07 로그함수

로그함수 y=logå`x (a>0, a+1)

⑴ 지수함수 y=a≈ (a>0, a+1)은 실수 전체의 집합에서 양의 실수 전체의 집합으로의 일대일 대응이므로 역함수 y=logå x를 갖는다. 이 함수를 a를 밑으로 하는 로그함수라고 한다.

⑵ 로그함수 y=logå x(a>0, a+1)의 성질

① 정의역은 양의 실수 전체의 집합, 치역은 실수 전체의 집합이다.

② 점 (1, 0)을 지나고, y축을 점근선으로 갖는다.

③ a>1일 때, x의 값이 증가하면 y의 값도 증가한다.

0<a<1일 때, x의 값이 증가하면 y의 값은 감소한다.

④ y=logå f(x)에서

a>1일 때, f(x)의 값이 최대이면 y=logå f(x)의 값도 최대이고, f(x)의 값이 최소이면 y=logå f(x)의 값도 최소이다.

0<a<1일 때, f(x)의 값이 최대이면 y=logå f(x)의 값은 최소이고, f(x)의 값이 최소이면 y=logå f(x) 의 값은 최대이다.

⑤ 두 함수 y=logå x와 y=a≈ 은 서로 역함수 관계에 있으므로 이들의 그래프는 직선 y=x에 대하여 대칭이다.

y

x a>1

O

y=logå x

y=logå x 1

1

y

x 0<a<1

O 1 1

a a

2

로그방정식

⑴ 로그의 진수 또는 밑에 미지수를 포함하고 있는 방정식을 로그방정식이라 한다.

⑵ 로그방정식의 풀이：a>0, a+1일 때

① logå f(x)=b HjK f(x)=a∫ , f(x)>0

② logå f(x)=logå g(x) HjK f(x)=g(x), f(x)>0, g(x)>0

③ logå x가 반복되는 꼴은 logå x=t로 치환하여 t에 대한 방정식을 푼다.

3

로그부등식

⑴ 로그의 진수 또는 밑에 미지수를 포함하고 있는 부등식을 로그부등식이라 한다.

⑵ 로그부등식의 풀이

① a>1일 때, logå x¡<logå x™이면 x¡<x™, x¡>0, x™>0

07 로그함수

49

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정답과풀이 20쪽 유형

1

로그함수의 그래프

출제유형

로그함수의 그래프의 평행이동과 대칭이동, 로그 함수의 그래프의 개형 등을 활용한 문제가 출제된다.

출제유형잡기

로그함수의 그래프를 그려 해석할 수 있도록 하고, 그래프의 평행이동과 대칭이동에 대하여 정확하게 이해한다.

필수유형

곡선 y=log™(ax+b)가 점 (-1, 0)과 점 (0, 2)를 지날 때, 두 상수 a, b의 합 a+b의 값은?

~3점₩

① 5 ② 7 ③ 9

④ 11 ⑤ 13

~2011년 6월 평가원₩

y

x y=log™(ax+b)

-1 O 2

|출제의도| 로그함수의 그래프를 이해하는지를 묻는 문제이다.

|풀이|

곡선 y=log™(ax+b)가 두 점 (-1, 0), (0, 2)를 지나므로

log™(-a+b)=0 yy ㉠

log™ b=2 yy ㉡

㉠에서 -a+b=1

㉡에서 b=4

∴ a=3, b=4

∴ a+b=3+4=7

②

함수 f(x)=log x에 대하여 y=f(x)의 그래프가 그 림과 같다. f(2)=p, f(3)=q일 때, f(15)의 값을 p, q 로 나타내면?

① 1-pq ② 1+pq ③ 1+p-q

④ 1-p+q ⑤ 1+p+q

y

O x q p

2 3 1

y=f(x)

0 1

네 직선 x=2, x=4, x=6, x=8이 각각 곡선 y=log™ x 및 x축과 만나는 점을 꼭짓점으로 하는 세 개 의 사각형을 그림과 같이 만들고 이들 사각형의 넓이를 왼쪽부터 차례로 S¡, S™, S£이라 할 때, S¡-S™+S£

의 값은?

① log™ 3 ② 2 ③ 2 log™ 3

④ 4 ⑤ 4 log™ 3

y

O

y=log™x

1 2 4 6 8

S¡ S™ S£

x

0 2

로그함수 y=log™ x의 그래프를 평행이동 또는 대칭 이동하면 그래프가 완전히 겹쳐지는 함수만을보기에서 있는 대로 고른 것은?

0 3

① ㄱ ② ㄴ ③ ㄷ

④ ㄱ, ㄷ ⑤ ㄱ, ㄴ, ㄷ

ㄱ. y=3¥2≈ ㄴ. y=log¢ 2x¤

ㄷ. y=-log• x‹

보기

그림과 같이 좌표평면의 제1사분면을 한 변의 길이가 1인 정사각형으로 나눈 후 각 정사각형의 왼쪽 아래 꼭짓 점의 x좌표와 y좌표를 더한 값을 그 정사각형에 쓴 다 음, 로그함수 y=log™(x+1)(0…x…40)의 그래프가 그 내부를 지나는 정사각형에 색칠을 한다.

이때, 색칠된 정사각형에 쓰인 수의 합을 구하시오.

y

x y=log™(x+1)

1 2 3 4 5 1 2 3 4 5 6 7 2 3 4 5 6 7 8

0

y

6 y O

0 4

그림과 같이 함수 y=|log x|의 그래프와 직선 l의 세 교점 A, B, C의 x좌표가 각각 a, 2a, 4a일 때, 직 선 l의 y절편은? {단, <a<1}

① -log 2 ② - log 2 ③ - log 2

④ - log 2 ⑤ -1 log 2 8 1

4

1 2 3

4

y

O x A

B

C

a 1 2a 4a

y=|log x| l

1 2

0 5

유형

2

지수함수와 로그함수 사이의 관계

출제유형

로그함수가 지수함수와 역함수 관계임을 이용하 는 문제가 자주 출제된다.

출제유형잡기

로그함수와 지수함수가 같이 있으면 두 함수 가 역함수 관계인지 파악한다. 또, 그래프를 그리거나 교 점을 찾으면 문제 해결의 실마리를 찾을 수 있다.

필수유형

그림은 함수 f(x)=a≈ (a>1)의 그래프이다. y=f(x)의 그 래프가 두 점 (m, p), (n, q)(m<n)를 지나고, f(x)의 역함수를 g(x)라 할 때, g(p¤ )+g{ }의 값을 m, n으로 나타내면?

① 3n-2m ② 2m-3n ③ 2m+3n

④ ⑤ m¤

n‹

n‹

m¤

y

O x q

p

y=f(x)

m n

1 q‹

|출제의도| 지수함수와 로그함수의 관계를 이해하는지를 묻는 문제이다.

|풀이|

`f(m)=p, f(n)=q이고g(x)=logå x이므로 g(p)=logå p=m, g(q)=logå q=n

∴ g(p¤ )+g{ }=logå p¤ +logå

=2 logå p-3 logå q

=2m-3n

② 1

q‹

1 q‹

두 함수 f(x), g(x)가 x>- 인 모든 x에 대하여 f(x)=log£ (2x+1), (gΩf)(x)=x

를 만족시킬 때, g(3)의 값은?

1

0 6

2

고난도

07 로그함수

51

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정답과풀이 20쪽

그림은 두 함수 y=2≈ , y=x의 그래프이다.

함수 y=2≈ 의 역함수를 y=f(x)라 할 때,

( fΩfΩf )(e)+f(bc)의 값을 a, b, c로 나타내면?

(단, 0<a<1<b<c<d<e)

① a+b ② 2a+b ③ a+2b

④ a+b+c ⑤ a+2b+c

y

x y=2≈

c d

y=x

1

a b e

O

0 7

그림은 함수 f(x)=log™ x의 그래프와 그 역함수 y=g(x)의 그래프이다. 점 A¡(0, 1)을 지나고 x축에 평행한 직선이 y=f(x)의 그래프와 만나는 점을 A™, 점 A™를 지나고 y축에 평행한 직선이 y=g(x)의 그래 프와 만나는 점을 A£이라 한다. 이와 같은 방법으로 계 속하여 점 A¢, A∞를 정해갈 때, 점 A∞의 y좌표를 k라 하자. 이때, 상수 k에 대하여 log™ k의 값은?

① 8 ② 10 ③ 12

④ 14 ⑤ 16

y

x y=f(x)

O

y=g(x)

A¡

A™

A£ A¢

1 1

0 8

함수 f(x)=logå x (a>1)에 대한 설명 중 옳은 것 만을보기에서 있는 대로 고른 것은?

0 9

ㄱ. y=f(x)의 그래프와 y=log;a!;

ax의 그래프는

제1사분면에서 만난다.

ㄴ. y=f(x)의 그래프와 y=log_;a!;

(x-a)의 그래프

는 제1사분면에서 만난다.

ㄷ. y=f(x)의 그래프와 x=logå a(y+1)의 그래프 는 항상 만난다.

보기

① ㄴ ② ㄷ ③ ㄱ, ㄴ

④ ㄴ, ㄷ ⑤ ㄱ, ㄴ, ㄷ

직선 y=-x+5가 두 함수 y=-log™ x, y=3—≈ 의 그래프와 제1사분면에서 만나는 점의 좌표를 각각 (x¡, y¡), (x™, y™)라 할 때, 옳은 것만을보기에서 있는 대로 고른 것은?

10

ㄱ. x¡>y™

ㄴ. x¡x™>y¡y™

ㄷ. x¡+x™>5 보기

① ㄴ ② ㄷ ③ ㄱ, ㄴ

④ ㄴ, ㄷ ⑤ ㄱ, ㄴ, ㄷ

고난도

유형

3

로그함수의 최대, 최소

출제유형

주어진 범위에서 로그함수의 최댓값과 최솟값을 구하는 문제가 출제된다.

출제유형잡기

밑의 크기에 따른 로그함수의 그래프의 증감 을 이해하고 복잡한 식은 치환하여 간단한 식으로 변형 한다.

필수유형

1…x…16에서 정의된 함수 y={log™ }{log™ }의 최댓값 을 M, 최솟값을 m이라 할 때, M+m의 값은?

① ② ③

④ 5 ⑤ 19

4

21 4 11

2 23

4

x 4 x

2

|출제의도| 로그의 성질을 이용하여 식을 변형한 후 치환하여 최댓값과 최솟값을 구할 수 있는지를 묻는 문제이다.

|풀이|

로그의 성질을 이용하여 주어진 식을 정리하면 y=(log™ x-1)(log™ x-2)

log™ x=t라 하면 1…x…16에서 0…t…4이고 y=(t1)(t2)=t¤ 3t+2={t }2

-따라서 t= 일 때 최솟값 - , t=4일 때 최댓값 6을 갖는다.

∴ M+m=6+{- }=

① 23

4 1 4

1 4 3

2

1 4 3 2

함수 y=‹æ≠ _x^{log x}은 x=a에서 최솟값 m을 갖 는다. 두 상수 a, m의 곱 am의 값은?

① 10^-;3*; ② 10^-:™9º: ③ 10^-:¡9§:

④ 10^-;3$; ⑤ 10^-;9*;

x›

12

100

함수 f(x)=(log™ x)¤ +a log¡§ x¤ +b가 x= 일 때 최솟값 2를 갖는다. 두 상수 a, b에 대하여 10a+b 의 값을 구하시오.

1

11

4

xæ5, yæ5, xy=625이고, log∞ x¥log∞ y의 최댓 값을 M, 최솟값을 m이라 할 때, M+m의 값을 구하 시오.

13

07 로그함수

53

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정답과풀이 21쪽 유형

4

로그방정식

출제유형

logå f(x)=logå g(x)꼴의 로그방정식 또는 로 그를 이용하여 해결하는 지수방정식 문제들이 출제된다.

출제유형잡기

로그의 성질을 이용하여 밑을 같게 한 후 진수 를 비교하거나 치환하여 식을 간단히 한다. 또는 방정식의 양변에 로그를 취하여 식을 간단히 만든 다음 해결한다.

필수유형

로그방정식 log 16x-log 4x¥log =2 log 2의 두 근을 a, b라 할 때, a+b의 값은?

① ② ③

④ ⑤ 19

20 17

20

3 4 13

20 11

20

4 x

|출제의도| 로그의 성질을 이용하여 식을 정리한 다음 치환하여 로그방정식을 풀 수 있는지를 묻는 문제이다.

|풀이|

log 16x-log 4x¥log =2 log 2에서

(2 log 4+log x)-(log 4+log x)(log 4-log x)=log 4 (log x)¤ +log x-(log 4)¤ +log 4=0

log x=t로 치환하면 t¤ +t-(log 4-1)log 4=0 (t+log 4)(t-log 4+1)=0 t=-log 4 또는 t=log 4-1 log x=-log 4=log 또는

log x=log 4-1=log 4-log 10=log

∴ x= 또는 x=

∴ a+b= + =

② 13

20 2 5 1 4

2 5 1

4

2 5 1

4 4 x

연립방정식 의 한 쌍의 해가

x=a, y=b이고, a>b일 때, log™ 의 값은?

① 12 ② 14 ③ 16

④ 18 ⑤ 20

a b xy=256

1 1 2

1123+1123=-1log™ x log™ y 5 ({

14

9

방정식 (2x)^{log 2}-(5x)^{log 5}=0을 만족시키는 양수 x 의 값은?

① ② ③

④ ⑤ 1

10 1

7

1 5 1

3 1

2

15

양수 a에 대하여 x에 대한 방정식 logª x¤ +logª (x-3)¤ +log£ =0

의 서로 다른 실근의 개수를 N(a)라고 할 때, 옳은 것만 을보기에서 있는 대로 고른 것은?

1 a

16

① ㄱ ② ㄴ ③ ㄱ, ㄴ

④ ㄱ, ㄷ ⑤ ㄴ, ㄷ ㄱ. N(3)=2

ㄴ. 0<a¡<a™이면 N(a¡)<N(a™) ㄷ. N(a)의 최댓값은 4이다.

보기

유형

5

로그부등식

출제유형

로그부등식과 연립부등식의 해를 구하는 문제가 출제된다.

출제유형잡기

밑의 조건에 따른 부등호의 방향에 주의하고 진수의 조건을 빠뜨리지 않도록 한다.

필수유형

부등식 log™ x¤ -log™|x|…3을 만족시키는 정수 x의 개수 는?

^~4점₩

① 12 ② 13 ③ 14

④ 15 ⑤ 16

~2011년 6월 평가원₩

|출제의도| 로그부등식을 풀 수 있는지를 묻는 문제이다.

|풀이|

진수의 조건에서

x+0 yy`㉠

log™ x¤ -log™|x|=log™|x|¤ -log™|x|

=2 log™|x|-log™|x|

=log™|x|

이고, 3=log™ 8이므로 주어진 부등식은 log™|x|…log™ 8

밑이 1보다 크므로

|x|…8

∴ -8…x…8 yy ㉡

㉠, ㉡에서 구하는 정수 x는 —1, —2, —3, y, —8의 16개이다.

⑤

실수 a, b에 대하여 a+b<log¢ 36이 성립할 때, 2å =x-4, 2∫ =x-5를 만족시키는 정수 x의 개수는?

① 1 ② 2 ③ 3

④ 4 ⑤ 5

17

부등식

log™(y-x+2)…log™(x+1)+log™(3-x) 를 만족시키는 영역에 포함된 점들 중에서 x, y좌표가 모두 정수인 점의 개수를 구하시오.

19

18

log™ x+log™(5-x)æ2를 만족시키는 모든 실수 x 의 집합을 정의역으로 하는 함수

y=log™(x+1)+log™(7-x)

의 최댓값을 M, 최솟값을 m이라 할 때, M+m의 값 은?

① 2+log™ 3 ② 4+log™ 3

③ 6+log™ 3 ④ 2+2 log™ 3

⑤ 4+2 log™ 3

대단원 마무리

55

두 집합 A=[-2, - , , 2], B=[-2, -1, 0, 1]에 대하여 집합 C={a∫ |a<A, b<B}의 원소 의 개수는?

① 6 ② 7 ③ 8 ④ 9 ⑤ 10

1 2 1

0 1

2

두 함수 f(x)={ }^2ax+b과 g(x)=2^2bx+a의 그래프가 한 점 A에서만 만나며, 점 A가 직선 y=- 위 에 있을 때, 두 상수 a, b에 대하여 a-b의 값은?

① - ② - ③ - ④ ⑤ 3

2 1

2 1

2 3

2 5

2

x '8 1

0 4

2

정의역이 {x|-4…x…2}인 함수 y=4≈ -2^x+1-3의 최댓값과 최솟값의 합은?

① 1 ② 3 ③ 5 ④ 7 ⑤ 9

0 3

›"√17 log™ ›'2+2'2 lo√g™(2'2)를 간단히 한 것은?

① ② '2 ③ 1+ ④ 1+'2 ⑤ 1+'2

2 '2

2 '2

2

0 2

대단원 마무리 ^{L evel - 1 www.ebsi.}

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정답과풀이 23쪽

a=log™ 3^{log™ 3}, b=(log™ 3)^{log™ 3}, c={ }2 일 때, a, b, c의 대소 관계로 옳은 것은?

① a=b<c ② a<b<c ③ a<c<b ④ b<a=c ⑤ b<a<c 25 log 2

9 log 3

0 8

두 집합 A={x|x=logå(a¤ b)+logb¤ a, a+1, a>0, b+1, b>0}, B={x|x…k 또는 xæs}에 대하여 A=B가 성립할 때, 실수 k, s의 곱 ks의 값은?

① -2 ② -1 ③ 0 ④ 1 ⑤ 2

0 6

두 실수 a, b가 2∫ =log™(2a)를 만족시킨다. 점 A(a, log™ a)와 점 B(b, 2∫ ) 에 대하여 선분 AB를 대각선으로 하고 각 변이 좌표축에 평행한 직사각형의 넓이가 a+2일 때, a의 값은? {단, <a<1}

① ② ③

④ ⑤ ›'8

2 '2

2

›'2 2 '5

4

›'2å0 4

1 2

0 7 ^y

O x

B 1

A 1 y=2≈

y=log™ x

a가 실수이고, 세 점 A(a-2, 2^a-2), B(a, 2å ), C(a+4, 2^a+4)에 대하여 삼각형 ABC의 넓이가 243일 때, 2^;2A;의 값은?

① 2'3 ② 3'2 ③ 3'3 ④ 6 ⑤ 4'3

0 5

대단원 마무리

57

함수 y=4^{1+log™ x}x^{-1+log™ x}의 최솟값은?

① 2^;4!; ② 2^;4#; ③ 2^;4%; ④ 2^;4&; ⑤ 2^;4(;

0 1

지수함수 f(x)=b_a^x+c+d가 다음 조건을 만족시킨다. 네 상수 a, b, c, d의 합 a+b+c+d의 값은?

(단, a>0, a+1, b+0)

0 2

0이 아닌 실수 x에 대하여 2—≈ , 2≈ , 3—≈ , 3≈ 을 크기가 작은 것부터 순서대로 나열한 것을 A¡, A™, A£, A¢

라고 하자. 이때, =2^{x¤ +1}을 만족시키는 모든 x의 값의 절댓값의 합은?

① log™ 3 ② log™ 6 ③ 2log™ 3

④ log™ 24 ⑤ 2log™ 6 A¢-A£

A™-A¡

0 4

① -5 ② - ③ 0 ④ 1 ⑤ 3

4 19

4

㈎ y=f(x)의 그래프의 점근선의 방정식은 y=5이다.

㈏ f(x)-d=4{ f(x+1)-d}

㈐ f(-c)=f{- }+9=2

c 2

ㄱ. f(2å )<f(2∫ ) ㄴ. f(2å )<f(3å ) ㄷ. f(2∫ )<f(3∫ ) 보기

이차항의 계수가 양수인 이차함수 y=f(x)가 모든 실수 x에 대하여 f(1+x)=f(1-x)를 만족시킨다.

a<0<b인 두 실수 a, b에 대하여 옳은 것만을보기에서 있는 대로 고른 것은?

0 3

① ㄱ ② ㄴ ③ ㄷ ④ ㄱ, ㄷ ⑤ ㄴ, ㄷ

대단원 마무리 ^{L evel - 2 www.ebsi.}

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정답과풀이 24쪽

좌표평면 위의 점 A(a, b)가 y=log¢ (log™ x)의 그래프 위에서 움직일 때, 함수 f(a)=2—⁄ —∫ +4"≈4∫ 의 값 을 최소로 하는 a의 값은?

① 2^;3¡2; ② 2^;1¡6; ③ 2^;8!; ④ 2^;4!; ⑤ 2^;2!;

0 5

임의의 양수 x에 대하여 함수 f(x)를 f(x)=log x-[log x]라 하자. 다음 조건을 만족시키는 모든 실수 x 의 값의 곱은? (단, [x]는 x보다 크지 않은 최대의 정수이다.)

0 6

함수 f(x)=log™ x의 그래프 위의 세 점 A(a, f(a)), B(b, f(b)), C(c, f(c))에 대하여 a>1,

= =2이고, 삼각형 ABC의 넓이가 abc-(ab+bc+ca)일 때, a의 값은?

① ② ③ ④ ⑤ 5+'5å1

4 5+'3å7

4 3+'4å7

4 9+'3å7

8 7+'5å3

8 c b b a

0 7

좌표평면에서 두 점 A(n, 0), B(n+1, 0)을 잇는 선분 AB를 1：a«으로 내분한 점의 좌표가 (log™(2« +1), 0)일 때, a«>99를 만족시키는 자연수 n의 최솟값은?

(단, 2^0.01=1.007, log™ 5=2.3, log™ 7=2.8로 계산한다.)

① 6 ② 7 ③ 8 ④ 9 ⑤ 10

0 8

① 10^:¡3¡: ② 10› ③ 10^:¡3£: ④ 10^:¡3¢: ⑤ 10fi

㈎ 10…x<1000 ㈏ f(x)+f('x)=1

08 등차수열과 등비수열

59

1

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