제 시 문 다음 제시문을 읽고 물음에 답하시오.
일변수 함수로 직선 위의 움직임을 표현하는 데는 충분하지만 평면에 있는 점 P 의 움직임을 표현하기에는 부족하다. 예를 들어 인공위성의 이동을 추적하려 한다면 시간의 변화에 따른 인공위성의 위치를 알아야 한다. 이 때 좌표를 설정하고 시간 를 매개변수 로 사용하여 위성의 위치를 나타내는 점 P 의 움직임을 방정식
로 표현할 수 있는 데 이러한 방정식을 매개변수방정식이라 한다.
놀이공원에서 볼 수 있는 아래 <그림 1>과 같은 스크램블러(scrambler)는 회전하는 두 팔로 구성되어 있다. 길이가 인 안쪽 팔은 반시계방향으로 회전한다. 이 경우 각속도가
sec라고 가정하면 안쪽 팔 끝점의 위치는 매개변수방정식 cos sin
로 나타낼 수 있다. 안쪽 팔 끝에서는 한 쪽의 길이가 인 바깥쪽 팔이 시계방향으로 회전한다. 이 스크램블러의 바깥쪽 팔의 회전 속도는 안쪽 팔 회전 속도의 세 배라고 한 다. <그림 1>과 같은 상태에서 바깥쪽 팔의 오른쪽 끝점에 한 사람을 태우고 스크램블러 가 움직이기 시작하였다.
<그림1> 스크램블러
논제 Ⅰ-1
안쪽 팔의 각속도가 sec라고 할 때, 스크램블러의 안쪽 팔이 한 바퀴 회전하는 동안에 타 고 있는 사람의 움직임을 나타내는 매개변수방정식을 구하고, 그 그래프를 좌표평면에 그리시오.
(10점)
논제 Ⅰ-2
위 문제［Ⅰ- 1]에서 구한 매개변수방정식을 이용하여 스크램블러에 타고 있는 사람의 속력이 인 시각을 모두 구하고, 문제［Ⅰ- 1]에서 그린 곡선의 길이를 구하시오. (20점)
논제 Ⅰ-3
위 문제［Ⅰ- 1]에서 그린 곡선으로 둘러싸인 영역의 넓이를 구하시오. (20점)
제 시 문 분 석
1. 제시문
매개변수 방정식이 무엇인지 설명하고, 놀이기구 스크램블러가 회전할 때 안쪽 팔 끝점의 위 치를 매개변수 방정식으로 나타내고 있다. 바깥쪽 팔의 회전속도가 안쪽 팔의 회전속도의 세 배 임을 제시하고 있다.
논 제 분 석
논제 Ⅰ-1
안쪽 팔의 각속도를 제시하고, 안쪽 팔이 바퀴 회전할 때 바깥쪽 팔의 오른쪽 끝에 앉아있 는 사람의 움직임을 매개변수 방정식으로 나타내고 그 그래프를 그려보는 문제이다. 위치벡터 와 삼각함수의 배각 공식을 이용하면 움직임을 매개변수 방정식으로 표시할 수 있다.
논제 Ⅰ-2
[논제 Ⅰ- 1]에서 구한 매개변수 방정식에서 스크램블러에 타고 있는 사람의 속력이 인 시 각과 그 그래프의 곡선의 길이를 구하는 문제이다. 매개변수 방정식을 이용하여
을 만족하는 를 구한다. 곡선의 길이는
을 이용하여 구할 수 있다.논제 Ⅰ-3
[논제 Ⅰ- 1]에서 그린 곡선으로 둘러싸인 영역의 넓이를 구하는 문제이다. 삼각함수의 치환 적분을 사용하거나 배각공식 또는 반각공식을 이용, 식을 변형하여 적분한다.
배 경 지 식 쌓 기
풀 어 보 기
1.
일 때,
를 구하시오.2.
다음과 같이 매개변수로 주어진 함수가 있다. sin cos 일 때, 이와 같은 곡선을 cycloid라고 부른다.
곡선 ≤ ≤ 의 길이를 구하시오.
3.
한 실이 원둘레를 따라 감겨져 있다가 팽팽히 당겨지면 직선인 상태로 된다. 그 실의 끝점 P 에 의하여 그려진 곡선을 원의 신개선(involute)이라 부른다. 만약 원이 반지름 과 중심 O 를 가진다면 P의 최초의 위치도 이다. 매개변수 가 아래 그림에서와 같다면, 신 개선의 매개변수 방정식은 다음과 같음을 보여라.18) cos sin, sin cos
4.
다음을 적분하여라.(1)
sincos(2)
tansec(3)