무한수열의 극한 - 2013학년도(2012년 실시) 수학Ⅰ 수능완성

11

1

수열의 극한에 관한 기본 성질

수렴하는 수열의 극한값에 대하여 다음 성질이 성립함이 알려져 있다.

두 무한수열 {a«}, {b«}이 모두 수렴하고, a«=a, b«=b (a, b는 실수)일 때,

⑴ ka«=k a«=ka (단, k는 상수)

⑵ (a«—b«)= a«— b«=a—b (복부호동순)

⑶ a«b«= a« b«=ab

⑷ = = (단, b«+0, b+0)

위의 성질은 두 무한수열 {a«}, {b«}이 모두 수렴할 때에만 성립한다는 점에 주의한다.

a b limn⁄¶a«

limn⁄¶b«

a«

lim b«

n⁄¶

nlim⁄¶

limn⁄¶

nlim⁄¶

limn⁄¶

nlim⁄¶

limn⁄¶

nlim⁄¶

3

수열의 극한값의 대소 관계

수렴하는 수열의 극한값의 대소 관계에 대하여 다음 성질이 성립함이 알려져 있다.

⑴ 두 무한수열 {a«}, {b«}이 모두 수렴하고, a«=a, b«=b (a, b는 실수)일 때, 모든 자연수 n에 대하여 a«…b«이면 a…b이다.

⑵ 세 무한수열 {a«}, {b«}, {c«}이 모든 자연수 n에 대하여 a«…b«…c«이고 a«= c«=a (a는 실수)이면 b«=a이다.

⑴ 위의 성질은 주어진 수열이 수렴할 때에만 성립한다는 점에 주의한다.

⑵ 두 무한수열 {a«}, {b«}이 모두 수렴하고, 모든 자연수 n에 대하여 a«<b«이라고 해서 반드시 a«<limb«이 성립하는 것은 아님에 주의한다.

n⁄¶

limn⁄¶

nlim⁄¶

2

극한값의 계산

⑴ 꼴의 극한：분모의 최고차항으로 분모, 분자를 나누어 계산한다.

⑵ ¶-¶꼴의 극한

① 다항식인 경우 최고차항으로 묶어 계산한다.

② 무리식인 경우 분모 또는 분자를 유리화하여 계산한다.

참고

4

무한등비수열의 극한

⑴ 수열 {a«}이 무한수열이면서 등비수열일 때, 이 수열을 무한등비수열이라 한다.

⑵ 무한등비수열 {r« }의 수렴과 발산

① r>1일 때, r« =¶ (발산)

② r=1일 때, r« =1 (수렴)

③ -1<r<1일 때, limr« =0 (수렴)

nlim⁄¶

참고

11 무한수열의 극한

87 www.ebsi. co.kr

정답과풀이 37쪽 유형

, ¶-¶꼴의 극한

1 출제유형

, ¶-¶꼴의 극한값을 계산하는 문제가 출 제된다.

출제유형잡기

꼴의 극한은 분모의 최고차항으로 분모, 분자를 나누어 계산한다. 또, ¶-¶꼴의 극한은 다항식 의 경우 최고차항으로 묶어 계산하고, 무리식의 경우 분모 또는 분자를 유리화하여 계산한다.

다음과 같이 귀납적으로 정의된 수열 {a«}이 있다.

0 3

수열 {a«}이 모든 자연수 n에 대하여 a«≠¡-a«=pn‹ +qn¤ +rn+s

를 만족시킬 때, 의 값은?

(단, p, q, r, s는 실수이고, p+0, a«+0)

① ② 3 ③

④ 4 ⑤ 9

7 2 5

n(a«≠¡-a«) lim a«

n⁄¶

0 2

필수유형

의 값은?

~2점₩

① 2 ② 3 ③ 4

④ 5 ⑤ 6

~2012학년도 대수능₩

5« ±⁄ +2 5« +3«

nlim⁄¶

|출제의도| 수열의 극한값을 구할 수 있는지를 묻는 문제이다.

|풀이|

= = =5

④ 5+0

1+0 5+145«2

1+{1}3 « 5

nlim⁄¶

5« ±⁄ +2 5« +3«

nlim⁄¶

수열 {a«}은 첫째항이 2, 공비가 3인 등비수열이고, 수열 {b«}은 첫째항이 4, 공비가 5인 등비수열일 때,

log_a«b«의 값은?

① log™ 3 ② 2 ③ log£ 2

④ log£ 4 ⑤ log£ 5

nlim⁄¶

0 1

a¡=1, a«≠¡={1-

} a« (n=1, 2, 3, y)

3 n+3

이때, n‹ a«의 값은?

① 9 ② 8 ③ 7

④ 6 ⑤ 5

nlim⁄¶

("√n¤ +an-"√n¤ +bn)=

을 만족시키는 서로 다른 두 실수 a, b에 대하여 a¤ +b¤

의 최솟값은?

① ② ③ 1

④ 2 ⑤ 4

1 2 1

"√n¤ +an-"√n¤ +bn

nlim⁄¶

0 4

신유형

유형

2

무한등비수열의 극한

11 무한수열의 극한

89 www.ebsi. co.kr

정답과풀이 37쪽 lim 2n+1

n⁄¶

유형

4

극한값의 기본 성질을 이용한 극한값의 계산

출제유형

극한값의 기본 성질을 이용하여 극한값을 계산하 는 문제가 출제된다.

출제유형잡기

극한값의 기본 성질을 정확히 이해한다. 이때, 수렴하는 수열에 대해서만 극한값의 기본 성질이 성립함 에 유의한다. 치환형의 경우, 구하려는 극한값을 문제에서 제시된 조건으로 표현하여 극한값을 구하면 빠르게 문제 를 해결할 수 있다.

수열 {a«}에 대하여 두 수열 {a«-1}, [ ]

이 모두 수렴하고 두 수열의 극한값이 같을 때, a«

의 값은?

① 2 ② ③ 3

④ 7 ⑤ 4

5 2

nlim⁄¶

a«¤ -2a«+7 a«¤ -2a«+2

12

두 무한수열 {a«}, {b«}이

=3, a«¤ =5 를 만족시킬 때, 의 값을 구하시오.

(단, a«+0) a«¥b«

lim n

n⁄¶

nlim⁄¶

(n+3)b«

(2n¤ +n)a«

nlim⁄¶

13

모든 자연수 n에 대하여 a«>0이고 2+4+6+y+2n…a«¤ +2na«+n¤

… {1+3+5+y+(2n-1)}

을 만족시키는 수열 {a«}이 있다. 이때, a«의 값은?

① 2 ② 1 ③

④ ⑤ 1

4 1

1 2

nlim⁄¶

(2n+1)¤

4n¤

14

필수유형

수열 {a«}과 {b«}이

(n+1)a«=2, (n¤ +1)b«=7 을 만족시킬 때, 의 값을 구하시오.

(단, a«+0)

^~3점₩

~2011년 9월 평가원₩

(10n+1)b«

lim a«

n⁄¶

nlim⁄¶

|출제의도| 극한값의 기본 성질을 이용하여 수열의 극한값을 구 할 수 있는지를 묻는 문제이다.

|풀이|

= ¥

= _10=35

35 7

(10n+1)(n+1) n¤ +1

nlim⁄¶

limn⁄¶(n¤ +1)b«

nlim⁄¶(n+1)a«

(n¤ +1)b«¥(10n+1)(n+1) (n+1)a«¥(n¤ +1)

nlim⁄¶

(10n+1)b«

lim a«

n⁄¶

정수 k와 실수 a에 대하여 =

일 때, a+k의 값은?

① 3 ② ③ 4

④ 9 ⑤ 5

7 2

1 8 n› (n¤ -1) (an¤ +n+1)˚

nlim⁄¶

11

11 무한수열의 극한

91 www.ebsi. co.kr

정답과풀이 39쪽

A«B«”=1, OA«”="√n¤ +1이므로

_n_1= _n_r«+ _1_r«+ _"√n¤ +1_r«

즉, n=(n+1+"√n¤ +1)r«이므로 n+1+"√n¤ +1 1 n+1+"√n¤ +1 1

2 1

2 n n+1+"√n¤ +1

자연수 n에 대하여 함수 y= x¤ 의 그래프가 함 수 y=[x¤ ]의 그래프와 만나는 교점의 개수를 a«이라 할 때, 의 값은?

(단, [x]는 x보다 크지 않은 최대의 정수이다.)

① ② ③ 1

④ 4 ⑤ 2

2 3 1

2 a«

lim n

n⁄¶

17

n+1

18

좌표평면 위에 두 점 A(10, 0)과 B¡(5, 10)이 있 다. 그림과 같이 점 B¡을 y축에 대하여 대칭이동한 점을 C¡, 선분 C¡A의 중점을 M¡, 점 M¡에서 선분 B¡A에 내린 수선의 발을 B™라 하자. 점 B™를 y축에 대하여 대 칭이동한 점을 C™, 선분 C™A의 중점을 M™, 점 M™에 서 선분 B¡A에 내린 수선의 발을 B£이라 하자. 이와 같 은 방법으로 모든 자연수 n에 대하여 점 B«을 y축에 대 하여 대칭이동한 점을 C«, 선분 C«A의 중점을 M«, 점 M«에서 선분 B¡A에 내린 수선의 발을 B«≠¡이라 하자.

점 B«의 x좌표를 a«이라 할 때, a«의 값은?

① ② ③

④ ⑤ 54

7 53

52 7 51

7 50

y

O x

B¡(5, 10) C¡

C™ B™

B£

A(10, 0) M¡

M™

y

nlim⁄¶

그림과 같이 한 변의 길이가 1인 정삼각형 ABC가 있다. 점 A에서 선분 BC에 내린 수선의 발을 P¡이라 하고, 점 P¡에서 선분 AB에 내린 수선의 발을 P™라 하 자. 또, 점 P™에서 선분 AC에 내린 수선의 발을 P£이 라 하자. 이와 같은 방법으로 모든 자연수 n에 대하여 점 P£«에서 선분 BC에 내린 수선의 발을 P£«≠¡이라 하고, 점 P£«≠¡에서 선분 AB에 내린 수선의 발을 P£«≠™라 하 자. 또, 점 P£«≠™에서 선분 AC에 내린 수선의 발을 P£«≠£이라 하자. 선분 P«P«≠¡의 길이를 a«이라 할 때,

a«의 값은?

① ② ③

④ ⑤ '3

4 1

'3 3 '3

2 2

C

A B

P¡

P¢

P§ P£

P∞ P™

P¶

1 y

nlim⁄¶

19

고난도

문서에서 2013학년도(2012년 실시) 수학Ⅰ 수능완성 (페이지 86-93)