제 시 문 1 다음 제시문을 읽고 물음에 답하시오.
[가] 좌표평면 위의 임의의 점 를 그 좌표평면 위의 점 ′′ ′ 으로 옮기는 함 수를 변환이라고 하고 → ′ ′ 으로 나타낸다. 좌표평면의 원점을 로 표시하자. 그러면 평면 위의 한 점 는 원점 에 대한 점 의 위치벡터
와 일대일대응이다. 따라서 변환 는 위치벡터
를 위치벡터
′ 으로 옮기는 함수로 볼 수 있고 이것을
→ ′ 또는 ′
로 나타낸다. 일반적으로 임의의 위치벡터 에 대하여
를 만족시키는 변환 를 합동변환이라고 한다. 여기서
는 벡터 의 크기, 즉 두 위치벡터 의 종점의 거리를 의미한다. 따라서 합동변환이란 좌표평면 위의 두 점 사이의 거리를 보존하는 변환을 말한다. 합동변환의 대표적인 예로는 평행이동, 회전이동 및 대칭이동을 들 수 있다. 또한 변환 → ′ 와 ′ → ″ 가 합동변환 이면 와 의 합성변환 ∘ → ″ 도 합동변환이다.한편, 변환 → ′′ 에서 대응하는 점의 좌표 사이에
′ ′ ( 는 상수)
와 같이 상수항이 없는 일차식의 관계가 성립할 때, 변환 를 일차변환이라고 하고 행렬
를 일차변환 의 행렬이라고 한다. 두 일차변환 와 의 합성변환 ∘ 도 일차변환이고 세 일차변환의 행렬 사이에는 ∘ 의 관계가 있다.
[나] 원점 를 중심으로 만큼 회전하는 회전이동을 라고 하고, 좌표평면 위의 세 점
, , 가 에 의하여 각각 ′ ′ ′ 으로 옮겨진다고 하 자. 두 점 ′ ′의 좌표는 ′cos sin , ′ sin cos 이다. 또한 사 각형 ′′′ 이 직사각형이므로 ′ 의 좌표를 ′′ ′ 이라 하면
′ ′ cos sin sin cos 이 성립한다. 따라서 회전이동 는 행렬이
cos sin
sin cos 인 일차변환이다.
원점 를 지나고 축의 양의 방향과 이루는 각이 인 직선에 대한 대칭이동을
라고 하자. 좌표평면 위의 점 가 에 의하여 점 ′′ ′ 으로 옮 겨진다고 하면 점 ′′ ′ 은 점 를 축에 대하여 대칭이동한 점
″ 를 원점 를 중심으로 만큼 회전이동한 점과 일치하므로
′′ cos sin sin cos 가 된다. 따라서 대칭이동 는 행렬이
cos sin cos 인 일차변환이다.sin
[다] 영벡터
은 원점 의 위치벡터이다.
인 합동변환 를 생각하자. 합동변환 는 좌표평면 위의 두 점 사이의 거리를 보존하므로 임의의 위치벡터 에 대하여
가 성립한다. 즉, 변환 는 위치벡터의 크기를 보존한다. 그런데 두 위치벡터 의 내적은 두 벡터의 크기와 거리를 이용하여 다음과 같이 구할 수 있다.
⋅
따라서 임의의 위치벡터 에 대하여
⋅
⋅가 성립한다. 즉, 변환 는 위치벡터의 내적도 보존한다. 그러므로 두 점
의 위치벡터 가 변환 에 의하여 각각 ′ ′ 으로 옮겨 진다고 하면 두 벡터 ′ ′ 은 서로 수직인 단위벡터이다.
논제 1-1
제시문 [가]와 [나]를 참고하여, 회전이동 와 대칭이동 에 대한 합성변환 ∘와
∘가 어떤 합동변환이 되는지 밝히고, 이를 기하학적으로 설명하라.
논제 1-2
합동변환 가
을 만족시킨다고 하자. 제시문 [다]를 참고하여, 임의의 위치벡터 에 대한 다음의 등식이 성립하는 이유를 설명하라.
⋅
′
⋅
′ 또한, 이를 이용하여 변환 가 일차변환임을 증명하라.논제 1-3
제시문 [가]와 [나]로부터, 회전이동 와 대칭이동 가 일차변환인 합동변환임을 알았다.
역으로, 일차변환인 합동변환은 반드시 회전이동 또는 대칭이동이라는 것을 제시문 [다]를 참 고하여 증명하라.
제 시 문 2 다음 제시문을 읽고 물음에 답하시오.
[가] 이산확률변수 가 가질 수 있는 값이 ⋯ 이고 각각의 에 대하여 가 값 를 가질 확률이 라고 할 때, 가 가질 수 있는 값 와 가 그 값 를 가 질 확률 의 대응 관계를 의 확률분포라고 한다. 이산확률변수 의 확률분포는 확률질량함수
P ⋯ ☆
또는 확률분포표
⋯ 합계
P ⋯ 에 의해 주어진다. 의 확률분포가 이와 같을 때,
P 를 의 평균(또는 기댓값)이라고 하고
P 를 의 분산이라고 한다. 그러므로 이산확률변수 의 평균과 분산을 구하기 위해서 는 확률질량함수 또는 확률분포표로 주어지는 의 확률분포를 알고 있어야 한다. 이 사실에 기초하여, 이산확률변수 의 평균과 분산을 구할 수 있다. 의 확 률분포표로부터 의 확률분포표는
⋯ 합계 P ⋯ 이다. 따라서 의 평균과 분산은 각각 다음과 같다.
P
P
[나] 어떤 시행에서 사건 가 일어날 확률이 이고 따라서 일어나지 않을 확 률이 이다. 이 시행을 독립적으로 번 반복할 때, 사건 가 일어나는 횟수 를 라고 하면 는 확률질량함수가
P ⋯
으로 주어지는 이산확률변수이다. 이와 같은 의 확률분포를 이항분포라고 하고
로 나타낸다. 제시문 [가]의 정의를 이용하여, 의 평균과 분산을 구하면 다 음과 같다.
[다] 랜덤워크(random walk)는 액체 또는 기체 속에 있는 입자의 불규칙적인 운동이나 예 측하기 어려운 주식의 가격변화를 설명하는 데 이용될 수 있는 수리적 모형이다. 가 장 간단한 랜덤워크의 예로는 수직선상의 한 점 가 원점에서 출발하여 오른쪽 또 는 왼쪽으로 한 칸씩 임의로 움직이는 것을 들 수 있다. 점 가 오른쪽으로 움직일 확률을 , 왼쪽으로 움직일 확률을 라고 하자. 또한, 점 가 원 점 의 위치에서 출발하여 독립적으로 번 임의이동한 후 도착한 위치를 라고 하자. 그러면 변수 는 가질 수 있는 값이 유한개이며 각 값에 대하여 확률이 정해 져 있는 이산확률변수이다. 예를 들어, 점 가 다섯 번 이동한다면 는
중의 하나의 값을 가질 수 있고 각각의 확률은 다음과 같다.
합계
P 이 예로부터 의 확률분포가 이항분포와 밀접한 관계가 있음을 알 수 있다.
논제 2-1
확률질량함수가 제시문 [가]의 ☆ 로 주어지는 이산확률변수 에 대하여,
( 는 상수이고 ≠ )
로 정의된 이산확률변수 를 생각하자. 의 확률질량함수를 구하고, 이를 이용하여 의 평 균과 분산을 의 평균과 분산으로 표현하라.
논제 2-2
이산확률변수 에 대하여, 의 평균 을 아래 식을 이용하여 구할 수 있는지를 제 시문 [가]의 밑줄 친 부분을 근거로 하여 논하라.
논제 2-3
제시문 [다]에서 정의된 이산확률변수 의 확률분포가 이항분포 와 어떤 관계가 있 는지를 설명하고, 이를 이용하여 그리고 을 구하라.
제 시 문 분 석
1. 제시문 1
(가) 변환의 정의부터 시작하여 두 점 사이의 거리를 보존하는 합동변환과 일반적인 일차변환의 정의와 성질에 대하여 설명하고 있다.
(나) 점 P 를 원점을 중심으로 각 만큼 회전하는 회전이동과 원점 O 를 지나고 축의 양의 방향과 이루는 각이
인 직선에 대한 대칭이동은 모두 일차변환이고 각각 행렬
cos sin
sin cos ,
cossin cos 로 나타낼 수 있음을 보이고 있다. sin
(다) 합동변환은 위치벡터의 크기와 내적도 보존함을 보이고 있다.
2. 제시문 2
(가) 이산확률변수 의 확률분포를 정의하고 확률분포는 확률질량함수 또는 확률분포표를 이용 하여 나타냄을 보이고 있다. 또한 이산확률변수 에 대하여 평균과 분산을 구하는 방법에 대하여 설명하고 있다.
(나) 이항분포에서의 확률분포, 평균, 분산을 제시하고 있다.
(다) 랜덤워크(random walk)를 이항분포와 연결하여 그 예를 보이고 있으며, 이항분포에서의 평
논 제 분 석
논제 1-1
행렬을 이용하여 두 변환의 합성변환을 구하고 기하학적 의미를 설명하도록 하고 있다.
논제 1-2
을 만족하는 합동변환 가 일차변환임을 보이는 과정이다.논제 1-3
일차변환인 합동변환은 반드시 회전이동 또는 대칭이동임을 보이도록 하고 있다.
논제 2-1
이산확률변수 에 대하여 ( 는 상수이고 ≠ )의 확률질량함수와 평균, 분산을 구하도록 하고 있다.
논제 2-2
평균과 분산을 이용하여 확률변수를 제곱했을 때의 평균을 구할 수 있는가를 묻고 있다.
논제 2-3
이항분포에서의 평균과 분산, 제곱의 평균을 묻고 있다.
배 경 지 식 쌓 기
1. 일차변환의 뜻과 성질
좌표평면 위의 변환 → ′ ′ 에서
′ ′ ( 는 상수)
와 같이 ′ ′ 이 상수항이 없는 에 대한 일차식으로 나타내어질 때, 이 변환 를 일차변환 이라 하고 이를 행렬로 나타내면
′′
이다. 이때 행렬
를 일차변환 를 나타내는 행렬이라 한다.일차변환 →, 즉 에서 × 행렬 에 대하여 다음과 같은 성질이 성립 한다.
( 는 실수)
( 는 실수)
2. 여러 가지 일차변환
(1) 항등변환과 닮음변환항등변환을 나타내는 행렬 는
이고 가 이 아닌 실수일 때 원점을 중심으 로 하는 배 닮음변환 는
이다.(2) 대칭변환
축, 축, 원점, 직선 , 직선 에 대한 대칭변환을 나타내는 행렬을 각각
라고 하면
,
,
,
,
이다.
(3) 회전변환
원점을 중심으로 각 만큼 회전이동하는 회전변환을 나타내는 행렬은
cos sin
sin cos
3. 일차변환의 합성
점 를 점 로 옮기는 변환을 , 점 를 점 로 옮기는 변환을 라고 할 때 점 를 점
로 옮기는 변환을 합성변환이라 하고 기호로 ∘ 로 나타내며 합성변환을 나타내는 행렬은 각 변환을 나타내는 두 행렬의 곱으로 표현한다. 세 일차변환 에 대하여 를 나타내는 행렬을 각각 라고 할 때, 다음과 같은 성질이 성립한다.
① 합성변환 ∘ 는 일차변환이다.
② 합성변환 ∘ 를 나타내는 행렬은 이다.
③ ∘ ≠ ∘
④ ∘ ∘ ∘∘
⑤ ∘ ∘ ( 는 항등변환)
풀 어 보 기
1 .
두 일차변환 를 나타내는 행렬이 각각
일 때, 합성변환 ∘에 대해 바르게 설명한 것은?[EBS 수능특강 기하와 벡터 p.36, 2011]
① 원점에 대한 대칭이동 ② 축에 대한 대칭이동
③ 직선 에 대한 대칭이동 ④ 직선 에 대한 대칭이동
⑤ 원점을 중심으로 만큼 회전이동
2 .
직선 에 대한 대칭이동을 나타내는 행렬을 구하여라.[홍성대, 수학의 정석 기하와 벡터, p.74, 2010]