원, 포물선, 타원, 쌍곡선은 원뿔에 평면을 다양한 각도로 통과시켰을 때 나타나는 곡선이란 의미에서 원뿔곡선 또는 원추곡선이라고 부른다. 원뿔곡선에 대한 최초의 논문을 발표한 학자는 아폴로니우스(Apollonius, B.C. 262 ~ 200)이다. 유클리드의 제자였던 아폴로니우스는 그의 저서 ‘원 뿔곡선론(Conics)’에서 원, 타원, 포물선, 쌍곡선에 대하여 논하였고, 그는 당시의 알렉산드리아의 수학을 집대성하였다. 이 책은 권으로 되어 있는데, 그 마지막권은 전해지지 않는다. 아폴로니 우스는 하나의 직원뿔을 여러 가지 평면으로 잘라 이 평면이 밑면과 이루는 각이 모선과 밑면이 이루는 각보다 작은가, 같은가, 큰가에 따라서 타원(ellipse), 포물선(parabola), 쌍곡선(hyperbola)의 이름을 붙였다. 타원의 경우 그리스어로 ‘부족하다’는 뜻의 ellipse를 썼고, 포물선은 ‘같다’는 뜻 의 parabola를 썼으며, 쌍곡선은 ‘초과한다’는 뜻의 hyperbola를 썼다. 일반적으로 원뿔곡선을 이차 곡선이라고 부르는데, 이는 원뿔곡선을 좌표평면 위에 나타내면 이차식이 되기 때문이다. 평면 위에 놓인 공의 그림자에서도 광원의 위치에 따라 다양한 이차곡선을 볼 수 있다.
원뿔곡선에 대한 연구는 그리스시대 이후에 계속 연구되어져 왔다. 1882년 벨기에의 수학자 당드랑(G.P Dandelin, 1794 ~ 1847)은 아래 그림과 같이 원뿔의 모든 모선에 접하면서 절단한 평면 에도 접하는 구와 평면의 접점이 원뿔곡선의 초점이 됨을 증명하였다. 이때의 구를 ‘당드랑의 구’라고 한다. 즉, 당드랑의 구는 ‘원뿔의 모든 모선에 접하고 단면에도 접하는 구’이다.
1. 타원의 경우
원뿔의 밑면과 이루는 각이 원뿔의 밑면과 모선이 이루는 각의 크 기보다 작게 자른 평면과 두 개의 당드랑의 구의 접점을 각각 F F′
이라 하자. 단면 위에 생기는 곡선 위의 임의의 점 P 에서 원뿔의 꼭 지점을 이은 직선과 두 구가 접하는 점을 각각 Q R 이라 하면
PF PQ , PF′ PR (∵구의 접선)
∴ PF PF′ PQ PR QR
∴ 두 점 F F′을 초점으로 하는 타원
2. 포물선의 경우
원뿔을 모선과 평행한 단면으로 잘랐을 때 단면 위에 생기는 곡 선 위의 임의의 점을 P 라 하고 당드랑의 구가 단면에 접하는 점 을 F , 원뿔과 구의 교선을 원 C , 점 P 에서 원 C 를 포함하는 평 면과 단면의 교선에 내린 수선의 발을 H 라 하자. 또 점 P 를 지 나고 원뿔의 밑면에 평행한 평면 위의 임의의 점 Q 에 대하여 원 C 를 포함하는 평면과 점 Q 를 지나는 모선과의 교점을 R , 점 P 를 지나는 모선과의 교점을 S라 하자. 이 때,
PF PS (∵ 구의 접선), PS QR (∵ 원뿔대의 모선),
QR PH (∵ 자른 평면과 모선이 평행)
∴ PF PH
∴ 점 F 를 초점으로 하고 두 평면의 교선을 준선으로 하는 포물선
3. 쌍곡선의 경우
원뿔의 밑면과 이루는 각이 원뿔의 밑면과 모선이 이루는 각의 크기보다 크게 자른 평면과 두 개의 당드랑의 구의 접점을 각각 F F′이라 하자. 단면 위에 생기는 곡선 위의 임의의 점 P 에서 원뿔의 꼭지점을 이은 직선과 두 구가 접하는 점을 각각 Q R 이라 하면
PF PQ , PF′ PR (∵ 구의 접선)
∴ PF′ PF PR PQ QR
예 시 답 안
풀어보기1.
점 P 의 좌표를
라 하면
⋯⋯ ㉠
직선 AP 의 방정식은
⋯⋯ ㉡
㉡에 을 대입하면 점 Q 에 대하여
이다. 따라서
이고 ㉠에 대입하여 정리하면
그러므로 점 Q 가 그리는 도형은 중심이 반지름의 길이가
인 원이므로 넓이는 이다.
2.
에서 이므로 ⋅ cos 에서cos
⋅⋅
논제 1
논제 2
(a) 직선 AP 와 구의 접점을 T 라고 하면 sin∠PAB AB
BT
A
P
T B
(b) AB ․ AP AB AP cos∠PAB이므로
․
이다. 따라서 점 P 의 좌표가 만족하는 방정식은
이다.(c) 그림자가 평면 위에 생기므로 위의 방정식에 을 대입하여 정리하면
이다. 따라서 구의 그림자의 넓이
이다.lim
→ ∞
lim
→ ∞
lim
→ ∞
을 만족하기 위해서는 분모의 최고차항의 차수가 분자의 최고차항의 차수보다 커야하므로
는 일차함수이다. 이때 분모가 일차식이므로 분자는 상수가 되어야 한다. 따라서