등차수열과 등비수열
08
등차수열
⑴ 첫째항부터 차례로 일정한 수를 더하여 얻어지는 수열을 등차수열이라 하고, 그 일정한 수를 공차라고 한다.
⑵ 등차수열의 일반항：첫째항이 a, 공차가 d인 등차수열의 일반항 a«은 a«=a+(n-1)d (n=1, 2, 3, y)
⑶ 등차중항：세 수 a, b, c가 이 순서대로 등차수열을 이룰 때, b를 a와 c의 등차중항이라 한다.
이때, b-a=c-b이므로 2b=a+c가 성립한다.
2
등차수열의 합등차수열 {a«}의 첫째항부터 제n항까지의 합을 S«이라고 하면 S«=a¡+a™+a£+y+a«이고
⑴ 첫째항이 a, 제n항이 l일 때, S«=
⑵ 첫째항이 a, 공차가 d일 때, S«=n{2a+(n-1)d}
2 n(a+l)
2
4
등비수열⑴ 첫째항부터 차례로 일정한 수를 곱하여 얻어지는 수열을 등비수열이라 하고, 그 일정한 수를 공비라고 한다.
⑵ 등비수열의 일반항：첫째항이 a, 공비가 r인 등비수열의 일반항 a«은 a«=ar« —⁄ (n=1, 2, 3, y)
⑶ 등비중항：0이 아닌 세 수 a, b, c가 이 순서대로 등비수열을 이룰 때, b를 a와 c의 등비중항이라 한다.
이때, =c이므로 b¤ =ac가 성립한다.
b b a
3
수열의 합과 일반항 사이의 관계수열 {a«}의 첫째항부터 제n항까지의 합을 S«이라고 하면 [
a¡=S¡
a«=S«-S«–¡ (n=2, 3, 4, y)
6
등비수열의 합의 응용⑴ 원금 a원을 연이율 r의 복리로 n년 동안 예금할 때, 원리합계 S는 S=a(1+r)« (원)
⑵ 매년 초에 a원씩 연이율 r의 복리로 n년 동안 적립했을 때, n년 말의 원리합계 S는 S=a(1+r)+a(1+r)¤ +y+a(1+r)« = (원)
⑶ 금년 초 A원을 빌리고, 금년부터 n년 동안 연이율 r의 복리로 매년 말에 갚아야 하는 일정한 금액을 a원이라 하면 a+a(1+r)+a(1+r)¤ +y+a(1+r)« —⁄ =A(1+r)« ∴ a= Ar(1+r)« (원)
(1+r)« -1 a(1+r){(1+r)« -1}
r
5
등비수열의 합첫째항이 a, 공비가 r인 등비수열의 첫째항부터 제n항까지의 합 S«은
⑴ r+1일 때, S«= =
⑵ r=1일 때, S«=na
a(r« -1) r-1 a(1-r« )
1-r
유형
1
등차수열의 일반항출제유형
등차수열의 일반항에 관한 문제가 출제된다.출제유형잡기
주어진 조건을 만족시키는 등차수열의 첫째 항과 공차를 구하여 일반항을 구한다.공차가 0이 아닌 등차수열 {a«}에 대하여 a¡¥a™=a£¥a¢, a§=7
일 때, a¡º의 값은?
① 14 ② 15 ③ 16
④ 17 ⑤ 18
0 1
필수유형
공차가 6인 등차수열 {a«}에 대하여
|a™-3|=|a£-3|
일 때, a∞의 값은?
~3점₩
① 15 ② 18 ③ 21
④ 24 ⑤ 27
~2011년 6월 평가원₩
|출제의도| 등차수열의 일반항을 구할 수 있는지를 묻는 문제 이다.
|풀이|
등차수열 {a«}의 첫째항을 a, 공차를 d라 하면 a«=a+(n-1)d=a+6(n-1)
a™=a+6, a£=a+12이므로 |a™-3|=|a£-3|에서
|a+3|=|a+9|
a+3=a+9 또는 a+3=-(a+9)이므로 a=-6
따라서 a«=6n-12이므로 a∞=18
②
등차수열 { a«}에 대하여 a¡º=19, a™º=13일 때, a«<0을 만족시키는 자연수 n의 최솟값은?
① 39 ② 40 ③ 41
④ 42 ⑤ 43
0 2
서로 다른 네 수 2x, 4, y, x¤ 이 이 순서대로 공차가 d인 등차수열을 이룰 때, x+y+d의 값은?
① 30 ② 31 ③ 32
④ 33 ⑤ 34
0 3
08 등차수열과 등비수열
61
www.ebsi. co.kr
정답과풀이 26쪽 유형
2
등차수열의 합출제유형
등차수열의 일반항 또는 합 공식을 이용하여 수 열의 합을 구하는 문제가 출제된다.출제유형잡기
주어진 조건을 만족하는 등차수열의 첫째항 과 공차를 구하여 일반항을 구한 후 등차수열의 합 공식을 이용하여 합을 구한다.필수유형
등차수열 {a«}의 첫째항부터 제n항까지의 합을 S«이라 하자.
a∞=4, S¡º=50일 때, a™¡+a™™+a™£+y+a£º의 값은?
① 440 ② 445 ③ 450
④ 455 ⑤ 460
|출제의도| 등차수열의 일반항과 합의 공식을 이용하여 첫째항 과 공차를 구한 후 수열의 합을 구할 수 있는지를 묻는 문제 이다.
|풀이|
등차수열 {a«}의 첫째항을 a, 공차를 d라 하면
a∞=a+4d=4 yy ㉠
S¡º= =50에서
2a+9d=10 yy ㉡
㉠, ㉡에서 a=-4, d=2이므로 a«=-4+(n-1)¥2=2n-6
∴ a™¡+a™™+a™£+y+a£º= =450
③ 10(36+54)
2 10(2a+9d)
2
등차수열 {a«}에 대하여 a™=5, a∞-a£=6일 때, 수 열 {a«}의 첫째항부터 제20항까지의 합은?
① 600 ② 610 ③ 620
④ 630 ⑤ 640
0 4
1과 11 사이에 2n개의 수를 넣어 만든 등차수열 1, a¡, a™, a£, y, a™«, 11
의 합이 276일 때, a™+a¢+a§+y+a™«의 값은?
① ② ③
④ ⑤ 410
3 1220
9
1210 9 400
3 1190
9
0 5
첫째항이 100이고 공차가 정수인 등차수열 {a«}에 대 하여 첫째항부터 제n항까지의 합을 S«이라 하자. 어떤 자연수 k에 대하여 S˚=10이 성립할 때, a«>0을 만족 시키는 모든 항의 합을 T라 하면 T의 최댓값은?
① 260 ② 265 ③ 270
④ 275 ⑤ 280
0 6
신유형
유형
3
등비수열의 일반항출제유형
등비수열의 일반항에 관한 문제가 출제된다.출제유형잡기
주어진 조건을 만족시키는 등비수열의 첫째 항과 공비를 구하여 일반항을 구한다.필수유형
모든 항이 실수인 등비수열 {a«}에 대하여 a™=3, a£+a∞=30
일 때, a¡º의 값은?
① 192 ② 256 ③ 384
④ 512 ⑤ 768
|출제의도| 등비수열의 일반항을 구할 수 있는지를 묻는 문제이 다.
|풀이|
등비수열 {a«}의 첫째항을 a, 공비를 r라 하면
a™=3에서 ar=3, 즉 a= yy`㉠
a£+a∞=30에서 ar¤ +ar› =30 yy`㉡
㉠을 ㉡에 대입하여 정리하면 r‹ +r-10=0
(r-2)(r¤ +2r+5)=0 r는 실수이므로 r=2 r=2를 ㉠에 대입하면 a=
∴ a¡º= ¥2· =768
⑤ 3
2
3 2 3 r
공비가 '2인 등비수열 {a«}에 대하여 a§=16이다.
이때, aπ¥aœ=64를 만족시키는 두 자연수 p, q에 대하 여 p+q의 값은?
① 4 ② 5 ③ 6
④ 7 ⑤ 8
0 7
모든 항이 양수인 등비수열 {a«}에 대하여 log™ a™+log™ a£=8, log™ a•-log™ a∞=4 가 성립할 때, a¡º의 값은?
① 2⁄ ¤ ② 2⁄ ‹ ③ 2⁄ ›
④ 2⁄ fi ⑤ 2⁄ fl
0 8
서로 다른 세 양수 a, b, c가 이 순서대로 등비수열을 이루고 , b+1, a+1은 이 순서대로 등차수열을 이 룰 때, log™ a+log™ c=2+log™ b가 성립한다.
a>b>c일 때, a+b+c의 값은?
① 10 ② 12 ③ 14
④ 16 ⑤ 18
c 2
0 9
08 등차수열과 등비수열
63
www.ebsi. co.kr
정답과풀이 26쪽 유형
4
등비수열의 합출제유형
등비수열의 일반항 또는 합 공식을 이용하여 수 열의 합을 구하는 문제가 출제된다. 또한, 실생활과 관련 된 원리합계 문제가 출제된다.출제유형잡기
주어진 조건을 만족시키는 등비수열의 첫째 항과 공비를 구하여 일반항을 구한 후 등비수열의 합 공식 을 이용한다.두 함수 f(x)=2≈ —¤ , g(x)=2x-1에 대하여 (fΩg)(1)+(fΩg)(2)+(fΩg)(3)+y+(fΩg)(10) 의 값은?
① ② ③
④ 2¤ ‚ -1 ⑤ 2¤ ‚ -1 3
2¤ ‚ -1 6 2⁄ ‚ -1
3 2⁄ ‚ -1
6
10
모든 항이 양수인 등비수열 {a«}의 첫째항부터 제n항 까지의 합을 S«이라 하자. a¢=4, a§=8이 성립할 때,
의 값은?
① 33('2-1) ② 31('2-1)
③ 17('2+1) ④ 31('2+1)
⑤ 33('2+1) S™º
a¡¡-a¡
11
동기는 가격이 60만 3천 원인 디지털카메라를 구입하 기 위하여 어떤 은행에 매달 일정금액을 적립하려고 한다.
이 은행의 월이율은 0.5%이고, 매월마다 복리로 계산할 때, 2012년 1월부터 매달 초에 a원을 적립하여 2012년 12월 말에 적립금의 원리합계가 60만 3천 원 이상이 되 도록 하는 a의 최솟값은? (단, 카메라의 가격은 변하지 않는다고 가정하고, 1.005⁄ ¤ =1.06으로 계산한다.)
① 51000 ② 50000 ③ 49000
④ 48000 ⑤ 47000
12
필수유형
등비수열 {a«}의 첫째항부터 제n항까지의 합 S«에 대하여
=9일 때, 의 값은?
~3점₩
① 3 ② 4 ③ 6
④ 8 ⑤ 9
~2011년 9월 평가원₩
a¢
a™
S¢
S™
|출제의도| 등비수열의 합의 비를 이용하여 일반항의 비를 구할 수 있는지를 묻는 문제이다.
|풀이|
등비수열 {a«}의 첫째항을 a, 공비를 r라고 하면 S™=a¡+a™=a(1+r)
S¢= =
=a(r+1)(r¤ +1) 이므로
= =r¤ +1=9
∴ r¤ =8
따라서 = =r¤ =8이다.
④ ar‹
ar a¢
a™
a(r+1)(r¤ +1) a(r+1) S¢
S™
a(r-1)(r+1)(r¤ +1) r-1
a(r› -1) r-1
수열 {a«}의 첫째항부터 제n항까지의 합 S«이 S«=2n¤ +n일 때, a¡+a¡º의 값은?
① 40 ② 42 ③ 44
④ 46 ⑤ 48
13
수열 {a«}의 첫째항부터 제n항까지의 합 S«이 S«=(2« -1)(4« +2« +1)
일 때, a«>700000을 만족시키는 자연수 n의 최솟값 은? (단, log 2=0.3010으로 계산한다.)
① 7 ② 8 ③ 9
④ 10 ⑤ 11
14
수열 {a«}의 첫째항부터 제n항까지의 합을 S«이라 할 때, log£ (S«+1)=n+1이다.
a¡¥a™¥a£¥`y`¥a¡º=2π ¥3œ
이 성립할 때, 두 자연수 p, q에 대하여 q-p의 값은?
① 34 ② 36 ③ 38
④ 40 ⑤ 42
15
유형
5
수열의 합 S«과 일반항 a«의 관계출제유형
수열의 합과 일반항의 관계에 대한 문제가 출제 된다.출제유형잡기
a¡=S¡, a«=S«-S«–¡(næ2)임을 이용하여 수열의 일반항을 구한다.필수유형
수열 {a«}의 첫째항부터 제n항까지의 합 S«이 S«=n¤ -kn 일 때, S¡º=a¡º이 성립한다. 이때, aª의 값은? (단, k는 상수)
① 4 ② 6 ③ 8
④ 10 ⑤ 12
|출제의도| 수열의 합 S«과 일반항 a«의 관계를 이용하여 수열 의 항을 구할 수 있는지를 묻는 문제이다.
|풀이|
S¡º=a¡º이고 a¡º=S¡º-Sª이므로 Sª=0이다.
Sª=81-9k=0 ∴ k=9 따라서 S«=n¤ -9n이므로
aª=Sª-S•=-S•=-(64-72)=8
③
08 등차수열과 등비수열
65
www.ebsi. co.kr
정답과풀이 27쪽 유형
6
등차수열과 등비수열의 복합 문제출제유형
등차수열과 등비수열의 개념을 복합적으로 사용 하여 각각의 성질을 적절히 활용할 수 있는지를 묻는 문제 가 출제된다.출제유형잡기
등차수열의 일반항은 a«=a+(n-1)d, 등 비수열의 일반항은 b«=br« —⁄ 으로 놓고 주어진 조건에 따라 d, r의 값을 구한다.모든 항이 실수인 등비수열 {a«}에 대하여 a™=4, a∞= 이 성립할 때, 수열 {b«}을
b«=log™(a«¥a«≠™) (n=1, 2, 3, y)
로 정의하자. 이때, b¡+b£+b∞+b¶+y+b¡ª의 값은?
① -140 ② -130 ③ -120
④ -110 ⑤ -100 1
2
16
두 수열 {a«}, {b«}에 대하여 수열 {b«}은 첫째항이 3 이고 공차가 2인 등차수열이며, 모든 자연수 n에 대하여 점 (a«, b«)은 곡선 y=1+log'2x 위의 점이다. 이때, a¡+a™+a£+y+a¡º의 값은?
① 2016 ② 2026 ③ 2036
④ 2046 ⑤ 2056
17
등차수열 {a«}과 등비수열 {b«}에 대하여
a¡=b¡=1, a¡+a™+a¢=b¢, b¡+b™+b£=a£
이 성립할 때, b∞-a∞의 값은?
(단, 수열 {b«}의 공비는 실수이다.)
① 52 ② 54 ③ 56
④ 58 ⑤ 60
18
필수유형
a와 r가 자연수일 때, 두 집합
A={ar« —⁄ |n은 자연수}와 B={6n|n은 20 이하의 자연수}
의 교집합 A;B의 원소의 개수의 최댓값은?
① 3 ② 4 ③ 5
④ 6 ⑤ 7
|출제의도| 등차수열과 등비수열의 공통인 항을 구할 수 있는지 를 묻는 문제이다.
|풀이|
B={6, 12, 18, y, 120}의 원소는 모두 6의 배수이므로, A;B가 원소를 가지려면 a와 r의 소인수 중에 2와 3이 있어야 한다. 그리고 A;B가 2개 이상의 원소를 가지려면 r>1이어야 한다.
a=1인 경우에는 r=6일 때 A;B의 원소의 개수가 최대이고, A={6« —⁄ |n은 자연수}이므로 A;B={6, 36}이다.
a=2인 경우에는 r=3일 때 A;B의 원소의 개수가 최대이고, A={2_3« —⁄ |n은 자연수}이므로 A;B={6, 18, 54}이다.
a=3인 경우에는 r=2일 때 A;B의 원소의 개수가 최대이고, A={3_2« —⁄ |n은 자연수}이므로 A;B={6, 12, 24, 48, 96}이다.
aæ4, ræ2인 경우에는 A={ar« —⁄ |n은 자연수}의 원소 중 120 이 하인 것은 5개 이하이므로 A;B의 원소도 5개 이하이다.
따라서 A;B의 원소의 개수의 최댓값은 5이다.
③