수학적 귀납법과 순서도

수학적 귀납법과 순서도

10

수학적 귀납법

명제 p(n)이 모든 자연수 n에 대하여 성립함을 증명하기 위해서는 다음 두 가지를 증명하면 된다.

⁄ n=1일 때, 명제 p(n)이 성립한다.

¤ n=k일 때 명제 p(n)이 성립한다고 가정하면 n=k+1일 때에도 명제 p(n)이 성립한다.

이와 같은 증명 방법을 수학적 귀납법이라 한다.

l이 1보다 큰 자연수일 때, næl인 모든 자연수 n에 대한 명제 p(n)이 성립함을 수학적 귀납법으로 증명하려 면 수학적 귀납법에서 n=1 대신 n=l일 때 명제 p(n)이 성립함을 보이면 된다.

2

수열의 귀납적 정의 수열 {a«}을

⁄ 첫째항 ¤ 이웃하는 항 사이의 관계식

으로 정의하는 것을 수열의 귀납적 정의라 하고, 이웃하는 항 사이의 관계식을 점화식이라고 한다.

3

여러 가지 점화식

⑴ 등차수열의 점화식

① a«≠¡-a«=d 또는 a«≠¡=a«+d (단, d는 상수)

② a«≠¡-a«=a«≠™-a«≠¡ 또는 2a«≠¡=a«+a«≠™

⑵ 등비수열의 점화식

① a«≠¡=ra« (단, r는 상수)

② a«≠¡¤ =a«a«≠™

⑶ a«≠¡=a«+f(n)꼴의 점화식

n 대신 1, 2, 3, y, n-1을 차례로 대입한 (n-1)개의 등식을 변끼리 더하면 a«=a¡+{ f(1)+f(2)+f(3)+y+f(n-1)} (næ2)

a«≠¡=a«+f(n)이므로 수열 {a«}의 계차수열 {a«≠¡-a«}의 일반항이 f(n)임을 이용하여 수열 {a«}의 일반 항을 구할 수 있다.

⑷ a«≠¡=f(n)a« 꼴의 점화식

n 대신 1, 2, 3, y, n-1을 차례로 대입한 (n-1)개의 등식을 변끼리 곱하면 a«=a¡_f(1)_f(2)_f(3)_y_f(n-1) (næ2)

⑸ a«≠¡=pa«+q (p+0, p+1, q+0)꼴의 점화식

[방법 1] 주어진 점화식에 n 대신 1, 2, 3, y을 차례로 대입하여 규칙을 알아본다.

[방법 2] a«≠¡-a=p(a«-a)꼴로 변형하여 수열 {a«-a}는 첫째항이 a¡-a이고 공비가 p인 등비수열임을 이용 한다.

pa«≠™+qa«≠¡+ra«=0 (p+q+r=0, pqr+0)꼴의 점화식

a«≠™-a«≠¡= (a«≠¡-a«)으로 변형한 후 a«≠¡-a«=b«으로 치환하여 수열 {a«}의 계차수열 {b«}은 첫째항 이 a™-a¡이고 공비가 r인 등비수열임을 이용한다.

p r

p

4

알고리즘과 순서도

어떤 문제의 해결에 필요한 유한 번의 계산 절차나 처리 순서를 알고리즘이라 하고, 알고리즘을 알기 쉽게 그림으로 나 타낸 것을 순서도라고 한다.

참고

참고

참고

유형

1

등차수열, 등비수열의 점화식

출제유형

등차수열, 등비수열의 점화식을 이용하여 수열의 특정한 항을 구하는 문제가 출제된다.

출제유형잡기

점화식의 형태에 따라 일반항을 구하는 방법 을 알고 이를 이용하여 수열의 일반항을 구한다.

필수유형

모든 항이 실수인 수열 {a«}이 a«≠¡¤ =a«¥a«≠™ (n=1, 2, 3, y) 를 만족시킨다. a£=3, a§=24일 때, a¡º의 값은?

① 376 ② 380 ③ 384

④ 388 ⑤ 392

|출제의도| 등비수열의 점화식을 이해하고 등비수열의 항의 값 을 구할 수 있는지를 묻는 문제이다.

|풀이|

수열 {a«}이 모든 자연수 n에 대하여 a«≠¡¤ =a«¥a«≠™를 만족시키므로 수열 {a«}은 등비수열이다.

등비수열 {a«}의 첫째항을 a, 공비를 r라 하면

a£=3에서 ar¤ =3 yy`㉠

a§=24에서 arfi =24 yy`㉡

㉡÷㉠을 하면 r‹ =8 r는 실수이므로 r=2 r=2를 ㉠에 대입하면 a=

∴ a¡º= ¥2· =384

③ 3

4

3 4

수열 {a«}이 2a«≠¡=a«+a«≠™(n=1, 2, 3, y)를 만 족시킨다. a¡=-1, a∞=23일 때, a™º의 값은?

① 107 ② 109 ③ 111

④ 113 ⑤ 115

0 1

모든 항이 양수인 수열 {a«}이

log™ a«≠¡= +log™ a«(n=1, 2, 3, y) 을 만족시킨다. a£= 일 때, a™¡의 값은?

① 2fi ② 2fl ③ 2‡

④ 2° ⑤ 2·

1 16 1 2

0 2

수열 {a«}이 모든 자연수 n에 대하여 a¡=1, a«≠¡-a«=-log™ 3

일 때, 2^a¡+a™+2^a£+a¢+2^a∞+a§+y+2^a¡ª+a™º의 값은?

① {1- } ② {1- }

③ {1- } ④ {1- }

⑤ {1- } 1 3› ‚ 27 20

1 3¤ ‚ 21 20 1

3¤ ‚ 9 10

1 2› ‚ 9 20 1

2¤ ‚ 9 20

0 3

10 수학적 귀납법과 순서도

75

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정답과풀이 31쪽 유형

2

계차수열의 점화식

출제유형

계차수열의 일반항을 이용하여 수열의 일반항을 유도하는 유형의 문제와 이를 활용한 문제가 출제된다.

출제유형잡기

수열 {a«}의 계차수열을 {b«}이라 하면 a«=a¡+^n-1;K+!b˚(næ2)임을 이용한다.

필수유형

두 수열 {a«}, {b«}이 자연수 n에 대하여 a«=5n+1

b¡=1, b«≠¡-b«=n+1

을 만족시킨다. 10 이하인 두 자연수 k, l에 대하여 a˚와 b¬

의 곱이 홀수가 되는 순서쌍 (k, l)의 개수를 구하시오.

~4점₩

~2008년 6월 평가원₩

|출제의도| 계차수열의 일반항을 이용하여 주어진 두 수열의 항 의 곱이 홀수가 되는 순서쌍의 개수를 구할 수 있는지를 묻는 문제이다.

|풀이|

b¡=1, b«≠¡-b«=n+1에서 b«=b¡+ (k+1)

=1+ +(n-1)

= (næ2)

a˚와 b¬의 곱이 홀수가 되려면 a˚, b¬이 모두 홀수가 되어야 한다.

자연수 t에 대하여

⁄ a™†=10t+1, a™†–¡=10t-4

이므로 a˚는 k가 짝수일 때 홀수가 된다.

¤ b¢†=2t(4t+1), b¢†–¡=2t(4t-1),

b¢†–™=(2t-1)(4t-1), b¢†–£=(4t-3)(2t-1)

이므로 b¬은 l을 4로 나눈 나머지가 1, 2일 때 홀수가 된다.

⁄에서 가능한 k는 2, 4, 6, 8, 10의 5개이고, ¤에서 가능한 l은 1, 2, 5, 6, 9, 10의 6개이다.

따라서 구하는 순서쌍 (k, l)의 개수는 5_6=30이다.

30 n(n+1)

2 (n-1)n

2

n-1;K+!

수열 {a«}이 모든 자연수 n에 대하여

` a«≠¡-a«=2n+3

을 만족시키고 a™º=460일 때, a¡의 값은?

① 19 ② 21 ③ 23

④ 25 ⑤ 27

0 4

두 수열 {a«}, {b«}이 모든 자연수 n에 대하여 a¡=1, b¡=-2,

=2, b«≠¡-b«=a«

을 만족시킬 때, log™ b™º¤ 의 값은?

① -36 ② -32 ③ -28

④ -24 ⑤ -20 a«

a«≠¡

0 5

수열 {a«}이 모든 자연수 n에 대하여 a¡=2, a«≠¡-a«=n

을 만족시킨다. 수열 {a«}의 첫째항부터 제n항까지의 합 S«에 대하여 수열 {b«}을

b«=S«≠¡-S« (n=1, 2, 3, y) 이라 할 때, bª의 값은?

① 39 ② 41 ③ 43

④ 45 ⑤ 47

0 6

유형

a«≠¡=f(n)a« 또는 a«≠¡= (p+0)꼴의 점화식

a«

pa«+1

3

출제유형

a«≠¡=f(n)a« 또는 a«≠¡= (p+0)꼴의 점 화식으로 수열의 특정한 항을 구하는 문제가 출제된다.

출제유형잡기

a«≠¡=f(n)a«꼴의 점화식은 n 대신 1, 2, 3, y, n-1을 차례로 대입한 식을 변끼리 곱하여 정리하고, a«≠¡= a« 꼴의 점화식은 양변의 역수를 취한다.

pa«+1

a«

pa«+1

필수유형

수열 {a«}이

a¡=4, a«≠¡= a« (n=1, 2, 3, y) 일 때, a¡º의 값은?

① 18 ② 19 ③ 20

④ 21 ⑤ 22 n+2 n+1

|출제의도| a«≠¡=f(n)a«꼴의 점화식으로 주어진 수열의 특정 한 항의 값을 구할 수 있는지를 묻는 문제이다.

|풀이|

a«≠¡= a«에서 n 대신 1, 2, 3, y, n-1을 차례로 대입하면

a™= ¥a¡

a£= ¥a™

a¢= ¥a£

⋯

a«–¡= ¥a«–™

a«= ¥a«–¡

위 식을 변끼리 곱하면 a™¥a£¥a¢¥`y`¥a«–¡¥a«

= ¥ ¥ ¥`y`¥ ¥ ¥a¡¥a™¥a£¥`y`¥a«–¡

모든 자연수 n에 대하여 a«+0이므로 a«= a¡= ¥4=2(n+1) (næ2) 이고 a¡=4=2(1+1)이므로

n+1 2 n+1

2

n+1 n n n-1 5

4 4 3 3 2

n+1 n

n n-1 5 4 4 3 3 2

n+2 n+1

수열 {a«}이

a¡=8, a«≠¡=2« ±⁄ ¥a« (n=1, 2, 3, y) 일 때, a˚=2fl ° 을 만족시키는 자연수 k의 값은?

① 9 ② 10 ③ 11

④ 12 ⑤ 13

0 7

수열 {a«}이

a¡= , a«≠¡= (n=1, 2, 3, y) 일 때, a∞º= 이다. p+q의 값은?

(단, p, q는 서로소인 자연수이다.)

① 201 ② 203 ③ 205

④ 207 ⑤ 209 q

p

a«

2a«+1 2

3

0 8

모든 항이 0이 아닌 수열 {a«}이 a¡=2, a™=1,

a«¥a«≠¡-2a«¥a«≠™+a«≠¡¥a«≠™=0 (n=1, 2, 3, y) 일 때, a£º의 값은?

① ② ③

④ ⑤ 1

11 1

12

1 13 1

14 1

15

0 9

10 수학적 귀납법과 순서도 유형 a«≠¡=pa«+q(p+0, p+1, q+0) 또는

pa«≠™+qa«≠¡+ra«=0(p+q+r=0, pqr+0) 꼴의 점화식

4

출제유형

a«≠¡=pa«+q(p+0, p+1, q+0) 또는 pa«≠™+qa«≠¡+ra«=0(p+q+r=0, pqr+0)꼴의 점화 식으로 수열의 특정한 항을 구하는 문제가 출제된다.

출제유형잡기

주어진 점화식을 등비수열 또는 계차수열의 형태로 변형하여 일반항을 구한다.

필수유형

수열 {a«}이

a¡=0, a«≠¡=3a«-2 (n=1, 2, 3, y) 일 때, a¡º의 값은?

① 1-3· ② 1+3· ③ 1-2¥3·

④ 1+3¥2· ⑤ 1-3¥2·

|출제의도| a«≠¡=pa«+q(p+0, p+1, q+0)꼴의 점화식으로 주어진 수열의 특정한 항의 값을 구할 수 있는지를 묻는 문제 이다.

|풀이|

a«≠¡=3a«-2의 양변에 -1을 더하면 a«≠¡-1=3(a«-1)

∴ a«-1=(a¡-1)¥3« —⁄ =-3« —⁄

따라서 a«=1-3« —⁄ 이므로 a¡º=1-3·

①

첫째항이 이고 모든 항이 양수인 수열 {a«}이 있다.

모든 자연수 n에 대하여 이차방정식 x¤ -4'ßa«x+a«≠¡-2=0 이 중근을 가질 때, a¡º-a•의 값은?

① 3¥2⁄ fi ② 7¥2⁄ fi ③ 15¥2⁄ fi

④ 7¥2⁄ ‡ ⑤ 15¥2⁄ ‡ 4

10

3

수열 {a«}이

a¡=1, a™=3, a«≠™+2a«≠¡-3a«=0 (n=1, 2, 3, y) 일 때, a•의 값은?

① (1+3› ) ② (1+3fi ) ③ (1+3fl )

④ (1+3fi ) ⑤ 5(1+3fl ) 2 5

2

3 2 3

2 3

2

11

모든 자연수 n에 대하여 수열 {a«}이

a¡= , a«≠¡=

일 때, a˚=0을 만족시키는 자연수 k의 최솟값은?

① 97 ② 98 ③ 99

④ 100 ⑤ 101

2a«-1 {a«æ;2!;}

0 {a«<;2!;}

({ 9 2⁄ ‚ ‚ -7

2⁄ ‚ ‚

12

77

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정답과풀이 32쪽

신유형

유형

5

수열의 귀납적 정의

출제유형

수열의 귀납적 정의를 통하여 수열의 성질을 묻 는 문제가 출제된다.

출제유형잡기

n의 값에 따라 두 가지 또는 그 이상의 식으로 정의된 점화식이 주어질 때, 처음 몇 개의 항을 차례로 구 하여 수열의 전반적인 특징을 파악하고 추측한다. 또, 먼 저보기에서 무엇을 요구하는지 확인하고 판단할 요소를 결정하는 연습을 하여야 한다.

필수유형

pæ2인 자연수 p에 대하여 수열 {a«}이 다음 세 조건을 만족 시킨다.

|출제의도| 수열의 귀납적 정의를 통하여 수열의 성질을 알고 있는지를 묻는 문제이다.

|풀이|

ㄱ. p=3이고 k=1일 때, a™=1, a¢=0이므로 a¢+2a™ (거짓)

ㄴ. a¡+a™+y+aπ=0+1+2+y+(p-1)

= (참)

ㄷ. aπ=a™π=y=a˚π=p-1이므로 aπ+a™π+y+a˚π=k(p-1) (참) 따라서 옳은 것은 ㄴ, ㄷ이다.

④ p(p-1)

2

㈎ a¡=0

㈏ a˚≠¡=a˚+1 (1…k…p-1)

㈐ a˚≠π=a˚ (k=1, 2, 3, y)

보기에서 옳은 것만을 있는 대로 고른 것은?

^~4점₩

① ㄱ ② ㄴ ③ ㄷ

④ ㄴ, ㄷ ⑤ ㄱ, ㄴ, ㄷ

~2006학년도 대수능₩

ㄱ. a™˚=2a˚

ㄴ. a¡+a™+y+aπ=

ㄷ. aπ+a™π+y+a˚π=k(p-1)

p(p-1)

2

보기

모든 항이 양수인 수열 {a«}이 a¡=2, a™=3,

log™ a«+log™ a«≠™=log™ a«≠¡ (n=1, 2, 3, y) 일 때, 옳은 것만을보기에서 있는 대로 고른 것은?

13

① ㄱ ② ㄷ ③ ㄱ, ㄴ

④ ㄴ, ㄷ ⑤ ㄱ, ㄴ, ㄷ

수열 {a«}이

a¡=3, a«≠¡=-a«+2n+1 (n=1, 2, 3, y) 일 때, 옳은 것만을보기에서 있는 대로 고른 것은?

14

ㄱ. a«≠¡>a«

ㄴ. a«≠™-a«=2 ㄷ. ;K+!¹⁰

a™˚=

;K+!¹⁰

a™˚–¡-30

보기

① ㄱ ② ㄴ ③ ㄷ

④ ㄱ, ㄴ ⑤ ㄴ, ㄷ ㄱ. a¢=

ㄴ. a˚=a˚≠§ (k는 자연수) ㄷ. a¡¥a™¥a£¥`y`¥a¡ºº=

9

2 1

2

보기

10 수학적 귀납법과 순서도

79

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정답과풀이 33쪽

수열 {a«}이

a¡=1, a™«=2a«, a™«≠¡=a« (n=1, 2, 3, y)

일 때, a2˚ +1의 값은?

① 1023 ② 2046 ③ 2047

④ 4092 ⑤ 4095

;K+!10

15

수열 {a«}이

a«≠¡=a«(4-a«) (n=1, 2, 3, y)

을 만족시키며, 모든 짝수 번째 항의 값이 서로 같고, 또 모든 홀수 번째 항의 값이 서로 같다. a¡+a™일 때, a¡, a™의 곱 a¡¥a™의 값은?

① 2 ② 3 ③ 4

④ 5 ⑤ 6

16

유형

6

수학적 귀납법

출제유형

수학적 귀납법을 이용하여 명제를 증명하는 과정 에서 필요한 식이나 값을 묻는 문제가 출제된다.

출제유형잡기

증명의 앞뒤 관계를 파악하여 빈칸에 알맞은 식이나 값을 구한다.

필수유형

수열 {a«}이 a¡=a(a+0)이고, 모든 n(næ2)에 대하여 (n-1)a«+ maμ=0을 만족시킨다. 다음은

a«= a(næ1)

임을 수학적 귀납법을 이용하여 증명한 것이다.

(-1)^n-1 (n-1)!

n-1;M+!

|출제의도| 증명의 앞뒤 관계를 파악하여 빈칸에 알맞은 식을 구한 후 주어진 함숫값을 구할 수 있는지를 묻는 문제이다.

|풀이|

(k-1)a˚+ maμ=0이고 n=k일 때 성립한다고 가정하였으므로

a˚= a

따라서 0=ka˚≠¡+ maμ

=ka˚≠¡+_m=1^k-1¡maμ+ka˚

¡k m=1

(-1)˚ —⁄

(k-1)!

k-1¡

m=1

⑴ n=1일 때, a¡=a= a이다.

⑵ ⁄ n=2일 때, a™+a¡=0이므로

a™=-a¡=

a이다.

따라서 주어진 식이 성립한다.

⑵

¤

n=k(kæ2)일 때 성립한다고 가정하고,

문서에서 2013학년도(2012년 실시) 수학Ⅰ 수능완성 (페이지 73-79)