가. 공학적 도구 이용의 필요성
1) 계산기는 필요하지만 사용할 수 없다?
2011년 5월19일 어느 신문의 기사에서는 “수학시험 전자계산기 허용 아직은 -학계 찬반양 론, 전문가들 구성 본격 검토”라는 글이 실렸다. 아래는 그 기사의 내용이다.
『고교 수학시험에 전자계산기 사용을 허용하려던 교육과학기술부 안이 유보됐지만 이를 두 고 논란이 일고 있다. 교과부는 19일 확정한 ‘공교육 강화-사교육 경감 선순환 방안’에서 ‘고 교 수학시험에서 전자계산기 사용을 허용한다’는 내용을 제외했다.
지난 2월 시안에선 수학 교육을 암기나 계산 중심에서 논리적·창의적 사고능력을 키우도록 전환한다는 취지로 포함시켰던 내용이다.
교과부는 “전자계산기 허용안을 폐기했다는 의미는 아니고 6월부터 전문가그룹을 구성해 본 격 검토할 계획”이라며 여지를 남겼지만, 교육계에서는 전자계산기 허용이 간단한 문제가 아니라고 보고 있다. 교과부에 따르면 수학교육 학자들은 초등학교 수준에서는 기초적인 계 산 능력을 기르는 것이 중요하지만, 중학교부터는 단계적으로 계산기 사용을 허용하는 것이 바람직하다는 데 대체로 공감한다.
실제 미국에서는 1980년대 후반 계산기 허용방침을 둘러싸고 논란이 일다 1990년대 중반부 터 수학수업과 대학수학능력시험(SAT)에서 계산기를 쓸 수 있게 하고 있다. 영국과 싱가포 르 등도 계산기를 허용하고 있다. 반면 한국, 중국, 일본은 이를 허용하지 않는다. 국내 한 대학 교수도 “고교 수학시험에선 단순계산 능력이 아니라 고차원적 수학 사고력을 측정하는 것이 목적이고, 문제 풀이 과정에서 사칙계산은 비본질적 역할을 하기 때문에 계산기를 사 용해도 무방하다”는 입장을 교과부에 전달한 것으로 알려졌다.
그러나 전자계산기를 선뜻 허용하기엔 걸림돌이 만만찮다. 우선 고교 수학시험에서 계산기 를 허용한다면 교육당국이 일괄 지급할지, 학생 개인 부담으로 갖추도록 할지 결정해야 한 다. 또 간단한 사칙연산만 가능한 사양을 허용할지, 보다 정교한 계산까지 가능한 사양을 허 용할지, 시험 도중 예기치 않은 계산기 고장 문제엔 어떻게 대처할지 등 논란의 여지가 많 다. 어느 단원에서 어떤 방식으로 계산기를 활용할 수 있도록 할 것인가도 문제고, 현행 교
육과정에 계산기 사용을 허용하는 근거도 모호하다.
교과부 관계자는 “2011학년도 수능시험에서 필기구를 이용한 부정행위를 막기 위해 수험생 에게 한 자루씩 일괄 지급했던 샤프를 놓고 샤프심 불량 논란이 있었다.”며 “전자계산기 허 용 방안을 놓고 수능 불량 샤프심 논란이 연상돼 우려된다는 의견이 많고, 현장 교사들의 의 견은 그다지 긍정적이지 않다’고 말했다.』(2011.05.19. 매일신문)
위의 기사내용은 계산기를 사용하는 것이 수학 학습에 도움이 되지만 평가에 사용하는 것은 연구 후에 결정하겠다는 것이다.
2) 공학적 도구의 다양한 활용
수학교육에서 활용 가능한 공학적 도구는 계산기, 인터넷, 컴퓨터와 그 응용 프로그램으로 구분할 수 있다. 계산기는 사칙 연산을 포함하여 수 계산을 할 수 있는 계산기와 함수식을 입력하면 그 함수의 그래프를 보여주는 계산기가 있다. 인터넷은 정보를 교환할 수 있도록 컴퓨터와 같은 전자 장치를 연결한 통신망을 의미한다. 인터넷을 통해 학습에 필요한 정보 를 검색할 수 있으며, 교사와 학생, 학생과 학생 에 따라 프리젠테이션, 동적기하 소프트웨 어, 스프레드시트, 기호조작 소프트웨어로 구분할 수 있다. 프리젠테이션은 학습 내용을 문 자, 그림, 동영상으로 학생들에게 제시하기 위한 프로그램으로 PPT, 아이스크림, 한글 등 이 여기에 해당한다. 동적기하 소프트웨어는 기하적 작도가 가능하고, 도형을 움직여 성질 을 관찰할 수 있도록 하는 대표적인 프로그램으로 GSP, Cabri3D, Poly 등이 있다. 스프레 드시트는 수치 자료 처리 기능을 가진 프로그램으로 수치 자료를 정렬, 계산, 그래프 표현 기능을 가지고 있다. Excel, Fathom 등이 이러한 프로그램에 속한다. 기호조작 소프트웨 어는 대수 기호를 조작할 수 있는 프로그램으로, 식의 전개, 인수분해, 방정식 풀이, 미적 분 등이 가능하며, 함수의 그래프를 그릴 수도 있다. 여기에 속하는 프로그램으로는 CAS, LiveMath 등이 있다(조은애, 2008; 이정례, 2010; 김주남, 2011; 손홍찬, 2011; 최지선, 2012에서 재인용).
그 동안 많은 연구(류희찬, 조완영, 1999; 류희찬, 유공주, 조민식, 2000; 장경윤, 황우형, 이중권, 2001; 정보나, 류희찬, 조완영, 2002; 황우형, 차순규, 2002; 정인철, 박달원, 장 이채, 김태균, 2003; 최인자, 2005; 김남희, 2006; 이광상, 2007; 김혜선, 2008; 조은애, 2008; 이종학, 2011; 이진호, 2012)에서 수학 교과에서의 공학적 도구의 활용 방법이 제시 되었다. 이 연구들에서 제시된 공학적 도구의 활용 방법은 학습보조수단, 이해함양수단, 수 학적 탐구수단으로의 활용으로 분류될 수 있다.
학습보조수단으로 공학적 도구를 활용한다는 것은 공학적 도구를 학습자의 흥미를 향상시
요하게 만든다. 수학교실의 모든 학생들은 능숙한 교사의 안내를 받으며 자신의 수학 학습
(1) 교수·학습의 전 과정을 통하여 적절하고 다양한 교육 기자재를 우에는 5세부터 19세까지의 수학교육과 관련하여 CAS(Computer Algebra System) 활용 지침서(Oldkknow, & Flower, 1996)를 출간하였으며, 1999년 수학교육과정의 학습프로그 램에 CAS의 적절한 활용을 포함하고 있다. 호주에서는 대학수학능력시험에서 수학과목 문 제에 끼치는 그래핑 계산기의 영향을 고찰하여(Kissane, Bradley, & Kemp, 1994), 그래핑 계산기의 적극적인 활용을 가능하게 하는 중립적인 문제를 출제하도록 제시하였다(Kemp, Kissane, &Bradley, 1996). 이에 따라 1997년부터 호주의 Victoria 주, 그리고 1998년부 터 호주의 Western Australia 주에서 대학수학능력시험에 그래핑 계산기의 사용이 허용되
고 있다.11)
수학·과학 성취도 추이변화 국제비교 연구(TIMSS)12)에서는 그 동안 충분한 논의를 거친 후 2003의 8학년 평가에 계산기 사용이 도입되었다. 새로 개발된 문항들에 한해, 계산기 없이 풀이가 가능하지만 계산기 사용을 원하는 국가에 대해서는 계산기 사용을 허용했다. TIMSS 2003의 경험을 토대로 TIMSS 2007에서 계산기 사용이 허용되었으며, 이는 TIMSS 2011에 도 여전히 적용되고 있다. 그러나 4학년에 대해서는 계산기 사용이 허용되지 않는다.
다) 수학 교과서 비교
(1) 우리나라 - 2009 개정 교육과정
계산기에 대한 우리나라 수학계의 논란은 지난 2011년의 언론 보도에서도 그랬고, 지난 3월 제2차 수학교육 종합계획 발표 당시에도 계속되었지만 우리 교과서에는 이미 계산기나 공학 도구의 사용이 공식적으로 들어가 있다.
[그림 Ⅳ-13] 2009 개정 초등 4-1학기 교과서 계산기 사용 예(173쪽)
11) 싱가포르의 국가시험의 수학시험에서 계산기 허용 여부를 살펴보면, 초등 졸업시험에서는 부분적으로, 중등 졸업시험에서는 전 체적으로 계산기를 허용하고 있다. 독일의 아비투어 필기시험 시 허용된 시험보조물로 보통 휴대용 전자계산기를 사용할 수 있는데, 학교의 신청여하에 따라 CAS를 사용할 수도 있다. 핀란드에서는 대학입학자격시험 위원회에서 참조하도록 승인한 계산기와 책자를 활용할 수 있다. 호주는 7, 9학년의 전국학력평가와 고등학교 졸업 자격시험(HSC)에서 계산기가 허용된다(류희찬 외, 2011).
12) 수학·과학 성취도 추이변화 국제비교 연구(Trends in International Mathematics and Science Study, TIMSS)는 세계 각국의 4학년 과 8학년을 대상으로 하는 연구이다. 1995년에 국제 학업성취도 평가 협회(IEA)에서 고안하여 4년마다 한 번씩 이루어지고 있다.
초등학교 교과서에서는 4학년 1학기 ‘규칙성 찾기’에서 규칙을 이용하여 계산 결과를 예상해 보고 계산기를 사용하여 결과를 확인해 보도록 하고 있다. 또한 6학년 1학기 교과서에서는 ‘ 원의 넓이’ 단원에서 측정을 통해 원주율을 구할 때 계산기를 사용하도록 하고 있다.
중학교 교과서(미래엔, 이강섭 외)를 보면 중 1과정에서는 프로젝트 형태로 계산기나 컴퓨터 가 활용되고 있으며, ‘통계’ 단원의 본문에서도 계산기를 이용하도록 안내되고 있다.
[그림 Ⅳ-14] 중1 교과서 통계 단원 문제(미래엔, 이강섭 외)
또한 중 3의 ‘통계’ 단원에서는 평균, 분산, 표준편차를 구할 때 계산기를 사용하도록 안내하 고 있으며 컴퓨터 프로그램을 이용하는 프로젝트도 있다. 또한 ‘삼각비’ 단원에서도 삼각비 의 표나 계산기를 이용하여 삼각비의 값을 구하거나 삼각비를 활용하도록 하고 있다.
고등학교 교과서에서는 컴퓨터 프로그램이나 스마트폰 애플리케이션 등을 이용하여 학습 내용을 탐구하는 ‘수학 실험실(두산동아, 교학사)’이나 ‘공학적 도구의 활용(신사고 미적분
Ⅱ)’이라는 별단을 교과서의 단원 뒷부분에 배치하였으며, 교과서 본문에서는 실생활 문제 처럼 계산이 복잡한 문제에서 계산기를 이용하도록 계산기 아이콘(지학사, 비상교육)을 표 시하고 있다. 특히 대부분의 「확률과 통계」 교과서에서 계산기나 컴퓨터 프로그램이 많이 나 타나고 있다.
[그림 Ⅳ-15] 수Ⅰ 교과서 속의 공학 도구 사용(교학사, 김창동 외)
(2) 싱가포르
초등학교 교과서에서는 5학년에 처음 계산기를 사용하는데 ‘Use of Calculator’라는 소단원 이 한 학기에 한 번씩 배치되어 있으며 1학기에는‘계산기를 사용하여 자연수끼리의 사칙연산
계산하기’, 2학기에는 ‘계산기를 사용하여 소수의 사칙연산하기’를 다룬다. 그리고 6학년에 는 단원으로 구분하지 않고 문제에 따라 계산기를 사용하거나 사용하지 않도록 한다.
계산하기’, 2학기에는 ‘계산기를 사용하여 소수의 사칙연산하기’를 다룬다. 그리고 6학년에 는 단원으로 구분하지 않고 문제에 따라 계산기를 사용하거나 사용하지 않도록 한다.