제1절 시공간분석
2. 공간적 상관관계
일반적인 통계분석에서 적용되는 가장 일반적인 원칙은 분석단위간의 독 립적이며 동일한 분산을 가진다는 원칙이다(independent and identically distributed). 공간분석의 경우 분석단위간 공간적 상관성이 존재하여 상관 성에 기인한 영향을 고려하여야 한다.
지역단위 분석의 종속변수( )가 다변량 정규분포(multivariate normal distribution, MVN)를 따르면 다음의 관계가 성립된다.
(4)
는 지역평균을 나타내는 벡터이며 는 평균이 0이고 분산이 인 임 의오차의 벡터이다. 지역적 상관성을 모형화하는 다양한 방법 중에서 일반 적으로 널리 사용되는 모형화 방법은 동시자기상관(simultaneous autoregressive, SAR)법과 조건부자기상관(conditional autoregressive, CAR)법이다. 동시자기상관법은 지역적 의존성을 고려하기 위하여 타지역 으로부터의 값에 기반을 둔 회귀법을 이용한다(Bivand, 2008).
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제 1 세 부 제 3 장 분 석 방 법
(5)
는 잔차이며 는 지역간 상관성을 나타내는 값이며(이때 동일지역간 상관성 즉, 값은 0이다) 종속변수의 지역적 상관관계를 나타내는 행렬 가중치이다. SAR 모형은 지역단위 분석의 종속변수( )가 아래와 같은 분 포를 따른다는 가정에 기반을 둔다.
∼ (6)
= × , 는 지역단위 독립변수이다(Bivand, 2008).
조건부자기상관법(CAR)은 공간잔차()의 조건부 분포를 고려하는 방법 이다. 자기 이외의 모든 공간의 공간잔차를 고려한 조건부 분포가 분석에 사용되지만 일반적으로 사용되어지는 방법은 특정지역과 이웃하는 지역의 공간잔차( ∼ )와의 분포를 고려한 분석방법이다. 이웃한 공간잔차와의 관 계는 다음과 같다(Bivand, 2008).
∼ ∼
∼
∼
∼
, (7)
는 와 유사한 지역간 상관성을 나타내는 모수값이며 는 특정지역
와 이웃하는 지역을 나타낸다. 그러나 공간잔차의 조건부 분포만으로 이들 잔차간의 결합분포가 존재한다는 것을 보장하는 것은 아니어서 이를 담보 하는 제한적 조건이 필요하게 된다(Bivand, 2008).
식(4)을 달리표현하면
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사 회 보 건 분 야 기 후 변 화 취 약 성 평 가 및 적 응 역 량 강 화
∼ (8)
은 정부호 행렬이다. CAR 모형에서 인접지역들간의 공분산을 일반화 하면 다음과 같은 식으로 표현된다(Thomas, 2004).
(9)
는 분석단위 지역 개수 의 × 단위행렬, 는 지역적 상관성의 정도를 표현하는 모수이며, 는 인접지역들간의 공간적 상관성을 반영하 는 가중치, 은 인접지역들간의 조건부 분산에 비례하는 대각행렬이다.
지역적 상관성을 모형화하는 과정을 spatial neighbouring이라고 한다.
이는 두단계로 구분되는데 첫 번째는 분석대상지역들간의 지역적 상관관계 를 찾고 두 번째 이들 지역간 상관성의 가중치를 추정하는 것이다(Bivand, 2008). 인접지역간 경계면 공유를 neighbouring의 조건으로 하는 contiguity neighbour 방법을 아래에 표시하였다.
분산을 어떻게 제한하는가에 따라 CAR모형은 improper CAR모형, proper CAR모형으로 구분된다. improper CAR모형은 분석대상 지역들이 인접한 지역에 한하여 그 외 다른 지역은 ,
, 로 계산한다(Thomas, 2004). 이를 식(8)에 대입하면 결국
∼ 이 된다.
proper CAR모형은 improper CAR모형의 조건은 동일하나 아래의 조건이 추가된다(Thomas, 2004).
1) ,
2) , 는 특정지역 의 종속변수의 기