1
06 로그
로그의 정의
a>0, a+1, b>0일 때, 등식 a≈ =b를 만족시키는 실수 x는 오직 하나 존재한다. 이때, x를 a를 밑으로 하는 b의 로그라 하고, 기호로 x=logå b와 같이 나타낸다. 또, b를 logå b의 진수라 한다.
a≈ =b HjK x=logå b
2
로그의 성질a>0, a+1, x>0, y>0일 때,
⑴ logå 1=0, logå a=1 ⑵ logå xy=logå x+logå y
⑶ logå x=logå x-logå y ⑷ logå xπ =p logå x (단, p는 실수) y
3
로그의 밑의 변환 공식a>0, a+1, b>0, c>0, c+1일 때,
⑴ logå b= ⑵ logå b= 1 (단, b+1)
log∫ a logç b
logç a
5
상용로그⑴ 10을 밑으로 하는 로그를 상용로그라 하고, 양수 N에 대하여 상용로그 log¡º N을 밑 10을 생략하여 log N으로 나타낸다.
⑵ 상용로그의 지표와 가수
① log N=n+a(n은 정수, 0…a<1)로 나타낼 때, n을 log N의 지표, a를 log N의 가수라 한다.
② N=a_10« (1…a<10, n은 정수)일 때, log N=n+log a이므로 n은 log N의 지표, log a는 log N의 가수가 된다.
4
로그의 여러 가지 성질a>0, a+1, b>0, c>0, c+1일 때,
⑴ alogç b=blogç a ⑵ alogå b=b
⑶ logaμ b« = n logå b (단, m+0, m, n은 실수) m
6
상용로그의 지표와 가수의 성질⑴ N의 정수 부분이 (n+1)자리이면 log N의 지표는 n이다. (단, n은 음이 아닌 정수)
⑵ N이 소수점 아래 n번째 자리에서 처음으로 0이 아닌 숫자가 나타나면 log N의 지표는 -n이다.
(단, n은 자연수)
⑶ 숫자의 배열이 같고, 소수점의 위치만 다른 수들의 상용로그의 가수는 모두 같다.
유형
1
로그의 정의와 성질을 이용한 문제출제유형
로그가 정의되는 조건, 지수와 로그 사이의 관계, 로그의 성질을 이용한 식의 값을 묻는 문제가 출제된다.출제유형잡기
로그의 밑과 진수의 조건을 알고 있어야 하며 지수와 로그 사이의 관계를 적절히 이용할 수 있어야 한 다. 또한, 로그의 기본 성질, 밑의 변환 공식을 이용하여 식을 간단히 할 수 있어야 한다.a=log¢ (5-2'6)일 때, 2‹ å +2—‹ å 의 값은?
① 16'2 ② 16'3 ③ 18'2
④ 18'3 ⑤ 20'2
0 1
보기에서 옳은 것만을 있는 대로 고른 것은?
0 2
144의 서로 다른 양의 약수 전체를 작은 수에서 큰 수 의 순서대로 나열하여 a¡, a™, y, a«이라 할 때, log¡™ a¡+log¡™ a™+y+log¡™ a«의 값은?
① 13 ② 14 ③ 15
④ 16 ⑤ 17
0 3
필수유형
100 이하의 자연수 전체의 집합을 S라 할 때, n<S에 대하여 집합 {k|k<S이고 log™ n-log™ k는 정수}의 원소의 개수를 f(n)이라 하자. 예를 들어, f(10)=5이고 f(99)=1이다.
이때, f(n)=1인 n의 개수를 구하시오.
~4점₩
~2011년 6월 평가원₩
|출제의도| 로그의 성질을 이용하여 집합의 원소의 개수를 구할 수 있는지를 묻는 문제이다.
|풀이|
주어진 집합을 A«이라 하자.
log™ n-log™ k=log™ 이므로 k<A«이려면
log™ =m (m은 정수), 즉 =2μ 이어야 한다.
⁄ 1…n…50일 때,
k=n이면 =1=2‚ 이므로 n<A«이다.
k=2n이면 = =2—⁄ 이므로 2n<A«이다.
따라서 집합 A«의 원소의 개수는 2 이상이다.
¤ n이 50보다 큰 짝수일 때,
k=n이면 =1=2‚ 이므로 n<A«이다.
k= 이면 =2=2⁄ 이므로 <A«이다.
따라서 집합 A«의 원소의 개수는 2 이상이다.
‹ n이 50보다 큰 홀수일 때,
=2μ , 즉 k= (m은 정수)을 만족시키는 정수 m은 0뿐 이다.
따라서 집합 A«의 원소의 개수는 1이다.
⁄, ¤, ‹에서 구하는 자연수 n은 51, 53, 55, y, 99의 25개 이다.
25 n
2μ n
k
n 2 n
k n 2
n k
1 2 n k n k
n k n
k
n k
ㄱ. { }3 log { }2 ={ }2 log { }3 ㄴ. log™ tan h+log™ tan { -h}=0
{단, 0<h< } ㄷ. 10log (log 2)
¥log™ 10=1
p
2
p2 3 2 3
2 3 2 3
2
보기① ㄱ ② ㄴ ③ ㄱ, ㄴ
④ ㄴ, ㄷ ⑤ ㄱ, ㄴ, ㄷ
신유형
06 로그
43
www.ebsi. co.kr
정답과풀이 17쪽 유형
2
상용로그의 지표와 가수에 대한 문제출제유형
주어진 값에 대한 상용로그의 지표와 가수를 묻거 나 이를 이용하여 다른 값에 대한 상용로그의 지표와 가수 를 묻는 문제가 출제된다.출제유형잡기
상용로그의 지표와 가수의 정의 및 성질을 알 고 있어야 한다. 특히, 지표는 정수이고 가수는 0 이상 1 미만의 실수라는 조건이 중요하다.log A=1.23일 때, log 의 가수는?
① 0.23 ② 0.46 ③ 0.54
④ 0.68 ⑤ 0.72 1
0 4
A¤양수 A에 대하여 log A의 지표와 가수가 x에 대한 이차방정식 x¤ -(log£ 8)x+k=0의 두 근일 때, 3˚ 의 값은? (단, k는 상수이다.)
① ② ③
④ ⑤ 11
3 7
2
8 3 5
2 7
3
0 5
양의 실수 전체의 집합을 P라 하자. 정의역이 P인 두 함수 f, g가 다음 세 조건을 만족시킨다.
0 6
필수유형
양수 x에 대하여 log x의 지표와 가수를 각각 f(x), g(x) 라 하자. 두 부등식 f(n)…f(54), g(n)…g(54)를 만족시키 는 자연수 n의 개수는?
~4점₩
① 42 ② 44 ③ 46
④ 48 ⑤ 50
~2012학년도 대수능₩
|출제의도| 상용로그의 지표와 가수의 정의를 알고 있는지를 묻 는 문제이다.
|풀이|
log 54=1+log 5.4이므로 f(54)=1, g(54)=log 5.4 따라서 주어진 부등식은
f(n)…1, g(n)…log 5.4 yy`㉠
f(n)은 음이 아닌 정수이므로 f(n)=0 또는 f(n)=1
⁄ f(n)=0일 때, ㉠에서 0…log n-0…log 5.4이므로 1…n…5.4
∴ n=1, 2, 3, 4, 5
¤ f(n)=1일 때, ㉠에서 0…log n-1…log 5.4이므로 log 10…log n…log 54
10…n…54
∴ n=10, 11, y, 54
따라서 ⁄, ¤로부터 구하는 n의 개수는 5+45=50
⑤
㈎ 함수 f의 치역은 {n|n은 정수}이다.
㈏ 함수
g의 치역은 {a|a는 0…a<1인 실수}이다.
㈐ 모든 x<P에 대하여 16f(x)+g(x)
=x이다.
f(2013)의 값은?
① 2 ② 4 ③ 6
④ 8 ⑤ 10
유형
3
상용로그의 지표의 성질출제유형
상용로그의 지표와 자릿수의 관계를 묻는 문제가 출제된다.출제유형잡기
상용로그의 지표는 진수의 자릿수에 관한 중 요한 정보를 알려 주는 수임을 알고 있어야 한다. 특히, log x의 지표는 [log x]와 같음을 알고 있어야 한다.(단, [a]는 a보다 크지 않은 최대의 정수이다.)
필수유형
양수 A가 다음 조건을 만족시키면 A¤ ‚ 의 정수 부분은 n자리 또는 (n+1)자리 수이다. 자연수 n의 값은?
|출제의도| 상용로그의 지표와 자릿수와의 관계를 알고 있는지 를 묻는 문제이다.
|풀이|
이 소수점 아래 22번째 자리에서 처음으로 0이 아닌 숫자가 나 타나므로
-22…log <-21 -22…-16 log A<-21
<log A…
log A¤ ‚ =20 log A이므로 A¤ ‚ 의 상용로그의 값의 범위는 20¥ <log A¤ ‚ …20¥
26.25<log A¤ ‚ …27.5
따라서 log A¤ ‚ 의 지표는 26 또는 27이므로 A¤ ‚ 의 정수 부분은 27 자리 또는 28자리 수이다.
∴ n=27
② 22
16 21
16
22 16 21
16
1 A⁄ fl 1
A⁄ fl
15¤ ‚ 은 몇 자리의 정수인가?
(단, log 2=0.3010, log 3=0.4771로 계산한다.)
① 21 ② 22 ③ 23
④ 24 ⑤ 25
0 7
11« 의 값은 a자리의 정수이다. 이때, a의 값은?
(단, 11¤ › 은 25자리의 정수이다.)
① 9 ② 10 ③ 11
④ 12 ⑤ 13
;N+!10
0 8
다음 두 조건을 모두 만족시키는 두 자리 자연수 N의 개수를 구하시오.
(단, [x]는 x보다 크지 않은 최대의 정수이다.)
0 9
㈎ [log 2N]=[log N]
㈏ [log N¤ ]=2[log N]+1 신유형
은 소수점 아래 22번째 자리에서 처음으로 0이 아닌 숫 자가 나타난다.
1 A⁄ fl
① 26 ② 27 ③ 28
④ 29 ⑤ 30
06 로그
45
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정답과풀이 18쪽 유형
4
상용로그의 가수의 성질출제유형
상용로그의 가수를 묻거나 이를 이용한 문제가 출제된다.출제유형잡기
상용로그의 가수는 진수의 숫자 배열에 대한 정보를 알려 주는 수임을 알고 있어야 한다. 또한, 가수를 이용하여 진수의 최고 자리의 숫자를 구할 수 있어야 한 다.필수유형
50—› 은 소수점 아래 n번째 자리에서 처음으로 0이 아닌 숫자 m이 나타난다. 이때, 10m+n의 값을 구하시오.
(단, log 2=0.3010으로 계산한다.)
|출제의도| 진수의 숫자 배열과 상용로그의 지표와 가수 사이의 관계를 알고 있는지를 묻는 문제이다.
|풀이|
A=50—› ={ }4 이라 하면
log A=4 log =4 log
=4(log 2-2)
=-6.796
=å7.204
이므로 소수점 아래 7번째 자리에서 처음으로 0이 아닌 숫자가 나타 난다.
∴ n=7
-7<log A<å7.3010 -7<log A<-7+log 2 log <log A<log 0.0000001<A<0.0000002
∴ m=1
∴ 10m+n=10+7=17
17 2
10‡
1 10‡
2 100 1
50 1 50
양수 A에 대하여 log A=3.5480이 성립할 때, A의 천의 자리의 숫자는?
(단, log 2=0.3010, log 3=0.4771로 계산한다.)
① 2 ② 3 ③ 4
④ 5 ⑤ 6
10
12⁄ ‚ =a_10« (n은 정수, 1…a<10)이 성립할 때, [a]+n의 값은?
(단, log 2=0.3010, log 3=0.4771, log 7=0.8451로 계 산하고, [x]는 x보다 크지 않은 최대의 정수이다.)
① 15 ② 16 ③ 17
④ 18 ⑤ 19
11
은 소수점 아래 n번째 자리에서 처음으로 0이 아 닌 숫자 m이 나타난다. 이때, m+n의 값은?
(단, log 2=0.3010으로 계산한다.)
① 9 ② 10 ③ 11
④ 12 ⑤ 13
2⁄ ‚
12
5¤ ‚유형
5
지표와 가수의 활용출제유형
상용로그의 지표와 가수를 이용하여 주어진 조건 을 만족시키는 값을 구하는 문제가 출제된다. 특히, 가수의 범위를 나누어서 푸는 문제가 많이 출제된다.출제유형잡기
상용로그의 지표와 가수의 정의 및 성질을 잘 알고 있어야 한다.필수유형
양수 x에 대하여 log x의 지표와 가수를 각각 f(x), g(x) 라 할 때, 다음 조건을 만족시키는 모든 x의 값의 곱은?
~4점₩
|출제의도| 상용로그의 지표와 가수의 성질을 이해하고 이를 활 용할 수 있는지를 묻는 문제이다.
|풀이|
log x=n+a`(n은 정수, 0…a<1)라 하면 f(x)=n, g(x)=a이다.
㈎에서 3g(x)=3a의 값이 정수이어야 하므로 a=0 또는 a= 또는 a= 이다.
⁄ a=0일 때,
log x¤ =2 log x=2n이므로 f(x¤ )=2n이다.
f(x)+f(x¤ )=n+2n=6 ∴ n=2 따라서 log x=2+0이므로 x=10¤ 이다.
¤ a= 일 때,
log x¤ =2 log x=2n+ 이므로 f(x¤ )=2n이다.
f(x)+f(x¤ )=n+2n=6 ∴ n=2 따라서 log x=2+ = 이므로 x=10;3&;이다.
‹ a= 일 때,
log x¤ =2 log x=2n+ =2n+1+ 이므로 f(x¤ )=2n+1이다.
`f(x)+f(x¤ )=n+2n+1=6 ∴ n=5 1 3 4
3 2
3
7 3 1 3
2 3 1
3
2 3 1
3
㈎ f(x)+3g(x)의 값은 정수이다.
㈏ f(x)+f(x¤ )=6
① 10› ② 10:¡3£: ③ 10:¡3¢:
④ 10fi ⑤ 10:¡3§:
~2011년 9월 평가원₩
10<x<100이고, log x의 가수와 log x‹ 의 가수가 같을 때, log x› 의 값은?
① ② 5 ③
④ 6 ⑤ 13
2
11 2 9
2
13
양수 A에 대하여 log A의 지표는 m, log 의 지표는 n일 때, 정수 m, n의 합 m+n의 값은?
(단, log A의 가수는 0이 아니다.)
① -2 ② -1 ③ 0
④ 1 ⑤ 2
100
14
A다음 조건을 만족시키는 자연수 N의 개수를 구하시 오. (단, '1å0=3.16으로 계산한다.)
15
㈎ log N의 지표는 1이다.
㈏ log N의 가수는 log
40
의 가수보다 크다.N
06 로그
47
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정답과풀이 19쪽 유형
6
상용로그의 실생활 활용 문제출제유형
실생활과 관련된 내용이 상용로그가 포함된 식의 형태로 주어지고 이를 이용하여 값을 구하는 문제가 출제 된다.출제유형잡기
주어진 자료를 식에 대입하여 로그의 성질을 이용하거나 상용로그의 값을 구하여 문제를 푼다.필수유형
누에나방 암컷은 페로몬을 분비하여 수컷을 유인한다. 누에나 방 암컷이 페로몬을 분비한 후 t초가 지났을 때 분비한 곳으로 부터 거리가 x인 곳에서 측정한 페로몬의 농도 y는 다음 식을 만족시킨다고 한다.
log y=A- log t- (단, A와 K는 양의 상수이다.) 누에나방 암컷이 페로몬을 분비한 후 1초가 지났을 때 분비한 곳으로부터 거리가 2인 곳에서 측정한 페로몬의 농도는 a이 고, 분비한 후 4초가 지났을 때 분비한 곳으로부터 거리가 d 인 곳에서 측정한 페로몬의 농도는 이다. d의 값은?
~3점₩
① 7 ② 6 ③ 5
④ 4 ⑤ 3
~2012학년도 대수능₩
a 2 Kx¤
t 1
2
|출제의도| 주어진 식을 이해하고 적용할 수 있는지를 묻는 문 제이다.
|풀이|
주어진 조건에 따라 다음 식이 성립한다.
log a=A- log 1- yy`㉠
log =A- log 4- yy`㉡
㉠, ㉡을 각각 정리하면
log a=A-4K yy ㉢
log a=A- yy`㉣
㉢-㉣을 하면 { -4}K=0
∴ d=4 (∵ d>0, K>0)
④ d¤
4 d¤ K
4
d¤ K 4 1
2 a
2
4K 1 1
2
지진의 규모 R와 지진이 일어났을 때 방출되는 에너 지 E 사이에는 다음과 같은 관계가 있다고 한다.
R=0.67 log (0.37E)+1.46
지진의 규모가 R¡일 때 방출되는 에너지를 E¡, 지진의 규모가 R™일 때 방출되는 에너지를 E™라 하자.
E¡=2E™일 때의 R¡-R™의 값을 k라 할 때, [1000k]
의 값을 구하시오. (단, log 2=0.3010으로 계산하고, [x]는 x보다 크지 않은 최대의 정수이다.)
16
완구를 만드는 어떤 공장에서 완구에 들어가는 부품을 만들기 위해 직원들을 교육시키고 있다. 직원들을 관찰한 결과 1분당 부품 90개 이상 만드는 것은 불가능하고, 1분당 부품 N개를 만들기까지 걸린 평균 연습시간을 t(시간)라고 할 때, 다음과 같은 식이 성립함을 알았다.
t=1-k`log {1- } (단, 0<N<90)
1분당 부품 60개를 만들기까지 걸린 평균 연습시간이 1분당 부품 30개를 만들기까지 걸린 평균 연습시간의 1.5배가 된다고 할 때, 실수 k의 값은?
(단, log 2=0.30, log 3=0.48로 계산한다.)
① ② ③
④ ⑤ 65
19 60
19
55 21 50
21 15
7
N 90
17
어떤 유명 화가의 작품 A의 가격은 매년 1월 1일에 한 번 결정되고, 해마다 전년보다 8 % 가격이 상승하며, 일 년간 변동되지 않는다고 한다. 이 화가의 작품 A의 가 격이 2012년 가격의 두 배 이상이 되는 것은 언제부터인 가? (단, log 2=0.3010, log 3=0.4771로 계산한다.)
① 2022년 ② 2023년 ③ 2024년
④ 2025년 ⑤ 2026년