질점의 평형 조건

제 3장 질점의 평형(Equilibrium)

수업목표:

a) 자유물체도(FBD)를 그리고, b) 2차원 문제를 풀기 위해

평형방정식을 적용하는 법.

강의 내용:

예습 퀴즈

• 응용 예

• FDB는 무엇, 왜, 어떻게

• FDB는 무엇, 왜, 어떻게 그리는가?

• 평형방정식

• 스프링과 풀리의 해석

• 개념 퀴즈

• 그룹 문제 해결

• 주의 환기 퀴즈

질점의 평형 조건

평형 상태(Equilibrium state): 원래 정지해 있던 질점이 계속 정지 상태를 유지하거나 또는

일정한 속도 움직이고 있는 상태.

정적 평형상태: 대상 물체가 정지해 있는 상태 물체가 평형을 유지하려면,

물체가 평형을 유지하려면,

질점에 작용하는 모든 힘의 합력이 0이 되어야 한다.

Σ F = 0

ΣF

i + ΣF

j = 0 = 0 i + 0 j

예습 확인 퀴즈

1) 어떤 질점이 평형상태에 있을 때, 그것에 작용하는 힘의 합은 _?__ . (가장 적절한 답을 선택하라.)

A) 상수 B) 양수 C) zero D) 음수 E) 정수

2) 마찰이 없는 풀리와 케이블에 대하여, 케이블에 걸리는 인장력(T 과 T ) 사이의 관계는?.

걸리는 인장력(T₁과 T₂) 사이의 관계는?.

A) T₁ > T₂ B) T₁ = T₂ C) T₁ < T₂

D) T₁ = T₂ sin θ

줄, 코드, 현, 케이블, 로프는 줄 방향으로 장력 만을 전달(작용) 할 수 있다.

응 용

주어진 무게의 릴에 대하여, 케이블

AB와 AC에 걸리는 힘은 얼마인가 ?

질점 A의 자유물체도

응 용 (계속)

주어진 케이블 강도에 대하여, 들어올릴 수 있는 최대중량은

있는 최대중량은 얼마인가?

스프링

케이블

풀리

스프링력= 스프링상수* 변형량, or F = k * S

마찰이 없는 풀리에서는,

T₁ = T₂.

2차원에서 질점의 평형 (3.3 절)

이것은 2차원(2-D) 혹은 평면력계(coplanar force

system)의 한 예이다. 조립체 전체가 평형상태에 있고, 질점 A 또한 평형 상태에 있다.

주어진 중량의 엔진에 대하여 케이블에 걸리는 장력을 구하기 위해, 여러분은 자유물체도(free body diagram:FBD)를 그리고

평형방정식(equations of

equilibrium)을 적용하게 된다.

자유물체도 (Free Body Diagram: FBD) 란?

자유물체도는 정역학 문제를 푸는데 있어서 대단히

중요한데, 어떻게 그리며 어떻게 사용하는지 알아야 한다.

What ?

What ?

Why ?

How ?

1. 주위로 부터 고립시키거나 떨어져 나온 질점을 가정한다.

2. 질점에 작용하는 모든 힘을 나타낸다.

작용력: 질점을 움직이려는 힘.

반작용력: 운동에 저항하려는 힘.

3. 알고 있는 각 힘을 자유물체도에 표시하고 알려진 크기와 3. 알고 있는 각 힘을 자유물체도에 표시하고 알려진 크기와

방향을 나타낸다. 구해야 할 모든 미지수는 그 크기와 방향을 변수(기호)로 나타낸다.

질점 A점의 FBD

A

2차원 평형방정식

여기서 질점 A는 평형상태에

있으므로, A점에 작용하는 순 힘 (또는 힘의 합)은 0이 되어야 한다.

따라서 F_AB + F_AB + F_AC = 0 or Σ F = 0

FBD at A A

스칼라 형식으로 표시하면; Σ F_x = 0, Σ F_y = 0

일반적으로, 평형상태에 있는 질점에서는, Σ F = 0 or ΣF_x i + ΣF_y j = 0 = 0 i + 0 j (벡터 형식)

즉 2차원 질점 문제에서는 각 축방향으로, 두 개의 스칼라 평형방정식 (E of E)을 얻을 수 있고, 이것은 두 개의 미지수를 구하는데 사용할 수 있다 .

동일 평면 힘계

여기서 질점 O는 평형상태에

있으므로, O점에 작용하는 순 힘 (또는 힘의 합)은 0이 되어야 한다.

따라서 F₁+ F₂ + F₃ + F₄ = 0

or Σ F = 0 (벡터 형식) O

스칼라 형식으로 표시하면 Σ F_x = 0

Σ F_y = 0

or ΣF_x i + ΣF_y j = 0

예제 3-2

엔진 질량 = 250 Kg A점의 FBD

스칼라 평형방정식을 작성한다:

+ → Σ F_x = T_B cos 30º – T_D = 0 :x축 방향 + ↑ ΣF_y = T_B sin 30º – 2.452 kN = 0 :y축 방향 먼저 두 번째 방정식을 풀면: T_B = 4.90 kN

그리고 첫 번째 방정식에 대입하여: T_D = 4.25 kN 를 구한다. (케이블의 무게는 무시)

예제 3 - 3

주어진 값: 주머니 A는 20N의 무게를 가지고 주어진

계의 형상은 그림과 같다.

목표: 주머니 B의 무게와 줄에 걸리는 장력(힘)을

구하라.

1. 먼저 링 E에 대한 FBD를 그린다.

2. 미지수(T_EG & T_EC)를 구하기 위해 E점에 평형방정식을 적용한다.

3. 이러한 과정을 링C에 반복한다.

구하라.

계획 (풀이):

예제 3-3

X와 Y방향의 평형방정식은:

링E에서의 FBD는 왼쪽과 같다.

여기서 두 줄에 걸리는 장력은 미지수로 기호로 가정하였다.

(줄, 케이블, 현, 코드에는 언제나 장력이 걸린다는 것에 주의).

X와 Y방향의 평형방정식은:

+ → Σ F_x = T_EG sin 30º – T_EC cos 45º = 0

+ ↑ Σ F_y = T_EGcos 30º – T_EC sin 45º – 20 N = 0

두 미지수를 구하기 위해 두 개의 연립방정식을 풀면:

T_EC = 38.6 N, T_EG = 54.6 N

링C 쪽으로 옮겨가자.

C에 대한 FBD는 왼편과 같다.

예 제

+ → Σ F_x = 38.64 cos 45° – (4/5) T_CD = 0

+ ↑ Σ F_y = (3/5) T_CD + 38.64 sin 45° – W_B = 0 두 개의 연립방정식을 풀면:

T_CD = 34.1 N and W_B = 47.8 N . X와 Y방향의 평형방정식은:

개념 질문

1000 N

1000 N

1000 N ( A ) ( B ) ( C )

1) 로프의 구조를 안다고 할 때, 위의 시스템 중 케이블에 1) 로프의 구조를 안다고 할 때, 위의 시스템 중 케이블에

작용하는 힘을 구할 수 없는 것은 어느 것인가?

A) 하중이 너무 무거워서.

B) 케이블이 너무 가늘어서.

C) 평행방정식의 수 보다 더 많은 수의 미지수 때문에.

D) 1000 N의 하중을 감당하기에는 케이블 가닥 수가 너무 작다.

2) 왜?

집단 문제 해결

주어진 값: 승용차가 600N의 힘과 각도 θ=25°로

일정한 속도로 견인되고 있다.

목 표: 로프 AB 와 AC에 걸리는 힘을 구하라.

1. 점 A에 대한 FBD를 그린다.

2. 로프 AB와 AC에 걸리는 힘을 구하기 위하여 평형방정식을 적용한다.

힘을 구하라.

계획 (풀이):

25° 30°

600 N

F A

점A에 대한 FBD

집단 문제 해결(계속)

F_AB F_AC

A점에 스칼라 평형방정식을 적용하면, + → ∑F_x = F_AC cos 30° – F_AB cos 25° = 0

+ → ∑F_y = -F_AC sin 30° – F_AB sin 25° + 600 = 0 위의 두 연립방정식을 풀면;

F_AB = 634 N, F_AC = 664 N

주의 환기 퀴즈(I)

A 40°

100 N

1. 질점 A에 대한 바른 자유물체도(FBD)는?

30°

30°

A) ^A

100 N

B)

40°

A

F1 F²

C) 30°

A F

100 N

A

30° 40°

F¹ F²

100 N

D)

F₂ 20 N

F₁ C

50°

2. 질점 C에 대한 FBD에서, x-방향 힘의 합 (Σ F_X) 은 __?_ 와 같이 주어진다.

여기서 → 방향을 +부호로 하라.

A) F₂ sin 50° – 20 = 0 B) F₂ cos 50° – 20 = 0

주의 환기 퀴즈(II)

B) F₂ cos 50° – 20 = 0 C) F₂ sin 50° – F₁ = 0 D) F₂ cos 50° + 20 = 0

3차원 힘계 (3.4절)

여기서 질점 A는 평형상태에

있으므로, A점에 작용하는 힘의 합 (또는 순 힘 )은 0이 되어야 한다.

따라서 F_A+ F_B + F_C +W= 0

or Σ F = 0 (벡터 형식)

스칼라 형식으로 표시하면;

세 개의 스칼라성분 방정식을 만족하여야 한다.

Σ F_x = 0

Σ F_y = 0 (3-5) Σ F_z = 0

or ΣF_x i + ΣF_y j +ΣF_z k = 0

예제 3 - 5

주어진 값: 점A에 90N의 하중이 두 개의 케이블과 강성도 k=500 N/m인 스프링으로 지지되어 있다.

목표: 평면상태에서 각 케이블 이 받는 장력과 스프링의 늘어난 길이를 구하라.

1. 점 A에 대한 FBD를 그린다.

2. 미지수(F_B, F_C & F_D)를 구하기 위해 A점에 평형방정식을 적용한다.

3. 스프링의 늘어난 길이를 구한다.

길이를 구하라.

풀이: 스프링에 걸린 힘을 구하면 스프링의 늘어난 길이를 구할 수 있다.

예제 3-5

X, Y, Z방향의 평형방정식은:

A점에서의 FBD는 왼쪽에 보인 것과 같다. 여기서 세 줄에 걸리는 장력을 가정하였다. (줄, 케이블, 현, 코드에는 언제나 장력이

걸린다는 것에 주의).

X, Y, Z방향의 평형방정식은:

Σ F_x =0 F_D sin 30º – 4/5F_C = 0 Σ F_y =0 -F_D cos 30º + F_B = 0 Σ F_z =0 3/5F_C – 90 = 0

세 미지수를 구하기 위해 두 개의 연립방정식을 풀면:

F_C = 150 N, F_D = 240 N, F_B = 208 N

스프링의 늘어난 길이는; F_B = ks_AB 208=500 s_AB s_AB= 0.416 m