포아송분포는 프랑스의 물리학자이며, 수학자였던 포아송(Simeon Denis Poisson, 1781∼1840)의 업적을 기려 이름지어졌다. 그는 운반수 단으로 노새를 이용하고 있던 육군의 한 부대에서 노새에 채여서 사 망한 사람들의 수를 연구하다가 시간과 공간 같은 연속적인 측정자원 에 걸쳐 이산적인 사상의 모양을 설명해 주는 이산분포를 알아냈다고 전해진다.
다시 말해서 포아송분포는 특정시간 동안 특정사상이 발생했던 평 균을 근거로 하여 특정사상의 발생 횟수에 대한 확률을 나타내 주는 분포이다. 다음과 같은 상황들이 대표적으로 포아송분포가 적용될 수 있는 경우들이다.
(1) 시간당 병원에 오는 환자의 평균 수에 근거하여 특정수의 환자가 병원에 올 확률 (2) 특정공장에서 매월 발생하는 산업재해의 수
(3) 생산제품의 표면에 나타나는 불량항목의 수
(4) 경리과에서 발송된 장의 송장당 발견되는 수학적인 실수의 수 (5) 매일매일 생명보험회사에 접수되는 생명보험금 청구건수
(6) 매월 컴퓨터가 고장나는 횟수
포아송분포를 정의해 주는 매개변수는 그리스문자 로 표시되는 분포의 평균이다. 이때 포아 송분포의 분산은 이고, 표준편차는
이다. 다음은 포아송분포의 특징이다.1. 실험은 특정사상이 특정시간 동안이나 면적, 무게, 거리, 부피와 같은 특정공간 내에서 발생 하는 횟수를 세는 것으로 구성된다.
2. 특정사상이 주어진 시간이나 공간 내에서 발생하는 횟수는 시간이나 공간의 단위에 비례한다.
3. 특정사상이 단위 시간이나 공간 내에서 발생할 확률은 나머지 단위들에 대하여 독립적이다.
4. 주어진 시간이나 공간은 아주 작은 단위구간으로 나누어질 수 있으며, 그 작은 단위구간에서 특정사상이 두 번 이상 발생할 확률은 아주 작아 무시할 수 있다.
5. 특정시간이나 공간의 단위 동안 발생할 수 있는 특정사상의 평균 혹은 기대치는 그리스문자
로 표시된다.
예를 들어 시에서 시 사이에 걸려오는 화재신고전화 횟수가 포아송분포가 되기 위해서는 위의 2, 3, 4 조건이 성립하여야 한다. 만약 이 시간대에 평균 번의 전화가 온다면 분 동안에 는 평균 번의 전화, 분 동안에는 평균 번의 전화가 온다고 가정할 수 있어야 한다. 이 시 간대의 전화 횟수는 다른 시간대에 오는 전화 횟수와는 아무런 상관이 없어야 하고, 이 시간대를
초라는 아주 작은 단위구간으로 나눌 수 있고, 이 초 동안에 전화가 번 이상 올 확률은 거 의 없어야 한다.
평균이 인 포아송분포에 의해 분포된 확률변수에 대하여, 특정 횟수()의 성공적인 사상이 발생할 확률은 다음과 같은 공식에 의하여 구해질 수 있다.
포아송분포방정식(Poisson Equation)
( 는 평균발생횟수 또는 기대되는 발생횟수이다.)
예 시 답 안
함수
는 증가함수이고 )