제 시 문 다음 제시문을 읽고 물음에 답하시오.
(가) 두 함수 와 는 정의역과 공역이 모두 양의 실수 전체 의 집합인 연속함수이다. 함수 는 정의역의 모든 점에서 양의 미분계수를 갖는다. 그림 1과 같이 임의의 양수 에 대하여 곡선 위의 점 F 에서의 접선과 축이 이루는 예각의 크기는 원점과 점 G 를 잇는 선분과 축이 이루는 예각의 크기와 같다.
(나) 세 양수 가 를 만족할 때 와 의 산 술평균을 라 하고 와 의 산술평균을 라 하자. 그 림 2와 같이 곡선
위의 세 점 A
,B
, C
에 대하여 두 직선 AB와 BC가 이루는 예각의 크기를 라 하고, 직선 위의 두 점 D , E 에 대하여 두 직선 OD와 OE가 이루는 예각의 크기를 라 하자.(다) 그림 3과 같이 좌표공간에 중심이 B 이 고 반지름이 인 구가 있다. 점 A 에 고정된 점광원에 의해 평면에 그림자가 생 긴다. 그림자의 가장자리의 한 점과 A 를 잇는 직선 위의 한 점을 P 라고 한다.
논제 1
위의 제시문 (가)와 (나)를 읽고 다음 질문에 답하시오.
(a) 제시문 (가)에서의 두 함수 와 사이의 관계식을 구하고, 함수 가 상수함수 일 때의 함수 를 구하시오.
(b) 논제 (a)의 결과를 이용하여 제시문 (나)의 와 사이의 관계를 도출하시오.
논제 2
위의 제시문 (다)를 읽고 다음 질문에 답하시오.
(a) P 와 A 가 서로 다른 점일 때, sin ∠PAB 를 만의 식으로 나타내시오.
(b) 점 P 의 좌표가 만족하는 방정식을 찾으시오.
(c) 구의 그림자의 넓이를 라 할 때,
lim
→ ∞
을 만족하는 다항함수 를 찾으시오.
제 시 문 분 석
1. 제시문 (가)
정의역과 공역이 모두 양의 실수 전체의 집합인 두 함수 의 관계를 미분계수와 직선의 기울기를 이용하여 설명하고 있다.
2. 제시문 (나)
제시문 (가)의 조건을 만족하는 두 함수에 대하여 각각의 함수 위에 점들을 이어서 만들어 지는 두 각을 제시하고 있다.
3. 제시문 (다)
축 위의 고정된 한 점광원에 의해 평면 상에 생긴 구의 그림자에 대해 설명하고 있다.
논 제 분 석
논제 1
(a) 제시문 (가)의 조건을 만족하는 두 함수 사이의 관계식을 구할 수 있는가?
미분계수와 직선의 기울기의 정의를 이용하여 구하면 된다.
(b) 제시문 (가)의 조건을 만족하는 두 함수에 대하여 각각의 함수 위에 점들을 이어서 만들어 지는 두 각의 관계를 구할 수 있는가?
이차함수의 미분계수의 성질과 산술평균의 정의를 적절하게 조합하여 구하면 된다.
논제 2
(a) 점 A 와 구의 중심 B 를 이은 선분과 접선이 이루는 각을 만의 식으로 나타낼 수 있는가?
두 점 사이의 거리, 접선의 성질, sin 의 정의를 이용하면 된다.
(b) 점 P 의 자취의 방정식을 구할 수 있는가?
주어진 상황을 벡터로 나타내고 공간좌표와 내적의 정의를 이용하면 된다.
(c) 평면 위의 점 P 의 자취의 방정식을 구하고 이를 이용한 함수의 극한을 이해할 수 있는가?
배 경 지 식 쌓 기
1. 접선의 기울기와 미분계수
(1) 함수 가 미분가능할 때, 곡선 위의 점 P 에서의 접선의 기울기는
에서의 미분 계수 ′ 와 같다.
(2) 에서의 접선이 축의 양의 방향과 이루는 각의 크기를 라 하면 ′ tan 이다.
2. 벡터의 내적
(1) 정의평면 또는 공간에서
가 아닌 두 벡터 가 이루는 각의 크기를 ( ≤ ≤ )라고 할 때
cos 을 와 의 내적이라 하고, ⋅로 나타낸다. 즉 ∙
cos특히, 이면 cos cos 이므로 ⋅ 이 성립한다.
(2) 내적의 성분 표시
① 평면벡터의 내적
라 하면 ⋅
② 공간벡터의 내적
일 때, ⋅
3. 타원의 넓이
타원
의 넓이는 이다.
풀 어 보 기
1.
좌표공간에 과 구 위의 점 A 이 있다.그림과 같이 점 B
을 지나고 축에 수직인 평면으로 구를 잘랐을 때 생기는 원 위에 있는 점을 P 라 하고, 직선 AP 가 평면과 만나는 점을 Q 라 하자. 점 P 가 원 위 의 점일 때 점 Q 가 그리는 도형의 넓이를 구하시오.2.
좌표공간에서 세 벡터 , , 에 대하여 이고 , , 이다. 두 벡터 ,
가 이루는 각의 크기를 라 할 때, cos의 값을 구하시오.