함수의 그래프 05

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(1)2. 도함수의 활용 미분법을 발견하는 수준과 마찬가지로. 01. 사랑하는 것도 재능의 수준을 뛰어넘어. 접선의 방정식. 천재성의 수준까지 다다를 수 있다. 02. 평균값 정리. (출처: (BKEBNTDILP, /., 『5IFPSFUJDBM $PODFSOT: 7ZHPUTLZ PO *NBHJOBUJPO %FWFMPQNFOU』). 03. 함수의 증가와 감소, 극대와 극소 04. 함수의 그래프 05. 방정식과 부등식에의 활용 용 06. 속도와 가속도. 비고츠키 7ZHPUTLZ, -. 4., ~. 옛 소련의 심리학자. 이 글은 비고츠키가 인간의 행동 발달에서 감성이 중요함을 강조하며 한 말이다. 그는 년 정도의 짧은 연구 기간 동안 탁월한 업적을 남기고 사망했기 때문에 ‘심리학계의 모차르트’라고 불린다.. 72. Ⅱ. 다항함수의 미분법.

(2) 접선의 방정식 학습 목표. 접선의 방정식. 접선의 방정식을 구할 수 있다.. 준비 하기. 점 을 지나고 기울기가 인 직선 의 방정식을 구하시오.. 생각 열기. 오른쪽 그림은 곡선 ZY 위의. y=x@-3 y. l. 점 에서의 접선 M을 그린 것이다. 1 2. 1. 접선 M의 기울기를 구해 보자.. x. O. 접선 M의 방정식을 구하는 방법에 대하여. -2. 말해 보자.. -3. 곡선 Z G Y 위의 점 B, G B. 에서의 접선의 방정식을 미분계수를 이용하여 구해 보자. 함수 G Y 가 YB에서 미분가능할 때, 다가 서기. 년 월 일에 발사된 우리나. 의 접선의 기울기는 YB에서의 미분계수. 단형 발사체로, 단 로켓이 분리되. G B 와 같다.. 아온 경로의 접선 방향으로 계속 상 승한다. 이 접선 방향은 미분을 이용하여 접선의 기울. y=f{x}. 곡선 ZG Y 위의 점 1 B, G B. 에서. 라 최초의 우주 발사체인 나로호는 어 떨어지는 순간에 단 로켓은 날. y. 즉, 곡선 ZG Y 위의 점 1 B, G B. f{a}. O. P{a,`f{a}}. a. x. 에서의 접선은 점 1를 지나고 기울기가. G B 인 직선이다. 따라서 구하는 접선의 방정식은. 기를 구해 알 수 있다.. ZG B G B YB. 이다. 이상을 정리하면 다음과 같다. 접선의 방정식 함수 G Y 가 YB에서 미분가능할 때, 곡선 ZG Y 위의 점 B, G B. 에 서의 접선의 방정식은. ZG B G B YB. 2. 도함수의 활용. 73.

(3) 곡선 ZY

(4) Y

(5) 위의 점 에서의 접선의 방정식을 구하시오.. 예제 1. 풀이. G Y Y

(6) Y

(7) 이라 하면. y. y=f{x}. G Y Y

(8) 점 , 에서의 접선의 기울기는. 1. G @

(9) . -2. O. x. 따라서 구하는 접선의 방정식은. Z\Y ^ ZY. 즉,. 답. 문제 1. 다음 곡선 위의 주어진 점에서의 접선의 방정식을 구하시오.. ⑴ ZY

(10) Y

(11) , . 풀이. ⑵ ZYY , . 곡선 ZY

(12) Y 에 접하고 기울기가 인 접선의 방정식을 구하시오.. 예제 2. 접점의 좌표를 B G B. ZY. y. G Y Y

(13) Y 라 하면. 로 놓고 주어진 기울기를 이. G Y Y

(14) . 용하여 B의 값을 구한다.. 접점의 좌표를 B, B

(15) B 라 하면 접선의 기울기가. 2. 이므로 G B B

(16) , 즉 B 따라서 접점의 좌표가 , 이므로 구하는 접선의 방정 식은. O. 2. x. y=f{x}. Z Y. 즉,. ZY

(17) 답. 문제 2. 다음 곡선에 접하고 기울기가 인 접선의 방정식을 구하시오.. ⑴ ZYY

(18) . 74. Ⅱ. 다항함수의 미분법. ⑵ ZYY. ZY

(19) .

(20) 예제 3. 풀이. 점 ` 에서 곡선 ZY

(21) Y

(22) 에 그은 접선의 방정식을 구하시오.. G Y Y

(23) Y

(24) 이라 하면. y 4. G Y Y

(25) 접점의 좌표를 B, B

(26) B

(27) 이라 하면 접선의 기울 기는 G B B

(28) 이므로 접선의 방정식은. O. Z B

(29) B

(30) B

(31) YB. UU①. x. 1. y=f{x}. 이 접선이 점 , 를 지나므로. B

(32) B

(33) B

(34) B. BB,. B B . B 또는 B 따라서 구하는 접선의 방정식은 ①에서. B일 때, ZY이므로. ZY

(35) . B일 때, Z Y 이므로. ZY

(36) 답. 문제 3. ZY

(37) 또는 ZY

(38) . 다음 곡선에 대하여 주어진 점에서 그은 접선의 방정식을 구하시오.. ⑴ ZYY

(39) , . ⑵ ZY , . 생각 넓히기. 문제 해결 | 추론 | 창의・융합 | 의사소통 | 정보 처리 | 태도 및 실천. 곡선 ZÅY``

(40) 위의 두 점 " , , # , 에 대 하여 곡선 위의 점 1에서의 접선이 직선 "#와 평행하다. 활동 1. 점 1의 좌표를 구해 보자.. 활동 2. 삼각형 1"#의 넓이를 구해 보자.. y 1 y=--x@+2 2. A2 P. B -2. O. 2. 2. 도함수의 활용. x. 75.

(41) 평균값 정리 학습 목표. 롤의 정리. 함수에 대한 평균값 정리를 이해한다.. 준비 하기. 함수 G Y Y

(42) Y의 연속성을 조사 하시오.. 생각 열기. 오른쪽 그림은 함수 G Y Y

(43) Y. y. 의 그래프이다. 1. 5. G B G C 를 만족시키는 상수 B , C 의 값을 구해 보자. 단, BC. 2. y=f{x}. a. O. x. b. G D 을 만족시키는 상수 D 의 값을 구해 보자.. 3. 2. 에서 구한 D가 B와 C 사이에 있음을 확인해 보자.. 위의 생각 열기에서 G G 이고, G 이므로. G D 인 D가 와 사이에 존재함을 알 수 있다. 다가 서기. 어떤 자동차가 시간 동안 `LN 를 달렸다면, 이 자동차의 평균속도 는 시속 `LN이므로 그 시간 동안 에 적어도 한 번은 시속 ` L N 로. 함수 G Y 가 닫힌구간 <B, C>에서 연속이고 열린구간 B , C 에서 미분. 달렸던 순간이 있다는 뜻이다.. 가능할 때, G B G C 이면 오른쪽. 이때 자동차의 평균속도는 함수의. 그림과 같이 열린구간 B, C 에서 곡. 평균변화율로, 순간속도는 순간변화. 선 ZG Y 는 기울기가 인 접선을. 율로 생각할 수 있다. 여기서는 어떤 구간에서의 평균변화 율과 순간변화율이 같아지는 순간을. y. y=f{x}. f{a}=f{b}. O. a. c¡. c™ b x. 갖는다. 즉, G D 인 D가 열린구간 B, C 에 적어도 하나 존재함을 알 수 있다.. 미분의 성질을 이용하여 구하는 방 법에 대하여 알아본다.. 일반적으로 다음이 성립하고, 이를 롤의 정리라고 한다. 롤의 정리 함수 G Y 가 닫힌구간 <B, C>에서 연속이고 열린구간 B, C 에서 미분가능 할 때, G B G C 이면. G D 인 D가 열린구간 B, C 에 적어도 하나 존재한다.. 76. Ⅱ. 다항함수의 미분법.

(44) 롤의 정리는 프랑스의 수 학자 롤 3PMMF, . ., . _ 의 이름을 딴 것이 다.. 롤의 정리를 증명해 보자.. 함수 G Y 가 상수함수인 경우 열린구간 B, C 에 속하는 모든 D에 대하여. G D 이다.. y. y=f{x}. f{a}=f{b}. a. O. c. x. b. 함수 G Y 가 상수함수가 아닌 경우 G Y 는 닫힌구간 <B, C>에서 연속이므로 최대o최소 정리에 의하여 최댓값과 최 솟값을 갖는다. 그런데 G B G C 이므로 G Y 는 열린구간 B, C 에 속하는. YD 에서 최댓값 또는 최솟값을 갖는다. ① G Y 가 YD에서 최댓값을 가질 때, 절댓값. G Y 가 YD 에서 최댓 값을 가질 때,. 이 충분히 작은 수 I I

(45) 에 대하여. I이면. G D

(46) I G D 이므로. G D

(47) I G D. I I이면. MJN. G D

(48) I G D , I. MJN. G D

(49) I G D y I. I Z

(50). G D

(51) I G D. y I. I Z . y f'{c}=0. f{c} f{c+h}. y=f{x}. f{a}=f{b}. O a. b x. c c+h. 이다. 그런데 G Y 는 YD 에서 미분가능하므로 우극한과 좌극한이 같다. 따라서 다음이 성립한다.. G D MJN I Z. G D

(52) I G D I. ② G Y 가 YD 에서 최솟값을 가질 때도 ① 과 같은 방법으로 G D 임을 증 명할 수 있다.. 예제 1. 함수 G Y Y

(53) Y 에 대하여 닫힌구간 < >에서 롤의 정리를 만족시키는. 실수 D 의 값을 구하시오.. 풀이. G Y Y

(54) Y 는 닫힌구간 <, >에서 연속이고. y. 열린구간 , 에서 미분가능하며 G G . y=f{x}. 이다. 따라서 롤의 정리에 의하여 G D 인 D가 열린구간. O. c. x. 3. , 에 적어도 하나 존재한다. G Y Y

(55) 에서 G D D

(56) 이므로 D. 답. . 2. 도함수의 활용. 77.

(57) 문제 1. 다음 함수에 대하여 주어진 구간에서 롤의 정리를 만족시키는 실수 D의 값을 구하. 시오.. ⑴ G Y YY

(58) <, > ⑵ G Y YYY <, >. 탐구. 문제 2. y. 함수 G Y ]Y]가 닫힌구간 < >에서 연속이지. y=f{x} 1. 만 롤의 정리를 만족시키지 않는 이유를 말하시오.. -1. 1. O. x. 평균값 정리 함수 G Y 가 닫힌구간 <B, C>에서 연속이고 열린구간. y. G C G B. 는 곡선 ZG Y. CB. f{b}. 위의 두 점 " B, `G B. 와 # C, `G C. 를 지나는 직선의. f{a}. B, `C 에서 미분가능할 때,. 기울기이다.. y=f{x} B A. O a c¡. c™. b. x. 이때 오른쪽 그림과 같이 열린구간 B, `C 에서 곡선. ZG Y 는 기울기가 즉,. G C G B. 인 접선을 갖는다. CB. G C G B. G D 인 D가 열린구간 B, `C 에 적어도 하나 존재함을 알 수 CB. 있다. 평균값 정리는 열린구간. 일반적으로 다음이 성립하고, 이를 평균값 정리라고 한다.. B C 에서 직선 " #와 평 행한 접선을 갖는 점이 곡선 위에 적어도 하나 존재함을 뜻한다.. 평균값 정리 함수 G Y 가 닫힌구간 <B, C>에서 연속이고 열린구간 B, C 에서 미분가능하면. AG C G B. G D. CB 롤의 정리와 평균값 정리 의 차이점은 무엇일까?. 78. Ⅱ. 다항함수의 미분법. 인 D가 열린구간 B, C 에 적어도 하나 존재한다..

(59) 다음을 통해 평균값 정리가 성립함을 확인해 보자. 함께하기. 함수 G Y 의 그래프 위의 두 점. B, G B. 와 C, G C. 를 지나는 직선의 방정식을. y. y=f{x}. f{b} y=g{x}. ZH Y 라 하면 H Y 어떤 구간에서 두 함수. G Y , H Y 가 연속이면 그 구간에서 함수 G Y H Y. 도 연속이다. 또, 어떤 구간 에서 두 함수 G Y , H Y 가 미분가능하면 그 구간에서. G C G B. YB

(60) G B. CB. f{a} b x. a. O. 이다. 이때 I Y G Y H Y 라 하면 함수 I Y 는 닫힌구간 에서 연속이고 열린구간 B C 에서 미분가능하다. 활동 1 활동. I B , I C 의 값을 각각 구하여 비교해 보자.. 2 롤의 정리에 의하여 I D 인 D가 열린구간 B, C 에 적어도 하나 존재함을. 함수 G Y H Y 도 미분. 이용하여 다음을 확인해 보자.. 가능하다.. AG C G B. G D. CB. 예제 2. 함수 G Y YY

(61) 에 대하여 닫힌구간 <, >에서 평균값 정리를 만족시키. 는 실수 D의 값을 구하시오.. 풀이. G Y YY

(62) 는 닫힌구간 <, >에서 연속이고 열 린구간 , 에서 미분가능하므로, 평균값 정리에 의하여. G G . G D. . y. y=f{x}. 2 1. 인 D가 열린구간 , 에 적어도 하나 존재한다.. c. 4 x. O -1. 그런데 G , G , G D D이므로. . D, . D. 따라서 D. 문제 3. 답. . 다음 함수에 대하여 주어진 구간에서 평균값 정리를 만족시키는 실수 D의 값을 구하. 시오.. ⑴ G Y YY

(63) <, > ⑵ G Y Y

(64) Y <, > 2. 도함수의 활용. 79.

(65) 예제 3. 함수 G Y 가 닫힌구간 에서 연속이고 열린구간 B C 에서 미분가능하다. 고 하자. 열린구간 B C 에 속하는 모든 Y 에 대하여 G Y 이면, G Y 는 닫힌구간. 에서 상수함수임을 보이시오. 증명. BYC인 Y에 대하여 함수 G Y 는 닫힌구간 <B, Y>에서 연속이고 열린구간 B, Y 에서 미분가능하므로 평균값 정리에 의하여 AG Y G B. G D. YB 인 D가 열린구간 B, Y 에 적어도 하나 존재한다. 그런데 G D 이므로. G Y G B , 즉 G Y G B. 따라서 G Y 는 닫힌구간 <B, C>에서 상수함수이다.. 문제 4. 두 함수 G Y 와 H Y 가 닫힌구간 에서 연속이고 열린구간 B C 에서 미분. 가능하다고 하자. 열린구간 B C 에 속하는 모든 Y 에 대하여 G Y H Y 이면, G Y 는 닫힌구간 에서 G Y H Y

(66) L L는 상수 임을 보이시오.. 생각 넓히기. 문제 해결 | 추론 | 창의・융합 | 의사소통 | 정보 처리 | 태도 및 실천. 함수 G Y 가 모든 실수 Y에서 미분가능하다. 활동 1. 함수 G Y 가 모든 실수 Y에 대하여 다음 조건을 만족시킬 때, G 의 값이 될 수 있는 가장 큰 값을 구해 보자.. G Y , G 활동 2. 다음 조건을 만족시키는 함수 G Y 가 존재하는지 말해 보자.. G , G , G Y . 80. Ⅱ. 다항함수의 미분법.

(67) 수학 이야기. 평균값 정리의 조건. 수학을 공부하면서 꼭 알아야 하는 정리가 많지만 미분과 관련된 것 중에서는 평균값 정리가 가장 중요하게 쓰인다. 그런데 이 정리는 닫힌구간 <B, C>에서 연속이고 열린구간 B, C 에서 미분가능 한 함수 G Y 에 대해서만 적용할 수 있다. 여기서는 이 두 가지 조건 중에서 하나라도 빠지면 평균값 정리가 성립하지 않는 예를 살펴보기로 한다.. 1 함수 G Y 가 닫힌구간 <B, C>에서는 연속이지만 열린구간 B, C 에서 미분가능하지 않은 경우 오른쪽 그림과 같이 닫힌구간 <, >에서 정의된 함수. y. G Y ]Y]는 닫힌구간 <, >에서 연속이지만 Y에서 미분 1. 가능하지 않다. 이때. G G . 이지만, G D 인 D가 열린구간 , 에 존재하지 않기 때문. -1. y=f{x}. 1 x. O. 에 평균값 정리가 성립하지 않음을 알 수 있다.. 2 함수 G Y 가 열린구간 B, C 에서는 미분가능하지만 닫힌구간 <B, C>에서 연속이 아닌 경우 오른쪽 그림과 같이 닫힌구간 <, >에서 정의된 함수. a Y. G Y X L Y Y. y y=f{x} 1. 는 열린구간 , 에서는 G Y 로 미분가능하지만 Y에서 불연속이다. 이때. O. 1. x. G G 이지만, G D 인 D가 열린구간 , 에 존재하지 않기 때문에 평균값 정리가 성립하지 않음 을 알 수 있다.. 2. 도함수의 활용. 81.

(68) 함수의 증가와 감소, 극대와 극소 학습 목표. 함수의 증가와 감소. 함수의 증가와 감소, 극대와 극소를 판 정하고 설명할 수 있다.. 다음 그림은 제 회 서울 국제 마라톤 대회 코스의 고도를 대략적으. 생각 열기 준비 하기. 로 나타낸 그래프이다.. 함수 ZY

(69) Y의 그래프를 그 리시오.. 마라톤 코스의 LN 지점부터 LN 지점 사이에서 고도가 높아지고 있는 구간과 고도가 낮아지고 있는 구간을 각각 말해 보자.. 함수 G Y 가 어떤 구간에 속하는 임의의 두 수 Y, Y에 대하여 다가 서기. 건강에 영향을 미치는 미세 먼지에 대한 관심이 높아지면서 일기 예보. YY일 때 G Y G Y. 이면, G Y 는 이 구간에서 증가한다고 한다. 또,. YY일 때 G Y G Y. 에서도 미세 먼지의 농도와 주의 사 항을 알려 주고 있다. 시간에 따른 미세 먼지의 농도를 함. 이면, G Y 는 이 구간에서 감소한다고 한다. y. 수로 나타내면 미분을 이용하여 미 세 먼지가 증가하는 시간대와 감소 하는 시간대를 예측할 수 있다.. y. y=f{x}. y=f{x} f{x™}. f{x¡}. 증가. f{x¡} O. 감소. f{x™} x¡. x™. x. O. x¡. 예를 들어 함수 G Y Y은 구간 <, b 에 속. x. x™ y. y=f{x}. 하는 Y, Ym에 대하여. YYm일 때 Y``Ym`` 이므로 G Y 는 구간 <, b 에서 증가한다. 또, 구간 b, >에 속하는 Y, Ym에 대하여. YYm일 때 Y``Ym`` 이므로 G Y 는 구간 b, >에서 감소한다.. 82. Ⅱ. 다항함수의 미분법. 감소. 증가. O. x.

(70) 닫힌구간 < >에서 다음 함수의 증가와 감소를 조사하시오.. 문제 1. ⑴ G Y Y

(71) . ⑵ G Y YY. 이제 함수의 증가와 감소를 도함수의 부호를 조사하여 판정하는 방법에 대하여 알아 보자. 함수 G Y 가 열린구간 B, C 에서 미분가능하면 이 구간에 속하는 두 수 Y, Y. YY 에 대하여 평균값 정리가 성립하므로 A G Ym G Y G D. YmY 인 D가 열린구간 Y, Y 에 적어도 하나 존재한다. 이때 G Y 의 부호에 따라 다음과 같이 두 가지 경우로 나누어 생각할 수 있다.. 열린구간 B, C 에 속하는 모든 Y에 대하여 G Y 이면. y. y=f{x}. A G Ym G Y G D 이고 YmY이므로 YmY G Ym G Y , 즉 G Y G Ym. 이다. 따라서 함수 G Y 는 이 구간에서 증가한다.. 열린구간 B, C 에 속하는 모든 Y에 대하여 G Y . O a x¡. c. x™ b x. y y=f{x}. A G Ym G Y 이면 G D 이고 YmY이므로 YmY G Ym G Y , 즉 G Y G Ym. 이다. 따라서 함수 G Y 는 이 구간에서 감소한다.. O a x¡. c. x™ b x. 이상을 정리하면 다음과 같다. 함수의 증가와 감소의 판정 함수 G Y 가 어떤 열린구간에서 미분가능하고, 이 구간에 속하는 모든 Y에 대하여 1. G Y 이면 G Y 는 이 구간에서 증가한다.. 2 G Y 이면 G Y 는 이 구간에서 감소한다.. 위의 역은 성립하지 않는다. 예를 들어 함수 G Y Y은 구간 b b 에서 증가하지만,. G Y Y 에서 G 이다. 2. 도함수의 활용. 83.

(72) 예제 1. 다음 함수의 증가와 감소를 조사하시오.. ⑴ G Y Y``

(73) Y``

(74) Y

(75) 풀이. ⑵ G Y Y``Y``

(76) Y. ⑴ G Y Y

(77) Y

(78) Y

(79) Y

(80) 이므로. Y 또는 Y일 때 Y일 때. G Y . G Y . G Y 의 증가와 감소를 표로 나타내. 표에서 ↗ 는 증가를 나타 내고, ↘ 는 감소를 나타낸다. 닫힌구간 에서 연 속인 함수 G Y 가 열린구간. Y. U. . U. . U. 면 오른쪽과 같다.. G Y.

(81). . . .

(82). 따라서 G Y 는 구간 b, >. G Y. ↗. . ↘. . ↗. Y. U. . U. 같다.. G Y.

(83). .

(84). 따라서 G Y 는 구간 b, >과 구간 <, b 에. G Y. ↗. . ↗. 답. 풀이 참조. 과 구간 <, b 에서 증가하고,. B C 에서 증가하면 최대・. 닫힌구간 <, >에서 감소한다.. 최소 정리에 의하여 G B 가 최솟값, G C 가 최댓값이므. ⑵ G Y YY

(85) Y 이므로. 로 함수 G Y 는 닫힌구간. 에서도 증가한다.. Y

(86) 인 모든 Y에 대하여. 함수 G Y 가 감소하는 경우. G Y . G Y 의 증가와 감소를 표로 나타내면 오른쪽과. 도 마찬가지이다.. 서 증가하므로 구간 b, b 에서 증가한다.. 문제 2. 다음 함수의 증가와 감소를 조사하시오.. ⑴ G Y YY

(87) . 탐구. 문제 3. ⑵ G Y YY

(88) Y. 두 함수 G Y , H Y 의 도함수 G Y , H Y 의 그래프가 다음 그림과 같을 때,. G Y 와 H Y 의 증가와 감소를 각각 조사하고, 그 결과를 친구와 비교하시오. y. y y=f '{x}. a. 84. Ⅱ. 다항함수의 미분법. O. y=g`'{x}. x. b. O. c. x.

(89) 함수의 극대와 극소 국립해양조사원은 바다. 생각 열기. 다음은 국립해양조사원에서 예보한 어느 날의 충남 보령시 부근 해수면의 높이이다.. 에 대한 연구 및 안전한 항. 높이. 해, 해양 자원 개발 등을 위. {cm} 800. 해 설립된 기관으로, 누리집. XXXLIPB H PLS 을 통해 조석, 해류, 조류 등을. 600. 예보한다.. 400 200 0 00:00. 고 10:40. 고 23:22. 저 04:44. 04:00. 저 17:18. 08:00. 12:00. 16:00. 20:00. 00:00 {시각}. 1. 해수면의 높이가 바로 전과 후보다 더 높을 때의 시각을 말해 보자.. 2. 해수면의 높이가 바로 전과 후보다 더 낮을 때의 시각을 말해 보자.. 함수 G Y 에서 YB 를 포함하는 어떤 열린구간에서 G B 의 값이 가장 큰 경우와 가장 작은 경우에 대하여 알아보자. y. 함수 G Y 에서 YB 를 포함하는 어떤 열린구간 에 속하는 모든 Y에 대하여 G Y G B 일 때, 함수. 극댓값. G Y 는 YB 에서 극대라 하며, G B 를 극댓값이. 극솟값. 라고 한다.. 극대. 극솟값. 또, YB 를 포함하는 어떤 열린구간에 속하는. 극소. 극대. 극댓값. 극소. O. x. 모든 Y에 대하여 G Y y G B 일 때, 함수 G Y 는. YB 에서 극소라 하며, G B 를 극솟값이라고 한다. 상수함수는 극값을 가질까?. 극댓값과 극솟값을 통틀어 극값이라고 한다. 특히, 함수 G Y 가 YB 에서 연속인 경우에는 다음이 성립한다.. YB 의 좌우에서 G Y 가 증가하다가 감소하면 G Y 는 YB에서 극대이다. YB 의 좌우에서 G Y 가 감소하다가 증가하면 G Y 는 YB에서 극소이다. y. y. 극대. 증가. 감소. 감소. y=f{x} O. a. y=f{x}. x. O. 극소. a. 증가. x. 2. 도함수의 활용. 85.

(90) 미분가능한 함수의 극값과 미분계수 사이의 관계에 대하여 알아보자. 함수 G Y 가 YB에서 미분가능하고 YB에서 극대라 하자. 함수 G Y 가 YB에서. 이때 절댓값이 충분히 작은 I I

(91) 에 대하여 G B

(92) I G B 이므로. 극대이면 YB를 포함하는. MJN. 어떤 열린구간에 속하는 모든. I Z

(93). Y 에 대하여 G Y G B. 이다.. A G B

(94) I G B , I. MJN. I Z . A G B

(95) I G B y I. 이다. 그런데 G Y 는 YB에서 미분가능하므로 우극한과 좌극한이 같다. 따라서 G B MJN I Z. A G B

(96) I G B 이 성립한다. I. 같은 방법으로 G Y 가 YB에서 미분가능하고 YB에서 극소일 때도 G B 임을 알 수 있다. 이상을 정리하면 다음과 같다. 극값과 미분계수 사이의 관계 이것의 역은 성립하지 않. 함수 G Y 가 YB 에서 미분가능하고 YB에서 극값을 가지면 G B 이다.. 는다. 즉, G B 이지만. YB에서 극값을 갖지 않는 경우도 있다.. 탐구. 문제 4. 다음은 두 함수 ZY 과 Z]Y

(97) ]. 의 극값과 미분계수 사이의 관계에 대한 수지와 민수의 생각이다. 수지와 민수의 생각은 각각 어떤 함수에 대한 것. Z]Y

(98) ]. 인지 말하고 그 이유를 설명하시오. 수지. 함수 G Y 가 YB에서 극 값을 갖더라도 G B 가 존 재하지 않을 수도 있어.. ZY`. 민수. 함수 G Y 에서 G B 이어도 G Y 가 YB에서 극값을 갖지 않을 수 있어.. 86. Ⅱ. 다항함수의 미분법.

(99) 이제 다음을 통해 미분가능한 함수의 극대와 극소에 대하여 알아보자. 다음은 도함수의 부호를 조사하여 미분가능한 함수 G Y 의 극대와 극. 함께하기. 소를 판정하는 과정이다.. 안에 증가, 감소, 극대, 극소 중에서 알맞은 말을 써. 넣어 보자. y. G B 이고 YB 의 좌우에서 G Y 의 부호. 활동 1. f'{a}=0. 가 양에서 음으로 바뀌면, G Y 는 YB의 좌우 에서. 하다가. YB 에서. 활동. f'{x}>0. 하므로 G Y 는. 이다.. 2 G B 이고 YB 의 좌우에서 G Y 의 부호. 가 음에서 양으로 바뀌면, G Y 는 YB 의 좌우 에서. 하다가. YB 에서. f'{x}<0. O. a x y=f{x}. y. y=f{x} f'{x}>0. f'{x}<0. 하므로 G Y 는. 이다.. a. O. f'{a}=0 x. 위의 활동에서 다음을 알 수 있다. 함수의 극대와 극소의 판정 미분가능한 함수 G Y 에 대하여 G B 이고, YB 의 좌우에서 1. G Y 의 부호가 양에서 음으로 바뀌면 G Y 는 YB 에서 극대이다.. 2 G Y 의 부호가 음에서 양으로 바뀌면 G Y 는 YB 에서 극소이다.. 예제 2 G Y 인 Y의 값을 구하고, 그 값의 좌우에서. G Y 의 부호를 조사한다.. 풀이. 함수 G Y Y``Y``

(100) Y

(101) 의 극값을 구하시오.. G Y Y``Y

(102) Y Y. G Y 에서. Y 또는 Y. G Y 의 증가와 감소를 표로 나타내면. Y. U. . U. . U. 오른쪽과 같다.. G Y.

(103). . . .

(104). 따라서 G Y 는 Y에서 극대이고. G Y. ↗. . ↘. . ↗. 극댓값은 이며, Y에서 극소이고 극솟값은 이다. 답. 극댓값: 극솟값: . 2. 도함수의 활용. 87.

(105) 문제 5. 다음 함수의 극값을 구하시오.. ⑴ G Y Y``Y``Y. 예제 3. ⑵ G Y Y``Y``. 함수 G Y BY``

(106) Y``

(107) CY

(108) 가 Y에서 극솟값 를 갖는다고 할 때,. 다음을 구하시오.. ⑴ 상수 B, `C의 값 풀이. ⑵ G Y 의 극댓값. ⑴ G Y BY``

(109) Y

(110) C. G Y 가 Y에서 극솟값 를 가지므로. 미분가능한 함수 G Y. 가 YB에서 극값을 가지면. G B

(111) C에서. G B 이다.. UU①. B

(112) C. G B

(113) C

(114) 에서 ①과 ②를 연립하여 풀면. G , G UU②. B

(115) C. B, C. ⑵ G Y Y``

(116) Y``

(117) Y

(118) 이므로. G Y Y``

(119) Y

(120) Y

(121) Y. G Y 에서. Y 또는 Y. G Y 의 증가와 감소를 표로 나타. Y. U. . U. . U. 내면 오른쪽과 같다.. G Y. . .

(122). . . 따라서 G Y 는 Y에서 극댓값. G Y. ↘. . ↗. . ↘. 를 갖는다. 답. 문제 6. ⑴ B, C. ⑵ . 함수 G Y Y``

(123) BY``

(124) CY

(125) 이 Y에서 극댓값 을 갖는다고 할 때, 상수 B,. C의 값과 극솟값을 구하시오.. 생각 넓히기. 문제 해결 | 추론 | 창의・융합 | 의사소통 | 정보 처리 | 태도 및 실천. y. 함수 G Y 의 도함수 G Y 의 그래프는 오른쪽 그림과 같다. 활동 1. G Y 가 극값을 갖는 Y의 값을 구해 보자.. 활동 2 활동 1. Ⅱ. 다항함수의 미분법. 2. 에서 구한 Y의 값에서 G Y 가 극댓값을 갖는지. 극솟값을 갖는지 조사해 보자.. 88. y=f'{x}. -2. O. 1. 3 x.

(126) 탐구 융합. 탄산수 속 기포와 이산화탄소 창의・융합 | 의사소통 | 태도 및 실천. 탄산수를 컵에 따르면 구 모양의 기포 알갱이가 발생하는데, 큰 기포는 급격히 커지면서 수면으로 올라가 터지고 작은 기포는 더 작아져서 사라져 버리는 현상을 볼 수 있다. 탄산수의 기포는 왜 점점 커져서 터지거나 작아져서 사라질까? 그 원리는 다음과 같다.. 1. 이산화탄소는 액체로 녹아 있는 것보다 기체로 있는 것이 더 안정적이어서 기체 상태에 도달하려 는 성질이 있다. 따라서 기포 알갱이의 반지름의 길이를 S 라 할 때, 알갱이의 부피 LS`` 이 커질 수록 에너지는 작아진다.. 2. 기포 알갱이와 액체의 경계에는 표면 장력이 작용하여 겉넓이를 작게 하려고 한다. 따라서 기포 알갱이의 겉넓이 LS`` 이 커짐에 따라 에너지도 커진다.. 1. 과. 2. 로부터 반지름의 길이가 S인 기포 알갱이의 에너지 & S 는. & S B [LSA]

(127) C LSA B, C는 양수. 으로 나타낼 수 있다. 그런데 기포 알갱이는 되도록 작은 에너지를 가지려고 하기 때문에, 함수 & S 가 극대가 되는 S의 값을 S~이라 할 때 SS~인 기포는 사 라지고 SS~인 기포는 수면으로 올라가서 터지게 된다. (출처: 히로유키 코지마, 『만화로 쉽게 배우는 미분적분』). 탐 구. . . 위의 함수 & S 에 대하여 B , C 일 때, 다음에 답해 보자.. 1. 함수 & S 가 극댓값을 갖는 S~의 값을 구하시오.. 2. SÅ일 때의 기포 알갱이와 SÄ일 때의 기포 알갱이의 상태는 어떻게 되는지 각각 말하시오. 2. 도함수의 활용. 89.

(128) 함수의 그래프 함수의 그래프. 학습 목표. 함수의 그래프의 개형을 그릴 수 있다.. 다음은 함수 G Y Y``

(129) Y``

(130) Y

(131) 의 그래프를 컴퓨터 프로. 생각 열기. 준비 하기. 닫힌구간 < >에서 함수 G Y Y`. 그램을 이용하여 그린 것이다.. 의 최댓값과 최솟값을 구하시오.. 다가 서기. 국민의 생활 수준과 환경 오염 사이 의 관계를 그래프로 나타낸 것을 ‘환 경 쿠즈네츠 곡선’이라 하는데, 이 곡선을 통하여 경제 수준이 높아지 면 환경 오염이 줄어드는 것을 알 수. 1. 다음 표를 완성해 보자.. 있다. 환경 오염 수준. 전환점. 2 환경 악화 단계. 환경 개선 단계. 1. Y. U. . G Y.

(132). . G Y. ↗. . U. . U. . 의 표에서 화살표 방향과 그래프의 모양을 비교해 보자.. 1인당 소득 수준. 환경 쿠즈네츠 곡선. 이와 같이 함수의 그래프를 분석하. 함수의 그래프의 개형은 함수의 증가와 감소,. 여 다양한 정보를 얻을 수 있으므로. 극대와 극소, 좌표축과의 교점 등을 이용하여. 함수의 그래프의 개형을 아는 것은. 그릴 수 있다.. 중요하다. 미분을 이용하면 함수의 그래프의 개형을 쉽게 그릴 수 있다.. 개형(槪形)은 대략적인 모양을 뜻한다.. 미분가능한 함수 G Y 의 그래프의 개형을 그릴 때는 다음과 같은 과정 을 따르면 편리하다. 1. 도함수 G Y 를 구한다.. 2. G Y 인 Y의 값을 구한다.. 3. G Y 의 부호의 변화를 조사하여 G Y 의 증가와 감소를 표로 나타 내고, 극값을 구한다.. 4. 90. Ⅱ. 다항함수의 미분법. G Y 의 그래프의 개형을 그린다..

(133) 예제 1. 풀이. 함수 G Y Y

(134) Y의 그래프의 개형을 그리시오.. G Y Y``

(135) YY Y

(136) . G Y 에서. Y 또는 Y. G Y 의 증가와 감소를 표로 나타내면 다음과 같다. Y. U. G Y. G Y. . U. . U.

(137). . ↗. . . .

(138). ↘. . ↗. y y=f{x} 2. G Y 는 Y에서 극댓값 를 갖고, Y에서 극솟값 를 갖는다.. -2. x. O. 따라서 G Y Y``

(139) Y``의 그래프의 개형을 그리면 오 -2. 른쪽 그림과 같다.. 답. 문제 1. 다음 함수의 그래프의 개형을 그리시오.. ⑴ G Y YY

(140) . 예제 2. 풀이. 풀이 참조. ⑵ G Y YY

(141) Y. 함수 G Y YY

(142) Y의 그래프의 개형을 그리시오.. G Y Y``Y``

(143) YY Y Y. G Y 에서. Y 또는 Y 또는 Y. G Y 의 증가와 감소를 표로 나타내면 다음과 같다. Y. U. . U. . U. . U. G Y. . .

(144). . . .

(145). G Y. ↘. . ↗. . ↘. . ↗. G Y 는 Y과 Y에서 극솟값 을 갖고, Y. y. y=f{x}. 에서 극댓값 을 갖는다. 1. 따라서 G Y Y``Y``

(146) Y``의 그래프의 개형을. 2. O. x. 그리면 오른쪽 그림과 같다. -1 답. 풀이 참조. 2. 도함수의 활용. 91.

(147) 문제 2. 다음 함수의 그래프의 개형을 그리시오.. ⑴ G Y YY

(148) . ⑵ G Y Y

(149) Y. 함수의 최대와 최소 함수 G Y 가 닫힌구간 <B, C>에서 연속이면 최대 ・ 최소 정리에 의하여 G Y 는 이 구간에서 반드시 최댓값과 최솟값을 갖는다. 이때 극댓값, 극솟값, G B , G C 중에서 가장 큰 값이 G Y 의 최댓값이고, 가장 작은 값이 G Y 의 최솟값이다. y 극댓값과 극솟값이 반드. y. 최댓값. 최댓값. 시 최댓값과 최솟값이 되는. f{a}. 것은 아니다.. f{b}. y. f{b}. 최댓값. f{b}. 최솟값. f{a}. f{a} 최솟값. 최솟값. b x. O a. b x. O a. O a. b x. 닫힌구간 < >에서 함수 G Y Y``YA

(150) Y의 최댓값과 최솟값을 구. 예제 3 하시오.. 풀이. G Y YY

(151) Y Y. Y 또는 Y. G Y 에서 y. 닫힌구간 <, >에서 G Y 의 증가와 감소를 표로 나타내면 다음과 같다.. y=f{x}. 3. Y. 2. . G Y. O. 1. 2. G Y. x. -2. . U. . U.

(152). . . ↗. . ↘. . 따라서 G Y 의 최댓값은 , 최솟값은 이다. 답. 문제 3. 주어진 구간에서 다음 함수의 최댓값과 최솟값을 구하시오.. ⑴ G Y Y

(153) Y

(154) <, > ⑵ G Y ÅY

(155) ÅYY <, >. 92. Ⅱ. 다항함수의 미분법. 최댓값: 최솟값: .

(156) 예제 4. 16`cm. 오른쪽 그림과 같이 가로, 세로의 길이가 각각. DN, DN인 직사각형 모양의 종이의 네 귀퉁이에서 같은 크기의 정사각형을 잘라 내고, 나머지 부분을 접어서. 10`cm. 뚜껑이 없는 직육면체 모양의 상자를 만들려고 한다. 이 상자의 부피가 최대가 되도록 하려면 잘라 내는 정사각형 의 한 변의 길이를 몇 DN로 해야 하는지 구하시오.. 종이를 접어 상자를 만들. 잘라 내는 정사각형의 한 변의 길이를 Y DN, 상자의 부피를 7 Y `DN라 하면. 풀이. 면 다음과 같다.. 7 Y Y Y Y YY

(157) Y Y. x`cm. 7 Y YY

(158) Y Y. Y이므로 7 Y 에서. {16-2x}`cm {10-2x}`cm. Y. 열린구간 , 에서 7 Y 의 증가와 감소를 표로 나타내면 다음과 같다. U. . U. 7 Y.

(159). . . 7 Y. ↗. . ↘. Y. . . Y일 때 극대이면서 최대이므로 잘라 내는 정사각형 한 변의 길이가 DN일 때, 상자의 부피는 최대가 된다. 답. 문제 4. 오른쪽 그림과 같이 곡선 ZY

(160) 과 Y축으로 둘러. DN. y 6 y=-x@+6. 싸인 부분에 내접하는 직사각형의 넓이의 최댓값을 구하시오.. O. 문제 5. x. 어느 의류 업체에서 " 티셔츠를 주문 제작하여 O벌을. 판매할 때 생기는 이익이 O

(161) O 원이라고 한다. 다음에 답하시오. 단, O. ⑴ 이 업체에서 " 티셔츠를 벌 판매할 때 생기는 이익 을 구하시오.. ⑵ 이 업체에서 " 티셔츠의 판매 이익이 최대가 되려면 " 티셔츠를 몇 벌 판매해야 하는지 구하시오. 2. 도함수의 활용. 93.

(162) 탐구 융합. 통조림 캔의 부피가 최대가 되려면? 문제 해결 | 창의・융합 | 태도 및 실천. 우리 생활에서 가장 많이 사용하는 용기의 모양은 원기둥인데, 그 부피는 밑면의 반지름의 길이와 높이에 의하여 결정된다. 겉넓이가 일정한 원기둥의 부피는 밑면의 지름의 길이와 높 이가 같을 때 최대가 된다고 알려져 있는데, 오른쪽 그림과 같 은 통조림이 이러한 경우이다. 여기서는 밑면의 반지름의 길이와 높이의 합이 일정한 경우에 원기둥의 부피가 최대가 되도록 하는 반지름의 길이와 높이를 구해 보자. 밑면의 반지름의 길이 Y와 높이 I의 합이 인 원기둥의 부피가 최대가 되도록 하는 Y와 I의 값을 구해 보자. 풀이. h. Y

(163) I, 즉 IY이므로 원기둥의 부피 7는 7 Y LY`` Y L Y``

(164) Y`` Y. x. 7 Y L Y``

(165) Y LY Y. Y이므로 7 Y 에서 이것을 Y

(166) I에 대입하면. Y I. . . . . 열린구간 , 에서 7 Y 의 증가와 감소. 를 표로 나타내면 오른쪽과 같으므로 Y 일 때 극대이면서 최대이다.. U. . U. 7 Y.

(167). . . 7 Y. ↗. L . ↘. Y. . 따라서 밑면의 반지름의 길이가 Y 이고 높이가 I. 일 때 원기둥의 부피는 최대가 된다. 답. 탐 구. . Y. , I . 오른쪽 그림과 같이 밑면의 반지름의 길이가 S, 높이가 I인 원기둥이 있다. 이 원기 둥의 밑면의 지름을 포함하고 밑면에 수직인 평면으로 자른 도형의 대각선의 길이가. 15. h. 로 일정하다고 한다. 이때 원기둥의 부피 7를 I에 대한 식으로 나타내고 7의 최 댓값을 구해 보자.. 94. Ⅱ. 다항함수의 미분법. r.

(168) 방정식과 부등식에의 활용 학습 목표. 방정식에의 활용. 방정식과 부등식에 대한 문제를 해결할 수 있다.. 오른쪽 그림은 함수 G Y 의 그래프. 생각 열기 준비 하기. 1 이차방정식 Y``

(169) Y의 실근. Y``

(170) Y

(171) . y=f{x}. O. x. 이다.. G Y 의 그래프와 Y축의 교점의 개수를 말. 1. 의 개수를 구하시오.. 2 모든 실수 Y에 대하여 부등식. y. 해 보자. 방정식 G Y 의 실근의 개수를 말해 보자.. 2. 이 성립함을 보이시오.. 함수의 그래프를 이용하여 방정식의 실근의 개수를 구해 보자. 방정식 G Y 의 실근은 함수 G Y 의 그래프와 Y축의 교점의 Y좌표 와 같다. 따라서 방정식 G Y 의 서로 다른 실근의 개수는 G Y 의 그 래프와 Y축의 교점의 개수를 조사하여 구할 수 있다.. 다가 서기. 인공위성의 지구의 공전 궤도를 유. 예제 1. 방정식 Y``Y``

(172) Y의 서로 다른 실근의 개수를 구하시오.. 지하기 위한 속력을 구하거나 로켓 의 지구 탈출 속도를 구하기 위해서 는 방정식이나 부등식을 풀어야 한 다. 방정식의 실근의 개수를 구하거 나 부등식이 성립함을 보일 때 미분 을 활용할 수 있다.. 풀이. G Y Y``Y``

(173) Y라 하면 G Y Y``Y

(174) Y Y. G Y 에서. Y 또는 Y. G Y 의 증가와 감소를 표로 나타내고, 그래프의 개형을 그리면 다음과 같다. U. . U. . U. y. G Y

(175). . . .

(176). 2. G Y. . ↘. . ↗. Y. ↗. G Y 의 그래프가 Y축과 세 점에서 만나므로 방정식 Y``Y``

(177) Y의 서로 다른. y=f{x}. 3 O. x. 1. -2. 실근은 개이다. 답. 2. 도함수의 활용. . 95.

(178) 문제 1. 다음 방정식의 서로 다른 실근의 개수를 구하시오.. ⑴ YY

(179) Y

(180) . 방정식 G Y H Y 의 실근은 두 함수 G Y 와. H Y 의 그래프의 교점의 Y. ⑵ YY

(181) . 방정식의 서로 다른 실근의 개수를 구할 때, 주어진 방정식을 G Y H Y 의 꼴로 변형한 후, G Y 와 H Y 의 그래프의 교점의 개수를 조사하여 구할 수도 있다.. 좌표이다.. 방정식 Y``YL이 서로 다른 세 실근을 갖도록 하는 실수 L의 값의 범위를. 예제 2 구하시오.. YYL에서 YYL이므로 주어진 방정식의 실근의 개수는 두 함수. 풀이. ZYY 와 ZL 의 그래프의 교점의 개수와 같다. G Y YY라 하면 G Y Y Y

(182) Y. Y 또는 Y. G Y 에서. G Y 의 증가와 감소를 표로 나타내고, 그래프의 개형을 그리면 다음과 같다. Y. U. . U. . U. G Y.

(183). . . .

(184). G Y. ↗. . ↘. . ↗. y y=f{x}. 2 y=k 1. -1 O. x. 따라서 방정식 YYL이 서로 다른 세 실근 을 갖도록 하는 실수 L의 값의 범위는. -2. L 답. 탐구. 문제 2. L. 방정식 Y

(185) Y

(186) L의 서로 다른 실근의 개수를 실수 L의 값의 범위에 따라 조. 사하려고 한다. 다음에 답하시오.. ⑴ G Y Y

(187) Y이라 할 때, 함수 G Y 의 그래프의 개형을 그리시오. ⑵ 곡선 ZG Y 와 직선 ZL의 교점의 개수를 L의 값의 범위에 따라 조사하시오. ⑶ ⑵의 결과를 이용하여 방정식 Y

(188) Y

(189) L의 서로 다른 실근의 개수를 L의 값 의 범위에 따라 말하시오.. 96. Ⅱ. 다항함수의 미분법.

(190) 부등식에의 활용 함수의 그래프를 이용하여 부등식을 증명해 보자. 어떤 구간에서 부등식 G Y y이 성립함을 보이려면 그 구간에서 함수 G Y 의 최 솟값이 보다 크거나 같음을 보이면 된다. 두 식 ", #에 대하여. "y# 1 "#y. "# 1 "#. 또, 두 함수 G Y 와 H Y 에 대하여 어떤 구간에서 부등식 G Y y H Y 가 성립 함을 보이려면 그 구간에서 G Y H Y y임을 보이면 된다.. 예제 3. 증명. Yy일 때, 부등식 YyY가 성립함을 보이시오. G Y Y Y YY

(191) 라 하면 G Y YYY Y. G Y 에서. Y 또는 Y. 구간 <, b 에서 G Y 의 증가와 감소를 표로 나타내고, 그래프의 개형을 그리면 다음과 같다. Y. . U. . U. G Y. . . .

(192). G Y. . ↘. . ↗. y. y=f{x}. Yy일 때 G Y 의 최솟값은 이므로 G Y y, 즉 Y`Y

(193) y. 4. O. 2. x. 따라서 Yy일 때, 부등식 YyY가 성립한다.. 문제 3. 다음 부등식이 성립함을 보이시오.. ⑴ Yy일 때,. YYy. ⑵ 모든 실수 Y에 대하여. 문제 4. YYy. 모든 실수 Y에 대하여 부등식. YYyL 가 성립하도록 실수 L의 값의 범위를 정하시오. 2. 도함수의 활용. 97.

(194) 탐구 융합. 삼차함수의 도함수를 이용한 실근의 개수 판별 문제 해결 | 태도 및 실천. Y에 대한 이차방정식 BYA

(195) CY

(196) D 은 판별식 %CABD의 부호를 이용하여 실근의 개수를 판별할 수 있다. 여기서는 Y에 대한 삼차방정식 BYA

(197) CYA

(198) DY

(199) E B 의 실근의 개수를 삼 차함수 G Y BYA

(200) CYA

(201) DY

(202) E B 의 도함수를 이용하여 판별하는 방법에 대하여 알아보자. 삼차함수 G Y BYA

(203) CYA

(204) DY

(205) E B 의 도함수 G Y 는 이차함수이므로, 이차방정식. G Y 의 근의 종류에 따라 다음과 같이 경우를 나누어 생각해 보자. ⑴ 이차방정식 G Y 이 서로 다른 두 실근 =, > => 를 가질 때 삼차함수 G Y 는 극댓값과 극솟값을 모두 가지므로 삼차방정식 G Y 의 실근의 개수는 다음 과 같다.. ① G = G > 일 때 그래프의 개형은 오른쪽 그림과 같으므로. y=f{x}. 실근의 개수는 . 서로 다른 세 실근을 갖는다.. ∫ å. ② G = G > 일 때 그래프의 개형은 오른. y=f{x}. 쪽 그림과 같이 두 가지인데, 두 그래프 모 두 중근과 하나의 실근, 즉 서로 다른 두 실 근을 갖는다.. x. y=f{x} ∫. å å. ∫. x. x. 실근의 개수는 . ③ G = G > 일 때 그래프의 개형은 오른. y=f{x}. 쪽 그림과 같이 두 가지인데, 두 그래프 모. å å. 두 하나의 실근을 갖는다.. y=f{x}. ∫. ∫. x. x. 실근의 개수는 . ⑵ 이차방정식 G Y 이 중근 또는 서로 다른 두 허근을 가질 때 그래프의 개형은 다음 그림과 같으므로, 항상 하나의 실근을 갖게 된다.. 탐 구. 98. y=f{x}. y=f{x}. x. x. 실근의 개수는 y=f{x} x. 삼차방정식 Y``Y``Y

(206) L의 실근의 개수를 실수 L의 값의 범위에 따라 조사해 보자.. Ⅱ. 다항함수의 미분법.

(207) 속도와 가속도 학습 목표. 속도와 가속도. 속도와 가속도에 대한 문제를 해결할 수 있다.. 지면으로부터 N 높이에서 초속 N로 지면과 수직인 방향으. 생각 열기 준비 하기. 로 야구공을 던졌을 때, U초 후의 야구공의 높이를 G U `N라 하면. G U U

(208) U

(209) . 함수 G Y Y

(210) 의 Y 에서 의 미분계수를 구하시오.. 이라고 한다. 1 2. U의 값이 에서

(211) I까지 변할 때, G U 의 평균변화율을 구해 보자. 1. 에서 I

(212)

(213) Z 일 때, 평균변화율의 극한값을 구해 보자.. 수직선 위를 움직이는 점의 속도와 가속도에 대하여 알아보자. 점 1가 수직선 위를 움직일 때, 시각 U에서의 점 1의 위치를 Y라 하면 Y는 U에 대한 함수이. P 0. x=f{t}. x. 므로 YG U 와 같이 나타낼 수 있다. 이때 시각 U에서 U

(214) $U까지의 점 1의 위치의 변화량 $Y는. $YG U

(215) $U G U. 이므로 시각 U에서 U

(216) $U까지의 점 1의 평균속도는. $Y G U

(217) $U G U $U $U 이다. 이것은 함수 YG U 의 평균변화율이다. 여기서 위치 YG U 의 시각 U에서의 순간변화율을 시각 U에서의 점 1 다가 서기. 곧게 뻗은 선로를 달리는 기차, 직선 도로를 주행하 는 자동차, 나무에서 떨어지는 지는 사과, 수직으로 쏘아 올린 물 로켓. 의 순간속도 또는 속도라 하며 보통 W로 나타낸다. 즉, 속도 W는 다음과 같다.. WMJN $U Z . $Y EY G U. $U EU. 속도의 절댓값 ]W U ] 를 시각 U에서의 점 1의 속력이라고 한다.. 등과 같이 직선 운동을 하고 있는 물체의 순간속도와 가속도에 대한 문제는 미분을 이용하여 해결할 수 있다.. 한편, 속도 W의 시각 U에서의 순간변화율을 시각 U에서의 점 1의 가속도 라 하며 보통 B로 나타낸다. 즉, 가속도 B는 다음과 같다.. BMJN $U Z . $W EW W` U. $U EU 2. 도함수의 활용. 99.

(218) 이상을 정리하면 다음과 같다.. 위치 미분. 속도와 가속도 수직선 위를 움직이는 점 1의 시각 U에서의 위치 Y가 YG U 일 때, 시각 U에서의 점 1의. 속도 미분. 속도 W와 가속도 B는. W. 가속도. EY G U , EU. B. EW W U. EU. 수직선 위를 움직이는 점 1의 운동 방향은 속도 WG U 의 부호에 따라서 다음과 같다.. W이면, YG U 가 증가하므로 점 1는 양의 방향 v<0. 으로 움직인다.. W이면, YG U 가 감소하므로 점 1는 음의 방향. v>0 P. 으로 움직인다.. 수직선 위를 움직이는 점 1의 시각 U 에서의 위치 Y가 YUU일 때, 다음을. 예제 1 구하시오.. ⑴ U에서의 점 1의 속도와 가속도 ⑵ 점 1가 운동 방향을 바꿀 때의 시각 풀이. ⑴ 점 1의 시각 U에서의 속도를 W, 가속도를 B라 하면. W. EY EW U, B EU EU. 따라서 U에서의 속도와 가속도는. W@, B. ⑵ 점 1가 운동 방향을 바꾸는 순간의 속도는 이므로. WU에서. U 답. 문제 1. ⑴ 속도: 가속도: . ⑵. 수직선 위를 움직이는 점 1의 시각 U 에서의 위치 Y가 YÅUU 일 때, 다음을. 구하시오.. ⑴ U에서의 점 1의 속도와 가속도. 100. Ⅱ. 다항함수의 미분법. ⑵ 점 1가 운동 방향을 바꿀 때의 시각.

(219) 예제 2. 수평인 지면으로부터 N 높이에서 NT의 속도로 수직으로 위로 던져 올린. 물체의 U초 후의 높이 Y N가 Y

(220) UU 일 때, 다음을 구하시오.. ⑴ 물체가 최고 높이에 도달할 때까지 걸린 시간과 그때의 높이 ⑵ 물체가 지면에 닿는 순간의 속도. 풀이. ⑴ U초 후의 물체의 속도를 W NT라 하면. W. EY U EU. 최고 높이에서 물체의 속도는 NT이므로. WU에서. U. 따라서 물체가 최고 높이에 도달할 때까지 걸린 시간은 초이고, 그때의 높이는. Y

(221) @@ N ⑵ 물체가 지면에 닿는 순간의 높이는 N이므로. Y

(222) UU에서 그런데 U이므로. U

(223) U . U. 따라서 물체가 지면에 닿는 순간의 속도는. W@` NT. 답. 문제 2. ⑴ 초, N. ⑵ NT. 화성의 수평인 표면에서 `NT의 속도로 수직으로 위로 던져 올린 돌의 U초 후의 높. 이 Y N가 YUU 일 때, 다음을 구하시오.. ⑴ 돌이 최고 높이에 도달할 때까지 걸린 시간과 그때의 높이 ⑵ 돌이 화성의 표면에 닿는 순간의 속도. 생각 넓히기. 문제 해결 | 추론 | 창의・융합 | 의사소통 | 정보 처리 | 태도 및 실천. 오른쪽 그림과 같이 키가 . N인 누리가 높이가 .`N 인 가로등 바로 밑에서 출발하여 일직선으로 . NT의 속도로 걸어가고 있다. 활동 1. 3.4`m. 누리가 출발한 지 U초 후의 그림자의 길이를. Y N 라 할 때, Y 를 U에 대한 식으로 나타내어. 1.7`m x`m. 보자. 활동 2. 가로등 바로 밑에서 그림자 끝까지의 거리를 G U `N라 할 때, G U 를 구해 보자.. 활동 3. 누리의 그림자의 끝이 움직이는 속도를 구해 보자. 2. 도함수의 활용. 101.

(224) II. -2. 도함수의 활용. 기 본. 중단원 마무리하기. 01. 곡선 ZY

(225) Y에 대하여 다음을 구하시오.. 접선의 방정식. ⑴ 곡선 위의 점 , 에서의 접선의 방정식. 함수 G Y 가 YB에서 미분가능할 때, 곡선 ZG Y. ⑵ 기울기가 인 접선의 방정식. 위의 점 B G B. 에서의 접선의 방정식은. ZG B G B YB. 평균값 정리 함수 G Y 가 닫힌구간 에서 연속이고 열린구간. B C 에서 미분가능하면 G C G B. G D. CB 인 D가 열린구간 B C 에 적어도 하나 존재한다.. 02. 함수 G Y YY

(226) 에 대하여 닫힌구간 <, > 에서 롤의 정리를 만족시키는 실수 D의 값을 구하시. 함수의 증가와 감소, 극대와 극소. 오.. ⑴ 함수의 증가와 감소의 판정 함수 G Y 가 어떤 열린구간에서 미분가능하고, 이 구 간에 속하는 모든 Y에 대하여 1. G Y 이면 G Y 는 이 구간에서 증가한다.. 2. G Y 이면 G Y 는 이 구간에서 감소한다.. ⑵ 함수의 극대와 극소의 판정 미분가능한 함수 G Y 에 대하여 G B 이고,. YB의 좌우에서 1. 03. G Y 의 부호가 양에서 음으로 바뀌면 G Y 는. 정리를 만족시키는 실수 D의 값을 구하시오.. YB에서 극대이다. 2. 다음 함수에 대하여 주어진 닫힌구간에서 평균값. G Y 의 부호가 음에서 양으로 바뀌면 G Y 는. ⑴ G Y YY

(227) <, >. YB에서 극소이다.. ⑵ G Y YY <, >. 방정식과 부등식에의 활용 1. 방정식 G Y H Y 의 서로 다른 실근의 개수는 두. 2. 두 함수 G Y , H Y 에 대하여 어떤 구간에서 부등식. 함수 G Y 와 H Y 의 그래프의 교점의 개수와 같다.. G Y yH Y 가 성립함을 보이려면 그 구간에서 G Y H Y y임을 보이면 된다.. 속도와 가속도 수직선 위를 움직이는 점 1의 시각 U에서의 위치 Y가. YG U 일 때, 시각 U 에서의 점 1의 속도 W 와 가속도 B는 W. 102. EY EW G U , B W U. EU EU. Ⅱ. 다항함수의 미분법. 04. 다음 함수의 증가와 감소를 조사하고, 극값을 구하 시오.. ⑴ G Y YY

(228) ⑵ G Y Y

(229) Y

(230) .

(231) 05. 다음 방정식의 서로 다른 실근의 개수를 구하시오.. ⑴ YY

(232) Y

(233) . 06. ⑵ Y

(234) Y

(235) . 수직선 위를 움직이는 점 1의 시각 U에서의 위치 Y가 YUU일 때, 다음을 구하 시오.. ⑴ U에서의 점 1의 속도와 가속도 ⑵ 점 1가 운동 방향을 바꿀 때의 시각과 그때의 위치. 표 준. 07. 곡선 ZYY

(236) 의 접선 중에서 기울기가 최소인 접선의 방정식을 구하시오.. 08. 곡선 ZY

(237) Y 위의 점 , 에서의 접선과 Y축, Z축으로 둘러싸인 부분 의 넓이를 구하시오.. 09. 두 곡선 ZY 과 ZBY

(238) CY가 점 , 에서 만나고, 이 점에서의 접선이 서로 수직일 때, 상수 B, C의 값을 구하시오.. 2. 도함수의 활용. 103.

(239) 10. 함수 G Y Y

(240) BY

(241) CY

(242) D가 Y에서 극솟값을 갖고 Y에서 극댓값 를 가질 때, G Y 의 극솟값을 구하시오.. 11. 닫힌구간 <, >에서 함수 G Y BYBY

(243) 의 최솟값이 일 때, 양수. B의 값을 구하시오.. 12. 곡선 ZYYY와 직선 ZY

(244) L가 서로 다른 두 점에서 만나도록 하는 모든 실수 L의 값의 곱을 구하시오.. |서 술 형|. 13. 두 함수 G Y Y Y Y

(245) , H Y Y

(246) Y

(247) B에 대하여 닫힌구간 <, > . . . 에서 G Y yH Y 가 성립하도록 하는 실수 B의 최댓값을 구하는 풀이 과정과 답을 쓰시오.. 14. 직선 도로를 달리는 어떤 자동차의 운전자가 N 앞의 정지 신호를 발견하고 브 레이크를 밟았다. 브레이크를 밟은 후 U초 동안 달린 거리 Y N가 YUDU```이라 고 한다. 이때 정지선을 넘지 않고 멈추기 위한 양수 D의 최솟값을 구하시오.. 104. Ⅱ. 다항함수의 미분법.

(248) 발 전 |서 술 형|. 15. 원점에서 곡선 ZY``

(249) 에 그은 접선이 점 L, 를 지날 때, L의 값을 구하는 풀이 과정과 답을 쓰시오. 단, 접점은 제``사분면에 `있다.. 16. 함수 G Y BYY

(250) B

(251) Y

(252) 이 YYm인 임의의 실수 Y, Ym에 대하여 항상 G Y G Ym 일 때, 실수 B의 값의 범위를 구하시오.. 17. 한 변의 길이가 DN인 정삼각형 모양의 종이가 있다. 오른쪽 그림과 같이 세 꼭짓점 주위에서 합동인 사각형을 잘라 내고 남은 부분을 접어서 뚜껑이 없는 삼각기둥 모양. x`cm. 의 상자를 만들려고 할 때, 상자의 부피가 최대가 되도록 하는 Y의 값을 구하시오.. 18. 12`cm. 최고차항의 계수가 인 삼차함수 G Y 가 모든 실수 Y에 대하여 G Y G Y. 를 만족시킨다. 방정식 ]G Y ]이 서로 다른 네 개의 실근을 가질 때, G 의 값을 구하시오.. 2. 도함수의 활용. 105.

(253) II. 대단원 평가하기 하. 중. 상. 01. 04. 함수 G Y Y``Y 에 대하여 Y의 값이 B 에서 B

(254) 까. 다음 함수가 Y에서 미분가능할 때, 상수 B, C의 값을. 지 변할 때의 평균변화율이 일 때, 상수 B의 값을 구하시. 구하시오.. Y. a Y G Y X L BY

(255) C Y. 오.. 05 함수 G Y Y``

(256) B Y``

(257) Y``

(258) Y

(259) 에 대하여. G 일 때, 상수 B의 값은?. 02 다항함수 G Y 에 대하여 G , G 일 때,. G Y Y G . 의 값을 구하시오. MJN Y Z Y. ①. ② . ④ . ⑤ . ③ . 06 MJN Y Z. Y

(260) Y 의 값을 구하시오. Y. 03 함수 G Y Y

(261) BY

(262) 의 그래프 위의 점. 에서의 접선의 기울기가 N일 때, 상수 B와 N에 대하여 B

(263) N의 값은?. ①. ②. ④. ⑤ . 106. Ⅱ. 다항함수의 미분법. 07 다항함수 ZG Y 의 그래프 위의 점 에서의 접선. ③. 의 기울기가 이다. G Y 를 Y 으로 나누었을 때의 나머지를 3 Y 라 할 때, 3 의 값을 구하시오..

(264) 08. 12. 곡선 G Y Y

(265) 에 대하여 다음을 구하시오.. 곡선 Z YB YC YD 위의 점 에서의. ⑴ 곡선 위의 점 , 에서의 접선의 방정식. 접선의 기울기가 일 때,.

(266)

(267) B C D. ⑵ 원점을 지나고 이 곡선에 접하는 직선의 방정식. 의 값을 구하시오. 단, B, C, D는 상수. 09 곡선 ZY

(268) BY

(269) C 위의 점 에서의 접선의 방 정식이 ZY

(270) 일 때, 상수 B, C에 대하여 BC의 값. 13. 은?. ①. ②. ④. ⑤ . ③. 함수 G Y YY

(271) 에 대하여 닫힌구간 < > 에서 평균값 정리를 만족시키는 실수 D의 값을 구하시오.. 10 두 곡선 ZY

(272) BY

(273) C, ZY

(274) D가 점 에 서 접할 때, 상수 B, C, D의 값을 구하시오.. 14 함수 G Y Y

(275) BY

(276) Y가 실수 전체의 집합에서 증가 하도록 하는 실수 B의 값의 범위를 구하시오.. 11 점 에서 곡선 ZY

(277) Y에 그은 두 접선의 접점 과 원점을 꼭짓점으로 하는 삼각형의 넓이는?. ① . ②. ④. ⑤ o. ③ . 15 함수 G Y YY

(278) BY

(279) C가 Y에서 극댓값 를 가질 때, G Y 의 극솟값을 구하시오.. 대단원 평가하기. 107.

(280) II. 대단원 평가하기. 16. 19. 함수 G Y Y

(281) LY LY

(282) 이 극값을 갖지 않도록 하. 밑면의 반지름의 길이와 높이의 합이 DN인 원기둥의. 는 정수 L의 개수를 구하시오.. 부피가 최대일 때, 이 원기둥의 밑면의 반지름의 길이를. . . 구하시오.. 17 사차함수 G Y 의 도함수. y. y=f '{x}. ZG Y 의 그래프가 오른쪽. 20 방정식 YY

(283) L이 한 개의 양수인 근과 서로. 그림과 같고 -1 O 1. G G G . 3 x. 다른 두 개의 음수인 근을 갖도록 하는 정수 L의 개수를 구하시오.. 일 때, 옳은 것만을 보기에서 있는 대로 고른 것은? 보기. ㄱ. G ㄴ. G Y 는 Y에서 극소이다. ㄷ. ZG Y 의 그래프는 Y축과 서로 다른 네 점에 서 만난다.. 21 모든 실수 Y에 대하여 부등식 YYyL가 성립하도. ①ㄱ. ② ㄱ, ㄴ. ③ ㄱ, ㄷ. ④ ㄴ, ㄷ. ⑤ ㄱ, ㄴ, ㄷ. 록 실수 L의 값의 범위를 정하시오.. 22 18. 수평인 지면으로부터 N 높이에서 NT의 속도로 . . . 함수 G Y Y

(284) BY

(285) B Y이 Y에. 수직으로 위로 던져 올린 물체의 U초 후의 높이 I N가. 서 극솟값, Y에서 극댓값을 갖도록 하는 실수 B의 값. I

(286) UU이다. 이 물체가 최고 높이에 도달했을. 의 범위를 구하시오.. 때 지면으로부터의 높이를 구하시오.. 108. Ⅱ. 다항함수의 미분법.

(287) 24. 23번부터 25번까지 서술형입니다.. 함수 G Y YY에 대하여 다음에 답하시오.. 23 다음 그림과 같이 곡선 ZY과 Y축으로 둘러싸인 도. 을 구하시오.. 형에 내접하는 사다리꼴의 넓이의 최댓값을 구하시오. y 4. ⑴ 닫힌구간 <, >에서 G Y 의 최댓값과 최솟값. y=4-x@. 정식 G Y B가 서로 다른 세 실근을 갖도록 ⑵방 하는 실수 B의 값의 범위를 구하시오.. -2. O. 2 x. 25 수직선 위를 움직이는 두 점 1, 2의 시각 U에서의 위치가 각각. Yz U UU, Y U UU 일 때, 두 점 1, 2가 서로 반대 방향으로 움직이는 U의 값. 기평. 가. 자. 의 범위를 구하시오.. 정답을 맞힌 문항에 ○표하여 학습 성취도를 표시하고, 부족한 부분은 교과서의 해당 쪽을 확인하여 복습하자.. 문항 번호. 성취 기준. 성취도. 복습. 01 02. 미분계수의 뜻을 알고, 그 값을 구할 수 있다.. 53~ 56쪽. 03 04. 미분계수의 기하적 의미를 이해하고 미분가능성과 연속성의 관계를 이해할 수 있다.. 56~ 59쪽. 05 06 07. 함수의 도함수를 구할 수 있다.. 61~ 66쪽. 08 09 10 11 12. 접선의 방정식을 구할 수 있다.. 73~ 75쪽. 13. 함수에 대한 평균값 정리를 이해할 수 있다.. 76~ 80쪽. 14 15 16 17 18. 함수의 증가와 감소, 극대와 극소를 판정하고 설명할 수 있다.. 82~ 88쪽. 19 23 24-⑴. 함수의 그래프의 개형을 그려 최댓값과 최솟값을 구할 수 있다.. 90~ 93쪽. 20 21 24-⑵. 방정식과 부등식에 대한 문제를 해결할 수 있다.. 95~ 97쪽. 22 25. 속도와 가속도에 대한 문제를 해결할 수 있다.. 99~101쪽. 성취도. 만족,. 보통,. 미흡. 대단원 평가하기. 109.

(288) 수학 이야기. 온도에 따라 변하는 물의 부피 지구상의 대부분의 물질은 열을 가하면 부피가 늘어나 팽창한다. 그러나 예외가 있는데, 바로 우리 가 늘 마시며, 없으면 살기 어려운 물이다. 물은 일 때 부피가 최소이고, 이보다 온도가 내려가거나 올라가면 물 분자들이 팽창하여 빈 공간 이 많이 생기는 구조가 되어서 부피가 오히려 커지게 된다. 그 이유는 물의 독특한 분자 구조 때문인데, 다음 그림과 같이 물의 온도가 내려가면 물 분자들이 수소 결합 상태로 육각형 구조를 이루기 때문이다.. H. H O. 수소. 산소. 물 분자. 물의 입자 구조. 얼음의 입자 구조. 그렇다면 물의 온도에 따른 부피는 어떤 함수로 나타낼 수 있을까?. 물의 온도가 와 사이에서는, 온도가 5일 때의 물의 부피 7N-를. 7 5 5A

(289) 5A5

(290) . 과 같이 나타낼 수 있다고 한다. 한편, 이것을 미분하면. 7 5 5A

(291) 5. . 이므로, 7 5 인 5의 값을 구하면 약 이다. 또, 5일 때 7 5 이므로 7는 감소하고, 5y일 때 7 5 y이므로. 7는 증가한다. 이 사실로부터 함수 7 5 의 그래프를 그리면 오른쪽 그림과 같으며, 온도가 약 일 때, 물의 부피가 최소가 됨을 확인할 수 있다.. V{mL} 1001.7 1001.2 1000.7 1000.2 999.7 0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 T{±C}. (출처: 4UFXBSU + 『미분적분학』). 110. Ⅱ. 다항함수의 미분법.

(292) 뿌리가 되는. 빅데이터 분석과 미분. 수학. 빅데이터는 데이터베이스에 잘 정리된 정형 데이터뿐만 아니라 인터넷, 소셜 네트워크 서비스, 모바일 환경에 서 폭발적으로 생성되는 웹 문서, 이메일, 소셜 데이터 등의 비정형 데이터를 효과적으로 분석하는 것이 중요하 다. 왜냐하면 급격히 증가하는 정보의 양 중에서 는 정형 데이터, 나머지 는 비정형 데이터가 될 것으 로 예상되기 때문이다.. 비정형 데이터에서 의미 있는 정보를 찾는 것은 빅데이터 분석에서 아주 유용하다. 한 예로 외국의 어느 택배 전문 업체는 하루에 움직이는 수만 대의 트럭에 각종 감지기를 달아 위치, 속도, 유압 등 데 이터를 수집해 운전자에게 가장 짧은 운행 루트와 차량 부품 교체 시기를 알려 주게 만들었다고 한다. 이들이 하루에 약 .ALN의 운행 거리를 줄이면 연간 억 원의 비용이 절감되기 때문이다. 비정형 데이터에서 의미 있는 정보를 찾는 것을 수학에서의 최적화 문제로 바꾸어 생각해 볼 수 있 고, 이 문제를 해결하는 가장 단순한 원리는 주어진 함수 G Y 의 현재 위치에서 함숫값이 감소하는 방 향으로 Y의 값을 이동시키는 것이다. 이를 반복적으로 수행하면 함숫값이 최소가 되는 지점을 발견할 수 있는데, 이때 이용되는 가장 기본적인 원리가 바로 미분이다. 어떤 점 Y~에서 시작하여 함수 G Y 가 어떤 수에 수. y. 렴할 때까지 Y²의 값의 변화를 식으로 나타내면 다음과 같다.. Y² Y²GG Y² L, , , U. x¡=xº-¬f'{xº} x™=x¡-¬f'{x¡} x£=x™-¬f'{x™}. 여기서 G는 상수로 생각하고 현재 지점에서 도함수. G Y 가 양수이면 Y의 값을 감소시키고 G Y 가 음수. O. x. x£ x™ x¡. 이면 Y의 값을 증가시키는 과정을 반복하여 함수 G Y. 의 극솟값을 찾는다. 이때 함수의 최적화는 이처럼 함수 G Y 가 극소가 되는 Y의 값을 찾는 것이다. 빅데이터를 구조화하여 분석하거나 다른 영역에 존재하는 데이터들을 서로 연결하여 새로운 의미를 찾는 것은 데이터를 최적화 하는 것으로 볼 수 있고, 이와 같은 일을 하는 사람들을 데이터 분석가라고 한다. (출처: 『어패럴 뉴스』, 년 월 일 / #BZEJO, ". (., 1FBSMNVUUFS, #. "., 3BEVM, ". "., 4JTLJOE, +. .., 「"VUPNBUJD EJGGFSFOUJBUJPO JO NBDIJOF MFBSOJOH: B TVSWFZ」). 뿌리가 되는 수학. 111.

(293)