05 지수함수

지수함수 y=a≈ (a>0, a+1)

⑴ 실수 x에 대하여 a≈ (a>0, a+1)의 값을 대응시키면 각각의 x에 대하여 a≈ 의 값이 오직 하나로 정해진다. 이와 같은 함수 y=a≈ 을 a를 밑으로 하는 지수함수라 한다.

⑵ 지수함수 y=a≈ (a>0, a+1)의 성질

① 정의역은 실수 전체의 집합, 치역은 양의 실수 전체의 집합이다.

② 점 (0, 1)을 지나고 x축을 점근선으로 갖는다.

③ a>1일 때, x의 값이 증가하면 y의 값도 증가한다.

0<a<1일 때, x의 값이 증가하면 y의 값은 감소한다.

④ 지수함수 y=a≈ 과 y={ }≈ 의 그래프는 y축에 대하여 대칭이다.

⑤ 지수함수 y=a≈ —μ +n의 그래프는 y=a≈ 의 그래프를 x축의 방향으로 m만큼, y축의 방향으로 n만큼 평행이 동한 것이다.

⑥ y=a^f(x)에서

a>1일 때, f(x)의 값이 최대이면 y=a^f(x)의 값도 최대이고, f(x)의 값이 최소이면 y=a^f(x)의 값도 최소이다.

0<a<1일 때, f(x)의 값이 최대이면 y=a^f(x)의 값은 최소이고, f(x)의 값이 최소이면 y=a^f(x)의 값은 최대 이다.

1 a

y

x a>1

O y=a≈

a

1 1

y

x 0<a<1

O y=a≈

a 1 1

2

지수방정식

⑴ 지수에 미지수를 포함하고 있는 방정식을 지수방정식이라 한다.

⑵ 지수방정식의 풀이：a>0, a+1일 때

① a^x¡=a^x™ HjK x¡=x™

② a^f(x)=a^g(x) HjK f(x)=g(x)

③ a≈ 의 꼴이 반복되면 a≈ =t로 치환하여 t에 대한 방정식을 푼다. 이때, t>0임에 유의한다.

3

지수부등식

⑴ 지수에 미지수를 포함하고 있는 부등식을 지수부등식이라 한다.

⑵ 지수부등식의 풀이

① a>1일 때, a^x¡<a^x™이면 x¡<x™

0<a<1일 때, a^x¡<a^x™이면 x¡>x™

05 지수함수

35 www.ebsi. co.kr

정답과풀이 15쪽 유형

1

지수함수의 정의와 그래프

출제유형

지수함수의 정의를 이용하여 함숫값을 구하는 문 제 또는 지수함수에 대한 참, 거짓을 묻는 문제, 그래프의 개형을 묻는 문제가 출제된다.

출제유형잡기

지수법칙과 거듭제곱근의 성질 등을 이용하 여 주어진 식을 간단히 한다. 또한, 그래프의 개형은 밑의 범위에 따라 달라짐을 기억한다.

ㄱ. f(3s)= { f(s)}‹

ㄴ.

=a

^2s ㄷ. f(s+t)=

1 f(s)f(t)

a f(-s)

f(s) 1 a¤

보기

① ㄱ ② ㄱ, ㄴ ③ ㄱ, ㄷ

④ ㄴ, ㄷ ⑤ ㄱ, ㄴ, ㄷ

지수함수 f(x)=a⁄ —≈ (a>0, a+1)과 두 실수 s, t 에 대하여 옳은 것만을보기에서 있는 대로 고른 것은?

0 2

필수유형

자연수 a, b에 대하여 곡선 y=a≈ ±⁄ 과 곡선 y=b≈ 이 직선 x=t(tæ1)와 만나는 점을 각각 P, Q라 하자. 다음 조건을 만족시키는 a, b의 모든 순서쌍 (a, b)의 개수를 구하시오.

예를 들어, a=4, b=5는 다음 조건을 만족시킨다.

~4점₩

~2012학년도 대수능₩

|출제의도| 지수함수의 그래프를 이해하고 있는지를 묻는 문제 이다.

|풀이|

f(t)=a† ±⁄ -b† (tæ1)이라 하자.

⁄ aæb일 때, f(t)=b† [a¥{ }† -1]이므로 tæ1에서 t의 값이 증가하면 f(t)의 값도 증가한다. 그러므로 tæ1에서 f(t)의 최솟 값은 f(1)이고 f(1)=a¤ -bæa¤ -a>0이므로 0<a¤ -b…10 이어야 한다.

이때, 가능한 경우는 (2, 2), (3, 2), (3, 3)의 3가지이다.

¤ a<b일 때, f(t)=0의 근을 a라 하자.

a<1이면 [그림 1]에서 |f(t)|=b† -a† ±⁄ =a† [{ }† -a]의 최 솟값은 |f(1)|이다.

aæ1이면 [그림 2]에서 |f(t)|의 최솟값은 0이다.

따라서 [그림 1]과 같이 f(1)<0이면 -10…f(1)<0이어야 하 고, [그림 2]와 같이 f(1)æ0이면 ㈏의 조건이 항상 성립한다.

즉, f(1)æ-10이면 성립하고, f(1)=a¤ -bæ-10은 ㈎의 범 위에서 항상 성립하므로 2…a<b…10에서 순서쌍 (a, b)의 개 수는 ªC™=36이다.

따라서 ⁄, ¤에서 구하는 순서쌍의 개수는 3+36=39이다. 39 b

y

O

y

t O 1 t

1 y=

b†

y=a

-1 1 -1

1

y=b†

[그림

1

] [그림

2

]

a a

y=a^t+1

t+1

a b

㈎ 2…a…10, 2…b…10

㈏ tæ1인 어떤 실수 t에 대하여 PQ”…10이다.

그림과 같이 곡선 y=3≈ 위의 점 A(a, 8)과 곡선 y=2≈ 위의 점 B(b, 27)에 대하여 두 상수 a, b 의 곱 ab의 값은?

① 4 ② 8

③ 9 ④ 12

⑤ 18

0 1 ^y

O x

y=3≈ y=2≈

1 8 27

A B

a b

그림과 같이 지수함수 y=3≈

의 그래프와 직선 y=mx (m>0)가 두 점 A, B에서 만 날 때, 이 두 점에서 x축에 내린 수선의 발을 각각 A', B'이라 하자. 사다리꼴 AA'B'B의 넓 이가 삼각형 OA'A의 넓이의

8배일 때, 실수 m의 값은? (단, O는 원점이다.)

① '2 ② '3 ③ 2'2

④ 2'3 ⑤ 4

0 3 ^y

x O

y=3≈

A

A' B' B

y=mx

유형

2

지수함수의 그래프의 평행이동과 대칭이동

출제유형

지수함수의 그래프를 평행이동하거나 대칭이동 한 그래프를 이용한 문제가 출제된다.

출제유형잡기

평행이동과 대칭이동한 그래프의 식을 구할 수 있어야 하고, 이때 지수함수의 그래프가 지나는 점의 좌표나 점근선의 방정식 등이 어떻게 바뀌는지도 알아야 한다.

필수유형

함수 f(x)=2≈ 의 그래프를 y축에 대하여 대칭이동시킨 후 x축의 방향으로 m만큼, y축의 방향으로 n만큼 평행이동시 키면 함수 y=g(x)의 그래프가 된다. 함수 y=g(x)의 그래 프가 두 점 A(1, 9), B(4, 2)를 지날 때, 두 상수 m, n의 합 m+n의 값은?

① 1 ② 2 ③ 3

④ 4 ⑤ 5

|출제의도| 대칭이동과 평행이동한 그래프의 식을 구할 수 있는 지를 묻는 문제이다.

|풀이|

y=2≈ 의 그래프를 y축에 대하여 대칭이동시키면 y=2—≈ 의 그래프이 고, 이 그래프를 x축의 방향으로 m만큼, y축의 방향으로 n만큼 평 행이동시키면 y=2^-(x-m)+n의 그래프이므로 g(x)=2^-(x-m)+n 이다. 이 함수의 그래프가 두 점 A(1, 9), B(4, 2)를 지나므로

2^-1+m+n=9 yy`㉠

2^-4+m+n=2 yy`㉡

㉠－㉡을 하면 2^-1+m-2^-4+m=7이므로 2μ { - }=7

2μ ¥ =7 2^m=16에서 m=4

m=4를 ㉡에 대입하면 n=1

∴ m+n=4+1=5

⑤ 7

16 1 16 1 2

함수 y=9≈ +1의 그래프를 x축의 방향으로 m만큼, y축의 방향으로 n만큼 평행이동하였더니 함수

y= ¥3^2x-1+2의 그래프와 일치하였다. 두 상수 m, n의 합 m+n의 값은?

① -2 ② -1 ③ 0

④ 1 ⑤ 2

1 3

0 4

함수 f(x)=2≈ 의 그래프를 x축의 방향으로 -1만큼 평행이동시킨 다음, y축에 대하여 대칭이동시켰더니 함 수 y=g(x)의 그래프와 일치하였다. 점 (a, b)가 곡선 y=f(x) 위의 점일 때, 옳은 것만을보기에서 있는 대로 고른 것은?

0 6

ㄱ. f(a)g(a)=2 ㄴ.

g(a+1)=

ㄷ.

g(2a-1)= 1 4b¤

1 b

보기

함수 y=f(x)의 그래프가 오른 쪽 그림과 같을 때, 함수 y=2^1-f(x) 의 그래프의 개형으로 적당한 것 은?

① ②

③ ④

⑤

^y

O x

y

O x y

O x

y

O x y

O x

0 5 ^y

O x

y=f(x) 1

1 -1

05 지수함수

37 www.ebsi. co.kr

정답과풀이 15쪽 유형

3

지수함수의 최댓값과 최솟값

출제유형

지수함수의 최댓값과 최솟값을 구하는 문제가 출 제된다.

출제유형잡기

치환하여 식의 범위를 구한 후 최댓값과 최솟 값을 구하는 문제 등이 출제된다. 밑의 범위에 따라 지수 함수의 증가, 감소가 달라짐에 유의하여 최댓값, 최솟값을 구한다.

필수유형

함수 f(x)=4≈ +4—≈ -2≈ ±⁄ -2—≈ ±⁄ 의 최솟값은?

① -4 ② -2 ③ 2

④ 4 ⑤ 8

|출제의도| 산술평균과 기하평균 사이의 관계를 이용하여 범위 를 구한 후 최솟값을 구할 수 있는지를 묻는 문제이다.

|풀이|

f(x)=4≈ +4—≈ -2≈ ±⁄ -2—≈ ±⁄

=4≈ +4—≈ -2(2≈ +2—≈ )

2≈ +2—≈ =t라 하면 2≈ >0, 2—≈ >0이므로 산술평균과 기하평균 사이 의 관계에 의하여

t=2≈ +2—≈ æ2"√2≈ ¥2—≈ =2 (단, x=0일 때 등호 성립)

∴ tæ2 한편,

4≈ +4—≈ =(2≈ )¤ +(2—≈ )¤

=(2≈ +2—≈ )¤ -2=t¤ -2 이므로 주어진 함수는

y=(t¤ -2)-2t

=(t-1)¤ -3 (tæ2)

따라서 t=2, 즉 x=0일 때, 최솟값 -2를 갖는다.

②

함수 y=25≈ -2¥5≈ ±⁄ +50은 x=a에서 최솟값 m 을 갖는다. 이때, 두 상수 a, m에 대하여 a+m의 값을 구하시오.

0 7

정의역이 {x|-3…x…3}인 함수 f(x)={ }^{x¤ -4x} 의 최댓값이 M, 최솟값이 m일 때, Mm의 값은?

① 3—¤ ‚ ② 3—⁄ · ③ 3—⁄ °

④ 3—⁄ ‡ ⑤ 3—⁄ ﬂ

0 8

양수 a에 대하여 함수

f(x)=4≈ -a¥2≈ ±⁄ +8a+2

의 최솟값을 a에 대한 함수 g(a)라 하자. 이때, 함수 g(a)의 최댓값은?

① 12 ② 16 ③ 18

④ 24 ⑤ 30

0 9

유형

4

지수방정식⑴

출제유형

a^f(x)=a^g(x)(a>0, a+1)꼴의 지수방정식을 푸는 문제가 출제된다.

출제유형잡기

a^f(x)=a^g(x)(a>0, a+1)꼴의 지수방정식 은 f(x)=g(x)임을 이용하여 푼다.

필수유형

방정식 4≈ =2^{x¤ -1}의 두 실근 a, b에 대하여 의 값은?

① ② ③ 4

④ 32 ⑤ 256

1 2 1

2^{a¤ +b¤}

4^ab

|출제의도| a^f(x)=a^g(x)꼴의 지수방정식의 해를 구할 수 있는 지를 묻는 문제이다.

|풀이|

= =2^(a-b)¤

4≈ =2^{x¤ -1}에서 2¤ ≈ =2^{x¤ -1}

밑이 같으므로 등호가 성립하려면 2x=x¤ -1, x¤ -2x-1=0

이 이차방정식의 판별식 D>0이므로 실근을 갖고, 이차방정식의 근 과 계수의 관계에 의하여 a+b=2, ab=-1이므로

(a-b)¤ =(a+b)¤ -4ab=2¤ -4¥(-1)=8

∴ =2^(a-b)¤=2° =256

⑤ 2^{a¤ +b¤}

4^ab 2^{a¤ +b¤}

2^2ab 2^{a¤ +b¤}

4^ab

방정식 4^;2!;x=1000의 근을 a라 하자. 자연수 n에 대 하여 n<a<n+1이 성립할 때, n의 값은?

① 6 ② 7 ③ 8

④ 9 ⑤ 10

10

연립방정식 의 해를 x=a, y=b라

할 때, ab의 값은?

① -2 ② -1 ③ 1

④ 2 ⑤ 3

x+2y=1 7≈ -{;7!;}^2y=42

·{

11

12

^{연립방정식 [} 의 해를 x=a, y=b라 할 때, a+b의 값은?

① 3 ② 4 ③ 5

④ 6 ⑤ 7

2≈ —⁄ +3¥ ±⁄ =29 2≈ ±¤ -3¥ —⁄ =13

05 지수함수

39 www.ebsi. co.kr

정답과풀이 16쪽 유형

5

지수방정식⑵

출제유형

a¤ ≈ +pa≈ +q=0(a>0, a+1)꼴의 지수방정식 을 푸는 문제가 출제된다.

출제유형잡기

a¤ ≈ +pa≈ +q=0(a>0, a+1)꼴의 지수방 정식은 a≈ =t로 치환하여 푼다. 이때, t>0임에 유의 한다.

필수유형

지수방정식 9≈ -3≈ ±¤ +17=0의 두 근을 a, b라 하자. 자연 수 n에 대하여 n<a+b<n+1이 성립할 때, n의 값은?

① 1 ② 2 ③ 3

④ 4 ⑤ 5

|출제의도| a¤ ≈ +pa≈ +q=0꼴의 지수방정식과 이차방정식 t¤ +pt+q=0의 관계를 이해하고 있는지를 묻는 문제이다.

|풀이|

3≈ =t(t>0)로 놓으면 지수방정식 9≈ -3≈ ±¤ +17=0은

t¤ -9t+17=0 yy`㉠

으로 나타낼 수 있다. 이 이차방정식의 판별식이 0보다 크고, 근과 계 수의 관계에서 두 근의 합과 곱이 모두 양수이므로 서로 다른 양의 두 실근을 갖는다.

주어진 지수방정식의 근이 a, b이므로 이차방정식 ㉠의 근은 3^a, 3^b 이다.

따라서 이차방정식의 근과 계수의 관계에 의하여 3^a¥3^b=3^a+b=17

따라서 3¤ <3^a+b<3‹ 이고 밑이 1보다 크므로 2<a+b<3

∴ n=2

②

방정식 3≈ + =8의 두 근을 a, b라 할 때, 3^a+b의 값은?

① 6 ② 8 ③ 9

④ 18 ⑤ 27

13

3≈

x에 대한 지수방정식 4≈ -2^a+x+2^a+1=0이 실근을 갖도록 하는 실수 a의 최솟값은?

① -2 ② -1 ③ 1

④ 2 ⑤ 3

14

0…x…2p일 때, x에 대한 방정식 2^{3 cos¤ x}-2^{3sin¤ x-1}=3 의 모든 근의 합은?

① p ② 3p ③ p

④ 4p ⑤ 9p 2

7 2 5

15

신유형

유형

6

지수부등식

출제유형

a^f(x)<a^g(x)꼴 또는 a¤ ≈ +pa≈ +q<0꼴의 지수 부등식을 푸는 문제가 출제된다. (단, a>0, a+1)

출제유형잡기

지수부등식은 밑 a의 값의 범위에 따라 부등 호의 방향이 달라짐에 유의한다.

필수유형

연립부등식 g 의 해는?

① x<-4 ② -4<x<1

③ -3<x<2 ④ 0<x<2

⑤ x>1

"≈2≈ <2≈ ±¤

4≈ <2≈ +2

|출제의도| a^f(x)<a^g(x)꼴과 a¤ ≈ +pa≈ +q<0꼴의 지수부등 식을 풀 수 있는지를 묻는 문제이다.

|풀이|

g"≈2≈ <2≈ ±¤ yy`㉠

4≈ <2≈ +2 yy`㉡

㉠에서 2^;2{;<2≈ ±¤

밑이 1보다 크므로 <x+2

∴ x>-4 yy`㉢

㉡에서 2¤ ≈ <2≈ +2

2≈ =t라 하면 t>0이고 t¤ <t+2이므로 t¤ -t-2<0, (t-2)(t+1)<0 t>0이므로 0<t<2

2≈ <2 ∴ x<1 yy`㉣

㉢, ㉣에서 -4<x<1

② x

부등식 { }^x¤<5—¤ ¥{ }≈ 을 만족시키는 자연수 x의 최솟값은?

① 1 ② 2 ③ 3

④ 4 ⑤ 5

1 5 1

16

부등식 3≈ ±¤ +3—≈ ±⁄ -28<0을 만족시키는 정수 x의 개수는?

① 1 ② 2 ③ 3

④ 4 ⑤ 5

17

모든 실수 x에 대하여 지수부등식 2¤ ≈ -a¥2≈ ±⁄ +3-2a>0 이 성립할 때, 실수 a의 값의 범위는?

① a>-1 ② -1<a<2 ③ a<1

④ 0<a<2 ⑤ a<2

18

고난도

문서에서 2013학년도(2012년 실시) 수학Ⅰ 수능완성 (페이지 34-41)

y

x a>1

O y=a≈

a

1 1

y

x 0<a<1

O y=a≈

a 1 1

2

3

35

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1

출제유형

출제유형잡기

=a

1 f(s)f(t)

a f(-s)

f(s) 1 a¤

0 2

~4점₩

y

O

y

t O 1 t

1 y=

y=a

-1 1 -1

1

1

2

a a

0 1 y

O x

y=3≈ y=2≈

1 8 27

A B

a b

0 3 y

x O

y=3≈

A

A' B' B

y=mx

2

출제유형

출제유형잡기

0 4

0 6

g(a+1)=

g(2a-1)= 1 4b¤

1 b

y

O x

y

O x y

O x

y

O x y

O x

0 5 y

O x

y=f(x) 1

1

-1

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3

출제유형

출제유형잡기

0 7

0 8

0 9

4

출제유형

출제유형잡기

10

11

0 1 ^y

0 3 ^y

^y

0 5 ^y