1
12 무한급수
무한급수
무한수열 {a«}의 각 항을 합의 기호 +로 연결한 식 a¡+a™+a£+y+a«+y
을 무한급수라 하고, 기호 ¡를 사용하여 a«으로 나타낸다.
무한급수 a«에서 수열 {a«}의 첫째항부터 제n항까지의 합 S«= a˚=a¡+a™+a£+y+a«
을 이 무한급수의 제n항까지의 부분합이라 한다.
무한급수 a«의 부분합으로 이루어진 수열 {S«}이 일정한 값 S에 수렴할 때, 무한급수 a«은 S에 수렴한다고 하고, S를 이 무한급수의 합이라 한다. 즉,
a«= S«=S
부분합으로 이루어진 수열 {S«}이 발산하면 이 무한급수는 발산한다고 하며, 발산하는 무한급수에 대하여 그 합 은 생각하지 않는다.
limnڦ
;N+!¶
;N+!¶
;N+!¶
;K+!n
;N+!¶
;N+!¶
2
무한급수의 수렴과 발산⑴ 무한급수 a«이 수렴하면 a«=0이다.
⑵ 무한수열 {a«}에 대하여 lima«+0이면 무한급수 ;N+!¶a«은 발산한다.
nڦ
limnڦ
;N+!¶
4
무한등비급수⑴ 첫째항이 a, 공비가 r인 무한등비수열 {ar« —⁄ }의 각 항의 합으로 이루어진 무한급수 ar« —⁄ =a+ar+ar¤ +y+ar« —⁄ +y
을 첫째항이 a, 공비가 r인 무한등비급수라 한다.
⑵ a+0일 때, ar« —⁄ = (a+ar+ar¤ +y+ar« —⁄ )= (r+1)이므로
① |r|<1이면 ar« —⁄ =
② |r|æ1이면 무한등비급수 ar« —⁄ 은 발산한다.
무한등비수열 {r« }이 수렴하기 위한 필요충분조건은 -1<r…1이고, 무한등비급수 r« 이 수렴하기 위한 필 요충분조건은 -1<r<1임에 주의한다.
;N+!¶
;N+!¶
a 1-r
;N+!¶
a(1-r« ) lim 1-r
nڦ
nlimڦ
;N+!¶
;N+!¶
3
무한급수의 성질수열의 극한값의 기본 성질을 이용하면 다음과 같은 무한급수의 성질이 성립함을 알 수 있다.
두 무한급수 a«, b«이 수렴하고 그 합이 각각 S, T일 때,
⑴ ca«=c a«=cS (단, c는 상수)
⑵ (a«—b«)= a«— b«=S—T (복부호동순)
위의 성질은 두 무한급수 ;N+!¶a«, b«이 수렴할 때에만 성립한다는 점에 주의한다.;N+!¶
;N+!¶
;N+!¶
;N+!¶
;N+!¶
;N+!¶
;N+!¶
;N+!¶
참고 참고
참고
유형
1
무한급수의 계산12 무한급수
95
www.ebsi. co.kr
정답과풀이 40쪽
=3+n¤ -n+3n-3=n¤ +2n
∴ a«= = = = { - }
유형
3
무한등비급수의 계산따라서 p=16, q=3이므로 p+q=16+3=19이다.
19
① -1<r<1 ② -1<r…0
③ 0…r<1 ④ -1<r<
12 무한급수
97
www.ebsi. co.kr
정답과풀이 42쪽
두 수열 {a«}, {b«}이
a¡=1, b«=a«≠¡-a« (n=1, 2, 3, y)
을 만족시킬 때, 옳은 것만을보기에서 있는 대로 고른 것 은?
11
ㄱ. 무한급수
b«이 수렴하면 수열 {a«}은 수렴한다.
ㄴ. 무한급수
b«이 수렴하면 무한급수 a«은 수
렴한다.ㄷ. 무한급수
a«이 수렴하면 무한급수 b«은 수
렴한다.;N+!¶
;N+!¶
;N+!¶
;N+!¶
;N+!¶
보기
① ㄱ ② ㄴ ③ ㄱ, ㄷ
④ ㄴ, ㄷ ⑤ ㄱ, ㄴ, ㄷ
유형
4
무한급수의 활용출제유형
다른 단원에서 학습한 내용을 연계한 문제가 출 제된다.출제유형잡기
행렬, 지수, 로그, 수열 등 다른 단원의 기본 개념을 정확히 알고 있어야 한다.필수유형
r에 대한 지수방정식 4® -3¥2® ±⁄ -16=0의 근이 등비수열 {a«}의 공비일 때, 의 값은? (단, a¡=1)
① ② ③
④ ⑤ 3
2 5
4
3 4 1
2 1
4
1 a«
;N+!¶
|출제의도| 지수방정식을 풀고, 이를 이용하여 무한급수의 합을 구할 수 있는지를 묻는 문제이다.
|풀이|
r에 대한 지수방정식 4® -3¥2® ±⁄ -16=0에서 2® =t로 놓으면 t>0 이고 t¤ -6t-16=0, 즉 (t-8)(t+2)=0에서
t=8 (∵ t>0) 2® =8에서 r=3
따라서 등비수열 {a«}의 공비는 3이다.
a¡=1이므로 a«=3« —⁄
∴ = = =
⑤ 3
2 1 1-;3!;
1 3« —⁄
;N+!¶
1 a«
;N+!¶
두 수열 {a«}, {b«}이 다음 조건을 만족시킬 때, b«의 값은?
;N+!¶
10
이차정사각행렬 A={ }에 대하여
A· ={ }일 때, { }«` 의 값은? (단, c+0)
① ② ③ 25
④ 26 ⑤ 27
1 27 1
26
b c
;N+!¶
9 1 27 -9
a b
12
c d① ② ③
④ ⑤ 1
8 1
4
3 8 1
2 5
8
㈎ {a«}은 첫째항이 1, 공비가 인 등비수열이다.
㈏ n이 자연수일 때, x에 대한 이차함수
y=a«x¤ +a«≠¡x+a«≠™의 최솟값은 b«이다.
1 2
고난도
유형