Geodesic Shape Finding Algorithm for the Pattern Generation of Tension Membrane Structures
이 경 수1) ․ 한 상 을2)† Lee, Kyung Soo Han, Sang Eul
요 약： 막구조의 설계에서 막재료의 효율적인 사용을 위해서는 측지선에 의한 재단도 해석을 수행해야 한다. 막구조의 측지선 결정방법은 크 게 측지요소(geodesic element)를 이용한 비선형 형상해석에 의한 방법과 임의의 곡면 형상에 대한 측지선 탐색에 의한 방법으로 나눌 수 있는데, 현재까지 이 두 가지 해석법은 모두 3절점요소에 대한 적용알고리즘 만이 제시되었고, 4절점 요소에 대한 해석법은 제시되지 않았다. 이는 막구조 의 설계에서 4절점 요소의 적용을 어렵게 하는 가장 큰 요인이라고 할 수 있다. 본 연구에서는 3절점, 4절점 평면요소에 동시에 적용 가능한 측지선 결정알고리즘을 제시한다. 이를 위해 저자의 이전 연구를 발전시켜 명시적 비선형 해석법인 동적이완법을 비선형 측지선 형상해석에 적용하였다. 또 한 3절점요소 뿐만 아니라 4절점요소에 대해서도 측지요소의 도입에 의한 형상해석이 가능하도록 하였으며, 4절점요소와 측지선요소에 의한 비선형 형상해석 및 재단도 해석예제를 통하여 본 연구에서 제시한 알고리즘의 정확성 및 효율성을 검증하였다. 따라서 본 연구에서 제안한 측지선 형상해 석알고리즘은 형상해석, 응력해석, 재단도 해석과 관련된 일련의 해석과정에 대한 4절점요소의 적용성을 높일 수 있을 것으로 사료된다.
ABSTRACT：Patterning with a geodesic line is essential for economical or efficient usage of membrane materialsin fabric tension membrane structural engineering and analysis. The numerical algorithm to determine the geodesic line for membrane structures is generally classified into two. The first algorithm finds a non-linear shape using a fictitious geodesic element with an initial pre-stress, and the other algorithm is the geodesic line cutting or searching algorithm for arbitrarily curved 3D surface shapes.
These two algorithms are still being used only for the three-node plane stress membrane element, and not for the four-node element. The lack of a numerical algorithm for geodesic lines with four-node membrane elements is the main reason for the infrequent use of the four-node membrane element in membrane structural engineering and design. In this paper, a modified numerical algorithm is proposed for the generation of a geodesic line that can be applied to three- or four-node elements at the same time. The explicit non-linear static Dynamic Relaxation Method (DRM) was applied to the non-linear geodesic shape-finding analysis by introducing the fictitiously tensioned 'strings' along the desired seams with the three- or four-node membrane element.
The proposed algorithm was used for the numerical example for the non-linear geodesic shape-finding and patterning analysis to demonstrate the accuracy and efficiency, and thus, the potential, of the algorithm. The proposed geodesic shape-finding algorithm may improve the applicability of the four-node membrane element for membrane structural engineering and design analysis simultaneously in terms of the shape-finding analysis, the stress analysis, and the patterning analysis.
핵 심 용 어 : 막구조, 측지요소, 형상해석, 측지선, 재단도
KEYWORDS : tension membrane structures, geodesic element, shape finding, geodesic line, patterning
1. 서 론
막구조물과 같은 인장구조물은 초기장력에 의한 형상해석과 정을 통해 3차원 곡면형태를 결정하고, 이를 구조해석 및 재 단도해석에 사용한다. 따라서 인장구조물이 다른 구조시스템
1) 인하대학교 건축학부, 공학박사([email protected]) 2) 교신저자. 인하대학교 건축학부 교수, 공학박사
(Tel. 032-860-7592, Fax. 032-873-5724, E-mail : [email protected])
과 구별되는 가장 큰 특징은 초기장력의 도입 및 3차원 곡면 형상을 결정하기 위한 형상해석이라 할 수 있다.3)
형상해석을 위한 해석알고리즘으로 비선형 및 선형해석법이 제안되었다. 비선형 해석법으로 뉴튼랩슨법이나 동적이완법에 의한 기하학적 비선형해석법이 있고, 선형해석법으로 내력밀
본 논문에 대한 토의를 2010년 8월 31일까지 학회로 보내주시면 토의 회답을 게재하겠습니다.
도법이 있다. 뉴튼랩슨법과 동적이완법은 구조물의 불평형력 또는 포텐셜 에너지를 최소화시켜, 초기조건에 수렴될 때까지 반복해석을 수행하는 비선형해석법이다. 이중 동적이완법은 동적평형방정식을 사용해 정적평형상태를 찾는 수치해석법으 로 시간에 대한 명시적해석법이 주로 사용된다. 선형해석법인 내력밀도법은 케이블네트 및 인장 막구조의 형상해석법으로 널리 사용되는데, 반복해석 없이 매끄러운 3차원 곡면형상을 효율적으로 찾을 수 있는 해석법이다. 그러나 외부하중에 대 한 응력-변형해석을 위해 비선형해석을 별도로 수행해야하는 단점이 있다.
3차원의 막구조물에 대한 형상을 평면에 투영한 막재 원단 의 2차원 평면도를 재단도라 한다. 이는 섬유원단을 가공하 기 위한 기초도면이며, 재단도에 의해 가공된 막재를 융착 가 공하여 곡면의 막구조물을 형성한다.
재단도를 결정하기 위해서는 3차원 곡면에 대한 절단면 혹 은 절단선이 필요한데, 일반적으로 측지선(geodesic line)을 재단도를 위한 절단선으로 사용한다. 측지선은 곡면상의 2점 을 연결하는 가장 길이가 짧은 선이다. 따라서 측지선을 따라 곡면을 평면에 투영하면, 다른 절단선에 비해 길이가 가장 짧 게 된다. 따라서 막재 원단을 가장 효율적으로 사용할 수 있 게 된다.
측지선 결정을 위한 방법으로 해석적으로 비선형 형상해석 을 통하여 측지선을 결정하는 방법이 있고, 또 다른 방법으로 형상해석을 통하여 얻은 곡면상의 특정 절점을 연결하는 최 단선을 투영기법을 통하여 계산하는 방법이 있다(Moncrieff 등, 1990).
해석적으로 측지선을 결정하기 위해서는 가상의 선요소를 도입하여 막구조물에 대한 비선형 형상해석을 수행해야 한다.
이때 형상해석법으로 뉴튼랩슨법과 동적이완법, 비선형 알고 리즘을 적용한 내력밀도법이 사용될 수 있는데, 이전의 연구 에서는 주로 동적이완법이 사용되었다(Barnes, 1988:
Moncrieff 등, 1990: Ong 등, 1991). 동적이완법이 막구 조물과 같이 연성구조물의 형상해석 및 응력변형해석 등의 대변형 해석에 주로 사용되는 이유는, 동적이완법에서는 요소 강성행렬을 해석과정 중 사용하지 않기 때문에, 해석 중 발생 할 수 있는 대변형에 의한 요소강성행렬의 특이현상을 피할 수 있기 때문이다.
곡면상의 특정 절점에 대한 최단선을 투영기법으로 결정하 는 방법은 주로 내력밀도법과 함께 사용되었다(Moncrieff 등, 1990: Grundig 등, 1996). 내력밀도법을 이용하면 복 잡한 형상에 대해서도 비교적 간단하면서 효율적으로 형상을 얻을 수 있기 때문에, 형상해석법으로 가장 일반적으로 사용 된다. 그러나 곡면에 대한 최단선을 절단하는 방법은 반드시
내력밀도법에 대해서만 성립하는 것은 아니며, 뉴튼랩슨법, 동적이완법과 같이 임의의 해석법에 의해 얻은 형상에 대해 서도 적용가능하다.
막구조물의 설계에 대한 대표적인 연구는 Barnes(1988, 1991), Grundig(1988, 1996)의 연구를 예로 들 수 있다.
그러나 이들의 연구는 공통적으로 3절점 막요소에 대해서만 적용사례를 보고하고 있으며, 실무적으로 매우 유용한 4절점 요소에 대해서는 형상해석 및 측지선 결정 알고리즘을 제시 하지 않았다. 그 이유는 재단도 및 측지선 결정 이론이 3절 점으로 규정되는 평면에 대해서만 적용 가능하도록 이들의 연구가 수행되었기 때문인 것으로 판단된다. 막구조물의 형상 해석 및 응력 변형해석을 수행하는데 있어서 4절점 요소의 사용 가능성 여부는 막구조물에 대한 설계에 있어서 매우 큰 효율성을 증진시킬 수 있다.
따라서 본 연구에서는 저자의 이전의 연구결과를 바탕으로 Banes(1988, 1991)의 이론을 발전시켜 3절점 및 4절점 요소에 적용 가능한 측지형상해석기법을 개발하였으며, 다양 한 해석예제를 통해 본 논문의 새로운 접근방법의 효율성 및 우수성을 검증하였다.
2. 전체포텐셜에너지
막요소를 이용한 막구조의 등장력곡면 형상해석은 불평형력 이 최소가 될 때까지 반복계산을 수행해야한다. 이때 전체 구 조물의 전체 포텐셜 에너지 는 변형에너지(strain energy)
와 외부하중에 의한 일인 의 합으로 나타낼 수 있다.
(1)
위 식을 m요소의 변형에너지 , 하중벡터 , 변위벡 터 로 다시 표현하면 다음 식과 같이 나타낼 수 있다.
(2)
위 식을 모든 절점변위 에 대해 편미분하면 다음과 같다.
(3)
(4)구조물의 내력과 외력의 차인 불평형력(residual)은 식(4) 로부터 다음과 같이 나타낼 수 있다.
(5)
(6)구조물의 전체 포텐셜 에너지가 최소인 상태를 정적하중 상 태에서의 정적 평형상태(static equilibrium state)로 보기 때문에, 정적 평형상태를 위한 조건식은 불평형력이 최소가 되는 다음과 같은 식으로 나타낼 수 있다.
(7)
일반적으로 식(7)의 값이 정확히 영(zero)을 만족시킬 수 없기 때문에, 불평형력이 영에 충분히 접근하여 수렴한계 (convergence criteria)를 만족시킬 때 이 상태를 정적평형 상태로 간주한다. 인장구조물의 형상해석(shape finding)은 외부하중이 없는 상태에서 임의의 초기장력만으로 형상해석 을 수행한다. 따라서 형상해석을 위한 불평형력 는 식(5)로 부터 다음과 같이 나타낼 수 있다.
(8)식(8)의 불평형력은 초기응력에 의해 계산되는 절점력으로 이 불평형력에 의해 구조물의 절점좌표가 바뀌게 되며, 어떠 한 평형상태에서 불평형력이 최소가 된다. 일반적으로 막구조 의 초기형상을 등장력곡면(equally stressed surface)로 결 정한다.
3. 뉴튼랩슨법
뉴튼랩슨법은 빠른 수렴성을 갖는 대표적인 묵시적 비선형 수치해석법으로 불평형력 이 영에 가까워질 때까지 아래 식에 의해 반복적으로 증분변위를 계산한다.
(9)
(10)
위 식에서 는 식(6)의 접선강성행렬이다. 인장구조물 은 초기형상으로 등장력곡면을 주로 사용한다. 형상해석을 통 해 등장력곡면을 찾기 위해서는 막요소의 탄성계수를 zero로
지정하고 비선형 해석을 수행해야한다. 따라서 식(6)의 오른 쪽 두 번째식은 탄성강성행렬로 소거되고, 식(6)의 오른쪽 첫 번째 식인 기하강성행렬만으로 형상해석을 수행한다.
4. 동적이완법
Day(1960)에 의해 제안된 이래로 정적비선형 해석법으로 범용적으로 사용되고 있는 동적이완법은, Barnes(1975, 1988, 1991), 한상을 등(1998, 1999, 2003, 2007)에 의 해 막구조물에 적용되었다. 접선강성행렬을 사용하지 않고 구 조물의 정적 비선형응답 특성을 파악할 수 있는 동적이완법 의 특징 때문에 동적이완법은 주로 비선형성이 강하여 뉴튼 랩슨법으로 해석하기 곤란하거나 비효율적인 비선형 문제에 주로 사용된다. 그 대표적인 적용사례는 케이블, 막구조와 같 이 구조적으로 불안정성을 내포하고 있는 인장구조물의 형상 해석 및 응력해석(한상을 등, 1998, 2007)이고, 불안정구조 물의 안정화 이행과정해석(한상을 등, 1999: Han 등, 2003)이며, 또 다른 적용사례로 강성구조물의 후좌굴해석 (한상을 등, 2006: 이경수 등, 2008, 2009) 등이다.
Day(1960)에 의해 제안되었고, Barnes, 한상을, 이경수 등에 의해 다양한 비선형 해석에 적용된 동적이완법은 구조 물의 전체포텐셜 에너지를 최소화시키는 수치해석과정을 통 해 구조물의 정적 평형상태를 찾는 반복적 비선형 해석기법 이다. 시간증분 마다 구조물의 운동 상태를 추적해 나가 면서 구조물의 감쇠작용에 의해, 구조물이 정적 평형상태에 도달한다는 원리에서 출발한다.
동적이완법은 동적평형방정식에서 동적하중을 정적하중으로 치환하고 구조물 감쇠작용에 의해 어떤 특정 상태로 수렴하 는 정적평형상태를 추적한다. 구조물의 동적 평형방정식은 위 식과 같다.
＋ (11)
위 식에서 동적하중 를 정적하중 로 적용하고, 식을 고쳐 다시 표현하면 다음 식과 같이 나타낼 수 있다.
＋ (12)
위 식의 왼쪽 항을 -시간스텝에서 식(2.4)에 의한 불평형 력으로 보고 다시 정리하면 다음식과 같이 나타낼 수 있다.
＋ (13)
위 식에서 는 각각 구조물의 가상질량(fictitious mass)과 점성감쇠(viscous damping)이고, 는 - 시간스텝에서 구조물의 가속도와 속도이다.
시간증분 에 대한 절점속도의 유한차분 특성을 도입하 고, 구조물의 점성감쇠(viscous damping)가 질량에만 비례 한다고 생각하고 점성감쇠를 질량에 대해 다시 표현하면 아 래식과 같이 나타낼 수 있다.
(14)
위식에서 상수 는 아래와 같다.
′
′
(15)
위식에서 ′ 은 단위질량에 대한 점성감쇠 계수(damping coefficient per unit mass)이고, 전체구조물에 대해 일정 한 값을 가진다.
따라서 구조물의 ＋ 에서의 증분변위는 위 속도에 관 한 식에 시간증분 를 선형보간 하여 다음과 같이 나타낼 수 있다.
＋
(16)
구조물의 새로운 좌표계 는 위 증분변위를 이용해 다음 식과 같이 나타낼 수 있으며, 명시적(explicit) 반복계산을 통해 불평형력이 최소가 되는 수렴상태를 계산하는데, 이때의 상태를 정적평형상태라 한다. 또한 형상해석, 응력해석, 안정 화 이행과정해석, 후좌굴해석 등 동적이완법이 적용된 고도의 비선형해석에서는 식(13), 식(14)등의 벡터연산만 수행하기 때문에 뉴튼랩슨법과 같은 묵시적 해석법에서 발생하는 접선 강성행렬계산, 역행렬의 계산, 행렬의 특이현상 등은 생략된 다. 따라서 동적이완법과 같이 묵시적 비선형 해석법은 수치 해석적 입장에서 매우 많은 이점이 있지만, 2차의 높은 수렴 성을 나타내는 뉴튼랩슨법에 비해서 많은 반복계산을 수행해 야하며, 접선강성행렬을 통해서 계산할 수 있는 고유모드 등 의 계산은 수행할 수 없다.
＋
(17)
5. 요소의 정식화
동적이완법은 접선강성행렬을 만들거나 행렬식의 계산을 수 행하지 않기 때문에 해석에 사용되는 각각의 요소에 대한 강 성행렬은 필요하지 않지만, 불평형력의 계산을 위해서는 요소 변형에 대한 응력 및 내력에 의한 절점력의 계산이 필요하다.
본 절에서는 유한요소법에 근거한 측지요소, 경계케이블요소 및 3절점, 4절점 막요소에 대한 정식화 과정을 소개한다.
5.1 측지요소 및 케이블요소의 정식화
측지요소나 케이블, 트러스 부재의 시간증분에서 의 부재축력
은 다음의 식을 통해 계산한다.
(18)
은 각각 초기상태와 시간증분에서의 부재길이를 나타내고, 은 요소에 도입되는 초기장력 (prestress)이다.
형상해석 단계에서는 일반적으로 탄성계수는 zero로 설정 한 상태에서 막면 및 막경계에 모델링한 측지요소 및 경계케 이블에 임의의 초기장력을 도입하여 형상해석을 수행하는데, 식(18)에서 부재축력 은 초기장력 으로 일정하 게 고정된다. 따라서 형상해석에 의한 형상은 일정하게 유지 되는 초기장력에 의해 결정된다. 또한 연구자 및 실무자에 따 라서는 수렴성의 증진을 위해서 케이블의 탄성계수를 0으로 하지 않고 임임의 작은 값으로 설정하여 막구조 및 케이블넷 트의 형상해석을 수행하기도 한다.
식(19)로부터 식(3)의 오른쪽 첫번째항과 같은 시 간증분에서의 절점의 축방향에 대한 내력에 의한 절점력 은 아래의 (20)식과 같다. 여기서 은 i절점에서 만나는 부재수이고, 는 부재의 시작점과 끝점이다.
식(18)로 요소의 부재력이 결정한 후 식(5)의 불평형력을 계 산을 위해서는 부재력에 의한 절점력을 계산해야 한다.
시간증분에서의 절점의 축방향에 대한 내력에 의 한 절점력은 아래식과 같다. 아래식에서 은 i절점에서 만나는 부재수이고, 는 부재의 시작점과 끝점이다.
(20)
5.2 3차원 막요소의 정식화
막구조의 해석에 사용되는 요소는 주로 그림1과 같은 3차 원 3절점 평면요소이다. 참고문헌(이장복 등, 2000: 손수덕 등, 2006: 한상을 등, 1998, 2007: Barnes, 1988)을 포 함한 그 외의 대부분의 수많은 연구논문 및 실무적용 사례에 서 그림1과 같은 3차원 3절점 평면요소가 사용되었으며, 현 재까지도 가장 일반적으로 널리 사용되고 있다. 막구조에서 고차요소 및 4절점요소의 사용이 적고, 3절점요소의 사용이 일반적인 가장 큰 이유는, 3절점요소를 사용하여도 형상해석, 응력해석, 재단도해석이 모두 가능하고, 막재료의 두께가 1-2mm 정도로 매우 얇고, 휨응력이 없기 때문에 판, 쉘과 달 리 구조적 거동특성이 매우 간단하여, 저차요소를 사용해도 해석적으로 큰 오차, 오류 없이 만족할 만한 결과를 얻을 수 있기 때문이다. 따라서 실무에서의 요구, 필요성을 못 느끼는 현재의 상황이 어쩌면 새로운 요소의 적용 및 개발을 막는 가장 큰 이유인 것으로 사료된다. 그럼에도 불구하고 이미 타 구조분야에서는 널리 사용되고 있는 고차, 4절점요소는 3절점 요소에 비해서 막구조에서도 많은 장점이 있는 것이 사실이 다.
한상을 등(2004a, 2004b)은 4절점요소를 적용하여 형상 해석 및 응력해석을 수행하여 해석적 정확성 및 효율성을 검 증하였다. 그러나 막구조에서 가장 중요한 분야의 하나인 재 단도해석이 아직도 3절점요소에 대해서만 적용가능하기 때문 에, 4절점요소를 사용하여 형상해석 및 응력해석을 수행했어 도 재단도해석을 위해서는 3절점요소로 변환해야하는 후처리 과정이 필요로 하는 단점이 있다. 이에 본 연구에서는 이전의 연구에서 시도하지 않았던 4절점요소와 측지요소를 사용하여 측지선 형상해석을 수행하고 이를 재단도를 위한 기본 형상 으로 사용하였다. 이를 통하여 막구조에서 4절점요소를 이용 하여 형상해석, 응력해석, 재단도해석에 모두 적용 가능한 알 고리즘을 개발하였다.
본 절에서는 한상을 등(2004a)에 의해 제안된 그림2의 4 절점 등매개 요소를 동적이완법에 적용하는 과정을 소개한다.
•
• •
•
1 2
3
ξ η
X
Y Z
x`
y`
z`
2 1
3
•
•
•
그림 1. 3차원 3절점 막요소의 형상
X
Y Z
x`
y`
z`
2 1
4 3
•
•
•
•
1 2
•
4
3
•
• •
ξ η
•
• •
•
x`
2x2 Gauss point
• y`
그림 2. 3차원 4절점요소의 형상
막구조에서 사용되는 막요소는 2차원 평면응력요소를 3차 원으로 변환한 요소로, 이미 일반적으로 알려진 평면요소의 정식화 과정을 통해 요소방정식을 얻을 수 있다.
막구조는 재료적으로 콘크리트, 철에 비해서 요소강성이 매 우 작기 때문에 초기응력(prestress)에 의해 초기강성을 확 보하고 막응력 중 인장력에 대해서만 저항성을 가진다. 따라 서 면에 작용하는 설하중, 풍하중 등의 외부하중에 대해서 기 하학적으로 대변위를 나타낸다. 기하학적 대변위에 더해서 직 교성을 나타내는 섬유직모의 재료적인 비선형성도 있지만, 두 께가 매우 얇은 재료적 특성에 의해 기하학적인 대변위가 지 배적인 특성이라고 할 수 있다. 따라서 2차원 평면요소의 변 형은 3절점, 4절점요소에 대해서 공통적으로 아래의 변형도 관계식을 가진다.
∂
∂
∂∂
∂∂
∂∂
(21) ∂
∂
∂∂
∂∂
∂∂
∂
∂ ∂
∂
∂∂
∂
∂ ∂
∂
∂
∂ ∂
∂
∂
∂
위 식을 미소 변형인 선형변형 과 대변형에 관한 비선형 변형 으로 구분하여 나타내면 다음식과 같다.
(22)
위식에서 비선형 변형도 관계식 은 아래의 식으로 나타 낼 수 있다.
(23)
(24)
(25)
위 식으로부터 비선형 변형도 변위관계 매트릭스 은
다음과 같이 나타낼 수 있다.
(26)
또한 식(22)에서 선형 변형도 관계식 은 아래의 식으로 나타낼 수 있다.
(27) (28)
위 식으로부터 변형도-변위관계 매트릭스도 도 선형과 비선형부분으로 나눌 수 있고, 증분형 비선형 해석과정 중 현 재 시간스텝의 응력은 아래의 식으로 나타낼 수 있다.
(29)
(30)
(31)
동적이완법과 같은 명시적(explicit) 해석법에서는 반복계산 중 변형 및 응력은 Updated-Lagrangian 혹은 Co-rotational 정식화에 의해 updated된 현재 좌표계에 대한 변형(almansi's strain) 및 응력(cauchy stress)이다. 식(31)으로 계산한 실제 응력에 의한 절점력은 아래의 식으로 계산한다.
(32)
(33)
위식에서 t는 막요소두께, s0는 막요소평면적, 는 좌표 변환행렬, 는 재료행렬(orthotropic or isotropic), 는 변 형도-변위 관계행렬, 는 국소좌표계에서의 요소변위 이다.
6. 동적감쇠에 의한 수치해석의 안정성
동적이완법의 가장 일반적인 해석절차는 식(16)에 의해 각 시간스텝에서의 속도를 계산하면서, 구조물에 입력된 점성감 쇠에 의해 점차 속도가 작아져 정적평형상태로 수렴하는 것이 다. 따라서 구조물의 최종상태는 식(17)에 의해 얻을 수 있 다. 막구조의 형상해석과 같이 형상의 변화가 크고 구조물의 강성이 작은 경우 점성감쇠에 의한 동적이완법은 수렴성이 매
우 떨어지게 된다. 안정적인 수렴을 위해서 가상의 절점질량 성분이 강성행렬성분에 일정하게 비례해야하고, 구조물의 임 계감쇠에 근접한 감쇠계수를 찾아야 한다. 그러나 이러한 해 석과정이 수치해석적 효율성을 떨어뜨리는 주된 이유가 된다.
점성감쇠를 고려하여 해석을 수행하는 위의 방법 외에 Cundall (1976)은 동적감쇠(kinetic damping)를 제안하였다.
동적감쇠는 점성감쇠항을 소거한 상태에서 구조물이 조화 자유진동을 하도록 하여, 초기 구조물상태부터 각 시간증분단 계마다 운동에너지를 추적하는 과정 중 국부적 최대운동에너 지상태에서 구조물의 절점속도를 모두 영으로 하여 구조물의 거동을 초기치로 재설정 한다. 이러한 계산과정을 초기에 설 정한 수렴한계에 도달할 때까지 정적평형상태에 도달 할 때 까지 반복 계산한다.
그림3은 동적감쇠에 의한 막구조나 케이블구조의 일반적인 동적에너지의 수렴과정을 나타내고 있다. 초기의 동적에너지 피크상태-A는 해석과정 중 초기조건, 경계조건, 초기응력 등 의 초기상태에서의 과도한 불평형력에 의해 발생하는 고차 진동상태이고, B-구간의 저차 진동상태를 지나 C-구간의 정 적평형상태로 수렴한다.
그림 3. 동적감쇠에 의한 구조물의 수렴과정
동적감쇠의 장점은 해석을 위한 미지의 파라미터 수를 줄임 으로서 해석과정이 더욱 간단해 진다는 것이다. 즉, 점성감쇠 항을 제거함으로써 시간증분Δt와 절점질량항만으로 동적이완 법에 의한 수치해석과정이 조절되며, 대변위를 일으키는 문제 에서 효과적으로 적용될 수 있다. 동적감쇠(kinetic damping) 만으로 해석을 수행하면, 에서의 절점속도는 아래식 과 같이 나타낼 수 있다.(Han and Lee, 2003)
(34)
동적이완법은 시간증분단계에서 수치해석상 수렴의 안정성 (stability)을 위해서 Barnes(1988)가 제안한 다음의 시 간증분 의 관계식으로부터 임의의 질량 항을 설정한다.
≦
(35)
위의 과정에 의해 결정된 질량항은 동적이완법에서 최적의 수치해석을 수행하는 가장 중요한 결정요소로 작용한다.
본 논문에서는 명시적(explicit) 해석법인 동적이완법의 해 석적 특성에 의해 질량행렬은 아래식에 의한 대각행렬을 계 산하였다.
(36)
위식에서 는 절점에서의 대각질량행렬이고, 는 접 선강성행렬의 대각행렬 성분이며, 는 전체구조물에 일정한 값을 갖는 수렴계수로서 본 연구에서는 값을 조절함으로써 수렴성을 위한 최적의 질량행렬을 계산하였다.
따라서, 에서의 절점속도는 시간증분 와 대각 절점질량에 의해 표현되며, Barnes(1988)가 제안한 시간증 분 에 관한 가장질량-강성의 관계식으로부터 의 절점속도는 아래와 같이 다시 표현할 수 있다.
(37)
7. 측지요소의 도입에 의한 등장력 형상해석 알고리즘
일반적으로 곡면의 측지선(geodesic line)의 의미는 곡면 상 임의의 2점을 연결하는 최단곡선으로 비행 항공노선으로 주로 사용되는 것으로 유명하다. 비행기의 항공노선과 마찬가 지로 막구조에서의 측지선의 역할도 곡면의 최단선을 결정하 는 것인데, 이러한 측지선을 이용하여 재단도를 만들면 재단 도선이 거의 직선에 가깝게 수렴하여 원단의 낭비를 최소화 할 수 있다. 따라서 막구조의 형상해석에서 측지요소(geodesic element) 도입의 목적은 최적의 재단도를 위한 3차원 초기 곡면을 결정하는 것이다. 측지요소에 의한 일련의 스트립라인 은 비선형 형상해석과정을 통하여 측지선으로 수렴하게 된다.
Barnes(1988)가 제안한 측지요소에 관한 연구를 바탕으 로 본 연구에서는 3절점, 4절점 막요소에 동시에 적용 가능 한 측지선 형상해석 알고리즘을 설명하면 아래와 같다.
① 다른 막요소, 경계케이블요소에 앞서 측지요소의 불평 형력 를 먼저 계산한다.
② 측지요소 주변 막요소의 법선벡터의 평균값에 의해 측지 요소 각 절점의 단위 법선벡터()를 계산한다. 이때 막요소의 법선벡터에 막요소 면적을 가중치로 곱한다.
③ 측지요소 각 절점의 법선 혹은 면외 방향 성분의 불평 형력 벡터는 아래 식으로 계산한다.
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④ 미리 계산한 측지요소의 불평형력에서 법선방향 성분을 제거한다.
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⑤ 경계케이블, 리지케이블과 연결되는 절점의 불평형력은 제거한다.
⑥ 다른 종류의 요소에 대해서 불평형력을 계산하고, 비선 형 형상해석을 수행한다.
⑦ 불평형력이나 증분변위가 0에 근접할 때까지 위 과정을 반복 계산하여 최종 형상을 결정한다.
그림 4. 측지선 형상해석 알고리즘 순서도
8. 측지요소에 의한 측지선 형상해석 예
측지요소의 사용에 따른 형상해석결과를 비교검토 함으로써 본 연구에서 제시한 측지선 형상해석 알고리즘의 적용성을 검 토한다.
8.1 3절점요소의 측지선 형상해석
그림 5는 3절점요소로 이루어진 막구조에서 측지요소의 적 용에 따른 등장력 곡면 형상해석결과이다. 이를 위해 탄성계수 는 0으로 입력하였고, 초기장력은 단위값 1.0으로 설정하였 다. 동적이완법에 의한 형상해석과정 중 측지요소는 막면의 곡 률을 따라 이동하여 곡률의 평균을 이루는 형상으로 수렴하게 되고, 최종적으로 3차원 곡면의 측지선이 되며, 측지요소의 사 용여부에 따라 전체적인 곡면형상의 변화는 일어나지 않는다.
그림6은 형상해석과정 중 측지요소의 길이변화 및 수렴과정을 나타낸 것이다.
8.2 4절점요소의 측지선 형상해석
4절점요소로 이루어진 막구조에 대해서 측지요소의 적용에 따른 형상해석결과를 비교 검토하였다.
그림 5. 3절점 막요소와 측지요소의 사용에 따른 형상해석결과
그림 6. 3절점요소 형상해석과정 중 측지요소 길이의 수렴과정
그림 7. 측지요소의 사용에 따른 형상해석결과
그림 7은 측지요소의 적용방식에 따른 4절점요소로 이루어진 HP쉘형 막구조의 측지선 형상해석결과이다. 측지요소를 도입 하지 않은 모델, 1방향에 대해서만 측지요소를 도입한 모델, 2 방향에 대해서 모두 측지요소를 도입한 모델로 나누어 동적이 완법을 이용하여 각각의 등장력 곡면 형상해석을 수행하였다.
모델의 초기형상은 그림8에 나타내었으며, 등장력곡면 형상해 석을 위해서 탄성계수는 zero로 적용하였으며, 막요소 및 측지 요소의 초기장력은 단위값 1.0으로 설정하였다. 측지요소의 도 입에 따른 형상 및 곡률의 변화는 거의 없음을 알 수 있다.
그림7의 모델중 2방향 측지요소를 도입한 HP형 막구조에 대해서 불평형력의 수렴과정을 그림8에 나타내었으며, 그림9 는 요소에 따른 측지선 형상해석결과인데, 요소에 따른 형상해 석결과의 차이는 없는 것을 알 수 있다. 막요소와 측지요소에 도입한 임의의 초기장력에 의한 불평형력이 동적이완법의 동적
감쇠 작용에 의해 점차 제거됨에 따라 막구조는 어떤 특정 형 태로 수렴하게 되는데, 7장에서 설명한 수치해석과정을 통해 측지요소는 곡면의 측지선으로 결정된다. 수치해석을 통하여 얻은 곡면은 모든 막요소가 일정한 초기장력을 갖는 등장력 곡 면이며, 어떠한 수치해석적 가정이나 조절 없이, 강성행렬을 사용하지 않으면서 본 논문에서 설명한 동적이완법에의 벡터연 산 해석과정을 통해 매우 빠른 해석시간 안에 자동으로 측지선 형상해석을 수행하였다.
그림10은 그림7의 모델 중 측지요소를 적용하지 않은 모델 과, 1방향에 대해서 측지요소를 적용한 모델에 대해서 재단도 해석을 수행한 결과로써, 측지선 형상해석을 통해 얻은 곡면형 상의 재단도가 그렇지 않은 재단도에 비해서 막재의 면적을 절 약할 수 있음을 알 수 있다.
그림 8. 동적이완법에 의한 불평형력의 수렴과정
그림 9. 막요소에 따른 측지선 형상해석결과
실무 프로젝트에서 막재의 소요량은 재단도 뿐만 아니라 원 단 폭 및 가공숙련도에 따라 큰 영향을 받기 때문에 소요되는
막재의 면적을 정확히 측정하기 위해서는 원단폭을 고려한 형 상해석 및 재단도해석이 이루어져야 한다. 그러나 본 연구에서 는 원단폭에 대한 고려는 하지 않았으며, 측지요소에 대한 적 용성만 고려하였다.
그림 10. 측지선 형상해석에 따른 재단도 해석결과비교
9. 결 론
막구조물의 설계에 있어서 막재의 제작을 위한 형상해석 및 재단도를 결정하는 과정은 막구조물을 일반구조물과 구별 짓는 가장 큰 특징이라고 할 수 있다. 따라서 형상해석 및 재단도 해 석은 이 분야의 엔지니어가 가장 필수적으로 습득하고 이해해 야할 부분이다.
본 연구에서는 형상해석 및 재단도 해석을 위한 방법으로 가 장 일반적으로 사용되면서, 조금은 난해한 측지선 결정방법에
대해서 새로운 방법을 제시하였다. 기존의 연구에서는 3절점 요소에 대해서 측지요소를 사용하거나, 측지선 탐색을 수행하 였지만, 본 연구에서는 3절점 4절점요소에 대해서 동시에 적 용할 수 있는 측지선 형상해석 알고리즘을 제시하였고, 이에 대한 측지선 재단도해석을 수행할 수 있었다.
따라서 본 연구의 형상해석 및 재단도 해석기법은 실제의 실 무에 충분히 적용가능하리라 판단되며, 향후 본 연구에서 제시 한 알고리즘의 상용화를 위한 연구를 수행할 예정이다.
감사의 글
본 논문은 인하대학교 교내연구비 지원으로 이루어진 것으 로, 이에 감사드립니다.
참 고 문 헌
김재열, 이장복, 권택진(2000) 一般逆行列을 利用한 케이블네트 構造物의 形狀決定에 관한 硏究, 대한건축학회, 제16권, 제 6호, pp.3-10.
이경수, 한상을(2008) 동적이완법을 이용한 새로운 비선형해석법의 개발, 대한건축학회 논문집(구조계), 제24권 제7호, pp.19 -28.
이경수, 한상을(2009) 동적이완법에 의한 개선된 비선형해석법의 개 발, 대한건축학회 논문집(구조계), 제25권, 제2호, pp.65 -74.
이장복, 김진우, 김재열, 권택진(2000) 재료 특성을 고려한 막 구조 물의 최적재단도 결정에 관한 연구, 대한건축학회, 제16권, 제11호, pp.75-82.
한상을, 이경수(1998) 동적이완법에 의한 막구조의 등장력곡면 형 태해석에 관한 연구, 한국전산구조공학회, 제11권, 제4호, pp.321-330.
한상을, 이경수(1999) 내력밀도법에 의한 막구조의 초기형상결정, 대한건축학회 논문집, 제15권, 제2호, pp.73-80.
한상을, 이경수(2006) 동적이완법을 이용한 공간구조의 후좌굴 해 석에 관한 연구. 대한건축학회 논문집(구조계), 제22권 제 10호, pp.61-68.
한상을, 이경수, 김정화(2007) 가상점성감쇠요소 도입에 의한 막 구조의 형상탐색에 관한 연구, 대한건축학회 논문집(구조 계), 제23권, 제11호, pp.19-26.
한상을, 이경수, 이갑수(2004a) 4절점 등매개요소를 이용한 인장 막구조의 형상해석 및 응력해석, 대한건축학회 논문집(구 조계), 제20권, 제1호, pp.83-91.
한상을, 이경수, 이갑수(2004b) 선재요소를 이용한 인장막구조의
형상해석, 대한건축학회 논문집(구조계), 제20권, 제3호, pp.23-31.
한상을, 이경수, 이상진(1999) 동적이완법에 의한 불안정 구조물 의 안정화이행과정 해석에 관한 연구, 한국강구조공학회, 제11권, 제6호, pp.591-602.
손수덕, 정을석, 안상길, 김승덕(2006) 막 구조물의 초기형상해석 과 재단도 작성에 관한 연구, 대한건축학회논문집(구조 계), 제22권, 제5호, pp.21-30.
Barnes, M. R. (1975) Applications of dynamics relaxation to the design and analysis of cable, membrane and pneumatic structures. 2nd Int. Conf. on Space Structures, Guildford
Barnes, M. R. (1988) Form-finding and Analysis of Prestressed Nets and Membranes. Computers & Structures. Vol.
30, No. 3, pp.685-695.
Crisfield, M. A. (1997) Nonlinear Finite Element Analysis of Solids and Structures, Vol 2, Advanced Topics
Cundall, P. A. (1976) Explicit finite-difference methods in geomechanics, Blacksburg, VA.
Day, A. S. (1960) An Introduction to Dynamic Relaxation, The Engineer. London. Vol. 219.
Grundig, L. and Bahndorf, J. (1988) The design of wide-span roof structures using micro-computers, Computer &
Structures, Vol. 30, No. 3, pp.495-501.
Grundig, L., Ekert, L., and Moncrieff, E. (1996) Geodesic and semi-geodesic line algorithms for cutting pattern generation of architectural texile structures, Proc. Asia-Pacific Conf.
on Shell and Spatial Structures, Beijing, China, pp.435- 443.
Han, S. E. and Lee, K. S. (2003) A Study of the Stabilizing Process of Unstable Structures, Computer & Structure, Vol. 81, pp.1677-1688.
Moncrieff, E. and Topping, B. H. V. (1990) Computer methods for the generation of membrane cutting patterns, Computer & Structures, Vol. 37, No. 4.
Ong, C. F., Wakefield, D. S. and Barnes, M. R. (1991) Interactive graphic cad for tension structures, Computer
& Structures, Vol. 41, No. 6, pp.1305 -1312.
Sheck, H. J. (1974) The Force Density Method for Form Finding and Computation of General Networks, Computer Methods in Applied Mechanics and Engineering, Vol.
3, pp.704-713.
Wakefield, D. S. (1982) Geodesic strings in form-finding and patterning, Buro Happold report.
(접수일자 : 2009.1. 13 / 심사일 2009. 1. 29 / 게재확정일 2009. 12. 28)
