어떤 구간에서 곡선 가 아래로 볼록(또는 위로 오목, convex, concave up)하다는 것은
위의 임의의 두 점 P , Q 에 대하여 이 두 점 사이에 있는 곡선 부분이 선분 PQ보다 항상 아래에 있거나 같은 위치에 있다는 것이다. 다만 수식으로 나타낼 때에는 이 정의를 그대로 수식으로 옮겨서 정의하지는 않고 다음과 같이 간단하게 표현한다.
열린구간 에 속하는 임의의 실수 와 닫힌구간 에 속하는 임의의 실수 에 대하여 ≤ 를 만족할 때, 함수 는 열린구간 에서 아 래로 볼록하다고 한다. ( 가 아래로 볼록할 때, 곡선 는 위로 볼록하다고 한다.)
이것을 그림으로 나타내면 아래와 같다.
한편, ≤ ≤ 이므로 의 최솟값은 , 최댓값은 이다. 이때 점
가 그리는 자취는 두 점 , 를 잇는 곡선의 호15)가 된다. 마찬가지로 가 그리는 자취는 두 점
, 를 잇는 선분이 된다. 따라서 이 사실을 이용하여 나타낸 곡선의 볼록에 대 한 정의는 이 글의 처음에 소개한 정의와 동치임을 알 수 있다.
그런데 위에서 소개한 정의들은 교과서에서 실제로 사용되는 정의와는 다르다. 실제로 사용되 는 것은 ‘순볼록(strictly convex)’인데, 교과서에서는 ‘아래로 볼록’이라고 표현한다. 순볼록은 호가 선분보다 항상 아래에 있는 경우로서, 임의의 실수 ≠와 닫힌구간 에 속하는 임 의의 실수 에 대하여
예 시 답 안
풀어보기
1.
ㄱ. ′ 이고 가 를 기준으로 증가하다가 감소하므로 는 극댓값이다. (참)ㄴ. 일 때는 홀수 개의 실근을 갖는다. (거짓)
ㄷ. 이면 ′′ 이므로 는 위로 볼록이다. (참)
2.
ㄱ. 구간 에서
′ ,
′ ″이므로
따라서, 함수 의 그래프는 구간 에서 아래로 볼록하다. (참) ㄴ. 라 하면
이므로
.조건에 의해 구간 에서 함수 의 그래프의 개형은 그림과 같고
의 값은 사다리꼴 COAB의 넓이보다 작다.∴
(참)ㄷ. ㄱ과 ㄴ에 의해
, 함수 의 그래프를 이루는 세 선분의 기울기를 순서대로 각각 , ,
이라 두고, 그들의 대소 관계에 따라 경우를 나눠 의 그래프 개형을 그리고 의 값을 구하면 [그림 1-2-①]과 같다.
[그림 1-2-①]
≤
, ≤
이고 ≥
이므로,
≥
≥ , ≤
여기서 등호는
,
,
,
일 때만 성립한다. 따라서 주어진 조
건을 만족하는 모든 함수 에 대하여 이들 함수의 최댓값 중에서 가장 큰 값 는
이고 그 최댓값
를 갖는 함수 에 의하여 결정되는 집합 를 모두 구하면 구간
,
,
이다.(※ [그림 1-2-②] )(다른 풀이 1)
i ) 함수 의 그래프가 만 포함하는 경우
ii ) 함수 의 그래프가 만 포함하는 경우
iii ) 함수 의 그래프가 , 를 모두 포함하는 경우
(다른 풀이 2)
집합 의 길이가 이므로 최댓값은 양수이다. 최댓값이 양수이면서 인 조건에 맞는 함 수 의 그래프는 다음과 같은 형태들이다.
이 중 가장 첫 번째의 그래프를 이용하여 함수 의 최댓값 중에서 가장 큰 값 를 구하 여 보고 이를 다른 그래프에 적용시켜보자.
그림에서 tan tan 이고 함수 의 최댓값 중에서 가장 큰 값은 tan 가 최소일 때 이다.
tan tan tantan
이고
tan tan ≥
tantan에서
tantan ≤ 이다.
tan tan tantan
≥
즉, 함수 의 그래프가 아래 그림과 같을 때 집합 의 길이는 이고 함수 의 최댓 값 중에서 가장 큰 값 는
이다.
이제 위의 방법을 다른 형태의 그래프에 적용시켜보자.
다섯 가지 형태의 그래프에 각각 적용시키면 세 번째 그래프에서는 최댓값 중에 가장 큰 값
가 나올 수 없고 나머지는 모두
라는 것을 알 수 있다.
이를 종합하여 집합 를 구하면 다음과 같다.
논제 Ⅰ-3
[조건을 만족하는 함수의 그래프 개형들의 예]
[가 아래로 볼록인 구간에 속하면
′ ∉]
논제 Ⅰ-4
이므로 함수 의 그래프는 에서 위로 볼록이다. 한편, ′가 모든 실수 에서 존재하고 연속이므로 평균값 정리에 의해서
′를 만족하는 실수 가 과 사이에 존재한다. 그런데 ∈A이므로 ′∈이다. 그러므로 모든 실수
∈ 에 대하여 ≤ ′ 이다. 따라서 가 닫힌구간 에서 최댓값이 된다. 또한, 평균값 정리를 닫힌구간 , 에 각각 적용하면 다음을 얻을 수 있다.
′,
′, 인 실수 가 존재한다. 따라서
″ ′ ′≥ ′ ′
≥
즉, ≤
이므로 (가) 모든 ∈에 대하여 ≤
이다. 한편, 모든 자연수 에 대하여,
다음 네 가지 조건을 만족하는 함수 가 존재한다(※[그림 1-4]).
[그림 1-4]
ⅱ) 함수 의 그래프가 닫힌구간 에서 위로 볼록
ⅲ) , ′
, ′
ⅳ) 닫힌구간 에서 의 최댓값이
보다 크거나 같다.
즉, (나) 모든 자연수 에 대하여
≤ 인 의 원소 이 존재한다. 그러므로 (가),
(나)에 의해서 ∈ℝ 모든 ∈에 대하여 ≤ 의 최솟값 는
이다.