제 2 장기구의자유도 1. 한강체의자유도

제 1 장 기구와 기구학 제 3 장 기구학과 정역학 제 4 장 점의 궤적과 곡률

제 5 장 강체에 고정된 점의 속도

제 6 장 두 강체에서 관찰한 한 점의 속도 제 7 장 순간중심

제 8 장 기구의 위치해석 제 9 장 기구의 속도해석

제 10 장 두 강체에서 관찰한 가속도 제 11 장 가속도 해석

제 12 장 구름접촉

제 13 장 미끄럼접촉과 미끄럼 기구의 등가 링키지 제 14 장 기어

제 15 장 캠

제 16 장 기구의 설계

차례

1. 한 강체의 자유도 2. 관절의 자유도 3. 기구의 자유도 4. 기구와 구조

5. 기구의 자유도 계산시 주의할 점 6. 과구속과 조립

7. 기구의 전위

8. 평면에 구속되지 않는 강체의 자유도

9. 공간기구의 자유도와 평면기구의 과구속 문제 10. 커플러 곡선

제 2 장 기구의 자유도

-기구의 자세를 고정시키기 위하여 고정시켜야 하는 관절의 개수를 기구의 자유도라 한다.

자유도를 계산하는 방법을 알아 보자. (강체의 자유도, 조인트의 자유도, 기구의 자유도)

B A

A

A

A

O

a

그림 2.1 강체의 자유도

B

(X ,_o Y_o) θ

1. 한 강체의 자유도

지면

B

에 대해 평면 운동을 하는 강체를

A

라 하자. 강체

A

의 지면

B

에 대한 자세를 확 정하기 위해서는 몇 개의 변수가 필요할까?

강체의 자세를 결정하기에 필요한 최소한의 변수 의 개수를 강체의 자유도라 한다.

지면

B

에 대해 평면 운동을 하는 강체를

A

라 하자. 강체

A

의 지면에 대한 자세를 확정하기 위해서는 몇 개의 변수가 필요할까? 답은 3개인데, 다음과 같이 생각한다.

A

에 고정된 한 점

O

을 정한다. 점

O

에서 오른쪽으로

A

위에 화살표를 그린다. 지면 에 대한

A

의 자세는 3개의 변수

, ,

가 정해지면 결정된다. 여기서, 는 지면에 고정된 좌표계에 대한 점 O의 좌표이고, 는

A

위에 그린 화살표가 좌표계의

x

축에 대해 회전한 각이다.

어떤 강체계에 속한 모든 강체의 자세를 결정하기에 필요한 최소한의 변수의 개수를 강체 계의 자유도라 한다. 앞의 논의에 의하면

강체 한 개로 이루어진 강체계의 자유도는 3 이고,

상호 구속이 없는

N

개의 강체로 이루어진 강체계의 자유도는 3

N

이다.

X

o

Y

_o

θ

이를 다음과 같이 구할 수도 있다. 강체에 고정된 두 점의 좌표 (x1,y1) 과 (x2,y2)를 정 하면 강체의 자세가 정해진다. 하지만, 이 4개의 변수를 임의로 정할 수 있는 것은 아니다.

왜냐하면, 두 점 사이의 거리가 변하지 않으므로 4개의 변수들 사이에 다음 관계,

가 성립하여야 하기 때문이다. 예를 들어, 3개의 변수 을 정하면 의 값을 임의로 정할 수 없고, 해당하는 2차 방정식의 두 근 중 하나의 값으로 그 값이 한정된다. 자세를 확정하기 위해 사용한 변수의 개수 4에서 변수들 사이의 구속조건 constraint의 개수 1을 빼면 3을 얻는다.

( ^X

₂

^{− X}

₁

) (

²

^{+ Y}

₂

^{− Y}

₁

)

²

^{= 일정}

B A

그림 2.2 구속 조건

(

X₁,Y₁

)

(

^X₂^,Y₂

)

일반적으로,

이 때, 구속조건을 계수함에 있어 ‘독립적’이라는 한정어가 쓰였음에 주의하여야 한다.

이에 관하여 5절에서 보다 자세히 살펴볼 예정이다.

(강체계의 자유도) =

(자세를 결정하기 위해 사용한 변수의 개수) - (변수들 사이의 독립적 구속조건의 개수)

(참고) 강체계의 자세를 결정하기에 충분한 변수들의 모음을 완결일반좌표모음a complete set of generalized coordinates라 하고, 그 변수들 사이에 구속조건이 주어지지 않을 때 그 변수들이 서로 독립적independent이라 한다.

(문제) 다음 각 경우에 대하여 변수

x

,

y

,

z

,

u

,

v

중에서 자유롭게 선정할 수 있는 변수 의 개수는 각기 몇 개인가? 또, 주어진 조건이 독립적인지 종속적인지 밝혀라.

= 3 + +

+

+ y z u v x

,

= 3 + +

+

+ y z u v

x x + 2 y + z + 2 u + v = 1 ,

= 3 +

+ +

+ y z u v

x x + 2 y + z + 2 u + v = 1 , x + y + 2 z + u + v = 3 ,

= 3 +

+ +

+ y z u v

x x + 2 y + z + 2 u + v = 1 , 2 x + 3 y + 2 z + 3 u + 2 v = 4

(1) (2) (3) (4)

2. 관절의 자유도

두 강체가 구속되는 방법을 생각해 보자. 상대 운동을 고려할 때는 두 강체 중 하나가 땅 에 고정되어 있다고 생각하면 편하다. 가장 이해하기 쉽고 많이 쓰이는 구속 방법은

<그림 1>에서와 같이 회전관절revolute joint과 미끄럼관절(프리즘관절, prismatic joint) 에 의해서 이다.

θ=cons t

x

그림 2.3 관절 변수

θ

y=const

θ

( X ,

_o

Y

_o

)

( )

x,y

한 물체의 공간상의 배치가 물체상의 한 점의 좌표와 회전각으로 이루어진 3개의 변수에 의해 결정됨을 보인 바 있다.

어떤 물체가 땅에 회전관절로 연결되면, 물체 상의 한 점의 좌표를 나타내는 2개의 변수가 결정되므로 결합 후 자유롭게 결정할 수 있는 변수는 회전각 하나이다. 즉, 회전관절에 의 해서는 한 강체에 대해 다른 강체가 회전한 각을 정하면 상대 위치가 결정된다. <그림 1>

은 회전관절에 의한 결합에 의해 좌표 가 결정되고, 회전각 θ가 ‘자유롭게’ 변할 수 있 음을 보여주고 있다.

미끄럼관절에 의한 연결에 의해서는 회전각과 물체 상의 한 점의 위치를 나타내는 좌표변수 중 하나가 고정되므로, 기준 위치로부터 물체가 평행이동한 거리에 의해 상대위치가 결정된 다. <그림 1>은 미끄럼관절에 의한 결합에 의해

y

좌표와 회전각 θ가 고정되고, 이동거리

x

가 자유롭게 변할 수 있음을 보여준다. <그림 2>와 같이 좌표축이 상대운동 방향과 일치 하지 않도록 설정되어 있더라도, 다음의 2개의 구속조건

이 설정되어, 자유롭게 결정할 수 있는 변수의 개수는 하나임을 알 수 있다.

, tan x const

y = θ ⋅ + θ _{= const}

<그림 1>에 주어진 예에서, 회전관절에서의 회전각 θ와 미끄럼관절에서의 진행거리

x

와 같이 관절로 연결된 두 물체의 상대 위치를 결정하는 데 필요한 변수를 해당 관절 의 관절변수joint variable라 하고, 해당 관절에 의해 연결되는 두 물체의 상대 위치를 결정하기 위해 필요한 최소한의 관절변수의 개수를 관절의 자유도라 한다. 정의에 의하 면, 회전관절과 미끄럼관절의 자유도는 각기 1이다.

그림 2.4 자유도는 좌표축의 설정과 무관하다.

회전관절이나 미끄럼관절이 하나씩 추가될 때 마다, 관절이 부과하는 구속조건constraint 에 의해 자유도 2개가 사라진다고 생각할 수 있다. 일반적으로는 평면기구에서 다음과 같 은 관계식이 성립한다.

(주) 여기서 ‘독립적’이라는 단어가 쓰였음에 주의하여야 한다.

두 물체가 결합되는 다양한 방식 중 일부를 <그림 3>에 제시하고 있다.

(관절이 부과하는 독립적 구속조건의 수) = 3 – (관절의 자유도)

그림 2.5 저차대우의 종류 (회전, 미끄럼, 나사, 원통, 구면, 평 면)

순서대로 회전revolute, 미끄럼prismatic, 나사screw, 원통cylindrical, 구면spheric, 평 면planar 대우라 한다. 각 관절의 자유도는 순서대로 1, 1, 1, 2, 3, 3이다. 나사, 원통 , 구면 대우는 3차원 공간 상의 운동을 포함하고 있고, 평면대우는 평면기구의 구성에 매 번 암시적으로 사용된다. 그러므로, 위의 여섯 개의 대우 중 평면기구의 구성을 표현하기 위해 필요한 대우는 회전관절과 미끄럼관절뿐임을 알 수 있다.

<그림 3>의 여섯 개의 대우는 그림에 표현된 대로 구현된다면 두 물체가 만나는 지점이 면을 이룸을 알 수 있다. 이와 같이, 면 접촉을 형성하는 대우를 저차대우lower pairing 라고들 한다. 하지만, 동일한 상대 운동을 허용하면서 베어링 등을 사용하여 면접촉을 이 루지 않도록 구현할 수도 있으므로, 위의 6개와 같은 형태의 관절변수를 가지는, 즉 동일 한 형태의 상대운동을 표현하는 대우를 저차대우로 정의하는 것이 바람직하다. 위 6개의 대우를 제외한 모든 결합방식을 고차대우higher pairing로 정의한다. 고차대우는 선 또는 점 접촉으로 구현되는 경우가 대부분이다. 고차대우의 예로는 원통과 구의 구름이나 미끄 러짐, 기어, 캠(cam) 등이 있을 수 있다

그림 2.6 저차대우와 고차대우

2

3

4

있다. 저차대우를 사용하면 힘을 분산시키고, 베어링을 설치하거나 윤활에 필요한 공간을 확 보하기 쉬워, 고차대우를 사용하는 것에 비해 마모를 완화하기가 용이하다. <그림 4>의 세 기구는 링크 2와 3이 동일하게 운동하지만, 하나는 저차대우를 다른 둘은 고차대우를 사용 하고 있음을 보여준다.

선 접촉을 이루는 대우의 대표적인 예로서 평면에 구속되어 있는 원통을 생각할 수 있다.

그 중심의 좌표 중 하나가 고정되어 있으므로 상대 운동의 자유도는 2이다. 특별히, 접촉 점이 각 물체 상에서 이동한 거리가 같을 수 있으면 두 물체가 (서로) 구른다고 한다. 접 촉점의 이동에 관해서는 <그림 5>를 참조하라. 두 물체가 구를 때, 매 순간 접촉점에 위 치한 두 물체에 고정된 점의 속도도 동일함을 12장에서 살펴볼 예정이다. 즉, <그림 5>와 같이 원통이 평면 위에서 구를 때, 중심의 진행거리

x

와 원통의 회전각 사이에

(접촉점의 이동거리 =)

x = R θ

의 관계가 성립하여야 한다. 여기서,

R

은 원통의 반경이다. 결국, 평면 위를 구르는 원통 은 와 의 두 조건에 의해 구속되어 있으므로 평면에 대한 상대 운동 의 자유도가 1이다. 구름조건이 명시되지 않은 채 접촉을 유지한다면 미끄럼접촉을 유지 한다고 한다. 미끄럼 접촉은 접촉점의 이동거리에 대한 조건 가 부과되지 않고 이동 방향에 제약 조건 만 작용하므로, 이에 의한 상대 운동의 자유도가 2이 다. 접촉하고 있는 두 물체가 원통이나 평면 등 특별한 모양이 아닐 때에도, 접촉점의 이 동거리나 속도로부터 구름접촉 여부를 정의한다.

θ R

x = y = const

θ R x = const

y =

두 물체가 선 또는 점 접촉을 유지하고 있을 때, 그것이 구름접촉인지 미끄럼접촉인지는 그림만으로 구별할 수 없다. 두 물체가 접촉을 유지할 때 구름접촉 여부를 판별(예측)하 는 것은 본 교과의 범위를 벗어나는 동역학의 과제이다. 구름접촉에 대해서는 12장에서, 미끄럼접촉에 대해서는 13장에서 좀더 자세히 다루기로 한다.

구름 접촉을 유지하기 위해서는 접촉점이 각 물체에서 이동한 거리가 같고, 접촉점 에 위치한 각 물체 상의 점의 속도가 같아야 한다. 미끄럼 접촉의 경우 중심을 이 동시키지 않고 회전하는 것을 허용하지만 구름 접촉의 경우 중심의 이동과 회전 사 이에 구속조건이 설정된다. 미끄럼 접촉에 의한 상대운동의 자유도는 2이고, 구름접 촉에 의한 상대운동의 자유도는 1이다.

y=const

원통의 관점

θ R θ

x

θ

그림 2.7 미끄럼 접촉과 구름 접촉

(주) 구름접촉의 경우 마찰력이 접촉점에서의 속도를 동일하게 유지하게 해주는 힘으로 작용한다. 일반 적으로 구속을 유지하기 위해서는 힘이 필요한데, 이를 구속력constraint force라 한다. 접촉을 유지 시키는 힘은 수직 항력이 될 것이고, 구름을 유지하는 힘은 마찰력이 될 것이다. 핀으로 인한 구속을 유지하기 위해서는 연결된 두 부재 사이에 뉴톤의 제 3법칙에 의한 작용 반작용의 형태로 힘이 교환된 다. 이를 <그림 6>에 보이고 있다. 동역학이나 정역학해석에서 구속력은 통상 반력으로 다루어지고 수학적으로 표현된 운동방정식에서 미지수로 취급된다. 미끄럼 접촉에서도 마찰력이 작용하지만 이는 구 속력(반력, 미지수)으로 다루어 지지 않고, 그 값이 속도와 수직항력에 관한 함수로 알려지게 된다.

구속을 유지하기 위해 구속력이 필요하다. 각기 미끄럼 접촉, 구름 접촉, 미끄럼 대우, 회 전 대우의 구속력을 보여주고 있다.

y=const

θ=const y=const

N

M N

y=const

N F

x=Rθ

F_x F_y

x₁=x₂ y₁=y₂

(x₁,y₁)

(x₂,y₂)

그림 2.8 구속력

3. 기구의 자유도

링크의 개수가

N

개, 관절의 개수가

P

개인 링키지를 고려하자. 링크 중 하나를 땅으로 삼아 고정된 것으로 간주한다. 링크 사이의 상대 운동을 구속하는 관절을 모두 해체한 상 태에서는 모든 링크가 독립적으로 운동할 수 있으므로 강체계는 고정링크에 대해

의 자유도를 가진다. 저차대우 하나에 의해 자유도 2개가 소실되므로, 조립된 상태에서 링키지의 자유도는 다음과 같다.

이를 그루불러의 식 Gruebler’s formula라 한다. <그림 1>에 이를 이용하여 자유도 를 예측하는 예를 제시하고 있다.

( ^N ) ^P

G = 3 − 1 − 2

) 1 (

3 N −

①

②

③

④

땅을 포함 4개의 링크가 있다. 강체 중 하나를 프레임으로 고정한다. 관절이 해 체된 상태에서 땅을 제외한 3개의 강체가 각기 3자유도를 가지므로 강체계는 3X3=9 자유도를 가진다. 관절 하나가 조립될 때 마다 2개의 자유도가 소실되므 로 4개의 관절에 의해 2X4=8 자유도가 소실된다. 그러므로, 조립된 기구의 자 유도는 9-8=1이다.

그림 2.9 그루블러 판별식

(문제) 자유도 2인 고차대우가

H

개 사용된 강체계의 자유도를 구하는 식을 구해보자.

(답)

(참고) 이를 쿠츠바흐의 식 Kutzbach formula 이라 한다.

(문제2) 다음 운동연쇄의 자유도를 계산해 보자.

( ^N ) ^{P H}

K = 3 − 1 − 2 −

① ②

④

⑤ ⑥

③

⑦ ⑧

⑨ ⑩

그림 2. 그루블러 식의 적용

(답)

(1) 3X4-2X6 = 0 (2) 3X5-2X7 =1 (3) 3X7-2X10 = 1 (4) 3X(8-1)-2X10 = 1 (5) 3X(8-1)-2X10 = 1 (6) 3X(8-1)-2X10 = 1 (7) 3X5-2X7= 1

(8) 3X2-2X2-1 = 1 (9) 3X2-2X2-1 = 1

(10) 구른 다면 3X3-2X4 = 1, 미끄러 진다면 3X3-2X3-1 = 2

4. 기구와 구조

자유도가 0인 링키지는 움직일 수 없고 주로 구조물로 쓰인다. 자유도에 따라 링키지를 다음과 같이 구별한다.

*굽힘모멘트의 정의에 대해서는 정역학 교과 참조.

자유도 구별 소분류 비고

= 0 구조structure 굽힘모멘트 없음 트러스truss 정역학 (재료역학) 굽힘모멘트 작용 프레임frame

= 1 한정연쇄 constrained Kinematic chain

기구학

> 1 비한정연쇄 unconstrained kinematic chain

기구학 (로봇공학)

<그림 1>에 구조물로 간주될 수 있는 링키지의 예를 제시한다. 이들은 구루블러의 식에 의해 자유도가 0으로 계산됨을 확인할 수 있다.

그림 2.11 구조물

G=3(3-2)-3*2=0 G=3(7-1)-2*9=0

한 링크에 연결된 두 링크의 끝점의 궤적 간의 교점이 삼각형의 합동 조건에 의해 유일하 게 결정되기 때문에, 부재로 ‘삼각형’을 구성하면 부재 간 상대 운동이 발생할 수 없다.

이를 <그림 2>에 보이고 있다. ‘삼각형’은 구조물을 구성하는 기본단위로 흔히 쓰인다.

<그림 2.13>은 핀 하나가 여러 개의 링크를 연결할 때, 구속조건을 계수함에 주의하여 야 함을 보여준다. 예를 들어, 3개의 링크가 하나의 핀에 의해 연결되어 있다면, 기준 으로 삼은 임의의 링크에 나머지 두 링크 각각을 연결하는 회전관절 두 개가 있다고 간주하여야 한다. 이는 ‘핀’이라는 물리적 요소를 계수하는 것이 아니라 수학적으로 부과되는 구속조건의 수를 계수하여야 하기 때문이다. 이를 고려하여 자유도를 계수하는 요령을 <그림 3>에 제시하고 있다. 구조물에 대해 이와 같은 실수를 한다면 양의 자유 도가 계산될 것이다.

그림 2.12 ‘삼각형’으로 구조물을 구성하는 이유

그림 2.13 다수의 링크를 연결하는 핀

-4 -4

-2 -2

-6

(문제1) 다음 강체계의 자유도는?

① ②

그림 2.14 종속적 구속조건

-2 -2?

+3

앞서 지적된 경우에 의해 잘못된 자유도를 얻는 것은 단순한 실수로 볼 수 있다. 다음은 보 다 본질적인 문제로, 그루블러의 식을 이용할 때, 관절에 의해 부과되는 구속조건이 서로 독 립적이어야 함에 유의할 필요가 있음을 말하고 있다. <그림 4>는 핀에 의해 종속적 구속조 건이 부과되는 예를 보이고 있다. 강체 상의 두 점 사이의 거리가 일정하므로 한 강체 상의 두 점의 위치를 임의로 결정할 수 없음에 주의하여야 한다. 주어진 예로부터 그루블러의 식 을 구조물에 기계적으로 적용하면 음의 자유도가 계산될 수 있음을 알 수 있다. 결국, 실제 자유도가 그루블러의 식을 단순 적용하여 계산되는 값보다 크거나 같음을 알 수 있다. 이와 같이 핀에 의해 부과되는 구속조건이 서로 의존할 때, 과구속이 발생하였다고 한다.

(문제2) 다음 중 과구속된 구조를 찾아보자.

5. 기구의 자유도 계산시 주의할 점

구조에 구르블러의 식을 기계적으로 적용하면 물리적으로 의미가 없는 음의 자유도를 얻거 나 구속조건의 개수를 잘못 계수할 수 있는 것과 마찬가지로, 기구의 자유도를 그루블러의 식으로부터 기계적으로 계산하면 실제 자유도와 일치하지 않는 값을 얻을 수 있음에 주의 하여야 한다.

(1) 다수의 강체를 연결하는 관절

(A) (B)

그림 2.15 다수의 링크를 연결하는 핀

(C)

<그림 2.15>의 기구

A

는 땅을 제외한 5개의 강체와 6개의 핀으로 구성되어 있으므로 3X5 - 2X6 = 3 자유도를 가지는 것으로 계산하기 쉽다. 하지만, 3개의 링크를 연결하 는 핀은 4 자유도를 한정함을 앞 절에서 살펴본 바 있다. 이는 물리적으로 몇 개의 핀이 사용되었는지보다는 구속조건이 몇 개인지가 자유도를 결정하는 본질적인 요인이기 때문이 다. 이를 보다 강조하여 그린 것이 <그림 1-

B

>이다. 즉, 올바른 계산법 3X5 - 2X7 에 의해 주어진 기구의 자유도가 1로 계산된다. <그림 1-

C

>는 문제의 핀이 생성하는 구속조 건이 회전관절 2개에 의한 것과 동일함을 알려준다. 이와 같은 실수를 하면 실재보다 큰 자유도를 얻게 된다. 이 예는 단순한 실수로 간주할 수 있다.

(2) 과구속(over-constraints, redundant constraints)

(A) (B)

그림 2.16 과구속된 기구

<그림 2.16>의 두 기구의 링크의 개수와 핀의 개수가 각기 일치하여, 그루불러의 식을 적용하면 두 경우 모두 자유도가 0으로 계산된다. 하지만 <그림 2.16-

B

>의 경우에는 운 동이 발생할 수 있음을 직관적으로 알 수 있다. <그림 2.16-

B>

는 하단 링크와 땅을 연 결하는 3개의 링크의 길이가 동일한 경우이다. 이와 같이 기하학적 파라미터(링크의 길이 등)가 특정한 값을 가질 때, 강체계의 자유도가 그루블러의 공식에 의한 것보다 증가할 수 있음에 주의하여야 한다. 그루블러의 식을 이용할 때, 링크 사이의 결합관계에만 주목 하고, 링크의 기하학적 파라미터에 관한 정보를 사용하지 않으므로, 그루블러의 식만으로 는 종속적인 구속조건을 발생시키는 경우를 찾아낼 수 없다. 결국 기하학적 파라미터의 값이 특수한 경우 자유도가 구루블러의 식으로부터 계산한 것보다 클 수 있음에 주의하 여야 한다.

(기구의 자유도) (구르블러의 식에 의한 값)

≥

(주)

1. 과구속이 발생하면 자유도만큼 관절을 고정시켰을 때, 정역학적으로 부정정(statically in determinate)계가 된다.

2. 과구속이 있는 기구를 사용할 때, 제작의 오차에 따른 조립, 마모 등에 유의하여야 한다.

<그림 2.17>에 종속적 구속조건이 발생하는 이유를 예를 들어 제시한다.

결합 전의 자유도:

땅에 대한 물체 A의 자세를 물체에 고정된 두 점의 좌표 (x₁,y₁)과 (x₂,y₂) 로 묘사하고, B 의 자세를 물체에 고정된 두 점의 좌표 (x₃,y₃)과 (x₄,y₄)로 묘사하자. 강체 상의 점들 사이 의 길이의 유지에 관한 다음 두 개의 독립적 구속조건

이 부과된다. 사용한 변수의 개수 8에서 구속조건의 수 2를 빼면 강체계의 자유도 6을 얻 는다.

( ^x

₁

^{− x}

₂

) (

²

^{+ y}

₁

^{− y}

₂

)

²

^{= const} ( ^x

₃

^{− x}

₄

) (

²

^{+ y}

₃

^{− y}

₄

)

²

^{= const}

(1) (2)

A B

(x₂

,y

₂)

(x₁

,y

₁)

(x₃

,y

₃)

(x₄

,y

₄)

결합 후의 자유도:

결합 관계를 단순히 표현하면 2개의 핀에 의해 구속조건 (3)~(6)의 4개의 조건이 추가되어 결합 후, 8-2-4=2 자유도를 가진다고 생각할 수 있다. 하지만 구속조건 (3)~(6)이 성립하면 구속조건 (1), (2)가 같은 의미를 가져 서로 독립일 수 없음을 알 수 있다. 그러므로, 사용 한 변수의 개수 8에서 독립인 구속조건의 수 5를 제하여 강체계의 자유도 3을 얻는다.

그림 2.17. 종속적 구속조건

A B

(1) (2)

(3) (4) (5) (6)

( ^x

₁ ⁻

^x

₂

) (

^{2 +}

^y

₁ ⁻

^y

₂

)

^{2 =}

^const (

^x₃ ^{− x}₄

) (

^{2 + y}₃ ^{− y}₄

)

^{2 = const}

3

1

x

x =

4

2

x

x = y y

₁¹

= = y y

₃³

(문제3) 다음 중 핀에 의해 부과되는 구속조건이 종속적인 강체계는?

<그림 1>의 (1)의 경우 그루블러의 식을 따라 자유도를 계산하면 3X6-2X9 = 0으로서 구조물을 이룸을 알 수 있다. (2)의 경우 그루블러의 식에 의한 자유도가 3X3-2X5 = -1 으로 계산되어 과구속이 발생하였음을 알 수 있다. 과구속이 발생할 때, 부품이 진정한 강 체이고, 제작 시 오차가 발생하면 조립이 불가능함을 <그림 2>에 보이고 있다.

(1) (2)

그림 2.18 구조물의 자유도

6. 과구속과 조립

실제로는 약간의 오차가 있더라도 관절의 여유play나, 부품의 변형에 의해 조립이 수행 되게 된다. 그러므로 과구속된 구조물이나 기구는 여유에 의해 운동이 불확실 해지거나, 부품에 변형과 내력이 발생하게 될 가능성이 크다. 발생하는 내력의 크기나 변형을 구하 는 것은 ‘재료역학’의 문제이다.

두 부재의 조립에 의해 교점 이 정해 진다.

부재의 길이에 약간의 오차가 발생하 면 부재의 변형 없이 조립이 불가능 하다.

그림 2.19 과구속과 자유도

(문제) 아래 강체계의 조립 용이성에 관해 설명하라.

(A) (B)

(C)

그림 2.20 문제/ 조립 용이성

7. 기구의 전위 inversion

주어진 운동연쇄 kinematic chain의 프레임을 설정한 것을 기구 mechanism라 함을 앞 서 언급한 바 있다. 프레임을 설정하는 방식에 따라 기구의 외향과 움직임의 양태가 크게 달라 보일 수 있다. 주어진 기구에 대해 그 프레임을 바꿔 설정하는 것을 기구학적 전위ki nematic inversion라 한다. 동일한 운동연쇄의 프레임을 설정하는 방식에 따라 다른 용 도로 쓰이는 기구를 만들 수 있다. 하나의 프레임에 대해 해석한 결과를 사용하여 다른 프레임에 대한 운동 해석에 적용하는 방법을 이후의 장에서 학습할 예정이다.

기구의 전위는 링크들 사이의 상대운동은 변하지 않고 그들의 절대운동만 변하 는 것이다.

그림 2.21 기구의 전위

② ③

기구의 전위 예 (Slider Crank Mechanism)

자동차 엔진 (a)

물펌프 (b)

8. 평면에 구속되지 않은 강체의 자유도*

강체가 평면에 구속되면 3 자유도를 가짐을 앞에서 보인 바 있다. 평면에 구속되지 않고 공간 상을 자유롭게 움직이는 강체의 자유도는 얼마일까?

강체에 고정된 3점의 좌표를 정하면 강체의 위치를 확정할 수 있다. 한 점의 위치를 정하기 위해 3개의 변수가 필요하므로 3점의 위치를 정하기 위해서는 전부 9개의 변수가 필요하다.

3점이 강체에 고정되어 있으므로, 3점으로 이루어진 삼각형의 변의 길이가 일정하게 유지되어 야 한다. 이로부터 3개의 구속조건이 발생한다. 설정한 변수의 개수 9에서 구속조건의 수 3을 빼면 6을 얻는다. 그러므로, 아무런 구속이 없는 강체의 운동은 6 자유도를 가진다.

이를 <그림 2>에 제시한 방식으로 생각할 수도 있다.

세 점의 위치를 정하면 강체의 자세가 결정된다.

(

x₁,y₁,z₁

) (

x3,y3,z3

)

구속조건

(

^x₂^,y₂^,z₂

)

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

(

x x

) (

y y

) (

z z

)

const const z

z y

y x

x

const z

z y

y x

x

=

− +

− +

−

=

− +

− +

−

=

− +

− +

−

2 3 2 2 3 2 2

3 2

2 3 1 2 3 1 2 3 1

2 2 1 2 2 1 2 2 1

그림 2.22 강체의 자유도

(문제4) 강체 운동의 자유도가 6임을 다양한 방법으로 설명하시오.

세 점의 위치를 설정하면 강체의 자세를 설정할 수 있다. 한 점의 위치를 고정하고 두 번 째 점을 고정하기 위해 첫 번째 점에서 두 번째 점으로의 방향을 설정하면 되기 때문에 변수 두 개가 필요하다. 마지막으로 앞의 방향을 축으로 하여 회전하여 세 번째 점의 위치 를 고정한다. 즉, 한 점을 고정하기 위해 변수 3개, 그 점이 고정된 상태에서 방위를 고 정하기 위해 변수 3개가 필요하다. 그러므로, 강체의 자유도는 6이다.

그림 2. 강체의 자유도

9. 공간기구의 자유도와 평면기구의 과구속 문제*

평면기구에 대한 그루블러의 식의 원리를 적용하여 공간기구의 자유도를 다음의 공식에 의해 서 구할 수 있다.

⁶ ( ^{N − 1} ) ^{− 5 j}

₁

^{− 4 j}

₂

^{− 3 j}

₃

^{− 2 j}

₄

^{− j}

₅

여기서,

N

은 프레임을 포함한 기구를 이루는 링크의 개수이고, 는

k

자유도를 가지는 관절의 개수이다. 단, 공간기구의 경우 과구속이 발생하는 경우가 많으므로 위 공식에 의한 값이 실제 자유도보다 작을 가능성이 큼에 주의하여야 한다.

흥미롭게도, 대부분의 유용한 공간기구는 과구속을 포함하고 있다. 특히, 평면기구를 공간기 구로 다루면 과구속된 구조임을 알 수 있다. 이는 평면에 대한 회전축의 수직성이나 미끄럼 축의 평행성이 만족되지 않으면 조립에 어려움이 발생할 수 있음을 의미한다. 예를 들어 4 절기구의 경우, 이고 이므로 그루블러 판별식 값이

로 계산된다.

과구속된 구조를 정역학적으로 분석하여 보면 정역학적으로 부정정 statically indetermina te임을 알 수 있다. 예를 들어, 평면기구의 경우 기준 평면에 수직한 힘 성분과 기준 평면 에 평행한 모멘트 성분을 구할 수 없다. 이와 같이 설정된 문제는 엄밀히는 재료역학의 범 주에 속하며, 제작오차가 있으면 위치에 따라 내력과 변형이 발생할 수 있다.

기계설계의 관점에서 과구속에 의한 내력을 줄이기 위해서는 두 가지 ‘해법’이 있을 수 있다. 하나는 과구속이 문제가 되는 곳의 제작 오차 자체를 줄이는 것이며 다른 하나는 동 일한 기능을 수행하는 높은 자유도의 관절로 관절을 대체하는 것이다.

= 4

N j

₁

= 4 _{6 × 3 − 5 × 4 = − 2}

j

k

두 번째 해법을 예로 들면 4절기구의 관절 중 커플러에 연결된 2개를 구면대우로 대체하 는 것인데, 자유도는 가 된다. 이 경우 커플러의 축에 대한 회전에 의한 자유도는 종동절과 구동절의 운동에 영향을 미치지 않는다. 또는 커플러의 한 관절을 구면관절로, 다른 관절을 원통형 관절로 대체할 수도 있을 것이다. 이 경우 자유도

는 로 계산된다.

2 2

3 2

5 3

6 × − × − × = 1

1 3 1 4 2

5 3

6 × − × − × − × =

10. 커플러 coupler 곡선

그림 2.24 커플러 곡선

구동절과 종동절을 연결하는 링크를 커플러coupler라 한다.

커플러 상의 한 점이 그리는 궤적을 커플러 곡선이라 한다.

커플러 곡선이 특정한 모양에 근접하도록 기구를 설계할 필요가 있을 수 있다.

예를 들어, 미끄럼 대우를 제작하기 어렵던 시절에는 직선에 가까운 커플러 곡선을 생성하는 링키지를 설계하려는 노력이 있었다.

일반적으로 커플러 곡선이 6차 곡선임을 보일 수 있는데(8장 연구문제 참조), 6차 곡선으로 상당히 다양한 모양의 곡선을 생성할 수 있다.

주어진 링크길이에 대해 지정된 위치의 커플러 상의 한 점의 궤적을 그리는 것은 컴퓨 터 기술이 발달한 오늘날 간단한 일에 속한다. 출력된 결과를 보고 링크길이를 변경해 가며 원하는 결과에 근접시킬 수 있을 것이다. 이러한 접근 과정 자체도 컴퓨터를 이용 하여 자동화가 가능하다. 한편, 4절 기구의 다양한 링크 길이의 조합에 대해 커플러 곡 선의 모양을 그린 도해서가 있는데, 원하는 커플러 곡선을 생성하고자 하는 설계자에게 큰 도움이 될 수 있다. Hrones-Nelson[7]의 도해서에는 수 천 개의 커플러 곡선이 제 시되어 있다. 도해서를 보고 원하는 모양에 가장 근접한 모양을 찾고, 링크 길이를 조금 씩 변경해 가며 곡선의 모양을 보다 세밀하게 조정할 수 있을 것이다.

(설계문제) 쌍곡선의 일부분에 근접하는 커플러 곡선을 가지는 기구를 설계해 보자.

(교훈) 설계변수를 변경해 가며 원하는 목표에 도달하도록 노력하는 것이 설계과정의 일 부이다.