초등 수학 개념 정리

초등 수학

개념 정리

최 완 호

(잠실 최자매 아빠)

wanochoi.com

아무리 애타게 설명하고 설명해도 개념을 전혀 이해하지 못하고 틀린 문제를 틀리고 또 틀리기를 반복한다. 속이 타들어가는 아비의 마음을 헤아리지 못하고 정작 본인은 방법을 찾고자 하는 간절함이 없으니 이러다 안되겠다 싶어 아비의 머리 속에 있는 지식 체계를 탈탈 털어 하나의 키노트 파일로 집대성 하니 부디 이 개념서를 바탕으로 많은 문제를 풀고 수학에 매진하여 부디 좋은 성과를 거두기를 바라노라. – 잠실 최자매 아비 –

정성적 (qualitative) vs 정량적 (quantitative)

정성적 (qualitative) •묘사(description)에 기반한다. •관찰(observation)한다. •색상, 재질, 냄새, 맛, 생김새, 아름다움 등 정량적 (quantitative) •숫자(numbers)에 기반한다. •측정(measurement)한다. •길이, 높이, 넓이, 무게, 속력, 시간, 온도, 금액, 나이 등 http://askthesciencefairguy.com/graphs--data.html

수의 탄생 (the birth of numbers)

길다/짧다, 크다/작다, 무겁다/가볍다, 넓다/좁다, 많다/적다 등의 표현은 모두 주관적이고 상대적인 표현이다. 봉지 안에 든 사과들을 보고 어떤 사람은 사과가 많다고 말하고, 또 어떤 사람은 사과가 적다고 말할 수 있기 때문이다. 이러한 표현을 정성적 표현법이라고 한다. 만약 일기예보에서 “내일은 아침에 해가 조금 일찍 뜨고, 꽤 많이 덥겠습니다.”라고 한다면 어떨까? 정성적 표현법으로는 객관적이고 정확한 의사 소통이 어렵다. 따라서, 객관적인 의사소통 방법이 필요하게 되었고 숫자가 만들어져서 사용되게 되었다. 봉지 안에 든 사과들을 보고 단순히 많다/적다라고 표현하는 것이 아니고, 10개라고 말하는 방식이다. 일기예보에서는 “내일은 오전 6시에 해가 뜨고, 최저 기온은 30도, 최고 기온은 40도가 되겠습니다.”라고 말해줘야 한다. 이렇게 숫자를 사용해서 객관적이고 절대적으로 표현하는 것을 정량적 표현볍이라고 한다.

자연수 (natural number) / 정수 (integer)

아마도 물건의 개수를 세는 것이 인류가 숫자를 사용하는 가장 첫 번째 적용 분야일 것이다. 물건의 개수를 세기 위해서 탄생한 수가 자연수이다. 1을 여러 번 더해서 만들 수 있는 모든 수들의 집합을 자연수라고 한다. 그리고, 1을 여러 번 더하거나 빼서 만들 수 있는 모든 수들의 집합을 정수라고 한다. 자연수에 음의 부호(-)가 붙은 수를 음의 정수라고 한다. 자연수는 앞에 양의 부호(+)가 생략되어 있기 때문에 양의 정수와 같은 의미이다. {정수} = {음의 정수} + {0} + {양의 정수 = 자연수}

10진법 (decimal system)

수는 무한하다. 이렇게 무한 개의 수를 모두 다른 모양의 숫자로 표시하는 것은 현실적으로 불가능하다. 따라서, 제한된 몇 개의 숫자를 이용해서 모든 수를 표시할 수 있어야 한다. (100개 수를 표현하는 숫자 기호가 100개라면 어떨까?) n개의 숫자를 가지고 자연수를 표현하는 방법을 n진법이라고 한다. 우리가 일상 생활에서 사용하는 것은 10진법이다. 10진법을 사용하는 이유는 인간의 손가락의 개수가 10개이기 때문이다. 인간이 손가락으로 최대한 펴거나 접을 수 있는 수가 10이기 때문에 10보다 큰 수들을 세기 위해서는 10을 하나의 묶음으로 간주하여 생각하게 되었다. 따라서, 자연스럽게 10 묶음 마다 자릿수를 하나씩 증가시켜 큰 수를 표현하게 되었다. 10은 약수가 1, 2, 5, 10에 불과하기 때문에 단위로 사용하기에 불편한 점도 있다. 12는 약수가 1, 2, 3, 4, 6, 12이기 때문에 단위로 사용하기에 10보다 편리한 점이 있다. 실제로 12진법을 사용하는 예들도 있는데 대표적인 것이 시간이다. 컴퓨터는 판별을 할 수 있는 전기적인 신호가 없다(0), 있다(1) 이렇게 2개 밖에 없으므로 2진법을 사용한다.

아라비아 숫자의 기원

더하기 (addition) / 빼기 (subtraction)

더하기 = 현재 기준보다 수가 늘어난 양 (얼마만큼 많아졌는가?) 빼기 = 현재 기준보다 수가 줄어든 양 (얼마만큼 작아졌는가?) 더하기와 빼기는 연산 순서에 상관없이 결과가 같다. 예) 현재 사탕 7개 ➔ 3개를 더함 ➔ 2개를 뺌 (7+3-2=8) = 현재 사탕 7개 ➔ 2개를 뺌 ➔ 3개를 더함 (7-2+3=8)

수직선 (數直線, number line)

수직선은 모든 수들을 한 점에 대응시켜 무한히 수직으로 뻗어있는 직선이다. (1차원 좌표계) (垂直線이 아님!) 모든 정수는 한 칸의 길이가 1인 수직선상의 눈금과 1:1 대응 관계가 성립한다. 0을 중심으로 오른쪽은 양의 정수(자연수), 왼쪽은 음의 정수가 분포한다. 오른쪽으로 갈수록 커진다. 즉, 왼쪽에 있는 수 보다 오른쪽에 있는 수가 더 큰 수 이다. 왼쪽으로 갈수록 작아진다. 즉, 오른쪽에 있는 수 보다 왼쪽에 있는 수가 더 작은 수 이다. 어떤 정수 ◼에 자연수인 ●를 더한다는 것은 ◼에 해당하는 눈금으로 부터 오른쪽으로 ●칸 만큼 이동한다는 것을 의미하며, 수식으로는 ◼+●으로 나타낸다. 어떤 정수 ◼에 자연수인 ●를 뺀다는 것은 ◼에 해당하는 눈금으로 부터 왼쪽으로 ●칸 만큼 이동한다는 것을 의미하며, 수식으로는 ◼-●으로 나타낸다. ◼ ◼+● ◼ ◼-● ● ●

등호(=)는 왼쪽 항과 오른쪽 항이 같다는 것을 의미한다. 즉, “◼와 ●가 같다.”는 문장과 “◼ = ●”라는 수식은 같은 의미이다. 이와 같은 수식을 등식이라고 부른다. 등호를 기준으로 왼쪽에 있는 변을 좌변, 오른쪽에 있는 변을 우변이라고 부르며, 둘을 합쳐서 양변이라고 부른다. 좌변과 우변이 같다는 것은... 좌변과 우변에 똑같은 값을 더하거나(+), 빼거나(-), 곱하거나(×), 나누어도(÷) 여전히 등식이 성립함을 의미한다. 즉, ◼=●일 때, ◼+▲=●+▲, ◼-▲=●-▲, ◼×▲=●×▲, ◼÷▲=●÷▲ (단, ▲≠0. 0으로는 나눌 수 없음.) 예) ◼+3=5. 양변에 -3을 하면, ◼+3-3=5-3. 따라서, ◼=2. 3-◼=1. 양변에 +◼를 하면, 3-◼+◼=1+◼. 즉, 3=1+◼. 양변에 -1을 하면, 3-1=◼. 따라서, ◼=2. ◼×3=9, 양변에 ÷3을 하면, ◼×3÷3=9÷3. 즉, ◼=9÷3. 따라서, ◼=3.

등호 (equality) / 등식 (equation)

◼, ▲, ●가 모두 자연수(즉, ◼, ▲, ● = 1, 2, 3, …)이고 ◼=▲+●라면 ◼, ▲, ● 중에서 가장 큰 수는 ◼ 이다. (즉, ◼>▲, ◼>●) 양변에 각각 ▲를 빼주면, ◼-▲=● 양변에 각각 ●를 빼주면, ◼-●=▲ 따라서, “◼=▲+●”, “◼-▲=●”, “◼-●=▲”는 모두 같은 식이다. 예) 7=4+3, 7=3+4, 7-4=3, 7-3=4

등호 (equality) / 등식 (equation)

어떤 수에 0을 더하거나 1을 곱하면 자기 자신이 된다. 즉, ◼+0=◼, ◼×1=◼이기 때문에 만약 등식을 세운 후 ◼를 구해야 한다면 좌변에 적절한 수를 더하거나(+), 빼거나(-), 곱하거나(×), 나누어서(÷) ◼+0 또는 ◼×1 꼴로 만들어 주어야 한다. ◼+▲=● 라는 등식이 주어졌다면 (양변)에 -▲를 해주어서 ◼+0=●-▲ 꼴로 만들어준다. ◼-▲=● 라는 등식이 주어졌다면 (양변)에 +▲를 해주어서 ◼+0=●+▲ 꼴로 만들어준다. ◼×▲=● 라는 등식이 주어졌다면 (양변)에 ÷▲를 해주어서 ◼×1=●÷▲ 꼴로 만들어준다. ◼÷▲=● 라는 등식이 주어졌다면 (양변)에 ×▲를 해주어서 ◼÷1=●×▲ 꼴로 만들어준다.

등식의 정리

부등호 (inequality) / 부등식 (inequation)

부등호(> 또는 <)는 왼쪽 항과 오른쪽 항이 같지 않고, 한 쪽이 다른 쪽 보다 크거나 작다는 것을 의미한다. ◼ < ●: ◼가 ● 보다 작다. ●가 ◼ 보다 크다. ◼ > ●: ●가 ◼ 보다 작다. ◼가 ● 보다 크다. ◼ > ● 일 때, ◼가 ● 보다 얼마만큼 큰지(●가 ◼ 보다 얼마만큼 작은지)를 알아보려면, ◼-●를 구하면 된다. 이 때, 그 차이가 ▲만큼이라면 “◼-▲=●“ 또는 “●+▲=◼“라는 등식이 성립한다. 좌변과 우변에 똑같은 자연수를 더하거나(+), 빼거나(-), 곱하거나(×), 나누어도(÷) 여전히 부등식은 성립한다.

우리집에 강아지가 3마리 있습니다. 3마리 강아지의 이름은 각각 밀크, 쵸코, 핑키입니다. 핑키는 밀크보다 10살이 더 많습니다. 쵸코는 핑키보다 15살이 더 적습니다. 밀크의 나이가 7살일 때, 쵸코의 나이는 몇 살입니까? 나이가 많은 순서대로 이름을 말해보세요. 나이가 적은 순서대로 이름을 말해보세요. 쵸코는 밀크보다 몇 살이 더 적은가요? 밀크는 쵸코보다 몇 살이 더 많은가요? (핑키 나이) = (밀크 나이) + 10 = 7 + 10 = 17 (쵸코 나이) = (핑키 나이) - 15 = 17 - 15 = 2 핑키(17) > 밀크(7) > 쵸코(2) 쵸코(2) < 밀크(7) < 핑키(17) (밀크의 나이) - (쵸코의 나이) = 7 - 2 = 5 (밀크의 나이) - (쵸코의 나이) = 7 - 2 = 5

수의 분해 (the decomposition of a number)

자연수 끼리 더해서 다른 자연수를 만들 수 있는 조합은 다음과 같다. (1~9 까지만 표기함) ◼=▲+●와 같이 임의의 자연수 ◼는 다른 두 자연수 ▲와 ●의 합으로 표현할 수 있다. 수식을 변형시키는 데에 있어서 목적하는 바에 맞게 자유자재로 수를 분해하여 가지고 놀 수 있어야 한다. 9 1 8 2 7 3 6 4 5 5 4 6 3 7 2 8 1 8 1 7 2 6 3 5 4 4 5 3 6 2 7 1 7 1 6 2 5 3 4 4 3 5 2 6 1 6 1 5 2 4 3 3 4 2 5 1 5 1 4 2 3 3 2 4 1 4 1 3 2 2 3 1 3 1 2 2 1 2 1 1

수의 분해 (the decomposition of a number)

8+7=15가 되는 이유를 수의 분해를 이용하여 알아보자. 8은 10보다 2가 작다. 즉, 8은 10이 되기에는 2가 모자란 수이다. 8이 10이 되려면 7에서 2를 가져오면 된다. 7=2+5로 분해를 하고, 여기에서 나온 2를 8에게 주면 5가 남기 때문에 결과는 15가 된다. 8+7 = 8+(2+5) = 8+2+5 = (8+2)+5 = 10+5 = 15 다른 예들도 살펴보자. 9+8 = 9+(1+7) = 9+1+7 = (9+1)+7 = 10+7 = 17 (9는 1이 모자라기 때문에 8에서 1을 뺀 7이 결과수의 1의 자리 수) 7+9 = 7+(3+6) = 7+3+6 = (7+3)+6 = 10+6 = 16 (7은 3이 모자라기 때문에 9에서 3을 뺀 6이 결과수의 1의 자리 수) 6+6 = 6+(4+2) = 6+4+2 = (6+4)+2 = 10+2 = 12 (6은 4가 모자라기 때문에 6에서 4를 뺀 2가 결과수의 1의 자리 수) 5+7 = 5+(5+2) = 5+5+2 = (5+5)+2 = 10+2 = 12 (5는 5가 모자라기 때문에 7에서 5를 뺀 2가 결과수의 1의 자리 수)

수직선을 이용한 “빼기”의 개념 (“더하기”로 바꿔서 풀기)

11 - 9 = 1 + 1 = 2 : (10에서 오른쪽으로 1 칸) - (10에서 왼쪽으로 1 칸) = 11과 9는 2 칸 만큼 떨어져 있다. 12 - 7 = 2 + 3 = 5 : (10에서 오른쪽으로 2 칸) - (10에서 왼쪽으로 3 칸) = 12와 7은 5 칸 만큼 떨어져 있다. 13 - 8 = 3 + 2 = 5 : (10에서 오른쪽으로 3 칸) - (10에서 왼쪽으로 2 칸) = 13과 8은 5 칸 만큼 떨어져 있다. 14 - 6 = 4 + 4 = 8 : (10에서 오른쪽으로 4 칸) - (10에서 왼쪽으로 4 칸) = 14와 6은 8 칸 만큼 떨어져 있다. 15 - 9 = 5 + 1 = 6 : (10에서 오른쪽으로 5칸) - (10에서 왼쪽으로 1 칸) = 15와 9는 6 칸 만큼 떨어져 있다. 16 - 7 = 6 + 3 = 9 : (10에서 오른쪽으로 6칸) - (10에서 왼쪽으로 3 칸) = 16과 7은 9 칸 만큼 떨어져 있다.

수의 분해 (the decomposition of a number)

3자리 자연수 ◼▲● = ◼×100 + ▲×10 + ●×1 으로 표현할 수 있다. 이렇게 수를 분리하여 생각하면 보다 편리하게 계산을 할 수 있다. 예) 315 + 374 = (300+10+5) + (300+70+4) = (300+300) + (10+70) + (5+4) = 600 + 80 + 9 = 689 1000 100 10 1 568 585 1153 수 모형

곱하기는 동일한 수를 여러 번 더하는 것을 의미한다. 즉, 곱하기는 묶어세기의 의미를 가진다. 수직선 상에서는 동일한 칸 수 만큼씩 오른쪽으로 건너 뛰는 것을 의미한다. 예) 2개씩 5묶음: 2+2+2+2+2=10. 이를 곱하기 연산 기호 ×를 이용하여 2×5=10과 같이 표기한다. 2개씩 5묶음과 같은 예는 그림을 그리거나 2를 5번 더해서 비교적 간단하게 계산할 수 있지만 100 묶음, 1000 묶음과 같이 수가 커지면 주어진 시간 내에 더하기로만 계산을 하는 것이 사실상 불가능하기 때문에 곱셈이라는 개념을 도입하여 사용하면 편리하다. 2~9까지 두 자연수 사이의 곱셈은 자주 사용되기 때문에 구구단을 외우면 쉽고 빠르게 곱셈의 결과를 얻을 수 있다.

곱하기 (multiplication)

▲ ▲+1×● ● ● ● ▲+2×● ▲+◼×● ◼×●

!

●만큼씩 ◼번 점프

약수 (divisor) / 공약수 / 최대공약수

약수: 어떤 정수의 약수는 그 수를 나눌 수 있는 정수들 공약수: 두 수의 공통된 약수들 최대공약수: 두 수의 공약수들 중에서 제일 큰 수 8의 약수 12의 약수 1 2 4 8 3 6 12

배수: 어떤 정수의 배수는 그 수에 정수를 곱한 정수들 공배수: 두 수의 공통된 배수들 최소공배수: 두 수의 공배수들 중에서 제일 작은 수

배수 (multiple) / 공배수 / 최소공배수

3의 배수 4의 배수 12 24 36 48 … 3 6 9 12 15 18 21 24 27 30 … 4 8 12 16 20 24 28 32 36 40 … 두 수의 최소공배수는 두 수의 공배수의 배수이다.

최대 공약수 / 최소 공배수를 구하는 방법

(단, 소수를 사용할 것)

24 = 2 × 2 × 3 × 2 36 = 2 × 2 × 3 × 2

◼, ▲, ●가 모두 자연수(즉, ◼, ▲, ● = 1, 2, 3, …)이고 ◼=▲×● 일 때 ◼, ▲, ● 중에서 가장 큰 수는 ◼ 이다. (즉, ◼>▲, ◼>●) 곱셈끼리는 순서에 상관없기 때문에 ◼=●×▲ 이기도 하다. 이때 ◼는 ▲로 나누어 떨어지고, ●로도 나누어 떨어진다. (배수, 약수: 나누어 떨어지는 수. 즉, 나머지=0) 즉, ◼는 ▲의 배수이자, ●의 배수이다. ◼는 ▲와 ●의 공통된 배수이므로, ◼는 ▲와 ●의 공배수이다. 또한, ▲와 ●는 ◼의 약수이다. 즉, ◼가 ▲나 ●의 배수(또는, ▲나 ●가 ◼의 약수)이면 ◼=▲×●와 같이 나타낼 수 있다. 공약수들 중에서 가장 큰 공약수를 최대공약수, 공배수들 중에서 가장 작은 공배수를 최소공배수라고 한다.

약수 / 공약수 / 최대공약수 / 배수 / 공배수 / 최소공배수

두 등대가 깜빡이고 있습니다. A 등대는 4초 동안 켜지고 2초 동안 꺼지기를 반복합니다. B 등대는 5초 동안 켜지고 3초 동 안 꺼지기를 반복합니다. 두 등대가 동시에 켜진 뒤 다음번에 다시 동시에 켜지는 것은 몇 초 뒤입니까? A 등대의 한 주기=4+2=6, B 등대의 한 주기=5+3=8. 즉, 6과 8의 최소공배수인 24초. 이때 10분 동안 동시에 켜져있는 시간은 총 몇 초입니까? 공통 주기 24초 동안 동시에 켜져있는 시간을 알아보자. A 등대: B 등대: 그림에서와 같이 24초 동안 동시에 켜져 있는 시간은 10초이다. 그런데, 10분=600초 이므로, 10분 동안 총 25번(600÷24=25)의 공통 주기가 반복된다. 따라서, 답은 10×25=250초.

두 개의 톱니바퀴 A와 B가 맞물려 돌아가고 있습니다. A 톱니바퀴의 수는 24개, B 톱니바퀴의 수는 36개입니다. 처음에 맞물 렸던 톱니가 다시 같은 자리에서 만나려면 각 톱니바퀴는 몇 바퀴 씩 돌아야 합니까? 24과 36의 최소공배수는 72. 따라서, 72=24×3, 72=36×2이므로, A 톱니바퀴는 3번, B 톱니바퀴는 2번 돌아야 합니다. 가로가 45 cm, 세로가 27 cm인 직사각형이 있습니다. 1) 이 직사각형을 여러 개 사용하여 가장 작은 정사각형을 만들 때, 필요한 벽돌의 개수는 몇 개 입니까? 45와 27의 최소공배수는 135. 그런데, 135=45×3, 135=27×5 이므로, 가로축에 필요한 개수는 3개, 세로축에 필요한 개수는 5개입니다. 따라서, 총 필요한 개수는 3×5=15개 입니다. 2) 이 직사각형 안에 가장 큰 정사각형을 만들 때, 총 몇 개의 정사각형을 만들 수 있을까요? 45와 27의 최대공약수는 9. 그런데, 45=9×5, 27=9×3 이므로, 가로축에 5개, 세로축에 3개의 정사각형을 만들 수 있습니다. 따라서, 총 5×3=15개의 정사학형을 만들 수 있습니다.

0보다 큰 약수가 1과 자기 자신만 있는 자연수를 소수라고 한다. (단, 1은 제외) 즉, ◼가 소수이면, ◼를 표현할 수 있는 곱셈은 1×◼ (또는 ◼×1)이 유일하다. 100보다 작은 소수를 열거하면 다음과 같다. 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53, 59, 61, 67, 71, 73, 79, 83, 89, 97 당연히 소수는 구구단에서 나타나지 않는다. (구구단 ◼단은 ◼의 배수들이기 때문) (단, ◼단에서 ◼×1은 제외) 따라서, 주어진 수가 소수인지 아닌지를 찾는 빠른 방법 중 하나는 구구단에서 봤던 수 인지 아닌지를 판별하는 것이다. 두 소수 끼리의 최소 공배수는 두 수를 곱한 수가 된다. 예) 매미는 산란 후 13년 또는 17년 후에 성충이 되는데, 13과 17은 모두 소수이다. 따라서, 주기가 다른 두 매미종은 221(=13×17)년 만에 한 번씩 만나게 된다. 이는 서로의 경쟁이 최소화됨을 의미한다.

소수 (prime number)

◼, ▲, ●가 모두 자연수(즉, ◼, ▲, ● = 1, 2, 3, …)이고 ◼=▲×● 일 때 ◼, ▲, ● 중에서 가장 큰 수는 ◼ 이다. (즉, ◼>▲, ◼>●) ◼=▲×●의 양변에 ÷▲를 하면, ◼÷▲=▲×●÷▲=▲÷▲×●=(▲÷▲)×●=1×●=●. 즉, ◼÷▲=●이 된다. ◼=▲×●의 양변에 ÷●를 하면, ◼÷●=▲×●÷●=▲×(●÷●)=▲×1=▲. 즉, ◼÷●=▲이 된다. 이 때, ◼는 ▲ 또는 ●로 나누어 떨어진다라고 말한다. 또한, ◼는 ▲의 배수이자 ●의 배수이므로, ◼는 ▲와 ●의 공배수이다. 즉, ▲는 ◼의 약수이며, ● 또한 ◼의 약수이다.

나누기 (division)

◼, ▲, ●가 모두 자연수(즉, ◼, ▲, ● = 1, 2, 3, …)이고, ◼>▲, ◼>●라고 하자. “◼를 ▲로 나누었을 때 (즉, ◼를 ▲만큼씩 묶어 세었을 때) ●개의 묶음을 만들고 ★만큼이 남았다.”는 문장은 “◼÷▲=●…★”과 같은 수식으로 표현할 수 있다. 이때, “◼: 나누어지는 수, ▲: 나누는 수, ●: 몫, ★: 나머지”라고 부른다. ★=0일 때 (나머지가 0일 때), ◼가 ▲ 또는 ●로 나누어 떨어지는 경우이다. “◼÷▲=●…★”은 “◼=●×▲+★”로 바꾸어 쓸 수 있다. “◼=●×▲+★”의 양변에 -★을 하면, “◼-★=●×▲”라는 등식을 얻을 수 있다. 따라서, ◼-★는 ●와 ▲의 공배수이다.

나머지 (remainder)

분수 (fraction)

분수란 일정한 양을 고르게 몇으로 나눌 때 발생하는 수이다. 분모: 몇 조각으로 나누었는가? 분자: 그 중에서 몇 조각 인가?

분모

분자

=

등분한 개수

조각의 개수

1

2

1

4

4

6

다음 그림에서 가장 큰 정사각형의 면적이 1일 때 색칠되어 있는 삼각형의 면적을 구하시오.

32개로 등분한 조각들 중 하나이므로 답은

삼각형의 넓이 공식을 몰라도 분수의 개념만으로 넓이를 훨씬 쉽고 빠르게 구할 수 있다.

1

32

분수의 종류

진분수: (분자) < (분모) 인 분수. 예) 1/2, 2/3, 3/4, 2/7, … 가분수: (분자) > (분모) 인 분수. 예) 3/2, 5/4, 7/2, … 대분수: 가분수를 자연수+진분수 꼴로 나타내는 분수. 예) 3/2 = 1 1/2 기약분수: (분모)와 (분자)의 공약수가 1 밖에 없는 분수. 더 이상 약분이 불가능한 분수. 예) 1/2, 2/3, 2/5, 5/7, … 단위분수: (분자)=1인 분수. 전체를 똑같이 나눈 것 중의 하나를 나태내는 분수. 예) 1/2, 1/3, 1/4, 1/5, … 역분수: (분자)와 (분모)를 서로 바꾼 분수.

분수의 크기 비교

분모가 같은 진분수는 분자가 클수록 크다. 예) 1/3 < 2/3 분자가 같은 진분수는 분모가 작을수록 크다. 예) 1/2 > 1/3 ◼에 알맞은 자연수를 모두 구하시오. 1/4 < ◼/10 < 2/3 분자를 모르기 때문에 분모를 통일시킨다. 위의 식은 15/60 < (6×◼)/60 < 40/60 이 된다. (4,10,3의 최소공배수: 60) 즉, 15 < 6×◼ < 40인 관계식을 얻을 수 있고, 1 부터 차례대로 대입해보면 ◼=3,4,5,6이 가능하다. ◼에 알맞은 자연수를 모두 구하시오. 4/9 < 2/◼ < 3/4 분모를 모르기 때문에 분자를 통일시킨다. 위의 식은 12/27 < 12/(6×◼) < 12/16 이 된다. (4,2,3의 최소공배수: 12) 즉, 27 > 6×◼ > 16인 관계식을 얻을 수 있고, 1 부터 차례대로 대입해보면 ◼=3,4가 가능하다.

크기가 같은 분수

분수의 통분

(분모)와 (분자)에 똑같은 값은 곱하거나(×), 나누어도(÷) 동일한 분수가 된다. (분모)와 (분자)에 똑같은 값을 곱한다(×)는 것은 각 칸을 곱하는 수 만큼 등분한다는 것을 의미한다. 1/3 2/6 (분모)가 서로 다른 두 개의 분수를 더하거나(+), 빼려면(-) (분모)를 같은 수로 만들어주는 과정이 필요하며 이를 통분이라고 한다. ×2 ▲ ◼ ● ★ = _⇔ ▲×●=★×◼

분수의 통분

방법1) 분모의 곱을 공통분모로 하여 통분하기: (1/6, 2/9) ⇒ (1×9/6×9, 2×6/9×6) ⇒ (9/54, 12/54)

방법2) 분모의 최소공배수를 공통분모로 하여 통분하기: (1/6, 2/9) ⇒ (1×3/6×3, 2×2/9×2) ⇒ (3/18, 4/18)

분수식의 정리

◼×－=★는 ◼에 ●를 곱한 후에 ▲로 나누면 ★이 된다는 의미이다. 즉, 분자는 곱하기의 의미를, 분모는 나누기의 의미를 가진다. 이 때, 양변에 ▲를 곱하면, ◼×●=★×▲와 같은 식이 된다. 분수가 있는 등식보다 이 등식을 다루는 것이 보다 쉽다. 원래 식의 양변에 역분수인 －를 곱하면 ◼×－×－=★×－, 즉 ◼=★×－와 같은 등식이 된다. ◼÷●=－÷－=－×－=－ ● ▲ ● ▲ ● ▲ ● ▲ ● ▲ =◼×1=◼ 약분 ● ▲ ◼ 1 ● 1 ◼ 1 ● 1 ● ◼ ◼÷●는 ◼를 ●명이 나누어 갖는다는 뜻이므로, 분수의 －와 의미가 동일하다. ● ◼ 따라서, ÷●를 ×－로 바꾸어 쓸 수 있다. ● 1

분수와 소수

지금까지는 정수만 다루었기 때문에 수직선 상에서 0 부터 1의 간격으로 떨어져 있는 눈금들만 생각했는데, 사실 서로 다른 두 정수들 사이에도 수 많은 수들이 존재한다. 0과 1사이를 5칸으로 나누었을 때 이 중 처음 두 칸의 크기를 나타내는 수로 2/5라는 분수를 사용한다. 이 숫자는 0과 1사이를 10칸으로 나누었을 때 이 중 처음 네 칸의 크기를 나타내는 수와 동일한 지점을 나타내므로 2/5는 4/10 = 0.4라는 소수와 동일한 수이다.

소수는 분모가 10의 배수인 분수를 나타내는 방법이다. (인간은 10진법에 익숙하므로…) 1/10=0.1, 1/100=0.01, 1/1000=0.001, 1/10000=0.0001, … 표기의 편의성 때문에 분수 보다는 소수로 수식을 표현하는 경우가 많다. 이 중에서 가장 많이 사용하는 것은 분모가 100인 경우이다. 10등분 한 것 중 (분자)개로 표기하면 칸 수가 너무 적어서 간단한 것 밖에 나타내지 못하고 1000등분 한 것 중 (분자)개로 표기하면 칸 수가 너무 많아서 대략 어느 정도인지 직관적으로 알기 힘들기 때문이다. 1보다 작은 수를 분수로 표기할 때 (분모)가 제각각이면 크기 비교가 쉽지 않으므로 분모를 100으로 통일하여 0.xx와 같은 소수로 표기하는 경우가 많다.

분수와 소수

분수와 소수의 변환

－ = 0. (단, 0<●<10) 예) －= 0.1, －= 0.3, －= 0.5 ◼－ = _◼. (단, 0<●<10) 예) 1－= 1.1, 3－= 3.3, 2－= 2.5 0.1 = 1/10 0.01 = 1/100 0.001 = 1/1000 ● 10 ● ● 10 ● 10 1 10 3 10 5 10 1 10 3 10 5 0.001 0.01 0.1 1 10 100 x10 ÷10 또는 x1/10 x10 ÷10 또는 x1/10 x10 ÷10 또는 x1/10 x10 ÷10 또는 x1/10 x10 ÷10 또는 x1/10

분수와 소수의 곱셈

◼ × ▲ = ●

0<▲<1 일 때, ◼ > ●: 0보다 크고 1보다 작은 분수나 소수를 곱하면 원래의 수 보다 작아진다. 예) 1 × 0.7 = 0.7

한 시간에 70.5 km의 빠르기로 달리는 자동차가 있습니다. 이 자동차로 1 km를 달리는 데 0.1 L의 휘발유가 든다면, 3시간 15분 동안 달리는 데 드는 휘발유의 양은 몇 L입니까? 3시간 15분 = 3시간 + 1/4시간 = 13/4시간 = 3.25시간 3시간 15분 동안 자동차가 달린 거리: 70.5 km/시간 × 3.25 시간 = 70.5 × 3.25 km 소모되는 휘발유의 양: ( 70.5 × 3.25 km ) × 0.1 L/km = 70.5 × 3.25 × 0.1 L = 22.9125 L 두 시간에 90.1 km의 빠르기로 달리는 자동차가 있습니다. 이 자동차로 10 km를 달리는 데 1.2 L의 휘발유가 든다면, 4시간 45 분 동안 달리는 데 드는 휘발유의 양은 몇 L입니까? 4시간 45분 = 4시간 + 3/4시간 = 19/4시간 = 4.75시간 자동차의 속력: 2시간 동안 90.1 km의 빠르기 이므로, 1시간 동안 45.05 km의 빠르기 4시간 45분 동안 자동차가 달린 거리: 45.05 km/시간 × 4.75 시간 = 45.05 × 4.75 km 자동차의 연비: 10 km를 달리는 데 1.2 L가 소모되므로 1 km를 달리는 데 0.12 L가 소모됨 소모되는 휘발유의 양: ( 45.05 × 4.75 km ) × 0.12 L/km = 45.05 × 4.75 × 0.12 L = 25.6785 L 날두는 용돈으로 6천원을 받았습니다. 이 용돈의 0.25 만큼으로 아이스크림을 사 먹고 남은 용돈의 0.37 만큼으로 초콜릿을 사 먹었 습니다. 그런데, 집에 오는 길에 남은 용돈의 0.42 만큼에 해당하는 돈을 주웠습니다. 남은 용돈을 얼마입니까? 6000 × (1-0.25) × (1-0.37) × (1+0.42) = 6000 × 0.75 × 0.63 × 1.42 = 4025.7 (원)

차원 (dimension)

점 선 평면도형 입체도형 위치 길이 넓이 부피

평면도형 (plane figure) / 다각형 (polygon)

도형은 점, 선, 면으로 이루어진 어떠한 모양을 말한다. (점은 크기가 없고, 선은 폭이 없으며, 면은 두께가 없는 것을 말한다.) 이때 도형을 이루는 선분을 ‘변’이라고 하고, 변과 변이 만나는 점을 ‘꼭지점’이라고 한다. 도형 중에서 평면 상에 존재하는 도형을 평면도형이라고 한다. (즉, 평평한 종이 위에 그릴 수 있는 모든 도형) 평면도형은 닫힌도형과 열린도형으로 나뉜다. 닫힌도형은 시작점과 끝점이 같은 평면도형을 말하고, 열린도형은 시작점과 끝점이 다른 평면도형을 말한다. 닫힌도형은 변으로 둘러싸여 있어서 안과 밖의 구분이 가능하기 때문에 넓이가 존재한다. 닫힌도형 중에서 여러 개의 점과 선을 가지는 평면도형을 다각형이라고 한다.

선분 (segment) / 반직선 (ray) / 직선 (line)

선분: 두 점을 곧게 이은 선

반직선: 한 점에서 한쪽으로 끝없이 늘인 곧은 선 직선: 두 점의 양쪽으로 끝없이 늘인 곧은 선

각도 (angle)

한 점에서 그은 두 반직선 사이의 벌어진 정도를 각도라 한다.

삼각형 (triangle)

3개의 선분으로 둘러싸인 평면도형을 삼각형이라고 한다. 즉, 삼각형은 3개의 선분과 3개의 꼭지점을 가진다. 삼각형의 세 각의 합은 180°이다. 삼각형의 종류 1. 이등변삼각형: 두 변의 길이가 같은 삼각형 2. 정삼각형: 세 변의 길이가 모두 같은 삼각형 (즉, 모든 각의 크기는 60°=180°÷3) 3. 직각삼각형: 한 각의 크기가 직각인 삼각형 4. 둔각삼각형: 한 각이 둔각인(직각보다 큰) 삼각형 5. 예각삼각형: 세 각이 모두 예각인(직각보다 작은) 삼각형 즉, 정삼각형은 이등변삼각형이지만, 이등변삼각형은 정삼각형이 아닐 수도 있다. 삼각형이 중요한 이유: 모든 평면 도형의 1개 이상의 삼각형들을 이용하여 분할할 수 있다. 즉, 삼각형을 잘 이해하면 모든 평면도형을 이해할 수 있기 때문이다. ◼ ● ▲ ◼+▲+●=180° ◼ ▲ ● [방법3]

사각형 (quadrangle)

4개의 선분으로 둘러싸인 평면도형을 사각형이라고 한다. 즉, 사각형은 4개의 선분과 4개의 꼭지점을 가진다. 사각형의 네 각의 합은 360°이다. (하나의 사각형은 2개의 삼각형으로 분할할 수 있기 때문에 180°×2) 사각형의 종류 1. 마름모: 네 변의 길이가 모두 같은 사각형 2. 사다리꼴: 평행한 변이 한 쌍 있는 사각형 3. 평행사변형: 마주 보는 두 쌍의 변이 모두 평행한 사각형 4. 직사각형: 네 각이 모두 직각인 사각형 5. 정사각형: 네 변의 길이가 모두 같은 직사각형 사다리꼴 평행사변형 마름모 정사각형 직사각형 사각형

직육면체 (cuboid)

직사각형 모양의 면 6개로 둘러싸인 입체 도형

- 면: 선분으로 둘러싸인 부분 (평평하고 납작한 느낌) [6개]

- 모서리: 면과 면이 만나는 부분 (날카로운 선을 만지는 느낌) [12개]

직육면체 전개도

모서리와 꼭지점의 대응 관계

총 11개의 전개도가 있음

어떤 정육면체를 수직으로 반만 잉크통에 담궈 모든 면을 종이에 찍었을 때 그 도형들의 둘레의 길이를 모두 합하면 얼마 입니까? (단, 가로, 세로, 높이는 60cm이고 면들은 모두 따로따로 떨어져 있다.) = 60×12 + 30×8 = 720 + 240 = 960 cm 다음 그림에서 맞닿은 두 면의 눈의 합이 8일 때 ?면에 들어갈 눈의 개수는? (단, 서로 평행한 면에 쓰여진 눈의 개수의 합 은 7이다.) 1 6 2 5 3 4 4 3 1₆ 2 5 3 4 ?

가로 10개, 세로 5개, 높이 3개의 정육면체로 이루어져 있는 직육면체가 있다. 1) 정육면체의 보이지 않는 면의 개수는 모두 몇개입니까? = 9×5+8×4+10×5 (1층) + 10×5×2 (2층) + 9×5+8×4+10×5 (3층) = 354 2) 한 면도 보이지 않는 정육면체의 개수는 몇개입니까? = 8×3 = 24 (2층 안쪽에 있는 정육면체의 개수) 3) 한 면이 보이는 정육면체의 개수는 몇개입니까? = 8×3 (1층 안쪽) + 8+8+3+3 (2층 가장자리) + 8×3 (3층 안쪽) = 70 4) 두 면이 보이는 정육면체의 개수는 몇개입니까? = 8+8+3+3 (1층 가장자리) + 4 (2층 모서리) + 8+8+3+3 (3층 가장자리) = 48 5) 세 면이 보이는 정육면체의 개수는 몇개입니까? = 8 (1층과 3층의 꼭지점에 있는 정육면체의 개수) 3층 2층 1층

다음과 같은 직육면체의 겨냥도에서 보이지 않는 모든 모서리들의 길이의 합은 12입니다. 이 때, 이 직육면체의 모든 모서 리들의 길이의 합은 얼마입니까?

세 모서리의 길이를 각각 ㄱ, ㄴ, ㄷ 이라고 하면, ㄱ+ㄴ+ㄷ=12.

시간 (time)

시각과 시각 사이의 간격을 수치적(정량적)으로 나타내는 것 단위: 초, 분, 시. 1분 = 60초 1시간 = 60분 따라서, 1시간 = 60 × 60초 = 3600 초 일, 년, 세기 또한 시간의 단위로 사용한다. 1일 = 24시간 = 1440분 (=24 × 60분) = 86400초 (=1440 × 60초) 1년 = 365일 = 8760시간 (=365 × 24시간)= 31536000초 (=8760 × 3600초)

시계 보는 법

작은 바늘: 시 (한 바퀴 12시간 = 반나절) 큰 바늘: 분 (한 바퀴 60분 = 1시간) 가는 바늘: 초 (한 바퀴 60초 = 1분) 큰 바늘: 5분 작은 바늘: 1시간 가는 바늘: 5초 10시 9분 37초

다양한 단위(unit)를 사용하는 이유

다루는 상황들 마다 숫자의 크기가 천차만별이기 때문. 예를 들면, 지하철 역 사이의 거리를 측정할 때 적절한 거리의 단위는 km 이다. (4 km) 만약 이 때 cm나 mm를 단위로 사용하게 된다면 너무나 큰 숫자가 사용된다. (400000 cm 또는 4000000 mm) 이렇게 되면 숫자를 읽고 쓰는 것이 비직관적이고 불편하기 때문에 연산을 할 때에 실수할 가능성도 높아진다. 반대로, 연필의 길이를 측정할 때 적절한 길이의 단위는 cm 이다. (10 cm) 만약 이 때 m나 km를 단위로 사용하게 된다면 너무나 작은 숫자가 사용된다. (0.1 m, 0.0001 km) 별들 사이의 거리를 나타낼 때에는 km도 부적합하기 때문에 광년(light year: 빛이 1년 동안 진행하는 거리)이라는 거리 단위를 사용한다. 나이 85세 = 85년 = 31025일 = 744600시간 = 44676000분 = 2680600000초 : 나이로 사용하는 단위로 “년(year)” 대신 “초(seconde)”를 사용한다면 어떻게 될까?

길이 (length) 또는 거리 (distance)

얼마나 길고 짧은지(또는 멀고 가까운지)를 수치적(정량적)으로 나타내는 것 (1차원 물리량) 단위: mm, cm, m, km 1 m로 작은 것들의 길이를 측정하기에 불편하기 때문에 더 작은 단위가 필요하게 되었다. 그래서, 1 m를 100칸으로 나눈 1 cm, 또 1 cm를 10칸으로 나눈 1 mm를 사용하게 되었다. 또한, 1 m로 측정하기 어려운 너무 긴 물체를 위해 1 m를 1000개 모아 1 km라고 약속하였다. 1 cm = 10 mm, 1 mm = 0.1 cm (1 mm가 10개가 모이면 1 cm가 된다. 1 cm 안에는 1 mm가 10개가 있다.) 1 m = 100 cm, 1 cm = 0.01 m (1 cm가 100개가 모이면 1 m가 된다. 1 m 안에는 1 cm가 100개가 있다.) 1 km = 1000 m, 1 m = 0.001 km (1 m가 1000개가 모이면 1 km가 된다. 1 km 안에는 1 m가 1000개가 있다.) 1 m = 100 cm = 100 × 10 mm = 1000 mm (1 mm가 1000개가 모이면 1 m가 된다.) 1 km = 1000 m = 1000 × 100 cm = 100000 cm (1 cm가 10000개가 모이면 1km가 된다.)

넓이, 면적 (area)

얼마나 넓고 좁은지를 수치적(정량적)으로 나타내는 것 (2차원 물리량) 단위: mm2, cm2, m2, km2 (2차원의 각 방향으로 단위 길이만큼 있다는 뜻) 약속) 1 cm2 _{≡ 가로 1 cm × 세로 1 cm 인 넓이} : 가로 방향 1 cm인 선분이 세로 방향으로 1 cm 만큼 있다는 의미 (묶음=곱하기) 1 m2 _{= 1 m × 1 m = 100 cm × 100 cm = 10000 cm}2 1 km2 = 1 km × 1 km = 1000 m × 1000 m = 1000000 m2 ≡ 1 cm2 = 100 mm2 = 4 cm 2 cm = 1 cm2 × 8개 = 8 cm2 약속 : 1 cm2 _{인 단위 정사각형이} 가로 방향으로 4개씩 세로 방향으로 2 묶음 있다.

삼각형의 넓이 (the area of a triangle)

= = ₊ = 1 ₊ 2 ⎛ ⎝ ⎜ ⎜ ⎜ ⎞ ⎠ ⎟ ⎟ ⎟ = 12 = 1 2 = a × b cm2 = 1 2 × a × b cm 2 a b = = = 직사각형 평행사변형 직각삼각형 이등변삼각형 일반 삼각형

1

2

삼각형의 넓이 = × 밑변의 길이 × 높이

a b 세 삼각형의 넓이는 모두 같다.

30˚ 30 cm 세 마름모 넓이의 합을 구하시오. 색칠된 부분의 넓이를 구하시오. 4 cm 4 cm 색칠된 부분의 넓이를 구하시오. 20 cm 20 cm _{20 cm} 20 cm ㄱㄹ:ㄹㄷ=3:2, ㄴㅁ:ㅁㄷ=4:5일 때 사각형 ㄱㄴㅁㄹ과 삼각형 ㄹㅁㄷ의 넓이비를 구하시오. ㄱ ㄴ _{ㅁ ㄷ} ㄹ

삼각분할 (triangulation)

사다리꼴의 넓이 (the area of a trapezoid)

1 2 ⎛ ⎝ ⎜ ⎜ ⎜ ⎞ ⎠ ⎟ ⎟ ⎟ = a h b a + b 평행사변형 = 1 2 × (a + b) × h

1

2

사다리꼴의 넓이 = × (아랫변의 길이 + 윗변의 길이) × 높이

10 cm 6 cm 20 cm 16 cm ㄱ ㄴ ㄷ ㄹ 사다리꼴 ㄱㄴㄷㄹ의 넓이를 구하시오. 사다리꼴 ㄱㄴㄷㄹ의 넓이를 구하려면 높이 ㄷㄹ을 알아야 한다. 그런데, 삼각형 ㄱㄴㄹ의 넓이 구하는 방법이 두 가지가 있다. 1) 20 × 6 ÷ 2 = 60 2) 10 × ㄷㄹ ÷ 2 따라서, 10 × ㄷㄹ ÷ 2 = 60 이므로, 높이 ㄷㄹ은 12 이다. 이제, 사다리꼴 ㄱㄴㄷㄹ의 넓이를 구할 수 있게 되었다. (16+10) × 12 ÷ 2 = 156 cm2

마름모의 넓이 (the area of a rhombus)

= = a b a b 2 = 1 2 × a × b

1

2

마름모의 넓이 = × 첫번째 대각선 길이 × 두번째 대각선 길이

원 (circle)

한 점(중심점)으로 부터 같은 거리(반지름)에 있는 점들의 집합 따라서, 컴퍼스로 원을 그릴 수 있다.

원주율 (圓周率), 원의 넓이

원주율: ratio of the circumference of a circle to its diameter 원주율 (𝛑) ≡ 원주 길이 / 원의 지름 =

둘레 길이 = 2𝛑r 원의 넓이 = 𝛑r2

부피, 체적 (volume)

얼마나 많은지 적은지를 수치적(정량적)으로 나타내는 것 (3차원 물리량) 단위: mm3, cm3, m3, km3 (3차원의 각 방향으로 단위 길이만큼 있다는 뜻) 약속) 1 cm3 _{≡ 가로 1 cm × 세로 1 cm × 깊이 1 cm 인 부피} : 수평 방향 1 cm2인 선분이 높이 방향으로 1cm 만큼 있다는 의미 (묶음=곱하기) 1 m3 _{= 1 m × 1 m × 1 m = 100 cm × 100 cm × 100 cm = 1000000 cm}3 1 L (리터) = 10 cm × 10 cm × 10 cm

= 2 × 4 cm

(

2

)

× 3cm = 24 cm

3 약속

질량 (mass)과 무게 (weight)

얼마나 무겁고 가벼운지를 수치적(정량적)으로 나타내는 것 단위: g, kg, ton 1 g = 1 cm3_{의 정육면체를 가득 채운 4}℃ 증류수의 질량 무게는 어느 별에서 측정하는 지에 따라서 달라지지만, 질량은 불변이다. (무게는 별이 잡아 당기는 정도) ex) 달에 가면 몸무게가 1/6 정도 가벼워진다. 그러나 질량은 변하지 않는다. 1 kg = 1000 g (10 cm × 10 cm × 10 cm 인 정육면체를 가득 채운 4℃ 증류수의 질량) 1 ton = 1000 kg (10 m × 10 m × 10 m 인 정육면체를 가득 채운 4℃ 증류수의 질량) 120 kg 20 kg

두려움 또는 공포심이란 나에게 어떠한 영향을 미칠 수 있는 대상을 내가 마음대로 제어할 수 없을 때 드는 마음의 상태라고 볼 수 있다. 그럼 재미란 무엇인가? 나에게 공포를 유발하는 대상에 대한 제어권을 확보했을 때 생기는 감정이라고 볼 수 있다. 예를 들면, 처음 스노우 보드를 탈 때 조금만 속력이 빨라지면 죽거나 다칠 것 같은 생각이 들고 무섭지만, 경험이 쌓여 방향과 속력을 자유자재로 제어할 수 있게 되면 큰 재미를 느끼게 된다. 이는 대부분의 분야에서 동일하게 나 타나는 현상이며 수학 또한 마찬가지라고 볼 수 있다. (물론 수학 공부가 스노우보드를 타는 것 만큼 재미있지는 못하다.) 수학은 약속으로 부터 출발한다. 대전제가 되는 약속인 정의를 바탕으로 정리를 만들고 이것들을 서로 논리적으로 연결하고 차곡차곡 쌓아 올려서 거대한 산을 만 든다. 그리고, 나중에는 물리 등의 학문과 연결이 되면서 더 큰 영역으로 사고의 폭이 확장된다. 이 과정에서 하나하나의 단계는 자그마한 조각에 지나지 않지 만, 이를 간과하여 각 단계를 충실하게 이해하고 넘어가지 못하면 중간중간에 구멍들이 생기게 되며, 이는 나중에 거대한 구조물을 쌓아 올렸을 때 크랙(crack) 의 시발점으로 작용하여 그 구조물을 순식간에 무너뜨리게 되는 치명적인 요인으로 작용하게 된다. 수학 또한 다른 과목들과 마찬가지로 암기가 바탕이 되어야 한다. 하지만, 수학을 공부한 후에 머리 속에 남아 있어야 하는 것은 굉장히 간단한 사실 몇 가지들 뿐이어야 한다. 머리 속은 항상 가볍게 유지되어야 한다. 세상의 모든 문제에 대한 풀이 과정을 암기하여 살아갈 수는 없는 노릇이다. 이해를 바탕으로 고도로 체 계화되고 조직화된 기본 지식들을 머리 속에 간직한 채로 문제들을 만나야 하며, 문제 풀이에 필요한 지식들을 하나씩 끄집어 내어 퀴즈 문제를 풀듯이 해결할 수 있는 문제 해결 능력을 갖추고 있어야 한다. 이것이 바로 창의력이다. 수학 문제의 해결 능력은 많은 문제를 풀면 자연스럽게 얻게 될 수도 있지만, 대부분의 경 우 머리 속에 기본 개념이 확고히 자리 잡고 있지 못하다면 아무리 문제를 많이 풀어봐야 사상누각(沙上樓閣)에 지나지 않게 된다. 많은 사람들이 개념에 대한 확실한 이해 없이 마음이 급한 나머지 문제 풀이에만 신경쓰며 수학 공부를 하게 된다. 개념에 대한 확실한 이해 없이 공부를 하게 되면 언젠가는 앞에서 말한 것과 같은 심각한 사태를 만나게 될 것이다. 개념의 확실한 이해는 초등학교 과정에서 부터 차근차근 쌓아 올라가야 한다. 이를 위해서는 문제 풀이와 병행하여 반복적으로 참고할 수 있는 개념서가 반드시 필요하지만 내 마음에 드는 개념서를 찾는 것은 실패하였다. 그리하여 직접 개념 서를 만들어 보기로 결심하게 되었고 다음과 같은 자료를 만들게 되었다. 초등학교 6년 동안 배우는 양이 매우 많은 것 같지만 막상 정리를 해 보니 채 수 십 페이 지 정도에 지나지 않았다. 부디 내 두 딸에게 큰 도움이 되어 수학을 두려워 하지 않는 인재로 성장하길 바란다. – 잠실 최자매 아비 –