“적분과 통계”에서 유한 닫힌구간 에서 정의된 연속함수 에 대하여 정적분
를 정의하였다. 이번에는 정적분의 개념을 정의역이 무한이거나 가 구간 에서 불연속점을 갖는 경우로 확장하여 보자. 이러한 함수의 적분을 이상적분(improper itegral)이라 한다.이러한 생각의 가장 중요한 응용 가운데 하나는 확률분포이다. 이제 이상적분에 대하여 알아보자.
그림과 같이 곡선
, 과 축으로 둘러싸인 영역
처럼 정의역이 유한이 아닌 영역의 넓이를 구하는 방법을 알아 보자.
무한급수에서 무한히 많은 수들의 합
∞ 를 부분합
의 극한으로 정의하여 급수의 합을 구하였다. 이와 같은 생각으로 위의 그림의 도형의 넓이를 다음과 같이 정의한다.lim
→∞
이 극한값은
이므로lim
→∞
lim
→∞
이다. 이 극 한값을 함수 의 구간 ∞에서 이상적분이라고 하고, 적분의 상단에 무한대의 기호를
써서 다음과 같은 기호로 나타낸다.
∞일반적으로 함수 가 구간 ∞ 에서 연속이고, 구간 에서 정적분의 극한
lim
→∞
이 존재할 때, 이 극한값을 함수 의 구간 ∞ 에서의 이상적분이라고 하고 기호로
∞ 로 나타낸다. 이때 이상적분
∞ 는 수렴한다고 한다. 또 극한값이 존재하지 않을 때, 이일반적으로 인 모든 에 대하여
가 존재하고, 극한lim
→
가 존재할 때, 그 극한값을 구간 에서 함수 의 이상적분이라 하고 기호로
로 나타낸다. 이때 이상적분
는 수렴한다고 한다. 또 극한값이 존재하지 않을 때, 이상 적분은 발산한다고 한다. 구간 와 구간 에서도 같은 방법으로 이상적분을 정의한다.예 시 답 안
풀어보기1.
(ⅰ) ≥ 일 때, 주어진 방정식은
⋯ ㉠양변을 제곱하면 , , 또는
이다.
이면 ㉠에서 가 되어 모순이다. ∴
곡선 와 직선 은 서로 다른 두 점에서 만나고 교점의 좌표를 라 하면 방정식 의 실근은 또는 이다.
(ⅱ) 일 때, 주어진 방정식은
⋯ ㉠ 양변을 제곱하면 , 이다. 이므로 이고, 이는 방정식 ㉠을 만족한다.
곡선 와 직선 는 점 에서 접하므로 방정식 의 실근 은 이다.
(ⅰ), (ⅱ)에서 주어진 방정식의 실근은 의 개다.
2.
이라 하면 ′ ′ 이고 는 에서 극 값을 갖는다. 따라서 (나)의 조건에 맞도록 의 그래프를 그려 보면 아래 그림과 같다. ln
따라서 ( )에서 양수인 근 의 개수는 일 때 개, 이면 개,
논제 2
제시문(다)에 의해 방정식 ( )의 양의 실근이 존재해야 하므로 ≥ 이다. 는 양의 실근 중 가장 큰 값이므로 ln
이다.
ln
≥ 일 때, ln
이므로 함수 는 함수 ln
( ≥ )의 역함수이다. 따라서 함수
의 그래프는 함수 ln
( ≥ )의 그래프를 직선 에 대하여 대칭이동시키면 되므로
다음과 같은 그래프를 얻을 수 있다. 이때 ln
의 그래프의 변곡점이
이므로 함수 의 그래프의 변곡점은
이다.그러므로 함수 의 정의역 는 ≥ 이고, 변곡점은
이다.논제 3
논제 4