여러 가지 수열
09
합의 기호¡
수열 {a«}의 첫째항부터 제n항까지의 합 a¡+a™+a£+y+a«을 기호¡를 사용하여 다음과 같이 나타낸다.
a¡+a™+a£+y+a«= a˚
이때, ;K+!n a˚에서 k 대신 i 또는 j 등의 다른 문자를 사용하여 ;I+!n a‘, ;J+!n aΔ와 같이 표현해도 같은 합을 나타낸다.
;K+!n
2
¡의 기본 성질 수열 {a«}, {b«}에 대하여⑴ (a˚+b˚)= a˚+ b˚ ⑵ (a˚-b˚)= a˚- b˚
⑶ ;K+!n ca˚=c;K+!n a˚ (단, c는 상수) ⑷ ;K+!n c=cn (단, c는 상수)
;K+!n
;K+!n
;K+!n
;K+!n
;K+!n
;K+!n
4
분수꼴로 표현된 수열의 합일반항이 의 꼴로 주어진 수열의 합은 = { - } (A+B)임을 이용하여 구할 수 있다.
= { - } (단, a+b) 1
k+b 1
k+a
;K+!n
1 b-a 1
(k+a)(k+b)
;K+!n
1 B 1 A 1 B-A 1
AB 1
AB
3
자연수의 거듭제곱의 합⑴ k=1+2+3+y+n=
⑵ k¤ =1¤ +2¤ +3¤ +y+n¤ =
⑶ k‹ =1‹ +2‹ +3‹ +y+n‹ =[ ]2 n(n+1)
2
;K+!n
n(n+1)(2n+1) 6
;K+!n
n(n+1) 2
;K+!n
6
여러 가지 수열의 풀이⑴ 분자는 분자끼리 규칙성이 있고, 분모는 분모끼리 규칙성이 있는 경우에는 분모, 분자를 따로 구분하여 각각 구한다.
5
계차수열⑴ 수열 {a«}에서 이웃하는 두 항의 차 b«=a«≠¡-a«(n=1, 2, 3, y)으로 정의된 수열 {b«}을 수열 {a«}의 계차수 열이라고 한다.
{a«}：a¡, a™, a£, a¢, y, a«–¡, a«, a«≠¡, y {b«}： b¡, b™, b£, y, b«–¡, b«, y
⑵ 수열 {a«}의 계차수열이 {b«}일 때, a«=a¡+n-1;K+!b˚ (단, næ2)
09 여러 가지 수열
67
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정답과풀이 28쪽 유형
1
¡의 뜻과 성질출제유형
¡의 뜻과 성질에 관한 간단한 계산 문제와 활용 문제가 출제된다.출제유형잡기
(a˚+b˚)= a˚+ b˚, (a˚-b˚)= a˚- b˚,ca˚=c a˚, c=cn (단, c는 상수) 을 이용하여 계산한다.
;K+!n
;K+!n
;K+!n
;K+!n
;K+!n
;K+!n
;K+!n
;K+!n
;K+!n
수열 {a«}이 모든 자연수 n에 대하여 a«= (k+1)¤
일 때, a¡º-aª의 값은?
① 655 ② 658 ③ 661
④ 664 ⑤ 667
2n-1;K+N
0 1
필수유형
수열 {a«}에 대하여 (a˚+2)¤ =120, (a˚-2)¤ =100이 성립할 때, a˚¤ 의 값은?
① 40 ② 50 ③ 60
④ 70 ⑤ 80
;K+!10
;K+!10
;K+!10
|출제의도| ¡의 성질을 이용하여 수열의 합을 구할 수 있는지 를 묻는 문제이다.
|풀이|
(a˚+2)¤ =120에서 (a˚¤ +4a˚+4)=120이므로
a˚¤ +4 a˚+40=120 yy`㉠
(a˚-2)¤ =100에서 (a˚¤ -4a˚+4)=100이므로
a˚¤ -4 a˚+40=100 yy`㉡
㉠+㉡을 하면 2 a˚¤ +80=220
∴ a˚¤ =70
④
;K+!10
;K+!10
;K+!10
;K+!10
;K+!10
;K+!10
;K+!10
;K+!10
;K+!10
;K+!10
등차수열 {a«}에 대하여
a¡º=10, a3k=60+ a3k-2
일 때, a2k의 값은?
① 820 ② 830 ③ 840
④ 850 ⑤ 860
;K+!20
;K+!10
;K+!10
0 2
자연수 m, n에 대하여 2μ <n을 만족시키는 m의 개 수를 a«이라 할 때, a«의 값은?
① 990 ② 992 ③ 994
④ 996 ⑤ 998
;N+!178
0 3
(3k¤ -k)=808을 만족시키는 자연수 n의 값을 구하시오.
;K+@n
0 4
모든 자연수 n에 대하여 x에 관한 다항식
x¤ -(n+1)x+n을 x-2n으로 나눈 나머지를 a«이 라 할 때, a˚의 값은?
① 695 ② 705 ③ 715
④ 725 ⑤ 735
;K+!10
0 5
모든 자연수 n에 대하여 x에 관한 이차함수
y= (x-k)¤ 의 최솟값을 a«이라 할 때, 2a˚의 값 은?
① 455 ② 465 ③ 475
④ 485 ⑤ 495
;K+!10
;K+!n
0 6
유형
2
자연수의 거듭제곱의 합출제유형
¡의 기본 성질과 자연수의 거듭제곱의 합에 관 한 공식을 이용하여 식의 값을 구하는 문제가 출제된다.출제유형잡기
주어진 식 또는 수열을 k에 관한 식으로 나타 낸 후 전개하여k= , k¤ = ,
k‹ =[ ]2 의 공식을 이용하여 값을 구한다.
n(n+1) 2
;K+!n
n(n+1)(2n+1) 6
;K+!n
n(n+1) 2
;K+!n
필수유형
(2k+1)¤ - (2k-3)¤ 의 값은?
① 1152 ② 1156 ③ 1160
④ 1164 ⑤ 1168
;K+!12
;K+!12
|출제의도| ¡의 기본 성질과 자연수의 거듭제곱의 합의 공식 을 이용하여 수열의 합을 구할 수 있는지를 묻는 문제이다.
|풀이|
(2k+1)¤ - (2k-3)¤ = {(2k+1)¤ -(2k-3)¤ }
= (16k-8)
=16 k- 8
=16¥ -12¥8
=1248-96=1152
① 12¥13
2
;K+!12
;K+!12
;K+!12
;K+!12
;K+!12
;K+!12
09 여러 가지 수열
69
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정답과풀이 29쪽 유형
3
여러 가지 수열`⑴출제유형
여러 가지 형태의 수열에서 규칙성을 찾는 문제 가 출제된다.출제유형잡기
n=1, n=2일 때와 같이 구체적인 경우를 이용하여 수열의 일반항을 추측하고 추측한 결과가 옳은 지 확인한다.필수유형
수열 {a«}이 모든 자연수 n에 대하여 a˚=log
를 만족시킨다. a2k=p라 할 때, 10π 의 값을 구하시오.
~4점₩
~2011학년도 대수능₩
;K+!20
(n+1)(n+2) 2
;K+!n
|출제의도| 수열의 합과 일반항의 관계를 이용하여 수열의 일반 항을 구한 후¡의 성질을 이용하여 수열의 합을 구할 수 있는 지를 묻는 문제이다.
|풀이|
a«= a˚- a˚
=log -log
=log (næ2)
이때, n=1이면 a¡=log 3이므로 a«=log (næ1)
∴ p= a2k= log = log
=log +log +y+log
=log { _ _y_ }
=log 21
∴ 10π =10log 21=21
21 21
20 3
2 2 1
21 20 3
2 2
1
k+1 k
;K+!20
2k+2 2k
;K+!20
;K+!20
n+2 n n+2
n
n(n+1) 2 (n+1)(n+2)
2
n-1;K+!
;K+!n
모든 항이 0이 아닌 등차수열 {a«}에 대하여 a¡=1이 고 =3이 성립할 때, 등차수열 {a«}의 공차는?
① ② ③
④ ⑤ 2
3 5
9
4 9 1
3 2
9 1 a˚¥a˚≠¡
;K+!9
0 7
첫째항이 2이고 공비가 '2인 등비수열 {a«}에 대하
여 의 값은?
① ② ③
④ ⑤ 11
6 5
3
3 2 4
3 7
6
1
(log™ a˚)(log™ a˚≠¡)
;K+!10
0 8
수열 {a«}이 모든 자연수 n에 대하여 a«={5+(-1)« ¥3}«
을 만족시킬 때, log™ a˚의 값은?
① 400 ② 410 ③ 420
④ 430 ⑤ 440
;K+!20
10
유형
4
계차수열출제유형
계차수열의 일반항을 이용하여 수열의 일반항을 유도하는 유형의 문제와 이를 활용한 문제가 출제된다.출제유형잡기
수열 {a«}의 계차수열을 {b«}이라 하면 a«=a¡+n-1;K+!b˚ (næ2)임을 이용한다.필수유형
수열 {a«}은 a¡=2이고,
a«≠¡=a«+(-1)« ¥ (næ1)
을 만족시킨다. a™º= 일 때, p+q의 값을 구하시오.
(단, p와 q는 서로소인 자연수이다.)
~4점₩
~2010년 9월 평가원₩
q p
2n+1 n(n+1)
|출제의도| 계차수열의 일반항을 이용하여 수열의 일반항을 구 할 수 있는지를 묻는 문제이다.
|풀이|
a«≠¡-a«=(-1)« ¥
=(-1)« { - }
=(-1)« [2+ -{2- }]
=(-1)« { + }
즉, a«≠¡-a«=(-1)« { + }이므로
a™º=2+ (-1)˚ { + }
=2+[-{1+ }+{ + }-y-{ + }]
=2+{-1- }=1- =
∴ p+q=39
39 19
20 1 20 1
20
1 20 1 19 1
3 1 2 1 2
1 k+1 1 k
;K+!19
1 n+1 1
n 1 n+1 1 n
1 n+1 1
n
2n+1 n+1 2n+1
n 2n+1 n(n+1) 두 수열 {a«}, {b«}이 모든 자연수 n에 대하여
a«=n‹ +5n¤ +9n+16, b«=n+4 를 만족시킬 때, [ ]의 값은?
(단, [x]는 x보다 크지 않은 최대의 정수이다.)
① 480 ② 485 ③ 490
④ 495 ⑤ 500 a«
b«
;N+!10
0 9
고난도
09 여러 가지 수열
71
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정답과풀이 29쪽
모든 항이 양수인 수열 {a«}이
a¡=10, log =2n-7 (n=1, 2, 3, y) 일 때, 10—fl …a«<10fl 을 만족시키는 모든 항들의 곱은?
① 10—‡ ② 10—fl ③ 10—fi
④ 10—› ⑤ 10—‹
a«
a«≠¡
15
두 수열 {a«}, {b«}이 모든 자연수 n에 대하여 a«=2n(2n+1), b«=a«≠¡-a«
을 만족시킬 때, b˚의 값은?
① 420 ② 440 ③ 460
④ 480 ⑤ 500
;K+!10
11
수열 {a«}이 모든 자연수 n에 대하여 a¡=2, a«≠¡=a«+2n+2
를 만족시킬 때, a¡º¥a¡¡=a˚를 만족시키는 자연수 k의 값은?
① 119 ② 120 ③ 121
④ 122 ⑤ 123
12
수열 {a«}이 모든 자연수 n에 대하여 a¡=- , a«≠¡=a«+
를 만족시킬 때, a¡¡의 값은?
① ② ③
④ ⑤ 21
22 9
11
15 22 6
11 9
22
2 n(n+2) 11
12
13
수열 {a«}이 모든 자연수 n에 대하여 a¡=4, a«≠¡=a«+log™
를 만족시킬 때, a§£의 값은?
① 7 ② 8 ③ 9
④ 10 ⑤ 11
n+2 n+1
14
신유형
유형
5
여러 가지 수열`⑵ 21+3+5+y+(2n-1)1
10 수학적 귀납법과 순서도