제 시 문 다음 제시문을 읽고 물음에 답하시오.
함수 는 실수의 집합 ℝ 을 정의역과 공역으로 갖는 연속함수이다. 집합 와 는 주 어진 함수 에 의하여 결정되며 다음과 같이 정의한다.
∈ 어떤 실수 가 존재하여 부등식 ≤ 이 모든 실수
∈ 에 대하여 성립한다.
∈ℝ 어떤 실수 ∈ 가 존재하여 모든 실수 ∈ 가 부등식
≤ 을 만족한다.
논제Ⅰ-1
함수 의 그래프가 다음과 같을 때 집합 와 를 구하여라.
논제Ⅰ-2
함수 가 ≤ 이거나 ≥ 일 때 이라고 하자. 또한 주어진 자연수 에 대하여
⋯ 을 만족하는 점 ⋯ 에서 얻어지는 닫힌구간
․ ․ ․ 각각에서 함수 의 그래프는 선분이라고 가정하자. 이러한 성질을 만 족하고 집합 의 길이가 이며, 인 경우의 모든 함수 에 대하여 이들 함수의 최댓 값 중에서 가장 큰 값 를 구하시오. 그리고 그 최댓값 를 갖는 함수 에 의하여 결정되 는 모든 집합 를 구하시오.논제Ⅰ-3
함수 의 도함수 ′ 가 모든 실수에서 존재하고 연속이라고 하자. 이 함수 에 의하여 결정되는 집합 가 닫힌구간
일 때, 집합 를 구하시오.논제Ⅰ-4
함수 의 도함수 ′ 와 이계도함수 ″ 가 모든 실수에서 존재하고 연속이라고 하자. 또 한 함수 에 의하여 결정되는 집합 가 열린구간 이고
″ 이며,
이라고 하자. 이러한 성질을 만족하는 모든 함수 의 닫힌구간 에서 최 댓값의 집합을 라고 할 때, 집합 ∈ℝ 모든 ∈에 대하여 ≤ 의 최솟값 를 구하시오.
제 시 문 분 석
연속함수 와 서로 다른 두 집합 가 주어져 있다. [논제 1-1]부터 [논제 1-4]까지 전 문항에서 매우 중요한 역할을 하는 두 집합 의 정의를 정확하게 이해하는 것이 관건이다.
논 제 분 석
논제 Ⅰ-1
주어진 집합의 개념을 정확하게 이해하는지를 평가하기 위한 문항이다. 또한 이어지는 문제 들을 해결하는데 도움을 주기 위한 의도를 포함하고 있다.
논제 Ⅰ-2
[논제 Ⅰ-1]을 확장하여 제시문에서 정의한 집합과 새로운 개념의 함수의 그래프 사이의 이 해력, 분석력, 적응력을 측정하는 문제이다.
논제 Ⅰ-3
함수가 최댓값을 가지는 점에서의 도함수의 값이 이라는 것을 응용하여 제시문에서 주어 진 집합과의 관계를 유추하는 문제이다.
논제 Ⅰ-4
함수의 미분에서 등장하는 여러 가지 개념을 주어진 문제에 적용할 수 있는지를 확인하는 문 제이다. 즉, 도함수의 연속성, 정적분, 함수의 최댓값의 범위 등의 복합적인 문제를 미적분의 기 본적인 정리에 대한 개념 이해와 창의적인 사고력으로 해결해야하는 문제이다.
배 경 지 식 쌓 기
1. 최대최소의 정리
함수 가 닫힌구간 에서 연속이면 는 이 구간에서 반드시 최댓값과 최솟값 을 갖는다.
2. 평균값의 정리
가 닫힌구간 에서 연속이고 열린구간 에서 미분가능하면
′
인 가 와 사이에 적어도 하나 존재한다.
3. 곡선의 오목과 볼록
함수 가 어떤 구간에서
① ″ 이면 곡선 는 이 구간에서 아래로 볼록하다.
② ″ 이면 곡선 는 이 구간에서 위로 볼록하다.
4. 단조감소함수
함수 의 정의역의 임의의 원소 에 대하여 의 관계가 만족할 때
≥ 이면 함수 는 단조감소함수이다.
풀 어 보 기
1.
이계도함수를 갖는 함수 의 도함수 ′의 그래프가 그림과 같고, ′ , ′ ′이다. 옳은 것만을 <보기>에서 있는 대로 고른 것 은? (단, 축은 ′의 점근선이다.)
[2011 대전지역 모의고사]
보 기 ㄱ. 는 함수 의 극댓값이다.
ㄴ. 방정식 은 서로 다른 두 실근을 갖는다.
ㄷ. 양수 에 대하여 ′′ 이면 에서 는 위로 볼록이다.
① ㄱ ② ㄴ ③ ㄱ, ㄴ ④ ㄱ, ㄷ ⑤ ㄱ, ㄴ, ㄷ
2.
실수 전체의 집합에서 이계도함수를 갖는 함수 가 다음 조건을 만족시킨다.(가) ,
(나) ′ , ″ (단, ) 옳은 것만을 <보기>에서 있는 대로 고른 것은?
[2011 전국연합]
보 기
ㄱ. 함수 의 그래프는 구간 에서 아래로 볼록하다.
ㄴ.
ㄷ.
·
≥
① ㄱ ② ㄷ ③ ㄱ, ㄴ ④ ㄴ, ㄷ ⑤ ㄱ, ㄴ, ㄷ