x-2 2 4 O ⑵ y x -2 4 -4 -4 -2 O 2 2 y=-2x y=-2x+3 4 5 ⑴ y=4x-3 ⑵ y=- 23 x+2 6 일차함수 y=3x의 그래프를 y축의 방향으로 -5만큼 평행이동한 그래프가 나타내는 일차함수의 식은 y=3x-5 y`➊ 이 그래프가 점 {-1, k}를 지나므로 k=3\{-1}-5=-8 y`➋ 채점 기준 배점 비율 ➊ 평행이동한 그래프가 나타내는 식 구하기 60`% ➋ k의 값 구하기 40`% ● 모범 예시 일차함수 y=- 13x의 그래프를 y축의 방향으 로 -2만큼 평행이동하면 일차함수 y=-13x-2의 그래 프와 일치한다. 일차함수의 그래프와 절편 P. 127
5.3
● 생각 열기 활동 1 5`km 활동 2 30 !C 문제 1 ⑴ x절편: 3, y절편: 2 ⑵ x절편: 1, y절편: -2 문제 2 ⑴ x절편: 3, y절편: -6 ⑵ x절편: 3, y절편: 12 ⑶ x절편: 6, y절편: -3 ⑷ x절편: 9, y절편: 6 문제 3 ⑴ y x -2 4 -4 -2 O 2 4 2 -4 ⑵ -2 2 4 -4 -2 2 4 O -4 y x 생각을 나누는 의사소통 모범 예시 일차함수 y=ax+b의 그래프에서 b=0일 때, 일차함수 y=ax의 그래프는 원점을 지나는 직선이므로 x절편과 y절편을 이용하여 그래프를 그릴 수 없다. ● 스스로 해결하기 1 x절편, y절편 2 ⑴ x절편: 2, y절편: -2 ⑵ x절편: 1, y절편: 3 3 ⑴ x절편: 3, y절편: -3 ⑵ x절편: 2, y절편: 4 ⑶ x절편: -4, y절편: 2 ⑷ x절편: 13, y절편: -12 4 ⑴ x절편: 2, y절편: 2 ⑴ ⑵ -2 2 4 -4 -2 2 4 O -4 y x ⑵ x절편: 3, y절편: -1 5 36 y=2x-1에서 x=0일 때 y=-1이므로 y절편은 -1
이다. y`➊
y=x+a에서 y=0일 때 x=-a이므로 x절편은 -a
이다. y`➋ 따라서 -1=-a이므로 a=1이다. y`➌ 채점 기준 배점 비율 ➊ y=2x-1의 그래프의 y절편 구하기 40`% ➋ y=x+a의 그래프의 x절편 구하기 40`% ➌ a의 값 구하기 20`%
일차함수의 그래프와 기울기 P. 131
5.4
● 생각 열기 활동 1 원재: 112, 시연: 121 활동 2 서로 같다. 문제 1 ⑴ -1 ⑵ 3 ⑶ 12 ⑷ -23 문제 2 ⑴ 3 ⑵ -32 문제 3 ⑴ y x -2 4 -4 -4 -2 O 2 2 2 4 1 ⑵ y x -2 4 -4 -4 -2 O 2 2 -3 1 4 생각을 나누는 의사소통 모범 예시 두 점 {0, 1}, {2, 0}을 이용하여 기울기를 구 하면 0-12-0=-12이고, 다른 두 점 {-2, 2}, {4, -1}을 이용하여 기울기를 구하면 4-{-2}-1-2 =-12이다. 따라서 어떤 두 점을 잡아서 기울기를 구하여도 그 결과는 -12 로 같다. ● 스스로 해결하기 1 기울기 2 ⑴ 1 ⑵ -4 ⑶ - 13 ⑷ 2 3 ⑴ 32 ⑵ -2 4 y x -2 4 -4 -4 -2 O 4 2 1 2 -3 5 -1 6 x의 값이 3만큼 증가할 때, y의 값이 2만큼 감소하므로 일차함수 y=ax+3의 그래프의 기울기는 -23 이다. 즉, a=-23 이다. y`➊ y=-23 x+3의 그래프가 점 {b, 1}을 지나므로 y=-23x+3에 x=b, y=1을 대입하면 1=-23b+3, b=3 y`➋ 따라서 ab=-23\3=-2이다. y`➌ 채점 기준 배점 비율 ➊ a의 값 구하기 40`% ➋ b의 값 구하기 40`% ➌ ab의 값 구하기 20`% 일차함수의 그래프의 성질 P. 1365.5
● 생각 열기 활동 1 일차함수 y=2x+1, y=x-2의 그래프, 오른쪽 위로 향하는 직선이다. 활동 2 일차함수 y=-x+3, y=-2x-4의 그래프, 오른쪽 아래로 향하는 직선이다. 문제 1 ⑵, ⑷ 문제 2 ⑴과 ⑷, ⑵와 ⑶ 생각을 나누는 의사소통 모범 예시 두 일차함수의 그래프가 서로 평행하기 위해 서는 기울기는 같고, y절편은 달라야 하므로 a=-1, b=-2이어야 한다. ● 스스로 해결하기 1 ⑴ 평행, 일치 ⑵ 같다 2 ⑵, ⑷ 3 a<0, b<0 4 ⑴과 ⑶, ⑵와 ⑷ 5 제2사분면 6 두 일차함수 y=a3 x-1과 y=2x+3의 그래프의 y절 편이 각각 -1, 3으로 다르므로 두 그래프가 서로 평행 하려면 기울기가 같아야 한다. 즉, a3=2이다. y`➊ 따라서 a=6이다. y`➋ 채점 기준 배점 비율 ➊ 두 일차함수의 그래프가 평행하기 위한 조건 구 하기 60`% ➋ a의 값 구하기 40`%채점 기준 배점 비율 ➊ x와 y 사이의 관계를 식으로 나타내기 30`% ➋ 넓이가 84`cm@가 되는 것은 점 P가 출발한 지 몇 초 후인지 구하기 50`% ➌ 구한 값이 문제의 뜻에 맞는지 확인하기 20`% ● 1 일차함수, 자 2 5, 연 3 1, 책 4 6, 언 5 2, 어 6 평행, 수 7 3, 학 자 연 이라는 커다란 책 은 그곳에 씌어 있는 언 어 를 아는 사람만이 읽을 수 있다. 그 언어는 수 학 이다. 일차함수와 일차방정식 P. 146
5.7
● 생각 열기 활동 1 x -2 -1 0 1 2 y 6 5 4 3 2 활동 2 y x -2 4 -4 O -2 2 4 6 2 문제 1 ⑴ ⑵ -2 2 4 -4 2 4 O -4 y x -2 문제 2 y x -2 4 -4 O 2 4 2 ⑴ ⑶ ⑵ ⑷ -2 -4 일차함수의 식 구하기 P. 1405.6
● 생각 열기 활동 1 y절편: 4, 기울기: -2 활동 2 모범 예시 일차함수의 그래프의 y절편과 기울기 를 알면 일차함수의 식은 y=-2x+4로 구할 수 있다. 문제 1 y= 52 x-4 문제 2 ⑴ y= 23 x+2 ⑵ y=-12 x-1 문제 3 ⑴ y=-3x+8 ⑵ y=32 x-1 문제 4 ⑴ y=-2x+4 ⑵ y=-3x+1 ⑶ y=-x+6 ⑷ y=3x-6 문제 5 13.6`cm ● 스스로 해결하기 1 y=ax+b 2 ⑴ y=2x-5 ⑵ y=3x-7 ⑶ y=-4x-1 3 y=2x+2 4 y= 14 x+12 5 ⑴ y=5.42x+200 ⑵ 300개 6 점 P는 1초에 3`cm씩 A B C D 18`cm y`cm@ {18-3x}`cm 8`cm 3x`cm P 움직이므로 x초 동안에 는 3x`cm 움직인다. x와 y 사이의 관계를 식으로 나타내면 y =12\9{18-3x}+180\8 =-12x+144 y`➊ 이때 사다리꼴 APCD의 넓이가 84`cm@이므로 84=-12x+144, 12x=60, x=5 따라서 사다리꼴 APCD의 넓이가 84`cm@가 되는 것은 점 P가 점 B를 출발한 지 5초 후이다. y`➋ 확인 점 P가 점 B를 출발한 지 5초 후의 PCZ의 길이는 18-3\5=3{cm}이므로 사다리꼴 APCD의 넓이는 1 2\{3+18}\8=84{cm@} 따라서 구한 값이 문제의 뜻에 맞는다. y`➌생각을 나누는 의사소통 모범 예시 x축은 점 {0, 0}, 즉 원점을 지나고 모든 점 의 y좌표가 0이므로 일차방정식 y=0의 그래프이다. 그 리고 y축은 점 {0, 0}, 즉 원점을 지나고 모든 점의 x좌표 가 0이므로 일차방정식 x=0의 그래프이다. ● 스스로 해결하기 1 ⑴ 직선의 방정식 ⑵ - ab x-cb 2 y x -2 4 -4 O 2 4 2 -2 -4 3 y x -2 4 -4 O 2 4 2 -4 ⑴ ⑵ -2 4 ⑴ y=2 ⑵ x=-3 5 {1, 6}, {2, 3}, {3, 2}, {6, 1} 6 점 {2, -1}이 일차방정식 x+ay-3=0의 그래프 위 의 점이므로 2-a-3=0, a=-1 y`➊ 점 {3, b}가 일차방정식 x-y-3=0의 그래프 위의 점 이므로 3-b-3=0, b=0 y`➋ 점 {c, 5}가 일차방정식 x-y-3=0의 그래프 위의 점 이므로 c-5-3=0, c=8 y`➌ 채점 기준 배점 비율 ➊ a의 값 구하기 40`% ➋ b의 값 구하기 30`% ➌ c의 값 구하기 30`% 연립방정식의 해와 일차함수의 그래프 P. 151
5.8
● 생각 열기 활동 1 연립방정식 - x-y=-1 2x+y=4 에 x=1, y=2를 각각 대 입하면 1-2=-1, 2\1+2=4 따라서 두 일차함수 y=x+1과 y=-2x+4의 그래프의 교점의 좌표 {1, 2}는 주어진 연립방정식의 해가 된다. 문제 1 ⑴ x=5, y=7 ⑵ x=0, y=2 문제 2 ⑴ y x 4 -4 O 2 4 2 -4 -2 {3, 2} y=x-1 y=2!x+2! -2 ⑵ y x 4 O 4 6 2 {3, 5} y=x+2 y=2x-1 -4 2 -2 -2 x=3, y=2 x=3, y=5 문제 3 ⑴ y x 4 -4 O 2 -4 -2 -2 y=-2#x+3 2 4 ⑵ y x 4 -4 2 -4 -2 y=3x-2 y=3x+1 2 4 O -2 해는 무수히 많다. 해는 없다. 생각을 나누는 의사소통 모범 예시 연립방정식에서 두 일차방정식을 각각 그래 프로 나타내었을 때 두 직선이 한 점에서 만나면 연립방 정식의 해는 하나이다. 두 그래프가 한 점에서 만나기 위 해서는 기울기가 달라야 하므로 a=b이어야 한다. ● 스스로 해결하기 1 ⑴ 한 점 ⑵ 일치 ⑶ 평행 2 x=-1, y=-2 3 ⑴ x 4 -4 -2 2 -2 O y=x+4 y=-2x+1 y {-1, 3} 2 -4 4 ⑵ y x 4 -4 -4 4 -2 {1, 1} O y=2x-1 y=-x+2 -2 2 2 x=-1, y=3 x=1, y=1 4 ⑴ ㄴ ⑵ ㄷ 5 1 6 두 일차방정식의 그래프의 교점이 무수히 많으려면 두 그래프가 서로 일치해야 한다. y`➊ 두 일차방정식에서 각각 y를 x의 식으로 나타내면y=23x-23 , y=-abx-2b 이 두 그래프가 서로 일치해야 하므로 기울기와 y절편 이 각각 같아야 한다. 즉, 23=-ab, -23=-2b에서 a=-2, b=3 y`➋ 따라서 a-b=-2-3=-5이다. y`➌ 채점 기준 배점 비율 ➊ 두 일차방정식의 그래프의 교점이 무수히 많을 조건 알기 30`% ➋ a, b의 값 각각 구하기 50`% ➌ a-b의 값 구하기 20`% ● 1 y= 12 x+13, 돼 2 -3, 지 3 y=3, 까 4 {3, 2}, 막 5 해는 무수히 많다., 잡 따라서 우리나라의 전통 놀이의 이름은 ‘ 돼 지 씨름’, ‘ 까 막 잡 기’이다. ● 모범 예시 ⑴ x=-1, y=-1 ⑵ x=5, y=0 01 ㄱ, ㄷ 02 -1 03 ㄱ, ㄷ 04 - 12 05 -4 06 ㄴ, ㄷ 07 y=16 x+2 08 -1 09 1 10 y=- 14 x+2 11 24 12 2 13 24 14 60분 후 15 9`m P. 158 07 주어진 그래프는 두 점 {-6, 1}, {0, 2}를 지나므로 (기울기)=0-{-6}2-1 =1 6이고 y절편은 2이다. y`➊ 따라서 기울기가 16이고, y절편이 2인 직선을 그래프 로 하는 일차함수의 식은 y=16 x+2이다. y`➋ 채점 기준 배점 비율 ➊ 일차함수의 그래프의 기울기와 y절편 구하기 50`% ➋ 일차함수의 식 구하기 50`% 10 일차함수 y=- 12 x+4, y=23 x+2의 그래프와 각 각 x축, y축에서 만나므로 구하는 직선은 두 점 {8, 0}, {0, 2}를 지난다. y`➊ 이 두 점을 지나는 직선의 기울기는 2-00-8=-14이 고, y절편은 2이므로 이 직선을 그래프로 하는 일차 함수의 식은 y=-14 x+2이다. y`➋ 채점 기준 배점 비율 ➊ 구하는 직선이 지나는 두 점 구하기 50`% ➋ 일차함수의 식 구하기 50`% ● 창의
+
융합 프로젝트 1 ⑴ y=x+50 x(개) y(만 원) O 50 50 100 150 100 ⑴ ⑵ ⑵ y=2x 2 {50, 100}, 제품을 50개 이상 팔아야 손해를 보지 않는다는 것 을 의미한다. 3 150개● 준비해 볼까? 1 70! 2 132! 3 ㈎ 평행사변형 ㈏ 정사각형 ㈐ 마름모 ㈑ 직사각형 세상을 이해하는 눈 P. 164
6.0
● 모범 예시 원은 평면 위의 한 점, 즉 원의 중심으로부 터 거리가 일정한 점들로 이루어지므로 삼각형의 세 꼭 짓점을 지나는 원을 작도하려면 이 점들로부터 같은 거 리에 있는 점을 찾아야 한다. ● 모범 예시 피타고라스: 피타고라스 정리를 논리적으 로 설명하였으며, 피타고라스 음계를 발견하여 음계에 대한 과학적 연구의 시초가 되었다. 이등변삼각형의 성질 P. 1656.1
● 생각 열기 활동1 모범 예시 삼각형을 반으로 접었을 때 겹쳐지는 두 변의 길이와 두 내각의 크기는 각각 같다. 활동2 모범 예시 각 삼각형에서 접은 선은 삼각형의 밑 변의 수직이등분선이다. 문제 1 ⑴ 40 ⑵ 8 문제 2 Cx=30!, Cy=15! 문제 3 ⑴ 10 ⑵ 6 문제 4모범 예시 sABC는 ACZ=BCZ인 이등변삼각형 이므로 두 밑각의 크기는 같다. 즉, CA=CB=72!이다. CBAD=CDAC= 12CA=36!이고 CC=180!-2\72!=36!이므로 CDAC=CDCA 따라서 sADC는 두 내각의 크기가 같으므로 이등변삼각 형이다. 생각을 나누는 의사소통 모범 예시 오른쪽 그림과 같이 O A M B 선분 AB의 수직이등분선 위의 한 점 O에서 선분 AB의 양 끝 점 A, B를 각각 연결하면 sOAM과 sOBM에서 AMZ=BMZ yy ① OMZ은 공통인 변 yy ②삼각형과 사각형의 성질
6
COMA=COMB=90! yy ③ 이다. ①, ②, ③에 의해 두 대응변의 길이가 각각 같고, 그 끼인각의 크기가 같으므로 sOAM+sOBM이다. 따라서 OAZ=OBZ이므로 sOAB는 이등변삼각형이다. ●스스로 해결하기 1 ⑴ 수직이등분 ⑵ 이등변삼각형 2 ⑴ Cx=40!, Cy=70! ⑵ Cx=80!, Cy=50! 3 ⑴ 4`cm ⑵ 22! 4 11`cm 5 20! 6 CABD=CDBC=Ca라고 하면 sABC는 이등변 삼각형이므로 CB=CC=2Ca이다. 이때 sDBC에서 CADB=CDBC+CDCB이므로 75!=Ca+2Ca, 3Ca=75!, Ca=25! y`➊따라서 CB=CC=2\25!=50!이므로
CA=180!-2\50!=80! y`➋
다른 풀이 CABD=CDBC=Ca라고 하면 sDBC에서
75!=Ca+2Ca, 3Ca=75!, Ca=25! y`➊
따라서 sABD에서 CA=180!-{75!+25!}=80! y`➋ 채점 기준 배점 비율 ➊ CABD의 크기 구하기 80`% ➋ CA의 크기 구하기 20`% 직각삼각형의 합동 조건 P. 170
6.2
● 생각 열기 활동1모범 예시 두 사다리를 포개어 높이를 맞춘 후 한 사다리를 벽을 따라 평행하게 이동하면 된다. 활동2 각의 크기와 거리가 각각 같다. 문제 1 ⑵와 ⑶, 두 직각삼각형의 빗변의 길이와 한 예각 의 크기가 각각 같다. ⑸와 ⑹, 두 직각삼각형의 빗변의 길이와 다른 한 변의 길 이가 각각 같다. 문제 2sPOC와 sPOD에서 CPCO=CPDO=90! yy ① CPOC=CPOD yy ② OPZ는 공통인 변 yy ③ 이다. ①, ②, ③에 의해 두 직각삼각형의 빗변의 길이와 한 예각의 크기가 각각 같으므로 sPOC+sPOD이다. 따라서 PCZ=PDZ이다.생각을 나누는 의사소통 모범 예시 두 직각삼각형에서 빗변이 아닌 한 변의 길이 와 한 예각의 크기가 같다고 해서 합동이 되지는 않는다. 왜냐하면 두 삼각형에서 대응하는 두 각의 크기가 각각 같더라도 다음 그림과 같이 두 각을 양 끝 각으로 하는 변 의 길이가 같지 않으면 합동이 되지 않는 경우도 있기 때문이다. ●스스로 해결하기 1 ⑴ 예각 ⑵ 변 2 ㄱ과 ㄴ, ㄷ과 ㅂ 3 ㄱ, ㄴ, ㄷ, ㄹ 4 14`cm 5 8`cm 6 sAED와 sACD에서 CAED=CACD=90! yy ① AXDZ는 공통인 변 yy ② CEAD=CCAD yy ③ 이다. ①, ②, ③에 의해 두 직각삼각형의 빗변의 길이 와 한 예각의 크기가 각각 같으므로 sAED+sACD이다. y`➊ 따라서 AEZ=ACZ=8`cm, CDZ=EDZ=4`cm y`➋ 이므로 사각형 AEDC의 둘레의 길이는 8+4+4+8=24{cm} y`➌ 채점 기준 배점 비율 ➊ sAED와 sACD가 서로 합동임을 알기 60`% ➋ AEZ와 CDZ의 길이 각각 구하기 20`% ➌ 사각형 AEDC의 둘레의 길이 구하기 20`% 삼각형의 외심 P. 174
6.3
● 생각 열기 활동1 점 Q 활동2 모범 예시 sABC A P QR B C 의 각 변의 수직이등분선을 그으면 한 점 Q에서 만나고, 이 점에서 세 점 A, B, C에 이르는 거리는 모두 같다. 문제 1 ⑴ 15! ⑵ 30! 문제 2 x=6, y=30 ●스스로 해결하기 1 ⑴ 외접, 외접원 ⑵ 외심 2 ⑴ 35! ⑵ 35! 3 10`cm 4 8`cm 5 12`cm 6 직각삼각형의 외심은 빗변의 중점이므로 y`➊ 오른쪽 그림과 같이 sABC O A B C 24`cm 10`cm 26`cm 의 외심을 O라고 하면 OAZ =OBZ=OCZ= 12ABZ =13{cm} y`➋ 이때 OAZ는 sABC의 외접원의 반지름의 길이이므로 구하는 외접원의 넓이는 p\13@=169p{cm@} y`➌ 채점 기준 배점 비율 ➊ 직각삼각형의 외심의 위치 알기 40`% ➋ 외접원의 반지름의 길이 구하기 40`% ➌ 외접원의 넓이 구하기 20`% 삼각형의 내심 P. 1786.4
● 생각 열기 활동1 점 P 활동2 모범 예시 sABC의 세 내각의 이 A B C R Q P 등분선을 그으면 한 점 P 에서 만나고, 이 점에서 삼각형의 세 변 AB, BC, CA에 이르는 거리는 모 두 같다. 문제 1 sAID+sAIF, sBID+sBIE, sCIE+sCIF 문제 2 ⑴ 25! ⑵ CIBC+CICB=180!-130!=50!이고 CB=2CIBC, CC=2CICB이므로 CB+CC=2{CIBC+CICB}=2\50!=100! 따라서 Cx=180!-100!=80!이다. 문제 3 4`cm 생각을 나누는 의사소통 모범 예시 정삼각형은 이등변삼각 형이므로 꼭지각의 이등분선은 밑변 을 수직이등분한다. 즉, 정삼각형의 내각의 이등분선은 그 대변의 수직이 등분선과 일치하므로 정삼각형의 내 심과 외심은 일치한다.CBAO=CDCO (엇각) yy ② 평행사변형에서 대변의 길이는 같으므로 ABZ=CDZ yy ③ 이다. ①, ②, ③에 의해 한 대응변의 길이가 같고, 그 양 끝 각의 크기가 각각 같으므로 sOAB+sOCD이다. 따라서 OXAZ=OCZ, OBZ=OXDZ이므로 평행사변형의 두 대 각선 AC와 BD는 서로 다른 것을 이등분한다. 문제 2 ⑴ x=10, y=7 ⑵ x=100, y=80 문제 3 ⑴ 5`cm ⑵ 7`cm 생각을 나누는 의사소통 모범 예시 오른쪽 그림과 같 A B C D O E G F H m L 이 두 대각선의 교점 O를 지 나면서 두 쌍의 대변과 각각 평행한 두 직선 l, m을 그어 직선 L이 AXDZ, BCZ와 만나는 점을 각각 E, F라 하고 직선 m이 ABZ, CDZ와 만나는 점을 각각 G, H라고 하면 fAGOE, fEOHD, fGBFO, fOFCH는 모두 평행 사변형이다.
따라서 sOAE=sOAG, sODE=sODH,
sOBF=sOBG, sOCF=sOCH이므로 sOAD와 sOBC의 넓이의 합은 {sOAE+sODE}+{sOBF+sOCF}=2!fABCD 즉, fABCD의 넓이의 2!배이다. ●스스로 해결하기 1 ⑴ 대변, 대각 ⑵ 이등분 2 65 3 x=7, y=10, z=7 4 8 5 3`cm 6 8`cm 7 평행사변형은 대변의 길이가 같으므로 CDZ=ABZ=6`cm y`➊ 또한, 평행사변형은 두 대각선이 서로 다른 것을 이등 분하므로 OCZ+ODZ= 12{ACZ+BDZ}= 12\17=172 {cm} 따라서 sOCD의 둘레의 길이는 CDZ+OCZ+ODZ=6+ 172 =292 {cm} y`➋ 채점 기준 배점 비율 ➊ CDZ의 길이 구하기 40`% ➋ sOCD의 둘레의 길이 구하기 60`% ●스스로 해결하기 1 ⑴ 접한다, 접선, 접점 ⑵ 내접, 내접원 2 ⑴ 50! ⑵ 9`cm 3 ⑴ 70! ⑵ 125! 4 구하는 내접원의 반지름의 길이를 r cm라고 하면 fADIF는 정사각형이므로 ADZ=AFZ=r cm, BEZ=BDZ={6-r} cm, CEZ=CFZ={8-r} cm 즉, BCZ=BEZ+CEZ={6-r}+{8-r}=10 {cm}이므로 r=2 따라서 구하는 내접원의 반지름의 길이는 2 cm이다. 5 18`cm@
6 점 I가 sABC의 내심이므로 AXDZ=AFZ=3`cm, BEZ=BDZ=7-3=4{cm}, CFZ=CEZ=6`cm y`➊ 따라서 sABC의 둘레의 길이는 2\{3+4+6}=26{cm} y`➋ 채점 기준 배점 비율 ➊ 내심의 성질을 이용하여 길이가 같은 선분 찾기 60`% ➋ sABC의 둘레의 길이 구하기 40`% ● 모범 예시 1 ⑴ 직각삼각형의 외심 ⑵ 둔각삼각형의 외심 O ` O 2 ⑴ 직각삼각형의 내심 ⑵ 둔각삼각형의 내심 I ` I 평행사변형의 성질 P. 183
6.5
● 생각 열기 활동 1 ABZ=C'DZ, BCZ=DXA'Z 활동 2 CD문제 1sOAB와 sOCD에서 ABZ|DCZ이므로
평행사변형이 되는 조건 P. 187
6.6
● 생각 열기 활동 1 ABZ=CDZ, BCZ=DXAZ 활동 2 엇각의 크기가 각각 같으므로 ABZ|CDZ, AXDZ|BCZ 문제 1sOAD와 sOCB에서 OXAZ=OCZ yy ① ODZ=OBZ yy ② CAOD=CCOB (맞꼭지각) yy ③ ①, ②, ③에 의해 두 대응변의 길이가 각각 같고, 그 끼인 각의 크기가 같으므로 sOAD+sOCB이다. 따라서 COAD=COCB, 즉 엇각의 크기가 같으므로 ADZ|BCZ이다. yy ④ 같은 방법으로 sOAB와 sOCD에서 COAB=COCD, 즉 엇각의 크기가 같으므로 ABZ|DCZ이다. yy ⑤ 따라서 ④, ⑤에 의해 fABCD는 평행사변형이다. 문제 2 오른쪽 그림과 같이 대각 A B C D 선 AC를 그으면 sABC와 sCDA에서 CBCA=CDAC (엇각) yy ① BCZ=DXAZ yy ② ACZ는 공통인 변 yy ③ ①, ②, ③에 의해 두 대응변의 길이가 각각 같고, 그 끼인 각의 크기가 같으므로 sABC+sCDA이다. 따라서 CBAC=CDCA, 즉 엇각의 크기가 같으므로 ABZ|CDZ이다. 그러므로 fABCD는 두 쌍의 대변이 각각 평행하므로 평행사변형이다. 문제 3 ⑴ 두 쌍의 대각의 크기가 각각 같으므로 평행사 변형이다. ⑵ 두 대각선이 서로 다른 것을 이등분하므로 평행사변형 이다. ⑶ 한 쌍의 대변이 평행하고, 그 길이가 같으므로 평행사 변형이다. 문제 4 ⑴, ⑵, ⑶ 문제 5 ABZ|DCZ이므로 AXMZ|NCZ yy ① ABZ=DCZ이므로 AXMZ= 12 ABZ= 12 DCZ=NXCZ yy ② ①, ②에 의해 fAMCN은 한 쌍의 대변이 평행하고, 그 길이가 같으므로 평행사변형이다. 생각을 나누는 의사소통 모범 예시 fABCD는 ADZ|BCZ이므로 <그림 1>과 같 이 ADZ=BCZ이면 한 쌍의 대변이 평행하고, 그 길이가 같 으므로 평행사변형이 된다. 또한, <그림 2>와 같이 ABZ|DCZ이면 두 쌍의 대변이 각 각 평행하므로 fABCD는 평행사변형이 된다. A B C D A B C D <그림 1> <그림 2> ●스스로 해결하기 1 ⑴ 평행 ⑵ 대변 ⑶ 대각 ⑷ 이등분 ⑸ 평행, 길이 2 ⑴ 두 쌍의 대변의 길이가 각각 같다. ⑵ 두 쌍의 대각의 크기가 각각 같다. ⑶ 두 대각선이 서로 다른 것을 이등분한다. ⑷ 한 쌍의 대변이 평행하고, 그 길이가 같다. 3 ⑴, ⑵ 4 x=110, y=5 5 Cx=115!, Cy=65! 6 A D B C A D B C A D B C 7 평행사변형 ABCD에서 AOZ=COZ yy ① BOZ=DOZ이고 BEZ=DFZ이므로 EOZ=BOZ-BEZ=DOZ-DFZ=FOZ yy ② ①, ②에 의해 두 대각선이 서로 다른 것을 이등분하므 로 fAECF는 평행사변형이다. y`➊ AFZ|ECZ이므로 CFAC=CECA=30! AEZ|FCZ이므로 CFCA=CEAC=35! 따라서 sACF에서 CAFC=180!-{30!+35!}=115! y`➋ 채점 기준 배점 비율 ➊ fAECF가 평행사변형임을 알기 50`% ➋ CAFC의 크기 구하기 50`% ● 모범 예시 직사각형 모양의 자를 이용하여 한 쌍의 평행 선을 긋고 직사각형 모양의 자를 기울여 평행사변형 ABCD를 만들 수 있다.A D B C 여러 가지 사각형의 성질 P. 193
6.7
● 생각 열기 활동 1 ㉮: 직사각형 ㉯: 마름모 ㉰: 정사각형 ㉱: 사다리꼴 활동 2 모범 예시 ㉮, ㉰는 두 대각선의 길이가 같고 서 로 다른 것을 이등분한다. 이때 ㉮는 두 대각선이 서로 수직이 아니지만 ㉰는 두 대 각선이 서로 수직이다. 문제 1 ⑴ 4`cm ⑵ 8`cm 문제 2 오른쪽 그림과 같이 격 O A B C D 자판 위에 두 대각선의 길이가 같고, 서로 다른 것을 이등분 하도록 fABCD를 그린다. 이때 두 대각선의 교점을 O라 고 하면 OAZ=OBZ=OCZ=ODZ이다. 또한, CAOB=CCOD (맞꼭지각)이므로 sOAB+sOCD 이고, CAOD=CCOB (맞꼭지각)이므로 sOAD+sOCB이다. 이때 COAB=Cx, COAD=Cy라고 하면 COAB=COBA=COCD=CODC=Cx, ∠OAD=CODA=COBC=COCB=Cy 이다. 즉, CA+CB+CC+CD=4{Cx+Cy}=360! 이므로 Cx+Cy=90!이다. 따라서 CA=CB=CC=CD=90!이므로 두 대각선의 길이가 같고, 서로 다른 것을 이등분하는 사각형은 직사 각형이다. 문제 3 ⑴ 3`cm ⑵ 40! 문제 4 오른쪽 그림과 같이 격 O A B C D 자판 위에 두 대각선이 서로 다른 것을 수직이등분하도록 fABCD를 그린다. 이때 두 대각선의 교점을 O라 고 하면 sABO와 sADO에서 OBZ=ODZ yy ① AXOZ는 공통인 변 yy ② CAOB=CAOD=90! yy ③ ①, ②, ③에 의해 sABO+sADO이므로 AXBZ=AXDZ이다. yy ④또, OXAZ=OCZ, OBZ=ODZ이므로 fABCD는 평행사변형 이다. 즉, ABZ=CDZ, BCZ=ADZ yy ⑤ 따라서 ④, ⑤에 의해 ABZ=BCZ=CDZ=DXAZ이므로 fABCD는 마름모이다. 문제 5 x=90, y=5 문제 6 오른쪽 그림과 같이 fABCD A B C D O 의 두 대각선의 교점을 O라고 하면 ACZ=BDZ이고 OXAZ=OCZ, OBZ=ODZ이므로 fABCD는 직사각 형이다. 즉, CA=CB=CC=CD=90! yy ①
한편, ACZ\BDZ이고 OXAZ=OCZ, OBZ=OXDZ이므로 fABCD는 마름모이다. 즉, ABZ=BCZ=CDZ=DAZ yy ② 따라서 ①, ②에 의해 fABCD는 정사각형이다. 문제 7sABC와 sDCB에서 A B C D ABZ=DCZ yy ① CABC=CDCB yy ② BCZ는 공통인 변 yy ③ ①, ②, ③에 의해 sABC+sDCB이므로 ACZ=DBZ이다. 따라서 ADZ|BCZ인 등변사다리꼴 ABCD의 두 대각선의 길이는 서로 같다. 문제 8 ⑴ 직사각형 ⑵ 마름모 ⑶ 직사각형 ⑷ 마름모 ⑸ 정사각형 문제 9 20`cm@ 문제 10sABC와 sDBC에서 밑변이 BCZ로 공통이고, ADZ|BCZ이므로 높이가 같다. 따라서 sABC=sDBC이므로 sAOB =sABC-sOBC =sDBC-sOBC=sDOC 생각을 나누는 의사소통 모범 예시 첫 번째 분류에서 분류 기준을 ‘네 변의 길이 가 같은 것과 그렇지 않은 것’ 또는 ‘두 대각선이 수직으로
만나는 것과 그렇지 않은 것’ 또는 ‘이웃하는 두 변의 길이 가 같은 것과 그렇지 않은 것’ 등으로 생각할 수 있다. 두 번째 분류에서 분류 기준을 ‘두 대각선의 길이가 같은 것과 그렇지 않은 것’ 또는 ‘이웃하는 두 각의 크기가 같은 것이 두 쌍 이상 있는 것과 그렇지 않은 것’ 등으로 생각 할 수 있다. ●스스로 해결하기 1 ⑴ 이등분 ⑵ 수직이등분 ⑶ 길이, 수직이등분 2 x=5, y=50, z=40 3 x=3, y=4 4 BDZ=8`cm, CADC=70!
5 sOBP와 sOCQ에서 OBZ=OCZ yy ①
COBP=COCQ=45! yy ②
CBOC=CPOQ=90!이므로
CBOP=90!-CPOC=CCOQ yy ③
①, ②, ③에 의해 sOBP+sOCQ이다.
따라서 fOPCQ의 넓이는 sOBC의 넓이와 같으므로 fOPCQ =sOBC= 14fABCD
=14\{6\6}=9{cm@}
6 sACD와 sACE에서 밑변이 ACZ로 공통이고, ACZ|DEZ이므로 높이가 같다. 따라서 sACD=sACE이므로 y`➊ sACD =sACE =sABE-sABC =15-6=9{cm@} y`➋ 채점 기준 배점 비율 ➊ sACD=sACE임을 설명하기 50`% ➋sACD의 넓이 구하기 50`% ● 순우리말 뜻 온새미 • • 서로 허물없이 말을 건네는 사이. 도담도담 • • 빈틈없이 아주 여무진 사람. 또바기 • • 언제나 한결같이 꼭 그렇게. 너나들이 • • 어린아이가 탈 없이 잘 놀며 자 라는 모양. 시나브로 • • 모르는 사이에 조금씩 조금씩. 모도리 • • 가르거나 쪼개지 아니한 생긴 그 대로의 상태. 피타고라스 정리 P. 201
6.8
● 생각 열기 활동 1 넓이 그림 ㉮의 넓이 ㉯의 넓이 ㉰의 넓이 <그림 1> 4 1 5 <그림 2> 4 4 8 <그림 3> 9 4 13 활동 2 모범 예시 (㉮의 넓이)+(㉯의 넓이)=(㉰의 넓이) 문제 1 ⑴ 17 ⑵ 7 문제 2 5 문제 3 ⑵, ⑷ 생각을 나누는 의사소통 모범 예시 오른쪽 그림과 같이 ① ② ① ② ④ ④ ③ ③ 직각을 낀 두 변을 각각 한 변으로 하는 정사각형의 넓이의 합과 빗 변을 한 변으로 하는 정사각형의 넓이는 서로 같다. 왜냐하면 모두 합동인 직각이등변삼각형 4개로 이루어져 있기 때문이다. ●스스로 해결하기 1 ⑴ a@, b@, c@, 피타고라스 정리 ⑵ c 2 ⑴ x=12 ⑵ x=8, y=6 3 ⑴, ⑷ 4 8, 15, 17 5 49 6 ABZ@=BCZ@+ACZ@에서 BCZ@=100-64=36=6@이고 BCZ>0이므로 BCZ=6{cm} y`➊ ACZ@=64=8@이고 ACZ>0이므로 ACZ=8{cm} y`➋ 따라서 sABC의 넓이는 12\6\8=24{cm@} y`➌ 채점 기준 배점 비율 ➊ BCZ의 길이 구하기 40`% ➋ ACZ의 길이 구하기 30`% ➌sABC의 넓이 구하기 30`% ● 모범 예시 1 넓이가 각각 16, 25인 정 16 25 41 4 5 사각형을 이용하여 직각 을 낀 두 변의 길이가 각 각 4, 5인 직각삼각형을 만들면 피타고라스 정리 에 의해 이 직각삼각형의빗변을 한 변으로 하는 정사각형의 넓이는 16+25=41 이 된다. 2 ⑴ 직각삼각형에서 직각 25 25 50 5 5 을 낀 두 변의 길이를 모두 5라고 하면 5@+5@ =25+25=50 이므로 넓이가 50인 정 사각형을 만들 수 있다. ⑵ 직각삼각형에서 직각 49 50 1 1 7 을 낀 두 변의 길이를 각각 1, 7이라고 하면 1@+7@ =1+49=50 이므로 넓이가 50인 정 사각형을 만들 수 있다. 01 40! 02 50! 03 30! 04 x=60, y=4 05 160! 06 54`cm@ 07 ㄴ, ㄷ, ㅁ, ㅂ 08 40`cm@ 09 8 10 65! 11 120! 12 ㄷ, ㄹ 13 40`cm 14 18`cm 15 풀이 참조 16 84p`cm@ 17 12p`cm# P. 208
06 sABC의 넓이는 sIAB, sIBC, sICA의 넓이의 합
이므로 y`➊ 1 2\ABZ\3+ 12\BCZ\3+ 12\ACZ\3 =32\(sABC의 둘레의 길이)=54{cm@} y`➋ 채점 기준 배점 비율 ➊ sABC의 넓이가 세 삼각형의 넓이의 합임을 알기 40`% ➋sABC의 넓이 구하기 60`% 09 fABCD가 평행사변형이 되려면 두 쌍의 대변의 길 이가 각각 같아야 하므로 ABZ=CDZ, ADZ=BCZ이다. ABZ=CDZ에서 x+6=2x+1이므로 x=5이다. y`➊ ADZ=BCZ에서 y+2=3y-4이므로 y=3이다. y`➋ 따라서 x+y=5+3=8 y`➌ 채점 기준 배점 비율 ➊ x의 값 구하기 40`% ➋ y의 값 구하기 40`% ➌ x+y의 값 구하기 20`% 11 오른쪽 그림과 같이 ABZ B E A C D 에 평행한 DEZ를 그으면 fABED는 평행사변형 이므로 ADZ=BEZ, ABZ=DEZ이다. y`➊ 또한, BCZ=2AXDZ=2BEZ이므로 BEZ=ECZ이다. 즉, sDEC는 정삼각형이므로 y`➋ CA =CBED=180!-60!=120! y`➌ 채점 기준 배점 비율 ➊ fABED는 평행사변형임을 설명하기 40`% ➋sDEC는 정삼각형임을 설명하기 40`% ➌ CA의 크기 구하기 20`% 15 모범 예시 오른쪽 그림과 B C E D A 같이 점 A를 지나고 BCZ에 평행하도록 DXEZ를 그으면 sABC=sEBC이므로 원 래의 두 땅의 넓이가 변하지 않는다. 즉, 일직선인 새 경계선 BE 를 정할 수 있다. 16 외접원의 반지름의 길이는 12 BCZ=10 {cm}이다. 이때 내접원의 반지름의 길이를 r`cm라고 하면 1 2\16\12= 12\r\{16+12+20}, r=4 따라서 색칠한 부분의 넓이는 100p-16p=84p{cm@} ● 창의
+
융합 프로젝트 모범 예시 1 3개 2● 준비해 볼까? 1 ⑴ 8 ⑵ 21 2 x=40, y=110 3 ⑴과 ⑶, 한 대응변의 길이가 같고, 그 양 끝 각의 크기 가 각각 같다. ⑵와 ⑸, 두 대응변의 길이가 각각 같고, 그 끼인각의 크기가 같다. ⑷와 ⑹, 세 대응변의 길이가 각각 같다. 무엇이든 만들 수 있는 세상 P. 214
